Si të vërtetohet se një funksion është çift ose tek. Funksionet çift dhe tek

Një funksion quhet çift (tek) nëse për ndonjë dhe barazia

.

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin
.

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.

Shembulli 6.2. Shqyrtoni nëse një funksion është çift apo tek

1)
; 2)
; 3)
.

Zgjidhje.

1) Funksioni përcaktohet kur
. Ne do të gjejmë
.

Ato.
. Do të thotë, këtë funksionështë i barabartë.

2) Funksioni përcaktohet kur

Ato.
. Pra, ky funksion është i çuditshëm.

3) funksioni është përcaktuar për , d.m.th. Për

,
. Prandaj funksioni nuk është as çift dhe as tek. Le ta quajmë funksion të formës së përgjithshme.

3. Studimi i funksionit për monotoni.

Funksioni
quhet rritje (zvogëlim) në një interval të caktuar nëse në këtë interval secili vlerë më të lartë argumenti korrespondon me një vlerë më të madhe (më të vogël) të funksionit.

Funksionet që rriten (zvogëlohen) gjatë një intervali të caktuar quhen monotone.

Nëse funksioni
i diferencueshëm në interval
dhe ka një derivat pozitiv (negativ).
, pastaj funksioni
rritet (zvogëlohet) gjatë këtij intervali.

Shembulli 6.3. Gjeni intervalet e monotonitetit të funksioneve

1)
; 3)
.

Zgjidhje.

1) Ky funksion është i përcaktuar në të gjithë boshti numerik. Le të gjejmë derivatin.

Derivati ​​është i barabartë me zero nëse
Dhe
. Fusha e përkufizimit është boshti i numrave, i ndarë me pika
,
në intervale. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në çdo interval.

Në intervalin
derivati ​​është negativ, funksioni zvogëlohet në këtë interval.

Në intervalin
derivati ​​është pozitiv, prandaj funksioni rritet gjatë këtij intervali.

2) Ky funksion përcaktohet nëse
ose

.

Përcaktojmë shenjën e trinomit kuadratik në çdo interval.

Kështu, fusha e përcaktimit të funksionit

Le të gjejmë derivatin
,
, Nëse
, d.m.th.
, Por
. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në intervale
.

Në intervalin
derivati ​​është negativ, prandaj funksioni zvogëlohet në interval
. Në intervalin
derivati ​​është pozitiv, funksioni rritet gjatë intervalit
.

4. Studimi i funksionit në ekstrem.

Pika
quhet pika maksimale (minimale) e funksionit
, nëse ka një fqinjësi të tillë të pikës kjo është për të gjithë
nga kjo lagje mban pabarazia

.

Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen pika ekstreme.

Nëse funksioni
në pikën ka një ekstrem, atëherë derivati ​​i funksionit në këtë pikë është i barabartë me zero ose nuk ekziston (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi).

Pikat në të cilat derivati ​​është zero ose nuk ekziston quhen kritike.

5. Kushtet e mjaftueshme për ekzistimin e një ekstremi.

Rregulli 1. Nëse gjatë kalimit (nga e majta në të djathtë) nëpër pikën kritike derivatore
ndryshon shenjën nga "+" në "-", pastaj në pikë funksionin
ka një maksimum; nëse nga "-" në "+", atëherë minimumi; Nëse
nuk ndryshon shenjë, atëherë nuk ka ekstrem.

Rregulli 2. Lëreni në pikën
derivati ​​i parë i një funksioni
e barabartë me zero
, dhe derivati ​​i dytë ekziston dhe është i ndryshëm nga zero. Nëse
, Kjo – pikë maksimale, nëse
, Kjo – pika minimale e funksionit.

Shembull 6.4 . Eksploroni funksionet maksimale dhe minimale:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Zgjidhje.

1) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval
.

Le të gjejmë derivatin
dhe zgjidhni ekuacionin
, d.m.th.
.Nga këtu
- pikat kritike.

Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në intervale,
.

Kur kalon nëpër pika
Dhe
derivati ​​ndryshon shenjën nga "-" në "+", pra, sipas rregullit 1
– pikë minimale.

Kur kalon nëpër një pikë
derivati ​​ndryshon shenjën nga “+” në “–”, pra
- pikë maksimale.

,
.

2) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval
. Le të gjejmë derivatin
.

Duke zgjidhur ekuacionin
, do të gjejmë
Dhe
- pikat kritike. Nëse emëruesi
, d.m.th.
, atëherë derivati ​​nuk ekziston. Kështu që,
– pika e tretë kritike. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në intervale.

Prandaj, funksioni ka një minimum në pikë
, maksimumi në pikë
Dhe
.

3) Një funksion është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm nëse
, d.m.th. në
.

Le të gjejmë derivatin

.

Le të gjejmë pikat kritike:

Lagjet e pikave
nuk i përkasin fushës së përkufizimit, prandaj nuk janë ekstreme. Pra, le të shqyrtojmë pikat kritike
Dhe
.

4) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval
. Le të përdorim rregullin 2. Gjeni derivatin
.

Le të gjejmë pikat kritike:

Le të gjejmë derivatin e dytë
dhe përcaktoni shenjën e tij në pika

Në pika
funksioni ka një minimum.

Në pika
funksioni ka një maksimum.

Varësia e ndryshores y nga ndryshorja x, në të cilën çdo vlerë e x korrespondon kuptim i vetëm y quhet funksion. Për emërtim përdorni shënimin y=f(x). Çdo funksion ka një numër vetitë themelore, të tilla si monotonia, barazia, periodiciteti dhe të tjera.

Konsideroni më shumë detaje pronë barazi.

Një funksion y=f(x) thirret edhe nëse i plotëson dy kushtet e mëposhtme:

2. Vlera e funksionit në pikën x, që i përket fushës së përcaktimit të funksionit, duhet të jetë e barabartë me vlerën e funksionit në pikën -x. Domethënë, për çdo pikë x, barazia e mëposhtme duhet të plotësohet nga fusha e përkufizimit të funksionit: f(x) = f(-x).

Grafiku i një funksioni çift

Nëse vizatoni një grafik të një funksioni çift, ai do të jetë simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Për shembull, funksioni y=x^2 është çift. Le ta kontrollojmë. Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=3 arbitrare. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prandaj f(x) = f(-x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është i barabartë. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^2.

Figura tregon se grafiku është simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Grafiku i një funksioni tek

Një funksion y=f(x) quhet tek nëse plotëson dy kushtet e mëposhtme:

1. Fusha e përkufizimit të një funksioni të caktuar duhet të jetë simetrik në lidhje me pikën O. Kjo do të thotë, nëse një pikë a i përket fushës së përkufizimit të funksionit, atëherë pikë përkatëse-a duhet gjithashtu t'i përkasë fushëveprimit të funksionit të dhënë.

2. Për çdo pikë x, nga fusha e përcaktimit të funksionit duhet të plotësohet barazia e mëposhtme: f(x) = -f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me pikën O - origjina e koordinatave. Për shembull, funksioni y=x^3 është tek. Le ta kontrollojmë. Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=2 arbitrare. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prandaj f(x) = -f(x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është tek. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^3.

Figura tregon qartë se madje funksion y=x^3 është simetrik në lidhje me origjinën.

Barazia dhe çuditshmëria e një funksioni janë një nga vetitë kryesore të tij, dhe barazia zë një pjesë mbresëlënëse kursi shkollor matematikë. Ai përcakton në masë të madhe sjelljen e funksionit dhe lehtëson shumë ndërtimin e grafikut përkatës.

Le të përcaktojmë paritetin e funksionit. Në përgjithësi, funksioni në studim konsiderohet edhe nëse për vlerat e kundërta të ndryshores së pavarur (x) të vendosura në domenin e tij të përkufizimit, vlerat përkatëse të y (funksionit) rezultojnë të jenë të barabarta.

Le të japim një përkufizim më të rreptë. Konsideroni një funksion f (x), i cili është përcaktuar në domenin D. Do të jetë edhe nëse për çdo pikë x të vendosur në domenin e përkufizimit:

• -x (pika e kundërt) gjithashtu qëndron në këtë fushë,

• f(-x) = f(x).

Nga përkufizimi i mësipërm rrjedh kushti i nevojshëm për domenin e përcaktimit të një funksioni të tillë, përkatësisht, simetria në lidhje me pikën O, e cila është origjina e koordinatave, pasi nëse një pikë b përmbahet në domenin e përkufizimit të një funksioni çift. funksion, atëherë në këtë fushë qëndron edhe pika përkatëse b. Nga sa më sipër, pra, del përfundimi: funksioni çift ka një formë simetrike në lidhje me boshtin e ordinatës (Oy).

Si të përcaktohet barazia e një funksioni në praktikë?

Le të specifikohet duke përdorur formulën h(x)=11^x+11^(-x). Duke ndjekur algoritmin që rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi, së pari shqyrtojmë fushën e tij të përkufizimit. Natyrisht, është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumentit, domethënë, kushti i parë është i plotësuar.

Hapi tjetër është zëvendësimi i argumentit (x) me të kuptimi i kundërt(-x).
Ne marrim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Meqenëse mbledhja plotëson ligjin komutativ (komutativ), është e qartë se h(-x) = h(x) dhe varësia funksionale e dhënë është çift.

Le të kontrollojmë paritetin e funksionit h(x)=11^x-11^(-x). Duke ndjekur të njëjtin algoritëm, marrim se h(-x) = 11^(-x) -11^x. Duke nxjerrë minusin, në fund kemi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prandaj, h(x) është tek.

Meqë ra fjala, duhet kujtuar se ka funksione që nuk mund të klasifikohen sipas këtyre kritereve, ato nuk quhen as çift e as tek.

Edhe funksionet kanë një numër karakteristikash interesante:

• si rezultat i shtimit të funksioneve të ngjashme, ata marrin një të barabartë;
• si rezultat i zbritjes së funksioneve të tilla, fitohet një çift;
• madje, edhe madje;
• si rezultat i shumëzimit të dy funksioneve të tilla, fitohet një çift;
• si rezultat i shumëzimit të funksioneve tek dhe çift, fitohet një tek;
• si rezultat i ndarjes së funksioneve tek dhe çift, fitohet tek;
• derivati ​​i një funksioni të tillë është tek;
• Nëse vendosni në katror një funksion tek, ju merrni një çift.

Pariteti i një funksioni mund të përdoret për të zgjidhur ekuacionet.

Për të zgjidhur një ekuacion si g(x) = 0, ku ana e majte ekuacioni është një funksion çift, do të jetë mjaft e mjaftueshme për të gjetur zgjidhjet e tij për vlerat jo negative të ndryshores. Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të kombinohen me numrat e kundërt. Njëri prej tyre i nënshtrohet verifikimit.

Kjo përdoret gjithashtu me sukses për të zgjidhur detyra jo standarde me parametër.

Për shembull, a ka ndonjë vlerë të parametrit a për të cilin ekuacioni 2x^6-x^4-ax^2=1 do të ketë tre rrënjë?

Nëse marrim parasysh se ndryshorja hyn në ekuacion në fuqi çift, atëherë është e qartë se zëvendësimi i x me - x ekuacioni i dhënë nuk do të ndryshojë. Nga kjo rrjedh se nëse një numër i caktuar është rrënja e tij, atëherë është gjithashtu numër i kundërt. Përfundimi është i qartë: rrënjët e një ekuacioni që janë të ndryshme nga zero përfshihen në grupin e zgjidhjeve të tij në "çifte".

Është e qartë se vetë numri nuk është 0, domethënë, numri i rrënjëve të një ekuacioni të tillë mund të jetë vetëm çift dhe, natyrisht, për çdo vlerë të parametrit nuk mund të ketë tre rrënjë.

Por numri i rrënjëve të ekuacionit 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 mund të jetë tek, dhe për çdo vlerë të parametrit. Në të vërtetë, është e lehtë të kontrollohet se grupi i rrënjëve ekuacioni i dhënë përmban zgjidhje në dyshe. Le të kontrollojmë nëse 0 është një rrënjë. Kur e zëvendësojmë në ekuacion, marrim 2=2. Kështu, përveç atyre “të çiftëzuara”, 0 është edhe një rrënjë, e cila vërteton numrin e tyre tek.

Fshih Shfaq

Metodat për përcaktimin e një funksioni

Le të jepet funksioni me formulën: y=2x^(2)-3. Duke caktuar çdo vlerë në ndryshoren e pavarur x, mund të llogaritni, duke përdorur këtë formulë, vlerat përkatëse të ndryshores së varur y. Për shembull, nëse x=-0.5, atëherë, duke përdorur formulën, gjejmë se vlera përkatëse e y është y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

Duke marrë çdo vlerë të marrë nga argumenti x në formulën y=2x^(2)-3, mund të llogaritni vetëm një vlerë të funksionit që i korrespondon. Funksioni mund të përfaqësohet si një tabelë:

Duke përdorur këtë tabelë, mund të shihni se për vlerën e argumentit −1 do të korrespondojë vlera e funksionit −3; dhe vlera x=2 do t'i përgjigjet y=0, etj. Është gjithashtu e rëndësishme të dini se çdo vlerë argumenti në tabelë korrespondon me vetëm një vlerë funksioni.

Më shumë funksione mund të specifikohen duke përdorur grafikët. Duke përdorur një grafik, përcaktohet se cila vlerë e funksionit lidhet me një vlerë të caktuar x. Më shpesh, kjo do të jetë një vlerë e përafërt e funksionit.

Funksioni çift dhe tek

Funksioni është madje funksion, kur f(-x)=f(x) për çdo x nga fusha e përkufizimit. Një funksion i tillë do të jetë simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Funksioni është funksion tek, kur f(-x)=-f(x) për çdo x nga fusha e përkufizimit. Një funksion i tillë do të jetë simetrik në lidhje me origjinën O (0;0) .

Funksioni është jo edhe, as të çuditshme dhe quhet funksionin pamje e përgjithshme , kur nuk ka simetri rreth boshtit ose origjinës.

Le të shqyrtojmë funksionin e mëposhtëm për barazi:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) me një domen simetrik të përkufizimit në lidhje me origjinën. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Kjo do të thotë se funksioni f(x)=3x^(3)-7x^(7) është tek.

Funksioni periodik

Funksioni y=f(x) , në domenin e të cilit vlen barazia f(x+T)=f(x-T)=f(x) për çdo x quhet funksion periodik me periodë T \neq 0 .

Përsëritja e grafikut të një funksioni në çdo segment të boshtit x që ka gjatësi T.

Intervalet ku funksioni është pozitiv, pra f(x) > 0, janë segmente të boshtit të abshisave që korrespondojnë me pikat e grafikut të funksionit që shtrihen mbi boshtin e abshisave.

f(x) > 0 aktiv (x_(1); x_(2)) \kupë (x_(3); +\infty)

Intervalet ku funksioni është negativ, pra f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ filxhan (x_(2); x_(3))

Funksion i kufizuar

I kufizuar nga poshtëËshtë zakon të thirret një funksion y=f(x), x \në X kur ka një numër A për të cilin pabarazia f(x) \geq A vlen për çdo x \në X.

Një shembull i një funksioni të kufizuar nga poshtë: y=\sqrt(1+x^(2)) pasi y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 për çdo x.

I kufizuar nga lart një funksion y=f(x), x \in X thirret kur ka një numër B për të cilin vlen mosbarazimi f(x) \neq B për çdo x \në X .

Një shembull i një funksioni të kufizuar më poshtë: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] meqënëse y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 për çdo x \in [-1;1] .

E kufizuarËshtë zakon të thirret një funksion y=f(x), x \në X kur ka një numër K > 0 për të cilin mosbarazimi \left | f(x)\djathtas | \neq K për çdo x \në X.

Shembull funksion të kufizuar: y=\sin x është i kufizuar në të gjithë boshtin e numrave, pasi \majtas | \sin x \djathtas | \neq 1.

Funksioni rritës dhe pakësues

Është zakon të flitet për një funksion që rritet në intervalin në shqyrtim si funksion në rritje atëherë, kur një vlerë më e madhe e x korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit y=f(x) . Nga kjo rrjedh se duke marrë dy vlera arbitrare të argumentit x_(1) dhe x_(2) nga intervali në shqyrtim, me x_(1) > x_(2) , rezultati do të jetë y(x_(1)) > y(x_(2)).

Një funksion që zvogëlohet në intervalin në shqyrtim quhet funksion në rënie atëherë kur vlera më e madhe e x korrespondon me vlerë më të ulët funksionet y(x) . Nga kjo rrjedh se, duke marrë nga intervali në shqyrtim dy vlera arbitrare të argumentit x_(1) dhe x_(2) , dhe x_(1) > x_(2), rezultati do të jetë y(x_(1))< y(x_{2}) .

Rrënjët e funksionitËshtë zakon të quhen pikat në të cilat funksioni F=y(x) pret boshtin e abshisave (ato fitohen si rezultat i zgjidhjes së ekuacionit y(x)=0).

a) Nëse për x > 0 një funksion çift rritet, atëherë ai zvogëlohet për x< 0

b) Kur një funksion çift zvogëlohet në x > 0, atëherë ai rritet në x< 0

c) Kur një funksion tek rritet në x > 0, atëherë ai gjithashtu rritet në x< 0

d) Kur një funksion tek zvogëlohet për x > 0, atëherë do të ulet edhe për x< 0

Ekstrema e funksionit

Pika minimale e funksionit y=f(x) zakonisht quhet një pikë x=x_(0) fqinjësia e së cilës do të ketë pika të tjera (përveç pikës x=x_(0)), dhe për to pabarazia f(x) > f atëherë do të jetë i kënaqur (x_(0)) . y_(min) - përcaktimi i funksionit në pikën min.

Pika maksimale e funksionit y=f(x) zakonisht quhet një pikë x=x_(0) fqinjësia e së cilës do të ketë pika të tjera (përveç pikës x=x_(0)), dhe për to atëherë do të plotësohet pabarazia f(x).< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Kusht paraprak

Sipas teoremës së Fermatit: f"(x)=0 kur funksioni f(x) që është i diferencueshëm në pikën x_(0) do të ketë një ekstrem në këtë pikë.

Gjendje e mjaftueshme

1. Kur derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, atëherë x_(0) do të jetë pika minimale;
2. x_(0) - do të jetë një pikë maksimale vetëm kur derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus kur kalon pikë e palëvizshme x_(0) .

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një interval

Hapat e llogaritjes:

1. Kërkohet derivati ​​f"(x);
2. Gjenden pikat stacionare dhe kritike të funksionit dhe zgjidhen ato që i përkasin segmentit;
3. Vlerat e funksionit f(x) gjenden në stacionare dhe pikat kritike dhe skajet e segmentit. Sa më i vogël nga rezultatet e fituara do të jetë vlera më e ulët funksione, dhe me shume - me e madhja.