Tekintsük a kapcsolatot a korrelációs függvény természete és a megfelelő véletlenszerű folyamat szerkezete között.

A „spektrum” fogalmát fogjuk használni, amelyet nemcsak a véletlenfüggvények elméletében, hanem a fizikában és a technológiában is széles körben használnak. Ha egy oszcillációs folyamatot különböző frekvenciájú harmonikus rezgések (az úgynevezett „harmonikusok”) összegeként ábrázolunk, akkor a spektrum oszcillációs folyamat függvénynek nevezzük, amely leírja az amplitúdók eloszlását különböző frekvenciákon. A spektrum megmutatja, hogy egy adott folyamatban milyen rezgések vannak túlsúlyban, milyenek belső szerkezet. Hasonló módon vezetjük be egy stacionárius véletlenszerű folyamat spektrális leírását.

Először vegyünk egy stacionárius véletlen függvényt, amelyet egy véges intervallumon (0, T). Legyen adott a korrelációs függvény véletlenszerű függvény X(t)

K x(t, t + τ ) = k x(τ ).

Ezt tudjuk k x(τ ) páros függvény, tehát grafikonja szimmetrikus a tengelyre 0Y görbe.

Változáskor t 1 és t 2 0-tól Térv τ -tól eltérő T hogy T.

Ismeretes, hogy egy páros függvény az intervallumon (– T, T) csak páros (kosinuszos) harmonikusok felhasználásával Fourier-sorrá bővíthető:

k x(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

és az együtthatók Dk képletek határozzák meg

D 0 = ,

Dk = at k ≠ 0.

Figyelembe véve, hogy a funkciók k x(τ ) és cos ωk(τ ) párosak, átalakíthatjuk az együtthatók kifejezéseit alábbiak szerint:

(1)

D 0 = ,

Dk = at k ≠ 0.

Megmutatható, hogy az ilyen jelölésben egy véletlen függvény kanonikus kiterjesztésként ábrázolható:

= , (2)

Ahol U k, Vk– nem korrelált valószínűségi változók -val matematikai elvárások, egyenlő nullával, és a szórások, amelyek azonosak minden azonos indexű valószínűségi változópárnál k: D(U k) = D(Vk) =Dk, és eltérések Dk(1) képletek határozzák meg.

A (2) bővítést nevezzük spektrális dekompozíció stacionárius véletlenszerű funkció.

A spektrális dekompozíció egy stacionárius véletlen függvényt ábrázol, amely különböző frekvenciájú harmonikus rezgésekre bomlik. ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, és ezeknek az oszcillációknak az amplitúdója valószínűségi változók.

A (2) spektrális dekompozícióval adott véletlenfüggvény szórását a képlet határozza meg

D x = = = , (3)

azok. egy stacionárius véletlenfüggvény varianciája egyenlő a spektrális felbomlásának összes harmonikusának varianciáinak összegével.

A (3) képlet azt mutatja, hogy a függvény varianciája ismert módon oszlik el a különböző frekvenciákon: egy frekvencia megfelel b O nagyobb eltérések, mások – m e kisebbek. A frekvencia diszperzió eloszlás grafikusan szemléltethető az ún diszperziós spektrum . Ehhez a frekvenciákat az abszcissza tengelye mentén ábrázoljuk. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, és az ordináta tengely mentén – a megfelelő diszperziók.

Nyilvánvaló, hogy az így felépített spektrum összes ordinátájának összege egyenlő a véletlen függvény szórásával.

Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb időtartamot veszünk figyelembe a spektrális dekompozíció megalkotásakor, annál teljesebbek lesznek információink a véletlen függvényről. Ezért természetes, hogy a spektrális dekompozíció során megpróbáljuk elérni a határértéket T→ ∞, és nézzük meg, hogy a véletlen függvény spektruma mivé alakul. at T → ∞ ω 1 = , tehát a frekvenciák közötti távolságok ωk, a végtelenségig csökkenni fog. Ebben az esetben a diszkrét spektrum egy folytonos spektrumot fog megközelíteni, amelyben minden tetszőlegesen kis frekvenciaintervallum elemi diszperziónak felel meg.

Ábrázoljuk grafikusan a folytonos spektrumot. Ehhez az ordináta tengelyen ábrázoljuk, nem magát a diszperziót Dk, A átlagos diszperziós sűrűség, azaz adott frekvenciaintervallum egységnyi hosszára eső diszperzió. Jelöljük a szomszédos frekvenciák közötti távolságot ∆ω , és minden szegmensen ∆ω , mint az alapon, téglalapot fogunk alkotni területtel Dk. Kapunk egy lépésdiagramot, amely elvileg egy statisztikai eloszlás hisztogramjához hasonlít.

Ez a görbe ábrázolja a diszperziók eloszlási sűrűségét a folytonos spektrum frekvenciáin, és magát a függvényt Sx(ω ) spektrális diszperziós sűrűségnek, ill spektrális sűrűség stacionárius véletlenszerű funkció.

Nyilvánvalóan a görbe által határolt terület Sx(ω ), továbbra is egyenlőnek kell lennie a szórással D x véletlenszerű függvény:

D x = . (4).

A (4) képlet a variancia kiterjesztése D x elemi tagok összegére Sx(ω )dω, amelyek mindegyike az elemi frekvenciatartományonkénti diszperziót jelenti dω, a pont mellett ω .

Így bevezették a stacionárius véletlen folyamat egy új kiegészítő jellemzőjét - a spektrális sűrűséget, amely leírja az stacionárius folyamat frekvencia összetételét. Ez azonban nem független – teljes mértékben a korrelációs függvény határozza meg ezt a folyamatot. A megfelelő képlet a korrelációs függvény kiterjesztése alapján k x(τ ) egy véges intervallumú Fourier-sorba, így néz ki:

Sx(ω ) = . (5)

Ebben az esetben maga a korrelációs függvény is kifejezhető spektrális sűrűséggel:

k x(τ ) = . (6)

A két függvényt kölcsönösen összekapcsoló (5) és (6) képleteket nevezzük Fourier transzformációk.

Vegye figyelembe, hogy a általános képlet(6) órakor τ = 0, akkor a korábban kapott (4) varianciabontást kapjuk.

A gyakorlatban a spektrális sűrűség helyett Sx(ω ) gyakran használ normalizált spektrális sűrűséget:

s x(ω ) = ,

Ahol D x a véletlen függvény varianciája.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a normalizált korrelációs függvény ρ X ( τ ) és normalizált spektrális sűrűség s x(ω ) Fourier transzformációkkal kapcsolódnak egymáshoz:

ρ X ( τ ) = ,

s x(ω ) = .

Feltéve, hogy ezen egyenlőségek közül az elsőben τ = 0 és ennek adott ρ x (0) = 1, megvan

azok. teljes terület, ütemterv korlátozza normalizált spektrális sűrűsége 1.

7. § Stacionárius véletlen függvények ergodikus tulajdonsága.

Tekintsünk néhány stacionárius véletlen függvényt X(t) és tegyük fel, hogy meg kell becsülni a jellemzőit: matematikai elvárás m xés korrelációs függvény k x(τ ). Ezek a jellemzők, vagy inkább becsléseik, és mint már említettük, tapasztalatból nyerhetők, birtokában ismert szám véletlenszerű függvény implementációk X(t). A megfigyelések korlátozott száma miatt a függvény nem lesz szigorúan állandó, azt átlagolni kell, és valamilyen állandóval kell helyettesíteni; hasonlóképpen a különböző értékek átlagolása τ = t 2 – t 1, megkapjuk a korrelációs függvényt.

Ez a feldolgozási módszer nyilvánvalóan meglehetősen bonyolult és körülményes, ráadásul két szakaszból áll: egy véletlen függvény jellemzőinek közelítő meghatározásából és ezen jellemzők hozzávetőleges átlagolásából. Természetesen felmerül a kérdés: lehetséges-e egy stacionárius véletlenfüggvény ezt a folyamatot egy egyszerűbbre cserélni, amely előzetesen azon a feltételezésen alapul, hogy a matematikai elvárás nem függ az időtől, a korrelációs függvény pedig nem az origótól .

Emellett felmerül a kérdés: egy stacionárius véletlenfüggvény megfigyelésének feldolgozásakor elengedhetetlen-e több implementáció? Mivel a véletlenszerű folyamat stacionárius és időben egyenletesen megy végbe, természetes ennek feltételezése egyetlen megvalósítás A megfelelő időtartam elegendő anyagként szolgálhat egy véletlenfüggvény jellemzőinek megszerzéséhez.

Kiderült, hogy létezik ilyen lehetőség, de nem minden véletlenszerű folyamatra. Vegyünk például két stacionárius véletlenfüggvényt, amelyeket implementációik halmaza képvisel.

		1. ábra		2. ábra

Egy véletlenszerű függvényhez X 1 (t) (1. ábra) jellemző következő funkció: mindegyik megvalósítása ugyanaz jellemző vonásai: az átlagos érték, amely körül az oszcillációk előfordulnak, és ezeknek a rezgéseknek az átlagos tartománya. Önkényesen válasszunk egyet ezek közül a felismerések közül, és mentálisan folytassuk egy bizonyos ideig azt a tapasztalatot, amelynek eredményeként azt megszereztük. T. Nyilvánvalóan kellően nagy T ez az egyetlen megvalósítás képes lesz elég jó képet adni a véletlenszerű függvény egészének tulajdonságairól. Különösen ennek a megvalósításnak az értékeinek átlagolásával az x tengely mentén - idővel meg kell kapnunk egy véletlen függvény matematikai elvárásának hozzávetőleges értékét; Az ettől az átlagtól való négyzetes eltérések átlagolásával meg kell kapnunk a variancia hozzávetőleges értékét stb.

Egy ilyen funkciónak állítólag van ergodikus tulajdonság . Az ergodikus tulajdonság az, hogy egy véletlen függvény minden egyes implementációja mintegy „felhatalmazott képviselője” a lehetséges megvalósítások teljes halmazának.

Ha figyelembe vesszük a függvényt X 2 (t) (2. ábra), akkor nyilvánvaló, hogy az egyes megvalósításoknál az átlagérték eltérő és jelentősen eltér a többitől. Ezért, ha egyetlen átlagos értéket állít össze az összes megvalósításhoz, az jelentősen el fog térni az egyes megvalósításoktól.

Ha a véletlen függvény X(t) rendelkezik az ergodikus tulajdonsággal, akkor azért idő átlaga(elég nagy megfigyelési területen) megközelítőleg megegyezik a megfigyelések halmazának átlagával. Ugyanez igaz lesz rá X 2 (t), X(t)X(t+τ) stb. Különösen egy kellően nagy T matematikai elvárás m x képlettel lehet kiszámítani

. (1)

Ebben a képletben az egyszerűség kedvéért a ~ jelet elhagyjuk egy véletlen függvény jellemzésekor, ami azt jelenti, hogy nem magukkal a jellemzőkkel, hanem azok becsléseivel van dolgunk.

Hasonlóképpen megtalálhatjuk a korrelációs függvényt is k x(τ ) bármilyen τ . Mert

k x(τ ) = ,

majd kiszámítja ezt az értéket egy adott τ , megkapjuk

k x(τ ) ≈ , (2)

Ahol - központosított megvalósítás. Miután kiszámította a (2) integrált számos értékre τ , közelítőleg pontról pontra reprodukálható a korrelációs függvény lefutása.

A gyakorlatban a fenti integrálokat általában helyettesítik véges összegek. Ez a következőképpen történik. Osszuk fel a véletlen függvény rögzítési intervallumát n egyenlő részek hossza ∆ t, és jelölje a kapott szakaszok felezőpontjait t 1 , t 2 , …, tn.

Az (1) integrált a ∆ elemi szakaszok integráljainak összegeként ábrázoljuk tés mindegyikről levezetjük a függvényt x(t) az integrál előjel alól az intervallum középpontjának megfelelő átlagértékkel - x(t i). kb

m x = = /

Hasonlóképpen kiszámíthatja az értékek korrelációs függvényét τ , egyenlő 0, ∆ t, 2∆t, ... Adjuk meg például az értéket τ jelentése

τ = 2∆t = .

Számítsuk ki a (2) integrált az integrációs intervallum elosztásával

T - τ = =

-on n – m egyenlő ∆ hosszúságú szakaszok tés mindegyikükön lévő integráljelből kivesszük a függvényt az átlagértékkel. Megkapjuk

.

A korrelációs függvény kiszámítása a megadott képlet alapján történik m= 0, 1, 2,…. Következetesen az ilyen értékekig m, amelynél a korrelációs függvény majdnem egyenlő lesz nullával, vagy nulla körül kis szabálytalan ingadozásokat kezd végrehajtani. Általános lépés funkciókat k x(τ ) az egyes pontokon reprodukálódik.

A jellemzők megfelelő pontosságú meghatározásához szükséges, hogy a pontok száma n elég nagy volt (körülbelül 100, és néhány esetben több). Az elemi szakasz hosszának megválasztása ∆ t a véletlen függvény változásának jellege határozza meg: ha viszonylag egyenletesen változik, akkor a ∆ szakasz t többet választhat, mint amikor éles és gyakori ingadozásokat okoz. Hozzávetőleges útmutatóként javasolhatjuk egy elemi szakasz kiválasztását úgy, hogy teljes időszak a véletlenfüggvény legmagasabb frekvenciájú harmonikusa körülbelül 5-10 referenciapontot jelentett.

Megoldás tipikus feladatok

1. a) Véletlenszerű függvény X(t) = (t 3 + 1)U, Hol U – valószínűségi változó, amelynek értékei a (0; 10) intervallumhoz tartoznak. Funkciómegvalósítások keresése X(t) két tesztben, amelyekben az érték Uértékeket vett fel u 1 = 2, u 2 = 3.

Megoldás. A véletlen függvény megvalósítása óta X(t) nem véletlenszerű argumentumfüggvénynek nevezzük t, akkor ezekre a mennyiségi értékekre U a véletlen függvény megfelelő megvalósításai lesznek

x 1 (t) = 2(t 3 + 1), x 2 (t) = 3(t 3 + 1).

b) Véletlenszerű függvény X(t) = U bűn t, Hol U– valószínűségi változó.

Keressen szakaszokat X(t), amely a rögzített argumentumértékeknek felel meg t 1 = , t 2 = .

Megoldás. Mivel a véletlen függvény keresztmetszete X(t) az argumentum fix értékének megfelelő valószínűségi változó, akkor az argumentum adott értékeihez a megfelelő keresztmetszetek

X 1 = U· = , X 2 = U· = U.

2. Határozza meg egy véletlen függvény matematikai elvárását! X(t) = U· ℮t, Hol U M(U) = 5.

Megoldás. Hadd emlékeztessük erre matematikai elvárás véletlenszerű függvény X(t) nem véletlenszerű függvénynek nevezzük m x(t) = M[X(t)], amely az argumentum minden értékére vonatkozik t egyenlő a véletlen függvény megfelelő szakaszának matematikai elvárásával. Ezért

m x(t) = M[X(t)] = M[U· ℮t].

m x(t) =M[U· ℮t] = ℮ t M(U) = 5℮t.

3. Határozza meg egy véletlenfüggvény matematikai elvárását a) X(t) = Ut 2 +2t+1; b) X(t) = U bűn4 t + V· cos4 t, Hol UÉs V valószínűségi változók, és M(U) = M(V) = 1.

Megoldás. Az m.o. tulajdonságait felhasználva. véletlenszerű függvényünk van

A) m x(t) = M(Ut 2 +2t+1) = M(Ut 2) +M(2t) + M(1) = M(U)t 2 +2t+1 = t 2 +2t+1.

b) m x(t) = M(U bűn4 t + V· cos4 t) = M(U bűn4 t) + M(V· cos4 t) = M(U)· bűn4 t + M(V)· cos4 t= sin4 t+cos4 t.

4. A korrelációs függvény ismert K x véletlenszerű függvény X(t). Keresse meg egy véletlen függvény korrelációs függvényét! Y(t) = X(t) + t 2, az m.o. és korrelációs függvény.

Megoldás. Keressük m.o. véletlenszerű függvény Y(t):

m y(t) = M[Y(t)] = M[X(t) + t 2 ] = M[X(t)] + t 2 = m x(t) + t 2 .

Keressük a központosított függvényt

= Y(t) - m y(t) = [X(t) + t 2 ] – [m x(t) + t 2 ] = X(t) –m x(t) = .

K y = = = K x.

5. A korrelációs függvény ismert K x véletlenszerű függvény X(t). Keresse meg az a) véletlenfüggvény korrelációs függvényét Y(t)=X(t)·( t+1); b) Z(t)=C· X(t), Hol VEL– állandó.

Megoldás. a) Keressük meg a m.o. véletlenszerű függvény Y(t):

m y(t) = M[Y(t)] = M[X(t) · ( t+1)] = (t+1) · M[X(t)].

Keressük a központosított függvényt

=Y(t)-m y(t)=X(t)·( t+1) - (t+1)· M[X(t)] = (t+1)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+1)· .

Most keressük meg a korrelációs függvényt

K y = = = (t 1 +1)(t 2 +1)K x.

b) Az a) esethez hasonlóan bizonyítható, hogy

K y = VEL 2 K x.

6. A szórás ismert D x(t) véletlenszerű függvény X(t Y(t) =X(t)+2.

Megoldás. Nem véletlenszerű tag hozzáadása véletlen függvényhez nem változtatja meg a korrelációs függvényt:

K y(t 1 , t 2) = K x(t 1 , t 2).

Ezt tudjuk K x(t, t) = D x(t), ezért

D(t) = K y(t, t) = K x(t, t) = D x(t).

7. A szórás ismert D x(t) véletlenszerű függvény X(t). Határozzuk meg egy véletlen függvény varianciáját Y(t) = (t+3) · X(t).

Megoldás. Keressük m.o. véletlenszerű függvény Y(t):

m y(t) = M[Y(t)] = M[X(t) · ( t+3)] = (t+3) · M[X(t)].

Keressük a központosított függvényt

=Y(t)-m y(t)=X(t)·( t+3) - (t+3)· M[X(t)] = (t+3)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+3)· .

Keressük a korrelációs függvényt

K y = = = (t 1 +3)(t 2 +3)K x.

Most keressük a szórást

D(t) = K y(t, t) = (t+3)(t+3)K x(t, t) = (t+3) 2 Dx(t).

8. Adott egy véletlen függvény X(t) = U cos2 t, Hol U egy valószínűségi változó, és M(U) = 5, D(U) = 6. Határozza meg a véletlenfüggvény matematikai elvárását, korrelációs függvényét és varianciáját! X(t).

Megoldás. Határozzuk meg a szükséges matematikai elvárást úgy, hogy kivesszük a cos2 nem véletlenszerű tényezőt t az m.o. jelzéshez:

M[X(t)] = M[U cos2 t] = cos2 t ·M(U) = 5cos2 t.

Keressük a központosított függvényt:

= X(t) - m x(t) = U cos2 t- 5cos2 t = (U – 5) cos2 t.

Keressük meg a kívánt korrelációs függvényt:

K x(t 1 , t 2) = = M{[(U- 5)· cos2 t 1 ] [(U- 5)· cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M(U- 5) 2 .

Továbbá, figyelembe véve, hogy egy valószínűségi változó esetén U variancia definíció szerint egyenlő D(U) = M[(U - M((U)] 2 = M((U- 5) 2, ezt kapjuk M((U- 5) 2 = 6. Ezért a korrelációs függvényre végre megvan

K x(t 1 , t 2) = 6cos2 t 1 cos2 t 2 .

Most keressük meg a kívánt diszperziót, amelyre beállítjuk t 1 = t 2 = t:

D x(t) = K x(t, t) = 6cos 2 2 t.

9. Adott a korrelációs függvény K x(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Keresse meg a normalizált korrelációs függvényt.

Megoldás. Definíció szerint a normalizált korrelációs függvény

ρx(t 1 , t 2) = = = .

Az eredményül kapott kifejezés előjele attól függ, hogy az argumentumok rendelkeznek-e t 1 és t 2 azonos jelek vagy más. A nevező mindig pozitív, így végre megvan

ρx(t 1 , t 2) =

10. Matematikai elvárás adott m x(t) = t 2 + 4 véletlenszerű függvény X(t). Határozzuk meg egy véletlen függvény matematikai elvárását! Y(t) = tX´( t) + t 2 .

Megoldás. Egy véletlen függvény deriváltjának matematikai elvárása megegyezik annak matematikai elvárásának deriváltjával. azért

m y(t) = M(Y(t)) = M(tX´( t) + t 2) = M(tX´( t)) + M(t 2) =

= t∙M(X´( t)) + t 2 = t∙(m x(t))´ + t 2 = t∙(t 2 + 4)´ + t 2 = 3t 2 .

11. Adott a korrelációs függvény K x= véletlenszerű függvény X(t). Keresse meg a korrelációs függvényt a deriváltjából!

Megoldás. A derivált korrelációs függvényének megtalálásához kétszer meg kell különböztetni az eredeti véletlenfüggvény korrelációs függvényét, először az egyik argumentumhoz, majd a másikhoz.

= .

+ =

= .

12. Véletlenszerű függvény adott X(t) = U℮3 t cos2 t, Hol U egy valószínűségi változó, és M(U) = 4, D(U) = 1. Határozza meg a matematikai elvárást és deriváltjának korrelációs függvényét!

Megoldás. m x(t) = M(X(t)) = M(U℮3 t cos2 t) = M(U)℮3 t cos2 t = 4℮3 t cos2 t.

M(X(t)) = (m x(t))´ = 4(3℮ 3 t cos2 t – 2℮3 t bűn2 t) = 4℮3 t(3cos2 t– 2sin2 t).

Keressük meg az eredeti véletlenfüggvény korrelációs függvényét. A központosított véletlen függvény az

= X(t) - m x(t) = U℮3 t cos2 t- 4℮3 t cos2 t = (U – 4)℮3 t cos2 t.

K x(t 1 , t 2) = = M{[(U- 4) cos2 t 1 ] [(U- 4) cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M((U- 4) 2) = cos2 t 1 cos2 t 2 D(U)=cos2 t 1 cos2 t 2 .

Keressük a magánost a korrelációs függvény deriváltja az első argumentumhoz képest

Cos2 t 2 =

Cos2 t 2 (3cos2 t 1 – 2sin2 t 1).

Keressük meg a korrelációs függvény második vegyes deriváltját

= (3cos2 t 1 – 2sin2 t 1) =

= (3cos2 t 1 – 2sin2 t 1) (3cos2 t 2 – 2sin2 t 2).

13. Véletlenszerű függvény adott X(t), amelynek matematikai elvárása van

m x(t) = 3t 2 + 1. Határozza meg egy véletlen függvény matematikai elvárását! Y(t)= .

Megoldás. A szükséges matematikai elvárás

m y(t) = = = t 2 + t.

14. Határozza meg az integrál matematikai elvárását! Y(t)= , ismerve a véletlen függvény matematikai elvárását X(t):

A) m x(t) = t–cos2 t; b) m x(t) = 4cos 2 t.

Megoldás. A) m y(t) = = = .

b) m y(t) = = = = + =

2t+ sin2 t.

15. Véletlenszerű függvény adott X(t) = U℮2t cos3 t, Hol U egy valószínűségi változó, és M(U) = 5. Határozza meg az integrál matematikai elvárását! Y(t)= .

Megoldás. Először keressük meg magának a véletlen függvénynek a matematikai elvárását.

m x(t) = M(U℮2t cos3 t) = M(U)℮2t cos3 t = 5℮2t cos3 t.

m y(t) = = 5 = =

= ℮2t bűn3 t - = =

= ℮2t bűn3 t – =

= ℮2t bűn3 t + ℮2t cos3 t – .

Kaptunk tehát egy körintegrált

5 + = ℮2t bűn3 t + ℮2t cos3 t.

vagy = ℮2t( bűn3 t+cos3 t).

Végül m y(t) = ℮2t( bűn3 t+cos3 t).

16. Határozza meg az integrál matematikai elvárását! Y(t) = , a véletlen függvény ismeretében X(t) =U℮3 t bűn t, Hol U egy valószínűségi változó, és M(U)=2.

Megoldás. Határozzuk meg magának a véletlen függvénynek a matematikai elvárását.

m x(t) = M(U℮3t bűn t) = M(U)℮3t bűn t = 2℮3t bűn t.

m y(t) = = 2 = =

= – 2℮3t kötözősaláta t + = =

= – 2℮3t kötözősaláta t + ℮3t bűn t – .

megvan = – ℮3t kötözősaláta t + ℮3t bűn t.

Végül m y(t) = – ℮2t kötözősaláta t + ℮2t bűn t.

17. Véletlenszerű függvény adott X(t), amelynek korrelációs függvénye van

K x(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Keresse meg az integrál korrelációs függvényét! Y(t)= .

Megoldás. Először keressük meg az integrál korrelációs függvényét, amely egyenlő kettős integrál adott korrelációs függvényből. Ezért,

K y(t 1 , t 2) = = = = .

Aztán a szórás Dy(t) = K y(t, t) = .

18. Adott a korrelációs függvény K x(t 1 , t 2) = véletlenszerű függvény X(t). Határozza meg az integrál varianciáját! Y(t)= .

Megoldás. Határozzuk meg az integrál korrelációs függvényét

K y(t 1 , t 2) = = =

= = .

Aztán a szórás

Dy(t) = K y(t, t) = .

19. Határozza meg az integrál szórását! Y(t) = , a véletlenfüggvény korrelációs függvényének ismeretében X(t):

A) K x(t 1 ,t 2) = ; b) K x(t 1 , t 2) = .

Megoldás. A) K y(t 1 , t 2) = = .

Szükséges és elégséges állapot ergodicitás ξ (t) in

a diszperzióval kapcsolatban a (2.5) képlet, az elégséges feltétel pedig a (2.6).

Általában egy stacionárius véletlen folyamat nem ergodikus, ha nem egyenletesen megy végbe. Például a nem ergodikitás

ξ (t)-t az okozhatja, hogy tagként tartalmaz egy X valószínűségi változót, melynek jellemzői m x és D x. Ekkor, mivelξ 1 (t) = ξ (t) + X, akkor m ξ 1 = m ξ + m x,K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

és τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Stacionárius véletlen folyamat spektrális felbontása és a Fourier-transzformáció. Spektrális sűrűség

A véletlenszerű folyamatok spektrális ábrázolásának fő gondolata az, hogy bizonyos harmonikusok összegeként ábrázolhatók. Ez az ábrázolás lehetővé teszi különféle, lineáris és nemlineáris transzformációk viszonylag egyszerű végrehajtását véletlenszerű folyamatokon. Meg lehet például vizsgálni, hogyan oszlik el egy véletlenszerű folyamat diszperziója az azt alkotó harmonikusok frekvenciái között. Az ilyen információk felhasználása a stacionárius véletlen folyamatok spektrális elméletének lényege.

A spektrumelmélet lehetővé teszi egy véletlen folyamat Fourier-képének felhasználását a számításokban. Ez számos esetben jelentősen leegyszerűsíti a számításokat, és széles körben alkalmazzák, különösen az elméleti tanulmányokban.

Egy stacionárius véletlenszerű ξ (t) folyamat a maga módján megadható

kanonikus vagy spektrális lebontással:

ξ(t ) =m ξ +∑ ∞ (x k cos ωk t +y k sin ωk t ) ,
k = 0

ahol M [ x k ] = M [ y k ] = 0 ,	D [ x k] = D [ y k] = D k,	M [ xk yk ] = M[ xi xj ] =
M[yi yj] = M[xi yj] = 0,	i ≠ j. Egy időben	a kovariancia
K ξ (t 1, t 2) = ∑ ∞ D k cos ω k (t 2− t 1) =
	k = 0
= ∑ ∞ D k (cosω k t 1 cosω k t 2 + sinω k t 1 sinω k t 2 ) =
k = 0
= ∑ D k cos ωk τ =K ξ (τ) .
k = 0
A (2.8) kifejezés a következőképpen ábrázolható
ξ(t ) =m ξ +∑ z k cos (ωk t − ψk ),

k = 0

ahol ψ k egy elemi véletlen harmonikus rezgésének fázisa

folyamat, amely a (0,2π),z k – am- intervallumban egyenletesen elosztott valószínűségi változó.

egy elemi véletlenszerű folyamat harmonikus rezgésének amplitúdója, és z k is egy valószínűségi változó

m z és D z.

Valóban, legyen ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, akkor m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 ) (x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

			tegye	ξ k(t) = z kcos (ω kt −ψ k) ,
	ψ k R (0,2π ),	ω k–	nem véletlenszerű érték, de		z k – eset-
	nagyságrendű		híres			Dz,
	ξ k (t ) = z k cosψ k cosω k t + z k sinψ k sinω k t

	M [ cosψ k ] =							M [ sinψ k ] =
			∫ cosxdx = 0								∫ sinxdx = 0,
	D [ cosψ k ] = M [ cos2 ψ k ] =
							∫ cos 2 xdx= 1
	D [ sinψ k ] = M [ sin2 ψ k ] =
									D [ sinψ k cosψ k ] = 0 .
							∫ sin 2 xdx=

Ezért m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Így a (2.8) és (2.10) képletekben a valószínűségi változók ezen formuláiban szereplő tulajdonságokra vonatkozó feltételezések alapján a (2.8) és (2.10) ábrázolások egyenértékűek. Ebben az esetben

a z i és ψ i ,i = 1,∞ teamennyiségek függőek, hiszen nyilvánvalóan fennállnak az összefüggések

	z kcos ψ k= x k, z ksin ψ k= y k,	D z k+ m z 2 k	D [ x k ] =D [ y k ] =D k .

Mivel egy stacionárius véletlen folyamat kovarianciafüggvénye egy számítási függvény, a (− T ,T ) intervallumon számítható.

koszinusz szempontjából egy Fourier-sorba tesszük, azaz. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

k = 0

, ω =

(τ)dτ,

(τ ) d τ . hinni

−T

−T

τ = 0, azt kapjuk

K ξ (0) = D ξ = ∑ D k cosω k 0

= ∑ D k .

k = 0

k = 0

Mivel ω k a spektrum harmonikusaiként értelmezhető,

egy stacionárius véletlenszerű folyamat tral dekompozíciója (2.8), akkor egy stacionárius véletlen folyamat teljes diszperziója, amelyet annak kanonikus (spektrális) lebontása reprezentál, egyenlő a spektrális felbomlásának összes harmonikusának diszperzióinak összegével. ábrán. 2.1

ábrán a különféle ω i harmonikusoknak megfelelő D k diszperziók halmaza látható. Minél hosszabb a képlet szerinti bontási intervallum

(2.9) lesz véve, annál pontosabb lesz a képlet szerinti bővítés. Ha T ′ = 2T-t vesszük, akkor a spektrális bomlás diszperziós spektruma

ξ (t ) folyamat a (0,T ′ ) intervallumon

több komponens (lásd 2.1. ábra, frekvenciák ω / ).

/D 4/

D 5D 6 /

D7/

D2/k

ω1 /

ω 13 ω 1/ 2 ω 15 ω 1/ 3 ω 17 ω 1/ 4 ω 1

kω 1

Rizs. 2.2. Stacionárius véletlenszerű folyamat "varianciaspektruma".

Írjuk át (2.9) egy kicsit más formában:

(cosk ∆ωτ) ∆ω,

∑ Dk

cos ωk τ =∑

k = 0

k = 0

ahol ∆ω = ω1

a szomszédos frekvenciák között intervallum van. Ha

D k =S

(ω ),

	K ξ (τ) =∑ D k cos ωk τ =				(cos k ∆ωτ) ∆ω =
	k = 0		0 k = 0
	= ∞ ∫ S ξ (ω) cos ωτd ω.

Az S ξ (ω k ) ∆ω = D k mennyiség a teljes összeg része

a k-adik harmonikusnak tulajdonítható stacionárius véletlen folyamat ξ (t) varianciája. Mivel T → ∞ (vagy mint ∆ω→ 0), az S ξ (ω k) függvény korlátlanul megközelíti az S ξ (ω) görbét, amely

a paradicsomot az álló eset spektrális sűrűségének nevezzük -

folyamat ξ (t) (2.2. ábra). A (2.13)-ból az következik, hogy a K ξ (τ) és S ξ (ω) függvények a Fourier-koszinusz transzformációval kapcsolódnak egymáshoz. Így,

S ξ (ω )=		∞ ∫ K ξ (τ) cos ωτd τ.

Rizs. 2.2. S ξ függvények grafikonjai (ω k) És Sξ (ω )

A spektrális sűrűség, a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel analóg módon, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. Sξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Sξ (ω ) dω = ∞ ∫ Sξ (ω ) kötözősaláta(0 ω ) dω = Kξ (0 ) =Dξ .

Ha beírja a funkciót Sξ (ω ) , a következőképpen definiálva:

Sξ (ω ) =Sξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

Sξ (ω ) =	Sξ (−ω )		, ω< 0,

hívott stacionárius véletlenszerű folyamat spektrális sűrűsége in összetett forma, akkor ennek a függvénynek a fenti két tulajdonságon kívül van egy harmadik tulajdonsága - a paritás tulajdonsága (2.3. ábra).

3. Sξ (ω ) =Sξ (− ω ) .

Rizs. 2.3. Spektrális sűrűségfüggvény diagramok

Írjuk át a (2.8)-t a következő formában:

		x k		y k
	ξ (t) =mξ +∑		(kötözősalátak∆ω t) ∆ω+		( bűn k∆ω t) ∆ω .
	k = 0

	x k	= X(ω ) ,		y k	= Y(ω ) , majd at	T→ ∞
∆ω→ 0			∆ω→ 0

be lehet szerezni integrált kanonikus reprezentáció száz

nemzeti véletlenszerű folyamat:

ξ (t) =mξ +∞ ∫ X(ω ) kötözősalátaω tdω+	∞ ∫ Y(ω ) bűn ω tdω ,
hol vannak a véletlen függvények X(ω ) És Y(ω )	képviselik az ún

fehér zaj (lásd 2.4. szakasz). Statisztikai jellemzők

a következőket:

M[X(ω )]= M[Y(ω )]= 0 ,

KX(ω 1, ω 2)

= KY(ω 1 , ω 2 ) =Sξ (ω ) δ (ω 2 − ω 1 ) , Holδ (x) –

e ix + e− ix

e ix − e− ix

kötözősaláta x=

bűn x=

2én

(t)= x

kötözősaláta ω t+ y

ω t=

x k− iy k

eén ω k t

x k

+ iy k

eén ω k t .

x k− iy k

x k+ iy k

ξ (t) =zkeénω kt+

kijelöl zk=

z k e énω kt

z k

összetett konjugálást jelent. Ezért,

egy stacionárius véletlenszerű folyamat spektrális kiterjesztésének komplex formában van formája

		én ω k t							én ω k t
			+ zke		én ω k t		= mξ +
ξ (t) =mξ +∑	z k e							∑ z k e
k = 0								k=−∞

Hasonló műveleteket hajthatunk végre a (2.9) formában bemutatott kovarianciafüggvénnyel, és kapjuk meg

K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k e énω kt.

k=−∞

A (2.13) képlet a függvény bevezetését figyelembe véve a következő alakba írható át:

Sξ (ω ) újra tudsz

Kξ (τ ) =∞ ∫ Sξ (ω ) eénω tdω ,
és a funkció Sξ (ω ) - Hogyan
Sξ (ω ) =		∞ ∫ K ξ (τ ) e − énωτ d τ .
	2 π −∞

A (2.18) és (2.19) képletek a spektrális sűrűség Fourier-transzformációját jelentik Sξ (ω ) és kovarianciafüggvény Kξ (τ ) összetett formában.

Mivel a spektrális sűrűség Sξ (ω ) képviseli

egy véletlen folyamat szórásának eloszlási sűrűsége a harmonikusok frekvenciái között, majd a véletlenelmélet egyes alkalmazásaiban

nális folyamatok Kξ ( 0) = Dξ (t) stacionárius véletlenszerű folyamat energiájaként értelmezve, és Sξ (ω ) – milyen a sűrűsége ennek

egységnyi frekvenciánkénti energia. Ez az értelmezés a stacionárius véletlenszerű folyamatok elméletének elektrotechnikai alkalmazása után jelent meg.

5. példa Keresse meg a spektrális sűrűséget Sξ (ω ) elemi véletlenszerű folyamat ξ k(t) = xk kötözősaláta ω kt+ yk bűn ω kt.

Korábban azt mutatták be

mξ k= 0 ,

Kξ k(t1 ,t2 ) = Dk kötözősaláta ω kτ ,

M [ x k] = M [ y k] = 0 ,

D[ x k ] = D[ y k ] = D k ,

τ = t2 −t1 .

A (2.14) képlet szerint

ξ k

(ω )=

∞K

ξ k

(τ ) kötözősalátaωτ dτ =

∞D

kötözősaláta ω

τ kötözősalátaωτ dτ =

= Dk∞ ∫ [ kötözősaláta(ω− ω k) τ + kötözősaláta(ω+ ω k) τ ] dτ =

π 0

= Dk∞ ∫ [ eén(ω−ω

Sξ k (ω ) =

−én(ω−ω k) τ d(− τ ) + ∫ eén(ω−ω k) τ dτ +

k(− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−én(ω+ω k) τ d(− τ ) + ∫ eén(ω+ω k) τ dτ

k∫

eén(ω−ω k)(−τ ) d(− τ ) + ∫ eén(ω−ω k) τ dτ + (− 1 ) ∫ eén(ω+ω k)(−τ ) d(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ eén(ω+ω k) τ dτ

k∫ eén(ω−ω k) τ dτ +

∫eén

(ω+ω k) τ dτ

2 π −∞

= Dk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

Ahol δ (ω ) = 1 ∞ ∫ eénωτ dτ – integrál reprezentáció pre-

2 π −∞

Fourier oktatás δ -Dirac funkciók. Kifejezés erre Sξ k(ω )

így is lehetett volna hagyni, de pozitívan ω (mert ω k> 0), figyelembe véve a tulajdonságokat δ -függvények (lásd a 6. táblázatot

minket. 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0 . Így, Sξ (ω ) = Dkδ (ω− ω k) .

MajdSξ k(ω ) =1 2 Sξ k(ω ) =D2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

Most keressük meg az adott spektrális sűrűséget komplex formában. Funkciók Sξ (ω ) És Sξ k(ω ) – érvényes nem

negatív függvények. Sξ k(ω ) – az intervallumon definiált páros függvény (− ∞ ,∞ ) ,Sξ (ω ) – intervallumon meghatározott ( 0,∞ ) , És

ezen az intervallumon Sξ k(ω ) = 1 2 Sξ k(ω ) (lásd 2.3. ábra). A (2.19) képlet szerint

	(ω )=		∞ K	ξ k	(τ ) e− énωτ dτ =		∞D		kötözősalátaω τ e− énωτ dτ =
ξ k
		2 π −∞				2 π −∞

Stacionárius véletlen függvény spektrális kiterjesztésének megalkotása

X(t) véges időn belül (Ó, T), egy véletlen függvény varianciaspektrumát egyenlő intervallumokkal elválasztott egyedi, diszkrét vonalak sorozata formájában kaptuk meg (az úgynevezett „szakaszos” vagy „vonal” spektrum).

Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb időtartamot veszünk figyelembe, annál teljesebbek lesznek a véletlen függvényre vonatkozó információk. Ezért természetes, hogy megpróbáljuk a határértékre menni a spektrális bontásban at T-> oo és nézd meg, mivé válik a spektrum

véletlenszerű függvény. Ezért távolságokkal

azoknak az ods-oknak a frekvenciái között, amelyeken a spektrum épül, a T-> oo végtelenségig csökken. Ebben az esetben a diszkrét spektrum egy folytonoshoz fog közeledni, amelyben minden tetszőlegesen kis Aco frekvenciaintervallum egy ADco elemi diszperziónak felel meg.

Próbáljunk meg grafikusan ábrázolni egy folytonos spektrumot. Ehhez kissé át kell rendeznünk a diszkrét spektrum grafikonját végesnél T. Ugyanis az ordináta tengelyen ábrázoljuk, nem magát a diszperziót Dk(ami végtelenül csökken T-"ooo), és átlagos diszperziós sűrűség, azok. adott frekvenciaintervallum egységnyi hosszára eső diszperzió. Jelöljük a szomszédos ACO frekvenciák közötti távolságot:

és minden Aso szakaszon alapként egy területű téglalapot építünk D k ( rizs. 17.3.1). Kapunk egy lépésdiagramot, amely hasonlít a statisztikai eloszlás hisztogramjának felépítésének elvére.

A diagram magassága a pontgyep melletti Aco szakaszban egyenlő

Rizs. 17.3.1

és az átlagos diszperziósűrűséget képviseli ezen a területen. A teljes diagram teljes területe nyilvánvalóan megegyezik a véletlen függvény varianciájával.

Az intervallumot korlátlanul növeljük T. Ebben az esetben a Du -> O, és a lépcsős görbe korlátlanul megközelíti a sima görbét S x (с) (17.3.2. ábra). Ez a görbe a diszperziók eloszlási sűrűségét ábrázolja egy folytonos spektrum frekvenciáin, és magát a D x.(a>) függvényt ún. spektrális diszperziós sűrűség vagy röviden, spektrális sűrűség stacionárius véletlenszerű funkció X(t).

Rizs. 17.3.2

Nyilvánvaló, hogy a D g (co) görbe által bezárt területnek egyenlőnek kell lennie a diszperzióval. D x véletlenszerű függvény X(t):

A (17.3.2) képlet nem más, mint a variancia kiterjesztése D x az L'Dso) s/co elemi tagok összegével, amelyek mindegyike az elemi frekvenciatartományonkénti diszperziót jelenti dco, a с pont szomszédságában (17.3.2. ábra).

Így bevezettünk egy újat további jellemzők stacionárius véletlenszerű folyamat - az álló folyamat frekvenciaösszetételét leíró spektrális sűrűség. Ez a jellemző azonban nem független; teljes mértékben ennek a folyamatnak a korrelációs függvénye határozza meg. Csakúgy, mint egy diszkrét spektrum ordinátái Dk(17.2.4) képletekkel fejezik ki a korrelációs függvényen keresztül k x ( t), spektrális sűrűség Sx(a) korrelációs függvénnyel is kifejezhető.

Levezetjük ezt a kifejezést. Ehhez menjünk a kanonikus terjeszkedés korrelációs függvény a határértékhez T-> ja és lássuk mi lesz belőle. A korrelációs függvény (17.2.1) kibővítéséből egy véges intervallumú Fourier-sorba lépünk tovább (-T, 7):

ahol a w/( gyakoriságnak megfelelő diszperziót a képlet fejezi ki

Mielőtt átlépnénk a határértékre Г -> ooként, lépjünk át a (17.3.3) képletben a diszperzióból Dk az átlagos diszperziósűrűségre

Mivel ezt a sűrűséget még véges értéknél is számítjuk Tés attól függ T, jelöljük:

A (17.3.4) kifejezést elosztva a következővel kapjuk:

A (17.3.5)-ből az következik, hogy

Helyettesítsük be a (17.3.7) kifejezést a (17.3.3) képletbe; kapunk:

Nézzük meg, hogy a (17.3.8) kifejezés mikorra változik T-> oo. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben Aso -> 0; a diszkrét ω/(folyamatosan változó ω argumentummá alakul át; az összeg az ω változó feletti integrállá alakul át; átlagos sűrűség eltérések S X T) ( A.-val) az A L.(ω) diszperziósűrűségre hajlik, és a (17.3.8) kifejezés a határértékben a következő alakot ölti:

Ahol S x (с) -stacionárius véletlen függvény spektrális sűrűsége.

A (17.3.6) képletben a Γ -> oo határértékre átlépve megkapjuk a spektrális sűrűség kifejezését a korrelációs függvényen keresztül:

A (17.3.9)-hez hasonló kifejezés a matematikában úgy ismert, mint Fourier integrál. A Fourier-integrál a Fourier-sor kiterjesztésének általánosítása az esetre nem periodikus funkció, végtelen intervallumon tekintve, és a függvénynek a folytonos spektrumú 1 elemi harmonikus rezgések összegére való kiterjesztését reprezentálja.

Ahogy a Fourier-sor a bővíthető függvényt a sorozat együtthatóin keresztül fejezi ki, amelyek viszont a bővíthető függvényen keresztül fejeződnek ki, a (17.3.9) és (17.3.10) képletek a függvényeket fejezik ki. k x ( m) és A x (k>) kölcsönösek: egyik a másikon keresztül. A (17.3.9) képlet a korrelációs függvényt a spektrális sűrűségben fejezi ki; képlet

Ezzel szemben a (17.3.10) a spektrális sűrűséget a korrelációs függvényen keresztül fejezi ki. Az olyan képleteket, mint a (17.3.9) és (17.3.10), amelyek két függvényt kölcsönösen kapcsolnak össze, az ún. Fourier transzformációk.

Így a korrelációs függvényt és a spektrális sűrűséget Fourier-transzformációk segítségével fejezzük ki egymással.

Vegyük észre, hogy a (17.3.9) általános képletből m = 0-nál a diszperzió korábban kapott (17.3.2) frekvenciákra való felbomlását vezetjük le.

A gyakorlatban a spektrális sűrűség helyett S x ( co) gyakran használják normalizálva spektrális sűrűség:

Ahol D x- a véletlen függvény varianciája.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a p l (m) normalizált korrelációs függvény és az l A (ω) normalizált spektrális sűrűség ugyanazokkal a Fourier-transzformációkkal függ össze:

Feltételezve az első egyenletet (17.3.12) t = 0, és figyelembe véve, hogy p t (0) = 1, a következőt kapjuk:

azok. a normalizált spektrális sűrűséggráf által határolt teljes terület egyenlő egységgel.

1. példa Egy véletlen függvény normalizált korrelációs függvénye p x (m). X(t)-vel csökken lineáris törvény egyről nullára 0 t 0 r l-nél.(t) = 0 (17.3.3. ábra). Határozza meg egy véletlen függvény normalizált spektrális sűrűségét! X(t).

Megoldás. A normalizált korrelációs függvényt a

képletek:

A (17.3.12) képletekből a következőket kapjuk:

Rizs. 17.3.3

Rizs. 17.3.4

A normalizált spektrális sűrűség grafikonját az ábra mutatja. 17.3.4. Az első - abszolút - maximális spektrális sűrűséget co = 0-nál érjük el; bizonytalanságot árul el

a spektrális sűrűség számos relatív maximumot ér el, amelyek magassága a co növekedésével csökken; amikor ω -> oo l A. (o>) -> 0. A spektrális sűrűség változásának természete s x (с) (gyors vagy lassú csökkenés) az m 0 paramétertől függ. Teljes terület, amelyet egy görbe határol s x(co), állandó és egyenlő az egységgel. Az m 0 változása egyenértékű a görbe léptékének változásával, s" A .(co) mindkét tengely mentén, miközben megtartja a területét. Az m 0 növekedésével a skála az ordináta tengely mentén nő, az abszcissza mentén tengelyre csökken a nulla frekvenciájú véletlenfüggvény túlsúlya a spektrumban A határértékben, ahogy m -> oo, a véletlen függvény ebben az esetben közönséges valószínűségi változóvá degenerálódik, p d (m) = I; és a spektrum diszkrét lesz egyetlen frekvenciával, ahol 0 = 0.

Rizs. 17.3.5

2. példa: Egy véletlen függvény normalizált spektrális sűrűsége.v v (co). X(t) egy bizonyos a>b a>2 frekvenciaintervallumban állandó, és ezen az intervallumon kívül egyenlő nullával (17.3.5. ábra).

Határozzuk meg egy véletlen függvény normalizált korrelációs függvényét! X(t).

Megoldás. Az xl (co) értékét „t 2”-nél abból a feltételből határozzuk meg, hogy a görbe által határolt terület s x(co), egyenlő eggyel:

A (17.3.12) naptól kezdve:

A p d (t) függvény általános nézete az ábrán látható. 17.3.6. Jellemzője az amplitúdójában csökkenő rezgések számos csomóponttal, amelyeknél a függvény eltűnik. A grafikon konkrét megjelenése nyilvánvalóan az a>a>2 értékétől függ.

Rizs. 17.3.6

Érdekes extrém nézet p x (t) függvények „t -> ω 2-re. Nyilvánvaló, hogy ha ω 2 = ω = ω, akkor a véletlen függvény spektruma diszkrétté válik egyetlen, az ω frekvenciának megfelelő vonallal; ebben az esetben a korrelációs függvény egyszerű koszinuszba alakul:

Nézzük meg, milyen formában van jelen esetben maga a véletlen függvény X(t). Diszkrét spektrummal, egyetlen vonallal

stacionárius véletlen függvény spektrális kiterjesztése X(t) megjelenése van;

Ahol U vlV - nem korrelált valószínűségi változók, amelyek matematikai elvárásai egyenlők nullával és egyenlő eltérésekkel:

Mutassuk meg, hogy egy (17.3.14) típusú véletlen függvény egyben ábrázolható harmonikus rezgés frekvenciák véletlenszerű amplitúdóval és véletlenszerű fázissal. Kijelölése

a (17.3.14) kifejezést a következő alakra redukáljuk:

Ebben a kifejezésben - véletlenszerű amplitúdó; F - a harmonikus rezgés véletlenszerű fázisa.

Eddig csak azt az esetet vettük figyelembe, amikor a diszperziók gyakorisági eloszlása ​​folytonos, pl. amikor a frekvencia végtelenül kicsi tartománya végtelenül kicsi szórással jár. A gyakorlatban néha előfordulnak olyan esetek, amikor egy véletlenfüggvény véletlenszerű amplitúdójú o>a frekvencia tisztán periodikus komponensét tartalmazza. Ekkor a véletlen függvény spektrális kiterjesztésében a folytonos frekvenciaspektrumon kívül egy külön frekvencia co* is megjelenik, véges diszperzióval Dk.Általános esetben több ilyen periodikus komponens is lehet. Ekkor a korrelációs függvény spektrális kiterjesztése két részből áll: diszkrét és folytonos spektrumból:

Az ilyen „vegyes” spektrummal rendelkező stacionárius véletlenfüggvények a gyakorlatban meglehetősen ritkák. Ezekben az esetekben mindig van értelme a véletlenfüggvényt két tagra osztani - folytonos és diszkrét spektrummal - és külön tanulmányozni ezeket a kifejezéseket.

Gyakran azzal a speciális esettel kell foglalkoznunk, amikor egy véletlen függvény spektrális kiterjesztésében a végső diszperzió nulla frekvencián (ω = 0) következik be. Ez azt jelenti, hogy a véletlen függvény kifejezésként egy közönséges valószínűségi változót tartalmaz szórással D0. Ilyenkor is van értelme ezt a véletlenszerű kifejezést elkülöníteni és külön operálni vele.

• A (17.3.9) képlet a Fourier-integrál egy sajátos formája, általánosítja a Fourier-sor kiterjesztését páros funkció koszinusz harmonikusokkal. Hasonló kifejezést többre is fel lehet írni általános eset.
• Itt a Fourier-transzformációk egy speciális esetével van dolgunk - az úgynevezett „koszinusz Fourier-transzformációkkal”.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete