Si të gjeni numrin e rezultateve të favorshme. Probabiliteti i ngjarjes

atëherë thonë se ndryshorja e rastësishme ξ Ajo ka Funksioni i densitetit të probabilitetit f(x).

Përkufizimi. Le . Për një funksion të shpërndarjes së vazhdueshme F a-kuantili teorik quhet zgjidhja e ekuacionit.

Kjo zgjidhje mund të mos jetë e vetmja.

Niveli kuantil ½ quhet teorik mesatare , nivelet kuantile ¼ Dhe ¾ -kuartilët e poshtëm dhe të sipërm përkatësisht.

Në aplikimet aktuariale, luan një rol të rëndësishëm Pabarazia e Chebyshev:

në çdo

Simboli i pritjes matematikore.

Lexohet kështu: probabiliteti që moduli të jetë më i madh ose i barabartë me pritshmërinë matematikore të modulit pjesëtuar me .

Jetëgjatësia si një ndryshore e rastësishme

Pasiguria e momentit të vdekjes është një faktor i madh rreziku në sigurimin e jetës.

Nuk mund të thuhet asgjë konkrete për momentin e vdekjes së një individi. Megjithatë, nëse kemi të bëjmë me një grup të madh homogjen njerëzish dhe nuk na intereson fati i individëve të këtij grupi, atëherë jemi brenda kornizës së teorisë së probabilitetit si shkencë e fenomeneve të rastësishme masive që kanë vetinë e stabilitetit të frekuencës. .

Përkatësisht, ne mund të flasim për jetëgjatësinë si një ndryshore e rastësishme T.

Funksioni i mbijetesës

Teoria e probabilitetit përshkruan natyrën stokastike të çdo ndryshoreje të rastësishme T funksioni i shpërndarjes F(x), e cila përkufizohet si probabilitet që ndryshorja e rastit T më pak se numri x:

.

Në matematikën aktuariale është mirë të punohet jo me funksionin e shpërndarjes, por me funksionin shtesë të shpërndarjes . Për sa i përket jetëgjatësisë, kjo është probabiliteti që një person të jetojë deri në moshën x vjet.

thirrur funksioni i mbijetesës(funksioni i mbijetesës):

Funksioni i mbijetesës ka këto karakteristika:

Tabelat e jetës zakonisht supozojnë se ka disa kufiri i moshës (duke kufizuar moshën) (zakonisht vite) dhe, në përputhje me rrethanat, në x>.

Kur përshkruhet vdekshmëria me ligje analitike, zakonisht supozohet se koha e jetës është e pakufizuar, por lloji dhe parametrat e ligjeve zgjidhen në mënyrë që probabiliteti i jetës përtej një moshe të caktuar të jetë i papërfillshëm.

Funksioni i mbijetesës ka kuptim të thjeshtë statistikor.

Le të themi se po vëzhgojmë një grup të porsalindur (zakonisht) të cilët i vëzhgojmë dhe mund të regjistrojmë momentet e vdekjes së tyre.

Le të shënojmë numrin e përfaqësuesve të gjallë të këtij grupi në moshë me . Pastaj:

.

Simboli E këtu dhe më poshtë përdoret për të treguar pritjet matematikore.

Pra, funksioni i mbijetesës është i barabartë me përqindjen mesatare të atyre që mbijetojnë deri në moshën nga një grup fiks i të porsalindurve.

Në matematikën aktuariale, njeriu shpesh nuk punon me funksionin e mbijetesës, por me vlerën e sapo prezantuar (duke rregulluar madhësinë fillestare të grupit).

Funksioni i mbijetesës mund të rindërtohet nga dendësia:

Karakteristikat e jetëgjatësisë

Nga pikëpamja praktike, karakteristikat e mëposhtme janë të rëndësishme:

1 . Mesatare jetëgjatësi

,
2 . Dispersion jetëgjatësi

,
Ku
,

Në blogun tim, një përkthim i leksionit të ardhshëm të kursit "Parimet e bilancit të lojës" nga stilisti i lojës Jan Schreiber, i cili ka punuar në projekte të tilla si "Marvel Trading Card Game" dhe "Playboy: Mansion".

Deri më tani, pothuajse gjithçka për të cilën kemi folur ka qenë përcaktuese, dhe javën e kaluar ne hodhëm një vështrim më të afërt në mekanikën kalimtare, duke hyrë në aq detaje sa mund të shpjegoj. Por deri më tani ne nuk i kemi kushtuar vëmendje një aspekti tjetër të shumë lojërave, përkatësisht aspekteve jo-përcaktuese - me fjalë të tjera, rastësisë.

Kuptimi i natyrës së rastësisë është shumë i rëndësishëm për projektuesit e lojërave. Ne krijojmë sisteme që ndikojnë në përvojën e përdoruesit në një lojë të caktuar, kështu që ne duhet të dimë se si funksionojnë ato sisteme. Nëse ka rastësi në një sistem, ne duhet të kuptojmë natyrën e kësaj rastësie dhe të dimë se si ta ndryshojmë atë në mënyrë që të marrim rezultatet që na duhen.

Zare

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë - hedhjen e zarit. Kur shumica e njerëzve mendojnë për zaret, ata mendojnë për një vegël me gjashtë anë të njohur si d6. Por shumica e lojtarëve kanë parë shumë zare të tjerë: katërkëndësh (d4), tetëkëndësh (d8), dymbëdhjetë anësor (d12), njëzet anësor (d20). Nëse jeni një geek i vërtetë, mund të keni zare 30-anësh ose 100-anësh diku.

Nëse nuk jeni të njohur me terminologjinë, d do të thotë die, dhe numri pas tij është numri i anëve që ka. Nëse numri shfaqet para d, atëherë ai tregon numrin e zareve që do të hidhen. Për shembull, në lojën e Monopoly ju rrotulloni 2d6.

Pra, në këtë rast, fraza "zare" është një simbol. Ekziston një numër i madh i gjeneratorëve të tjerë të numrave të rastësishëm që nuk duken si figura plastike, por kryejnë të njëjtin funksion - duke gjeneruar një numër të rastësishëm nga 1 në n. Një monedhë e zakonshme mund të përfaqësohet gjithashtu si një zare dihedral d2.

Pashë dy modele zare me shtatë anë: njëri prej tyre dukej si një zare, dhe tjetri dukej më shumë si një laps prej druri me shtatë anë. Dridel tetrahedral, i njohur gjithashtu si titotum, është i ngjashëm me kockën tetrahedral. Tabela me shigjeta rrotulluese në Chutes & Ladders, ku pikët mund të variojnë nga 1 në 6, korrespondon me një karrige me gjashtë anë.

Gjeneruesi i numrave të rastësishëm të një kompjuteri mund të krijojë çdo numër nga 1 deri në 19 nëse projektuesi e specifikon atë, edhe pse kompjuteri nuk ka një dietë 19-kanëshe (në përgjithësi, unë do të flas më shumë për mundësinë që numrat të dalin në një kompjuter javën e ardhshme). Të gjithë këta artikuj duken të ndryshëm, por në realitet ato janë ekuivalente: ju keni një shans të barabartë për secilin prej disa rezultateve të mundshme.

Zarat kanë disa veti interesante për të cilat duhet të dimë. Së pari, probabiliteti i uljes në të dyja fytyrat është i njëjtë (po supozoj se po rrokullisni një formë të rregullt). Nëse doni të dini vlerën mesatare të një rrotull (për ata që janë në probabilitet, kjo njihet si vlera e pritur), shtoni vlerat në të gjitha skajet dhe ndajeni atë numër me numrin e skajeve.

Shuma e vlerave të të gjitha anëve për një kapelë standarde me gjashtë anë është 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Ndani 21 me numrin e anëve dhe merrni vlerën mesatare të rrotullës: 21 / 6 = 3,5. Ky është një rast i veçantë sepse ne supozojmë se të gjitha rezultatet janë njësoj të mundshme.

Po sikur të keni zare të veçantë? Për shembull, unë pashë një lojë me vegël me gjashtë anë me ngjitëse speciale në anët: 1, 1, 1, 2, 2, 3, kështu që ajo sillet si një vegël e çuditshme me tre anë që ka më shumë gjasa të rrokulliset një 1 sesa një 2. dhe ka më shumë gjasa të rrokulliset një 2 sesa një 3. Cila është mesatarja e rrotullimit për këtë peshore? Pra, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, e ndarë me 6 - rezulton 5/3, ose afërsisht 1.66. Pra, nëse keni një zarre të veçantë dhe lojtarët hedhin tre zare dhe më pas mbledhin rezultatet - ju e dini që hedhja e tyre do të mblidhet në rreth 5, dhe ju mund ta balanconi lojën bazuar në atë supozim.

Zare dhe Pavarësi

Siç e thashë tashmë, ne vazhdojmë nga supozimi se çdo palë ka të njëjtat gjasa të bjerë jashtë. Nuk ka rëndësi sa zare hidhni. Çdo hedhje zari është e pavarur, që do të thotë se hedhjet e mëparshme nuk ndikojnë në rezultatet e atyre të mëvonshme. Duke pasur parasysh prova të mjaftueshme, ju do të vini re një model numrash - për shembull, duke rrotulluar vlerat kryesisht më të larta ose më të ulëta - ose veçori të tjera, por kjo nuk do të thotë se zari është "i nxehtë" ose "i ftohtë". Ne do të flasim për këtë më vonë.

Nëse rrokullisni një standard standard me gjashtë anë dhe numri 6 del dy herë radhazi, probabiliteti që hedhja e radhës të rezultojë në 6 është saktësisht 1/6. Probabiliteti nuk rritet sepse kapaku është "nxehur". . Në të njëjtën kohë, probabiliteti nuk zvogëlohet: është e pasaktë të arsyetohet që numri 6 ka dalë tashmë dy herë radhazi, që do të thotë se tani duhet të dalë një anë tjetër.

Natyrisht, nëse e rrotulloni një kësulë njëzet herë dhe merrni një 6 çdo herë, mundësia që hera e njëzet e parë që të rrotulloni një 6 është mjaft e lartë: ndoshta ju keni thjesht një kokrra të gabuar. Por nëse kapa është e drejtë, secila palë ka të njëjtën probabilitet të uljes, pavarësisht nga rezultatet e rrotullimeve të tjera. Ju gjithashtu mund të imagjinoni që ne e zëvendësojmë kërpudhat çdo herë: nëse numri 6 rrotullohet dy herë radhazi, hiqni kutinë "e nxehtë" nga loja dhe zëvendësojeni me një të re. Kërkoj falje nëse ndonjëri prej jush e dinte tashmë për këtë, por më duhej ta sqaroja këtë përpara se të vazhdoja.

Si ta bëni zarin të hidhet pak a shumë rastësisht

Le të flasim se si të arrijmë rezultate të ndryshme në zare të ndryshëm. Pavarësisht nëse e rrotulloni një kërpudhë vetëm një herë ose disa herë, loja do të ndihet më e rastësishme kur kapaku ka më shumë anë. Sa më shpesh të duhet të hedhësh zare, dhe sa më shumë zare të hedhësh, aq më shumë rezultatet i afrohen mesatares.

Për shembull, në rastin e 1d6 + 4 (d.m.th., nëse rrokulliset një gëzhojë standarde me gjashtë anë një herë dhe shtoni 4 në rezultat), mesatarja do të ishte një numër midis 5 dhe 10. Nëse rrotulloni 5d2, mesatarja do të ishte gjithashtu një numër midis 5 dhe 10. Rezultatet e rrotullimit të 5d2 do të jenë kryesisht numrat 7 dhe 8, më rrallë vlera të tjera. E njëjta seri, madje e njëjta vlerë mesatare (në të dyja rastet 7.5), por natyra e rastësisë është e ndryshme.

Prit një minutë. A nuk thashë vetëm se zari nuk "nxehet" apo "ftohet"? Tani them: nëse hidhni shumë zare, rezultatet e rrotullimeve do t'i afrohen mesatares. Pse?

Më lejo të shpjegohem. Nëse rrokullisni një kërpudhë, secila anë ka të njëjtën probabilitet të uljes. Kjo do të thotë që nëse hidhni shumë zare me kalimin e kohës, secila anë do të dalë afërsisht me të njëjtin numër herë. Sa më shumë zare të hidhni, aq më shumë rezultati total do t'i afrohet mesatares.

Kjo nuk ndodh sepse numri i tërhequr “detyron” të vizatohet një numër tjetër që nuk është tërhequr ende. Por sepse një seri e vogël e nxjerrjes së numrit 6 (ose 20, ose një numër tjetër) në fund nuk do të ndikojë aq shumë në rezultatin nëse hidhni zarin dhjetë mijë herë të tjera dhe kryesisht do të dalë numri mesatar. Tani do të merrni disa numra të mëdhenj, dhe më vonë disa të vegjël - dhe me kalimin e kohës ata do t'i afrohen mesatares.

Kjo nuk ndodh sepse hedhjet e mëparshme ndikojnë në zarin (seriozisht, zari është prej plastike, nuk ka trurin të mendojë, "Oh, ka kohë që keni hedhur një 2"), por sepse kjo është çfarë ndodh zakonisht me shumë hedhjen e zareve

Kështu, është mjaft e lehtë të bësh llogaritjet për një hedhje të rastësishme të zarit - të paktën për të llogaritur vlerën mesatare të hedhjes. Ka gjithashtu mënyra për të llogaritur "sa e rastësishme" është diçka dhe të thuhet se rezultatet e rrotullimit të 1d6+4 do të jenë "më të rastësishme" se 5d2. Për 5d2, rrotullat do të shpërndahen më në mënyrë të barabartë. Për ta bërë këtë, duhet të llogaritni devijimin standard: sa më e madhe të jetë vlera, aq më të rastësishme do të jenë rezultatet. Nuk do të doja të bëja kaq shumë llogaritje sot, këtë temë do ta shpjegoj më vonë.

E vetmja gjë që do t'ju kërkoj të mbani mend është se, si rregull i përgjithshëm, sa më pak zare të hidhni, aq më i madh është rastësia. Dhe sa më shumë anë të ketë një kërma, aq më i madh është rastësia, pasi ka më shumë opsione të mundshme të vlerës.

Si të llogarisni probabilitetin duke përdorur numërimin

Ju mund të pyesni veten: si mund të llogarisim probabilitetin e saktë për të marrë një rezultat të caktuar? Në fakt, kjo është mjaft e rëndësishme për shumë lojëra: nëse fillimisht hidhni zare - ka shumë të ngjarë që të ketë një lloj rezultati optimal. Përgjigja ime është: duhet të llogarisim dy vlera. Së pari, numri i përgjithshëm i rezultateve gjatë hedhjes së një koke, dhe së dyti, numri i rezultateve të favorshme. Pjestimi i vlerës së dytë me të parën do t'ju japë probabilitetin e dëshiruar. Për të marrë përqindjen, shumëzojeni rezultatin me 100.

Shembuj

Ja një shembull shumë i thjeshtë. Ju dëshironi që numri 4 ose më i lartë të rrokulliset një herë bidonin me gjashtë anë. Numri maksimal i rezultateve është 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Nga këto, 3 rezultate (4, 5, 6) janë të favorshme. Kjo do të thotë që për të llogaritur probabilitetin, pjesëtojmë 3 me 6 dhe marrim 0.5 ose 50%.

Ja një shembull pak më i ndërlikuar. Ju dëshironi një numër çift kur rrotulloni 2d6. Numri maksimal i rezultateve është 36 (6 opsione për secilin kërpudhë, njëra nuk ndikon në tjetrën, kështu që shumëzoni 6 me 6 dhe merrni 36). Vështirësia me këtë lloj pyetje është se është e lehtë të numërosh dy herë. Për shembull, kur rrotulloni 2d6, ka dy rezultate të mundshme prej 3: 1+2 dhe 2+1. Ata duken njësoj, por ndryshimi është se cili numër shfaqet në distinën e parë dhe cili numër shfaqet në të dytin.

Ju gjithashtu mund të imagjinoni se zari janë me ngjyra të ndryshme: kështu, për shembull, në këtë rast, njëri zare është i kuq dhe tjetri është blu. Pastaj numëroni numrin e opsioneve për rrotullimin e një numri çift:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Rezulton se ka 18 opsione për një rezultat të favorshëm nga 36 - si në rastin e mëparshëm, probabiliteti është 0.5 ose 50%. Ndoshta e papritur, por mjaft e saktë.

Simulimi i Monte Carlo

Po sikur të keni shumë zare për këtë llogaritje? Për shembull, ju dëshironi të dini se cila është probabiliteti për të marrë një total prej 15 ose më shumë kur rrotulloni 8d6. Ka një numër të madh të rezultateve të ndryshme për tetë zare, dhe numërimi i tyre me dorë do të merrte një kohë shumë të gjatë - edhe nëse mund të gjenim një zgjidhje të mirë për të grupuar grupe të ndryshme të hedhjes së zareve.

Në këtë rast, mënyra më e lehtë nuk është të numërosh manualisht, por të përdorësh një kompjuter. Ekzistojnë dy mënyra për të llogaritur probabilitetin në një kompjuter. Metoda e parë mund t'ju japë një përgjigje të saktë, por përfshin pak programim ose skriptim. Kompjuteri do të shikojë çdo mundësi, do të vlerësojë dhe numërojë numrin total të përsëritjeve dhe numrin e përsëritjeve që përputhen me rezultatin e dëshiruar dhe më pas do të japë përgjigjet. Kodi juaj mund të duket diçka si kjo:

Nëse nuk e kuptoni programimin dhe keni nevojë për një përgjigje të përafërt dhe jo të saktë, mund ta simuloni këtë situatë në Excel, ku rrotulloni 8d6 disa mijëra herë dhe merrni përgjigjen. Për të rrotulluar 1d6 në Excel, përdorni formulën =KATI(RAND()*6)+1.

Ka një emër për situatën kur nuk e dini përgjigjen dhe thjesht provoni pa pushim - simulimi i Monte Carlo. Kjo është një zgjidhje e shkëlqyer për t'u përdorur kur llogaritja e probabilitetit është shumë e vështirë. Gjëja më e mirë është se në këtë rast nuk kemi nevojë të kuptojmë se si funksionon matematika dhe e dimë se përgjigja do të jetë "shumë e mirë", sepse, siç e dimë tashmë, sa më shumë rrotullime, aq më shumë i afrohet rezultati. mesatare.

Si të kombinohen provat e pavarura

Nëse pyet për prova të shumta të përsëritura, por të pavarura, rezultati i një rrotullimi nuk ndikon në rezultatet e provave të tjera. Ekziston një shpjegim tjetër më i thjeshtë për këtë situatë.

Si të dallojmë diçka të varur nga ajo e pavarur? Në thelb, nëse mund të izoloni çdo hedhje (ose seri gjuajtjesh) të një trupi si një ngjarje më vete, atëherë ajo është e pavarur. Për shembull, hedhim 8d6 dhe duam gjithsej 15. Kjo ngjarje nuk mund të ndahet në disa hedhje të pavarura zare. Për të marrë rezultatin, ju llogaritni shumën e të gjitha vlerave, kështu që rezultati që del në një kërpudhë ndikon në rezultatet që duhet të dalin në të tjerët.

Këtu është një shembull i hedhjeve të pavarura: Ju jeni duke luajtur një lojë me zare dhe po hedhni zare në gjashtë anë shumë herë. Roli i parë duhet të jetë 2 ose më i lartë për të qëndruar në lojë. Për hedhjen e dytë - 3 ose më shumë. E treta kërkon një 4 ose më të lartë, e katërta kërkon një 5 ose më të lartë dhe e pesta kërkon një 6. Nëse të pesë rrotullat janë të suksesshme, ju fitoni. Në këtë rast, të gjitha hedhjet janë të pavarura. Po, nëse një gjuajtje është e pasuksesshme, do të ndikojë në rezultatin e të gjithë lojës, por një gjuajtje nuk ndikon në tjetrën. Për shembull, nëse hedhja juaj e dytë e zareve është shumë e suksesshme, kjo nuk do të thotë se hedhjet e ardhshme do të jenë aq të mira. Prandaj, ne mund të konsiderojmë probabilitetin e secilës hedhje të zareve veç e veç.

Nëse keni probabilitete të pavarura dhe dëshironi të dini sa është probabiliteti që të gjitha ngjarjet të ndodhin, ju përcaktoni çdo probabilitet individual dhe i shumëzoni ato së bashku. Një mënyrë tjetër: nëse përdorni lidhjen "dhe" për të përshkruar disa kushte (për shembull, sa është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje të rastësishme dhe një ngjarje tjetër të rastësishme të pavarur?) - numëroni probabilitetet individuale dhe shumëzojini ato.

Pavarësisht se çfarë mendoni, mos shtoni kurrë probabilitete të pavarura. Ky është një gabim i zakonshëm. Për të kuptuar pse kjo është e gabuar, imagjinoni një situatë ku po hidhni një monedhë dhe dëshironi të dini se sa është probabiliteti për të marrë koka dy herë radhazi. Probabiliteti që secila palë të bjerë është 50%. Nëse mblidhni këto dy probabilitete, ju merrni një shans 100% për të marrë koka, por ne e dimë se kjo nuk është e vërtetë sepse mund të ketë qenë bishta dy herë radhazi. Nëse në vend të kësaj shumëzoni dy probabilitetet, ju merrni 50% * 50% = 25% - që është përgjigja e saktë për llogaritjen e probabilitetit për të marrë koka dy herë radhazi.

Shembull

Le të kthehemi te loja e zareve me gjashtë anë, ku fillimisht duhet të hedhësh një numër më të madh se 2, më pas më të madh se 3 - dhe kështu me radhë deri në 6. Cilat janë shanset që në një seri të caktuar prej pesë hedhjeve të gjitha rezultatet të jenë të favorshme ?

Siç u tha më lart, këto janë prova të pavarura, kështu që ne llogarisim probabilitetin për secilën rrotull individuale dhe më pas i shumëzojmë ato së bashku. Probabiliteti që rezultati i rrotullimit të parë të jetë i favorshëm është 5/6. E dyta - 4/6. E treta - 3/6. E katërta - 2/6, e pesta - 1/6. Ne i shumëzojmë të gjitha rezultatet me njëri-tjetrin dhe marrim afërsisht 1.5%. Fitimet në këtë lojë janë mjaft të rralla, kështu që nëse shtoni këtë element në lojën tuaj, do t'ju duhet një çmim i parë mjaft i madh.

Negacion

Këtu është një këshillë tjetër e dobishme: ndonjëherë është e vështirë të llogaritet probabiliteti që një ngjarje të ndodhë, por është më e lehtë të përcaktosh shanset që një ngjarje të mos ndodhë. Për shembull, le të themi se kemi një lojë tjetër: ju hidhni 6d6 dhe fitoni nëse hidhni një 6 të paktën një herë.

Në këtë rast, ka shumë opsione për t'u marrë parasysh. Është e mundur që një numër 6 të hidhet, domethënë, njëri prej zareve do të tregojë numrin 6, dhe të tjerët do të tregojë numrat nga 1 në 5, pastaj ka 6 opsione se cili nga zari do të tregojë 6. Ju mund të merrni numrin 6 në dy zare, ose tre, ose edhe më shumë, dhe çdo herë do t'ju duhet të bëni një llogaritje të veçantë, kështu që është e lehtë të ngatërrohesh këtu.

Por le ta shohim problemin nga ana tjetër. Ju do të humbni nëse asnjë nga zari nuk hedh një 6. Në këtë rast kemi 6 prova të pavarura. Probabiliteti që çdo za të hedh një numër të ndryshëm nga numri 6 është 5/6. Shumëzojini ato dhe merrni rreth 33%. Kështu, probabiliteti për të humbur është një në tre. Prandaj, probabiliteti për të fituar është 67% (ose dy deri në tre).

Nga ky shembull është e qartë: nëse llogaritni probabilitetin që një ngjarje të mos ndodhë, duhet të zbrisni rezultatin nga 100%. Nëse probabiliteti për të fituar është 67%, atëherë probabiliteti për të humbur është 100% minus 67%, ose 33%, dhe anasjelltas. Nëse është e vështirë të llogaritet një probabilitet, por është e lehtë të llogaritet e kundërta, llogarisni të kundërtën dhe më pas zbriteni atë numër nga 100%.

Ne kombinojmë kushtet për një test të pavarur

Thashë pak më lart se nuk duhet të shtoni kurrë probabilitete nëpër prova të pavarura. A ka raste kur është e mundur të përmblidhen probabilitetet? Po, në një situatë të veçantë.

Nëse dëshironi të llogaritni probabilitetin për disa rezultate të favorshme të palidhura në një provë të vetme, përmblidhni probabilitetet e secilit rezultat të favorshëm. Për shembull, probabiliteti i rrotullimit të numrave 4, 5 ose 6 në 1d6 është i barabartë me shumën e probabilitetit të rrotullimit të numrit 4, probabilitetit të numrit 5 dhe probabilitetit të Numrit 6. Kjo situatë mund të paraqitet si vijon: nëse përdorni lidhjen "ose" në një pyetje rreth probabilitetit (për shembull, cila është probabiliteti i një ose një tjetër rezultati të një ngjarjeje të rastësishme?) - llogaritni probabilitetet individuale dhe përmblidhni ato.

Ju lutemi vini re: kur llogaritni të gjitha rezultatet e mundshme të një loje, shuma e probabiliteteve të ndodhjes së tyre duhet të jetë e barabartë me 100%, përndryshe llogaritja juaj është bërë gabim. Kjo është një mënyrë e mirë për të kontrolluar dy herë llogaritjet tuaja. Për shembull, ju keni analizuar probabilitetin e të gjitha kombinimeve në poker. Nëse mblidhni të gjitha rezultatet tuaja, duhet të merrni saktësisht 100% (ose të paktën afërsisht 100%: nëse përdorni një kalkulator, mund të ketë një gabim të vogël rrumbullakimi, por nëse i mblidhni numrat e saktë me dorë, gjithçka duhet të mblidhen). Nëse shuma nuk konvergon, do të thotë që me shumë mundësi nuk keni marrë parasysh disa kombinime ose keni llogaritur gabimisht probabilitetet e disa kombinimeve, dhe llogaritjet duhet të kontrollohen dy herë.

Probabilitete të pabarabarta

Deri më tani kemi supozuar se secila anë e një koke hidhet në të njëjtën frekuencë, sepse kështu duket se funksionojnë zari. Por ndonjëherë mund të hasni në një situatë ku rezultate të ndryshme janë të mundshme dhe ato kanë shanse të ndryshme për t'u shfaqur.

Për shembull, në një nga zgjerimet e lojës me letra të Luftës Bërthamore ka një fushë loje me një shigjetë, nga e cila varet rezultati i lëshimit të raketës. Më shpesh ajo shkakton dëme normale, më të forta ose më të dobëta, por ndonjëherë dëmi dyfishohet ose trefishohet, ose raketa shpërthen në platformën e lëshimit dhe ju lëndon, ose ndodh ndonjë ngjarje tjetër. Ndryshe nga tabela me shigjeta në Chutes & Ladders ose A Game of Life, rezultatet e bordit të lojës në Luftën Bërthamore janë të pabarabarta. Disa seksione të fushës së lojës janë më të mëdha dhe shigjeta ndalet mbi to shumë më shpesh, ndërsa seksionet e tjera janë shumë të vogla dhe shigjeta ndalet në to rrallë.

Pra, në shikim të parë, diapa duket diçka si kjo: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - ne kemi folur tashmë për të, është diçka si një 1d3 e peshuar. Prandaj, duhet t'i ndajmë të gjitha këto seksione në pjesë të barabarta, të gjejmë njësinë më të vogël të matjes, pjesëtuesi i së cilës gjithçka është shumëfish, dhe më pas të paraqesim situatën në formën e d522 (ose ndonjë tjetër), ku grupi i zareve fytyrat do të përfaqësojnë të njëjtën situatë, por me më shumë rezultate. Kjo është një mënyrë për të zgjidhur problemin, dhe është teknikisht e realizueshme, por ekziston një opsion më i thjeshtë.

Le të kthehemi te zaret tona standarde me gjashtë anë. Ne kemi thënë që për të llogaritur rrotullimin mesatar për një kërpudhë normale, duhet të shtoni vlerat në të gjitha fytyrat dhe të ndani me numrin e fytyrave, por si funksionon saktësisht llogaritja? Ka një mënyrë tjetër për ta shprehur këtë. Për një vegël me gjashtë anë, probabiliteti që secila anë të rrotullohet është saktësisht 1/6. Tani e shumëzojmë rezultatin e çdo skaji me probabilitetin e atij rezultati (në këtë rast, 1/6 për secilën skaj), dhe pastaj mbledhim vlerat që rezultojnë. Kështu, duke përmbledhur (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), marrim të njëjtin rezultat (3.5) si në llogaritjen e mësipërme. Në fakt, ne numërojmë në këtë mënyrë çdo herë: ne shumëzojmë çdo rezultat me probabilitetin e atij rezultati.

A mund të bëjmë të njëjtën llogaritje për shigjetën në fushën e lojës në Luftën Bërthamore? Sigurisht që mundemi. Dhe nëse përmbledhim të gjitha rezultatet e gjetura, do të marrim vlerën mesatare. Gjithçka që duhet të bëjmë është të llogarisim probabilitetin e çdo rezultati për shigjetën në tabelën e lojës dhe të shumëzojmë me vlerën e rezultatit.

Një shembull tjetër

Kjo metodë e llogaritjes së mesatares është gjithashtu e përshtatshme nëse rezultatet janë njësoj të mundshme, por kanë avantazhe të ndryshme - për shembull, nëse rrokullisni një copë dhe fitoni më shumë nga disa anë se të tjerat. Për shembull, le të marrim një lojë kazino: ju vendosni një bast dhe vendosni 2d6. Nëse futen tre numra me vlerë të ulët (2, 3, 4) ose katër numra me vlerë të lartë (9, 10, 11, 12), ju do të fitoni një shumë të barabartë me bastin tuaj. Numrat me vlerat më të ulëta dhe më të larta janë të veçanta: nëse vendosni një 2 ose një 12, ju fitoni dyfishin e bastit tuaj. Nëse vendoset ndonjë numër tjetër (5, 6, 7, 8), ju do të humbni bastin tuaj. Kjo është një lojë mjaft e thjeshtë. Por sa është probabiliteti për të fituar?

Le të fillojmë duke numëruar sa herë mund të fitoni. Numri maksimal i rezultateve kur rrotullohet 2d6 është 36. Cili është numri i rezultateve të favorshme?

• Ekziston 1 opsion që do të rrotullohet një 2 dhe 1 opsion që një 12 do të rrotullohet.
• Ka 2 opsione që 3 do të rrotullohen dhe 2 opsione që 11 do të rrotullohen.
• Ka 3 opsione që një 4 do të rrokulliset, dhe 3 opsione që një 10 do të rrotullohet.
• Ekzistojnë 4 opsione për të rrotulluar një 9.

Duke përmbledhur të gjitha opsionet, marrim 16 rezultate të favorshme nga 36. Kështu, në kushte normale ju do të fitoni 16 herë nga 36 të mundshme - probabiliteti për të fituar është pak më pak se 50%.

Por në dy raste nga këto gjashtëmbëdhjetë ju do të fitoni dy herë më shumë - është si të fitoni dy herë. Nëse e luani këtë lojë 36 herë, duke vënë bast 1 dollarë çdo herë, dhe secili prej të gjitha rezultateve të mundshme vjen një herë, ju do të fitoni gjithsej 18 dollarë (në fakt ju do të fitoni 16 herë, por dy prej tyre do të llogariten si dy fitore ). Nëse luani 36 herë dhe fitoni 18 dollarë, a nuk do të thotë kjo që shanset janë të barabarta?

Merrni kohën tuaj. Nëse numëroni numrin e herëve që mund të humbni, do të përfundoni me 20, jo 18. Nëse luani 36 herë, duke vënë bast 1 dollarë çdo herë, do të fitoni gjithsej 18 dollarë nëse arrini të gjitha zgjedhjet e favorshme. Por ju do të humbni një total prej 20 dollarë nëse merrni të gjitha 20 rezultatet e pafavorshme. Si rezultat, do të mbeteni pak prapa: humbni mesatarisht 2 dollarë neto për çdo 36 lojëra (mund të thoni gjithashtu se humbni mesatarisht 1/18 e dollarit në ditë). Tani e shihni se sa e lehtë është të bëni një gabim në këtë rast dhe të llogarisni gabimisht probabilitetin.

Rirregullimi

Deri më tani kemi supozuar se rendi i numrave gjatë hedhjes së zarit nuk ka rëndësi. Rrotullimi 2 + 4 është i njëjtë me rrotullimin 4 + 2. Në shumicën e rasteve, ne numërojmë manualisht numrin e rezultateve të favorshme, por ndonjëherë kjo metodë është jopraktike dhe është më mirë të përdoret një formulë matematikore.

Një shembull i kësaj situate është nga loja me zare Farkle. Për çdo raund të ri, ju rrotulloni 6d6. Nëse jeni me fat dhe merrni të gjitha rezultatet e mundshme 1-2-3-4-5-6 (drejt), do të merrni një bonus të madh. Sa janë gjasat që kjo të ndodhë? Në këtë rast, ka shumë mundësi për marrjen e këtij kombinimi.

Zgjidhja është si më poshtë: njëri prej zareve (dhe vetëm një) duhet të ketë numrin 1. Në sa mënyra mund të shfaqet numri 1 në një za? Ka 6 opsione, pasi ka 6 zare, dhe secili prej tyre mund të bjerë në numrin 1. Prandaj, merrni një zare dhe lëreni mënjanë. Tani një nga zarat e mbetur duhet të hedhë numrin 2. Ekzistojnë 5 opsione për këtë. Merrni një tjetër zare dhe lëreni mënjanë. Pastaj 4 nga zaret e mbetur mund të vendosin numrin 3, 3 nga zaret e mbetura mund të vendosin numrin 4, 2 nga zaret e mbetura mund të vendosin numrin 5. Si rezultat, ju mbetet një zar, i cili duhet të vendosë numrin 6 (në rastin e fundit, zari ka vetëm një kockë, dhe nuk ka zgjidhje).

Për të llogaritur numrin e rezultateve të favorshme për goditjen e drejtë, ne shumëzojmë të gjitha mundësitë e ndryshme të pavarura: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - duket se ka një numër mjaft të madh mundësish që ky kombinim të dalë. .

Për të llogaritur probabilitetin për të marrë një të drejtë, duhet të ndajmë 720 me numrin e të gjitha rezultateve të mundshme për rrotullimin e 6d6. Sa është numri i të gjitha rezultateve të mundshme? Çdo kërpudhë mund të ketë 6 anë, kështu që ne shumëzojmë 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (një numër shumë më i madh se ai i mëparshmi). Ndani 720 me 46656 dhe marrim një probabilitet prej afërsisht 1.5%. Nëse po e projektonit këtë lojë, do të ishte e dobishme për ju ta dini këtë në mënyrë që të krijoni një sistem vlerësimi në përputhje me rrethanat. Tani e kuptojmë pse në Farkle ju merrni një bonus kaq të madh nëse merrni një të drejtë: kjo është një situatë mjaft e rrallë.

Rezultati është interesant edhe për një arsye tjetër. Shembulli tregon se sa rrallë në një periudhë të shkurtër ndodh një rezultat që korrespondon me probabilitetin. Sigurisht, nëse do të hidhnim disa mijëra zare, anët e ndryshme të zareve do të dilnin mjaft shpesh. Por kur hedhim vetëm gjashtë zare, pothuajse kurrë nuk ndodh që çdo fytyrë të dalë lart. Bëhet e qartë se është marrëzi të presësh që tani do të shfaqet një rresht që nuk ka ndodhur ende, sepse "ne nuk e kemi rrokullisur numrin 6 për një kohë të gjatë". Dëgjoni, gjeneratori juaj i numrave të rastësishëm është i prishur.

Kjo na çon në keqkuptimin e zakonshëm se të gjitha rezultatet ndodhin në të njëjtën frekuencë për një periudhë të shkurtër kohore. Nëse hedhim zare disa herë, frekuenca e rënies së secilës anë nuk do të jetë e njëjtë.

Nëse keni punuar ndonjëherë në një lojë online me një lloj gjeneruesi të numrave të rastësishëm më parë, ka shumë të ngjarë të keni hasur në një situatë ku një lojtar i shkruan mbështetjes teknike duke u ankuar se gjeneruesi i numrave të rastësishëm nuk po tregon numra të rastësishëm. Ai arriti në këtë përfundim sepse vrau 4 përbindësha me radhë dhe mori 4 shpërblime saktësisht të njëjta, dhe këto shpërblime duhet të shfaqen vetëm 10% të rasteve, kështu që kjo padyshim nuk duhet të ndodhë pothuajse kurrë.

Ju jeni duke bërë një llogaritje matematikore. Probabiliteti është 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, domethënë, 1 rezultat në 10 mijë është një rast mjaft i rrallë. Kjo është ajo që lojtari po përpiqet t'ju tregojë. A ka ndonjë problem në këtë rast?

E gjitha varet nga rrethanat. Sa lojtarë janë aktualisht në serverin tuaj? Le të themi se keni një lojë mjaft të njohur dhe 100 mijë njerëz e luajnë atë çdo ditë. Sa lojtarë mund të vrasin katër monstra me radhë? Ndoshta të gjitha, disa herë në ditë, por le të supozojmë se gjysma e tyre janë thjesht duke shkëmbyer artikuj të ndryshëm në ankande, duke biseduar në serverët RP ose duke kryer aktivitete të tjera në lojë - kështu që vetëm gjysma e tyre janë duke gjuajtur përbindësha. Sa është probabiliteti që dikush të marrë të njëjtin shpërblim? Në këtë situatë, mund të prisni që kjo të ndodhë të paktën disa herë në ditë.

Meqë ra fjala, kjo është arsyeja pse duket sikur çdo disa javë dikush fiton llotarinë, edhe nëse ai dikush nuk ka qenë kurrë ju ose dikush që njihni. Nëse mjaft njerëz luajnë rregullisht, shanset janë që të ketë të paktën një lojtar me fat diku. Por nëse luani vetë lotarinë, atëherë nuk ka gjasa të fitoni, por përkundrazi do të ftoheni të punoni në Infinity Ward.

Kartat dhe varësia

Ne kemi diskutuar ngjarje të pavarura, të tilla si rrotullimi i një koke, dhe tani njohim shumë mjete të fuqishme për të analizuar rastësinë në shumë lojëra. Llogaritja e probabilitetit është pak më e komplikuar kur bëhet fjalë për tërheqjen e letrave nga kuverta, sepse çdo letër që nxjerrim ndikon në ato që mbeten në kuvertë.

Nëse keni një kuvertë standarde me 52 letra, ju hiqni 10 zemra prej saj dhe dëshironi të dini probabilitetin që letra tjetër të jetë e të njëjtit kostum - probabiliteti ka ndryshuar nga origjinali sepse ju keni hequr tashmë një kartë të kostumit e zemrave nga kuverta. Çdo kartë që hiqni ndryshon probabilitetin që karta tjetër të shfaqet në kuvertë. Në këtë rast, ngjarja e mëparshme ndikon në tjetrën, kështu që ne e quajmë këtë probabilitet të varur.

Ju lutemi vini re se kur them "karta" po flas për çdo mekanik të lojës ku keni një grup objektesh dhe ju hiqni një nga objektet pa e zëvendësuar atë. Një "kuvertë letrash" në këtë rast është analoge me një qese patate të skuqura nga e cila ju merrni një çip, ose një urnë nga e cila merren topa me ngjyra (Unë kurrë nuk kam parë lojëra me një urnë nga e cila merren topa me ngjyra, por mësuesit i teorisë së probabilitetit sipas asaj -arsye pse preferohet ky shembull).

Vetitë e varësisë

Unë do të doja të sqaroja se kur bëhet fjalë për letra, po supozoj se ju tërheqni letra, i shikoni ato dhe i hiqni nga kuverta. Secili prej këtyre veprimeve është një pronë e rëndësishme. Nëse do të kisha një kuvertë me, të themi, gjashtë letra me numrat 1 deri në 6, do t'i përzieja ato dhe do të tërhiqja një letër, pastaj do t'i përzieja të gjashtë letrat përsëri - kjo do të ishte e ngjashme me hedhjen e një karte me gjashtë anë, sepse një rezultat ka asnjë efekt për ato të mëvonshme. Dhe nëse nxjerr letra dhe nuk i zëvendësoj, atëherë duke hequr kartën 1, rris gjasat që herën tjetër të tërheq një kartë me numrin 6. Probabiliteti do të rritet derisa ta heq përfundimisht atë kartë ose përzie kuvertën.

Fakti që po shikojmë kartat është gjithashtu i rëndësishëm. Nëse nxjerr një kartë nga kuverta dhe nuk e shikoj, nuk do të kem asnjë informacion shtesë dhe probabiliteti nuk do të ndryshojë në fakt. Kjo mund të tingëllojë kundërintuitive. Si mund të ndryshojë në mënyrë magjike shanset thjesht rrokullisja e një karte? Por është e mundur sepse ju mund të llogarisni probabilitetin për artikuj të panjohur vetëm nga ajo që dini.

Për shembull, nëse përzieni një kuvertë standarde letrash dhe zbuloni 51 letra dhe asnjëra prej tyre nuk është mbretëreshë e klubeve, atëherë mund të jeni 100% i sigurt se letra e mbetur është një mbretëreshë e klubeve. Nëse përzieni një kuvertë standarde letrash dhe nxirrni 51 letra pa i parë, probabiliteti që letra e mbetur të jetë mbretëresha e klubeve është ende 1/52. Ndërsa hapni secilën kartë, merrni më shumë informacion.

Llogaritja e probabilitetit për ngjarjet e varura ndjek të njëjtat parime si për ngjarjet e pavarura, përveç se është pak më e ndërlikuar sepse gjasat ndryshojnë kur zbuloni kartat. Kështu që ju duhet të shumëzoni shumë vlera të ndryshme në vend që të shumëzoni të njëjtën vlerë. Çfarë do të thotë kjo në të vërtetë është se ne duhet të kombinojmë të gjitha llogaritjet që kemi bërë në një kombinim.

Shembull

Ju përzieni një kuvertë standarde me 52 letra dhe vizatoni dy letra. Sa është probabiliteti që të vizatoni një palë? Ka disa mënyra për të llogaritur këtë probabilitet, por ndoshta më e thjeshta është kjo: sa është probabiliteti që nëse tërheq një letër, nuk do të mund të tërhiqni një palë? Ky probabilitet është zero, kështu që nuk ka shumë rëndësi se cilën kartë të parë tërhiqni, për sa kohë që përputhet me të dytin. Nuk ka rëndësi se cilën kartë tërheqim së pari, ne kemi ende një shans për të tërhequr një palë. Prandaj, probabiliteti i tërheqjes së një çifti pasi të jetë tërhequr letra e parë është 100%.

Sa është probabiliteti që letra e dytë të përputhet me të parën? Kanë mbetur 51 letra në kuvertë, dhe 3 prej tyre përputhen me letrën e parë (në fakt do të ishin 4 nga 52, por ju tashmë keni hequr një nga letrat që përputhen kur keni tërhequr letrën e parë), kështu që probabiliteti është 1/ 17. Kështu që herën tjetër që do të luani Texas Hold'em, djali përballë tavolinës ju thotë: “Cool, një palë tjetër? Ndihem me fat sot,” do ta dini se ka shumë gjasa që ai të bllofet.

Po sikur të shtojmë dy shaka, kështu që kemi 54 letra në kuvertë dhe duam të dimë se cila është probabiliteti për të nxjerrë një palë? Letra e parë mund të jetë një shakaxhi, dhe më pas do të ketë vetëm një letër në kuvertë që përputhet, dhe jo tre. Si të gjeni probabilitetin në këtë rast? Ne do të ndajmë probabilitetet dhe do të shumëzojmë secilën mundësi.

Karta jonë e parë mund të jetë një shaka apo ndonjë kartë tjetër. Probabiliteti për të vizatuar një shaka është 2/54, probabiliteti për të nxjerrë ndonjë kartë tjetër është 52/54. Nëse letra e parë është shaka (2/54), atëherë probabiliteti që letra e dytë të përputhet me të parën është 1/53. Ne i shumëzojmë vlerat (mund t'i shumëzojmë sepse janë ngjarje të veçanta dhe duam të ndodhin të dyja ngjarjet) dhe marrim 1/1431 - më pak se një e dhjeta e përqindjes.

Nëse së pari vizatoni një kartë tjetër (52/54), probabiliteti që të përputhet me letrën e dytë është 3/53. Ne i shumëzojmë vlerat dhe marrim 78/1431 (pak më shumë se 5.5%). Çfarë të bëjmë me këto dy rezultate? Ato nuk kryqëzohen dhe ne duam të dimë probabilitetin e secilit prej tyre, ndaj shtojmë vlerat. Ne marrim një rezultat përfundimtar prej 79/1431 (ende rreth 5.5%).

Nëse do të donim të ishim të sigurt për saktësinë e përgjigjes, mund të llogarisnim probabilitetin e të gjitha rezultateve të tjera të mundshme: tërheqja e një shakaje dhe mospërputhja e një letre të dytë, ose tërheqja e një letre tjetër dhe mospërputhja e një letre të dytë. Duke përmbledhur këto probabilitete dhe probabilitetin për të fituar, do të merrnim saktësisht 100%. Nuk do ta jap matematikën këtu, por mund ta provosh matematikën për ta kontrolluar dyfish.

Paradoksi i Monty Hall

Kjo na sjell në një paradoks mjaft të famshëm që shpesh ngatërron shumë njerëz - Paradoksi i Monty Hall. Paradoksi është emëruar pas drejtuesit të emisionit "Let's Make a Deal" Për ata që nuk e kanë parë kurrë këtë shfaqje televizive, ishte e kundërta e "Çmimi është i drejtë".

Në The Price Is Right, mikpritësi (Bob Barker dikur ishte pritësi; kush është tani, Drew Carey? Nuk ka rëndësi) është miku juaj. Ai dëshiron që ju të fitoni para ose çmime të mira. Përpiqet t'ju japë çdo mundësi për të fituar, për sa kohë që ju mund të merrni me mend se sa vlejnë artikujt e blerë nga sponsorët.

Monty Hall u soll ndryshe. Ai ishte si binjaku i keq i Bob Barker. Qëllimi i tij ishte të të bënte të dukesh si idiot në televizionin kombëtar. Nëse do të ishe në shfaqje, ai ishte kundërshtari yt, ju luanit kundër tij dhe shanset ishin në favor të tij. Ndoshta po tregohem shumë i ashpër, por duke parë shfaqjen në të cilën keni më shumë gjasa të futeni nëse vishni një kostum qesharak, kjo është pikërisht ajo që kam arritur.

Një nga memet më të famshme të shfaqjes ishte kjo: para jush janë tre dyer, dera numër 1, dera numër 2 dhe dera numër 3. Mund të zgjidhni një derë falas. Pas njërit prej tyre është një çmim i mrekullueshëm - për shembull, një makinë e re. Pas dy dyerve të tjera nuk ka asnjë çmim, të dyja nuk kanë asnjë vlerë. Ata supozohet se do t'ju poshtërojnë, kështu që pas tyre nuk është thjesht asgjë, por diçka budalla, për shembull, një dhi ose një tub i madh pastë dhëmbësh - çdo gjë përveç një makine të re.

Ju zgjidhni një nga dyert, Monty është gati ta hapë për t'ju njoftuar nëse fituat apo jo... por prisni. Përpara se ta zbulojmë, le t'i hedhim një sy njërës prej atyre dyerve që nuk keni zgjedhur. Monty e di se pas cilës derë është çmimi, dhe ai gjithmonë mund të hapë derën që nuk ka një çmim pas saj. “Po zgjidhni derën numër 3? Atëherë le të hapim derën numër 1 për të treguar se nuk kishte asnjë çmim pas saj”. Dhe tani, nga bujaria, ai ju ofron mundësinë për të shkëmbyer derën numër 3 të përzgjedhur me atë që ndodhet pas derës numër 2.

Në këtë pikë, lind pyetja e probabilitetit: a rrit kjo mundësi probabilitetin tuaj për të fituar, apo e zvogëlon atë, apo mbetet e pandryshuar? Si mendoni?

Përgjigja e saktë: aftësia për të zgjedhur një derë tjetër rrit probabilitetin për të fituar nga 1/3 në 2/3. Kjo është e palogjikshme. Nëse nuk e keni hasur më parë këtë paradoks, atëherë me shumë mundësi po mendoni: prisni, si ndodhi që duke hapur një derë, ne e ndryshuam me magji probabilitetin? Siç e kemi parë tashmë me hartat, kjo është pikërisht ajo që ndodh kur marrim më shumë informacion. Natyrisht, kur zgjidhni për herë të parë, probabiliteti për të fituar është 1/3. Kur hapet një derë, nuk e ndryshon aspak probabilitetin për të fituar për zgjedhjen e parë: probabiliteti është ende 1/3. Por probabiliteti që dera tjetër të jetë e saktë është tani 2/3.

Le ta shikojmë këtë shembull nga një këndvështrim tjetër. Ju zgjidhni një derë. Probabiliteti për të fituar është 1/3. Unë ju sugjeroj të ndryshoni dy dyert e tjera, gjë që bën Monty Hall. Sigurisht, ai hap një nga dyert për të zbuluar se nuk ka asnjë çmim pas tij, por ai gjithmonë mund ta bëjë këtë, kështu që në të vërtetë nuk ndryshon asgjë. Sigurisht, ju do të dëshironi të zgjidhni një derë të ndryshme.

Nëse nuk e kuptoni plotësisht pyetjen dhe keni nevojë për një shpjegim më bindës, klikoni në këtë lidhje për t'u çuar në një aplikacion të madh të vogël Flash që do t'ju lejojë të eksploroni këtë paradoks në më shumë detaje. Mund të luani duke filluar me rreth 10 dyer dhe më pas gradualisht të arrini në një lojë me tre dyer. Ekziston gjithashtu një simulator ku mund të luani me çdo numër dyersh nga 3 në 50, ose të ekzekutoni disa mijëra simulime dhe të shihni sa herë do të fitonit nëse do të luanit.

Zgjidhni një nga tre dyert - probabiliteti për të fituar është 1/3. Tani keni dy strategji: ndryshoni zgjedhjen tuaj pasi keni hapur derën e gabuar ose jo. Nëse nuk e ndryshoni zgjedhjen tuaj, atëherë probabiliteti do të mbetet 1/3, pasi zgjedhja ndodh vetëm në fazën e parë, dhe ju duhet ta merrni me mend menjëherë. Nëse ndryshoni, atëherë mund të fitoni nëse së pari zgjidhni derën e gabuar (pastaj ata hapin një derë tjetër të gabuar, e drejta mbetet - duke ndryshuar vendimin tuaj, ju e merrni atë). Probabiliteti për të zgjedhur derën e gabuar në fillim është 2/3 - kështu që rezulton se duke ndryshuar vendimin tuaj, ju dyfishoni probabilitetin për të fituar.

Një vërejtje nga mësuesi më i lartë i matematikës dhe specialisti i bilancit të lojës Maxim Soldatov - natyrisht, Schreiber nuk e kishte atë, por pa të është mjaft e vështirë të kuptohet ky transformim magjik

Dhe përsëri për paradoksin Monty Hall

Sa për vetë shfaqjen: edhe nëse kundërshtarët e Monty Hall nuk ishin të mirë në matematikë, ai ishte i mirë në të. Ja çfarë bëri ai për të ndryshuar pak lojën. Nëse zgjidhni një derë që kishte një çmim pas saj, e cila kishte një shans 1/3 për të ndodhur, ajo do t'ju ofronte gjithmonë mundësinë e zgjedhjes së një dere tjetër. Do të zgjedhësh një makinë dhe më pas do ta ndërrosh me një dhi dhe do të dukesh goxha budallaqe - kjo është pikërisht ajo që dëshiron pasi Hall është një lloj djaloshi i keq.

Por nëse zgjidhni një derë që nuk ka një çmim pas saj, ai do t'ju kërkojë të zgjidhni vetëm një tjetër gjysmën e kohës, ose thjesht do t'ju tregojë dhinë tuaj të re dhe ju do të largoheni nga skena. Le të analizojmë këtë lojë të re ku Monty Hall mund të vendosë nëse do t'ju ofrojë mundësinë për të zgjedhur një derë tjetër apo jo.

Supozoni se ai ndjek këtë algoritëm: nëse zgjidhni një derë me një çmim, ai ju ofron gjithmonë mundësinë për të zgjedhur një derë tjetër, përndryshe ai ka të njëjtat gjasa t'ju ofrojë të zgjidhni një derë tjetër ose t'ju japë një dhi. Sa është probabiliteti juaj për të fituar?

Në një nga tre opsionet, ju zgjidhni menjëherë derën pas së cilës ndodhet çmimi dhe prezantuesi ju fton të zgjidhni një tjetër.

Nga dy opsionet e mbetura nga tre (fillimisht ju zgjidhni një derë pa çmim), në gjysmën e rasteve prezantuesi do t'ju ofrojë të ndryshoni vendimin tuaj, dhe në gjysmën tjetër të rasteve - jo.

Gjysma e 2/3 është 1/3, domethënë, në një rast nga tre do të merrni një dhi, në një rast nga tre do të zgjidhni derën e gabuar dhe nikoqiri do t'ju kërkojë të zgjidhni një tjetër, dhe në një rast nga tre ju do të zgjidhni derën e duhur, por ai përsëri do të ofrojë një tjetër.

Nëse prezantuesi ofron të zgjedhë një derë tjetër, tashmë e dimë që ai një rast nga tre, kur na jep një dhi dhe ne ikim, nuk ka ndodhur. Ky është informacion i dobishëm: do të thotë që shanset tona për të fituar kanë ndryshuar. Dy raste nga tre kur kemi mundësi të zgjedhim: në njërin do të thotë se kemi hamendësuar saktë, dhe në tjetrin se kemi hamendësuar gabim, kështu që nëse do të na ofrohet mundësia për të zgjedhur, atëherë probabiliteti për të fituar. është 1/2, dhe nga pikëpamja matematikore, nuk ka rëndësi nëse qëndroni me zgjedhjen tuaj apo zgjidhni një derë tjetër.

Ashtu si pokeri, është një lojë psikologjike, jo matematikore. Pse Monty ju ofroi një zgjedhje? A mendon ai se je një njeri i thjeshtë që nuk e di se zgjedhja e një dere tjetër është vendimi “i duhur” dhe do të mbajë me kokëfortësi zgjedhjen e tij (në fund të fundit, situata është psikologjikisht më e vështirë kur zgjodhe një makinë dhe më pas e humbe atë )?

Apo ai, duke vendosur që je i zgjuar dhe do të zgjedhë një derë tjetër, të ofron këtë mundësi sepse e di që në radhë të parë e ke marrë me mend saktë dhe do të tërhiqesh? Ose ndoshta ai po tregohet jashtëzakonisht i sjellshëm dhe ju shtyn të bëni diçka që do t'ju sjellë dobi, sepse ai nuk ka dhuruar makina për një kohë dhe producentët thonë se publiku po mërzitet dhe do të ishte më mirë të jepte një çmim të madh së shpejti për ta bërë. bien vlerësimet?

Në këtë mënyrë, Monty arrin të ofrojë herë pas here një zgjedhje dhe ende të mbajë probabilitetin e përgjithshëm për të fituar në 1/3. Mos harroni se probabiliteti që ju të humbni plotësisht është 1/3. Mundësia që ju të merrni me mend saktë menjëherë është 1/3, dhe 50% e atyre herëve do të fitoni (1/3 x 1/2 = 1/6).

Mundësia që në fillim të hamendësoni gabim, por më pas të keni mundësinë të zgjidhni një derë tjetër është 1/3, dhe gjysma e atyre herëve do të fitoni (gjithashtu 1/6). Mblidhni dy mundësi të pavarura fitimi dhe ju merrni një probabilitet prej 1/3, kështu që nuk ka rëndësi nëse qëndroni me zgjedhjen tuaj apo zgjidhni një derë tjetër - probabiliteti juaj i përgjithshëm për të fituar gjatë gjithë lojës është 1/3.

Probabiliteti nuk bëhet më i madh se në situatën kur ju e merrni me mend derën dhe prezantuesi thjesht ju tregoi se çfarë kishte pas saj, pa u ofruar të zgjidhni një tjetër. Qëllimi i propozimit nuk është të ndryshojë probabilitetin, por ta bëjë procesin e vendimmarrjes më argëtues për t'u parë në televizion.

Meqë ra fjala, kjo është një nga arsyet pse pokeri mund të jetë kaq interesant: në shumicën e formateve, ndërmjet raundeve kur bëhen bastet (për shembull, flop, turn dhe river në Texas Hold'em), letrat zbulohen gradualisht, dhe nëse në fillim të lojës keni një shans për të fituar, atëherë pas çdo raundi të bastit, kur zbulohen më shumë letra, kjo probabilitet ndryshon.

Paradoksi i djemve dhe vajzave

Kjo na sjell në një tjetër paradoks të njohur, i cili, si rregull, i habit të gjithë - paradoksi i djalit dhe vajzës. E vetmja gjë për të cilën po shkruaj sot që nuk lidhet drejtpërdrejt me lojërat (edhe pse supozoj se thjesht supozohet t'ju inkurajoj të krijoni mekanikë të duhur të lojës). Kjo është më shumë një enigmë, por interesante, dhe për ta zgjidhur atë, duhet të kuptoni probabilitetin e kushtëzuar, për të cilin folëm më lart.

Problemi: Kam një shok me dy fëmijë, të paktën njëri prej tyre është vajzë. Sa është probabiliteti që edhe fëmija i dytë të jetë vajzë? Le të supozojmë se në çdo familje shanset për të pasur një vajzë dhe një djalë janë 50/50 dhe kjo është e vërtetë për çdo fëmijë.

Në fakt, disa meshkuj kanë më shumë spermë me një kromozom X ose një kromozom Y në spermën e tyre, kështu që gjasat ndryshojnë pak. Nëse e dini që një fëmijë është vajzë, gjasat për të pasur një vajzë të dytë janë pak më të larta dhe ka kushte të tjera, si hermafroditizmi. Por për të zgjidhur këtë problem, ne nuk do ta marrim këtë parasysh dhe do të supozojmë se lindja e një fëmije është një ngjarje e pavarur dhe lindja e një djali dhe një vajze janë njësoj të mundshme.

Meqenëse po flasim për një shans prej 1/2, në mënyrë intuitive presim që përgjigja ka shumë të ngjarë të jetë 1/2 ose 1/4, ose ndonjë numër tjetër që është shumëfish i dyshit në emërues. Por përgjigjja është 1/3. Pse?

Vështirësia këtu është se informacioni që kemi redukton numrin e mundësive. Supozoni se prindërit janë fansa të Rrugës Sesame dhe, pavarësisht nga gjinia e fëmijëve, i kanë emëruar A dhe B. Në kushte normale, ka katër mundësi po aq të mundshme: A dhe B janë dy djem, A dhe B janë dy vajza, A. është djalë dhe B është vajzë, A është vajzë dhe B është djalë. Meqenëse e dimë që të paktën një fëmijë është vajzë, mund të përjashtojmë mundësinë që A dhe B të jenë dy djem. Kjo na lë me tre mundësi - ende po aq të mundshme. Nëse të gjitha mundësitë janë njësoj të mundshme dhe janë tre prej tyre, atëherë probabiliteti i secilës prej tyre është 1/3. Vetëm në një nga këto tre opsione janë të dy fëmijë vajza, kështu që përgjigja është 1/3.

Dhe përsëri për paradoksin e një djali dhe një vajze

Zgjidhja e problemit bëhet edhe më e palogjikshme. Imagjinoni që shoku im ka dy fëmijë dhe njëri prej tyre është një vajzë që ka lindur të martën. Le të supozojmë se në kushte normale një fëmijë mund të lindë në secilën nga shtatë ditët e javës me probabilitet të barabartë. Sa është probabiliteti që edhe fëmija i dytë të jetë vajzë?

Ju mund të mendoni se përgjigja do të ishte ende 1/3: çfarë rëndësie ka e marta? Por edhe në këtë rast, intuita jonë na dështon. Përgjigja është 13/27, e cila nuk është vetëm jointuitive, por edhe shumë e çuditshme. Çfarë është puna në këtë rast?

Në fakt, e marta ndryshon probabilitetin sepse ne nuk e dimë se cili fëmijë ka lindur të martën, ose ndoshta të dy kanë lindur të martën. Në këtë rast, ne përdorim të njëjtën logjikë: numërojmë të gjitha kombinimet e mundshme kur të paktën një fëmijë është një vajzë e lindur të martën. Ashtu si në shembullin e mëparshëm, le të supozojmë se fëmijët quhen A dhe B. Kombinimet duken kështu:

• A është një vajzë që ka lindur të martën, B është një djalë (në këtë situatë ka 7 mundësi, një për çdo ditë të javës kur mund të kishte lindur një djalë).
• B është një vajzë e lindur të martën, A është një djalë (gjithashtu 7 mundësi).
• A - një vajzë që ka lindur të martën, B - një vajzë që ka lindur në një ditë tjetër të javës (6 mundësi).
• B është një vajzë që ka lindur të martën, A është një vajzë që nuk ka lindur të martën (gjithashtu 6 probabilitete).
• A dhe B janë dy vajza që kanë lindur të martën (1 mundësi, duhet t'i kushtoni vëmendje kësaj në mënyrë që të mos numëroni dy herë).

Ne mbledhim dhe marrim 27 kombinime të ndryshme po aq të mundshme të lindjeve të fëmijëve dhe ditëve me të paktën një mundësi që një vajzë të lindë të martën. Nga këto janë 13 mundësi kur lindin dy vajza. Gjithashtu duket krejtësisht e palogjikshme - duket sikur kjo detyrë është shpikur vetëm për të shkaktuar dhimbje koke. Nëse jeni ende në mëdyshje, faqja e internetit e teoricienit të lojërave Jesper Juhl ka një shpjegim të mirë për këtë çështje.

Nëse aktualisht jeni duke punuar në një lojë

Nëse ka një rastësi në lojën që po dizajnoni, kjo është një kohë e shkëlqyer për ta analizuar atë. Zgjidhni disa elementë që dëshironi të analizoni. Fillimisht pyesni veten se çfarë prisni të jetë probabiliteti për një element të caktuar, çfarë duhet të jetë në kontekstin e lojës.

Për shembull, nëse jeni duke bërë një RPG dhe jeni duke pyetur veten se cila duhet të jetë probabiliteti që lojtari të mposht një përbindësh në betejë, pyesni veten se çfarë përqindje fitimi është e drejtë për ju. Në mënyrë tipike me RPG-të e konsolës, lojtarët mërziten shumë kur humbasin, kështu që është më mirë nëse humbasin rrallë - 10% të rasteve ose më pak. Nëse jeni një projektues RPG, ju ndoshta e dini më mirë se unë, por ju duhet të keni një ide bazë se cila duhet të jetë probabiliteti.

Pastaj pyesni veten nëse probabilitetet tuaja janë të varura (si me letra) apo të pavarura (si me zare). Analizoni të gjitha rezultatet e mundshme dhe probabilitetet e tyre. Sigurohuni që shuma e të gjitha probabiliteteve të jetë 100%. Dhe, sigurisht, krahasoni rezultatet e marra me pritjet tuaja. A jeni në gjendje të hidhni zare ose të vizatoni letra ashtu siç keni menduar, apo është e qartë se vlerat duhet të rregullohen. Dhe, sigurisht, nëse gjeni ndonjë mangësi, mund të përdorni të njëjtat llogaritje për të përcaktuar se sa të ndryshoni vlerat.

Detyrë shtëpie

Detyrat e shtëpisë tuaj këtë javë do t'ju ndihmojnë të përmirësoni aftësitë tuaja të probabilitetit. Këtu janë dy lojëra me zare dhe një lojë me letra që do t'i analizoni duke përdorur probabilitetin, si dhe një mekanik të çuditshëm të lojës që kam zhvilluar dikur që do të testojë metodën Monte Carlo.

Loja #1 - Kockat e Dragoit

Kjo është një lojë me zare që kolegët e mi dhe unë dikur dolëm me (falë Jeb Heavens dhe Jesse King) - në mënyrë specifike i fryn mendjet njerëzve me probabilitetet e saj. Është një lojë e thjeshtë kazino e quajtur Dragon Dice, dhe është një garë me zare kumari midis lojtarit dhe shtëpisë.

Ju jepet një die normale 1d6. Qëllimi i lojës është të rrokulliset një numër më i lartë se ai i shtëpisë. Tomit i jepet një 1d6 jo standarde - njësoj si e juaja, por në njërën nga fytyrat e saj në vend të një njësie ka një imazh të një dragoi (kështu, kazinoja ka një kub dragoi - 2-3-4-5-6 ). Nëse shtëpia merr një dragua, ajo fiton automatikisht dhe ju humbni. Nëse të dy marrin të njëjtin numër, është një barazim dhe ju hidhni zarin përsëri. Ai që shënon numrin më të madh fiton.

Sigurisht, gjithçka nuk funksionon plotësisht në favor të lojtarit, sepse kazinoja ka një avantazh në formën e skajit të dragoit. Por a është vërtet e vërtetë kjo? Kjo është ajo që duhet të llogarisni. Por së pari kontrolloni intuitën tuaj.

Le të themi se shanset janë 2 me 1. Pra, nëse fitoni, ju mbani bastin tuaj dhe merrni dyfishin e bastit tuaj. Për shembull, nëse vini bast 1 dollar dhe fitoni, ju e mbani atë dollar dhe merrni 2 të tjerë në krye, për një total prej 3 dollarësh. Nëse humbni, humbni vetëm bastin tuaj. A do të luanit? A mendoni intuitivisht se probabiliteti është më i madh se 2 me 1, apo akoma mendoni se është më pak? Me fjalë të tjera, mesatarisht mbi 3 ndeshje, a prisni të fitoni më shumë se një herë, apo më pak, apo një herë?

Pasi të keni kuptuar intuitën tuaj, përdorni matematikën. Ekzistojnë vetëm 36 pozicione të mundshme për të dy zarat, kështu që mund t'i numëroni të gjitha pa problem. Nëse nuk jeni i sigurt për ofertën 2-për-1, merrni parasysh këtë: Le të themi se e keni luajtur lojën 36 herë (duke vënë bast 1$ çdo herë). Për çdo fitore ju merrni 2 dollarë, për çdo humbje humbni 1, dhe një barazim nuk ndryshon asgjë. Llogaritni të gjitha fitimet dhe humbjet tuaja të mundshme dhe vendosni nëse do të humbni apo fitoni disa dollarë. Pastaj pyesni veten se sa e drejtë ishte intuita juaj. Dhe pastaj kuptoni se çfarë horr jam.

Dhe, po, nëse e keni menduar tashmë këtë pyetje - po ju ngatërroj qëllimisht duke keqinterpretuar mekanikën aktuale të lojërave me zare, por jam i sigurt që mund ta kapërceni këtë pengesë vetëm me pak mendim. Mundohuni ta zgjidhni vetë këtë problem.

Loja Nr. 2 - Hidhe për fat

Është një lojë fati me zare e quajtur "Rrokullisje për fat" (e quajtur edhe "Kafazi i shpendëve" sepse ndonjëherë zari nuk hidhet, por vendoset në një kafaz të madh teli, që të kujton kafazin nga Bingo). Loja është e thjeshtë dhe në thelb bazohet në këtë: bast, le të themi, 1 $ në një numër nga 1 në 6. Më pas ju vendosni 3d6. Për çdo kërma që shënon numrin tuaj, ju merrni 1 $ (dhe mbani bastin tuaj origjinal). Nëse numri juaj nuk del në asnjërën prej zareve, kazinoja merr dollarin tuaj dhe ju nuk merrni asgjë. Pra, nëse vini bast në 1 dhe merrni një 1 në anët tre herë, ju merrni 3 dollarë.

Intuitivisht duket se kjo lojë ka shanse të barabarta. Çdo vegël është një mundësi individuale 1 në 6 për të fituar, kështu që mbi shumën e tre rrotullimeve, shansi juaj për të fituar është 3 në 6. Megjithatë, sigurisht, mbani mend se po shtoni tre zare të veçantë dhe ju lejohet vetëm të shtoni nëse po flasim për kombinime të veçanta fituese të së njëjtës bie. Diçka që do t'ju duhet të shumëzoni.

Pasi të keni llogaritur të gjitha rezultatet e mundshme (ndoshta më e lehtë për t'u bërë në Excel sesa me dorë, pasi janë 216 prej tyre), loja ende duket e çuditshme-çift në shikim të parë. Në fakt, kazino ka ende një shans më të mirë për të fituar - sa më shumë? Konkretisht, sa para prisni të humbni mesatarisht çdo raund të lojës?

Gjithçka që duhet të bëni është të shtoni fitoret dhe humbjet e të gjitha 216 rezultateve dhe më pas të ndani me 216, që duhet të jetë shumë e thjeshtë. Por, siç mund ta shihni, këtu ka disa gracka, prandaj them: nëse mendoni se kjo lojë ka shanse të barabarta për të fituar, e keni të gjitha gabim.

Lojë #3 - 5 Card Stud Poker

Nëse tashmë jeni ngrohur me lojërat e mëparshme, le të kontrollojmë se çfarë dimë për probabilitetin e kushtëzuar duke përdorur këtë lojë me letra si shembull. Le të imagjinojmë një lojë pokeri me një kuvertë me 52 letra. Le të imagjinojmë gjithashtu 5 letra, ku secili lojtar merr vetëm 5 letra. Ju nuk mund të hidhni një kartë, nuk mund të vizatoni një të re, nuk ka kuvertë të përbashkët - ju merrni vetëm 5 letra.

Një flush mbretëror është 10-J-Q-K-A në njërën dorë, janë katër gjithsej, kështu që ka katër mënyra të mundshme për të marrë një skuqje mbretërore. Llogaritni probabilitetin që të merrni një kombinim të tillë.

Më duhet t'ju paralajmëroj për një gjë: mbani mend se mund t'i tërheqni këto pesë letra në çdo mënyrë. Kjo do të thotë, së pari mund të vizatoni një ACE ose një dhjetë, nuk ka rëndësi. Pra, kur bëni llogaritjen, mbani në mend se në fakt ka më shumë se katër mënyra për të marrë një flush mbretëror, duke supozuar se letrat janë shpërndarë në rregull.

Loja Nr. 4 - Lotaria e FMN-së

Problemi i katërt nuk mund të zgjidhet kaq lehtë duke përdorur metodat për të cilat folëm sot, por lehtë mund ta simuloni situatën duke përdorur programimin ose Excel. Është në shembullin e këtij problemi që ju mund të përpunoni metodën Monte Carlo.

E përmenda më herët lojën Chron X, të cilën e kam punuar dikur, dhe aty ishte një kartë shumë interesante - lotaria e FMN-së. Ja se si funksionoi: e keni përdorur në lojë. Pas përfundimit të raundit, letrat u rishpërndanë dhe ekzistonte një shans 10% që karta të dilte jashtë loje dhe që një lojtar i rastësishëm të merrte 5 njësi nga çdo lloj burimi, tokeni i të cilit ishte i pranishëm në atë kartë. Karta futej në lojë pa asnjë çip të vetëm, por sa herë që mbetej në lojë në fillim të raundit tjetër, merrte një çip.

Pra, ekzistonte një shans 10% që nëse e vini në lojë, raundi do të përfundonte, letra do të largohej nga loja dhe askush nuk do të merrte asgjë. Nëse kjo nuk ndodh (90% shans), ekziston një shans 10% (në fakt 9%, pasi është 10% e 90%) që në raundin tjetër ajo të largohet nga loja dhe dikush të marrë 5 njësi burimesh. Nëse letra largohet nga loja pas një raundi (10% nga 81% e disponueshme, pra probabiliteti është 8.1%), dikush do të marrë 10 njësi, një raund tjetër - 15, një tjetër - 20, e kështu me radhë. Pyetje: Cila është vlera e përgjithshme e pritur e numrit të burimeve që do të merrni nga kjo kartë kur të largohet përfundimisht nga loja?

Normalisht ne do të përpiqemi ta zgjidhim këtë problem duke llogaritur mundësinë e secilit rezultat dhe duke shumëzuar me numrin e të gjitha rezultateve. Ekziston një shans 10% që ju të merrni 0 (0.1 * 0 = 0). 9% që do të merrni 5 njësi burimesh (9% * 5 = 0,45 burime). 8.1% e asaj që do të merrni është 10 (8.1%*10=0.81 burime - vlera e përgjithshme e pritshme). Dhe kështu me radhë. Dhe pastaj do t'i përmbledhim të gjitha.

Dhe tani problemi është i qartë për ju: ekziston gjithmonë një shans që karta të mos largohet nga loja, mund të mbetet në lojë përgjithmonë, për një numër të pafund raundesh, kështu që nuk ka asnjë mënyrë për të llogaritur çdo probabilitet. Metodat që kemi mësuar sot nuk na lejojnë të llogarisim rekursionin e pafund, kështu që do të na duhet ta krijojmë atë artificialisht.

Nëse jeni mjaft të mirë në programim, shkruani një program që do të simulojë këtë hartë. Duhet të keni një cikli kohor që e sjell variablin në një pozicion fillestar zero, tregon një numër të rastësishëm dhe me një shans 10% variabli të dalë nga cikli. Përndryshe, ai shton 5 në ndryshore dhe cikli përsëritet. Kur të dalë përfundimisht nga cikli, rrisni numrin total të ekzekutimeve të provës me 1 dhe numrin total të burimeve (për sa varet nga ku përfundon variabla). Pastaj rivendosni variablin dhe filloni përsëri.

Ekzekutoni programin disa mijëra herë. Në fund, ndani numrin total të burimeve me numrin total të ekzekutimeve - kjo do të jetë vlera juaj e pritur e Monte Carlo. Ekzekutoni programin disa herë për t'u siguruar që numrat që merrni janë afërsisht të njëjtë. Nëse shpërndarja është ende e madhe, rrisni numrin e përsëritjeve në lakin e jashtëm derisa të filloni të merrni ndeshje. Ju mund të jeni i sigurt se cilido numër me të cilin përfundoni do të jetë afërsisht i saktë.

Nëse jeni i ri në programim (edhe nëse jeni), këtu është një ushtrim i shpejtë për të testuar aftësitë tuaja në Excel. Nëse jeni një projektues lojërash, këto aftësi nuk do të jenë kurrë të tepërta.

Tani funksionet if dhe rand do të jenë shumë të dobishme për ju. Rand nuk kërkon vlera, ai thjesht nxjerr një numër dhjetor të rastësishëm midis 0 dhe 1. Zakonisht e kombinojmë atë me dyshemenë dhe pluset dhe minuset për të simuluar hedhjen e një zar, të cilën e përmenda më herët. Megjithatë, në këtë rast ne po lëmë vetëm një shans 10% që karta të largohet nga loja, kështu që thjesht mund të kontrollojmë për të parë nëse vlera e randës është më e vogël se 0.1 dhe të mos shqetësohemi më për këtë.

Nëse ka tre kuptime. Në mënyrë: një kusht që është i vërtetë ose i gabuar, pastaj një vlerë që kthehet nëse kushti është i vërtetë dhe një vlerë që kthehet nëse kushti është i gabuar. Pra, funksioni i mëposhtëm do të kthejë 5% të kohës, dhe 0 90% të kohës tjetër: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Ka shumë mënyra për të vendosur këtë komandë, por unë do të përdorja këtë formulë për qelizën që përfaqëson raundin e parë, le të themi se është qeliza A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Këtu po përdor një ndryshore negative për të nënkuptuar "kjo kartë nuk është larguar nga loja dhe nuk ka hequr dorë ende nga asnjë burim." Pra, nëse raundi i parë përfundon dhe letra largohet nga loja, A1 është 0; përndryshe është –1.

Për qelizën tjetër që përfaqëson raundin e dytë: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Pra, nëse raundi i parë mbaroi dhe karta u largua menjëherë nga loja, A1 është 0 (numri i burimeve) dhe kjo qelizë thjesht do ta kopjojë atë vlerë. Përndryshe, A1 është -1 (karta nuk është larguar ende nga loja), dhe kjo qelizë vazhdon të lëvizë rastësisht: 10% të kohës do të kthejë 5 njësi burimesh, pjesën tjetër të kohës vlera e saj do të jetë ende e barabartë me -1. Nëse e zbatojmë këtë formulë në qeliza shtesë, marrim raunde shtesë dhe cilado qelizë me të cilën përfundoni do t'ju japë rezultatin përfundimtar (ose -1 nëse karta nuk e ka lënë kurrë lojën pas të gjitha raundeve që keni luajtur).

Merrni atë rresht qelizash, që përfaqëson të vetmin raund me atë kartë, dhe kopjoni dhe ngjisni disa qindra (ose mijëra) rreshta. Mund të mos jemi në gjendje të bëjmë një test të pafund për Excel (ka një numër të kufizuar qelizash në një tabelë), por të paktën mund të mbulojmë shumicën e rasteve. Pastaj zgjidhni një qelizë në të cilën do të vendosni mesataren e rezultateve të të gjitha raundeve - Excel ofron një funksion mesatar () për këtë.

Në Windows, të paktën mund të shtypni F9 për të rillogaritur të gjithë numrat e rastësishëm. Si më parë, bëjeni këtë disa herë dhe shikoni nëse merrni të njëjtat vlera. Nëse përhapja është shumë e madhe, dyfishoni numrin e vrapimeve dhe provoni përsëri.

Probleme të pazgjidhura

Nëse ju ndodh që keni një diplomë në teorinë e probabilitetit dhe problemet e mësipërme ju duken shumë të lehta, këtu janë dy probleme për të cilat unë kruaj kokën prej vitesh, por për fat të keq nuk jam aq i mirë në matematikë për t'i zgjidhur ato.

Problemi i pazgjidhur #1: Lotaria e FMN-së

Problemi i parë i pazgjidhur është detyra e mëparshme e shtëpisë. Unë mund të aplikoj lehtësisht metodën Monte Carlo (duke përdorur C++ ose Excel) dhe të jem i sigurt në përgjigjen e pyetjes "sa burime do të marrë lojtari", por nuk e di saktësisht se si të jap një përgjigje të saktë të vërtetueshme matematikisht (është një seri e pafundme).

Problemi i pazgjidhur #2: Sekuenca figurash

Ky problem (ai gjithashtu shkon përtej detyrave që zgjidhen në këtë blog) ma dha një mik gamer më shumë se dhjetë vjet më parë. Ndërsa luante blackjack në Vegas, ai vuri re një gjë interesante: kur hoqi letra nga një këpucë me 8 kuverta, ai pa dhjetë figura me radhë (figura ose karta e fytyrës është 10, Joker, King ose Queen, pra janë 16 në gjithsej në një letra standarde me 52 kuverta ose 128 në një këpucë me letra 416).

Sa është probabiliteti që kjo këpucë të përmbajë të paktën një sekuencë prej dhjetë ose më shumë figurash? Le të supozojmë se ato janë përzier në mënyrë të drejtë, në mënyrë të rastësishme. Ose, nëse preferoni, sa është probabiliteti që një sekuencë prej dhjetë ose më shumë figurash të mos shfaqet askund?

Ne mund ta thjeshtojmë detyrën. Këtu është një sekuencë prej 416 pjesësh. Çdo pjesë është 0 ose 1. Janë 128 njëshe dhe 288 zero të shpërndara rastësisht në të gjithë sekuencën. Sa mënyra ka për të ndërthurur rastësisht 128 njëshe me 288 zero dhe sa herë në këto mënyra do të ndodhë të paktën një grup prej dhjetë ose më shumë njësh?

Sa herë që merresha me zgjidhjen e këtij problemi, më dukej e lehtë dhe e qartë, por sapo u futa në detaje, papritmas u shpërbë dhe më dukej thjesht e pamundur.

Pra, mos nxitoni të thoni përgjigjen: uluni, mendoni me kujdes, studioni kushtet, përpiquni të futni numra realë, sepse të gjithë njerëzit me të cilët fola për këtë problem (duke përfshirë disa studentë të diplomuar që punojnë në këtë fushë) reaguan. e njëjta gjë: "Është plotësisht e qartë... oh, jo, prit, nuk është aspak e dukshme." Ky është rasti kur nuk kam një metodë për llogaritjen e të gjitha opsioneve. Unë, sigurisht, mund ta detyroja problemin përmes një algoritmi kompjuterik, por do të ishte shumë më interesante të dija zgjidhjen matematikore.

Duke ditur që probabiliteti mund të matet, le të përpiqemi ta shprehim atë me numra. Ka tre mënyra të mundshme.

Oriz. 1.1. Matja e probabilitetit

PROBABILITETI I PËRCAKTUAR NGA SIMETRIA

Ka situata në të cilat rezultatet e mundshme janë po aq të mundshme. Për shembull, kur hedh një monedhë një herë, nëse monedha është standarde, probabiliteti i shfaqjes së "kokave" ose "bishtave" është i njëjtë, d.m.th. P ("kokat") = P ("bishtat"). Meqenëse vetëm dy rezultate janë të mundshme, atëherë P(“kokat”) + P(“bishtat”) = 1, pra, P(“kokat”) = P(“bishtat”) = 0,5.

Në eksperimentet ku rezultatet kanë shanse të barabarta për të ndodhur, probabiliteti i ngjarjes E, P (E) është i barabartë me:

Shembulli 1.1. Monedha hidhet tre herë. Sa është probabiliteti i dy kokave dhe një bishti?

Së pari, le të gjejmë të gjitha rezultatet e mundshme: Për t'u siguruar që kemi gjetur të gjitha opsionet e mundshme, ne do të përdorim një diagram pemë (shih Kapitullin 1, Seksioni 1.3.1).

Pra, ka 8 rezultate po aq të mundshme, prandaj, probabiliteti i tyre është 1/8. Ngjarja E - dy koka dhe bishta - tre ndodhi. Kjo është arsyeja pse:

Shembulli 1.2. Një vegël standarde rrokulliset dy herë. Sa është probabiliteti që rezultati të jetë 9 ose më shumë?

Le të gjejmë të gjitha rezultatet e mundshme.

Tabela 1.2. Numri i përgjithshëm i pikëve të marra duke rrotulluar dy herë një bisht

Pra, në 10 nga 36 rezultate të mundshme, shuma e pikëve është 9 ose prandaj:

PROBABILITETI I PËRCAKTUAR EMPIRIKE

Shembull me një monedhë nga tabela. 1.1 ilustron qartë mekanizmin për përcaktimin e probabilitetit.

Duke pasur parasysh numrin e përgjithshëm të eksperimenteve që janë të suksesshme, probabiliteti i rezultatit të kërkuar llogaritet si më poshtë:

Një raport është frekuenca relative e shfaqjes së një rezultati të caktuar gjatë një eksperimenti mjaft të gjatë. Probabiliteti llogaritet ose në bazë të të dhënave të eksperimentit të kryer, bazuar në të dhënat e kaluara.

Shembulli 1.3. Nga pesëqind llambat elektrike të testuara, 415 punuan për më shumë se 1000 orë. Bazuar në të dhënat nga ky eksperiment, mund të konkludojmë se probabiliteti i funksionimit normal të një llambë të këtij lloji për më shumë se 1000 orë është:

Shënim. Testimi është shkatërrues në natyrë, kështu që jo të gjitha llambat mund të testohen. Nëse do të testohej vetëm një llambë, probabiliteti do të ishte 1 ose 0 (d.m.th. nëse mund të zgjasë 1000 orë apo jo). Prandaj nevoja për të përsëritur eksperimentin.

Shembulli 1.4. Në tabelë Tabela 1.3 tregon të dhënat për kohëzgjatjen e shërbimit të burrave që punojnë në kompani:

Tabela 1.3. Eksperiencë pune për meshkuj

Sa është probabiliteti që personi tjetër i punësuar nga kompania të punojë për të paktën dy vjet:

Zgjidhje.

Tabela tregon se 38 nga 100 punonjës kanë më shumë se dy vjet që punojnë në kompani. Probabiliteti empirik që punonjësi i ardhshëm do të qëndrojë në kompani për më shumë se dy vjet është:

Në të njëjtën kohë, supozojmë se punonjësi i ri është “tipik dhe kushtet e punës janë të pandryshuara.

VLERËSIMI SUBJEKTIV I PROBABILITETIT

Në biznes, shpesh lindin situata në të cilat nuk ka simetri dhe nuk ka as të dhëna eksperimentale. Prandaj, përcaktimi i mundësisë së një rezultati të favorshëm nën ndikimin e pikëpamjeve dhe përvojës së studiuesit është subjektiv.

Shembulli 1.5.

1. Një ekspert investimesh vlerëson se probabiliteti për të realizuar fitim në dy vitet e para është 0.6.

2. Parashikimi i menaxherit të marketingut: probabiliteti për të shitur 1000 njësi të një produkti në muajin e parë pas daljes së tij në treg është 0.4.

Një lojtar profesionist i basteve duhet të ketë një kuptim të mirë të gjasave, shpejt dhe saktë vlerësoni probabilitetin e një ngjarjeje me koeficient dhe, nëse është e nevojshme, të jetë në gjendje konvertoni shanset nga një format në tjetrin. Në këtë manual do të flasim për llojet e koeficientëve, dhe gjithashtu do të përdorim shembuj për të treguar se si mundeni Llogaritni probabilitetin duke përdorur një koeficient të njohur dhe anasjelltas.

Cilat lloje të gjasave ekzistojnë?

Ekzistojnë tre lloje kryesore të shanset që basteshkruesit u ofrojnë lojtarëve: shanset dhjetore, shanset thyesore(anglisht) dhe Shanset amerikane. Shanset më të zakonshme në Evropë janë dhjetore. Shanset amerikane janë të njohura në Amerikën e Veriut. Shanset fraksionale janë lloji më tradicional, ato pasqyrojnë menjëherë informacionin se sa duhet të vini bast për të marrë një shumë të caktuar.

Shanset dhjetore

dhjetore ose quhen edhe ato Shanset evropianeështë një format i njohur i numrave, i paraqitur si një thyesë dhjetore me një saktësi prej të qindtave, dhe ndonjëherë edhe të të mijtës. Një shembull i një numri dhjetor është 1.91. Llogaritja e fitimit në rastin e koeficientëve dhjetorë është shumë e thjeshtë, ju vetëm duhet të shumëzoni shumën e bastit tuaj me këtë koeficient. Për shembull, në ndeshjen "Manchester United" - "Arsenal", fitorja e "Manchester United" vendoset me një koeficient 2.05, një barazim vlerësohet me një koeficient 3.9 dhe fitorja e "Arsenalit" është e barabartë me 2.95. Le të themi se kemi besim se United do të fitojë dhe kemi vënë bast 1000 dollarë për ta. Pastaj të ardhurat tona të mundshme llogariten si më poshtë:

2.05 * $1000 = $2050;

Vërtet nuk është aq e komplikuar, apo jo?! Të ardhurat e mundshme llogariten në të njëjtën mënyrë kur vini bast për një barazim ose fitore të Arsenalit.

Barazim: 3.9 * $1000 = $3900;
Fitorja e Arsenalit: 2.95 * $1000 = $2950;

Si të llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje duke përdorur shanset dhjetore?

Tani imagjinoni që ne duhet të përcaktojmë probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në shanset dhjetore të vendosura nga krijuesi i basteve. Kjo bëhet gjithashtu shumë thjesht. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë një me këtë koeficient.

Le të marrim të dhënat ekzistuese dhe të llogarisim probabilitetin e secilës ngjarje:

Fitorja e Manchester United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Barazim: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Fitorja e Arsenalit: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Shanset thyesore (anglisht)

Siç sugjeron emri koeficienti thyesor përfaqësohet nga një thyesë e zakonshme. Një shembull i gjasave në anglisht është 5/2. Numëruesi i fraksionit përmban një numër që është shuma e mundshme e fitimeve neto, dhe emëruesi përmban një numër që tregon shumën që duhet të vihet bast për të marrë këtë fitim. E thënë thjesht, ne duhet të vëmë bast 2 dollarë për të fituar 5 dollarë. Shanset 3/2 do të thotë që për të marrë 3$ fitime neto, do të duhet të vëmë bast 2$.

Si të llogarisni probabilitetin e një ngjarjeje duke përdorur shanset fraksionale?

Nuk është gjithashtu e vështirë për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje duke përdorur shanset thyesore, thjesht duhet të ndani emëruesin me shumën e numëruesit dhe emëruesit.

Për thyesën 5/2 llogarisim probabilitetin: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Për thyesën 3/2 llogarisim probabilitetin:

Shanset amerikane

Shanset amerikane jopopullore në Evropë, por shumë në Amerikën e Veriut. Ndoshta ky lloj koeficientësh është më kompleksi, por kjo është vetëm në shikim të parë. Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar në këtë lloj koeficienti. Tani le t'i kuptojmë të gjitha me radhë.

Tipari kryesor i shanseve amerikane është se ato mund të jenë ose pozitive, kështu që negativ. Shembull i gjasave amerikane - (+150), (-120). Shanset amerikane (+150) do të thotë që për të fituar 150 dollarë duhet të vëmë bast 100 dollarë. Me fjalë të tjera, një koeficient pozitiv amerikan pasqyron fitimet e mundshme neto me një bast prej $100. Një koeficient negativ amerikan pasqyron shumën e bastit që duhet bërë për të marrë një fitore neto prej 100 dollarësh. Për shembull, koeficienti (-120) na tregon se duke vënë bast 120 dollarë do të fitojmë 100 dollarë.

Si të llogarisni probabilitetin e një ngjarjeje duke përdorur shanset amerikane?

Probabiliteti i një ngjarjeje duke përdorur koeficientin amerikan llogaritet duke përdorur formulat e mëposhtme:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), ku M është një koeficient negativ amerikan;
100/(P+100), ku P është një koeficient pozitiv amerikan;

Për shembull, ne kemi një koeficient (-120), atëherë probabiliteti llogaritet si më poshtë:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); zëvendësoni vlerën (-120) për "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Kështu, probabiliteti i një ngjarjeje me koeficient amerikan (-120) është 54.5%.

Për shembull, ne kemi një koeficient (+150), atëherë probabiliteti llogaritet si më poshtë:

100/(P+100); zëvendësoni vlerën (+150) për "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Kështu, probabiliteti i një ngjarjeje me shanse amerikane (+150) është 40%.

Si, duke ditur përqindjen e probabilitetit, ta shndërroni atë në një koeficient dhjetor?

Për të llogaritur koeficientin dhjetor bazuar në një përqindje të njohur të probabilitetit, duhet të pjesëtoni 100 me probabilitetin e ngjarjes si përqindje. Për shembull, probabiliteti i një ngjarje është 55%, atëherë koeficienti dhjetor i kësaj probabiliteti do të jetë i barabartë me 1.81.

100 / 55% = 1,81

Si, duke ditur përqindjen e probabilitetit, ta shndërroni atë në një koeficient thyesor?

Për të llogaritur koeficientin thyesor bazuar në një përqindje të njohur probabiliteti, duhet të zbrisni një nga pjesëtimi 100 me probabilitetin e një ngjarjeje si përqindje. Për shembull, nëse kemi një përqindje probabiliteti prej 40%, atëherë koeficienti thyesor i kësaj probabiliteti do të jetë i barabartë me 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Koeficienti i pjesshëm është 1.5/1 ose 3/2.

Si, duke ditur përqindjen e probabilitetit, ta shndërroni atë në një koeficient amerikan?

Nëse probabiliteti i një ngjarjeje është më shumë se 50%, atëherë llogaritja bëhet duke përdorur formulën:

- ((V) / (100 - V)) * 100, ku V është probabiliteti;

Për shembull, nëse probabiliteti i një ngjarjeje është 80%, atëherë koeficienti amerikan i kësaj probabiliteti do të jetë i barabartë me (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Nëse probabiliteti i një ngjarje është më pak se 50%, atëherë llogaritja bëhet duke përdorur formulën:

((100 - V) / V) * 100, ku V është probabiliteti;

Për shembull, nëse kemi një probabilitet në përqindje të një ngjarjeje prej 20%, atëherë koeficienti amerikan i kësaj probabiliteti do të jetë i barabartë me (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Si të konvertohet koeficienti në një format tjetër?

Ka raste kur është e nevojshme të konvertohen shanset nga një format në tjetrin. Për shembull, ne kemi një probabilitet të pjesshëm prej 3/2 dhe duhet ta shndërrojmë atë në dhjetore. Për të kthyer një shanse thyesore në një shanse dhjetore, ne fillimisht përcaktojmë probabilitetin e një ngjarjeje me një shanse thyesore dhe më pas e shndërrojmë këtë probabilitet në një shanse dhjetore.

Probabiliteti i një ngjarjeje me një probabilitet të pjesshëm prej 3/2 është 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Tani le ta kthejmë probabilitetin e një ngjarjeje në një koeficient dhjetor për ta bërë këtë, pjesëtojeni 100 me probabilitetin e ngjarjes si përqindje:

100 / 40% = 2.5;

Kështu, shanset thyesore prej 3/2 janë të barabarta me shanset dhjetore 2,5. Në mënyrë të ngjashme, për shembull, shanset amerikane shndërrohen në thyesore, dhjetore në amerikane, etj. Gjëja më e vështirë në gjithë këtë janë vetëm llogaritjet.

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës që studion modelet e dukurive të rastësishme: ngjarje të rastësishme, ndryshore të rastësishme, vetitë e tyre dhe veprimet mbi to.

Për një kohë të gjatë, teoria e probabilitetit nuk kishte një përkufizim të qartë. Ajo u formulua vetëm në 1929. Shfaqja e teorisë së probabilitetit si shkencë daton që nga Mesjeta dhe përpjekjet e para për analizën matematikore të lojërave të fatit (flake, zare, ruletë). Matematikanët francezë të shekullit të 17-të Blaise Pascal dhe Pierre Fermat, ndërsa studionin parashikimin e fitimeve në lojërat e fatit, zbuluan modelet e para probabiliste që lindin gjatë hedhjes së zareve.

Teoria e probabilitetit u ngrit si shkencë nga besimi se ngjarjet masive të rastësishme bazohen në modele të caktuara. Teoria e probabilitetit studion këto modele.

Teoria e probabilitetit merret me studimin e ngjarjeve, shfaqja e të cilave nuk dihet me siguri. Kjo ju lejon të gjykoni shkallën e probabilitetit të ndodhjes së disa ngjarjeve në krahasim me të tjerët.

Për shembull: është e pamundur të përcaktohet pa mëdyshje rezultati i "kokave" ose "bishtave" si rezultat i hedhjes së një monedhe, por me hedhje të përsëritur, shfaqet afërsisht i njëjti numër "kokash" dhe "bishtesh", që do të thotë se probabiliteti që "kokat" ose "bishtat" të bien ", është e barabartë me 50%.

Test në këtë rast, quhet zbatimi i një grupi të caktuar kushtesh, domethënë në këtë rast, hedhja e një monedhe. Sfida mund të luhet një numër i pakufizuar herë. Në këtë rast, grupi i kushteve përfshin faktorë të rastësishëm.

Rezultati i testit është ngjarje. Ngjarja ndodh:

1. I besueshëm (ndodh gjithmonë si rezultat i testimit).
2. E pamundur (nuk ndodh kurrë).
3. E rastësishme (mund ose nuk mund të ndodhë si rezultat i testit).

Për shembull, kur hedh një monedhë, një ngjarje e pamundur - monedha do të bjerë në buzë, një ngjarje e rastësishme - shfaqja e "kokave" ose "bishtave". Rezultati specifik i testit quhet ngjarje elementare. Si rezultat i testit, ndodhin vetëm ngjarje elementare. Grupi i të gjitha rezultateve të testit të mundshëm, të ndryshëm, specifik quhet hapësira e ngjarjeve elementare.

Konceptet themelore të teorisë

Probabiliteti- shkalla e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme që të ndodhë në të vërtetë tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, përndryshe - e pamundur ose e pamundur.

Vlera e rastësishme- kjo është një sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, dhe nuk dihet paraprakisht se cila. Për shembull: numri për stacion zjarri në ditë, numri i goditjeve me 10 të shtëna, etj.

Variablat e rastësishëm mund të ndahen në dy kategori.

1. Ndryshore diskrete e rastësishmeështë një sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrë vlera të caktuara me një probabilitet të caktuar, duke formuar një grup të numërueshëm (një grup, elementët e të cilit mund të numërohen). Ky grup mund të jetë ose i fundëm ose i pafund. Për shembull, numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv është një ndryshore e rastësishme diskrete, sepse kjo sasi mund të marrë një numër vlerash të pafundme, edhe pse të numërueshme.
2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishmeështë një sasi që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i fundëm ose i pafund. Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Hapësira e probabilitetit- koncepti i prezantuar nga A.N. Kolmogorov në vitet '30 të shekullit të 20-të për të zyrtarizuar konceptin e probabilitetit, i cili shkaktoi zhvillimin e shpejtë të teorisë së probabilitetit si një disiplinë e rreptë matematikore.

Një hapësirë ​​probabiliteti është një trefish (nganjëherë i mbyllur në kllapa këndore: , ku

Ky është një grup arbitrar, elementët e të cilit quhen ngjarje, rezultate ose pika elementare;
- algjebra sigma e nëngrupeve të quajtura ngjarje (të rastësishme);
- masë probabiliteti ose probabilitet, d.m.th. masë e fundme sigma-aditiv i tillë që .

Teorema Moivre-Laplace- një nga teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit, e krijuar nga Laplace në 1812. Ai thotë se numri i sukseseve kur përsëritet i njëjti eksperiment i rastësishëm pa pushim me dy rezultate të mundshme shpërndahet afërsisht normalisht. Kjo ju lejon të gjeni një vlerë të përafërt probabiliteti.

Nëse për secilën prej provave të pavarura probabiliteti i shfaqjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme është i barabartë me () dhe është numri i provave në të cilat ndodh realisht, atëherë probabiliteti që pabarazia të jetë e vërtetë është afër (për vlera të mëdha) me vlera e integralit Laplace.

Funksioni i shpërndarjes në teorinë e probabilitetit- një funksion që karakterizon shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme ose të vektorit të rastit; probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël ose të barabartë me x, ku x është një numër real arbitrar. Nëse plotësohen kushtet e njohura, ai përcakton plotësisht variablin e rastësishëm.

Vlera e pritshme- vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme (kjo është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme, e konsideruar në teorinë e probabilitetit). Në literaturën në gjuhën angleze shënohet me , në rusisht - . Në statistika, shënimi përdoret shpesh.

Le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti dhe një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në të. Ky është, sipas përkufizimit, një funksion i matshëm. Pastaj, nëse ka një integral Lebesgue të mbi hapësirës, ​​atëherë ai quhet pritshmëri matematikore, ose vlera mesatare, dhe shënohet .

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme- një masë e përhapjes së një ndryshoreje të caktuar të rastësishme, pra devijimi i saj nga pritshmëria matematikore. Është caktuar në literaturën ruse dhe të huaj. Në statistika, shënimi ose përdoret shpesh. Rrënja katrore e variancës quhet devijimi standard, devijimi standard ose përhapja standarde.

Le të jetë një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në një hapësirë ​​probabiliteti. Pastaj

ku simboli tregon pritjen matematikore.

Në teorinë e probabilitetit quhen dy ngjarje të rastësishme të pavarur, nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. Në mënyrë të ngjashme, thirren dy ndryshore të rastësishme i varur, nëse vlera e njërës prej tyre ndikon në probabilitetin e vlerave të tjetrës.

Forma më e thjeshtë e ligjit të numrave të mëdhenj është teorema e Bernulit, e cila thotë se nëse probabiliteti i një ngjarjeje është i njëjtë në të gjitha sprovat, atëherë me rritjen e numrit të provave, frekuenca e ngjarjes priret në probabilitetin e ngjarjes dhe pushon së qeni i rastësishëm.

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit thotë se mesatarja aritmetike e një kampioni të fundëm nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike të asaj shpërndarjeje. Në varësi të llojit të konvergjencës, bëhet dallimi midis ligjit të dobët të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca ndodh sipas probabilitetit, dhe ligjit të fortë të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca është pothuajse e sigurt.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj është se veprimi i përbashkët i një numri të madh faktorësh të rastësishëm identikë dhe të pavarur çon në një rezultat që, në kufi, nuk varet nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e mostrës së fundme bazohen në këtë veti. Një shembull i qartë është parashikimi i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

Teorema kufitare qendrore- një klasë teoremash në teorinë e probabilitetit që deklaron se shuma e një numri mjaft të madh të variablave të rastit të varur dobët që kanë përafërsisht të njëjtat shkallë (asnjë nga termat nuk dominon ose nuk jep një kontribut përcaktues në shumë) ka një shpërndarje afër normales.

Meqenëse shumë variabla të rastësishëm në aplikacione formohen nën ndikimin e disa faktorëve të rastësishëm të varur dobët, shpërndarja e tyre konsiderohet normale. Në këtë rast duhet të plotësohet kushti që asnjë nga faktorët të mos jetë dominues. Teoremat e kufirit qendror në këto raste justifikojnë përdorimin e shpërndarjes normale.