Prezantimi.

Transformimet gjeometrike janë një degë mjaft e vonë e matematikës. Transformimet e para gjeometrike filluan të konsiderohen në shekullin e 17-të, dhe transformimet projektive u shfaqën vetëm në fillimi i XIX shekulli.

Në algjebër merren parasysh funksione të ndryshme. Funksioni f i cakton çdo numri x nga fusha e funksionit një numër të caktuar f(x) - vlera e funksionit f në pikën x. Në gjeometri konsiderohen funksione që kanë fusha të tjera përkufizimi dhe grupe vlerash. Ata caktojnë një pikë për secilën pikë. Këto funksione quhen transformime gjeometrike.

Shndërrimet gjeometrike kanë rëndësi të madhe në gjeometri. Me ndihmën e transformimeve gjeometrike, kaq e rëndësishme konceptet gjeometrike, si barazi dhe ngjashmëri figurash. Falë transformimet gjeometrike, shumë fakte të ndryshme të gjeometrisë përshtaten në një teori koherente.

Në mënyrë abstrakte, kryesisht, do të flasim për transformimet e hapësirës. Do të merren parasysh të gjitha lëvizjet, ngjashmëritë, transformimet rrethore dhe afine të hapësirës, ​​si dhe transformimet afine dhe projektive të rrafshit. Për çdo transformim, do të merren parasysh vetitë e tij dhe shembujt e zbatimit në zgjidhjen e problemeve gjeometrike.

Së pari, le të shohim disa koncepte bazë që do të na duhen për të punuar me transformimet. Le të ndalemi në dy terma: distancë dhe transformim. Pra, çfarë kuptojmë me këto fjalë:

Përkufizimi. Largësia ndërmjet dy pikave do ta quajmë gjatësinë e segmentit me skaje në këto pika.

Përkufizimi. Transformimi grupi quhet një pasqyrim një-për-një i këtij grupi në vetvete.

Tani le t'i hedhim një sy lloje të caktuara transformimet gjeometrike.

Pjesa I. Lëvizjet e hapësirës.

Karakteristikat e përgjithshme të lëvizjeve.

Përkufizimi. Transformimi i hapësirës quhet lëvizjes, nëse ruan distancat ndërmjet pikave.

Karakteristikat e lëvizjes.

1. Shndërrimi i kundërt në lëvizje është lëvizje.
2. Përbërja e lëvizjeve është lëvizja.
3. Kur lëviz, një vijë e drejtë shndërrohet në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze, një segment në një segment, një plan në një plan, një gjysmë rrafsh në një gjysmë rrafsh.
4. Imazhi i një këndi të rrafshët në lëvizje është një kënd i rrafshët me të njëjtën madhësi.
5. Lëvizja ruan këndin ndërmjet vijave të drejta, ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, ndërmjet rrafsheve.
6. Lëvizja ruan paralelizmin e drejtëzave, të drejtës dhe rrafshit, rrafsh.

Dëshmi pronësie.

1 dhe 2. Ndiqni nga përkufizimi i lëvizjes.

1. Le të shtrihen pikat A, X dhe B në të njëjtën vijë të drejtë, dhe pika X shtrihet midis A dhe B. Pastaj AX + XB = AB. Le të jenë pikat А´, Х´, В´ imazhet e pikave А, Х, В gjatë lëvizjes. Pastaj А´Х´+Х´В´=А´В´ (nga përkufizimi i lëvizjes). Dhe nga kjo rrjedh se pikat A´, X´, B´ shtrihen në një vijë të drejtë, dhe X´ shtrihet midis A´ dhe B´.
   Nga thënia e provuar menjëherë rrjedh se kur lëviz, një vijë e drejtë shndërrohet në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze, një segment në një segment.

Për aeroplanin, prova mund të kryhet si më poshtë. Le të jenë a, b dy drejtëza të kryqëzuara të rrafshit tonë α, a´, b´ imazhet e tyre. Natyrisht, a' dhe b' kryqëzohen. Le të jetë α´ rrafshi që përmban drejtëzat a´, b´. Le të vërtetojmë se α´ është imazhi i rrafshit α. Le të jetë М një pikë arbitrare e rrafshit α që nuk shtrihet në drejtëzat a dhe b. Le të vizatojmë një drejtëz c përmes M që pret drejtëzat a dhe b në pika të ndryshme. Imazhi i kësaj drejtëze është drejtëza c´ që pret drejtëzat a´, b´ në pika të ndryshme. Kjo do të thotë se M´, imazhi i pikës M, gjithashtu shtrihet në rrafshin α´. Kështu, imazhi i çdo pike të rrafshit α shtrihet në rrafshin α´. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se imazhi paraprak i çdo pike të rrafshit α´ qëndron në rrafshin α. Prandaj α´ është imazhi i rrafshit α.

Tani nuk është e vështirë të vërtetosh pohimin edhe për gjysmëplanin. Është e nevojshme vetëm të plotësohet gjysma e rrafshit me një rrafsh, të merret parasysh drejtëza a që kufizon gjysmërrafshin dhe imazhi i saj a´, dhe më pas të vërtetohet me kontradiktë se imazhet e çdo dy pika të gjysmëplanit shtrihen në e njëjta anë e a'.

1. Pason nga prona 3.
2. Ai rrjedh nga vetia 4 dhe përcaktimi i këndit ndërmjet drejtëzave (një drejtëz dhe një rrafsh, dy plane) në hapësirë.
3. Supozoni të kundërtën, d.m.th. le të kryqëzohen imazhet e vijave tona paralele (një drejtëz dhe një rrafsh, plane) (në rastin e vijave paralele, është ende e nevojshme të tregohet se imazhet e tyre nuk mund të jenë vija të zhdrejtë, por kjo rrjedh menjëherë nga fakti se rrafshi që përmban këto rreshta do të hyjnë në një aeroplan). Pastaj merrni parasysh pikën e tyre të përbashkët. Do të ketë dy prototipa, gjë që është e pamundur nga përkufizimi i transformimit.

Përkufizimi. Figura F quhet të barabartë figura Ф´, nëse ka një lëvizje që e shndërron Ф në Ф´.

Llojet e lëvizjeve.

3.1. Transformimi i identitetit.

Përkufizimi. Transformimi i identitetit Hapësira E quhet një transformim në të cilin çdo pikë e hapësirës shkon në vetvete.

Natyrisht, transformimi i identitetitështë një lëvizje.

3.2. Transferimi paralel.

Përkufizimi. Le të jepet një vektor në hapësirë. Transferimi paralel hapësira në një vektor quhet një transformim në të cilin secila pikë M paraqitet në një pikë M´ të tillë që .

Teorema 3.2. Transferimi paralel - lëvizja.

Dëshmi. Le të jenë А´, В´ imazhet e pikave А, В nën transferim paralel te vektori . Mjafton të tregojmë se AB=A´B´, që rrjedh nga barazia:

Transferimi i pronës. Përkthimi paralel përkthen një vijë (rrafsh) në vetvete ose në një vijë paralele me të (rrafsh).

Dëshmi. Në vërtetimin e teoremës 3.2, ne vërtetuam se vektorët ruhen nën përkthimin paralel. Kjo do të thotë se ruhen vektorët e drejtimit të vijave dhe vektorët normalë të planeve. Këtu vijon pohimi ynë.

simetria qendrore.

Përkufizimi. Simetria në lidhje me pikën O ( simetria qendrore) i hapësirës është një transformim hapësinor që harton një pikë O në vetvete dhe çdo pikë tjetër M në një pikë M´ ashtu që pika O të jetë mesi i segmentit MM´. Pika O quhet qendra e simetrisë.

Teorema 3.4. Simetria qendrore - lëvizja.

Dëshmi.

Le të jenë A, B dy pika arbitrare, A´, B´ imazhet e tyre, О qendra e simetrisë. Pastaj .

Prona simetria qendrore. Simetria qendrore merr një drejtëz (rrafsh) në vetvete ose në një drejtëz paralele me të (rrafsh).

Dëshmi. Gjatë vërtetimit të teoremës 3.4, ne vërtetuam se vektorët janë të kundërt nën përkthimin paralel. Kjo do të thotë se vektorët drejtues të drejtëzave dhe vektorët normalë të planeve me simetri qendrore ndryshojnë vetëm drejtimet. Këtu vijon pohimi ynë.

Teorema mbi caktimin e lëvizjes.

Teorema 5.1. (teorema rreth specifikimit të lëvizjes) Nëse jepen respektivisht dy tetraedra ABCD dhe A´B´C´D skajet e barabarta, atëherë ekziston një dhe vetëm një lëvizje e hapësirës që i lidh pikat A, B, C, D përkatësisht me pikat A´, B´, C´, D´.

Dëshmi.

I. Ekzistenca. Nëse A përkon me A´, B përkon me B´, C përkon me C´, D përkon me D´, atëherë thjesht jepet transformimi i identitetit. Nëse jo, atëherë supozojmë për saktësi se A nuk përkon me A´. Konsideroni rrafshin α të simetrisë së pikave A dhe A´. Lëreni simetrinë S α të marrë tetraedrin ABCD në tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 .

Tani, nëse В 1 përkoi me В´, С 1 - me С´, D 1 - me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se pikat В´ dhe В 1 nuk përkonin. Konsideroni rrafshin β të simetrisë së pikave B 1 dhe B´. Pika A' është e barabartë nga pikat B1 dhe B´, prandaj shtrihet në rrafshin β. Lëreni simetrinë S β të marrë tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 në tetraedrin A´B´C 2 D 2.

Tani, nëse С 2 përkon me С´, dhe D 2 përkon me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se pikat С´ dhe С 2 nuk përkonin. Konsideroni rrafshin γ të simetrisë së pikave С 2 dhe С´. Pikat А´, В´ janë të barabarta nga pikat С 2 dhe С´, prandaj ato shtrihen në rrafshin γ. Le të marrim simetrinë S γ tetraedrin A´B´C 2 D 2 në tetraedrin A´B´C´D 3.

Tani, nëse D 3 përkon me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë merrni parasysh rrafshin δ të simetrisë së pikave D 3 dhe D´. Pikat А´, В´, С´ janë të barabarta nga pikat D 3 dhe D´, prandaj ato shtrihen në rrafshin δ. Prandaj, simetria S δ e merr tetraedrin A´B´C´D 3 në tetraedrin A´B´C´D´.

Kështu, përbërja e numrit të kërkuar të simetrisë së pasqyrës të reduktuar e transformon tetraedrin ABCD në tetraedrin A´B´C´D´. Dhe ky transformim është një lëvizje (vetia 2 e lëvizjeve).

II. Unike. Le të jenë 2 lëvizje f dhe g që çojnë A në A´, B në B´, C në C´, D në D´. Atëherë lëvizja është një transformim identik, pasi i lë pikat A, B, C, D të fiksuara. Pra f=g.

Në vërtetimin e Teoremës 5.1 (ekzistencë), në fakt,

Teorema 5.2.Çdo lëvizje e hapësirës është një përbërje me jo më shumë se katër simetri pasqyre.

Homotesia e hapësirës.

Le të shohim së pari të rëndësishmen rast i veçantë ngjashmëri - homoteti.

Përkufizimi. Homoteiteti me qendër O dhe koeficient është një transformim i hapësirës, ​​në të cilin imazhi i secilës pikë X është një pikë X´ e tillë që .

Vetitë e homoteitetit.

Dëshmi pronësie.

1 dhe 2. Ndiqni nga përkufizimi i homoteitetit.

3. Vërtetohet ngjashëm me teoremën përkatëse në rrafsh. Në të vërtetë, nëse marrim parasysh një pikë arbitrare X të hapësirës, ​​do të na mjaftojë të vërtetojmë teoremën tonë për rrafshin (AXB).

4. E vërtetuar me kontradiktë.

1. Pason nga prona 1.

vetitë e ngjashmërisë.

Teorema 2.1. Ngjashmëria e hapësirës mund të përfaqësohet nga përbërja e homoteitetit dhe lëvizjes f:

Dëshmi. Le të bëjmë një homoteti të përqendruar në një pikë arbitrare. Konsideroni një transformim f të tillë që (ekzistenca e një transformimi të tillë rrjedh nga përkufizimi i një transformimi). Shndërrimi f do të jetë lëvizje sipas përkufizimit të lëvizjes.

Vini re se duke zgjedhur për lëvizjen f, ne mund të marrim një paraqitje të ngjashmërisë sonë edhe në këtë formë.

vetitë e ngjashmërisë.

Dëshmi pronësie.

1 dhe 2. Pasojat nga teorema 2.1.

3. Rrjedhim nga përkufizimi i ngjashmërisë.

4. Për kubin, teorema është padyshim e vërtetë. Për një trup të përbërë nga kube, natyrisht, gjithashtu.

Një poliedron arbitrar M mund të vendoset në një rrjetë kub. Ne do ta bluajmë këtë grilë. Ndërsa ana e një kubi të rrjetës sonë tenton në zero, vëllimet e dy trupave: trupi I, i përbërë nga kube të shtrirë plotësisht brenda M, dhe trupi S, i përbërë nga kube që kanë pikat e përbashkëta me M, priren në vëllimin e poliedrit M (kjo rrjedh nga fakti se për secilën faqe të poliedrit tonë M, vëllimi i kubeve që kalojnë këtë faqe do të priret në zero). Në të njëjtën kohë, për imazhin M´ të shumëfaqëshit M me ngjashmërinë tonë, vëllimet e trupave I´, S´ (imazhet e trupave I, S) priren në vëllimin e shumëkëndëshit M´. Për trupat I dhe S, teorema jonë është e vërtetë, që do të thotë se është e vërtetë edhe për poliedrin M.

Vëllimi organ arbitrar përkufizohet në terma të vëllimeve të poliedrit përkatës, kështu që teorema është e vërtetë edhe për një trup arbitrar.

Teorema 2.2. (për vendosjen e ngjashmërisë së hapësirës) Nëse dy tetraedra ABCD dhe A´B´C´D jepen të tilla që , atëherë ekziston saktësisht një ngjashmëri e hapësirës për të cilën A→A´, B→B´, С→С´, D→D´.

Dëshmi. Që ekziston një ngjashmëri e tillë rrjedh nga teorema 2.1 dhe teorema mbi specifikimin e lëvizjes së hapësirës (Pjesa I, Teorema 5.1). Le të ketë dy shndërrime të tilla: P dhe Р´. Atëherë transformimi është një lëvizje që ka pika fikse A, B, C, D, d.m.th. f është transformimi i identitetit. Prandaj P=P´.

Detyra 1.

Pikat M, N, P janë të vendosura në anët AB, BC, AC trekëndëshi ABC. Pikat M´, N´, P´ janë simetrike me pikat M, N, P në lidhje me brinjët AB, BC, AC. Vërtetoni se sipërfaqet e trekëndëshave MNP dhe M´N´P´ janë të barabarta.

Zgjidhje.

Për trekëndësh kënddrejtë deklarata është e qartë.

Në të njëjtën mënyrë, çdo trapez mund të shndërrohet në një izosceles me një transformim afin, d.m.th. çdo pohim afinal është i mjaftueshëm për të provuar trapez izosceles.

Detyra 2.

Në një trapez ABCD me baza AD dhe BC, një vijë e drejtë vizatohet përmes pikës B, anë paralele CD dhe diagonale AC prerëse në pikën P, dhe përmes pikës C është një drejtëz paralele me anën AB dhe diagonale ndërprerëse BD në pikën Q. Vërtetoni se drejtëza PQ është paralele me bazat e trapezit.

Zgjidhje.

Për një trapezoid isosceles, pohimi është i qartë.

Kompresimi në një vijë të drejtë.

Përkufizimi. Kompresimi në një vijë të drejtëℓ me koeficient k () është një transformim që çon një pikë arbitrare M në një pikë M´ të tillë që dhe , ku .

Teorema 2.1. Tkurrja në një vijë të drejtë është një transformim afin.

Dëshmi. Me një kontroll të drejtpërdrejtë, ne sigurohemi që vija e drejtë të shkojë në një vijë të drejtë. Madje mund të vërehet se tkurrja në vijë të drejtë është një rast i veçantë dizajn paralel(kur drejtimi i projektimit është pingul me vijën e kryqëzimit të planeve).

Teorema 2.2. Për çdo transformim afinal, ekziston një rrjetë katrore, e cila, nën këtë transformim, shndërrohet në një rrjetë drejtkëndëshe.

Dëshmi. Le të marrim një rrjetë arbitrare katrore dhe të shqyrtojmë një nga katrorët e saj OABS. Me transformimin tonë, ai do të kthehet në një paralelogram О´А´В´С´. Nëse O'A'B'C' është një drejtkëndësh, atëherë vërtetimi ynë është i plotë. AT ndryshe Le të supozojmë për saktësi se këndi А'О´В' është i mprehtë. Ne do të rrotullojmë katrorin OABS dhe të gjithë rrjetën tonë rreth pikës O. Kur katrori OABS të ndizet (kështu që pika A ka lëvizur në pikën B), pika A´ do të shkojë në pikën B´ dhe B´ në kulmin e paralelogrami ngjitur me O´A´ W´S´. Ato. këndi A´O´B´ bëhet i mpirë. Sipas parimit të vazhdimësisë, në një moment ai ishte i drejtë. Në këtë moment, katrori OABS u kthye në një drejtkëndësh, dhe rrjeta jonë në një rrjetë drejtkëndëshe, etj.

Teorema 2.3. Një transformim afinik mund të përfaqësohet nga një përbërje tkurrjeje në një vijë të drejtë dhe ngjashmëri.

Dëshmi. Rrjedhim nga teorema 2.2.

Teorema 2.4. Një transformim afinal që shndërron një rreth të caktuar në një rreth është një ngjashmëri.

Dëshmi. Ne përshkruajmë një katror afër rrethit tonë dhe e rrotullojmë në mënyrë që të kthehet në një drejtkëndësh gjatë transformimit tonë (Teorema 2.2.). Rrethi ynë do të shkojë në një rreth të gdhendur në këtë drejtkëndësh, kështu që ky drejtkëndësh është një katror. Tani mund të specifikojmë rrjetin katror që transformimi ynë do të shndërrohet në një rrjet katror. Natyrisht, transformimi ynë është një ngjashmëri.

3. Shndërrimet afinale të hapësirës.

Përkufizimi. afine një transformim hapësinor është një transformim hapësinor që transformon çdo plan në një plan.

Vetitë.

1. Nën një transformim afin, vijat e drejta bëhen vija të drejta.
2. Një transformim afin i hapësirës shkakton një hartë afinale të çdo rrafshi në imazhin e tij.
3. Me një transformim afine plane paralele(drejtëza) shkojnë në rrafshe paralele (drejtëza).

Dëshmi pronësie.

1. Kjo rrjedh nga fakti se një vijë e drejtë është kryqëzimi i dy planeve dhe nga përkufizimi i një transformimi afin.
2. Ai rrjedh nga përkufizimi i një transformimi afinal dhe vetisë 1.
3. Për rrafshet vërtetohet me kundërthënie, për drejtëzat - përmes vetive 2 dhe vetive të shndërrimit afinal të rrafshit.

Teorema 3.1. (në specifikimin e një transformimi të hapësirës afinale) Për çdo tetraedrë të caktuar ABCD dhe A´B´C´D´ ekziston një transformim afinal unik që çon A në A´, B në B´, C në C´, D në D´.

Dëshmi. Prova është e ngjashme me Teoremën 1.1. (ndërtohen grilat e paralelopipedëve).

Nga vërtetimi i teoremës 3.1 rrjedh se nëse kemi një sistem të zhdrejtë koordinativ W, dhe W´ është imazhi i tij nën një transformim afin, atëherë koordinatat e një pike arbitrare në hapësirë ​​në sistemin koordinativ W janë të barabarta me koordinatat e tij. imazh në sistemin e koordinatave W.

Nga kjo menjëherë pasojnë disa të tjera Vetitë transformimi afin.

1. Një transformim afine është afin.
2. Shndërrimet afinike ruajnë raportet e gjatësive të segmenteve paralele.

Tani le të jepet sistemi i koordinatave (O, , , ) në hapësirë ​​dhe transformimi afinal f merr O në O´, dhe vektorët bazë në vektorë, përkatësisht. Le të gjejmë koordinatat x´, y´, z´ të figurës M´(x´,y´,z´) të pikës M(x,y,z) nën transformimin f.

Do të vijojmë nga fakti se pika M në sistemin koordinativ (О, , , ) ka të njëjtat koordinata si pika М´ në sistemin koordinativ (О´, , , ). Nga këtu

Prandaj, ne kemi barazi (*):

Vlen gjithashtu të theksohet se , sepse vektorët , , janë linearisht të pavarur.

Kjo përcaktor quhet përcaktor i transformimit afin.

Teorema 3.2. Transformimi i dhënë nga barazitë (*) në ​​është afin.

Dëshmi. Mjafton të kontrollohet që transformimi i anasjelltë i transformimit (*) është afin (vetia 4). Merrni një plan arbitrar Аx´+Вy´+Сz´+D=0, ku А, В, С nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë. Duke kryer zëvendësimet (*), marrim ekuacionin e paraimazhit të tij:

Mbetet vetëm për të kontrolluar që koeficientët në x, y, z në ekuacionin që rezulton nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero. Kjo është e vërtetë, sepse përndryshe sistemi

me përcaktor jozero do të kishte vetëm zgjidhje zero: A=B=C=0, që nuk është e vërtetë.

Teorema 3.3. Për vëllimet V dhe V' të trupave që korrespondojnë me transformimin afin, ekziston një varësi .

Dëshmi. Lërini vektorët jokoplanarë , , të formojnë një bazë vektoriale të hapësirës dhe le që vektorët , dhe . Duke llogaritur produktin e përzier të këtyre vektorëve, marrim:

.

Le të përdorim faktin që vëllimi i një paralelipipedi të orientuar i ndërtuar mbi vektorë si në skaje është i barabartë me produkt i përzier këta vektorë:

,

ku V 0 është vëllimi i paralelepipedit të ndërtuar mbi vektorë bazë.

Një transformim afinik nuk ndryshon koordinatat e vektorëve përkatës në bazat përkatëse. Prandaj, për vëllimin V´ të figurës së paralelepipedit të vëllimit V, kemi:

,

ku është vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë si në buzë.

Nga këtu marrim: . Me tutje , pra për vëllimet e paorientuara kemi . Kjo barazi mund të shtrihet në të gjitha trupat në mënyrë të ngjashme me vërtetimin e vetive 4 të ngjashmërive (Pjesa II, §2).

Një detyrë.

Maja e paralelopipedit është e lidhur me tre fytyrat që nuk e përmbajnë atë. Gjeni raportin e vëllimit të tetraedrit që rezulton me vëllimin e paralelepipedit të dhënë.

Zgjidhje.

Le të numërojmë relacioni i dhënë për një kub dhe, duke e kthyer kubin në paralelepiped me një transformim afin, do të përdorim faktin që transformimi afinik ruan raportin e vëllimeve. Për një kub, raporti është i lehtë për t'u llogaritur. Është e barabartë me 1:12.

Përgjigje: 1:12.

Marrëdhënia e hapësirës.

Përkufizimi. Një transformim afin i hapësirës që ka një plan pikash fikse quhet transformim i lidhur ρ (farefisnore), dhe quhet rrafshi i pikave fikse të tij aeroplan farefisnie. Elementet që janë të lidhur quhen të lidhura.

Përkufizimi. Drejtimi i vijave që lidhin pikat e lidhura quhet drejtimi i farefisnisë.

vetitë farefisnore.

1. Vijat (rrafshet) e ndërlidhura priten në rrafshin e farefisnisë ose janë paralele me të.
2. (Saktësia e përcaktimit të drejtimit të farefisnisë) Linjat, secila prej të cilave lidh dy pika të lidhura, janë paralele.
3. Nëse drejtimi i marrëdhënies nuk është paralel me rrafshin e kësaj marrëdhënieje, atëherë çdo segment që lidh dy pika të lidhura ndahet me rrafshin e marrëdhënies në të njëjtin raport.
4. Çdo rrafsh paralel me drejtimin e farefisnisë është i palëvizshëm në këtë lidhje farefisnore. Në të, induktohet marrëdhënia e rrafshit (një transformim afinik që ka një vijë pikash fikse, të quajtur boshti i marrëdhënies), boshti i të cilit është vija e kryqëzimit të tij me rrafshin e marrëdhënies së caktuar hapësinore.

Dëshmi pronësie.

1. Prova është e ngjashme me vërtetimin e pasurisë simetria e pasqyrës(Pjesa I, §3.5).

2. Le të jenë A, B dy pika të ndryshme; A´, B´ janë imazhet e tyre në relacion, α është rrafshi i marrëdhënies. Le . Pastaj (një veti e një transformimi afine), d.m.th. AA´||BB´, etj.

3 dhe 4. Ndiqni nga vërtetimi i pasurisë 2.

Përkufizimi. Sipërfaqja e përfaqësuar nga ekuacioni , quhet elipsoid. Një rast i veçantë i një elipsoidi është një sferë.

Ndodh faktin e mëposhtëm, të cilën nuk do ta vërtetojmë, megjithatë, kur vërtetojmë teoremat e mëposhtme, do të na duhet:

Teorema 4.1. Një transformim afinik shndërron një elipsoid në një elipsoid.

Teorema 4.2. Një transformim afinal arbitrar i hapësirës mund të përfaqësohet nga një përbërje ngjashmërie dhe marrëdhënieje.

Dëshmi. Lëreni një transformim afinal f të hartojë sferën σ në elipsoidin σ´. Nga teorema 3.1 rrjedh se f mund të jepet nga këto figura. Konsideroni një rrafsh α´ që përmban qendrën e elipsoidit dhe e pret atë përgjatë një rrethi ω´ (ekzistenca e një rrafshi të tillë mund të vërtetohet lehtësisht nga konsideratat e vazhdimësisë). Le të jetë α paraimazhi i α´, paraimazhi i ω´, dhe β sfera që ka rrethin ω´ si rreth diametral të saj. Ekziston një marrëdhënie ρ që paraqet β në σ´ dhe ka një ngjashmëri P që harton σ me β. Pastaj është përfaqësimi i kërkuar.

Teorema 4.3 rrjedh menjëherë nga vërtetimi i teoremës së mëparshme:

Teorema 4.3. Një transformim afinik që ruan sferën është një ngjashmëri.

Pjesa IV. Transformimet projektive.

1. Shndërrimet projektive të rrafshit.

Përkufizimi. Plani projektues– një plan i zakonshëm (Euklidian), i plotësuar me pika në pafundësi dhe një vijë të drejtë në pafundësi, i quajtur gjithashtu elemente të pahijshme. Në këtë rast, çdo vijë e drejtë plotësohet nga një pikë e pahijshme, i gjithë rrafshi - nga një vijë e drejtë e pahijshme; vijat paralele plotësohen nga një pikë e zakonshme e papërshtatshme, jo paralele - nga të ndryshme; Pikat e pahijshme që plotësojnë të gjitha vijat e mundshme të rrafshit i përkasin vijës së papërshtatshme.

Përkufizimi. Një transformim i rrafshit projektues që merr çdo vijë në një vijë quhet projektive.

Pasoja. Një transformim projektiv që ruan vijën në pafundësi është afin; çdo transformim afinik është projektiv, duke ruajtur vijën në pafundësi.

Përkufizimi. dizajn qendror rrafshi α në rrafshin β me qendër në një pikë O që nuk shtrihet në këto rrafshe quhet një hartë që lidh çdo pikë A të rrafshit α me pikën A´ të kryqëzimit të drejtëzës OA me rrafshin β.

Për më tepër, nëse rrafshet α dhe β nuk janë paralelë, atëherë në rrafshin α ekziston një drejtëz ℓ e tillë që rrafshi që kalon nëpër pikën O dhe drejtëza ℓ është paralel me rrafshin β. Do të supozojmë se ℓ gjatë projeksionit tonë shkon në drejtëzën në pafundësi të rrafshit β (në këtë rast, çdo pikë B e drejtëzës ℓ shkon në atë pikë të drejtëzës në pafundësi, e cila plotëson drejtëzat paralele me OB). Në rrafshin β ekziston një drejtëz ℓ´ e tillë që rrafshi që kalon në pikën O dhe drejtëzën ℓ´ është paralel me rrafshin α. Ne do të shqyrtojmë ℓ´ imazhin e drejtëzës α në pafundësi. Linjat ℓ dhe ℓ´ do të thirren të përkushtuar.

Mund të themi se jepet një shndërrim i thjeshtë i rrafshit projektues (nëse bashkojmë rrafshet α dhe β).

Menjëherë rrjedh nga përkufizimi vetitë e projeksionit qendror:

1. Dizajni qendror - transformim projektiv.
2. Transformimi i kundërt me modelin qendror është dizajni qendror me të njëjtën qendër.
3. Linjat paralele me ato të zgjedhura bëhen paralele.

Përkufizimi. Le të shtrihen pikat A, B, C, D në të njëjtën drejtëz. Qëndrim i dyfishtë(AB; CD) e këtyre pikave quhet vlera. Nëse një nga pikat është në pafundësi, atëherë gjatësitë e segmenteve, fundi i të cilave është kjo pikë, mund të shkurtohen.

Teorema 1.1. Projeksioni qendror ruan marrëdhënien e dyfishtë.

Dëshmi. Le të jetë О qendra e projeksionit, А, В, С, D - katër pika të shtrira në një vijë të drejtë, A´, B´, C´, D´ - imazhet e tyre.

Në mënyrë të ngjashme .

Duke pjesëtuar një ekuacion me tjetrin, marrim .

Në mënyrë të ngjashme, në vend të pikës C, duke marrë parasysh pikën D, marrim .

Nga këtu , d.m.th. .

Për ta bërë vërtetimin të plotë, mbetet të theksohet se të gjitha segmentet, zonat dhe këndet mund të konsiderohen të orientuara.

Teorema 1.2. Le të mos jenë katër pika A, B, C, D të rrafshit π në një drejtëz dhe katër pika M, N, P, Q të rrafshit π´ të mos shtrihen në një drejtëz. Pastaj ekziston një përbërje e projeksionit qendror (paralel) dhe ngjashmërisë që e paraqet A në M, B në N, C në P, D në Q.

Dëshmi.

Për lehtësi, do të themi se ABCD dhe MNPQ janë katërkëndësha, megjithëse në fakt kjo nuk është e nevojshme (për shembull, segmentet AB dhe CD mund të kryqëzohen). Nga vërtetimi do të shihet se ne askund nuk përdorim se pikat A, B, C, D dhe M, N, P, Q formojnë katërkëndësha në atë rend.

.

Le të vizatojmë tani vijat AK, BL, CF, DG përmes pikave A, B, C, D paralele me X 1 X 2 (K, L shtrihen në DC; G, F shtrihen në AB), dhe përmes pikave N, M - linjat NT , MS paralele me Y 1 Y 2 (T, S shtrihen në PQ). Duke përdorur projeksionin qendror (paralel) f, ne e transformojmë trapezin ABLK në trapezoidin A´B´L´K´ të rrafshit π´, i cili është i ngjashëm me trapezin MNTS (kjo është e mundur sipas pjesës I të provës sonë) . Për më tepër, nga zgjedhja e pikave X 1 , X 2 del se drejtëza X 1 X 2 është një vijë e dalluar e rrafshit π´. Le të shënojmë pikat С´, D´ në drejtëzën L´K´ në mënyrë që trapezi ABCD të jetë i ngjashëm me trapezin A´B´C´D´. Vizatoni drejtëza C´F´, D´G´ paralel me drejtëzën B´L´ (F´, G´ shtrihen në А´В´) dhe shënoni një pikë Y 1 ´ në drejtëzën A´B´ të tillë që , . Në rreshtin C´D´ shënoni një pikë Y 2 ´ në mënyrë që Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (shih figurën). Nga zgjedhja e pikave Y 1 ´ dhe Y 2 ´ del se drejtëza Y 1 ´Y 2 ´ është një vijë e dalluar e rrafshit π´. Nën transformimin f, pika E shkon në pikën E' të prerjes së drejtëzave A'B' dhe L'K'. Pika С shkon në një pikë С 0 ´ të drejtëzës С´D´.

Le të vërtetojmë se С 0 përkon me С´. Nga fakti se X 2 nën transformimin f kalon në pafundësi pikë e largët rreshti C'D', dhe Y 2 ' është imazhi i pikës në pafundësi të rreshtit CD dhe projeksioni qendror ruan raporte të dyfishta, rrjedh se , ku . Tani merrni parasysh transformimin g, përbërjen e projeksionit qendror dhe ngjashmërisë, që e çon trapezin CDGF në trapezoidin C´D´G´F´. Për transformimin g, mund të tregohet në mënyrë të ngjashme . Nga këtu do të vijojë që pikat С 0 dhe С´ përkojnë. Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se D 0 - imazhi i pikës D nën transformimin f - përkon me D´. Kështu, transformimi f e transformon katërkëndëshin ABCD në katërkëndëshin A´B´C´D´ të ngjashëm me katërkëndëshin MNPQ, siç kërkohet.

Teorema 1.3. Le të jepen katër pika, nga të cilat asnjë tre nuk shtrihet në të njëjtën drejtëz: A, B, C, D dhe A´, B´, C´, D´. Pastaj ka një transformim unik projektues që çon A në A´, B në B´, C në C´, D në D´.

Ekzistenca një transformim i tillë rrjedh nga teorema 1.1.

unike mund të vërtetohet në të njëjtën mënyrë si unike e një transformimi afinal (teorema 1.1, pjesa III): merrni parasysh një grilë katrore, ndërtoni imazhin e saj dhe më pas përsojeni. Kapërceni vështirësitë me të cilat u përballëm

Lëvizjet në rrafsh dhe vetitë e tyre. Shembuj të lëvizjes. Klasifikimi i lëvizjeve. Grupi i lëvizjes. Zbatimi i lëvizjes në zgjidhjen e problemeve

Trafiku- ky është një transformim i figurave, në të cilat distancat midis pikave ruhen. Nëse dy figura kombinohen saktësisht me njëra-tjetrën me anë të lëvizjes, atëherë këto shifra janë të njëjta, të barabarta.

Trafikuështë një shndërrim bijektiv φ i rrafshit π, nën të cilin për çdo pikë të ndryshme X, Y є π plotësohet relacioni XY  φ(X)φ(Y).

Karakteristikat e lëvizjes:

1.Përbërja φ ◦ ψ dy lëvizje ψ , φ është një lëvizje.

Doc-in: Lëreni figurën F përkthyer nga lëvizja ψ në një figurë F ', dhe figura F ’ përkthehet me lëvizje φ në një figurë F ''. Lëreni pikën X shifrat F shkon në pikën X ’ figurat F ’ , dhe gjatë lëvizjes së dytë, pika X ’ figurat F ' shkon në pikën X '' shifrat F ''. Pastaj transformimi i figurës F në një figurë F '', në të cilën një pikë arbitrare X shifrat F shkon në pikën X '' shifrat F '', ruan distancën midis pikave, dhe për këtë arsye është gjithashtu një lëvizje.

Regjistrimi i këngës nis gjithmonë nga lëvizja e fundit, sepse rezultati i përbërjes është imazhi përfundimtar - është vendosur në përputhje me origjinalin: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Nëse φ – lëvizje, pastaj transformim φ -1është gjithashtu një lëvizje.

Doc-in: Lëreni transformimin e formës F në një figurë F ’ përkthen pikat e ndryshme të figurës F në pika të ndryshme të figurës F '. Le një pikë arbitrare X shifrat F nën këtë transformim shkon në një pikë X ’ figurat F ’.

Transformimi i formës F ' në një figurë F , në të cilën pika X ' shkon në pikën X , quhet shndërrim i anasjelltë i të dhënës . Për çdo lëvizje φ është e mundur të përcaktohet lëvizja e kundërt, e cila shënohet φ -1 .

Kështu, një transformim i kundërt me një lëvizje është gjithashtu një lëvizje.

Është e qartë se transformimi φ -1 plotëson barazitë: f◦f-1 = f-1◦f = ε , ku ε është shfaqja e njëjtë.

3. Asociativiteti i kompozimeve: Le të jenë φ 1 , φ 2 , φ 3 lëvizje arbitrare. Atëherë φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Fakti që përbërja e lëvizjeve ka vetinë e asociativitetit na lejon të përcaktojmë shkallën φ Me tregues natyror n .

Le të vendosim φ 1= φ dhe φ n +1= φ n◦ φ , nëse n≥ 1 . Kështu lëvizja φ n të marra nga n -zbatimi i shumëfishtë sekuencial i lëvizjes φ .

4. Ruajtja e drejtesise: Pikat e shtrira ne nje vije te drejte, kur levizin, kalojne ne pika te shtrira ne nje vije te drejte dhe ruhet rendi i pozicionit te tyre relativ.

Kjo do të thotë se nëse pikat A ,B ,C shtrirë në një vijë të drejtë (pika të tilla quhen kolineare), shkoni te pikat A 1 ,B1 ,C1 , atëherë edhe këto pika shtrihen në vijë; nëse pika B shtrihet midis pikave A dhe C , pastaj pika B1 shtrihet midis pikave A 1 dhe C1 .

Doc. Lëreni pikën B drejt AC shtrihet midis pikave A dhe C . Le të vërtetojmë se pikat A 1 ,B1 ,C1 shtrihuni në të njëjtën linjë.

Nëse pikat A 1 ,B1 ,C1 mos shtrihuni në një vijë të drejtë, atëherë ato janë kulmet e ndonjë trekëndëshi A 1 B 1 C 1 . Kjo është arsyeja pse A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Nga përkufizimi i lëvizjes, rrjedh se AC <AB +para Krishtit .

Megjithatë, nga vetia e matjes së segmenteve AC =AB +para Krishtit .

Kemi ardhur në një kontradiktë. Pra, pika B1 shtrihet midis pikave A 1 dhe C1 .

Le të themi pikën A 1 shtrihet midis pikave B1 , dhe C1 . Pastaj A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , dhe kështu AB +AC =para Krishtit . Por kjo është në kundërshtim me barazinë. AB +para Krishtit =AC .

Kështu, pikë A 1 nuk shtrihet midis pikave B1 , dhe C1 .

Mund të vërtetohet në mënyrë të ngjashme se pika C1 nuk mund të qëndrojë midis pikave A 1 dhe B1 . Sepse nga tre pikë A 1 ,B1 ,C1 njëri shtrihet mes dy të tjerëve, atëherë kjo pikë mund të jetë vetëm B1 . Teorema vërtetohet plotësisht.

Pasoja. Kur lëvizni, një vijë e drejtë vihet në hartë në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze, një segment në një segment dhe një trekëndësh në një trekëndësh të barabartë.

Nëse me X shënojmë bashkësinë e pikave të rrafshit, dhe me φ(X) imazhin e bashkësisë X nën lëvizjen e φ, d.m.th. bashkësia e të gjitha pikave të formës φ(x), ku x є X, atëherë mund të japim një formulim më të saktë të kësaj vetie:

Le të jetë φ një lëvizje, A, B, C - tre të ndryshme pikat kolineare.

Atëherë pikat φ(A), φ(B), φ(C) janë gjithashtu kolineare.

Nëse l është një vijë, atëherë φ(l) është gjithashtu një vijë.

Nëse bashkësia X është rreze (segment, gjysmërrafsh), atëherë bashkësia φ(X) është gjithashtu rreze (segment, gjysmë rrafsh).

5. Kur lëvizni, këndet midis trarëve ruhen.

Doc. Le AB dhe AC - dy rreze që dalin nga një pikë A duke mos u shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Gjatë lëvizjes, këto rreze shndërrohen në disa gjysmë vija (rreze) A 1 B 1 dhe A 1 C 1 . Sepse lëvizja ruan distancat, pastaj trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabarta sipas kriterit të tretë për barazinë e trekëndëshave (nëse tre brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht të barabarta me tri brinjët e një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë të barabartë) Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e këndeve BAC dhe B 1 A 1 C 1 , që duhej vërtetuar.

6. Çdo lëvizje ruan bashkëdrejtimin e rrezeve dhe të njëjtin orientim të flamujve.

Rrezet l A dhe l B thirrur bashkëdrejtues(i orientuar në mënyrë të ngjashme, emërtimi: l A l B ) nëse njëri prej tyre përmbahet në tjetrin, ose nëse kombinohen nga një transferim paralel. FlamuriF = (π l , l o)është bashkimi i gjysmërrafshit π l dhe rreze ja.

Pika O - fillimi i flamurit, tra ja duke filluar në pikën O - shtiza e flamurit π l - gjysmë rrafsh me kufi l .

Doc. Le φ - lëvizje vullnetare l A l B -rrezet kodrejtuese me origjine ne pika POR dhe AT përkatësisht. Le të prezantojmë shënimin: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (POR ), l B1= φ (l B ),NË 1 = φ (POR ).Nëse rrezet l A dhe l B shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë, atëherë, për shkak të bashkëdrejtueshmërisë, njëri prej tyre gjendet në tjetrin. Duke marrë parasysh atë l A  l B , marrim φ (l A )  φ (l B ), d.m.th. l A1 l B1 (simboli  tregon përfshirjen ose barazinë e një nëngrupi elementesh në një grup elementesh). l A, l B shtrihuni në vija të ndryshme, pastaj le n = (AB Atëherë ekziston një gjysmëplan i tillë n , çfarë l A, l B  n . Nga këtu φ (l A ),φ (l B ) φ (n ). Sepse φ (n ) është gjysmë rrafsh dhe kufiri i tij përmban pika A 1 dhe NË 1 , ne përsëri e kuptojmë atë l A, l B bashkëdrejtuar.

Le të zbatojmë lëvizjen φ ndaj flamujve të orientuar në mënyrë identike F= (π l , l A ), G= (πm ,m B Shqyrtoni rastin kur pikat A dhe B ndeshje. Nëse drejt l dhe m janë të ndryshëm, atëherë i njëjti orientim i flamujve do të thotë se ose (1) l A πm , m A  π'l , ose (2) l A π'm ,m A  π l . Pa humbje të përgjithshme, mund të supozojmë se kushti (1) është i plotësuar. Pastaj φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). Kjo nënkupton të njëjtin orientim të flamujve φ (F ) dhe φ (G ).Nëse e drejtpërdrejtë l ,m ndeshje, pastaj ose F=G ose F = G'. Nga kjo rrjedh se flamujt φ (F ) dhe φ (G ) janë të orientuara njësoj.

Le tani pikat A dhe B të ndryshme. Shënoni me n vijë e drejtë ( AB ). Është e qartë se ka rreze kodrejtuese n A dhe nB dhe gjysmë aeroplan n të tillë që flamuri F 1 = (πn, n A ) është bashkëdrejtuar me F , dhe flamurin G 1 = (π n , n B , ) është bashkëdrejtuar me G. Do të thotë φ (F ) dhe φ (G ) janë të orientuara njësoj.Teorema vërtetohet.

Shembuj të lëvizjes:

1) përkthimi paralel - një transformim i tillë i një figure në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtin drejtim me të njëjtën distancë.

2) simetria në lidhje me një vijë të drejtë (simetri boshtore ose pasqyre). transformimi σ shifrat F në një figurë F', ku secila nga pikat e saj X shkon në pikën X', e cila është simetrike në lidhje me vijën e dhënë l, quhet transformimi i simetrisë në lidhje me drejtëzën l. Në të njëjtën kohë, shifrat F dhe F' quhet simetrik në lidhje me vijën l.

3) rrotullojeni pikën. Duke e kthyer avionin ρ rreth kësaj pike O quhet një lëvizje e tillë në të cilën çdo rreze që del nga kjo pikë rrotullohet në të njëjtin kënd α në të njëjtin drejtim

"Hetimi i lëvizjeve të avionit dhe disa nga vetitë e tyre". faqe 21 nga 21

Hetimi i lëvizjeve të avionit

dhe disa nga pronat e tyre

përmbajtja

Nga historia e zhvillimit të teorisë së lëvizjeve.

Përkufizimi dhe vetitë e lëvizjeve.

Kongruenca e figurave.

Llojet e lëvizjeve.

4.1. Transferimi paralel.

4.2. Kthehuni.

4.3. Simetria në lidhje me një vijë të drejtë.

4.4. Simetri rrëshqitëse.

5. Studimi i vetive të veçanta të simetrisë boshtore.

6. Hetimi i mundësisë së ekzistimit të llojeve të tjera të lëvizjeve.

7. Teorema e lëvizshmërisë. Dy lloje lëvizjesh.

8. Klasifikimi i lëvizjeve. Teorema e Chall-it.

Lëvizjet si një grup shndërrimesh gjeometrike.

Zbatimi i lëvizjeve në zgjidhjen e problemeve.

Letërsia.

Historia e zhvillimit të teorisë së lëvizjeve.

I pari që filloi të provojë disa propozime gjeometrike konsiderohet të jetë matematikani i lashtë grek Tales i Miletit(625-547 p.e.s.). Ishte falë Thales që gjeometria filloi të shndërrohej nga një grup rregullash praktike në një shkencë të vërtetë. Përpara Thalesit, provat thjesht nuk ekzistonin!

Si i bëri Thales provat e tij? Për këtë ai përdorte lëvizje.

Trafiku - ky është një transformim i figurave, në të cilat distancat midis pikave ruhen. Nëse dy figura kombinohen saktësisht me njëra-tjetrën me anë të lëvizjes, atëherë këto shifra janë të njëjta, të barabarta.

Ishte në këtë mënyrë që Thales vërtetoi një numër teoremash të para të gjeometrisë. Nëse rrafshi rrotullohet si një tërësi e ngurtë rreth një pike O 180 o, tra OA do të shkojë në vazhdimin e saj OA ’ . Me të tilla duke u kthyer (e quajtur edhe simetria qendrore të përqendruar O ) çdo pikë POR lëviz në një pikë POR ’ , çfarë O është mesi i segmentit AA ’ (Fig. 1).

Fig.1 Fig.2

Le O - kulmi i përbashkët i qosheve vertikale AOB dhe POR ’ OV ’ . Por atëherë është e qartë se kur kthehemi 180°, anët e njërit prej dy këndeve vertikale thjesht do të kalojnë në anët e tjetrit, d.m.th. këto dy qoshe janë të rreshtuara. Kjo do të thotë se këndet vertikale janë të barabarta (Fig. 2).

Duke vërtetuar barazinë e këndeve në bazën e një trekëndëshi dykëndësh, Thales përdori simetria boshtore : ai kombinoi dy gjysmat e një trekëndëshi dykëndësh duke përkulur vizatimin përgjatë përgjysmuesit të këndit në majë (Fig. 3). Në të njëjtën mënyrë, Thales vërtetoi se diametri e përgjysmon rrethin.

Fig.3 Fig.4

Thales i aplikuar dhe një lëvizje tjetër - transferim paralel , në të cilën të gjitha pikat e figurës zhvendosen në një drejtim të caktuar me të njëjtën distancë. Me ndihmën e tij, ai vërtetoi teoremën që tani mban emrin e tij:

nëse segmente të barabarta janë lënë mënjanë në njërën anë të këndit dhe vija paralele vizatohen nëpër skajet e këtyre segmenteve derisa të kryqëzohen me anën e dytë të këndit, atëherë segmente të barabarta do të fitohen edhe në anën tjetër të këndit.(Fig. 4).

Në kohët e lashta, ideja e lëvizjes përdorej edhe nga të famshmit Euklidi, autori i "Fillimet" - një libër që ka mbijetuar më shumë se dy mijëvjeçarë. Euklidi ishte një bashkëkohës i Ptolemeut I, i cili sundoi në Egjipt, Siri dhe Maqedoni nga 305-283 para Krishtit.

Lëvizjet ishin të pranishme në mënyrë implicite, për shembull, në arsyetimin e Euklidit kur provonte shenjat e barazisë së trekëndëshave: "Le t'i imponojmë një trekëndësh një tjetri në atë mënyrë". Sipas Euklidit, dy figura quhen të barabarta nëse mund të "kombinohen" nga të gjitha pikat e tyre, d.m.th. duke lëvizur një figurë si një tërësi solide, mund ta mbivendosësh me saktësi mbi një figurë të dytë. Për Euklidin, lëvizja nuk ishte ende një koncept matematikor. Sistemi i aksiomave të parashtruar për herë të parë prej tij në "Parimet" u bë baza e një teorie gjeometrike të quajtur Gjeometria Euklidiane.

Në kohët moderne, zhvillimi i disiplinave matematikore vazhdon. Gjeometria analitike u krijua në shekullin e 11-të. Profesor i Matematikës në Universitetin e Bolonjës Bonaventure Kavalieri(1598-1647) boton esenë "Gjeometria, e shprehur në një mënyrë të re me ndihmën e të vazhdueshmes së pandashme". Sipas Cavalieri, çdo figurë e sheshtë mund të konsiderohet si një grup vijash paralele ose "gjurmë" që lë një vijë kur lëviz paralel me vetveten. Në mënyrë të ngjashme, jepet një ide për trupat: ato formohen gjatë lëvizjes së aeroplanëve.

Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së lëvizjes lidhet me emrin e matematikanit dhe historianit francez të shkencës Michel Chall(1793-1880). Më 1837, ai botoi veprën "Shqyrtimi historik i origjinës dhe zhvillimit të metodave gjeometrike". Në procesin e kërkimit të tij gjeometrik, Schall provon teoremën më të rëndësishme:

çdo lëvizje orientuese ruajtëse e një rrafshi është ose

përkthimi ose rrotullimi paralel,

çdo lëvizje që ndryshon orientimin e një rrafshi është ose boshtore

simetri ose simetri rrëshqitëse.

Vërtetimi i teoremës së Chall është realizuar plotësisht në pikën 8 të këtij abstrakti.

Një pasurim i rëndësishëm që gjeometria i detyrohet shekullit të 19-të është krijimi i teorisë së shndërrimeve gjeometrike, në veçanti, teoria matematikore e lëvizjeve (zhvendosjeve). Në këtë kohë, ekzistonte nevoja për të dhënë një klasifikim të të gjitha sistemeve gjeometrike ekzistuese. Ky problem u zgjidh nga një matematikan gjerman Christian Felix Klein(1849-1925).

Në 1872, duke marrë postin e profesorit në Universitetin e Erlangen, Klein dha një leksion mbi "Një përmbledhje krahasuese e kërkimeve më të reja gjeometrike". Ideja e paraqitur prej tij për të rimenduar të gjithë gjeometrinë në bazë të teorisë së lëvizjeve u quajt "Programi Erlangen".

Sipas Klein, për të ndërtuar një gjeometri të veçantë, duhet të specifikoni një grup elementësh dhe një grup transformimesh. Detyra e gjeometrisë është të studiojë ato marrëdhënie midis elementeve që mbeten të pandryshueshme në të gjitha transformimet e një grupi të caktuar. Për shembull, gjeometria e Euklidit studion ato veti të figurave që mbeten të pandryshuara gjatë lëvizjes. Me fjalë të tjera, nëse një figurë fitohet nga një tjetër me lëvizje (figura të tilla quhen kongruente), atëherë këto figura kanë të njëjtën vetitë gjeometrike.

Në këtë kuptim, lëvizjet përbëjnë bazën e gjeometrisë, dhe pesë aksiomat e kongruencës veçohen nga një grup i pavarur në sistemin e aksiomave të gjeometrisë moderne. Ky sistem i plotë dhe mjaft rigoroz i aksiomave, duke përmbledhur të gjitha studimet e mëparshme, u propozua nga matematikani gjerman David Gilbert(1862-1943). Sistemi i tij prej njëzet aksiomash, i ndarë në pesë grupe, u botua për herë të parë në 1899 në libër "Bazat e gjeometrisë".

Në vitin 1909 një matematikan gjerman Friedrich Schur(1856-1932), duke ndjekur idetë e Thales dhe Klein, zhvilloi një sistem tjetër të aksiomave të gjeometrisë - bazuar në marrjen në konsideratë të lëvizjeve. Në sistemin e tij, në veçanti, në vend të grupit Hilbert të aksiomave të kongruencës, një grup prej tre aksiomat e lëvizjes.

Llojet dhe disa veti të rëndësishme të lëvizjeve janë diskutuar në detaje në këtë ese, por ato mund të shprehen shkurtimisht. në mënyrën e mëposhtme: lëvizjet formojnë një grup që përcakton dhe përcakton gjeometrinë Euklidiane.

Përkufizimi dhe vetitë e lëvizjeve.

Duke zhvendosur çdo pikë të kësaj figure në një farë mënyre, fitohet një figurë e re. Thuhet se është marrë kjo shifër transformimi nga ky. Shndërrimi i një figure në një tjetër quhet lëvizje nëse ruan largësitë ndërmjet pikave, d.m.th. përkthen çdo dy pika X dhe Y një formë për pikë X ’ dhe Y ’ një figurë tjetër në mënyrë që XY = X ’Y ’.

Përkufizimi. Transformimi i formës që ruan distancën

ndërmjet pikave quhet lëvizja e kësaj figure.

! Koment: Koncepti i lëvizjes në gjeometri është i lidhur me idenë e zakonshme të zhvendosjes. Por nëse, duke folur për zhvendosjen, imagjinojmë një proces të vazhdueshëm, atëherë në gjeometri vetëm pozicionet fillestare dhe përfundimtare (imazhi) të figurës do të kenë rëndësi për ne. Kjo qasje gjeometrike ndryshon nga ajo fizike.

Kur lëvizni, pika të ndryshme korrespondojnë me imazhe të ndryshme dhe çdo pikë X një figurë vihet në korrespondencë me të vetmen pika X ’ një figurë tjetër. Ky lloj transformimi quhet një-me-një ose bijektiv.

Përsa i përket lëvizjeve, në vend të termit "barazi" e figurave (drejtëza, segmente, plane, etj.), përdoret termi. "kongruencë" dhe përdoret simboli  . Simboli є përdoret për të treguar përkatësinë. Me këtë në mendje, ne mund të japim një përkufizim më të saktë të lëvizjes:

Lëvizja është një transformim bijektiv φ i rrafshit π, nën të cilin për ndonjë

pika të ndryshme X, Y є π relacionin XY  φ (X ) φ (Y ).

Rezultati i ekzekutimit të njëpasnjëshëm të dy lëvizjeve quhet përbërjen. Nëse lëvizja bëhet së pari φ , e ndjekur nga lëvizja ψ , atëherë përbërja e këtyre lëvizjeve shënohet me ψ ◦ φ .

Shembulli më i thjeshtë i lëvizjes është shfaqja e identitetit (është e zakonshme të tregohet - ε ), në të cilën çdo pikë X , që i përket rrafshit, krahasohet vetë kjo pikë, d.m.th. ε (X ) = X .

Le të shqyrtojmë disa veti të rëndësishme të lëvizjeve.

C prone 1.

Lema 2. 1. Përbërjaφ ◦ ψ dy lëvizjeψ , φ është një lëvizje.

Dëshmi.

Lëreni figurën F përkthyer nga lëvizja ψ në një figurë F ', dhe figura F ’ përkthehet me lëvizje φ në një figurë F ''. Lëreni pikën X shifrat F shkon në pikën X ’ figurat F ’ , dhe gjatë lëvizjes së dytë, pika X ’ figurat F ' shkon në pikën X '' shifrat F ''. Pastaj transformimi i figurës F në një figurë F '', në të cilën një pikë arbitrare X shifrat F shkon në pikën X '' shifrat F '', ruan distancën midis pikave, dhe për këtë arsye është gjithashtu një lëvizje.

Vini re se regjistrimi i një kompozimi fillon gjithmonë nga lëvizja e fundit, sepse rezultati i përbërjes është imazhi përfundimtar - është vendosur në përputhje me origjinalin:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C prone 2.

Lema 2.2 . Nese njeφ – lëvizje, pastaj transformimφ -1 është gjithashtu një lëvizje.

Dëshmi.

Lëreni transformimin e formës F në një figurë F ’ përkthen pikat e ndryshme të figurës F në pika të ndryshme të figurës F '. Le një pikë arbitrare X shifrat F nën këtë transformim shkon në një pikë X ’ figurat F ’.

Transformimi i formës F ' në një figurë F , në të cilën pika X ' shkon në pikën X , quhet transformimi i anasjelltë me atë të dhënë. Për çdo lëvizje φ është e mundur të përcaktohet lëvizja e kundërt, e cila shënohet φ -1 .

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme me vërtetimin e vetive 1, mund të verifikojmë se një transformim i kundërt ndaj një lëvizjeje është gjithashtu një lëvizje.

Është e qartë se transformimi φ -1 plotëson barazitë:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , ku ε është shfaqja e njëjtë.

Prona 3 (asociativiteti i kompozimeve).

Lema 2.3. Le të φ 1 , φ 2 , φ 3 - lëvizjet vullnetare. Pastaj φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Fakti që përbërja e lëvizjeve ka vetinë e asociativitetit na lejon të përcaktojmë shkallën φ me një tregues natyror n .

Le të vendosim φ 1 = φ dhe φ n+1 = φ n ◦ φ , nëse n ≥ 1 . Kështu lëvizja φ n të marra nga n -zbatimi i shumëfishtë sekuencial i lëvizjes φ .

C prone 4 (duke ruajtur drejtësinë).

Teorema 2. 1. Pikat që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, kur lëvizin, kalojnë në pika,

Trafiku trupat nën ndikimin e gravitetit

Kursi >> Fizikë

Lloji i trajektoreve ato lëvizjet konfirmon rritjen e ... aero- dhe hidrodinamika është studim lëvizjet të ngurta në gaz dhe ... fërkim) është prone lëngje të vërteta rezistoj... fuçi dhe aeroplan krahët e horizontit të përbërë disa qoshe,...

Studimi Shpërndarjet e përçueshmërisë elektrike në valët e mbingjeshura të shpërthimit në eksplozivët e kondensuar

Punë diplome >> Kimi

... kërkimore elektrofizike Vetitë... rezultatet dhe ato analiza 2.1 ... produktet e shpërthimit në aeroplan Chapman-Jouguet ... ju lejon të numëroni trafiku elektron gjysmëklasik. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O disa gabime sistematike në matjen e përçueshmërisë ...

Vetitë materiale inxhinierike (2)

Punë praktike >> Industri, prodhim

SEKSIONI I Çeliqet dhe lidhjet strukturore Çeliqet strukturore janë ato të destinuara për prodhimin e pjesëve të makinerive (çelikat e ndërtimit të makinave), strukturat dhe strukturat (çelikat e ndërtimit). Çeliqet strukturore me karbon Strukturore me karbon...

Leksioni 10 . Vetitë e lëvizjes pamje e përgjithshme. Teorema bazë e lëvizjeve. Barazia forma gjeometrike.

Letërsia. § 41.

Teorema 1. Lëvizjet në rrafsh formojnë një grup transformimesh.

Dëshmi.Mjafton që ne të verifikojmë se prodhimi i çdo dy lëvizjesh është një lëvizje dhe transformim i anasjelltë te lëvizja paraqet edhe lëvizjen e rrafshit. Konsideroni dy lëvizje arbitrare g dhe h . Pastaj për çdo dy pikë A dhe B plani, janë të vlefshme relacionet e mëposhtme: i. Meqenëse dhe, produkti ruan distancën midis pikave, d.m.th. është një lëvizje.

Le të f - lëvizje arbitrare e avionit. Konsideroni dy pika A dhe B dhe shënoni me A" dhe B" imazhet e tyre nën transformim të anasjelltë: Pastaj. Sepse f lëvizje plani, atëherë: . Kjo është arsyeja pse. Shndërrimi i kundërt në lëvizje është gjithashtu lëvizje. Teorema është vërtetuar.

Përkthimi dhe rrotullimi paralel janë lloje të veçanta të lëvizjes. Mund të vërtetohet segrupet e të gjitha përkthimeve paralele, si dhe grupi i të gjitha rrotullimeve me një qendër fikse, formojnë nëngrupe në grupin e lëvizjeve të rrafshit.. Nuk është e vështirë të tregosh se grupi i të gjitha lëvizjeve që përkthejnë një figurë F në vetvete, formon një nëngrup në grupin e lëvizjeve. Nëse një lëvizje e tillë është e ndryshme nga ajo identike, atëherë quhetsimetria e figurës F, dhe nëngrupi i specifikuar -grupi i simetrisë së tij. Provoni vetë këto deklarata.

Le të zbulojmë se cilat grupe shërbejnë si imazhe të vijave, segmenteve, rrezeve, këndeve dhe rrathëve në lëvizje.

Prona 1. Le të jetë f lëvizja e rrafshit, A", B" dhe C" janë imazhet e pikave A, B dhe C gjatë lëvizjes f. Atëherë pikat A", B" dhe C" shtrihen në të njëjtën drejtëz nëse dhe vetëm nëse pika A, B dhe C janë kolineare.

Dëshmi.Siç dihet nga kursi i gjeometrisë shkollore, tre pikë A, B dhe C shtrihuni në një vijë të drejtë nëse dhe vetëm nëse për njërën prej tyre, për shembull B , plotësohet kushti: . Në këtë rast, pika B shtrihet midis A dhe C (Fig. 130, a). Le të pretendojmë se, A, B dhe C janë kolineare dhe B shtrihet midis A dhe C . Meqenëse distancat midis pikave ruhen gjatë lëvizjes, atëherë:

". Prandaj pikat A", B" dhe C" janë kolineare.

Le të lëmë pikat A, B dhe C mos u shtri në të njëjtën linjë. Pastaj ato janë të vendosura në kulmet e trekëndëshit (Fig. 130, b). Prandaj, distancat ndërmjet tyre plotësojnë pabarazitë:. Për faktin se f ruan distancat ndërmjet pikave, atëherë: . Prandaj pikat A", B" dhe C" shtrihen edhe në kulmet e trekëndëshit. Kështu, nëse pikat A", B" dhe C" janë kolineare, atëherë imazhet e tyre të anasjellta nuk mund të qëndrojnë në kulmet e trekëndëshit. Prona eshte e vertetuar.

Gjatë lëvizjes, pikat kolineare shndërrohen në ato kolineare, dhe pikat që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, në pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë.

Prona 2. Kur lëvizni, imazhi i një vije të drejtë është një vijë e drejtë.

Dëshmi . Le të jetë l një vijë e drejtë, A dhe B dy pikat e tij arbitrare, disa lëvizje, . Shënoni me l" drejt A"B" . Sipas vetive 1, pikat që i përkasin vijës AB , shndërrohen në pika që shtrihen në një vijë A"B" . Kjo është arsyeja pse. Le të tregojmë se paraimazhi i çdo pike C" rreshti l" shtrihet në rreshtin l . Kjo do ta vërtetojë atë. Le. Kur vërtetuam teoremën 1, kontrolluam që një transformim është gjithashtu një lëvizje. Që, një pikë A", B" dhe C" atëherë janë kolineare A, B dhe C shtrihu gjithashtu në të njëjtën linjë. Prona eshte e vertetuar.

Për të gjetur imazhet e segmenteve, rrezeve dhe këndeve në lëvizje, duhet të përdorim vetitë lidhje e thjeshtë pikat e një vije të drejtë. Kujtoni këtë koncept.Le të jenë A, B dhe C pika të dallueshme në të njëjtën drejtëz. Numri quhet raporti i tyre i thjeshtë ( = (AB,C)) nëse. Në këtë rast, pikat A dhe B quhen bazë, një pikë Me ndarje. Pika C shtrihet në intervalin nëse dhe vetëm nëse Ah kur. Pika C shtrihet në rreze të vijës nëse dhe vetëm nëse AB duke filluar në pikën B që nuk përmban A , kur. Dhe në fund pika NGA shtrihet në një vijë të drejtë AB duke filluar në pikën A , që nuk përmban një pikë AT , nëse dhe vetëm nëse (Fig. 131).

Prona 3. Gjatë lëvizjes, ruhet një lidhje e thjeshtë pikash.

Dëshmi.Le të jetë pika C e segmentit AB . Pastaj. Meqenëse, në bazë të përkufizimit të tij, një raport i thjeshtë jepet nga raporti i vektorëve dhe, më pas në këtë rastështë e barabartë me raportin e gjatësive të segmenteve: . Konsideroni një lëvizje arbitrare f , e shënuar me Imazhet A", B" dhe C" të pikave A, B dhe C gjatë kësaj lëvizjeje. Pika NGA i përket segmentit AB , pra shtrihet midis këtyre pikave, pra. Meqenëse lëvizja ruan distancat midis pikave, atëherë. Nga kjo rrjedh se pika C shtrihet midis A  dhe B  , dhe

Supozoni tani se pika B shtrihet midis A dhe C (shih fig. 131). Pastaj, dhe, siç vijon nga përkufizimi i një relacioni të thjeshtë, . Për faktin se f - trafiku, . Prandaj, pika B" shtrihet midis A" dhe C" dhe Për rastin në shqyrtim provohet pasuria. Vërtetimi kryhet në mënyrë të ngjashme për pikat A, B dhe C , me kusht që pika A shtrihet midis C dhe B . Bëje provën vetë.

Prona 4. Gjatë lëvizjes, segmenti shndërrohet në një segment të barabartë.

Dëshmi.Konsideroni një segment arbitrar. Le f disa lëvizje. Pika NGA i përket segmentit nëse dhe vetëm nëse këto pika janë kolineare dhe. Shënoni me C" imazhi i pikës C kur lëviz f . Nga vetitë 1 dhe 3 rezulton se pikat dhe janë kolineare dhe. Prandaj, pika NGA" i përket segmentit. Në këtë mënyrë, . Është e lehtë të shihet se imazhi i kundërt i çdo pike C" i përket edhe segmenti. Në të vërtetë, transformimi i anasjelltë është gjithashtu një lëvizje, prandaj rrjedh se shtrihet në segment. Kjo është arsyeja pse. Meqenëse distancat midis pikave ruhen gjatë lëvizjes, segmentet dhe janë të barabarta me njëri-tjetrin. Prona eshte e vertetuar.

Prona 5. Gjatë lëvizjes, rrezja shndërrohet në një rreze.

Dëshmi.Vërtetimi i kësaj prone është i ngjashëm me atë të mëparshëm. Konsideroni një rreze l duke filluar në pikën A . Shënoni me Në një pikë të rrezes l përveç A. Le të f - lëvizje arbitrare, . Le të kalojë një rreze që fillon në një pikë. Nese nje NGA disa pika të rrezes l , atëherë ai ose shtrihet në interval ose në shtrirjen e tij. Nëse, atëherë, në përputhje me vetinë 4, imazhi i tij qëndron në interval. Le NGA i takon vazhdimit të segmentit. Pastaj. Meqenëse gjatë lëvizjes ruhet një raport i thjeshtë pikash, atëherë. Nga kjo rezulton se pika C" i përket shtrirjes së segmentit të rrezeve. Në këtë mënyrë, . Për të vërtetuar pohimin, mbetet të verifikohet se paraimazhi i çdo pike C" rreze l" i përket traut l . Drejtojeni vetë arsyetimin, përfitoni nga fakti se transformimi i anasjelltë është gjithashtu një lëvizje.

Siç dihet nga kursi i gjeometrisë së shkollës, një kënd nënkupton dy rreze që kanë fillimi i përbashkët.

Prona 6. Kur lëvizni, këndi shndërrohet në një kënd të barabartë.

Dëshmi.Merrni parasysh rrezet m dhe n , duke pasur një origjinë të përbashkët në pikë A. Kur lëviz f ato kthehen në trarë m" dhe n" duke filluar në një pikë. Prandaj, këndi shndërrohet në një kënd. Le të zgjedhim në trarët m dhe n pika B dhe C : . Shënoni me B" dhe C" imazhet e tyre në lëvizje f . Pastaj (Fig. 131). Sepse është një trekëndësh ABC e barabartë me trekëndëshin A "B" C. Prandaj  ABC \u003d  A "B" C" . Prona eshte e vertetuar.

Le të zbulojmë se çfarë përfaqëson imazhi i një rrethi kur lëviz.

Prona 7 . Le të jepet një rreth me rreze r me qendër në një pikë O. Pastaj, kur lëviz, ai shndërrohet në një rreth me rreze të njëjtë, me qendër në një pikë që përkon me imazhin e qendrës O.

Dëshmi. Le të f lëvizje arbitrare, imazhi i qendrës O me këtë lëvizje të rrethit , rrezja e së cilës është . Shënoni me "Rrethi i përqendruar në një pikë O" me rreze r. Merrni një pikë C që i përket  . Le. Që atëherë pika C" i përket rrethit ". Mbrapa, le C" - pika arbitrare e rrethit ", paraimazhi i tij nën lëvizje. Meqenëse transformimi i anasjelltë është lëvizje, atëherë, d.m.th., pika NGA i përket rrethit . Kështu provohet pasuria “.

Ne prezantojmë nocionin e një kornize që na nevojitet.

Përkufizimi 2 . Me një kornizë rrafsh afine nënkuptojmë një treshe të renditur pikash jo-kolineare.

Në vijim, korniza afinale R do të shënohet si më poshtë, ku dhe janë përkatësisht pikat e saj të para, të dyta dhe të treta. Shpesh fjala "afine" do të hiqet, që do të thotë një kornizë afine nga një kornizë. Nëse pikat e kornizës plotësojnë kushtin: , dhe këndi është i drejtë, atëherë korniza do të thirretortonormale.

Lidhni me çdo kornizë një sistem të koordinatave afinale. Nëse na jepet një pikë referimi, atëherë e vendosim në përputhje me sistemin: , ku (Fig. 133, a). Dhe anasjelltas, secili sistemi afin koordinatat, ne vendosim një korrespondencë në një kornizë që plotëson kushtet e specifikuara. Natyrisht, një kornizë ortonormale korrespondon me një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor (Fig. 133, b), dhe një kornizë ortonormale korrespondon me një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor. Më vonë, nënkoordinatat e pikës në lidhje me pikën referuesekoordinatat e tij do t'i kuptojmë në sistemin koordinativ përkatës.

Është e lehtë të shihet se një veçori tjetër e lëvizjes është e vlefshme.

Prona 7 . Gjatë lëvizjes, korniza shndërrohet në një kornizë, dhe korniza ortonormale në një kornizë ortonormale.

Deklarata rrjedh drejtpërdrejt nga pronat 4 dhe 6 të lëvizjes.

Vetia themelore e mëposhtme është e vërtetë, nga e cila rezulton se çdo lëvizje përcaktohet plotësisht nga dy korniza ortonormale.

Teorema 2 (vetia themelore e lëvizjeve).Le të jepen kornizat ortonormale u në plan. Pastaj ka lëvizje e vetme g duke transformuar kornizën R në R": .

Dëshmi.Le të tregojmë se ekziston një lëvizje e tillë. Konsideroni dy drejtkëndëshe Sistemet karteziane koordinatat që u përgjigjen kornizave ortonormale të dhëna. Sistemi i parë formohet nga një pikë dhe vektorë: dhe i dyti. Siç ishte zakon në pjesën e parë të lëndës së gjeometrisë, ne do të furnizojmë koordinatat e pikave në këto sisteme me indekset 1 dhe 2: . Lidhni secilën pikë M plane me koordinata x dhe y në lidhje me sistemin e parë M" me të njëjtat koordinata x dhe y në lidhje me sistemin e dytë të koordinatave. Është e qartë se çfarë është konformiteti g është një hartë një-për-një e aeroplanit në vetvete. Le të tregojmë se g është lëvizja e pikave të rrafshit. Merrni parasysh pikat arbitrare M dhe N , koordinatat e të cilit në sistemin e parë janë: , Duke qenë se sistemi i koordinatave është kartezian drejtkëndor, distanca ndërmjet këtyre pikave llogaritet me formulën: Nëse Imazhet M" dhe N" të M dhe N kur konvertohet g , atëherë këto pika kanë të njëjtat koordinata në lidhje me sistemin e dytë: , . Sistemi i dytë i koordinatave është gjithashtu kartezian drejtkëndor. Prandaj: Kështu, g lëvizja e pikave të aeroplanit. Meqenëse ky transformim ruan koordinatat e pikave, atëherë ( i =1,2,3). Ekzistenca e një lëvizjeje që përkthen kornizën R në R" vërtetoi.

Le të vërtetojmë veçantinë e tij. Supozoni se ka dy lëvizje f dhe g , duke përkthyer standardin R në R ": , e tillë që për një moment M aeroplanët. Sepse f lëvizjen e aeroplanit, atëherë. Ne anen tjeter, g edhe lëvizje, pra: . Prandaj, pika është e barabartë nga pikat dhe, d.m.th. i takon përgjysmues pingul nga

prerje (Fig. 134). Është treguar në mënyrë të ngjashme se dhe gjithashtu shtrihen në këtë pingul. Kemi arritur në një kontradiktë, pasi nga përkufizimi 2 rezulton se pikat dhe korniza R" nuk mund t'i përkasë të njëjtës linjë. Supozimi i ekzistencës së dy lëvizjeve të ndryshme që përkthejnë kornizën R në R" , është e rreme. Teorema është vërtetuar.

Pasoja. Nëse f është një lëvizje e rrafshit: përkthimi i një kornize ortonormale R në një kornizë ortonormale R, atëherë çdo pikë M e planit me koordinata x dhe y në lidhje me kornizën R korrespondon me një pikë M "= f (M) me të njëjtat koordinata x dhe y në lidhje me kornizën R".

Në të vërtetë, në vërtetimin e teoremës 1 ne kemi ndërtuar një lëvizje g që plotëson vetinë e specifikuar. Meqenëse ka një lëvizje të vetme që e çon kornizën R në R”, atëherë lëvizjet f dhe g ndeshje. Le të prezantojmë përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 3. Nën flamurin e aeroplanit nënkuptojmë një pikë, një rreze me origjinë në këtë pikë dhe një gjysmërrafsh, kufiri i së cilës përmban këtë rreze.

Flamuri do të shënohet si më poshtë: , ku Pika M, l një rreze dhe një gjysmë rrafsh i flamurit. Çdo flamur korrespondon në mënyrë unike me një kornizë ortonore, ku M - pika e flamurit, shtrihet në rrezen e tij, a i përket gjysmërrafshit të flamurit (Fig. 135). Është e qartë se çdo flamur korrespondon me një kornizë ortonormale dhe anasjelltas, sipas rregullit të mësipërm, çdo kornizë e tillë korrespondon në mënyrë unike me një flamur.

Teorema 3. Le dy flamuj dhe jepen. Pastaj ka një lëvizje unike g që e çon flamurin F në flamurin F": , .

Dëshmi.Konsideroni kornizat ortonormale R&R" , që korrespondon me flamujt F dhe F". Koordinatat x dhe y të pikës M, pikat e rrezes l dhe flamur gjysmë aeroplan F në kornizën R respektivisht plotësojnë kushtet: , dhe. Të njëjtat kushte u nënshtrohen koordinatave të pikës M ", pikat e rrezes l" dhe gjysmë rrafsh "të flamurit F" në kornizën R" . Nga teorema 2 dhe rrjedhojë e saj rrjedh se ka një lëvizje unike g duke marrë R në R ", e cila ruan koordinatat e pikave në lidhje me këto standarde. Nga kjo rrjedh se ka një lëvizje unike që përkthen flamurin F në flamurin F" . Teorema është vërtetuar.

Ne prezantojmë përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 4. Ne i quajmë dy figura të rrafshit gjeometrikisht të barabarta (ose thjesht të barabarta) nëse ka një lëvizje të rrafshit që e shndërron figurën e parë në të dytën.

Është e qartë se shifra të barabarta kanë veti që nuk ndryshojnë (janë të pandryshueshme) me shndërrimet nga grupi i lëvizjeve. Përkufizimi i paraqitur është plotësisht në përputhje me konceptin e barazisë së figurave gjeometrike, të paraqitur në shumicën e kurse shkollore gjeometria.

Komentoni. Shpesh quhen figura të barabarta gjeometrike kongruente

AT gjeometria elementare me rëndësi themelore është koncepti i barazisë së trekëndëshave, shenjat e të cilit përdoren në vërtetim një numër i madh teorema planimetrike dhe stereometrike. Duke zbatuar vetinë bazë të lëvizjeve, do të tregojmë se dy trekëndësha janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse plotësohet kriteri i parë për barazinë e trekëndëshave.

Teorema 4. Dy trekëndësha janë kongruentë nëse dhe vetëm nëse brinjët dhe këndet e tyre përkatëse ndërmjet tyre janë të barabarta.

Dëshmi. Nga përkufizimi i barazisë së figurave gjeometrike rrjedh drejtpërdrejt se dy trekëndësha të barabartë përkthehen në njëri-tjetrin nga një lëvizje e pikave të rrafshit. E njëjta lëvizje përkthen në njëri-tjetrin të gjithë elementët përkatës të trekëndëshave. Prandaj, brinjët dhe këndet përkatëse të trekëndëshave të barabartë janë të barabartë me njëra-tjetrën.

Mbrapa. Le të jenë dy trekëndësha ABC dhe A"B"C" , brinjët dhe këndet e të cilit plotësojnë kushtin: , . Le të vërtetojmë se ekziston një lëvizje e tillë g avioni, në të cilin: . Bashkangjitni në trekëndësh ABC flamuri, në mënyrë që pika e flamurit të përkojë me majën A , rreze l përmbante majën B, një top C i përkiste gjysmë-avionit. Lidhni flamurin në trekëndësh në të njëjtën mënyrë A "B" C "(Fig. 136). Le të themi R dhe R" - korniza ortonomale që korrespondojnë me flamujt F&F" . Pastaj koordinatat e kulmeve të trekëndëshit të parë në lidhje me kornizën R kanë formën: , ku, - kënd i orientuar BAC trekëndëshi ABC . Që nga kushti, dhe, pastaj në kornizë R  kulmet A", B" dhe C" trekëndëshi i dytë ka të njëjtat koordinata. Nga teorema 3 rrjedh se ka një lëvizje g , duke përkthyer standardin R në R" , për të cilat, për të cilat, siç vijon nga përfundimi i Teoremës 2, janë ruajtur koordinatat e pikave. Kjo është arsyeja pse. Teorema është vërtetuar.

Mund të tregohet gjithashtu se për çdo dy shumëkëndësha të barabartë pohimi është i vërtetë:dy shumëkëndësha janë kongruentë nëse dhe vetëm nëse brinjët dhe këndet e tyre përkatëse janë të barabarta.

Lëvizjet ruajnë distancat dhe për këtë arsye ruajnë të gjitha vetitë gjeometrike të figurave, pasi ato përcaktohen nga distancat. Në këtë pikë, ne do të marrim maksimumin vetitë e përgjithshme lëvizjet, duke cituar prova në rastet kur nuk janë të dukshme.

Vetia 1. Tre pika të shtrira në të njëjtën drejtëz, kur lëvizni, shkoni në tre pika që shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, në tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Lëreni lëvizjen t'i përkthejë pikat përkatësisht në pika. Pastaj barazitë qëndrojnë

Nëse pikat A, B, C shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, atëherë njëra prej tyre, për shembull, pika B shtrihet midis dy të tjerave. Në këtë rast dhe nga barazitë (1) del se . Dhe kjo barazi do të thotë se pika B shtrihet midis pikave A dhe C. Pohimi i parë vërtetohet. E dyta rrjedh nga e para dhe kthyeshmëria e lëvizjes (nga kontradikta).

Vetia 2. Një segment shndërrohet në segment me lëvizje.

Lërini skajet e segmentit AB të shoqërohen me lëvizjen f me pikat A dhe B. Merrni çdo pikë X të segmentit AB. Pastaj, si në vërtetimin e vetive 1, mund të vërtetohet se imazhi i saj - një pikë shtrihet në segmentin AB midis pikave A dhe B. Më tej, çdo pikë

Y i segmentit A B është imazhi i një pike Y të segmentit AB. Domethënë, pika Y, e cila largohet nga pika A në distancën A Y. Prandaj, segmenti AB me lëvizje bartet në segmentin AB.

Vetia 3. Kur lëviz, një rreze bëhet rreze, një vijë e drejtë - në një vijë të drejtë.

Provoni vetë këto deklarata. Vetia 4. Trekëndëshi përkthehet në trekëndësh me lëvizje, gjysmërrafsh në gjysmërrafsh, rrafsh në rrafsh, rrafshe paralele në rrafshe paralele.

Trekëndëshi ABC është i mbushur me segmente që lidhin kulmin A me pikat X ana e kundert BC (Fig. 26.1). Lëvizja do t'i caktojë segmentit BC një segment BC dhe pikës A - pika A, jo e shtrirë në drejtëzën BC. Secilit segment AX, kjo lëvizje do t'i caktojë një segment AX, ku pika X shtrihet në BC. Të gjitha këto segmente AX do të mbushin trekëndëshin ABC.

Trekëndëshi hyn në të

Një gjysmë rrafsh mund të përfaqësohet si një bashkim trekëndëshash që zgjerohen pafundësisht, në të cilin njëra anë shtrihet në kufirin e gjysmëplanit

(Fig. 26.2). Prandaj, gjysma e aeroplanit do të kalojë në gjysmëplan kur lëviz.

Në mënyrë të ngjashme, një rrafsh mund të përfaqësohet si një bashkim trekëndëshash që zgjerohen pafundësisht (Fig. 26.3). Prandaj, kur lëviz, një aeroplan vihet në hartë në një aeroplan.

Meqenëse lëvizja ruan distancat, distancat midis figurave nuk ndryshojnë kur lëvizin. Nga kjo rrjedh, në veçanti, se gjatë lëvizjeve aeroplanët paralelë kalojnë në ato paralele.

Vetia 5. Kur lëviz imazhi i një katërkëndëshi është një katërkëndor, imazhi i një gjysmëhapësire është një gjysmëhapësirë, imazhi i një hapësire është e gjithë hapësira.

Tetrahedron ABCD është bashkimi i segmenteve të linjës që lidhin pikën D me të gjitha pikat e mundshme X trekëndëshi ABC(Fig. 26.4). Kur lëvizni, segmentet ndahen në segmente, dhe për këtë arsye tetraedri do të kthehet në një katërkëndor.

Një gjysmë-hapësirë ​​mund të përfaqësohet si një bashkim i tetraedrave në zgjerim, bazat e të cilave shtrihen në rrafshin kufitar të gjysmëhapësirës. Prandaj, kur lëvizni, imazhi i një gjysmë hapësire do të jetë një gjysmë hapësire.

Hapësira mund të mendohet si një bashkim i tetraedrave që zgjerohen pafundësisht. Prandaj, kur lëvizni, hapësira vendoset në të gjithë hapësirën.

Vetia 6. Kur lëvizni, këndet ruhen, d.m.th., çdo kënd vihet në hartë në një kënd të të njëjtit lloj dhe të së njëjtës madhësi. E njëjta gjë vlen edhe për këndet dihedrale.

Kur lëvizni, një gjysmë rrafsh vihet në hartë në një gjysmëplan. Sepse kënd konveksështë kryqëzimi i dy gjysmërrafsheve, dhe një kënd jo konveks dhe një kënd dihedral janë bashkimi i gjysmëplanëve, atëherë kur lëviz këndi konveks kalon në një kënd konveks, dhe ai jokonveks

kënd dhe kënd dyhedral, përkatësisht, në një kënd jokonveks dhe dihedral.

Le të vihen në hartë rrezet a dhe b, që dalin nga pika O, në rrezet a dhe b, që dalin nga pika O. Merrni trekëndëshin OAB me kulme A në rreze a dhe B në rreze b (Fig. 26.5) . Do të shfaqet në trekëndësh i barabartë BAB me kulme A në rreze a dhe B në rreze b. Prandaj, këndet midis rrezeve a, b dhe a, b janë të barabarta. Prandaj, kur lëvizni, madhësitë e këndeve ruhen.

Rrjedhimisht, pinguliteti i vijave të drejta, dhe si rrjedhim i vijës dhe rrafshit, ruhet. Kujtimi i përkufizimeve të këndit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit dhe sasive kënd dihedral, konstatojmë se vlerat e këtyre këndeve janë ruajtur.

Vetia 7. Lëvizjet ruajnë sipërfaqet dhe vëllimet e trupave.

Në të vërtetë, duke qenë se lëvizja ruan pingulësinë, lëvizja e lartësisë (trekëndëshat, tetraedrat, prizmat etj.) përkthehet në lartësi (imazhet e këtyre trekëndëshave, tetraedrave, prizmave, etj.). Në këtë rast, gjatësitë e këtyre lartësive do të ruhen. Prandaj, zonat e trekëndëshave dhe vëllimet e tetraedrave ruhen gjatë lëvizjeve. Kjo do të thotë se si zonat e shumëkëndëshave ashtu edhe vëllimet e poliedrave do të ruhen. Sipërfaqet e sipërfaqeve të lakuara dhe vëllimet e trupave të kufizuar nga sipërfaqe të tilla fitohen duke kaluar në kufi nga sipërfaqet e sipërfaqeve shumëkëndëshe dhe vëllimet e trupave shumëkëndësh. Prandaj, ato ruhen gjatë lëvizjeve.

Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)