Hogyan találjuk meg a háromszög alakú prizma teljes felületét. A prizma teljes és oldalsó felületének területe

A prizma oldalfelülete. Helló! Ebben a kiadványban a sztereometriai problémák egy csoportját elemezzük. Tekintsük a testek kombinációját - egy prizma és egy henger. Tovább Ebben a pillanatban Ez a cikk befejezi a sztereometriai feladattípusok figyelembevételével kapcsolatos cikkek teljes sorozatát.

Ha újak jelennek meg a feladatbankban, akkor természetesen a jövőben lesznek kiegészítések a blogban. De ami már megvan, az bőven elég ahhoz, hogy a vizsga részeként megtanulja, hogyan oldja meg az összes problémát egy rövid válasszal. Évekre lesz elég anyag (a matematika program statikus).

A bemutatott feladatok egy prizma területének kiszámítását foglalják magukban. Megjegyzem, hogy az alábbiakban egy egyenes prizmát (és ennek megfelelően egy egyenes hengert) tekintünk.

Képletek ismerete nélkül megértjük, hogy a prizma oldalfelülete az egész oldalsó arcok. Az egyenes prizma téglalap alakú oldalfelületekkel rendelkezik.

Egy ilyen prizma oldalsó felületének területe megegyezik az összes oldallapja (vagyis a téglalapok) területének összegével. Ha egy szabályos prizmáról beszélünk, amelybe egy henger van beírva, akkor egyértelmű, hogy ennek a prizmának minden lapja EGYENLŐ téglalap.

Formálisan az oldalsó felület helyes prizmaígy tükrözhető:

27064. Helyes négyszögű prizma olyan hengerről írunk le, amelynek alap sugara és magassága egyenlő 1. Határozza meg a prizma oldalfelületét.

Ennek a prizmának az oldalfelülete négy egyenlő területű téglalapból áll. A lap magassága 1, a prizma alapjának éle 2 (ez a henger két sugara), ezért az oldallap területe egyenlő:

Oldalsó felület:

73023. Határozza meg a szabályos oldalfelületét! háromszög prizma, amelyet egy henger körül írnak le, amelynek alapsugara √0,12 és magassága 3.

Ennek a prizmának az oldalfelülete egyenlő az összeggel három négyzet oldallapok (téglalapok). Az oldalfelület területének meghatározásához ismernie kell a magasságát és az alapél hosszát. A magasság három. Határozzuk meg az alapél hosszát. Vegye figyelembe a vetületet (felülnézet):

Nekünk van szabályos háromszög amelybe √0.12 sugarú kör van beírva. Az AOC derékszögű háromszögből megtaláljuk az AC-t. És akkor AD (AD=2AC). Az érintő meghatározása szerint:

Ez azt jelenti, hogy AD = 2AC = 1,2, így az oldalfelület egyenlő:

27066. Határozza meg a szabályos oldalfelületét! hatszögletű prizma, amelyet egy henger körül írnak le, amelynek alapsugara √75 és magassága 1.

A szükséges terület egyenlő az összes oldalfelület területének összegével. A szabályos hatszögletű prizma oldallapjai egyenlő téglalapok.

Az arc területének meghatározásához ismernie kell a magasságát és az alapél hosszát. A magasság ismert, egyenlő 1-gyel.

Határozzuk meg az alapél hosszát. Vegye figyelembe a vetületet (felülnézet):

Nekünk van szabályos hatszög, amelybe egy √75 sugarú kör van beírva.

Mérlegeljük derékszögű háromszög ABO. Ismerjük az OB lábszárat (ez a henger sugara). Meghatározhatjuk az AOB szöget is, ez egyenlő 300-al (az AOC háromszög egyenlő oldalú, OB egy felezőszög).

Használjuk a derékszögű háromszög érintőjének definícióját:

AC = 2AB, mivel OB a medián, vagyis az AC-t felére osztja, ami azt jelenti, hogy AC = 10.

Így az oldalfelület területe 1∙10=10, az oldalfelület területe pedig:

76485. Határozza meg egy szabályos háromszög alakú prizma oldalfelületét egy olyan hengerbe, amelynek alapsugara 8√3 és magassága 6!

A megadott prizma oldalfelülete a három egyenlő az arcok (téglalapok) területe szerint. A terület megtalálásához ismerni kell a prizma alapja élének hosszát (tudjuk a magasságot). Ha figyelembe vesszük a vetületet (felülnézet), akkor van egy szabályos háromszögünk, amely egy körbe van írva. Ennek a háromszögnek az oldalát sugárban fejezzük ki:

Ennek a kapcsolatnak a részletei. Tehát egyenlő lesz

Ekkor az oldalfelület területe: 24∙6=144. És a szükséges terület:

245354. Szabályos négyszögű prizma van körülírva egy olyan hengerre, amelynek alapsugara 2. A prizma oldalfelülete 48. Határozza meg a henger magasságát!

BAN BEN iskolai tananyag sztereometria tanfolyami tanulmány térfogati számadatokáltalában egy egyszerű geometriai testtel kezdődik - egy prizmapoliéderrel. Alapjainak szerepét 2 egyforma sokszög tölti be párhuzamos síkok. Különleges eset a szabályos négyszögű prizma. Alapjai 2 egyforma szabályos négyszög, amelyekre merőlegesek oldalain paralelogramma alakúak (vagy téglalapok, ha a prizma nem ferde).

Hogyan néz ki egy prizma?

A szabályos négyszögű prizma egy hatszög, melynek alapja 2 négyzet, oldallapjait pedig téglalapok ábrázolják. Ennek egy másik neve geometriai alakzat- egyenes paralelepipedon.

Az alábbiakban egy négyszögű prizmát ábrázoló rajz látható.

A képen is láthatod alapvető elemek, amelyből áll geometrikus test . Ezek tartalmazzák:

Néha geometriai problémáknál találkozhatunk a szakasz fogalmával. A meghatározás így fog hangzani: a metszet a térfogati test minden olyan pontja, amely egy vágási síkhoz tartozik. A metszet lehet merőleges (90 fokos szögben metszi az ábra éleit). Téglalap alakú prizmánál egy átlós szakaszt is figyelembe kell venni ( maximális összeget megépíthető szakaszok - 2), áthaladva az alap 2 élén és átlóján.

Ha a metszet úgy van megrajzolva, hogy a vágási sík ne legyen párhuzamos sem az alapokkal, sem az oldalfelületekkel, az eredmény egy csonka prizma.

A redukált prizmás elemek megtalálásához használja a különböző kapcsolatokatés képletek. Némelyikük a planimetria tanfolyamból ismert (például egy prizma alapterületének meghatározásához elegendő felidézni a négyzet területének képletét).

Felület és térfogat

A prizma térfogatának a képlet segítségével történő meghatározásához ismernie kell alapja és magassága területét:

V = Sbas h

Mivel a szabályos tetraéder prizma alapja egy négyzet, amelynek oldala van a, A képletet részletesebb formában is megírhatja:

V = a²·h

Ha egy kockáról beszélünk - egy szabályos prizmával egyenlő hosszúságú, szélesség és magasság, a térfogatot a következőképpen számítjuk ki:

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet megtalálni a prizma oldalsó felületét, el kell képzelni a fejlődését.

A rajzon látható, hogy az oldalfelület 4 egyenlő téglalapból áll. Területét az alap kerületének és az ábra magasságának szorzataként számítják ki:

Sside = Posn h

Figyelembe véve, hogy a négyzet kerülete egyenlő P = 4a, a képlet a következő alakot ölti:

Sside = 4a h

A kockához:

Oldal = 4a²

Terület kiszámításához teljes felület egy prizma esetében 2 alapterületet kell hozzáadnia az oldalsó területhez:

Teljes = Sside + 2Smain

Egy négyszögletű szabályos prizmával kapcsolatban a képlet így néz ki:

Teljes = 4a h + 2a²

Egy kocka felületéhez:

Teljes = 6a²

A térfogat vagy felület ismeretében kiszámíthatja a geometriai test egyes elemeit.

Prizmaelemek keresése

Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor adott a térfogat, vagy ismert az oldalfelület értéke, ahol meg kell határozni az alap oldalhosszát vagy a magasságot. Ilyen esetekben a képletek származtathatók:

• alapoldal hossza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• magasság vagy oldalborda hossza: h = Sside / 4a = V / a²;
• alapterület: Sbas = V/h;
• oldalsó arc területe: Oldal gr = Sside / 4.

Annak meghatározásához, hogy mekkora területe van az átlós szakasznak, ismernie kell az átló hosszát és az ábra magasságát. Egy négyzetre d = a√2. Ebből adódóan:

Sdiag = ah√2

A prizma átlójának kiszámításához használja a következő képletet:

dprize = √(2a² + h²)

Az adott összefüggések alkalmazásának megértéséhez több egyszerű feladatot gyakorolhat és oldhat meg.

Példák a megoldásokkal kapcsolatos problémákra

Íme néhány matematika állami záróvizsgán található feladat.

1. Feladat.

A homokot egy szabályos négyszögű prizma alakú dobozba öntik. A szintmagassága 10 cm Mekkora lesz a homok szintje, ha egy ugyanolyan formájú, de kétszer hosszabb talpú edénybe helyezi?

Indokolni kellene a következő módon. Az első és a második tartályban a homok mennyisége nem változott, azaz a térfogata bennük azonos. Az alap hosszát jelölheti a. Ebben az esetben az első dobozban az anyag térfogata:

V₁ = ha² = 10a²

A második doboznál az alap hossza 2a, de a homokszint magassága ismeretlen:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Mert a V1 = V2, egyenlőségjelet tehetünk a következő kifejezésekkel:

10a² = 4ha²

Miután az egyenlet mindkét oldalát a²-vel csökkentjük, a következőt kapjuk:

Ennek eredményeként új szint homok lesz h = 10/4 = 2,5 cm.

2. feladat.

Az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy helyes prizma. Ismeretes, hogy BD = AB₁ = 6√2. Határozza meg a test teljes felületét.

Az ismert elemek könnyebb megértése érdekében rajzolhat egy ábrát.

Mivel szabályos prizmáról beszélünk, arra a következtetésre juthatunk, hogy az alapon van egy 6√2 átlójú négyzet. Az oldallap átlója azonos méretű, ezért az oldallap is négyzet alakú, egyenlő az alappal. Kiderült, hogy mindhárom méret - hosszúság, szélesség és magasság - egyenlő. Megállapíthatjuk, hogy az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy kocka.

Bármely él hosszát egy ismert átlón keresztül határozzuk meg:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

A teljes felületet a kocka képletével határozzuk meg:

Teljes = 6a² = 6 6² = 216

3. feladat.

A szoba felújítás alatt áll. Ismeretes, hogy a padlója négyzet alakú, 9 m² területű. A szoba magassága 2,5 m Mennyibe kerül a legalacsonyabb egy szoba tapétázása, ha 1 m² 50 rubel?

Mivel a padló és a mennyezet négyzetek, azaz szabályos négyszögek, falai pedig vízszintes felületekre merőlegesek, megállapíthatjuk, hogy szabályos prizmáról van szó. Meg kell határozni az oldalsó felületének területét.

A szoba hossza a a = √9 = 3 m.

A területet tapéta borítja Oldal = 4 3 2,5 = 30 m².

A legalacsonyabb tapéta költség ebben a szobában lesz 50·30 = 1500 rubel

Így a problémák megoldására tovább derékszögű hasáb Elegendő egy négyzet és téglalap területét és kerületét kiszámolni, valamint ismerni a térfogat és felület megállapítására szolgáló képleteket.

Hogyan találjuk meg a kocka területét

A „Get an A” videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amelyre szüksége van sikeres teljesítés Egységes államvizsga matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden probléma 1-13 Profil egységes államvizsga matematika. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Gyors módszerek az egységes államvizsga megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5-öt tartalmaz nagy témákat, egyenként 2,5 óra. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges problémákés a valószínűségelmélet. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referencia anyag, minden típusú egységes államvizsga-feladat elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, fejlesztés térbeli képzelet. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Vizuális magyarázat összetett fogalmak. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A megoldás alapja összetett feladatok Egységes Államvizsga 2 része.

Meghatározás. Prizma egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban található, és ugyanabban a két síkban fekszik a prizma két lapja, amelyek egyenlő sokszögés azzal, ill párhuzamos oldalak, és minden él, amely nem esik ezekben a síkban, párhuzamos.

Kettő egyenlő arcok hívják prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Minden oldalfelület kialakul oldalsó felület prizmák .

A prizma minden oldallapja paralelogramma .

Azokat az éleket, amelyek nem fekszenek az alapokon, a prizma oldalsó éleinek nevezzük ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma átlós olyan szakasz, amelynek végei egy prizma két csúcsa, amelyek nem ugyanazon a lapon fekszenek (AD 1).

A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. prizma magassága .

Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Először a bejárás sorrendjében az egyik alap csúcsait jelöljük, majd ugyanabban a sorrendben a másiknak a csúcsait; minden oldalél végeit jelöljük azonos betűk, csak az egyik bázisban fekvő csúcsokat jelölik index nélküli betűk, a másikban pedig indexet)

A prizma nevéhez az alján fekvő ábra szögeinek számához kötődik, például az 1. ábrán egy ötszög van az alapnál, így a prizma ún. ötszögletű prizma. Hanem azért, mert egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap - a prizma alapjai, 5 lap - paralelogramma, - oldallapjai)

Az egyenes prizmák közül kiemelkedik egy bizonyos típus: a szabályos prizmák.

Az egyenes prizmát nevezzük helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.

A szabályos prizmának minden oldallapja egyenlő téglalapokkal rendelkezik. A prizma speciális esete a paralelepipedon.

Paralelepipedon

Paralelepipedon egy négyszögű prizma, amelynek alapjában egy paralelogramma (ferde paralelepipedon) található. Jobb oldali paralelepipedon- paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alap síkjaira.

Téglalap alakú paralelepipedon - egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja téglalap.

Tulajdonságok és tételek:

A paralelepipedon egyes tulajdonságai hasonlóak ismert tulajdonságait paralelogramma Egy téglalap alakú paralelcső egyenlő méretek, hívják kocka .Egy kockának minden négyzete egyenlő. Átlós négyzet, egyenlő az összeggel három dimenziójának négyzetei

,

ahol d a négyzet átlója;
a a négyzet oldala.

A prizmáról egy képet ad:

• különféle építészeti szerkezetek;
• Gyerekjátékok;
• csomagoló dobozok;
• dizájner cikkek stb.

A prizma teljes és oldalsó felületének területe

A prizma teljes felülete az összes lapja területének összege Oldalsó felület oldallapjai területének összegének nevezzük. A prizma alapjai egyenlő sokszögek, ekkor területük egyenlő. Ezért

S teljes = S oldal + 2S fő,

Ahol S tele- teljes felület, S oldal- oldalsó felület, S alap- alapterület

Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.

S oldal= P alap * h,

Ahol S oldal-egyenes prizma oldalfelületének területe,

P fő - az egyenes prizma alapjának kerülete,

h az egyenes prizma magassága, egyenlő oldalsó borda.

Prizma térfogata

Prizma térfogata egyenlő a termékkel alapterület magassága.

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy lépjen kapcsolatba vele.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete