Zbërthimi në bazë të i j k. Varësia lineare dhe pavarësia lineare e vektorëve

METODA E SIMPLEKSIT TË MODIFIKUAR Metoda Simplex nuk është më efektive
procedurë kompjuterike, meqë llogarit dhe
ruan informacionin që nuk është i nevojshëm për rrymën
përsëritje dhe mund të mos përdoret fare për
marrjen e vendimeve gjatë përsëritjeve të mëvonshme. Për
koeficientët e ndryshoreve jokryesore në ekuacion
(0), koeficientët e variablave kryesore të prezantuara
në ekuacionet e tjera dhe anët e djathta të ekuacioneve në
Çdo përsëritje përdor vetëm atë përkatës
informacion. Prandaj, nevojitet një procedurë që
mund ta marrë këtë informacion në mënyrë efikase, pa
llogaritjet dhe ruajtja e të gjithë koeficientëve të tjerë
(kjo është metoda e modifikuar simplex).

Ai llogarit dhe ruan vetëm informacionin
të nevojshme për ky moment, dhe të dhëna të rëndësishme
përcjell në një formë më kompakte.
Ai përdor operacionet e matricës, pra
është e nevojshme të përshkruhet problemi duke përdorur matrica.
Shkronjat KAPITALE, të theksuara me gërma të zeza
përfaqësojnë matricat, shkronjat e mëdha,
ato me shkronja të zeza përfaqësojnë
vektorët.
Kursi është sasitë skalare, e theksuar zero
(0) tregon vektorin zero (elementet e tij janë të barabartë
zero, si rreshtat ashtu edhe kolonat), zero (0)
është numër i rregullt 0. Duke përdorur
matricat forma standarde e modelit linear
programimi merr formën:

Maksimizoni Z = c x,
sipas
A x ≤ b dhe x ≥ 0,
ku c është një vektor rreshti
x, b dhe 0 vektorë kolonash

A - matricë
Për formën e shtuar, vektori i kolonës
variablat dummy:
Kufizimet:
I = (m × m matrica e identitetit)
0 = (n + m elemente të vektorit zero)

Gjetja e një zgjidhjeje bazë të mundshme
Qasja e përgjithshme e metodës simplex është për të marrë
sekuenca e përmirësimit të zgjidhjeve të OA deri në
derisa të gjendet ajo optimale
zgjidhje. Një nga karakteristikat kryesore
Metoda e modifikuar Simplex - si
gjen një zgjidhje të re OD pas përcaktimit të saj
kryesore (bazë) dhe jo bazë (jo bazë)
variablat. Duke pasur parasysh këto variabla, rezulton
zgjidhja kryesore – zgjidhja e m ekuacioneve
Në të cilat n variabla jo bazë nga n + m
elementet
janë instaluar e barabartë me zero.

Eliminimi i këtyre n variablave duke i vendosur ato në zero,
fitojmë një sistem ekuacionesh m me m variabla
(variablat kryesore (bazë)):
ku është vektori i variablave bazë:
marrë duke përjashtuar jo-bazë (jo-bazë)
variablat:

Dhe matrica bazë
Rezultati i marrë duke përjashtuar kolonat që korrespondojnë me
koeficientët e variablave jo bazë nga .
(Përveç kësaj, elementët xB dhe kolonat B janë të ndryshme
Mirë). Metoda Simplex prezanton vetëm bazën
variabla të tillë që B të jetë jo i degjeneruar, pra
matrica e anasjelltë B-1 do të ekzistojë gjithmonë.
Për të zgjidhur B x B = b, të dy anët shumëzohen me B-1:
B-1 B x B = B-1 b.

cB është një vektor elementët e të cilit janë koeficientë
funksionet objektive (duke përfshirë zero për dummy
variabla) për elementët përkatës xB.
Funksioni objektiv për këtë zgjidhje bazë është:

Shembull:
- Përsëritja 0
kështu që
kështu që

10.

- Përsëritja 1
kështu që
kështu që

11.

- Përsëritja 2
kështu që
kështu që

12. Forma matrice për grupin aktual të ekuacioneve

Forma matrice për një grup ekuacionesh,
shfaqet në tabelën Simplex për çdo përsëritje
metoda origjinale Simplex. Për sistemin burimor
ekuacionet, forma e matricës është:
Veprimet algjebrike të kryera duke përdorur metodën Simplex (shumëzojeni ekuacionin me një konstante dhe mblidhni
prodhimi i një ekuacioni nga një tjetër) shprehen në
forma matrice, pas shumëzimit të të dyja pjesëve
sistemi origjinal i ekuacioneve në atë përkatës
matricat

13.

14.

Kjo matricë do të ketë të njëjtat elemente si matrica e identitetit
matricës, përveç se çdo produkt
për një veprim të caktuar algjebrik do të duhet
hapësirën e nevojshme për të kryer këtë operacion,
duke përdorur shumëzimin e matricës. Edhe pas episodit
veprime algjebrike mbi disa përsëritje,
ende mund të konkludojmë se kjo matricë
duhet të jetë për të gjithë serinë, duke përdorur atë që dimë
anën e djathtë sistemi i ri ekuacionet. Pas çdo
përsëritjet, xB = B-1b dhe Z = cB B-1b, pra anët e djathta
sistemi i ri i ekuacioneve mori formën

15.

Meqenëse ne performojmë të njëjtin serial
veprime algjebrike me të dyja anët
grup origjinal, për të shumëzuar të drejtën dhe
në anën e majtë, ne përdorim të njëjtën matricë.
Prandaj,
Forma e dëshiruar e matricës së sistemit të ekuacioneve
pas çdo përsëritjeje:

16.

Shembull: forma e matricës e marrë pas përsëritjes 2
për problemin e fabrikës së qelqit duke përdorur B-1 dhe cB:

17.

Duke përdorur sasitë xB = B-1 b dhe Z = cB B-1 b:

18.

Vetëm B-1 duhet të merret për llogaritje
të gjithë numrat e tabelës Simplex nga origjinali
parametrat e detyrës (A, b, cB). Ndonjë nga këta numra
mund të merret individualisht si
Si rregull, kryhet vetëm shumëzimi vektorial
(një rresht për kolonë) në vend të plotë
shumëzimi i matricës. Numrat e kërkuar për
kryerja e iteracioneve të metodës simplex mund të jetë
merrni sipas nevojës pa shpenzuar
llogaritjet e panevojshme për të marrë të gjithë numrat.

19. Pasqyrë e shkurtër e metodës simplex të modifikuar

1. Inicializimi: Si në metodën origjinale simplex.
2. Përsëritja: Hapi 1 Përcaktoni bazën e futur (kryesore)
variablat: Si në metodën origjinale simplex.
Hapi 2 Përcaktoni variablat e bazës dalëse: Si në origjinal
metodë simplex, me përjashtim të numërimit vetëm të atyre të nevojshme për
të këtyre numrave [koeficientët e variablave bazë të futur në
çdo ekuacion përveç barazimit. (0), dhe më pas, për secilën në mënyrë rigoroze
koeficient pozitiv pjesa e djathtë ky ekuacion].
Hapi 3 Përcaktoni një zgjidhje të re OD: Merrni B-1 dhe vendosni xB=B-1b.
3. Analiza e optimizmit: Si në metodën origjinale të Simpleksit, për
përveç numërimit të vetëm numrave të nevojshëm për këtë analizë,
d.m.th., koeficientët e variablave jo bazë (jo bazë) në
Ekuacioni (0).
Në hapin 3 të përsëritjes, B-1 mund të merret çdo herë duke përdorur
standarde program kompjuterik për kthim (përmbysje)
matricat. Meqenëse B (atëherë B-1) ndryshon pak nga një përsëritje në
një tjetër, është më efikase të merret një B-1 i ri (i shënuar B-1 i ri) nga
B-1 në përsëritjen e mëparshme (B-1 e vjetër). (Për zgjidhjen origjinale të OA).

Le të shqyrtojmë një metodë për zgjidhjen e problemit të CPU duke përdorur idetë e metodës simplex. Tipari kryesor i detyrave të CPU-së është dizajni funksion objektiv dhe në variablat që tregojnë devijime nga niveli i dëshiruar i arritjes së qëllimit. Nëse merren parasysh këto veçori, atëherë metoda e zakonshme simplex mund të përdoret për të zgjidhur probleme të tilla. Le ta ilustrojmë këtë duke përdorur shembullin e diskutuar më parë. Algoritmi është thjeshtuar në një farë mase për faktin se zgjidhja bazë fillestare është e dukshme. Roli i variablave bazë për planin fillestar këtu luhet nga devijimet negative "d", të cilat përfshihen në model me koeficientët +1. Është më e vështirë me vijën për koeficientët e funksionit objektiv, d.m.th. me një linjë vlerësimi. Siç e dimë, koeficientët për devijimet në funksionin objektiv të një detyre të CPU-së janë pesha që renditin qëllimet sipas përparësisë. e tyre vlerat numerike, si rregull, nuk janë të përcaktuara. Është e rëndësishme që koeficienti i devijimit për një kufizim objektiv me më shumë prioritet i lartë do të ishte dukshëm më i madh se koeficienti kur devijoni nga një objektiv me një prioritet më të ulët. Prandaj, për lehtësinë e llogaritjeve, linja e vlerësimit ndahet në disa rreshta (sipas numrit të përparësive), dhe llogaritjet kryhen për secilën rresht veç e veç.

Pra, le të zgjidhet problemi min Z = P 1 d 1 - + P 2 d 2 - + P 3 d 3 + + P 4 d 4 - ,

me kusht që

7x 1 + 6x 2 + d 1 - – d 1 + = 30;

2x 1 + 3x 2 + d 2 - – d 2 + = 12;

6x 1 + 5x 2 + d 3 - – d 3 + = 30;

x 2 + d 4 - – d 4 + = 7;

x 1 , x 2 , d i - , d i + ³ 0 (i = ).

Le të krijojmë tabelën fillestare të Simpleksit (Tabela 5.1.)

Tabela 5.1 – Tabela origjinale simplex

C j C B

Baza

Zgjidhje

0 x 1

0 x 2

P 1 d 1 -

P 2 d 2 -

d 3 -

P 4 d 4 -

d 1 +

d 2 +

P 3 d 3 +

d 4 +

P 1 P 2 P 4

d 1 - d 2 - d 3 - d 4 -

-1

30/7 30/6 -

Z j – С j

P 4 P 3 P 2 P 1

-1

Siç dihet, elementet e vijës së vlerësimit (Z j – C j) llogariten sipas rregullit: “elementi i rreshtit të sipërm zbritet nga shuma e produkteve të elementeve të kolonës “C in” me elementet e kolonës përkatëse.” Për shembull, për kolonën "zgjidhje", elementi "Z j – C j" është i barabartë me: Р 1 *30 + Р 2 *12 + 0* 30 + р 4 *7 – 0 = 30Р 1 + 12Р 2 + 7Р 4 dhe koeficientët për P i (i = ) përkatëse shkruhen në këtë kolonë në bllokun "Z j – C j" (lexo nga poshtë lart). Për kolonën "x 1": P 1 *7 + P 2 *2 + 0 * 6 + P 4 *0 – 0 = 7P 1 + 2P 2, dhe këta janë koeficientët për P 1 dhe P 2 në bllokun " Z j – C j”, etj.

Meqenëse problemi i CPU-së zgjidhet gjithmonë në minimum, zgjidhja do të jetë optimale nëse të gjithë elementët e linjës së vlerësimit nuk janë pozitivë. Në rastin tonë, dy vlerësime (në kolonat "x 1" dhe "x 2") janë pozitive, prandaj, plani nuk është optimal. Për të përcaktuar variablin e përfshirë në bazë, në përsëritjen e parë përcaktojmë vlerësimin më të madh pozitiv. Përcaktohet nga shenja e koeficientit në P 1, sepse P 1 >> P 2 >> P 3 >> P 4 . Në shanse të barabarta në P 1, "shkoni lart" në rreshtin e mësipërm dhe zgjidhni koeficienti më i lartë atje. Në rastin e barazisë së plotë në të gjitha rreshtat, zgjidhet cilido prej tyre. Në rastin tonë, kolona zgjidhëse do të jetë kolona "x 1" (pasi 7 > 6). Rreshti i zgjidhjes zgjidhet në të njëjtën mënyrë si në metodën simplex - sipas raportit më të vogël të simpleksit q (ne ndajmë elementët e kolonës "zgjidhje" me elementët pozitivë të kolonës zgjidhëse). Në tabelën 5.1, raporti më i vogël q është në rreshtin e parë. Pra, në përsëritjen tjetër, ndryshorja "x 1" futet në bazë, del "d 1 -". Ne rillogaritim tabelën si në metodën e zakonshme Simplex (Tabela 5.2.)

Tabela 5.2 – Tabela e dytë simplex

C j C B

Baza

Zgjidhje

x 1

x 2

P 1 d 1 -

P 2 d 2 -

d 3 -

P 4 d 4 -

d 1 +

d 2 +

P 3 d 3 +

d 4 +

P 2 P 4

x 1 d 2 - d 3 - d 4 -

30/7 24/7 30/7

6/7 9/7 1/7

1/7 2/7 6/7

-1

30/6 24/9 -

Z j – C j

P 4 P 3 P 2 P 1

24/7

9/7

2/7 -1

2/7

-1

Siç mund ta shohim, në përsëritjen e dytë, d 2 - hiqet nga baza, dhe x 2 futet në bazë. Dhe kështu me radhë derisa të marrim zgjidhjen optimale. Pas përsëritjes së 4-të marrim tabelën 5.3.

Tabela 5.3 – Tabela përfundimtare e Simpleksit

C j C B	Baza	Zgjidhje	x 1	x 2	P 1 d 1 -	P 2 d 2 -	d 3 -	P 4 d 4 -	d 1 +	d 2 +	P 3 d 3 +	d 4 +
P 4	d 2 + x 2 d 1 + d 4 -		1,6 1,2 0,2 -1,2		-1	-1	0,6 0,2 1,2 -0,2				-0,6 -0,2 -1,2 0,2	-1
Z j – C j	P 4 P 3 P 2 P 1		-1,2		-1	-1	-0,2				0,2 -1	-1

Fakti që ka një element pozitiv në rreshtin në P 4 (në kolonën d 3 +) do të thotë se qëllimi i katërt nuk është arritur plotësisht. Në këtë rast, funksioni i synuar është i barabartë me P 4, kjo është vlera e tij minimale e mundshme. Në përgjithësi, vlerësimi i variablit d 3 + është i barabartë me (0.2 P 4 - P 3), dhe meqenëse P 3 >> P 4, është në fund negativ. Të gjitha vlerësimet e tjera janë jo pozitive, prandaj plani është optimal nga pikëpamja e metodës simplex.

Zgjidhja e këtij problemi mund të komentohet në mënyrën e mëposhtme. Për të përfunduar detyrën, është e nevojshme të prodhohet një produkt i dytë në sasinë prej 6 njësive. (x 2 = 6). Mos e lëshoni produktin e parë. Në të njëjtën kohë, goli i parë dhe i dytë u tejkaluan me 6 njësi. (d 1 + = d 2 + = 6), dhe e katërta është e paplotësuar nga 1 njësi. (d 4 - = 1). Kështu, fitimi i marrë ishte 6 njësi. më shumë se niveli i dëshiruar, burimi i parë u përdor mbi kufirin normal me 6 njësi, dhe produktet e llojit të 2-të nuk mund të prodhoheshin në vëllimin e dëshiruar - në vend të 7 njësive. lëshuar 6 (burimi i dytë mungonte; "kursimi" i tij është një objektiv me prioritet më të lartë).

Si përfundim, si një shembull i krijimit të një modeli për një detyrë CPU, le të krijojmë një model për një detyrë tjetër.

Shembulli 5.2. Administrata e qytetit ka në plan të zgjerojë ambientet sportive. Buxheti i qytetit ndau 5.4 milion rubla për këto qëllime. Ishte planifikuar të ndërtoheshin gjithashtu katër lloje objektesh sportive: fusha tenisi, pishina, mikrostadiume (terresë atletike) dhe gjimnaze. Të dhënat për këto projekte janë si më poshtë (Tabela 5.4).

Tabela 5.4 – Informacion për objektet në ndërtim

Zgjidhje. Qyteti ka ndarë 20 hektarë hapësirë të lirë për këto qëllime, por nëse është e nevojshme, kjo sipërfaqe mund të rritet. Në zbatimin e këtij projekti, administrata vendos synimet e mëposhtme sipas rëndësisë:

1) plotësoni shumën e buxhetuar;

2) objektet sportive të ndërtuara duhet të ofrojnë së paku 14.000 vizita në javë;

3) për aq sa është e mundur, të plotësojë kërkesën e pritur për objekte sportive. Kur gjeneroni funksionin objektiv për këto kufizime objektive, përdorni peshat proporcionale me përdorimin e pritur;

4) gjatë zbatimit të projektit, nëse është e mundur, të mos zënë më shumë se hapësira e lirë e caktuar prej 20 hektarësh.

Gjatë hartimit të një modeli për këtë detyrë, do të kemi parasysh se kufizimet gjatë formulimit të qëllimeve nuk janë kategorike dhe mund të jenë të tepërta ose të paplotësuara.

Detyrat e ndryshueshme: x 1, x 2, x 3, x 4 - përkatësisht, numri i strukturave të ndërtuara: fusha tenisi, pishina, fusha atletike dhe gjimnaze.

Të gjitha kufizimet do të synohen, nuk ka kufizime të sistemit.

Qëllimi i parë është të përmbushni shumën e caktuar:

120x 1 + 600x 2 + 480x 3 + 1,200x 4 + d 1 - – d 1 + = 5,400.

Ne minimizojmë “mbishpenzimet”: min Z = P 1 d 1 + .

Qëllimi i dytë është të paktën 14,000 vizita në javë:

500 x 1 + 1,000x 2 + 2,000x 3 + 1,500x 4 + d 2 - – d 2 + = 14,000

Ne minimizojmë "nën-vizitat". Duke marrë parasysh qëllimin e parë kemi:

min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - .

Zbatimi i qëllimit të tretë do të kërkojë zbatimin e 4 kufizimeve për çdo lloj strukture:

x 1 + d 3 - – d 3 + = 8;

x 2 + d 4 - – d 4 + = 3;

x 3 + d 5 - – d 5 + = 3;

x 4 + d 6 - – d 6 + = 2.

Ne minimizojmë "nën-përmbushjen". Ky është qëllimi i tretë më i rëndësishëm, prandaj në funksionin objektiv të 4 termat do të kenë një koeficient P 3, por me shkallë të ndryshme:

min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - .

Goli i katërt: 0.8x 1 + 5x 2 + 3.2x 3 + 1.6x 4 + d 7 - – d 7 + = 20.

Funksioni objektiv duke marrë parasysh të gjitha qëllimet:

min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - + P 4 d 7 + .

Pra, modeli i problemit do të marrë formën:

Gjeni min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - + P 4 d 7 +

me kusht që

120x 1 + 600x 2 + 480x 3 + 1200x 4 + d 1 - – d 1 + = 5 400,

500x 1 + 1,000x 2 + 2,000x 3 + 1,500x 4 + d 2 - – d 2 + = 14,000,

x 1 + d 3 - – d 3 + = 8,

x 2 + d 4 - – d 4 + = 3,

x 3 + d 5 - – d 5 + = 3,

x 4 + d 6 - – d 6 + = 2,

0,8x 1 + 2x 2 + 3,2x 3 + 1,6x 4 + d 7 - – d 7 + = 20.

x j³ 0 (j =); d i - , d i + ³ 0 (i = ).

Nëse ky problem zgjidhet në mënyrën e zakonshme metodë simplex, atëherë peshave P i duhet t'u jepen vlera specifike, por kini parasysh se P 1 >> P 2 >>...>> P 7 . Zhvilluar programe të veçanta për të zgjidhur probleme të tilla. Duke zbatuar njërën prej tyre (programin QM for Window), marrim zgjidhjen optimale të mëposhtme (Tabela 5.5):

Tabela 5.5 – Zgjidhja e problemit nga shembulli 5.2.

(Programimi i synuar)

x 1 = 8, x 2 = 3, x 3 = 3, x 4 = 1, d 2 + = 500, d 6 - = 1, d 7 + = 3,6. (d 7 + = –653,994 është numri i koduar 3.6 - tregohet në rreshtin Prioriteti 4). Nënpërmbushja e treguar (Mosarritja) në rreshtin e Prioritetit 3, e barabartë me 1.5, është duke marrë parasysh koeficientin e peshimit në funksionin objektiv në ).

Pra, me mjetet e ndara është e mundur të ndërtohen 8 fusha tenisi, 3 pishina, 3 ministadiume dhe një palestër. Siç mund ta shohim, qëllimi i katërt nuk është përmbushur me 1 (d = 1), d.m.th. në vend të dy të planifikuarve do të ndërtohet një gjimnaz. Goli i dytë u tejkalua (d 2 + = 500), d.m.th. në vend të 14.000 vizitave, janë të mundshme 14.500 Goli i 4-të është tejkaluar (d 7 + = 3.6), d.m.th. në vend të 20 hektarëve të ndarë për këto ambiente sportive do të kërkohen 23.6 hektarë.

Kapitulli 6. Metodat e planifikimit dhe menaxhimit të rrjetit

Metodat e planifikimit të rrjetit bëjnë të mundur analizimin e një grupi punimesh, ku përfshihen numër i madh operacionet e ndërlidhura. Ju mund të përcaktoni kohëzgjatjen e mundshme të të gjithë punës, koston e tyre, madhësive të mundshme duke kursyer kohë ose Paratë, si dhe cilat operacione nuk mund të vonohen pa vonuar projektin në tërësi. Problemi i sigurimit të burimeve është gjithashtu i rëndësishëm. Metodat e analizës së rrjetit mund të përdoren për të përpiluar plani kalendar kryerja e operacioneve që plotësojnë kufizimet ekzistuese të burimeve.

Analiza e çdo projekti kryhet në tre faza:

1. Ndarja e projektit në seri punime individuale(ose operacione), nga të cilat më pas përpilohet një qark logjik.

2. Vlerësimi i kohëzgjatjes së çdo operacioni; hartimi i një plani projekti dhe nxjerrja në pah e punës që përcakton përfundimin e projektit në tërësi.

3. Vlerësimi i kërkesave për burime të çdo operacioni; rishikimi i planit të operacioneve duke marrë parasysh sigurimin e burimeve ose
rishpërndarja e parave ose burimeve të tjera që do të përmirësojnë planin.

Pasi të jetë përpiluar lista, sekuencë logjike Ekzekutimi i operacioneve mund të ilustrohet duke përdorur një grafik. ekzistojnë Llojet e ndryshme grafikët, por shumica aplikim të gjerë mori të ashtuquajturat grafikë të kulmit dhe shigjetës.

Problemi i optimizimit në matematikë është problemi i gjetjes së ekstremit të një funksioni real në një rajon të caktuar. Si rregull, merren parasysh domenet që i përkasin dhe përcaktohen nga një grup barazish dhe pabarazish.

3.1. Përshkrim

Problemi i programimit linear është se është e nevojshme të maksimizohen ose minimizohen disa funksione lineare në një hapësirë shumëdimensionale nën kufizimet e dhëna lineare.

Secili prej pabarazitë lineare në ndryshore kufizon një gjysmëhapësirë në hapësirën lineare përkatëse. Si rezultat, të gjitha pabarazitë lidhin një shumëkëndësh të caktuar (ndoshta të pafund), i quajtur gjithashtu një kon shumëedral.

Ekuacioni W(x) = c, ku W(x) është funksioni linear që duhet maksimizuar (ose minimizuar), gjeneron hiperplanin L(c). Varësia nga c gjeneron një familje hiperplanesh paralele. Në këtë rast, problemi ekstrem merr formulimin e mëposhtëm: kërkohet të gjendet c-ja më e madhe e tillë që hiperplani L(c) të presë poliedrin të paktën në një pikë. Vini re se kryqëzimi i një hiperplani optimal dhe një poliedri do të përmbajë të paktën një kulm dhe do të ketë më shumë se një nëse kryqëzimi përmban një skaj ose një faqe k-dimensionale. Prandaj, maksimumi i funksionalit mund të kërkohet në kulmet e poliedrit. Parimi i metodës simplex është se zgjidhet një nga kulmet e poliedrit, pas së cilës fillon lëvizja përgjatë skajeve të tij nga kulmi në kulm në drejtim të rritjes së vlerës së funksionalit. Kur një kalim përgjatë një skaji nga kulmi aktual në një kulm tjetër me më shumë vlerë të lartë funksionale është e pamundur, supozohet se është gjetur vlera optimale e c.

Thelbi i metodës simplex është se nëse numri i të panjohurave më shumë numër ekuacionet, atëherë këtë sistem i pasigurt me zgjidhje të panumërta. Për të zgjidhur sistemin, të gjitha të panjohurat ndahen arbitrarisht në bazë dhe të lirë. Numri i variablave bazë përcaktohet nga numri i ekuacioneve lineare të pavarura. Të panjohurat e mbetura janë falas. Atyre u jepen vlera arbitrare dhe më pas zëvendësohen në sistem. Çdo grupi të panjohurash të lira mund t'i jepet një numër i pafund vlerash arbitrare, të cilat do të japin një numër të pafund zgjidhjesh. Nëse të gjitha të panjohurat e lira vendosen në zero, atëherë zgjidhja do të përbëhet nga vlerat e të panjohurave bazë. Kjo zgjidhje quhet bazë.

Në teorinë e programimit linear, ekziston një teoremë që thotë se midis zgjidhjeve themelore të sistemit mund të gjenden zgjidhjet optimale, dhe në disa raste, disa zgjidhje optimale, të cilat të gjitha do të japin një ekstrem të funksionit objektiv. Kështu, nëse gjeni një plan bazë dhe më pas e përmirësoni, do të merrni një zgjidhje optimale. Metoda Simplex është ndërtuar mbi këtë parim.

Sekuenca e llogaritjeve duke përdorur metodën simplex mund të ndahet në dy faza kryesore:

1. gjetja e kulmit fillestar të grupit të zgjidhjeve të realizueshme;

2. kalim sekuencial nga kulmi në kulm, që çon në optimizimin e vlerës së funksionit objektiv.

Në disa raste, zgjidhja fillestare është e qartë ose përkufizimi i saj nuk kërkon llogaritjet komplekse, - për shembull, kur të gjitha kufizimet përfaqësohen nga pabarazitë e formës "më pak se ose e barabartë me" (atëherë vektori zero është absolutisht një zgjidhje e pranueshme, megjithëse, ka shumë të ngjarë, është larg nga optimali). Në probleme të tilla, faza e parë e metodës simplex mund të hiqet fare. Metoda Simplex ndahet në përputhje me rrethanat në njëfazore Dhe

dyfazore.

3.2. Algoritmi i metodës së thjeshtë

Deklaratë problemi e forcuar

Merrni parasysh problemin e mëposhtëm të programimit linear:

Tani le ta shtrojmë këtë problem në një formë ekuivalente të forcuar. Është e nevojshme të maksimizohet Z, ku:

Këtu x janë variablat nga funksioni linear origjinal; x s – ndryshore të reja që plotësojnë të vjetrat në mënyrë të tillë që pabarazia të kthehet në barazi; c – koeficientët e funksionalit origjinal linear; Z është ndryshorja që duhet të maksimizohet. Gjysmëhapësirat dhe në kryqëzim formojnë një shumëfaqësh që përfaqëson grupin e zgjidhjeve të realizueshme. Dallimi midis numrit të variablave dhe ekuacioneve jep numrin e shkallëve të lirisë. E thënë thjesht, nëse marrim parasysh kulmin e një poliedri, ky është numri i skajeve përgjatë të cilave mund të vazhdojmë të lëvizim.

Pastaj mund t'i caktojmë vlerën 0 këtij numri variablash dhe të thërrasim

Ideja bazë e metodës simplex të modifikuar është përdorimi i matricës aktuale të anasjelltë (dhe të dhënat origjinale të problemit) për të kryer llogaritjet e nevojshme për të përcaktuar variablat që duhen përfshirë dhe përjashtuar. Përfaqësimi i një matrice të anasjelltë në formë shumëzuese ju lejon të llogaritni një sekuencë matricash inverse direkt nga të dhënat origjinale pa përdorur operacione të shumëfishta përmbysjeje për secilën bazë. Ashtu si në metodën e zakonshme simplex, në këtë rast baza fillestare është gjithmonë matrica e identitetit I, anasjellta e së cilës është vetë kjo matricë. Prandaj, nëse
- sekuenca e matricave të anasjellta që korrespondojnë me përsëritjet 1, 2,…,i, dhe
është sekuenca e matricave që u korrespondon atyre, atëherë

Sekuenca e zëvendësimeve çon në formulën e mëposhtme:

(2.23)

Duhet të theksohet se paraqitja shumëzuese e matricës së kundërt nuk është një procedurë e nevojshme për zbatimin e skemës llogaritëse të metodës së modifikuar simplex dhe në çdo përsëritje mund të përdoret ndonjë nga metodat për përmbysjen e bazës aktuale. Kur përdorni metodën e modifikuar simplex, është e rëndësishme që matricat e anasjellta të llogariten në një mënyrë që të reduktojë ndikimin e gabimeve të rrumbullakosjes së makinës.

Hapat e algoritmit të metodës së modifikuar Simplex janë në thelb të njëjtë me ato të algoritmit të metodës Simplex konvencionale. Pas gjetjes së bazës fillestare I, përcaktohet vektori përkatës i koeficientëve të funksionit objektiv , elementet e të cilave formohen në varësi të faktit nëse ndryshoret bazë fillestare janë të mbetura (të tepërta) apo artificiale.

2.7.2. Paraqitja shumëzuese e një matrice të anasjelltë

Në paraqitjen shumëzuese të matricës së kundërt, një operacion algjebër matricë përdoret për llogaritjen e elementeve të matricës inverse me matricën e re të vektorëve bazë nga matrica e njohur e kundërt e bazës së mëparshme, me kusht që dy bazat në shqyrtim të ndryshojnë vetëm në vektor me një kolonë. Kjo metodë e paraqitjes së matricës së kundërt është e përshtatshme për t'u përdorur në skemën llogaritëse të metodës simplex, pasi bazat që korrespondojnë me çdo dy përsëritje të njëpasnjëshme ndryshojnë vetëm në një kolonë (si rezultat i zëvendësimit të vektorit të kolonës së eliminuar të bazës aktuale me një vektor të ri kolone). Me fjalë të tjera, matrica e bazës aktuale dhe një matricë të re bazë
, që korrespondon me përsëritjen tjetër, ndryshojnë vetëm në një kolonë. Me paraqitjen shumëzuese të matricës së kundërt
që korrespondon me bazën e re, ajo llogaritet duke shumëzuar në të majtë inversin e matricës aktuale
në një matricë të formuar sipas rregullave të caktuara .

Le të përcaktojmë matricën e identitetit në mënyrën e mëposhtme:

(2.24)

Ku - vektori i kolonës njësi me elementin i-të, e barabartë me një, dhe elementet e mbetur janë të barabartë me zero. Le të supozojmë se matricat janë të njohura Dhe
, dhe vektor matricat zëvendësohet me një vektor të ri ; siç është zakon kur përshkruajmë metodën simplex, vektorin përkufizohet si i përfshirë në bazë, dhe vektor - siç përjashtohet nga baza. Për të thjeshtuar shkrimin e marrëdhënieve matematikore, ne përdorim përkufizimin e mëposhtëm
, ku do të përfaqësojë elementin k-të
. Pastaj një të re matricë e anasjelltë
mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

(2.25)

me kusht që
. Nëse
, matricat
nuk ekziston. Vini re se matrica të marra nga matrica duke zëvendësuar vektorin e saj të kolonës r-të kolonë .

Le të shpjegojmë llogaritjet a i, j ¢ duke përdorur "rregullin drejtkëndësh". Është e nevojshme të merret elementi mundësues ak, s dhe lidheni mendërisht me koeficientin, vlerën e re të të cilit dëshironi ta gjeni. Kjo linjë duhet të konsiderohet diagonale kryesore mbi të është ndërtuar një drejtkëndësh, anët e të cilit janë rreshta dhe kolona. Ju duhet të vizatoni një diagonale dytësore në drejtkëndësh, atëherë vlera e koeficientit të ri do të jetë e barabartë me vlerën e tij origjinale, nga e cila zbritet produkti i elementeve të vendosur në diagonalen dytësore të ndarë me elementin zgjidhës. Le t'i shpjegojmë këto veprime në diagram (Fig. 1.9). Përpara se të plotësoni tabelën Simplex ekuacionet origjinale duhet të paraqitet në formën (1.21).

a k,j

a i,j

Le të shohim thelbin e transformimeve të metodës simplex duke përdorur shembullin 1.4. Le të kujtojmë pabarazitë e kufizimeve dhe funksionin objektiv nga ky shembull dhe të gjejmë maksimumi funksioni objektiv duke përdorur metodën e mësipërme:

F = 908X 1 + 676X 2 ® max.

X 1 + X 2 14,

X 2 10,

10 X 1 + 8 X 2 120,

7X 1 + 5 X 2 70,

4X 1 + 2X 2 28,

Le ta transformojmë atë në formë kanonike duke futur variabla shtesë Xj 0, dhe duke i kthyer pabarazitë në barazi. Duhet të theksohet se nëse ka një shenjë "-" në pabarazi, atëherë me një ndryshore të lirë ata shkruajnë "-", në ndryshe - " + ":

X 1 + X 2 = 14 - X 3,

X 2 = 10 - X 4,

10 X 1 + 8 X 2 = 120 - X 5,

7X 1 + 5 X 2 = 70 - X 6,

4X 1 + 2X 2 = 28 - X 7.

Për të filluar procedurën e metodës simplex, së pari duhet të gjeni një zgjidhje referimi nga grupi i zgjidhjeve bazë të sistemit të ekuacioneve që rezulton. Duke marrë parasysh këtë, ekzistojnë tre faza në zgjidhjen e problemeve duke përdorur metodën simplex:

Gjetja e zgjidhjes bazë fillestare dhe formimi i tabelës së simpleksit fillestar;

Përcaktimi i një zgjidhjeje të pranueshme;

Përcaktimi i zgjidhjes optimale.

Faza e 1

Zgjidhjen bazë fillestare të sistemeve e gjejmë duke supozuar variabla të lirë X 1 Dhe X 2 .

Pastaj X 3 = 14 - X 1 - X 2,

X 4 = 10 - X 2,

X 5 =120 - 10X 1 - 8X 2,

X 6 = 70 - 10X 1 - 5X 2,

X 7 = 28 - 4X 1 - 2X 2,

F = 908X 1 + 676X 2 = 0.

Le t'i transformojmë këto ekuacione në pamje normale:

X 3 = 14 - (X 1 + X 2),

X 4 = 10 - (0X 1 + X 2),

X 5 =120 - (10X 1 + 8X 2),

X 6 = 70 - (7X 1 + 5X 2),

X 7 = 10 - (4X 1 + 2X 2),

F = 0 + 908 X 1 + 676 X 2.

Ne shkruajmë sistemin e ekuacioneve që rezulton në formën e tabelës origjinale të Simpleksit (Tabela 1.9). Në tabelë 1.9 nuk ka anëtarë negativë të lirë. Rrjedhimisht, ne kemi marrë një zgjidhje referimi (të pranueshme), pasi një zgjidhje e pranueshme është çdo zgjidhje jo negative(në të cilën > 0 ), por nuk është optimale.

Natyrisht, nëse për të gjitha të panjohurat në funksionin objektiv F Nëse do të kishte koeficientë pozitivë, atëherë do të arrihej vlera maksimale F. Nga kjo rrjedh Shenja e optimalitetit të një zgjidhjeje të pranueshme: V F- rreshti i tabelës Simplex nuk duhet të ketë koeficient negativ.

Tabela 1.9

Variablat Bazë X b	Anëtar i lirë	Variabla të lira
X 1	X 2
X 3
X 4
X 5
X 6
X 7
F		- 908	- 676

Faza e 2-të

Le të kujtojmë se funksionimi kryesor i metodës simplex është në thelb që disa ndryshore bazë zëvendësohen nga një ndryshore e lirë. . Në këtë rast, operacioni i zëvendësimit kryhet në varësi të kushtet e mëposhtme:

Vlera e funksionit objektiv F zgjidhja e re e referencës (e pranueshme) duhet të jetë më e madhe se ajo e mëparshme;

Zgjidhja e re e sistemit gjithashtu duhet të jetë referencë (e pranueshme).

Në shembullin tonë, kushti i parë plotësohet nëse elementi aktivizues është pozitiv dhe zgjidhet në kolonën e koeficientit negativ. F-linjat.

Kushti i dytë plotësohet nëse elementi mundësues rezulton të jetë minimumi qëndrim pozitiv elementet e kolonës së anëtarëve të lirë tek elementët përkatës të kolonës zgjidhëse.

Sipas rregullit të lartpërmendur, për të gjetur një zgjidhje të pranueshme, ndryshohen variablat bazë dhe të lirë. Për ta bërë këtë, gjeni një element zgjidhës (ai është i përshtatur në Tabelën 1.9). Në rastin tonë, kolona lejuese duhet të jetë si X 1 , kështu që X 2. Pjestimi i variablave të lirë me vlerat e tyre përkatëse X 1 Dhe X 2 (përveç linjës F), gjeni më të voglin vlerë pozitive. Është e rëndësishme të theksohet se për kolonën X 1 :

Është e rëndësishme të theksohet se për kolonën X 2:

Raporti më i vogël 28/4 përcakton rreshtin zgjidhës dhe kolonën zgjidhëse, dhe kryqëzimi i kolonës zgjidhëse dhe rreshtit zgjidhës është elementi zgjidhës një ks= 4. Në tabelë. 1.9 ne shënojmë kolonën e lejimit dhe rreshtin e lejimit me shigjeta (®). Duke vendosur një ks, ndërtoni tabelën e mëposhtme, në të cilën ndryshohen variablat e përfshirë në rreshtin dhe kolonën e elementit zgjidhës ᴛ.ᴇ. konvertoni variablat bazë në të lira dhe ato të lira në bazë.

Në shembullin tonë, ne ndërrojmë variablat X 7 Dhe X 1 , shënuar në tabelë. 1.9 shigjeta. Koeficientët e tabelës së re. 1.10 gjendet nga koeficientët e tabelës së vjetër. 1.9, duke përdorur shprehjet e dhëna në tabelë. 1.8 dhe "rregulli drejtkëndësh". Në tabelë 1.10 sërish nuk kemi zgjidhje optimale.

Tabela 1.10

Variablat Bazë X b

Anëtari i lirë B

Variabla të lira

X 7

X 2

X 3

- 1/4

1/2

X 4

X 5

-5/2

X 6

-7/4

3/2

X 1

1/4

1/2

-222

Sipas rregullave të përshkruara më sipër në tabelë. 1.10 gjejmë elementin zgjidhës 1 dhe ndërtojmë një tabelë të re. 1.11 duke zëvendësuar bazën ( X 4 Dhe X 2). Veçanërisht theksojmë se për të gjetur elementin zgjidhës duhet të zgjedhim vlerën më të vogël pozitive, ᴛ.ᴇ. Ne nuk marrim parasysh marrëdhëniet negative të termave të lirë me koeficientët e kolonës së rezolucionit.

Faza e 3-të

Le të kontrollojmë nëse zgjidhja e gjetur është optimale, dhe për shembullin tonë - maksimumi. Për ta bërë këtë, ne do të analizojmë funksionin objektiv F: F = 8576 + 227 X 7 + 222 X 4.

Funksioni objektiv nuk përmban koeficientë negativë dhe ka vlera më e lartë Në tabelën e fundit kemi marrë zgjidhjen optimale:

X 3 = 2; X 2 = 10; X 5 = 20; X 6 = 6; X 1 = 2; X 7 = X 4 = 0;

F max = 8576.

Ju lutemi vini re se rezultatet e zgjidhjes së metodës simplex dhe metodës grafike janë të njëjta.

Në përputhje me sekuencën e konsideruar, algoritmi i metodës simplex duhet të ketë blloqet e mëposhtme:

1. Gjetja e zgjidhjes fillestare bazë (referenciale) dhe formimi i tabelës fillestare.

2. Gjetja e elementit zgjidhës një ks(gjetja e termit të lirë negativ - b i < 0 и минимального отношенияb i / a ij; nëse nuk ka koeficient negativ në rreshtin e termit të lirë negativ, atëherë problemi është i pazgjidhshëm).

3. Rillogaritja tavoline e re sipas formulave në tabelë. 1.8.

4. Kontrollimi për praninë e një termi të lirë negativ. Nëse ekziston, atëherë vazhdoni në hapin 2. Mungesa e një termi të lirë negativ do të thotë se është marrë një zgjidhje referuese (e pranueshme).

5. Ngjashëm me hapat 2 - 4, tabela rillogaritet kur kërkohet zgjidhje optimale.

Zgjidhja e problemit LP duke përdorur metodën simplex në formë matrice

Kërkohet të minimizohet ,

nën kufizime

në " x³ 0.

Le të prezantojmë vektorët:

C= (C 1 , ... , C n) - vektor i vlerësimeve,

X= (X 1 , ... , X n) - vektor i ndryshoreve,

b= (B 1 , ... , B m) - vektor i kufizimeve

dhe matricës

madhësia (mn) - matrica e koeficientëve të kufizimeve.

Atëherë problemi LP do të ketë interpretimin e mëposhtëm:

minimizuar F=CX

sipas kushteve AX = b, X 0.

Ky problem mund të shkruhet në formën e matricës:

Le të prezantojmë shënimin:

A * = - këtu është matrica A* madhësia (m+1) (n+1).

Sipas metodës së mësipërme, gjendet elementi zgjidhës një ks.

Hapi tjetër i metodës simplex është procedura e eliminimit Gaussian, e cila ju lejon të bëni të gjithë koeficientët në s- kolona m, përveç një ks, zero, një ks- e barabartë me një.

Është e rëndësishme të theksohet se për metodën simplex në formë matrice, përsëritja e metodës simplex është ekuivalente me shumëzimin ekuacioni i matricës lënë në tjetrën matricë katrore:

(1.23)

, Ku k 0; s 0.

Nëse të gjitha kolonat e matricës A ndani në bazë B dhe jo bazë N, atëherë problemi LP mund të shkruhet si më poshtë:

Ku Cb Dhe C N- komponentët e vektorit përkatës C, X b, X N- variablat bazë dhe jo bazë.

Për të zgjedhur variablat bazë fillestare x b ju duhet të shumëzoni ekuacionin në të majtë me matricën:

Ku R= C b B -1 .

Si rezultat marrim

Ku I- matrica e identitetit.

Nga kjo rrjedh se vlerësimet relative për variablat jo bazë

c j = c j - C b B -1 a j = c j - Ra j .

Baza do të jetë e vlefshme nëse anëtarë të lirë me variablat bazë do të jenë jonegative, ᴛ.ᴇ. B -1 b ³ 0.

Nëse c j³ 0 për , atëherë baza është zgjidhja optimale e problemit. Vektori quhet vektor i çmimit aktual. Çdo rresht shumëzohet me një vektor R dhe zbritet nga linja e koeficientit të kostos në mënyrë që të eliminohen koeficientët e kostos për variablat bazë.

Nëse problemi LP nuk jepet në formë kanonike, ᴛ.ᴇ.

minimizuar F=CX

sipas kushteve AX b , X 0,

atëherë, duke futur variabla të dobët, ato mund të shkruhen në formë

Metoda e eliminimit të rreshtave për një matricë është ekuivalente me shumëzimin e asaj matrice nga e majta me B-1, Ku B- baza e nënmatricës A, Pastaj

ᴛ.ᴇ. matrica e marrë në vend të matricës së identitetit I, do të jetë matrica e anasjelltë për bazën aktuale. Vlerësimet relative të vendosura më lart matrica e identitetit, do

pasi janë vektorë njësi.

Sepse F= C b B -1 b = Rb, vlera aktuale e funksionit objektiv është e barabartë me produktin e vektorit të çmimeve korrente të matricës A te vektori origjinal b.

Shembull.
Postuar në ref.rf
F = 5X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5® min

nën kufizime

2X 1 + 3X 3 + 4X 4 + 2X 5 = 10 ,

3X 2 + 3X 4 + 6X 5 = 9,

Për ky shembull matricë A* do të duket si

Le X 1 Dhe X 2- variablat bazë.

Matricë B duket si

Pastaj matrica e anasjelltë B-1 Ajo ka pamje tjetër

Le të kujtojmë atë , ku matrica adjoint e përbërë nga plotësime algjebrike të elementeve b ik përcaktues i matricës B.

Përcaktori është i barabartë me:

= .

Prandaj, matrica B jo e veçantë.

Plotësimet algjebrike të elementeve të përcaktorit kanë këto kuptime:

b 11 = 3, b 12 = 0, b 12 = 0, b 22 = 2; ato . .

Duke shumëzuar me , gjejmë matricën e kundërt:

Vektori i çmimeve aktuale do të jetë

R = C b B -1 = = .

Le të kujtojmë atë Cb- komponentët e vektorit bazë C:

Pastaj = .

Për të zgjedhur bazën fillestare ju nevojitet një matricë A* majtas shumëzohet me matricë

Elementi zgjidhës është në një katror.

Një përsëritje e metodës simplex është ekuivalente me tabelën rezultuese të shumëzuar në të majtë me matricën e mëposhtme:

Kjo matricë është marrë nga matrica (1.23)

Këtu aks = 2;

a 11 = 1; a 12 = - a 0s / a ks = - 12/2 = - 6;

a 13 = 0; a 21 = 0; a 22 = 1/ a ks = 1/2; a 23 = 0;

a 31 = 0; a 32 = - a ms / a ks = -1/2; a 33 = 1.

Pastaj kemi

(1.24)

Elementi zgjidhës vendoset në një katror.

Përsëritja tjetër e metodës simplex është ekuivalente me shumëzimin e majtë me matricën

Prandaj, Fmin =11; X 4=7/3; X 5=1/3; X 1 =X 2 =X 3=0.

Metoda Simplex e modifikuar (MSM) të ndryshme nga metoda e zakonshme Simplex (CM) sepse në CM Të gjithë elementët e tabelave simplex rillogariten në çdo përsëritje dhe kur merret tabela tjetër, të gjitha tabelat e mëparshme, përfshirë atë origjinale, nuk ruhen. NË MSM tabela origjinale ruhet dhe në çdo përsëritje përcaktohet si vijon: një rresht vlerësimesh relative C futur në bazë, dhe vlerën aktuale të vektorit të anëve të djathta të kufizimeve. Për të përcaktuar të gjithë elementët e tabelës pas j- përsëritja e th CM, mjafton të njohësh matricën B-1, që korrespondon me këtë tabelë, matricën origjinale dhe indekset e variablave bazë aktualë. Pastaj vektori aktual R = C b B -1(indekset e variablave bazë aktualë përcaktojnë se cilët elementë të vektorit të vlerësimeve nga tabela burimore përfshihen në vektor C b); =B -1 b, Ku bështë marrë nga tabela origjinale, dhe çdo kolonë e tabelës së re = B-1a j , Ku a j - kolona e tabelës burimore.

Tani le të jepet tabela burimore B-1, që korrespondon me tabelën i përsëritja e th. Për të marrë matricën B-1, përkatëse (i+1)- Përsëritja, ju duhet të përcaktoni një kolonë jo bazë i tabela që duhet të futet në bazë. Nga CM rrjedh se duhet të futet në bazë nëse C j<0. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, крайне важно вычислить C j Për i th tabela, zgjidhni midis tyre<0, а затем вычислить

a S = B-1 dhe = B -1 b (= C j - Ra j ).

Pasi kemi gjetur elementin zgjidhës dhe duke përdorur elementet e vektorëve dhe , gjejmë matricën B-1 për tabelën e mëposhtme.

Shembull. Duke përdorur metodën e modifikuar simplex për të minimizuar

F = 5X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5 ® min

me kufizime:

2X 1 + 3X 3 + 4X 4 + 2X 5 = 10,