Számsorozat n-edik részösszegének meghatározása. Feltételes konvergenciakritériumok

1. Ha a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= konvergál, akkor az ebből a sorozatból az első m tag elvetésével kapott a m+1 +a m+2 +a m+3 +… sorozat is konvergál. Ezt az eredményül kapott sorozatot a sorozat m-edik maradékának nevezzük. És fordítva: a sorozat m-edik maradékának konvergenciájából ennek a sorozatnak a konvergenciája következik. Azok. Egy sorozat konvergenciája és divergenciája nem sérül, ha véges számú tagját hozzáadjuk vagy eldobjuk.

2 . Ha az a 1 + a 2 + a 3 +... sorozat konvergál, és összege egyenlő S-vel, akkor a Ca 1 + Ca 2 +... sorozat, ahol C = is konvergál, és összege egyenlő CS-vel.

3. Ha az a 1 +a 2 +... és b 1 +b 2 +... sorozatok konvergálnak, és összegük S1, illetve S2, akkor az (a 1 +b 1)+(a 2 +) sorozat b 2)+(a 3 +b 3)+… és (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+… is konvergál. Összegük S1+S2, illetve S1-S2.

4. A). Ha egy sorozat konvergál, akkor az n-edik tagja 0-ra hajlik, mivel n korlátlanul növekszik (a fordítottja nem igaz).

- szükséges jel (feltétel)konvergencia sor.

b). Ha
akkor a sorozat eltér - elegendő feltételeltérések sor.

-az ilyen típusú sorozatokat csak a 4. tulajdonság szerint tanulmányozzuk. Ez divergens sorokat.

Jel-pozitív sorozat.

A pozitív előjelű sorozatok konvergenciájának és divergenciájának jelei.

A pozitív sorozatok olyan sorozatok, amelyekben minden kifejezés pozitív. A konvergencia és a divergencia ezen jeleit a pozitív előjelű sorozatok esetében vesszük figyelembe.

1. Az összehasonlítás első jele.

Legyen két pozitív előjelű sorozat: a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= (1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

Ha a sorozat tagjai (1) nem többb n és sorozat (2) konvergál, akkor az (1) sorozat is konvergál.

Ha a sorozat tagjai (1) nem kevesebb a (2) sorozat megfelelő tagjai, azaz. és n b n és sor (2) eltér, akkor az (1) sorozat is eltér.

Ez az összehasonlítási kritérium akkor érvényes, ha az egyenlőtlenség nem teljesül minden n-re, hanem csak néhányból kiindulva.

2. Az összehasonlítás második jele.

Ha van véges és nem nulla határérték
, akkor mindkét sorozat egyidejűleg konvergál vagy divergál.

- ilyen típusú sorok eltér a második összehasonlítási ismérv szerint. Ezeket össze kell hasonlítani a harmonikus sorozatokkal.

3. D'Alembert jele.

Ha pozitív sorozatra (a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ) létezik
(1), akkor a sorozat konvergál, ha q<1, расходится, если q>

4. Cauchy előjele radikális.

Ha van határa a pozitív sorozatnak
(2), akkor a sorozat konvergál ifq<1, расходится, если q>1. Ha q=1, akkor a kérdés nyitott marad.

5. A Cauchy-teszt integrál.

Emlékezzünk vissza a nem megfelelő integrálokra.

Ha van határ
. Ott van helytelen integrálés ki van jelölve
.

Ha ez a határ véges, akkor azt mondjuk, hogy a nem megfelelő integrál konvergál. A sorozatok konvergálnak vagy divergálnak.

Legyen az a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= sorozat - pozitív sorozat.

Jelöljük egy n =f(x)-et és tekintsük az f(x) függvényt. Ha f(x) pozitív, monoton csökkenő és folytonos függvény, akkor ha a nem megfelelő integrál konvergál, akkor ezt a sorozatot konvergál. És fordítva: ha a nem megfelelő integrál eltér, akkor a sorozat divergál.

Ha a sorozat véges, akkor konvergál.

A sorok nagyon gyakoriak
-Derichlet sorozat. Konvergál, ha p>1, akkor divergál p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

Alapvető definíciók.

Meghatározás. Egy végtelen számsorozat tagjainak összegét nevezzük számsorozat.

Ugyanakkor a számok
sorozat tagjainak nevezzük őket, és u n– a sorozat közös tagja.

Meghatározás. Összegek
,n = 1, 2, … hívják magán (rész)összegek sor.

Így lehetséges a sorozat részösszegeinek sorozatait figyelembe venni S 1 , S 2 , …, S n , …

Meghatározás. Sor
hívott konvergens, ha részösszegeinek sorozata konvergál. Konvergens sorozatok összege részösszegei sorozatának határa.

Meghatározás. Ha egy sorozat részösszegeinek sorozata eltér, pl. nincs határa, vagy van egy démona végső határ, akkor a sorozat ún divergensés nem rendelnek hozzá összeget.

A sorok tulajdonságai.

1) A sorozatok konvergenciája vagy divergenciája nem sérül, ha a sorozat véges számú tagját megváltoztatjuk, elvetjük vagy hozzáadjuk.

2) Vegyünk két sort
És
, ahol C egy állandó szám.

Tétel. Ha a sor
konvergál és összege egyenlőS, majd a sorozat
is konvergál, és összege egyenlő C-velS. (C  0)

3) Vegyünk két sort
És
.Összeg vagy különbség ezek közül a sorozatokat sorozatnak fogják nevezni
, ahol az elemeket az azonos számú eredeti elemek összeadásával (kivonásával) kapjuk meg.

Tétel. Ha a sorok
És
konvergálnak, összegük pedig egyenlőSÉs , majd a sorozat
is konvergál és összege egyenlőS +  .

Két konvergens sorozat különbsége is konvergens sorozat lesz.

Egy konvergens és egy divergens sorozat összege divergens sorozat.

Két divergens sorozat összegéről nem lehet általános állítást tenni.

A sorozatok tanulmányozása során elsősorban két problémát oldanak meg: a konvergencia tanulmányozását és a sorozatok összegének megállapítását.

Cauchy-kritérium.

(a sorozatok konvergenciájának szükséges és elégséges feltételei)

A sorrend érdekében
konvergens volt, szükséges és elegendő, hogy bármely
volt ilyen számN, hogy atn > Nés bármilyenp> 0, ahol p egy egész szám, a következő egyenlőtlenség érvényesül:

Bizonyíték. (szükségesség)

Hadd
, majd tetszőleges számra
van olyan N szám, hogy az egyenlőtlenség

akkor teljesül, ha n>N. n>N és bármely p>0 egész számra az egyenlőtlenség is fennáll
. Mindkét egyenlőtlenséget figyelembe véve a következőket kapjuk:

A szükségesség bebizonyosodott. Nem vesszük figyelembe az elegendőség igazolását.

Fogalmazzuk meg a sorozat Cauchy-kritériumát.

A sorozat érdekében
konvergens volt, szükséges és elegendő, hogy bármely
volt egy számNolyan, hogy atn> Nés bármilyenp>0 az egyenlőtlenség fennállna

A gyakorlatban azonban a Cauchy-kritérium közvetlen használata nem túl kényelmes. Ezért általában egyszerűbb konvergenciateszteket használnak:

1) Ha a sor
konvergál, akkor szükséges, hogy a közös kifejezés u n nullára hajlott. Ez a feltétel azonban nem elegendő. Csak azt mondhatjuk, hogy ha a közös kifejezés nem nullázódik, akkor a sorozat határozottan eltér. Például az úgynevezett harmonikus sorozat divergens, bár közös tagja nullára hajlik.

Példa. Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját!

meg fogjuk találni
- a konvergencia szükséges kritériuma nem teljesül, ami azt jelenti, hogy a sorozatok divergálnak.

2) Ha egy sorozat konvergál, akkor részösszegeinek sorozata korlátos.

Ez a jel azonban szintén nem elegendő.

Például az 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… sorozat eltér, mert részösszegei sorrendje eltér attól, hogy

A részösszegek sorrendje azonban korlátozott, mert
bármely n.

Nem negatív kifejezéseket tartalmazó sorozat.

A konstans előjelű sorozatok tanulmányozása során korlátozzuk magunkat a nem negatív kifejezésű sorozatok figyelembevételére, mert egyszerűen –1-gyel megszorozva ezeket a sorozatokat negatív tagokkal kaphatjuk meg.

Tétel. A sorozatok konvergenciájáért
nemnegatív tagokkal szükséges és elégséges ahhoz, hogy a sorozat részösszegei korlátosak legyenek.

Jel a sorozatok nem negatív kifejezésekkel való összehasonlítására.

Legyen két sor adott
És
nál nél u n , v n  0 .

Tétel. Ha u n  v n bármely n, majd a sorozatok konvergenciájából
a sorozat összefolyik
, és a sorozat eltéréséből
a sorozat eltér
.

Bizonyíték. Jelöljük azzal S n És  n sorozatok részösszegei
És
. Mert tétel feltételei szerint a sorozat
konvergál, akkor annak részösszegei korlátozottak, azaz. mindenki előtt n n  M, ahol M egy bizonyos szám. Hanem azért, mert u n  v n, Azt S n   n majd a sorozat részösszegei
szintén korlátozottak, és ez elegendő a konvergenciához.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Mert
, és a harmonikus sorozat eltér, akkor a sorozat eltér
.

Példa.

Mert
, és a sorozat
konvergál (mint egy csökkenő geometriai progresszió), majd a sorozat
is konvergál.

A következő konvergenciakritérium is használatos:

Tétel. Ha
és van egy határ
, Aholh– nullától eltérő szám, majd a sorozat
És
azonosan viselkednek a konvergencia szempontjából.

D'Alembert jele.

(Jean Leron d'Alembert (1717-1783) – francia matematikus)

Ha sorozatnak
pozitív kifejezésekkel van olyan számq<1, что для всех достаточно больших negyenlőtlenség érvényesül

aztán egy sorozat
konvergál, ha mindegyikhez elég nagyoknfeltétel teljesül

aztán egy sorozat
eltér.

D'Alembert korlátozó jele.

D'Alembert korlátozó kritériuma a fenti D'Alembert-kritérium következménye.

Ha van határ
, akkor mikor < 1 ряд сходится, а при  > 1 – eltér. Ha = 1, akkor a konvergencia kérdése nem válaszolható meg.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját! .

Következtetés: a sorozat konvergál.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját!

Következtetés: a sorozat konvergál.

Cauchy jele. (radikális jel)

Ha sorozatnak
nem negatív kifejezésekkel van olyan számq<1, что для всех достаточно больших negyenlőtlenség érvényesül

aztán egy sorozat
konvergál, ha mindegyikhez elég nagyoknegyenlőtlenség érvényesül

aztán egy sorozat
eltér.

Következmény. Ha van határ
, akkor mikor<1 ряд сходится, а при >Az 1. sor eltér.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját!
.

Következtetés: a sorozat konvergál.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját!
.

Azok. A Cauchy-teszt nem ad választ a sorozatok konvergenciájának kérdésére. Ellenőrizzük, hogy a szükséges konvergenciafeltételek teljesülnek-e. Ahogy fentebb említettük, ha egy sorozat konvergál, akkor a sorozat közös tagja nullára hajlik.

És így, szükséges feltétel a konvergencia nem teljesül, ami azt jelenti, hogy a sorozat eltér.

Integrált Cauchy-teszt.

Ha (x) egy folytonos pozitív függvény, amely az intervallumon keresztül csökkenÉs
majd az integrálok
És
azonosan viselkednek a konvergencia szempontjából.

Váltakozó sorozatok.

Váltakozó sorok.

Egy váltakozó sorozat a következőképpen írható fel:

Ahol

Leibniz jele.

Ha a váltakozó sor előjele abszolút értékeketu én csökkennek
és a közös kifejezés nullára hajlik
, akkor a sorozat konvergál.

Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája.

Nézzünk meg néhány váltakozó sorozatot (tetszőleges előjelekkel).

(1)

és egy sorozat, amely abból áll abszolút értékeket sor tagjai (1):

(2)

Tétel. A (2) sorozatok konvergenciájából következik az (1) sorozatok konvergenciája.

Bizonyíték. A (2) sorozat nem negatív kifejezéseket tartalmazó sorozat. Ha a (2) sorozat konvergál, akkor a Cauchy-kritérium alapján tetszőleges >0 esetén van olyan N szám, amelyre n>N és bármely p>0 egész számra a következő egyenlőtlenség igaz:

Az abszolút értékek tulajdonsága szerint:

Azaz a Cauchy-kritérium szerint a (2) sorozatok konvergenciájából az (1) sorozatok konvergenciája következik.

Meghatározás. Sor
hívott abszolút konvergens, ha a sorozat konvergál
.

Nyilvánvaló, hogy állandó előjelű sorozatoknál a konvergencia és az abszolút konvergencia fogalma egybeesik.

Meghatározás. Sor
hívott feltételesen konvergens, ha konvergál és a sorozat
eltér.

D'Alembert és Cauchy tesztjei váltakozó sorozatokhoz.

Hadd
- váltakozó sorozatok.

D'Alembert jele. Ha van határ
, akkor mikor<1 ряд
abszolút konvergens lesz, és mikor>

Cauchy jele. Ha van határ
, akkor mikor<1 ряд
abszolút konvergens lesz, és ha >1, akkor a sorozat divergens lesz. Ha =1, az előjel nem ad választ a sorozatok konvergenciájára.

Abszolút konvergens sorozatok tulajdonságai.

1) Tétel. A sorozat abszolút konvergenciájáért
szükséges és elégséges, hogy két konvergens, nem negatív tagú sorozat különbségeként ábrázolható.

Következmény. A feltételesen konvergens sorozat két divergens sorozat különbsége, amelyekben a nem negatív tagok nullára hajlanak.

2) Egy konvergens sorozatban a sorozat tagjainak minden olyan csoportosítása, amely nem változtatja meg sorrendjüket, megőrzi a sorozatok konvergenciáját és nagyságát.

3) Ha egy sorozat abszolút konvergál, akkor a tagok tetszőleges permutációjával kapott sorozat is abszolút konvergál, és összege megegyezik.

Egy feltételesen konvergens sorozat feltételeinek átrendezésével tetszőleges előre meghatározott összegű feltételesen konvergens sorozatot kaphatunk, sőt, divergens sorozatot is.

4) Tétel. Egy abszolút konvergens sorozat tagjainak bármely csoportosítására (ebben az esetben a csoportok száma lehet véges vagy végtelen, és egy csoport tagjainak száma lehet véges vagy végtelen) egy konvergens sorozatot kapunk, az összeget amelyből egyenlő az eredeti sorozat összegével.

5) Ha a sorok És abszolút konvergálnak, és összegük rendre egyenlő S és , majd egy sorozat, amely az alak összes szorzatából áll
tetszőleges sorrendben véve szintén abszolút konvergál, és összege egyenlő S - a szorzott sorozat összegeinek szorzata.

Ha feltételesen konvergens sorozatokat szorozunk, akkor ennek eredményeként divergens sorozatot kaphatunk.

Funkcionális sorozatok.

Meghatározás. Ha a sorozat tagjai nem számok, hanem függvényei x, akkor a sorozat ún funkcionális.

A függvénysorok konvergenciájának vizsgálata bonyolultabb, mint a numerikus sorozatok vizsgálata. Ugyanaz a funkcionális sorozat, ugyanazokkal a változó értékekkel x konvergálnak, és másokkal - eltérnek. Ezért a funkcionális sorozatok konvergenciájának kérdése a változó értékeinek meghatározásához vezet x, amelynél a sorozat konvergál.

Az ilyen értékek halmazát ún konvergencia területe.

Mivel a sorozat konvergencia tartományába tartozó függvények határértéke egy bizonyos szám, a függvénysorozat határa egy bizonyos függvény lesz:

Meghatározás. Sorozat ( f n (x) } konvergál funkcionálni, működtetni f(x) a szakaszon, ha bármely >0 számra és bármely pontra x a vizsgált szakaszból van olyan N = N(, x) szám, hogy az egyenlőtlenség

akkor teljesül, ha n>N.

A kiválasztott >0 értéknél a szakasz minden pontjának megvan a maga száma, így a szakasz összes pontjának végtelen számú szám lesz. Ha ezek közül a számok közül a legnagyobbat választja, akkor ez a szám megfelelő lesz a szegmens minden pontjára, pl. minden pontban közös lesz.

Meghatározás. Sorozat ( f n (x) } egységesen konvergál funkcionálni, működtetni f(x) azon az intervallumon, ha bármely >0 számra van olyan N = N() szám, hogy az egyenlőtlenség

n>N esetén teljesül a szakasz minden pontjára.

Példa. Fontolja meg a sorrendet

Ez a sorozat a teljes számegyenesen konvergál a függvényhez f(x)=0 , mert

Készítsünk grafikonokat ebből a sorozatból:

sinx

Mint látható, növekvő számmal n a szekvencia grafikonja megközelíti a tengelyt x.

Funkcionális sorozat.

Meghatározás. Magán (rész)összegek funkcionális tartomány
függvényeket hívják

Meghatározás. Funkcionális tartomány
hívott konvergens pontban ( x=x 0 ), ha részösszegeinek sorozata ezen a ponton konvergál. Sorozatkorlát
hívott összeg sor
azon a ponton x 0 .

Meghatározás. Az összes érték halmaza x, amelyre a sorozat konvergál
hívott konvergencia területe sor.

Meghatározás. Sor
hívott egyenletesen konvergens az intervallumon, ha ennek a sorozatnak a részösszegeinek sorozata egyenletesen konvergál ezen az intervallumon.

Tétel. (Cauchy-kritérium a sorozatok egyenletes konvergenciájához)

A sorozatok egységes konvergenciájáért
szükséges és elégséges, hogy bármely számhoz >0 létezett ilyen számN( ), amely atn> Nés bármilyen egészp>0 egyenlőtlenség

érvényes minden x-re a [a, b].

Tétel. (Weierstrass-teszt az egyenletes konvergenciára)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) – német matematikus)

Sor
egyenletesen és abszolút konvergál az intervallumon [a, b], ha ugyanazon a szegmensen lévő tagjainak modulusai nem haladják meg egy pozitív tagú konvergens számsor megfelelő tagját:

azok. egyenlőtlenség van:

Azt is mondják, hogy ebben az esetben a funkcionális sorozat
szakosodott számsorozat
.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából
.

Mert
ez mindig nyilvánvaló
.

Sőt, ismert, hogy az általános harmonikus sorozat ha=3>1 konvergál, akkor a Weierstrass-próbának megfelelően a vizsgált sorozat egyenletesen, ráadásul tetszőleges intervallumban konvergál.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából .

A [-1,1] intervallumon az egyenlőtlenség fennáll
azok. a Weierstrass-kritérium szerint a vizsgált sorozat ezen a szegmensen konvergál, de a (-, -1)  (1, ) intervallumokon eltér.

Egyenletesen konvergens sorozatok tulajdonságai.

1) Tétel egy sorozat összegének folytonosságáról.

Ha a sorozat tagjai
- folyamatos a szakaszon [a, b] függvényt és a sorozat egyenletesen konvergál, akkor annak összegeS(x) Van folyamatos funkció a szegmensen [a, b].

2) Tétel egy sorozat távonkénti integrációjáról.

Egyenletesen konvergál a szegmensen [a, b] egy folytonos tagú sorozat ezen az intervallumon tagonként integrálható, azaz. egy sorozat, amely a szegmensben lévő kifejezéseinek integráljaiból áll [a, b] , konvergál a sorozat összegének integráljához ezen a szakaszon.

3) Tétel a sorozatok tagonkénti differenciálásáról.

Ha a sorozat tagjai
konvergál a szegmensben [a, b] folytonos deriváltokkal rendelkező folytonos függvényeket és ezekből a deriváltokból álló sorozatokat jelöli
egységesen konvergál ezen a szegmensen, akkor ez a sorozat egyenletesen konvergál és tagonként differenciálható.

Azon alapul, hogy a sorozat összege a változó valamilyen függvénye x, elvégezheti a függvény sorozat formájában történő ábrázolásának műveletét (függvény sorozattá bővítése), amelyet széles körben alkalmaznak az integrációs, differenciálási és egyéb függvényekkel végzett műveleteknél.

A gyakorlatban gyakran alkalmazzák a függvények hatványsoros kiterjesztését.

Teljesítmény sorozat.

Meghatározás. Teljesítmény sorozat az űrlap sorozatának nevezzük

A hatványsorok konvergenciájának tanulmányozásához célszerű a D'Alembert-tesztet használni.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

d'Alembert jelét alkalmazzuk:

Azt találjuk, hogy ez a sorozat a
és eltér a
.

Most meghatározzuk a konvergenciát az 1 és –1 határpontoknál.

x = 1 esetén:
A sorozat Leibniz kritériuma szerint konvergál (lásd Leibniz jele.).

x = -1 esetén:
a sorozat szétválik (harmonikus sorozat).

Ábel tételei.

(Nils Henrik Abel (1802-1829) – norvég matematikus)

Tétel. Ha a hatványsor
-nél konvergálx = x 1 , akkor konvergál és ráadásul abszolút mindenkinek
.

Bizonyíték. A tétel feltételei szerint, mivel a sorozat feltételei korlátozottak, akkor

Ahol k- valamilyen állandó szám. A következő egyenlőtlenség igaz:

Ebből az egyenlőtlenségből kitűnik, hogy mikor x< x 1 sorozatunk tagjainak számértékei kisebbek (legalábbis nem többek), mint a fentebb írt egyenlőtlenség jobb oldalán lévő sorozat megfelelő tagjai, amelyek geometriai progressziót alkotnak. Ennek a progressziónak a nevezője a tétel feltételei szerint kisebb egynél, ezért ez a progresszió konvergens sorozat.

Ezért az összehasonlítási kritérium alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a sorozat
konvergál, ami a sorozatot jelenti
abszolút konvergál.

Így ha a hatványsor
egy ponton konvergál x 1 , akkor a 2 hosszúságú intervallum bármely pontján abszolút konvergál egy pontban középre állítva x = 0.

Következmény. Én Kövér x = x 1 a sorozat szétválik, akkor mindenkinél eltér
.

Így minden hatványsorhoz van egy pozitív R szám, amely mindenre x oly módon, hogy
a sorozat abszolút konvergens, és mindenért
a sor eltér. Ebben az esetben az R számot hívják konvergencia sugár. Az intervallumot (-R, R) nevezzük konvergencia intervallum.

Vegye figyelembe, hogy ez az intervallum az egyik vagy mindkét oldalon zárható, vagy nem zárható.

A konvergencia sugarát a következő képlet segítségével találhatjuk meg:

Példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét

A konvergencia sugár megkeresése
.

Ezért ez a sorozat bármely érték esetén konvergál x. Ennek a sorozatnak a közös tagja nulla.

Tétel. Ha a hatványsor
pozitív értékhez konvergál x=x 1 , akkor egyenletesen konvergál bármely intervallumban belül
.

Műveletek hatványsorokkal.

Legyen adott egy végtelen u1, u2, u3… számsor.

Az u1+ u2+ u3…+ un (1) kifejezést hívjuk számsorozat, és az ezt alkotó számok a sorozat tagjai.

A sorozat első tagjainak n véges számának összegét a sorozat n-edik részösszegének nevezzük: Sn = u1+..+un

Ha főnév véges határ: akkor a sorozat összegének nevezik, és azt mondják, hogy a sorozat konvergál, ha nincs ilyen határ, akkor azt mondják, hogy a sorozat eltér, és nincs összege.

2 Geometriai és számtani sorozatok

Egy végtelen tagjaiból álló sorozat geometriai progresszió hívott geometriai:
vagy

a+ aq +…+aq n -1

a  0 az első tag q a nevező. Sor összege:

ezért a sorozat részösszegei sorozatának végső határa q értékétől függ

Lehetséges esetek:

1 |q|<1

azaz a sorozat és annak összege
2 |q|>1
és az összeg határa is egyenlő a végtelennel

vagyis szétválik a sorozat.

3 q = 1 esetén a sorozatot kapjuk: a+a+…+a… Sn = na
a sorozat eltér

4 q1 esetén a sorozat alakja: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 páros n esetén, Sn=a páratlan n esetén nincs korlát a részösszegekre. a sor eltér.

Tekintsünk egy számtani sorozat végtelen tagjának sorozatát:
u az első tag, d a különbség. Sorozatok összege

bármely u1-re és d-re egyidejűleg  0, és a sorozat mindig eltér.

3 S-va konvergens sorozat

Legyen két sorozat adott: u1+u2+…un = (1) ésv1+v2+…vn = (2)

Az (1) sorozat   R számmal való szorzatát sorozatnak nevezzük: u1+u2+…un = (3)

Az (1) és (2) sorozatok összegét sorozatnak nevezzük:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(a különbség kedvéért csak látszat van)

T1 A közös tényezőről

Ha az (1) sorozat konvergál, és összege = S, akkor tetszőleges számra  sorozat = is konvergál és összege S’ = S Ha (1) sorozat divergál és   0, akkor a sorozat is eltér. Vagyis a közös tényező nem befolyásolja a sorozatok eltéréseit.

T2 Ha az (1) és (2) sorozatok konvergálnak, és összegük = S, illetve S’, akkor a sorozat:
is konvergál, és ha  az összege, akkor  = S+S’. Vagyis a konvergens sorozatokat tagonként lehet összeadni és kivonni. Ha az (1) sorozat konvergál és a (2) sorozat divergál, akkor az összegük (vagy különbségük) is divergál. De ha mindkét sor eltér. akkor az összegük (vagy különbségük) eltérhet (ha un=vn) vagy konvergálhat (ha un=vn)

Az (1) sorhoz
a sorozat n-edik maradékának nevezzük. Ha a sorozatnak ez a maradéka konvergál, akkor összegét a következővel jelöljük: r n =

T3 Ha egy sorozat konvergál, akkor annak bármely maradéka konvergál, ha a sorozat bármely maradéka konvergál, akkor maga a sorozat konvergál. Ráadásul a teljes összeg = az Sn + r n sorozat részösszege

Véges számú tag megváltoztatása, eldobása vagy hozzáadása nem befolyásolja a sorozatok konvergenciáját (divergenciáját).

4 A sorozatok konvergenciájának szükséges jele

Ha egy sorozat konvergál, akkor a közös tagjának határa nulla:

Dokumentum:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, ezért:

Ez a tulajdonság csak szükséges, de nem elégséges, vagyis ha a közös tag határértéke nulla, akkor egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatok konvergáljanak. Következésképpen ez a feltétel, ha nem teljesül, az elégséges állapot a sorozat eltérései.

5 Egy sorozat konvergenciájának integrálpróbája. Dirichlet sorozat

T1 Adják meg sorban (1), amelynek tagjai nem negatívak és nem növekednek: u1>=u2>=u3...>=un

Ha van olyan f(x) függvény, amely nem negatív, folytonos és nem növekszik úgy, hogy f(n) = Un,  n  N, akkor az (1) sorozat konvergálásához szükséges és elegendő a nem megfelelő integrál a konvergáláshoz:
, és a divergenciához elegendő és szükséges, hogy ez az integrál, éppen ellenkezőleg, diverge (WOW!).

Használjuk ezt a funkciót a Dirichlet sorozat tanulmányozásához: Íme: ( x>=1) ez a függvény teljesíti az 1. Tétel feltételeit, ezért a Dirichlet-sor konvergenciája (divergenciája) ekvivalens az integrál divergenciájának konvergenciájával:

Három eset lehetséges:

1  >1,

Az integrál és ezért a sorozat konvergál.

Az integrál és a sorozat eltér egymástól

Ez a cikk egy strukturált és részletes információk, ami gyakorlatok, feladatok elemzésekor lehet hasznos. Megnézzük a számsorok témáját.

Ez a cikk az alapvető definíciókkal és fogalmakkal kezdődik. Ezután a standard opciókat tanulmányozzuk alapképletek. Az anyag egységesítése érdekében a cikk alapvető példákat és feladatokat közöl.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Alaptézisek

Először képzeljük el a rendszert: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , ahol a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Vegyünk például olyan számokat, mint: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

1. definíció

Egy számsor a ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + tagok összege. . . + a n +. . . .

A definíció jobb megértéséhez tekintsük az adott esetet, amelyben q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2. definíció

a k általános vagy k –th sorozat tagja.

Valahogy így néz ki - 16 · - 1 2 k.

3. definíció

Sorozatok részösszege valahogy így néz ki S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , amelyben n- bármilyen szám. S n is nth a sorozat összege.

Például ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . végtelen számsort alkotnak.

Egy sorra nth az összeget az S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n képlettel találjuk meg. A következő részösszegeket használjuk: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

4. definíció

A ∑ k = 1 ∞ a k sorozat az konvergens amikor a sorozatnak véges határértéke van S = lim S n n → + ∞ . Ha nincs határérték, vagy a sorozat végtelen, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k sorozatot ún. divergens.

5. definíció

Egy konvergens sorozat összege∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S sorozat határértéke.

BAN BEN ebben a példában lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, sorozat ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k konvergál. Az összeg 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1. példa

Divergens sorozatra példa egynél nagyobb nevezővel rendelkező geometriai sorozat összege: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

Az n-edik részösszeget a következőképpen adja meg: S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a részösszegek határa pedig végtelen: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Egy másik példa a divergens számsorokra a ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + alakú összeg. . . . Ebben az esetben az n-edik részösszeg úgy számítható ki, hogy Sn = 5n. A részösszegek határa végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

6. definíció

Ugyanolyan alakú összeg, mint ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ezt harmonikus számsorozat.

7. definíció

Összeg ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Ahol s –valós szám, egy általánosított harmonikus számsor.

A fent tárgyalt definíciók segítenek a legtöbb példa és probléma megoldásában.

A definíciók kiegészítéséhez bizonyos egyenletek bizonyítása szükséges.

∑ k = 1 ∞ 1 k – divergens.

Fordított módszert alkalmazunk. Ha konvergál, akkor a határ véges. Az egyenletet felírhatjuk a következőképpen: lim n → + ∞ S n = S és lim n → + ∞ S 2 n = S. Után bizonyos cselekvéseket az l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 egyenlőséget kapjuk.

Ellen,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

A következő egyenlőtlenségek érvényesek: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Azt kapjuk, hogy S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Az S 2 n - S n > 1 2 kifejezés azt jelzi, hogy a lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nem teljesül. A sorozat szerteágazó.

b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Meg kell erősíteni, hogy egy számsorozat összege q-hoz konvergál< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

A fenti definíciók szerint az összeg n kifejezéseket az S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 képlet szerint határozzuk meg.

Ha q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok konvergálnak.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + esetén. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Az összegek az S n = b 1 · n képlettel határozhatók meg, a határérték végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. A bemutatott változatban a sorozat eltér.

Ha q = -1, akkor a sorozat így néz ki: b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . A részösszegek így néznek ki: S n = b 1 páratlanra n, és S n = 0 párosra n. Ezt az esetet figyelembe véve megbizonyosodunk arról, hogy nincs határ, és a sorozatok eltérőek.

q > 1 esetén lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok eltérnek egymástól.

A ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1és divergál, ha s ≤ 1.

Mert s = 1∑ k = 1 ∞ 1 k eredményt kapunk, a sorozat divergál.

Amikor s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,természetes szám. Mivel a sorozat ∑ k = 1 ∞ 1 k divergens, nincs határ. Ezt követően a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat korlátlan. Arra a következtetésre jutunk, hogy a kiválasztott sorozat akkor tér el s< 1 .

Bizonyítani kell, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál s > 1.

Képzeljük el, hogy S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Tegyük fel, hogy 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Képzeljük el az egyenletet a természetes és páros n = 2 számokra: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Kapunk:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

A kifejezés 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . a q = 1 2 s - 1 geometriai haladás összege. A kezdeti adatok szerint a s > 1, majd 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 növekszik és 1 1 - 1 2 s - 1 felett korlátozódik. Képzeljük el, hogy van egy határérték, és a sorozat konvergens ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

8. definíció

Sorozat ∑ k = 1 ∞ a k ebben az esetben pozitív, ha tagjai > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k jeladó, ha a számok előjele eltérő. Ezt a példát a következőképpen mutatjuk be: ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k vagy ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , ahol a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó, mivel sok negatív és pozitív számot tartalmaz.

A második sor opció az különleges eset harmadik lehetőség.

Íme az egyes esetekre példák:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

A harmadik lehetőségnél az abszolút és feltételes konvergenciát is meghatározhatja.

9. definíció

A ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat abszolút konvergens abban az esetben, ha ∑ k = 1 ∞ b k is konvergensnek tekinthető.

Nézzünk meg néhány tipikus lehetőséget részletesen.

2. példa

Ha a sorok 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . és 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . konvergensnek vannak definiálva, akkor helyes azt feltételezni, hogy 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

10. definíció

Egy ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozatot feltételesen konvergensnek tekintünk, ha ∑ k = 1 ∞ b k divergens, és a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatot konvergensnek tekintjük.

3. példa

Vizsgáljuk meg részletesen a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + opciót. . . . Az abszolút értékekből álló ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot divergensnek definiáljuk. Ez az opció konvergensnek tekinthető, mivel könnyen meghatározható. Ebből a példából megtudjuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + sorozat. . . feltételesen konvergensnek tekintendő.

A konvergens sorozatok jellemzői

Elemezzük a tulajdonságokat bizonyos esetekben

Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál, akkor a ∑ k = m + 1 ∞ a k sorozatot is konvergensnek tekintjük. Megjegyezhető, hogy a sor nélkül m kifejezéseket is konvergensnek tekintik. Ha ∑ k = m + 1 ∞ a k-hez több számot adunk, akkor a kapott eredmény is konvergens lesz.
Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál és az összeg = S, akkor a ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S sorozat is konvergál, ahol A-állandó.
Ha ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k konvergensek, az összegek AÉs B is, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k + b k és a ∑ k = 1 ∞ a k - b k sorozat is konvergál. Az összegek egyenlőek lesznek A+BÉs A-B illetőleg.

4. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 konvergál.

Változtassuk meg a ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 kifejezést. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1. A második tulajdonság szerint ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5. példa

Határozza meg, hogy a ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 sorozat konvergál-e.

Alakítsuk át az eredeti változatot ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n 2 .

∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 és ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 összeget kapjuk. Minden sorozat a tulajdonság szerint konvergensnek minősül. Tehát ahogy a sorozatok közelednek, úgy az eredeti verzió is.

6. példa

Számítsa ki, hogy az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + sorozat konvergál-e. . . és számolja ki az összeget.

Bővítsük ki az eredeti verziót:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Mindegyik sorozat konvergál, mert ez az egyik kifejezés számsor. A harmadik tulajdonság szerint kiszámolhatjuk, hogy az eredeti változat is konvergens. Kiszámoljuk az összeget: A ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 sorozat első tagja és a nevező = 0. 5, ezt követi: ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Az első tag ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , és a csökkenő számsor nevezője = 1 3 . A következőt kapjuk: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

A fent kapott kifejezéseket használjuk az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + összeg meghatározásához. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Szükséges feltétele annak meghatározásának, hogy egy sorozat konvergens-e

11. definíció

Ha a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat konvergens, akkor a határértéke kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ha bármelyik opciót bejelöljük, nem szabad megfeledkeznünk a nélkülözhetetlen feltételről. Ha nem teljesül, akkor a sorozat szétválik. Ha lim k → + ∞ a k ≠ 0, akkor a sorozat divergens.

Tisztázni kell, hogy a feltétel fontos, de nem elégséges. Ha teljesül a lim k → + ∞ a k = 0 egyenlőség, akkor ez nem garantálja, hogy ∑ k = 1 ∞ a k konvergens.

Mondjunk egy példát. A ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozatra a feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 k = 0 , de a sorozat továbbra is eltér.

7. példa

Határozzuk meg a ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n konvergenciát.

Ellenőrizzük az eredeti kifejezést a lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n feltétel teljesítésére. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Határ nth tag nem egyenlő 0-val. Bebizonyítottuk, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Hogyan határozható meg egy pozitív sorozat konvergenciája.

Ha folyamatosan használja ezeket a jellemzőket, folyamatosan számolnia kell a határértékeket. Ez a rész segít elkerülni a nehézségeket a példák és problémák megoldása során. Egy pozitív sorozat konvergenciájának meghatározásához van egy bizonyos feltétel.

Pozitív előjelű ∑ k = 1 ∞ a k konvergenciájára a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . meg kell határozni korlátozott sorozatösszegeket

Hogyan hasonlítsuk össze a sorozatokat

A sorozatok összehasonlításának több jele is van. Összehasonlítjuk azokat a sorozatokat, amelyek konvergenciáját javasoljuk meghatározni, azzal a sorozattal, amelynek konvergenciája ismert.

Első jel

∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelű sorozatok. Az a k ≤ b k egyenlőtlenség érvényes k = 1, 2, 3, ... Ebből következik, hogy a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatból ∑ k = 1 ∞ a k . Mivel ∑ k = 1 ∞ a k divergens, a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergensként definiálható.

Ezt a szabályt folyamatosan használják egyenletek megoldására, és komoly érv, amely segít a konvergencia meghatározásában. A nehézség abban rejlik, hogy nem minden esetben lehet megfelelő példát találni az összehasonlításra. Elég gyakran egy sorozatot az indikátor elvének megfelelően választanak ki kth tag egyenlő lesz a számláló és a nevező kitevőjének levonásának eredményével kth sorozat tagja. Tegyük fel, hogy a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, a különbség egyenlő lesz 2 – 3 = - 1 . BAN BEN ebben az esetben megállapítható, hogy összehasonlítás céljából egy sorozatot k-th b k = k - 1 = 1 k tag, ami harmonikus.

A kapott anyag megszilárdítása érdekében részletesen megvizsgálunk néhány tipikus lehetőséget.

8. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 sorozat!

Mivel a határérték = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, a szükséges feltételt teljesítettük. Az egyenlőtlenség igazságos lesz 1 k< 1 k - 1 2 для k, amelyek természetesek. Az előző bekezdésekből megtudtuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozat divergens. Az első kritérium szerint bizonyítható, hogy az eredeti változat eltérő.

9. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Ebben a példában a szükséges feltétel teljesül, mivel lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. 1 k 3 + 3 k - 1 egyenlőtlenségként ábrázoljuk< 1 k 3 для любого значения k. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sorozat konvergens, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s harmonikus sorozat konvergál s > 1. Az első kritérium alapján megállapíthatjuk, hogy a számsor konvergens.

10. példa

Határozzuk meg, mi a ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) sorozat! lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Ebben az opcióban jelölheti meg a kívánt feltétel teljesülését. Határozzuk meg az összehasonlítás céljából egy sorozatot. Például ∑ k = 1 ∞ 1 k s . A fokozat meghatározásához tekintsük az (ln (ln k)) sorozatot, k = 3, 4, 5. . . . Az ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , szekvencia tagjai. . . a végtelenségig növekszik. Az egyenlet elemzése után megállapíthatjuk, hogy ha N = 1619 értéket veszünk, akkor a sorozat tagjai > 2. Erre a sorozatra az 1 k ln (ln k) egyenlőtlenség igaz< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Második jel

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, és ∑ k = 1 ∞ a k is konvergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor mivel a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergál, akkor ∑ k = 1 ∞ a k is divergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ és lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája egy másik sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját jelenti.

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 a második előjellel. Összehasonlításhoz ∑ k = 1 ∞ b k vesszük a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozatot. Határozzuk meg a határértéket: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

A második kritérium szerint megállapítható, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozat azt jelenti, hogy az eredeti változat is konvergál.

11. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 sorozat!

Elemezzük a lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 szükséges feltételt, amely ebben a változatban teljesül. A második kritérium szerint vegyük a ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot. A határértéket keressük: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

A fenti tézisek szerint a divergens sorozat az eredeti sorozat divergenciáját vonja maga után.

Harmadik jel

Nézzük az összehasonlítás harmadik jelét.

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és _ ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok. Ha a feltétel teljesül egy bizonyos a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k számra, akkor ennek a sorozatnak a ∑ k = 1 ∞ b k konvergenciája azt jelenti, hogy a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat is konvergens. A ∑ k = 1 ∞ a k divergens sorozat a ∑ k = 1 ∞ b k divergenciát vonja maga után.

D'Alembert jele

Képzeljük el, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor. Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, majd divergens.

1. megjegyzés

D'Alembert tesztje akkor érvényes, ha a határ végtelen.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , akkor a sorozat konvergens, ha lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , akkor divergens.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, akkor a d’Alembert-jel nem segít, és további kutatásokra lesz szükség.

12. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k d’Alembert-kritérium segítségével.

Ellenőrizni kell, hogy a szükséges konvergencia feltétel teljesül-e. Számítsuk ki a határértéket L'Hopital szabályával: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Láthatjuk, hogy a feltétel teljesül. Használjuk d'Alembert tesztjét: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

A sorozat konvergens.

13. példa

Határozza meg, hogy a sorozat divergens-e ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Határozzuk meg a sorozat divergenciáját a d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Ezért a sorozat eltérő.

Radikális Cauchy jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű sorozat. Ha lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, majd divergens.

Jegyzet 2

Ha lim k → + ∞ a k k = 1, akkor ez a jel nem ad információt - további elemzés szükséges.

Ez a funkció könnyen azonosítható példákban használható. Tipikus az az eset, amikor egy számsor tagja egy exponenciális hatványkifejezés.

A kapott információk konszolidálása érdekében nézzünk meg néhány tipikus példát.

14. példa

Határozza meg, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k pozitív előjelű sorozat konvergens-e.

A szükséges feltételt teljesítettnek tekintjük, mivel lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

A fent tárgyalt ismérv szerint lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0.< 1 . Данный ряд является сходимым.

15. példa

Konvergál-e a ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 számsor?

Az előző bekezdésben leírt jellemzőt használjuk lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integrált Cauchy-teszt

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k pozitív előjelű sorozat. Szükséges a folytonos argumentum függvényének jelölése y = f(x), ami egybeesik a n = f (n) -vel. Ha y = f(x)Nulla felett, nem szakad meg és csökken [ a ; + ∞) , ahol a ≥ 1

Ekkor, ha a ∫ a + ∞ f (x) d x nem megfelelő integrál konvergens, akkor a vizsgált sorozat is konvergál. Ha eltér, akkor a vizsgált példában a sorozat is eltér.

Ha ellenőrizni szeretné, hogy egy függvény csökken-e, használhatja az előző leckékben tárgyalt anyagot.

16. példa

Tekintsük a ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k példát a konvergenciára.

A sorozat konvergenciájának feltétele teljesültnek tekinthető, mivel lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Tekintsük y = 1 x ln x. Nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és [2-vel csökken; + ∞) . Az első két pont biztosan ismert, de a harmadikat részletesebben kell tárgyalni. Keresse meg a deriváltot: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. nullánál kisebb a [ 2 ; + ∞ -n. Ez bizonyítja azt a tézist, hogy a függvény csökken.

Valójában az y = 1 x ln x függvény megfelel a fentebb vizsgált elv jellemzőinek. Használjuk: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

A kapott eredmények szerint eredeti példa divergens, mert a nem megfelelő integrál divergens.

17. példa

Igazoljuk a ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 sorozat konvergenciáját.

Mivel lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, akkor a feltételt teljesültnek tekintjük.

A k = 4-től kezdve a helyes kifejezés 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ha a ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, akkor az egyik összehasonlítási elv szerint a ∑ k = 4 ∞ 1 (10) sorozatot k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 is konvergensnek tekinthető. Így megállapíthatjuk, hogy az eredeti kifejezés is konvergens.

Térjünk át a bizonyításra: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Mivel az y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 függvény nagyobb nullánál, ezért nem szakad meg, és [4-gyel csökken; + ∞) . Az előző bekezdésben leírt funkciót használjuk:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

A kapott ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 konvergens sorozatban meghatározhatjuk, hogy ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 is konvergál.

Raabe jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor.

Ha lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, akkor konvergál.

Ez a meghatározási módszer akkor használható, ha a fent leírt technikák nem adnak látható eredményeket.

Abszolút konvergencia tanulmány

A vizsgálathoz ∑ k = 1 ∞ b k -t veszünk. Pozitív előjelet használunk ∑ k = 1 ∞ b k . A fentebb leírt megfelelő funkciók bármelyikét használhatjuk. Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, akkor az eredeti sorozat abszolút konvergens.

18. példa

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozatot a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k konvergenciára 3 + 2 k - 1 .

A feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Használjuk a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 és a második jelet: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozat konvergál. Az eredeti sorozat is abszolút konvergens.

Váltakozó sorozatok eltérése

Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergens, akkor a megfelelő ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat vagy divergens, vagy feltételesen konvergens.

Csak a d'Alembert-próba és a radikális Cauchy-teszt segít levonni a ∑ k = 1 ∞ b k-ra vonatkozó következtetéseket a ∑ k = 1 ∞ b k modulusoktól való eltérésből. A ∑ k = 1 ∞ b k sorozat akkor is divergál, ha a szükséges konvergenciafeltétel nem teljesül, vagyis ha lim k → ∞ + b k ≠ 0.

19. példa

Ellenőrizd az eltérést 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .

Modul kth kifejezést a következőképpen ábrázoljuk: b k = k ! 7 k.

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k sorozatot! 7 k a konvergenciára a d'Alembert-kritérium segítségével: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k ugyanúgy eltér, mint az eredeti verzió.

20. példa

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergens.

Tekintsük a szükséges feltételt: lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . A feltétel nem teljesül, ezért ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) a sorozat divergens. A határértéket a L'Hopital-szabály alapján számítottuk ki.

Feltételes konvergenciakritériumok

Leibniz tesztje

12. definíció

Ha a váltakozó sorozat tagjainak értékei csökkennek b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . és a modulushatár = 0, ha k → + ∞, akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál.

17. példa

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) a konvergenciához.

A sorozatot a következőképpen ábrázoljuk: ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . A szükséges feltétel teljesül: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k a második összehasonlítási kritérium lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Azt találjuk, hogy ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergál. A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) sorozat a Leibniz-kritérium szerint konvergál: szekvencia 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 + 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . csökken és lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

A sorozat feltételesen konvergál.

Abel-Dirichlet teszt

13. definíció

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konvergál, ha ( u k ) nem növekszik, és a ∑ k = 1 + ∞ v k sorozat korlátos.

17. példa

Fedezze fel az 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + számokat. . . a konvergencia érdekében.

Képzeljük el

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ahol (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . nem növekvő, és a sorozat (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . korlátozott (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . A sorozat összefolyik.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

1.Számsorozat: alapfogalmak, egy sorozat konvergenciájának szükséges feltételei. A sor többi része.

2. Sorozatok pozitív kifejezésekkel és konvergenciatesztekkel: összehasonlító tesztek, D'Alembert, Cauchy.

3. Váltakozó sorozatok, Leibniz-teszt.

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

A matematikai alkalmazásokban, valamint a közgazdaságtan, a statisztika és más területek egyes problémáinak megoldásában végtelen számú tagú összegeket vesznek figyelembe. Itt fogjuk meghatározni, hogy mit kell érteni az ilyen összegeken.

Legyen adott egy végtelen számsorozat

Meghatározás 1.1. Számsorozat vagy egyszerűen közel a forma kifejezésének (összegének) nevezzük

. (1.1)

Számok hívják egy szám tagjai, –Tábornok vagy n–m sorozat tagja.

Az (1.1) sorozat definiálásához elegendő megadni a sorozat th-edik tagjának kiszámításának természetes argumentumának függvényét annak számával

Példa 1.1. Hadd . Sor

(1.2)

hívott harmonikus sorozat.

Példa 1.2. Legyen ,Row

(1.3)

hívott általánosított harmonikus sorozat. Egy adott esetben harmonikus sorozatot kapunk.

1.3. példa. Legyen =. Sor

hívott geometriai progresszió közelében.

Az (1.1) sorozat tagjaiból egy numerikust képezünk részek sorozata összegeket Ahol – a sorozat első tagjainak összege, amelyet ún n-részösszeg, azaz

…………………………….

Számsorozat számának korlátlan növekedésével:

1) véges határral rendelkeznek;

2) nincs véges határa (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Meghatározás 1.2. Az (1.1) sorozatot hívják konvergens, ha részösszegei sorozatának (1.5) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben hívják a számot összeg sorozat (1.1) és meg van írva

Meghatározás 1.3. Az (1.1) sorozatot hívják eltérő, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa.

Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így egy (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

Nézzünk néhány példát.

Példa 1.4. Bizonyítsd be, hogy a sorozat

konvergál, és találja meg az összegét.

Keressük ennek a sorozatnak az n-edik részösszegét.

Általános tag formában ábrázolja a sorozatot .

Innentől a következőket kapjuk: . Ezért ez a sorozat konvergál, és összege egyenlő 1-gyel:

1.5. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Ehhez a sorhoz

. Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

Megjegyzés. Az (1.6) sorozatnál végtelen számú nulla összege, és nyilvánvalóan konvergens.

2. A számsorok alapvető tulajdonságai

Egy véges számú tag összegének tulajdonságai eltérnek egy sorozat tulajdonságaitól, vagyis végtelen számú tag összegétől. Tehát véges számú tag esetén tetszőleges sorrendben csoportosíthatók, ez az összegen nem változtat. Vannak konvergens sorozatok (feltételesen konvergensek, amelyeket az 5. fejezetben tárgyalunk), amelyekre, ahogy Riemann megmutatta * , a kifejezések sorrendjének megfelelő megváltoztatásával a sorozat összegét tetszőleges számmal egyenlővé teheti, sőt, akár egy divergens sorozattal is.

2.1. példa. Tekintsük az (1.7) alak divergens sorozatát.

Tagjait párokba csoportosítva kapunk egy konvergens számsort, amelynek összege nulla:

Másrészt, ha tagjait párokba csoportosítjuk, a második taggal kezdve, egy konvergens sorozatot is kapunk, de összege eggyel egyenlő:

A konvergens sorozatoknak vannak bizonyos tulajdonságai, amelyek lehetővé teszik, hogy véges összegekként kezeljük őket. Így ezeket számokkal lehet szorozni, tagonként összeadni és kivonni. Bármely szomszédos kifejezést csoportokba vonhatnak.

Tétel 2.1.(Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele).

Ha az (1.1) sorozat konvergál, akkor közös tagja nullára hajlik, mivel n korlátlanul növekszik, azaz.

A tétel bizonyítása abból következik, hogy , és ha

S az (1.1) sorozat összege, tehát

A (2.1) feltétel szükséges, de nem elégséges feltétele a sorozatok konvergenciájának. Vagyis ha a sorozat közös tagja nullára hajlik a -nál, ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Például a harmonikus sorozathoz (1.2) azonban, amint az alább látható lesz, eltér.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete