Szabályos prizma térfogata. Általános háromszög prizma térfogata
Iskolások, akik készülnek letette az egységes államvizsgát matematikában feltétlenül meg kell tanulnia, hogyan kell megoldani a problémákat, hogy megtalálja az egyenes területét és helyes prizma. Sok éves gyakorlat megerősíti azt a tényt, hogy sok diák az ilyen geometriai feladatokat meglehetősen nehéznek tartja.
Ugyanakkor a középiskolásoknak bármilyen képzettséggel meg kell tudniuk találni a szabályos és egyenes prizma területét és térfogatát. Csak ebben az esetben számíthatnak arra, hogy az egységes államvizsga eredménye alapján versenyképes pontszámokat kapnak.
Fontos tudnivalók
- Ha egy prizma oldalélei merőlegesek az alapra, azt egyenesnek nevezzük. Minden oldalsó arcok ennek az ábrának téglalapok. Az egyenes prizma magassága egybeesik az élével.
- Helyes prizma az, amelynek oldalélei merőlegesek arra az alapra, amelyben található. szabályos sokszög. Ennek az ábrának az oldallapjai egyenlő téglalapok. A helyes prizma mindig egyenes.
Az egységes államvizsgára való felkészülés Shkolkovóval együtt a siker kulcsa!
Ha egyszerűbbé és a lehető leghatékonyabbá szeretné tenni óráit, válassza matematikai portálunkat. Itt minden bemutatásra kerül szükséges anyag, amely segít felkészülni a minősítési teszt letételére.
Szakemberek oktatási projekt„Shkolkovo” azt javasolja, hogy az egyszerűtől a bonyolultig menjünk: először adjuk meg az elméletet, alapképletek, tételek és elemi feladatok megoldással, majd fokozatosan térjünk át a szakértői szintű feladatokra.
Az alapvető információk rendszerezve és világosan bemutatásra kerülnek az „Elméleti információk” részben. Ha már sikerült megismételnie a szükséges anyagot, javasoljuk, hogy gyakorolja a feladatok megoldását a megfelelő prizma területének és térfogatának megtalálásában. A „Katalógus” rész gyakorlatok széles választékát mutatja be változó mértékben nehézségek.
Próbálja kiszámolni egy egyenes és szabályos prizma területét vagy éppen most. Elemezzen bármilyen feladatot. Ha nem okoz nehézséget, nyugodtan áttérhet a szakértői szintű gyakorlatokra. És ha bizonyos nehézségek merülnek fel, javasoljuk, hogy rendszeresen készüljön fel az egységes államvizsgára online a Shkolkovo matematikai portállal együtt, és az „Egyenes és szabályos prizma” témájú feladatok könnyűek lesznek.
A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához meg kell értenie, hogy milyen típusú.
Általános elmélet
A prizma bármely poliéder oldalain amelyek paralelogramma alakúak. Sőt, alapja bármilyen poliéder lehet - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre, az az, hogy méretük jelentősen eltérhet.
A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan lap, amely nem alap. A teljes felület a prizmát alkotó összes lap egyesülése lesz.
Néha a problémák a magassággal kapcsolatosak. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.
Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapterülete nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ők azonos figurák a felső és alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.
Háromszög prizma
Az alján egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög van. Mint tudod, lehet másképp. Ha igen, akkor elég megjegyezni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.
A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.
A bázis területének megtudásához Általános nézet, hasznosak lesznek a képletek: Gém és az, amelyikben az oldal fele a hozzá húzott magasságba kerül.
Az első képletet a következőképpen kell felírni: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ez a jelölés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.
Második: S = ½ n a * a.
Ha tudnia kell az alap területét háromszög prizma, ami szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalúnak bizonyul. Van rá egy képlet: S = ¼ a 2 * √3.
Négyszögletű prizma
Alapja az ismert négyszögek bármelyike. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.
Ha az alap téglalap, akkor területét a következőképpen határozzuk meg: S = ab, ahol a, b a téglalap oldalai.
Amikor arról beszélünk O négyszögű prizma, akkor a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítjuk ki. Mert ő az, aki az alapoknál fekszik. S = a 2.
Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S = a * n a. Előfordul, hogy egy paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához egy további képletet kell használnia: n a = b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a „b” oldallal, és az n magasság ezzel a szöggel ellentétes.
Ha a prizma alján rombusz van, akkor a területének meghatározásához ugyanarra a képletre lesz szükség, mint a paralelogrammánál (mivel ez egy speciális eset). De ezt is használhatod: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.
Szabályos ötszögletű prizma
Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre osztjuk, amelyek területét könnyebb kideríteni. Bár előfordul, hogy a figuráknak különböző számú csúcsa lehet.
Mivel a prizma alapja az szabályos ötszög, akkor öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ezután a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.
Szabályos hatszögletű prizma
Az ötszögletű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszöge 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak azt kell hattal szorozni.
A képlet így fog kinézni: S = 3/2 a 2 * √3.
Feladatok
1. sz. Adott egy szabályos egyenes, az átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapterületét és a teljes felületet.
Megoldás. A prizma alapja négyzet, oldala azonban ismeretlen. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (h) viszonyít. x 2 = d 2 - n 2. Másrészt ez az „x” szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 = a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Cserélje be a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, akkor kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm Most csak megtudja az alap területét: 12 * 12 = 144 cm 2.
Ahhoz, hogy megtudja a teljes felület területét, hozzá kell adnia dupla érték alapterület és négyszeres oldalfelület. Ez utóbbi könnyen megtalálható a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. teljes terület A prizma felülete 960 cm 2 -nek bizonyul.
Válasz. A prizma alapterülete 144 cm2. A teljes felület 960 cm2.
2. sz. Adott Az alapnál egy 6 cm-es oldalfelület található. Ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület.
Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe 6 négyzet, megszorozva ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.
Minden oldallap azonos, és téglalapok, amelyek oldalai 6 és 10 cm-esek A területük kiszámításához csak szorozza meg ezeket a számokat. Majd szorozd meg hárommal, mert a prizmának pontosan ennyi oldallapja van. Ezután a seb oldalsó felületének területe 180 cm 2 -nek bizonyul.
Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.
KÖZVETLEN PRIZMA. EGY KÖZVETLEN PRIZMA FELÜLETE ÉS TÉRFOGATA.
68. § KÖZVETLEN PRIZMA KÖTETE.
1. Derékszögű háromszög prizma térfogata.
Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy derékszögű háromszög prizma térfogatát, amelynek alapterülete egyenlő S-vel, magassága pedig h= AA" = = BB" = SS" (306. rajz).
Rajzoljuk meg külön a prizma alapját, azaz az ABC háromszöget (307. ábra, a), és építsük fel egy téglalappá, amelyhez a B csúcson át KM egyenest húzunk || AC és az A és C pontokból erre az egyenesre engedjük le az AF és CE merőlegeseket. ACEF téglalapot kapunk. Az ABC háromszög ВD magasságát megrajzolva azt látjuk, hogy az ACEF téglalap 4 részre oszlik derékszögű háromszög. Ráadásul /\ MINDEN = /\ BCD és /\ VAF = /\ VAD. Ez azt jelenti, hogy az ACEF téglalap területe megduplázódik több területet ABC háromszög, azaz egyenlő 2S.
Ehhez az ABC alappal ellátott prizmához ALL és BAF talppal és magasságú prizmákat rögzítünk h(307. ábra, b). Egy téglalap alakú paralelepipedont kapunk alappal
ACEF.
Ha ezt a paralelepipedont egy BD és BB egyenesen átmenő síkkal feldaraboljuk, látni fogjuk, hogy a téglalap alakú paralelepipedon 4 alappal rendelkező prizmából áll.
BCD, ALL, BAD és BAF.
A BCD és VSE bázisú prizmák kombinálhatók, mivel az alapjaik egyenlőek ( /\ ВСD = /\ BSE) és oldaléleik is egyenlők, amelyek ugyanarra a síkra merőlegesek. Ez azt jelenti, hogy ezeknek a prizmáknak a térfogata egyenlő. A BAD és BAF talpú prizmák térfogata is egyenlő.
Így kiderül, hogy egy adott háromszög alakú prizma térfogata alappal
Az ABC a hangerő fele téglalap alakú paralelepipedon ACEF alappal.
Tudjuk, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő a termékkel alapterülete magasság szerint, azaz in ebben az esetben egyenlő 2S h. Ezért ennek a derékszögű háromszög prizmának a térfogata egyenlő S-vel h.
A derékszögű háromszög alakú prizma térfogata megegyezik az alapja területének és magasságának szorzatával.
2. Közvetlen hangerő sokszögű prizma.
Egy derékszögű sokszögű, például egy ötszögű prizma térfogatának meghatározása S alapterülettel és magassággal h, osszuk fel háromszög prizmákra (308. ábra).
A háromszögprizmák alapterületét S 1, S 2 és S 3-mal, egy adott sokszögű prizma térfogatát V-vel jelölve kapjuk:
V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, vagy
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
És végül: V = S h.
Ugyanígy származtatható az alapjában tetszőleges sokszögű egyenes prizma térfogatának képlete.
Eszközök, Bármely jobb oldali prizma térfogata megegyezik az alapja területének és magasságának szorzatával.
Feladatok.
1. Számítsa ki a paralelogrammával rendelkező egyenes prizma térfogatát a következő adatok segítségével!
2. Számítsa ki egy háromszöget tartalmazó egyenes prizma térfogatát a következő adatok segítségével!
3. Számítsa ki egy 12 cm (32 cm, 40 cm) oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszögű egyenes prizma térfogatát! A prizma magassága 60 cm.
4. Számítsa ki annak az egyenes prizmának a térfogatát, amelynek alapjában derékszögű háromszög van, 12 cm és 8 cm (16 cm és 7 cm; 9 m és 6 m) lábakkal! A prizma magassága 0,3 m.
5. Számítsa ki egy egyenes prizma térfogatát, amelynek alapja trapéz! párhuzamos oldalak 18 cm és 14 cm, magassága 7,5 cm A prizma magassága 40 cm.
6. Számítsa ki a hangerőt tanterem(edzőterem, a szobád).
7. Teljes felület kocka egyenlő 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Számítsa ki ennek a kockának a térfogatát!
8. Építőtégla hossza 25,0 cm, szélessége 12,0 cm, vastagsága 6,5 cm a) Számítsa ki a térfogatát, b) Határozza meg a tömegét, ha 1! köbcentiméter tégla tömege 1,6 g.
9. Hány darab építőtéglára lesz szükség 12 m hosszú, 0,6 m széles és 10 m magas négyszögletes paralelepipedon alakú tömör téglafal építéséhez? (Tégla méretei a 8. gyakorlatból.)
10. Egy tisztára vágott tábla hossza 4,5 m, szélessége - 35 cm, vastagsága - 6 cm a) Számítsa ki a térfogatot b) Határozza meg a súlyát, ha a tábla köbdecimétere 0,6 kg!
11. Hány tonna széna rakható egy nyeregtetővel fedett szénapadlásba (309. ábra), ha a kasza hossza 12 m, szélessége 8 m, magassága 3,5 m, magassága 3,5 m. tetőgerinc 1,5 m? ( Fajsúly vegyük a szénát 0,2-nek.)
12. 0,8 km hosszú árkot kell ásni; metszetben az árok trapéz alakú legyen 0,9 m és 0,4 m alappal, az árok mélysége pedig 0,5 m (310. rajz). Hány köbméter földet kell eltávolítani?
Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy derékszögű háromszög prizma térfogatát, amelynek alapterülete egyenlő S-vel, magassága pedig h= AA’ = BB’ = CC’ (306. ábra).Rajzoljuk meg külön a prizma alapját, azaz az ABC háromszöget (307. ábra, a), és építsük fel egy téglalappá, amelyhez a B csúcson át KM egyenest húzunk || AC és az A és C pontokból erre az egyenesre engedjük le az AF és CE merőlegeseket. ACEF téglalapot kapunk. Az ABC háromszög ВD magasságát megrajzolva azt látjuk, hogy az ACEF téglalap 4 derékszögű háromszögre oszlik. Ezenkívül \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD és \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Ez azt jelenti, hogy az ACEF téglalap területe kétszerese az ABC háromszög területének, azaz egyenlő 2S-vel.
Ehhez az ABC alappal ellátott prizmához ALL és BAF talppal és magasságú prizmákat rögzítünk h(307. ábra, b). ACEF alappal rendelkező téglalap alakú paralelepipedont kapunk.
Ha ezt a paralelepipedont egy BD és BB’ egyenesen átmenő síkkal feldaraboljuk, látni fogjuk, hogy a téglalap alakú paralelepipedon 4 BCD, ALL, BAD és BAF bázisú prizmából áll.
A BCD és BC bázisú prizmák kombinálhatók, mivel alapjaik egyenlőek (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) és az ugyanarra a síkra merőleges oldaléleik is egyenlők. Ez azt jelenti, hogy ezeknek a prizmáknak a térfogata egyenlő. A BAD és BAF talpú prizmák térfogata is egyenlő.
Így kiderül, hogy egy adott ABC alappal rendelkező háromszög prizma térfogata fele akkora, mint egy ACEF alappal rendelkező téglalap alakú paralelepipedon térfogata.
Tudjuk, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő az alapterületének és a magasságának szorzatával, azaz ebben az esetben egyenlő 2S h. Ezért ennek a derékszögű háromszög prizmának a térfogata egyenlő S-vel h.
A derékszögű háromszög alakú prizma térfogata megegyezik az alapja területének és magasságának szorzatával.
2. Derékszögű sokszögű prizma térfogata.
Egy derékszögű sokszögű, például egy ötszögű prizma térfogatának meghatározása S alapterülettel és magassággal h, osszuk fel háromszög prizmákra (308. ábra).
A háromszögprizmák alapterületét S 1, S 2 és S 3-mal, egy adott sokszögű prizma térfogatát V-vel jelölve kapjuk:
V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, vagy
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
És végül: V = S h.
Ugyanígy származtatható az alapjában tetszőleges sokszögű egyenes prizma térfogatának képlete.
Eszközök, Bármely jobb oldali prizma térfogata megegyezik az alapja területének és magasságának szorzatával.
Prizma térfogata
Tétel. A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.
Először egy háromszög prizmára, majd egy sokszögű prizmára bizonyítjuk be ezt a tételt.
1) Rajzoljunk (95. ábra) az ABCA 1 B 1 C 1 háromszögprizma AA 1 élén a BB 1 C 1 C felülettel párhuzamos síkot, a CC 1 élen pedig az AA 1 B 1 B felülettel párhuzamos síkot. ; akkor a prizma mindkét alapjának síkját addig folytatjuk, amíg nem metszik egymást a rajzolt síkokkal.
Ekkor kapunk egy BD 1 paralelepipedont, amelyet az AA 1 C 1 C átlósík két háromszög alakú prizmára oszt (melyek közül az egyik ez). Bizonyítsuk be, hogy ezek a prizmák egyenlő méretűek. Ehhez merőleges metszetet rajzolunk abcd. A keresztmetszet egy paralelogrammát eredményez, amelynek átlója ac osztható kettővel egyenlő háromszög. Ez a prizma mérete megegyezik egy egyenes prizmával, amelynek alapja \(\Delta\) ABC, a magasság pedig AA 1 él. Egy másik háromszög alakú prizma területe egyenlő egy egyenessel, amelynek alapja \(\Delta\) adc, a magasság pedig AA 1 él. De két egyenes prizmával egyarántÉs egyenlő magasságúak egyenlőek (mert egymásba ágyazva kombinálva vannak), ami azt jelenti, hogy az ABCA 1 B 1 C 1 és az ADCA 1 D 1 C 1 prizmák egyenlő méretűek. Ebből következik, hogy ennek a prizmának a térfogata fele a BD 1 paralelepipedon térfogatának; ezért a prizma magasságát H-val jelölve kapjuk:
$$ V_(\Delta pl.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$
2) Rajzoljunk AA 1 C 1 C és AA 1 D 1 D átlósíkot a sokszögű prizma AA 1 élén keresztül (96. ábra).
Akkor ezt a prizmát több háromszög alakú prizmára lesz vágva. E prizmák térfogatának összege adja a szükséges térfogatot. Ha bázisaik területeit azzal jelöljük b 1 , b 2 , b 3, és a teljes magasságot H-n keresztül kapjuk:
sokszögű prizma térfogata = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =
= (ABCDE terület) H.
Következmény. Ha V, B és H olyan számok, amelyek a prizma térfogatát, alapterületét és magasságát fejezik ki a megfelelő egységekben, akkor a bebizonyítottak szerint felírhatjuk:
Más anyagokA fizikában gyakran használnak háromszög alakú, üvegből készült prizmát a spektrum tanulmányozására fehér fény, mivel képes egyedi komponensekre bontani. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a térfogati képletet
Mi az a háromszög prizma?
Mielőtt megadnánk a térfogatképletet, vegyük figyelembe ennek az ábrának a tulajdonságait.
Ennek eléréséhez egy háromszöget kell venni szabad formaés magaddal párhuzamosan mozgasd kicsit távolabb. A háromszög csúcsait a kezdeti és a véghelyzetben egyenes szakaszokkal kell összekötni. Megkapta térfogati ábra háromszög prizmának nevezzük. Öt oldalból áll. Ezek közül kettőt bázisnak neveznek: párhuzamosak és egyenlőek egymással. A kérdéses prizma alapjai háromszögek. A maradék három oldal paralelogramma.
A szóban forgó prizmát az oldalakon kívül hat csúcs (minden alaphoz három) és kilenc él jellemzi (6 él az alapok síkjában fekszik, és 3 él az oldalsó oldalak metszéspontjából jön létre). Ha az oldalélek merőlegesek az alapokra, akkor egy ilyen prizmát téglalap alakúnak nevezünk.
A háromszög alakú prizma és az osztály többi alakja között az a különbség, hogy mindig konvex (négy-, öt-, ..., n-szögű prizmák homorú is lehet).
Ez téglalap alakú alak, melynek alapjában egy egyenlő oldalú háromszög található.
Általános háromszög prizma térfogata
Hogyan találjuk meg a háromszög alakú prizma térfogatát? A képlet általában hasonló bármely típusú prizma képletéhez. Neki van egy matematikai jelölés:
Itt h az ábra magassága, vagyis az alapjai közötti távolság, S o a háromszög területe.
Az S o értéke akkor található meg, ha a háromszög néhány paramétere ismert, például egy oldal és két szög vagy két oldal és egy szög. A háromszög területe egyenlő a magassága és az oldal hosszának szorzatának felével, amellyel ez a magasság le van csökkentve.
Ami az ábra h magasságát illeti, azt a legkönnyebb megtalálni derékszögű hasáb. BAN BEN az utóbbi eset h egybeesik a hosszával oldalsó borda.
Szabályos háromszög prizma térfogata
Általános képlet a cikk előző részében megadott háromszög prizma térfogata felhasználható a szabályos háromszög prizma megfelelő értékének kiszámításához. Mivel az alapja egyenlő oldalú háromszög, területe egyenlő:
Bárki megkaphatja ezt a képletet, ha emlékszik rá egyenlő oldalú háromszög minden szög egyenlő egymással és 60 o. Itt az a szimbólum a háromszög oldalának hossza.
A h magasság az él hossza. Semmiképpen nem kapcsolódik egy szabályos prizma alapjához, és tetszőleges értékeket vehet fel. Ennek eredményeként a megfelelő típusú háromszög alakú prizma térfogatának képlete így néz ki:
A gyökér kiszámítása után a képletet a következőképpen írhatja át:
Így egy szabályos prizma térfogatának meghatározásához háromszög alakú alap, az alap oldalát négyzetre kell emelni, ezt az értéket meg kell szorozni a magassággal és a kapott értéket megszorozni 0,433-mal.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete