Egyszerű és összetett törtek felosztása. Természetes szám osztása közönséges törttel
Törtek szorzása és osztása.
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
Ez a művelet sokkal szebb, mint az összeadás-kivonás! Mert az könnyebb. Emlékeztetőül: a tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálókat (ez lesz az eredmény számlálója) és a nevezőket (ez lesz a nevező). Azaz:
Például:
Minden rendkívül egyszerű. És kérlek, ne keress közös nevezőt! Itt nincs rá szükség...
Egy tört törttel való osztásához meg kell fordítani második(ez fontos!) tört, és szorozza meg őket, azaz:
Például:
Ha találkozik az egész számokkal és törtekkel való szorzással vagy osztással, az rendben van. Akárcsak az összeadásnál, egész számból törtet készítünk, amelynek nevezője eggyel szerepel – és hajrá! Például:
A középiskolában gyakran kell megküzdenie a háromemeletes (vagy akár négyemeletes!) törtekkel. Például:
Hogyan tehetem ezt a tört tisztességes megjelenést? Igen, nagyon egyszerű! Kétpontos osztás használata:
De ne feledkezzünk meg a felosztás rendjéről sem! A szorzással ellentétben itt ez nagyon fontos! Természetesen nem fogjuk összekeverni a 4:2-t és a 2:4-et sem. De egy három emeletes töredékben könnyű hibázni. Kérjük, vegye figyelembe például:
Az első esetben (kifejezés a bal oldalon):
A másodikban (kifejezés a jobb oldalon):
Érzi a különbséget? 4 és 1/9!
Mi határozza meg a felosztás sorrendjét? Vagy zárójelekkel, vagy (mint itt) a vízszintes vonalak hosszával. Fejleszd a szemed. És ha nincsenek zárójelek vagy kötőjelek, például:
majd oszd és szorozd sorrendben, balról jobbra!
És nagyon egyszerű és fontos technika. A diplomával végzett akciókban nagyon hasznos lesz az Ön számára! Ossza el az egyiket tetszőleges törttel, például 13/15-tel:
A lövés megfordult! És ez mindig megtörténik. Ha 1-et tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört, csak fejjel lefelé.
Ennyi a törtekkel végzett műveleteknél. A dolog meglehetősen egyszerű, de több mint elég hibát ad. jegyzet gyakorlati tanácsokat, és kevesebb lesz belőlük (hiba)!
Gyakorlati tippek:
1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség! Nem Általános szavak, nem jókívánságokat! Ez égető szükség! Végezzen minden számítást az egységes államvizsgán teljes értékű feladatként, koncentráltan és világosan. Jobb, ha két plusz sort írunk egy piszkozatba, mint ha fejben számolunk.
2. A különböző típusú törtekkel kapcsolatos példákban áttérünk a közönséges törtekre.
3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg meg nem állnak.
4. Többszintes törtkifejezések két ponton keresztüli osztás segítségével közönségesekre redukáljuk (figyeljük az osztás sorrendjét!).
5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.
Itt vannak azok a feladatok, amelyeket feltétlenül el kell végeznie. A válaszok minden feladat után megérkeznek. Használja a témával kapcsolatos anyagokat és gyakorlati tippeket. Becsülje meg, hány példát tudott helyesen megoldani. Első alkalommal! Számológép nélkül! És vonja le a megfelelő következtetéseket...
Ne feledje – a helyes válasz az a második (főleg a harmadik) alkalomtól kapott nem számít! Ilyen a kemény élet.
Így, vizsga módban oldja meg ! Ez egyébként már felkészülés az egységes államvizsgára. Megoldjuk a példát, ellenőrizzük, megoldjuk a következőt. Mindent eldöntöttünk – újra ellenőriztük az elsőtől az utolsóig. De csak Akkor nézd meg a válaszokat.
Kiszámítja:
Döntöttél?
Olyan válaszokat keresünk, amelyek megfelelnek a tiédnek. Szándékosan zűrzavarosan, úgymond távol a kísértéstől írtam le őket... Itt vannak, pontosvesszővel írva a válaszok.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Most vonjuk le a következtetéseket. Ha minden sikerült, örülök neked! A törtekkel végzett alapvető számítások nem a te problémád! Komolyabb dolgokat is csinálhatsz. Ha nem...
Tehát két probléma közül az egyik van. Vagy egyszerre mindkettő.) Tudáshiány és (vagy) figyelmetlenség. De ez megoldható Problémák.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
A tört egy egész egy vagy több része, általában egynek (1) vesszük. A természetes számokhoz hasonlóan a törtekkel is elvégezhet minden alapvető aritmetikai műveletet (összeadás, kivonás, osztás, szorzás), ehhez ismerni kell a törtekkel való munka jellemzőit, és meg kell különböztetni a típusukat. Többféle tört létezik: tizedes és közönséges, vagy egyszerű. Minden törttípusnak megvannak a maga sajátosságai, de miután alaposan megértette, hogyan kell kezelni őket, bármilyen példát meg tud majd oldani törtekkel, mivel ismeri a végrehajtás alapelveit számtani számítások törtekkel. Nézzünk példákat arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal a segítségével különböző típusok törtek
Hogyan oszthatunk el egy egyszerű törtet természetes számmal?A közönséges vagy egyszerű törtek olyan törtek, amelyeket számarány formájában írnak fel, amelyben az osztalék (számláló) a tört tetején, a tört osztója (nevezője) pedig alul van feltüntetve. Hogyan lehet egy ilyen törtet elosztani egész számmal? Nézzünk egy példát! Tegyük fel, hogy a 8/12-t el kell osztanunk 2-vel.
Ehhez számos műveletet kell végrehajtanunk:
Így, ha azzal a feladattal állunk szemben, hogy egy törtet el kell osztani egy egész számmal, a megoldási diagram valahogy így fog kinézni: 
Hasonló módon bármely közönséges (egyszerű) törtet eloszthat egész számmal.
Hogyan kell elosztani egy tizedesjegyet egész számmal?
A tizedes tört egy olyan tört, amelyet úgy kapunk, hogy egy egységet tíz, ezer és így tovább osztunk. Aritmetikai műveletek a tizedes törtekkel meglehetősen egyszerű.
Nézzünk egy példát arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk a 0,925 tizedes törtet az 5-ös természetes számmal.
Összefoglalva, maradjunk két fő ponton, amelyek fontosak a tizedes törtek egész számmal való osztásakor: - az elválasztáshoz decimális Az oszloposztást természetes szám esetén használjuk;
- A hányadosba vessző kerül, amikor az osztalék teljes részének felosztása befejeződött.
Törtekkel mindent megtehet, az osztást is. Ez a cikk a felosztást mutatja be közönséges törtek. Meghatározásokat adunk, és példákat tárgyalunk. Foglalkozzunk részletesen a törtek természetes számokkal való osztásával és fordítva. A közönséges tört vegyes számmal való osztását tárgyaljuk.
Osztó törtek
Az osztás a szorzás inverze. Osztásakor ismeretlen szorzó címen található híres műés egy másik tényező, ahol az adott jelentését közönséges törtekkel őrzik meg.
Ha el kell osztani egy a b közönséges törtet c d-vel, akkor egy ilyen szám meghatározásához meg kell szorozni a c d osztóval, ez végül a b osztót adja. Kapjunk egy számot, és írjuk fel a b · d c , ahol d c a c d szám inverze. Az egyenlőségek a szorzás tulajdonságaival írhatók fel, nevezetesen: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ahol az a b · d c kifejezés a b és c d hányadosa.
Innen megkapjuk és megfogalmazzuk a közönséges törtek osztásának szabályát:
1. definíció
Egy a b közönséges tört c d-vel való osztásához meg kell szorozni az osztó hányadát az osztó reciprokával.
Írjuk fel a szabályt kifejezés formájában: a b: c d = a b · d c
Az osztás szabályai a szorzásra vezetnek le. Ahhoz, hogy ragaszkodjon hozzá, jól kell értenie a törtek szorzását.
Térjünk át a közönséges törtek felosztására.
1. példa
Osszuk el 9 7-et 5 3-mal. Írja az eredményt törtként!
Megoldás
Az 5 3 szám a 3 5 reciprok törtje. A közönséges törtek osztására vonatkozó szabályt kell használni. Ezt a kifejezést a következőképpen írjuk: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Válasz: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, a törtek kicsinyítésekor válassza el a teljes részt.
2. példa
Oszd meg 8 15: 24 65. Írja a választ törtként!
Megoldás
A megoldáshoz osztásról szorzásra kell lépni. Írjuk fel a következő formában: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Csökkenteni kell, és ez meg is történik a következő módon: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Válassza ki a teljes részt, és kapja meg a 13 9 = 1 4 9 értéket.
Válasz: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Rendkívüli tört elosztása természetes számmal
A tört természetes számmal való osztására azt a szabályt használjuk, hogy a b-t n természetes számmal osztjuk, csak a nevezőt kell megszorozni n-nel. Innen a következő kifejezést kapjuk: a b: n = a b · n.
Az osztási szabály a szorzási szabály következménye. Ezért az előadás természetes szám tört formájában egy ilyen típusú egyenlőséget ad: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Tekintsük ezt a tört számmal való osztását.
3. példa
A 16 45 törtet osszuk el 12-vel.
Megoldás
Alkalmazzuk a tört számmal való osztásának szabályát. 16 45: 12 = 16 45 · 12 alakú kifejezést kapunk.
Csökkentsük a törtet. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 kapjuk.
Válasz: 16 45: 12 = 4 135 .
Természetes szám osztása közönséges törttel
Az osztási szabály hasonló O a természetes szám közönséges törttel való osztásának szabálya: ahhoz, hogy egy n természetes számot oszthassunk egy a b közönséges törttel, meg kell szorozni az n számot az a b tört reciprojával.
A szabály alapján n-ünk van: a b = n · b a, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabályának köszönhetően a kifejezésünket n formában kapjuk: a b = n · b a. Ezt a felosztást egy példával kell megvizsgálni.
4. példa
Ossza el a 25-öt 15-28-cal.
Megoldás
Át kell lépnünk az osztásról a szorzásra. Írjuk fel a 25 kifejezés formájában: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Csökkentsük a törtet, és kapjuk meg az eredményt a 46 2 3 tört alakjában.
Válasz: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Tört elosztása vegyes számmal
Ha egy közönséges törtet vegyes számmal oszt el, könnyen elkezdheti osztani a közönséges törteket. Egy vegyes számot hibás törtté kell konvertálnia.
5. példa
Osszuk el a 35 16 törtet 3 1 8-cal.
Megoldás
Mivel a 3 1 8 vegyes szám, ábrázoljuk helytelen törtként. Ekkor azt kapjuk, hogy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Most osszuk el a törteket. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Válasz: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Vegyes szám felosztása ugyanúgy történik, mint a közönséges számok.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
BAN BEN utoljára Megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a „Törtek összeadása és kivonása”). A legnehezebb pillanat ezekben a műveletekben a törtszámok csökkentése volt közös nevező.
Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. Jó hírek az, hogy ezek a műveletek még az összeadásnál és kivonásnál is egyszerűbbek. Először is nézzük meg legegyszerűbb eset, amikor két pozitív tört van elválasztott egész rész nélkül.
Két tört szorzásához külön kell szoroznia a számlálóikat és a nevezőit. Az első szám lesz a számláló új frakció, a második pedig a nevező.
Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a „fordított” második törttel.
Kijelölés:
A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukál. Tört „átforgatásához” csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért a leckében elsősorban a szorzást fogjuk figyelembe venni.
A szorzás eredményeként redukálható tört keletkezhet (és gyakran előfordul is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört helytelennek bizonyul, a teljes részt ki kell emelni. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztmetszetek, a legnagyobb tényezők és a legkisebb közös többszörösek.
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Törtek szorzása egész részekkel és negatív törtekkel
Ha töredékekben van jelen egész rész, azokat hibássá kell alakítani - és csak ezután szorozni a fent vázolt sémák szerint.
Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az a következő szabályok szerint kivehető a szorzásból vagy teljesen eltávolítható:
- Plusz mínuszra mínuszt ad;
- Két negatívum igenlővé tesz.
Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől meg kellett szabadulni. Egy mű esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több hátrányt is „égessenek”:
- Páronként áthúzzuk a negatívokat, amíg teljesen el nem tűnnek. BAN BEN utolsó lehetőségként, egy mínusz maradhat fenn - az, amelyikhez nem volt párja;
- Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mert nem volt hozzá pár, akkor a szorzás határain kívülre vesszük. Az eredmény egy negatív tört.
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Az összes törtet helytelenné alakítjuk, majd kivesszük a mínuszokat a szorzásból. A maradékot a szokásos szabályok szerint megszorozzuk. Kapunk:
Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a kiemelt egész részt tartalmazó tört előtt megjelenő mínusz kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak a teljes részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).
Szintén vegye figyelembe negatív számok: Szorzáskor zárójelben vannak. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és a teljes jelölés pontosabb legyen.
Törtszámok csökkentése menet közben
A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt elég nagynak bizonyulnak, és a probléma egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja tovább csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a megmaradt számokat.
Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Helyükön olyan egységek maradnak, amelyeket általában véve nem kell írni. A második példában teljes csökkentés Ezt nem sikerült elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.
Ezt a technikát azonban soha ne használja törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:
Ezt nem teheted!
A hiba azért fordul elő, mert összeadáskor a tört számlálója összeget ad, nem pedig számok szorzatát. Ezért lehetetlen egy tört fő tulajdonságát alkalmazni, mivel ebben a tulajdonságban arról beszélünk konkrétan a számok szorzásával kapcsolatban.
Egyszerűen nincs más oka a törtek csökkentésének, tehát helyes megoldás az előző feladat így néz ki:
Helyes megoldás:
Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.
87. § Törtek összeadása.
A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok összeadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egy számmá (összeggé) vonunk össze, amely tartalmazza a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét.
Három esetet vizsgálunk meg egymás után:
1. Frakciók hozzáadása -val ugyanazok a nevezők.
2. Frakciók összeadása -val különböző nevezők.
3. Vegyes számok összeadása.
1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.
Vegyünk egy példát: 1/5 + 2/5.
Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egynek, és osszuk el 5-tel egyenlő részek, akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB szegmens 1/5-ével, a CD szegmens egy része pedig az AB 2/5-ével lesz egyenlő.
A rajzból látható, hogy ha az AD szakaszt vesszük, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Ezeket a tagokat és a kapott összeget figyelembe véve azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.
Innen kapunk következő szabály: Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.
Nézzünk egy példát:
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
Adjuk össze a törteket: 3 / 4 + 3 / 8 Először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre:
Közbülső Lehet, hogy 6/8 + 3/8 nem íródott; az érthetőség kedvéért ide írtuk.
Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először a legkisebb közös nevezőre kell csökkenteni őket, hozzá kell adni a számlálóikat, és fel kell címkézni a közös nevezőt.
Nézzünk egy példát ( további szorzók a megfelelő törtek fölé írjuk):
3. Vegyes számok összeadása.
Adjuk össze a számokat: 2 3/8 + 3 5/6.
Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:
Most egymás után összeadjuk az egész és a tört részeket:
88. § Törtek kivonása.
A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amelynek segítségével két tag és az egyik tag összegéből egy másik tagot találunk. Nézzünk meg három esetet egymás után:
1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.
1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
Nézzünk egy példát:
13 / 15 - 4 / 15
Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB 1/15-ét, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.
A 13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15 törtet. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szegmensből. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:
Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, de a nevező változatlan maradt.
Ezért a hasonló nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
Példa. 3/4 - 5/8
Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:
A köztes 6 / 8 - 5 / 8 az érthetőség kedvéért ide van írva, de később átugorható.
Így ahhoz, hogy törtből törtet lehessen levonni, először le kell redukálni a legkisebb közös nevezőre, majd ki kell vonni a minuend számlálóját a tört számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.
Nézzünk egy példát:
3. Vegyes számok kivonása.
Példa. 10 3/4 - 7 2/3.
Csökkentsük a minuend és a részfej tört részeit a legkisebb közös nevezőre:
Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De van amikor töredék a részrész nagyobb, mint a minuend tört része. Ilyen esetekben ki kell venni egy egységet a minuend teljes részéből, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a törtrész kifejeződik, és hozzá kell adni a minuend tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:
89. § Törtek szorzása.
A tört szorzás tanulmányozásakor figyelembe vesszük következő kérdésekre:
1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása. Tekintsük őket egymás után.
1. Tört szorzása egész számmal.
Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzása. Egy tört (szorzó) egész számmal (tényezővel) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét hozzuk létre, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.
Ez azt jelenti, hogy ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:
Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására redukáltuk. Ennélfogva,
Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való megszorzása megegyezik azzal, hogy ezt a törtet annyiszorosára növeljük, ahány egységet tartalmaz az egész szám. És mivel a tört növelése vagy a számlálójának növelésével érhető el
vagy nevezőjének csökkentésével 
, akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót egy egész számmal, vagy oszthatjuk vele a nevezőt, ha ez lehetséges.
Innen kapjuk a szabályt:
Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót az egész számmal, és a nevezőt meg kell hagyni, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.
Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:
2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. E problémák és a többi között az a különbség, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatunk egy módszert a megoldásukra.
1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?
2. feladat. A vonatnak 300 km-es távolságot kell megtennie A és B városok között. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?
3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van összesen?
Ez néhány a sok probléma közül, amelyekkel egy adott szám egy részének megtalálása során találkozunk. Ezeket általában feladatnak nevezik, hogy megtalálják egy adott szám törtrészét.
Az 1. probléma megoldása. 60 dörzsöléstől. 1/3-át költöttem könyvekre; Ez azt jelenti, hogy a könyvek árának meghatározásához el kell osztani a 60-as számot 3-mal:
2. feladat megoldása. A probléma lényege, hogy meg kell találni a 300 km 2/3-át. Először számoljuk ki 300 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:
300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).
A 300 kétharmadának meghatározásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:
100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).
3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia azoknak a téglaházaknak a számát, amelyek a 400 3/4-ét teszik ki. Először keressük meg a 400 1/4-ét,
400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).
A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:
100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).
A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:
Ahhoz, hogy egy adott számból megtudja egy tört értékét, el kell osztania ezt a számot a tört nevezőjével, és meg kell szoroznia a kapott hányadost a számlálójával.
3. Egész szám szorzása törttel.
Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzása alatt azonos tagok összeadását kell érteni (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Ebben a bekezdésben (1. pont) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy azonos tagok összegét találjuk meg ezzel a törttel.
A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.
Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például a szorzással: 9 2/3. Nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.
Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzás alatt, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.
Az egész szám törttel való szorzásának jelentését tisztázzuk következő definíciót: egy egész szám (szorzó) szorzata törttel (multiplicand) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzószámnak ezt a törtrészét.
Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6 lesz.
De most egy érdekes és fontos kérdés merül fel: miért ilyenek különféle akciók hogyan találjuk meg az összeget egyenlő számokés a számok törteinek megtalálását az aritmetikában ugyanazt a szót nevezik „szorzásnak”?
Ez azért van így, mert az előző művelet (egy szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megtalálása) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy homogén kérdéseket vagy feladatokat ugyanaz a cselekvés old meg.
Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?
Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).
Vegyük ugyanazt a problémát, de benne a ruha mennyisége töredékben lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?”
Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).
A benne lévő számokat még többször megváltoztathatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.
Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.
Hogyan szorozunk meg egy egész számot törttel?
Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:
A definíció szerint az 50-nek 3/4-ét kell megtalálnunk. Keressük először az 50-ből az 1/4-ét, majd a 3/4-ét.
50-ből 1/4 az 50/4;
Az 50-es szám 3/4-e .
Ennélfogva.
Nézzünk egy másik példát: 12 5 / 8 =?
a 12-es szám 1/8-a 12/8,
A 12-es szám 5/8-a .
Ennélfogva,
Innen kapjuk a szabályt:
Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szoroznia az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tennie, és ennek a törtnek a nevezőjét kell aláírnia nevezőként.
Írjuk fel ezt a szabályt betűkkel:
Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.
Fontos megjegyezni, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) csökkentések, Például:
4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint az egész szám törttel való szorzása, vagyis ha tört törttel szorozunk, meg kell találni azt a törtet, amely az első tört faktorában van (a szorzót).
Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.
Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?
Vegyünk egy példát: 3/4 szorozva 5/7-tel. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia a 3/4 5/7-ét. Először keressük meg a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-et
A 3/4 szám 1/7-e a következőképpen lesz kifejezve:
5/7 számok 3/4 a következőképpen lesz kifejezve:
És így,
Egy másik példa: 5/8 szorozva 4/9-cel.
5/8 1/9 része ,
Az 5/8-as szám 4/9-e .
És így, 
Ezekből a példákból a következő szabály vezethető le:
Egy tört törttel való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, és az első szorzatot számlálónak, a másodikat pedig a szorzat nevezőjévé kell tenni.
Ez a szabály benne Általános nézetígy írható:
A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Nézzünk példákat:
5. Vegyes számok szorzása. Mert vegyes számok könnyen helyettesíthető helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt vegyes számként fejezzük ki, akkor helytelen törtekkel helyettesítjük őket. Szorozzuk meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Fordítsuk mindegyiket nem megfelelő törtté, majd szorozzuk meg a kapott törteket a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:
Szabály. Vegyes számok szorzásához először át kell alakítani őket helytelen törtek majd szorozzuk meg a törtek törtekkel való szorzásának szabálya szerint.
Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:
6. Az érdeklődés fogalma. Feladatok megoldásakor, különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem akármilyen, hanem természetes felosztást tesz lehetővé számukra. Például vehet egy rubel egy századrészét (1/100), ez egy kopeck lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Vehetsz 1/10 rubelt, ez lesz "10 kopejk, vagy egy tízkopejkás darab. Vehetsz negyed rubelt, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopeket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem veszik el például a rubel 2/7-ét, mert a rubel nincs hetedrészekre osztva.
A súlyegység, azaz a kilogramm elsősorban tizedes osztást tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g, és a kilogramm olyan töredékei, mint az 1/6, 1/11, 1/13, nem általánosak.
Általánosságban elmondható, hogy (metrikus) mértékegységeink decimálisak, és lehetővé teszik a decimális osztást.
Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „századik” felosztás. Lássunk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeire vonatkozóan.
1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.
Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel volt. 1 rubellel csökkent. 20 kopejkát
2. A takarékpénztárak az év közben megtakarításra elhelyezett összeg 2/100-át fizetik ki a betéteseknek.
Példa. 500 rubelt helyeznek el a pénztárgépben, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.
3. Az egy iskolát végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.
PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, ebből 60 végzett.
A szám századik részét százaléknak nevezzük.
A "százalék" szó innen származik latin nyelv a "cent" gyöke pedig százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Egy ilyen kifejezés jelentése abból következik, hogy kezdetben in az ókori Róma A kamat az a pénz volt, amelyet az adós „minden száz után” fizetett a hitelezőnek. A „cent” szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (mondjuk centiméter).
Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az elmúlt hónapban az üzem az összes termékének 1/100-át hibásként állította elő, inkább ezt mondjuk: az elmúlt hónapban az üzem egy százalékot hibásan termelt. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.
A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:
1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.
2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításban elhelyezett összeg után.
3. Egy iskolát végzettek száma az összes iskolai tanuló 5 százaléka volt.
A betű rövidítéséhez a „százalék” szó helyett a % szimbólumot szokás írni.
Ne feledje azonban, hogy a számításoknál a % jel általában nem írható be a problémafelvetésbe és a végeredménybe. Számítások végzésekor ezzel a szimbólummal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.
Le kell tudnia cserélni egy egész számot a jelzett ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:
Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett szimbólummal:
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása.
1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyír tűzifa volt?
Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa az iskolába szállított tűzifának csak egy részét tette ki, és ez a rész a 30/100 törtrészben van kifejezve. Ez azt jelenti, hogy feladatunk van megkeresni egy szám törtrészét. A megoldáshoz meg kell szoroznunk a 200-at 30/100-zal (a szám törtjének megtalálásának problémáit úgy oldjuk meg, hogy a számot megszorozzuk a törttel.).
Ez azt jelenti, hogy 200 30%-a 60-nak felel meg.
A 30/100-as töredék ebben a problémában 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől meg lehetne tenni; a probléma megoldása nem változott volna.
2. feladat. 300 gyerek volt a táborban különböző korúak. A 11 évesek 21%-ot, a 12 évesek 61%-ot, végül a 13 évesek 18%-ot tettek ki. Hány gyerek volt minden korosztályból a táborban?
Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.
Ez azt jelenti, hogy itt háromszor kell megtalálnia a szám törtrészét. Csináljuk:
1) Hány 11 éves gyerek volt?
2) Hány 12 éves gyerek volt?
3) Hány 13 éves gyerek volt?
A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:
63 + 183 + 54 = 300
Azt is meg kell jegyezni, hogy a problémafelvetésben megadott százalékok összege 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ez arra utal teljes szám a táborban lévő gyerekeket 100%-nak vették.
3 a d a h a 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ennek 65%-át élelmiszerre, 6%-át lakásra és fűtésre, 4%-át gázra, villanyra és rádióra, 10%-át kulturális szükségletekre, 15%-át megtakarításra fordította. Mennyi pénzt költöttek a problémában jelzett igényekre?
A probléma megoldásához meg kell találni az 1200-nak a töredékét 5-ször.
1) Mennyi pénzt költöttek élelmiszerre? A probléma azt mondja, hogy ez a kiadás a teljes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a.
2) Mennyi pénzt fizetett egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan okoskodva a következő számításhoz jutunk:
3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?
4) Mennyi pénzt költöttek kulturális szükségletekre?
5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?
Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető a problémafelvetésben megadott százalékos számok összeadásával.
Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a problémák különböző dolgokkal foglalkoztak (az iskolai tűzifa szállítása, a különböző korú gyerekek száma, a dolgozói kiadások), ugyanúgy megoldódtak. Ez azért történt, mert minden feladatban a megadott számok több százalékát kellett megtalálni.
90. § Törtosztás.
A törtek felosztásának tanulmányozása során a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:
1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.
2. Tört elosztása egész számmal
3. Egész szám elosztása törttel.
4. Tört elosztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése adott törtéből.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.
Tekintsük őket egymás után.
1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.
Ahogy az egész számok osztályában jeleztük, az osztás az a művelet, amely abból áll, hogy két tényező (osztalék) és ezen tényezők egyikének (osztó) szorzata esetén egy másik tényezőt találunk.
Az egész számokról szóló részben megvizsgáltuk egy egész szám egész számmal való osztását. Az osztásnak két esetével találkoztunk ott: maradék nélkül, vagy „egészen” (150: 10 = 15), illetve maradékkal (100: 9 = 11 és 1 maradék). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mivel az osztó nem mindig az osztó egész számmal való szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok osztásának bármely esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).
Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek 12-vel való szorzata 7 lenne. Ilyen szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14 / 25, mert 14 / 25 25 = 14.
Így egy egész szám egész számmal való osztásához létre kell hozni egy törtet, amelynek számlálója egyenlő az osztóval, a nevező pedig az osztóval.
2. Tört elosztása egész számmal.
A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. Az osztás fenti definíciója szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); meg kell találnia egy második tényezőt, amelyet 3-mal megszorozva adna ez a munka 6/7. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat az volt, hogy a tört 6/7-ét 3-szorosára csökkentsük.
Azt már tudjuk, hogy a tört csökkentése történhet a számláló csökkentésével vagy a nevező növelésével. Ezért írhatod:
BAN BEN ebben az esetben A 6-os számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót felezni kell.
Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:
Ez alapján egy szabályt lehet alkotni: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját az egész számmal.(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.
3. Egész szám elosztása törttel.
Legyen szükséges az 5-öt elosztani 1/2-vel, azaz találni egy olyan számot, amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Nyilván ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört , és egy szám szorzásakor a megfelelő tört szorzatának kisebbnek kell lennie a szorzandó szorzatnál. Hogy ez érthetőbb legyen, írjuk le cselekvéseinket a következőképpen: 5: 1 / 2 = x , ami azt jelenti, hogy x 1/2 = 5.
Meg kell találnunk egy ilyen számot x , amit 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzata azt jelenti, hogy ennek a számnak az 1/2-ét találjuk meg, ezért 1/2 ismeretlen dátum x egyenlő 5-tel és az egész számmal x kétszer annyi, azaz 5 2 = 10.
Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10
Ellenőrizzük: 
Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el akarja osztani a 6-ot 2/3-mal. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).
19. ábra
Rajzoljunk egy 6 egységnek megfelelő AB szakaszt, és osszuk fel az egységeket 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelek segítségével összekapcsoljuk a 2 kapott 18 szegmenst; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3-as tört 9-szer 6 egységben található, vagy más szóval a 2/3-os tört 9-szer kisebb, mint 6 egész egység. Ennélfogva,
Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, pusztán számításokkal? Indokoljunk így: el kell osztanunk 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolnunk, hogy a 6 hányszor tartalmazza a 2/3-ot. Először nézzük meg: hányszor van 6-ban 1/3? Egy egész egységben 3 harmada van, 6 egységben pedig 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a meghatározásához meg kell szorozni a 6-ot 3-mal. Ez azt jelenti, hogy az 1/3 b egységben 18-szor, a 2/3-ban pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor van benne, azaz 18: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:
Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve elosztani az adott tört számlálójával.
Írjuk fel a szabályt betűkkel:
Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű összehasonlítani a talált szabályt a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ott ugyanazt a képletet kapták.
Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:
4. Tört elosztása törttel.
Tegyük fel, hogy el kell osztani a 3/4-et 3/8-cal. Mit jelent az osztásból származó szám? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).
Vegyünk egy AB szakaszt, vegyük egynek, osszuk 4 egyenlő részre, és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy eredeti szakaszt, ekkor az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. Kössünk össze 3 ilyen szakaszt ívekkel, akkor az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szakasz 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy egy 3/8-nak megfelelő szegmens pontosan 2-szer szerepel egy 3/4-ed szegmensben; Ez azt jelenti, hogy az osztás eredménye a következőképpen írható fel:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 15/16-ot 3/32-vel:
Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amelyet 3/32-vel megszorozva 15/16 szorzatot kapunk. Írjuk fel a számításokat így:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 ismeretlen szám x a 15/16
1/32 egy ismeretlen szám x van,
32/32 számok x smink .
Ennélfogva,
Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá tenni, a második pedig a nevezőt.
Írjuk fel a szabályt betűkkel:
Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:
5. Vegyes számok felosztása.
Vegyes számok felosztásánál először át kell alakítani őket helytelen törtek és majd a kapott törteket osszuk el az osztási szabályok szerint törtszámok. Nézzünk egy példát:
Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:
Most osszuk el:
Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell konvertálnia őket, majd osztani kell a törtosztás szabályával.
6. Szám keresése adott törtéből.
Között különféle feladatokat a törteken néha vannak olyanok, amelyekben egy ismeretlen szám törtrészének értéke van megadva, és meg kell találnia ezt a számot. Ez a fajta probléma az adott szám törtrészének megállapításának a fordítottja lesz; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak egy töredékét, itt egy szám törtrészét és magát ezt a számot kellett megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.
1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?
Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.
A háznak 150 ablaka volt.
2. feladat. Az üzlet 1500 kg lisztet adott el, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?
Megoldás. A probléma körülményeiből kitűnik, hogy 1500 kg eladott liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; ez azt jelenti, hogy ennek a tartaléknak az 1/8-a 3-szor kisebb lesz, azaz a kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:
1500: 3 = 500 (ez a tartalék 1/8-a).
Nyilvánvalóan a teljes kínálat nyolcszor nagyobb lesz. Ennélfogva,
500 8 = 4000 (kg).
A kezdeti lisztkészlet a boltban 4000 kg volt.
Ennek a problémának a figyelembevételével a következő szabály vezethető le.
Ahhoz, hogy a tört adott értékéből számot találjunk, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.
Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen világos, két művelettel oldják meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).
Miután azonban megtanultuk a törtek osztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.
Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:
A jövőben egy művelettel - osztással - megoldjuk a szám törtéből való megtalálásának problémáit.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.
Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, amely ismeri ennek a számnak néhány százalékát.
1. feladat. Először jelen év 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak évi 2%-os hozamot adnak a betéteseknek.)
A probléma lényege, hogy betettem egy bizonyos összeget egy takarékpénztárba, és ott maradtam egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami az általam elhelyezett pénz 2/100-a. Mennyi pénzt tettem bele?
Következésképpen ennek a pénznek egy részét ismerve, kétféleképpen (rubelben és töredékben) kifejezve, meg kell találnunk a teljes, még ismeretlen összeget. Ez hétköznapi feladat hogy megtaláljuk a törtszámát. A következő problémákat osztással oldjuk meg:
Ez azt jelenti, hogy 3000 rubelt helyeztek el a takarékpénztárban.
2. feladat. A halászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat zsákmányoltak ki. Mi volt a tervük?
A probléma körülményeiből ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Nem tudjuk, hány tonna halat kell elkészíteni a terv szerint. Ennek a számnak a megtalálása lesz a megoldás a problémára.
Az ilyen problémákat felosztással oldják meg:
Ez azt jelenti, hogy a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.
3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte egy arra haladó kalauztól, hogy mennyit tettek meg már az útból. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?
A problémakörülményekből egyértelműen látszik, hogy a Riga és Moszkva közötti útvonal 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:
91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.
Vegyük a 2/3 törtet, és cseréljük ki a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Ennek a törtnek az inverzét kaptuk.
Egy adott tört inverzének kiszámításához a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére pedig a nevezőt kell tenni. Ily módon bármely tört reciprokát megkaphatjuk. Például:
3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5
Két olyan törtet nevezünk, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a másodiké. kölcsönösen inverz.
Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilvánvalóan 2/1 lesz, vagy csak 2. Az adott inverz törtét keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden 1 (egy) számlálóval rendelkező tört esetén a reciprok egész számok lesznek, például:
1/3, fordított 3; 1/5, fordított 5
Mivel a reciprok törtek keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a következőkben nem reciprok törtekről, hanem reciprok számokról lesz szó.
Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám inverzét. A törtek esetében ez egyszerűen megoldható: a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ugyanígy megkaphatjuk egy egész szám inverzét is, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Ez azt jelenti, hogy a 7 inverze 1/7 lesz, mert 7 = 7/1; a 10-es szám inverze 1/10 lesz, mivel 10 = 10/1
Ezt a gondolatot többféleképpen is megfogalmazhatjuk: adott szám reciprokát egyet osztva kapunk adott szám . Ez az állítás nemcsak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valójában, ha az 5/9 tört inverzét kell felírnunk, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.
Most egy dolgot emeljünk ki ingatlan reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: a reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valóban:
Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprok számokat. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 8 inverzét.
Jelöljük betűvel x , majd 8 x = 1, tehát x = 1/8. Keressünk egy másik számot, amely a 7/12 inverze, és jelöljük betűvel x , majd 7/12 x = 1, tehát x = 1:7/12 vagy x = 12 / 7 .
Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtosztással kapcsolatos információkat.
Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, a következőket tesszük:
Kérlek fizess Speciális figyelem kifejezésre, és hasonlítsa össze a megadottal: .
Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Mindkét esetben ugyanaz történik. Ezért mondhatjuk hogy az egyik szám elosztása a másikkal helyettesíthető az osztalék szorzásával az osztó inverzével.
Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.
A tevékenység felfüggesztése, a kognitív szféra aktiválása. Mekkora a fénysebesség Előző cikk: Mekkora a fénysebesség