Gjeni vlerën më të madhe të numrit të plotë të funksionit. Vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit

Studimi i një objekti të tillë të analizës matematikore si funksion ka një rëndësi të madhe. kuptimi dhe në fusha të tjera të shkencës. Për shembull, në analiza ekonomike vazhdimisht duhet të vlerësojë sjelljen funksione fitimin, përkatësisht për të përcaktuar maksimumin e tij kuptimi dhe të zhvillojë një strategji për ta arritur atë.

Udhëzim

Studimi i çdo sjelljeje duhet të fillojë gjithmonë me një kërkim për një fushë të përkufizimit. Zakonisht sipas kushteve detyrë specifike kërkohet të përcaktohet më i madhi kuptimi funksione qoftë në të gjithë këtë zonë, qoftë në intervalin specifik të saj me kufij të hapur apo të mbyllur.

Bazuar në , më i madhi është kuptimi funksione y(x0), sipas të cilit për çdo pikë të fushës së përkufizimit plotësohet pabarazia y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Grafikisht, kjo pikë do të jetë më e larta nëse rregulloni vlerat e argumentit përgjatë boshtit të abshisës dhe vetë funksionin përgjatë boshtit të ordinatave.

Për të përcaktuar më të madhin kuptimi funksione, ndiqni algoritmin me tre hapa. Vini re se duhet të jeni në gjendje të punoni me të njëanshme dhe , si dhe të llogaritni derivatin. Pra, le të jepet një funksion y(x) dhe kërkohet të gjendet më i madhi i tij kuptimi në një interval me vlera kufitare A dhe B.

Zbuloni nëse ky interval është brenda fushës së veprimit funksione. Për ta bërë këtë, ju duhet ta gjeni atë, duke marrë parasysh të gjitha kufizimet e mundshme: praninë e një fraksioni në shprehje, rrenja katrore etj. Fusha e përkufizimit është grupi i vlerave të argumenteve për të cilat funksioni ka kuptim. Përcaktoni nëse intervali i dhënë është një nëngrup i tij. Nëse po, atëherë shkoni te hapi tjeter.

Gjeni derivatin funksione dhe zgjidh ekuacionin që rezulton duke barazuar derivatin me zero. Kështu, ju do të merrni vlerat e të ashtuquajturave pika stacionare. Vlerësoni nëse të paktën njëri prej tyre i përket intervalit A, B.

Konsideroni këto pika në fazën e tretë, zëvendësoni vlerat e tyre në funksion. Kryeni hapat e mëposhtëm shtesë në varësi të llojit të intervalit. Nëse ka një segment të formës [A, B], pikat kufitare përfshihen në interval, kjo tregohet me kllapa. Llogaritni vlerat funksione për x = A dhe x = B. Nëse intervali i hapur është (A, B), vlerat kufitare janë shpuar, d.m.th. nuk përfshihen në të. Zgjidh kufijtë e njëanshëm për x→A dhe x→B. Një interval i kombinuar i formës [A, B) ose (A, B), njëri nga kufijtë e të cilit i përket, tjetri jo. Gjeni kufirin e njëanshëm pasi x priret në vlerën e shpuar dhe zëvendësoni tjetrin në Funksioni Intervali i pafundëm i dyanshëm (-∞, +∞) ose intervalet e pafundme të njëanshme të formës: , (-∞, B) Për kufijtë realë A dhe B, vazhdoni sipas parimeve të përshkruara tashmë, dhe për të pafundme , kërkoni kufijtë për x→-∞ dhe x→+∞, përkatësisht.

Detyra në këtë fazë

Në shumë fusha të jetës, mund të hasni nevojën për të zgjidhur diçka me ndihmën e numrave, për shembull, në ekonomi dhe kontabilitet, mund të zbuloni minimumin dhe maksimumin e disa treguesve vetëm duke optimizuar parametrat e specifikuar. Dhe kjo nuk është gjë tjetër veçse gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla në një segment të caktuar të funksionit. Tani le të shohim se si të gjejmë vlerën më të lartë funksione.

Gjetja e vlerës më të madhe: udhëzimi

1. Zbuloni se në cilin segment të funksionit dëshironi të llogaritni vlerën, shënojeni atë me pika. Ky interval mund të jetë i hapur (kur funksioni është i barabartë me segmentin), i mbyllur (kur funksioni është në segment) dhe i pafund (kur funksioni nuk përfundon).
2. Gjeni derivatin e një funksioni.
3. Gjeni në segmentin e funksionit pikat ku derivati ​​është i barabartë me zero dhe të gjitha pikat kritike. Pastaj llogaritni vlerat e funksionit në këto pika, zgjidhni ekuacionin. Gjeni më të madhin ndër vlerat e marra.
4. Zbuloni vlerat e funksionit aktiv pikat fundore, përcaktoni më të madhin prej tyre
5. Krahasoni të dhënat me vlerën më të madhe, zgjidhni atë më të madhe. Do të jetë vlera maksimale e funksionit.

Si të gjeni vlerën më të madhe të një funksioni? Kërkohet të llogaritet nëse funksioni është çift apo tek, dhe më pas të vendoset shembull specifik. Nëse numri doli me një thyesë, mos e merrni parasysh, rezultati i vlerës më të madhe të numrit të plotë të funksionit do të jetë vetëm një numër i plotë.

Udhëzime për studimin e temës “Një grup vlerash funksioni. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.

Në vetë matematikën, mjeti kryesor

arrijnë të vërtetën - induksionin dhe analogjinë.

Jepet: - funksioni. Shënoni
- fushëveprimi i përcaktimit të funksionit.

Kompleti (vargu) i vlerave të një funksioni është bashkësia e të gjitha atyre vlerave që mund të marrë një funksion
.Gjeometrikisht kjo nënkupton projeksionin e grafikut të funksionit në bosht
.

Nëse ka një pikë të tilla që për ndonjë nga bashkësia kemi pabarazinë
, atëherë themi se funksioni në grup merr të tijën nai vlerë më të ulët

Nëse ekziston një pikë e tillë që për ndonjë nga bashkësitë pabarazia
, atëherë themi se funksioni në grup merr të tijën vlerën më të lartë .

Funksioni thirret i kufizuar nga poshtë në set nëse ka një numër të tillë
. Gjeometrikisht, kjo do të thotë që grafiku i funksionit nuk është më i ulët se vija e drejtë.
.

Funksioni thirret i kufizuar nga lart në set nëse ka një numër të tillë , që për ndonjë nga bashkësitë pabarazia
. Gjeometrikisht, kjo do të thotë që grafiku i funksionit nuk është më i lartë se vija e drejtë.

Funksioni thirret kufizuar në grup nëse është i kufizuar në këtë grup nga poshtë dhe nga lart. Kufiri i një funksioni do të thotë që grafiku i tij është brenda një brezi horizontal.

Pabarazia e Cauchy për mesataren aritmetike dhe gjeometrike
:

>,>0) Shembull:

Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në interval

(segment, interval, rreze)

Vetitë e funksioneve të vazhdueshme në një interval.

1. Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një segment, atëherë ai arrin të dyja vlerat maksimale dhe minimale në të.

2. Funksioni i vazhdueshëm mund të arrijë vlerat më të mëdha dhe më të vogla si në skajet e segmentit ashtu edhe brenda tij

3. Nëse vlera më e madhe (ose më e vogël) arrihet brenda segmentit, atëherë vetëm në një pikë të palëvizshme ose kritike.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla funksioni i vazhdueshëm në segment

1. Gjeni derivatin
.

2. Gjeni pika stacionare dhe kritike që shtrihen brenda segmentit .

3. Gjeni vlerat e funksionit në pikat e zgjedhura stacionare dhe kritike dhe në skajet e segmentit, d.m.th.
dhe
.

4. Ndër vlerat e gjetura, zgjidhni më të voglin (kjo do
) dhe më i madhi (do të jetë
)

Vetitë e funksioneve monotonike të vazhdueshme në një interval:

Rritje e vazhdueshme në një segment funksioni arrin vlerën e tij maksimale në
, më i vogli - në
.

Rënie e vazhdueshme në një segment funksioni arrin vlerën e tij maksimale në , dhe vlerën e tij minimale në .

Nëse vlera e funksionit
është jo-negativ në një interval, atëherë ky funksion dhe funksioni
, ku n është një numër natyror, merr vlerën më të madhe (më të vogël) në të njëjtën pikë.

Gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla funksion të vazhdueshëm në interval
ose në tra

(probleme optimizimi).

Nëse një funksion i vazhdueshëm ka një pikë të vetme ekstreme në një interval ose një rreze, dhe ky ekstrem ka një maksimum ose minimal, atëherë në këtë pikë arrihet vlera maksimale ose minimale e funksionit (ose )

Zbatimi i vetive të monotonitetit të funksioneve.

1. Një funksion kompleks i përbërë nga dy funksione rritëse është në rritje.

2. Nëse funksioni është në rritje, dhe funksioni
zvogëlohet, pastaj funksioni
- në rënie.

3. Shuma e dy funksioneve rritëse (zvogëluese), funksioni është rritës (zvogëlues).

4. Nëse në ekuacion
ana e majtë është një funksion rritës (ose zvogëlues), atëherë ekuacioni ka më së shumti një rrënjë.

5. Nëse funksioni është në rritje (në rënie), dhe funksioni është në rënie (në rritje), atëherë ekuacioni
ka më së shumti një zgjidhje.

6. Ekuacioni
ka të paktën një rrënjë nëse dhe vetëm nëse

i përket grupit të vlerave
funksione .

Zbatimi i vetive të funksionit të kufizuar.

1. Nëse ana e majtë e ekuacionit (pabarazia) (
më pak se ose e barabartë me një numër (
), a pjesa e djathtë më i madh ose i barabartë me këtë numër (), atëherë sistemi zhvillohet
zgjidhja e së cilës është zgjidhja e vetë ekuacionit (pabarazisë).

Detyrat për vetëkontroll

Aplikacion:

3. Gjeni të gjitha vlerat për të cilat ekuacioni
ka një zgjidhje.

Detyre shtepie

1. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit:

, nëse
.

2. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit:

.

3. Gjeni vlerën më të madhe të numrit të plotë të funksionit:

. ato që korrespondojnë me më i madhi. Ideale -...

NGA pikë praktike Me interes më të madh është përdorimi i derivatit për të gjetur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni. Me çfarë lidhet? Maksimizimi i fitimeve, minimizimi i kostove, përcaktimi i ngarkesës optimale të pajisjeve... Me fjalë të tjera, në shumë fusha të jetës duhet zgjidhur problemi i optimizimit të disa parametrave. Dhe ky është problemi i gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.

Duhet të theksohet se vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni zakonisht kërkohet në një interval X, i cili është ose i gjithë domeni i funksionit ose pjesë e domenit. Vetë intervali X mund të jetë një segment vije, një interval i hapur , një interval i pafund .

Në këtë artikull, ne do të flasim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla në mënyrë eksplicite. funksioni i dhënë një ndryshore y=f(x) .

Navigimi i faqes.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni - përkufizime, ilustrime.

Le të ndalemi shkurtimisht në përkufizimet kryesore.

Vlera më e madhe e funksionit , e cila për çdo pabarazia është e vërtetë.

Vlera më e vogël e funksionit y=f(x) në intervalin X quhet vlerë e tillë , e cila për çdo pabarazia është e vërtetë.

Këto përkufizime janë intuitive: vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni është vlera më e madhe (më e vogël) e pranuar në intervalin në shqyrtim me abshisën.

Pikat e palëvizshme janë vlerat e argumentit në të cilin derivati ​​i funksionit zhduket.

Pse na duhen pikat stacionare kur gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla? Përgjigjen për këtë pyetje e jep teorema e Fermatit. Nga kjo teoremë rezulton se nëse një funksion i diferencueshëm ka një ekstrem (minimum lokal ose maksimum lokal) në një pikë, atëherë kjo pikë është e palëvizshme. Kështu, funksioni shpesh merr vlerën e tij maksimale (më të vogël) në intervalin X në një nga pikat stacionare nga ky interval.

Gjithashtu, një funksion shpesh mund të marrë vlerat më të mëdha dhe më të vogla në pikat ku derivati ​​i parë i këtij funksioni nuk ekziston, dhe vetë funksioni është i përcaktuar.

Le t'i përgjigjemi menjëherë një prej pyetjeve më të zakonshme në këtë temë: "A është gjithmonë e mundur të përcaktohet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni"? Jo jo gjithmonë. Ndonjëherë kufijtë e intervalit X përkojnë me kufijtë e domenit të funksionit, ose intervali X është i pafund. Dhe disa funksione në pafundësi dhe në kufijtë e fushës së përkufizimit mund të marrin vlera pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla. Në këto raste, nuk mund të thuhet asgjë për vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.

Për qartësi, ne japim një ilustrim grafik. Shikoni fotot - dhe shumë gjëra do të bëhen të qarta.

Në segmentin

Në figurën e parë, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare brenda segmentit [-6;6].

Konsideroni rastin e treguar në figurën e dytë. Ndrysho segmentin në . Në këtë shembull, vlera më e vogël e funksionit arrihet në pikë e palëvizshme, dhe më i madhi - në pikën me abshisën që korrespondon me kufirin e djathtë të intervalit.

Në figurën nr. 3, pikat kufitare të segmentit [-3; 2] janë abshisat e pikave që korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.

Në gamë të hapur

Në figurën e katërt, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare brenda intervalit të hapur (-6;6).

Në intervalin , nuk mund të nxirren përfundime për vlerën më të madhe.

Në pafundësi

Në shembullin e paraqitur në figurën e shtatë, funksioni merr vlerën më të madhe (max y ) në një pikë të palëvizshme me x=1 abshisë, dhe vlera më e vogël (min y ) arrihet në kufirin e djathtë të intervalit. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3.

Në interval, funksioni nuk arrin as vlerën më të vogël as vlerën më të madhe. Ndërsa x=2 priret djathtas, vlerat e funksionit priren në minus pafundësi (vija e drejtë x=2 është një asimptotë vertikale), dhe ndërsa abshisa tenton në plus pafundësi, vlerat e funksionit në mënyrë asimptotike i afrohen y=3 . Një ilustrim grafik i këtij shembulli është paraqitur në Figurën 8.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në segment.

Ne shkruajmë një algoritëm që na lejon të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni në një segment.

1. Gjejmë domenin e funksionit dhe kontrollojmë nëse ai përmban të gjithë segmentin.
2. Ne gjejmë të gjitha pikat në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston dhe që përmbahen në segment (zakonisht pika të tilla ndodhin në funksione me një argument nën shenjën e modulit dhe në funksionet e fuqisë Me tregues racional thyesor). Nëse nuk ka pika të tilla, atëherë shkoni në pikën tjetër.
3. Ne përcaktojmë të gjitha pikat e palëvizshme që bien në segment. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe zgjedhim rrënjët e duhura. Nëse nuk ka pika të palëvizshme ose asnjëra prej tyre nuk bie në segment, atëherë shkoni në hapin tjetër.
4. Ne llogarisim vlerat e funksionit në pikat stacionare të zgjedhura (nëse ka), në pikat ku derivati ​​i parë nuk ekziston (nëse ka), dhe gjithashtu në x=a dhe x=b.
5. Nga vlerat e marra të funksionit, ne zgjedhim më të madhin dhe më të voglin - ato do të jenë respektivisht vlerat maksimale të dëshiruara dhe më të vogla të funksionit.

Le të analizojmë algoritmin kur zgjidhim një shembull për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment.

Shembull.

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni

• në segment;
• në intervalin [-4;-1].

Zgjidhje.

Domeni i funksionit është i gjithë grupi numra realë, me përjashtim të zeros, që është, . Të dy segmentet bien në domenin e përkufizimit.

Gjejmë derivatin e funksionit në lidhje me:

Natyrisht, derivati ​​i funksionit ekziston në të gjitha pikat e segmenteve dhe [-4;-1].

Pikat e palëvizshme përcaktohen nga ekuacioni . i vetmi rrënjë e vërtetëështë x=2. Kjo pikë e palëvizshme bie në segmentin e parë.

Për rastin e parë, ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në një pikë të palëvizshme, domethënë për x=1, x=2 dhe x=4:

Prandaj, vlera më e madhe e funksionit arrihet në x=1 , dhe vlera më e vogël – në x=2 .

Për rastin e dytë, ne llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit [-4;-1] (pasi nuk përmban një pikë të vetme të palëvizshme):

Në këtë artikull do të flas se si të zbatohet aftësia për të gjetur në studimin e një funksioni: për të gjetur vlerën e tij më të madhe ose më të vogël. Dhe pastaj do të zgjidhim disa probleme nga Detyra B15 nga bankë e hapur detyra për .

Si zakonisht, le të fillojmë së pari me teorinë.

Në fillim të çdo studimi të një funksioni, ne e gjejmë atë

Për të gjetur vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit, duhet të hetoni se në cilat intervale funksioni rritet dhe në cilat zvogëlohet.

Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni derivatin e funksionit dhe të studioni intervalet e tij të shenjës konstante, domethënë intervalet në të cilat derivati ​​ruan shenjën e tij.

Intervalet në të cilat derivati ​​i një funksioni është pozitiv janë intervale të funksionit në rritje.

Intervalet në të cilat derivati ​​i një funksioni është negativ janë intervale të funksionit në rënie.

një. Le të zgjidhim detyrën B15 (Nr. 245184)

Për ta zgjidhur atë, ne do të ndjekim algoritmin e mëposhtëm:

a) Gjeni domenin e funksionit

b) Gjeni derivatin e funksionit .

c) Vendoseni atë të barabartë me zero.

d) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante të funksionit.

e) Le të gjejmë një pikë, në të cilën funksioni merr vlerën më të madhe.

f) Gjeni vlerën e funksionit në këtë pikë.

Unë tregoj zgjidhjen e detajuar të kësaj detyre në MËSIMIN VIDEO:

Ndoshta shfletuesi juaj nuk mbështetet. Për të përdorur trajnerin Ora e PËRDORIMIT", provoni të shkarkoni
Firefox

2. Le të zgjidhim detyrën B15 (Nr. 282862)

Gjeni vlerën më të madhe të një funksioni në segment

Është e qartë se funksioni merr vlerën më të madhe të segmentit në pikën maksimale, në x=2. Gjeni vlerën e funksionit në këtë pikë:

Përgjigje: 5

3 . Le të zgjidhim detyrën B15 (Nr. 245180):

Gjeni vlerën më të madhe të një funksioni

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Që nga fusha e përkufizimit funksioni origjinal title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Numëruesi zero në . Le të kontrollojmë nëse ODZ i përket funksionit. Për ta bërë këtë, kontrolloni nëse kushti title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

pra pika i përket ODZ-së së funksionit

Ne shqyrtojmë shenjën e derivatit në të djathtë dhe të majtë të pikës:

Shohim që funksioni merr vlerën më të madhe në pikën . Tani le të gjejmë vlerën e funksionit në:

Shënim 1. Vini re se në këtë problem nuk e gjetëm domenin e funksionit: ne rregulluam vetëm kufizimet dhe kontrolluam nëse pika në të cilën derivati ​​është i barabartë me zero i përket domenit të funksionit. Në këtë problem, kjo doli të jetë e mjaftueshme. Megjithatë, kjo nuk është gjithmonë rasti. Kjo varet nga detyra.

Vërejtje 2. Gjatë studimit të sjelljes funksion kompleks ju mund të përdorni këtë rregull:

• nëse funksioni i jashtëm i një funksioni kompleks është në rritje, atëherë funksioni merr vlerën më të madhe në të njëjtën pikë në të cilën funksioni i brendshëm merr vlerën më të madhe. Kjo rrjedh nga përkufizimi i një funksioni në rritje: një funksion rritet në intervalin I if vlerë më të madhe një argument nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.
• nëse funksioni i jashtëm i një funksioni kompleks është në rënie, atëherë funksioni merr vlerën më të madhe në të njëjtën pikë në të cilën funksioni i brendshëm merr vlerën më të vogël. . Kjo rrjedh nga përkufizimi i një funksioni në rënie: funksioni zvogëlohet në intervalin I nëse vlera më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me vlerën më të vogël të funksionit.

Në shembullin tonë, funksioni i jashtëm - rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nën shenjën e logaritmit është shprehja - trinomi katror, i cili, me një koeficient negativ kryesor, merr vlerën më të madhe në pikë . Më pas, ne e zëvendësojmë këtë vlerë të x në ekuacionin e funksionit dhe gjeni vlerën e saj më të madhe.