A gyakorlatban gyakran nem annyira fontos egy sorozat összegének megtalálása, mint a sorozatok konvergenciájának megválaszolása. Erre a célra a sorozat közös tagjának tulajdonságai alapján konvergenciakritériumokat használnak.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele

1. TÉTEL

Ha a sorkonvergál, akkor a közös kifejezés nullára hajlamos as
, azok.
.

Röviden: Ha egy sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik.

Bizonyíték. Legyen a sorozat konvergál, és összege egyenlő . Bárkinek részösszeg

.

Akkor . 

A konvergencia bizonyítottan szükséges kritériumából az következik elegendő jele egy sorozat divergenciájának: én Kövér
Ha a sorozat közös tagja nem hajlik nullára, akkor a sorozat eltér.

4. példa

Ennél a sorozatnál a közös kifejezés
És
.

Ennélfogva, ezt a sorozatot eltér.

5. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Nyilvánvaló, hogy ennek a sorozatnak az általános kifejezése, amelynek formája a kifejezés nehézkessége miatt nincs feltüntetve, nullára hajlik, mint
, azaz egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma teljesül, de ez a sorozat eltér, mivel összege a végtelenbe hajlik.

Pozitív számsorozat

Olyan számsort nevezünk, amelyben minden tag pozitív pozitív előjel.

2. TÉTEL (Egy pozitív sorozat konvergenciájának kritériuma)

Ahhoz, hogy egy pozitív előjelű sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy minden részösszege felülről ugyanazzal a számmal legyen határolva.

Bizonyíték. Hiszen bárkinek
, akkor pl. utósorozat
– monoton növekvő, ezért a határérték fennállásához szükséges és elegendő a sorozatot felülről valamilyen számmal korlátozni.

Ez a tétel in nagyobb mértékben inkább elméleti, mint gyakorlati jelentősége van. Az alábbiakban további, szélesebb körben használt konvergenciateszteket talál.

A pozitív sorozatok konvergenciájának elegendő jele

3. TÉTEL (Első összehasonlító jel)

Legyen két pozitív előjelű sorozat:

(1)

(2)

és egy bizonyos számtól kezdve
, bárkinek
egyenlőtlenség érvényesül
Akkor:

Az első összehasonlító jellemző sematikus jelölése:

leereszkedés.gyülekező.

exp.exp.

Bizonyíték. 1) Mivel a sorozat véges számú tagjának elvetése nem befolyásolja a konvergenciáját, bebizonyítjuk a tételt az esetre
. Legyen bárkinek
nekünk van

, (3)

Ahol
És
- az (1) és (2) sorozatok részösszegei.

Ha a (2) sorozat konvergál, akkor van szám
. Mivel ebben az esetben a sorrend
- növekszik, határa nagyobb bármely tagjánál, i.e.
bárkinek . Ezért a (3) egyenlőtlenségből az következik
. Így az (1) sorozat összes részösszege fent a számmal határolt . A 2. tétel szerint ez a sorozat konvergál.

2) Valóban, ha a (2) sorozat konvergálna, akkor összehasonlításképpen az (1) sorozat is konvergálna. 

Ennek a funkciónak az alkalmazásához gyakran olyan szabványos sorozatokat használnak, amelyek konvergenciája vagy divergenciája előre ismert, például:

3) - Dirichlet sorozat (konvergál a
és eltér a
).

Ezenkívül gyakran használnak olyan sorozatokat, amelyek a következő nyilvánvaló egyenlőtlenségek segítségével érhetők el:

,

,
,
.

Nézzük konkrét példák egy séma a konvergencia pozitív sorozatának tanulmányozására az első összehasonlítási kritérium segítségével.

6. példa. Sor felfedezése
a konvergencia érdekében.

1. lépés: Ellenőrizzük a sorozat pozitív előjelét:
Mert

2. lépés. Ellenőrizzük egy sorozat konvergenciájához szükséges kritérium teljesülését:
. Mert
, Azt

(ha a határ kiszámítása nehézkes, ezt a lépést kihagyhatja).

3. lépés: Használja az első összehasonlító jelet. Ehhez kiválasztunk egy szabványos sorozatot ehhez a sorozathoz. Mert
, akkor standardnak vehetjük a sorozatot
, azaz Dirichlet sorozat. Ez a sorozat a kitevő óta konvergál
. Ebből következően az első összehasonlítási kritérium szerint a vizsgált sorozatok is konvergálnak.

7. példa. Sor felfedezése
a konvergencia érdekében.

1) Ez a sorozat pozitív előjelű, mivel
Mert

2) Egy sorozat konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, mert

3) Válasszunk ki egy szabványos sort. Mert
, akkor a geometriai sorozatot vehetjük szabványnak

. Ez a sorozat konvergál, és ezért a vizsgált sorozat is konvergál.

4. TÉTEL (Második összehasonlítási feltétel)

Ha pozitív sorozatokra És van egy nem nulla véges határ
, Azt a sorok egyidejűleg konvergálnak vagy távolodnak el egymástól.

Bizonyíték. Konvergáljon a (2) sorozat; Bizonyítsuk be, hogy akkor az (1) sorozat is konvergál. Válasszunk egy számot , több mint . Az állapottól
ebből következik, hogy létezik ilyen szám ez mindenkinek szól
az egyenlőtlenség igaz
, vagy mi ugyanaz,

(4)

Az (1) és (2) sorban lévő elsők elvetése után kifejezések (ami nem befolyásolja a konvergenciát), feltételezhetjük, hogy a (4) egyenlőtlenség mindenkire érvényes
De egy sorozat egy közös taggal
sorozatok konvergenciája miatt konvergál (2). Az első összehasonlítási kritérium szerint a (4) egyenlőtlenség az (1) sorozatok konvergenciáját jelenti.

Most az (1) sorozat konvergáljon; Bizonyítsuk be a (2) sorozatok konvergenciáját. Ehhez egyszerűen fel kell cserélni az adott sorok szerepét. Mert

akkor a fentiek szerint az (1) sorozat konvergenciája a (2) sorozat konvergenciáját jelenti. 

Ha
nál nél
(a konvergencia szükséges jele), majd a feltételből
, ezt követi És – azonos kicsinységi rendű végtelen kicsinyek (egyenértékű
). Ezért, ha adott egy sorozat , Ahol
nál nél
, akkor ehhez a sorozathoz veheted a standard sorozatot , hol a gyakori kifejezés kicsinységi sorrendje megegyezik az adott sorozat általános tagjával.

Ha szabványos sorozatot választ, használhatja a következő táblázatot az egyenértékű infinitezimális számokról
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

8. példa. Vizsgáljuk meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

.

bárkinek
.

Mert
, akkor a harmonikus divergens sorozatot vesszük standard sorozatnak
. Mivel a közös kifejezések arányának határa És véges és különbözik nullától (egyenlő 1), akkor a második összehasonlítási feltétel alapján ez a sorozat divergál.

9. példa.
két összehasonlítási szempont szerint.

Ez a sorozat pozitív, hiszen
, És
. Mert a
, akkor a harmonikus sorozat standard sorozatnak tekinthető . Ez a sorozat eltér, ezért az összehasonlítás első jele szerint a vizsgált sorozat is eltér.

Mivel ennél a sorozatnál és a standard sorozatnál a feltétel teljesül
(itt az 1. figyelemre méltó határértéket használjuk), majd a második összehasonlítási kritérium alapján a sorozatot
– eltér.

5. TÉTEL (D'Alembert teszt)

véges határ van
, akkor a sorozat at
és eltér a
.

Bizonyíték. Hadd
. Vegyünk néhány számot , között kötöttek és 1:
. Az állapottól
ebből az következik, hogy valamilyen számból kiindulva egyenlőtlenség érvényesül

;
;
(5)

Fontolja meg a sorozatot

Az (5) szerint a (6) sorozat egyetlen tagja sem haladja meg a végtelen geometriai progresszió megfelelő tagját
Mert a
, ez a progresszió konvergens. Innentől az első összehasonlítási kritérium miatt a sorozatok konvergenciája következik

Esemény
gondold meg magad.

Megjegyzések :

ebből következik, hogy a sorozat többi része

.

A D'Alembert-teszt kényelmes a gyakorlatban, ha a sorozat közös tagja tartalmazza exponenciális függvény vagy faktoriális.

10. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából D'Alembert jele szerint.

Ez a sorozat pozitív és

.

(Itt a számítás során a L'Hopital-szabályt kétszer alkalmazzuk).

akkor d'Alembert kritériuma szerint ez a sorozat konvergál.

11. példa..

Ez a sorozat pozitív és
. Mert a

akkor ez a sorozat összefolyik.

6. TÉTEL (Cauchy-teszt)

Ha pozitív sorozatra véges határ van
, akkor mikor
a sorozat konvergál, és mikor
a sor eltér.

A bizonyítás hasonló az 5. Tételhez.

Megjegyzések :

12. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából
.

Ez a sorozat pozitív, hiszen
bárkinek
. A határérték számítása óta
bizonyos nehézségeket okoz, akkor elhagyjuk a sorozat konvergenciájához szükséges kritérium megvalósíthatóságának ellenőrzését.

akkor a Cauchy-kritérium szerint ez a sorozat eltér.

7. TÉTEL ( Integrált funkció Maclaurin – Cauchy konvergencia)

Legyen adott egy sorozat

amelyeknek a feltételei pozitívak és nem nőnek:

Engedd tovább
- minden valóshoz definiált függvény
, folyamatos, nem növekszik és

Egy sorozat összege csak akkor számítható ki, ha a sorozatok konvergálnak. Ha egy sorozat eltér, akkor a sorozat összege végtelen, és nincs értelme bármit is számolni. Az alábbiakban példákat mutatunk be egy Lvovban megkérdezett sorozat összegének megtalálásának gyakorlatából Nemzeti Egyetem Ivan Frankról nevezték el. A sorozathoz tartozó feladatokat úgy választjuk ki, hogy a konvergencia feltétel mindig teljesüljön, de konvergencia-ellenőrzést végzünk. Ez és a következő cikkek jelentik a megoldást próba munka sorozatelemzésről.

1.4. példa Számítsa ki a sorok összegét:
A)
Számítások: Mivel a sorozat közös tagjának határa a végtelenig következő számnál 0

akkor ez a sorozat összefolyik. Számítsuk ki a sorozatok összegét. Ehhez a köztagot úgy alakítjuk át, hogy I. és II. típusú egyszerű törtekre bontjuk. Az egyszerű törtekre bontás módszerét itt nem adjuk meg (a törtek integrálásakor jól le van írva), hanem csak a bontás végső formáját írjuk le

Ennek megfelelően az összeget az egyszerű törtekből képzett sorozatok összegén, majd a sorozat összegeinek különbségén keresztül írhatjuk fel.

Ezután minden sort egy explicit összegbe írunk, és kiemeljük azokat a kifejezéseket (aláhúzás), amelyek összeadás után 0-ra változnak. Így a sorozat összege leegyszerűsödik 3 tag összegére (feketével jelölve), ami 33/40-et eredményez.

Minden ezen alapszik gyakorlati rész megtalálni az összeget egyszerű sorok.
Az összetett sorozatok példái a végtelenül csökkenő progressziók és sorozatok összegére vezethetők vissza, amelyeket a megfelelő képletekkel találunk meg, de az ilyen példákat itt nem fogjuk figyelembe venni.
b)
Számítások: Határozzuk meg az összeg n-edik tagjának határát

Egyenlő nullával, ezért az adott sorozat konvergál, és érdemes az összegét keresni. Ha a határ eltér nullától, akkor a sorozat összege egyenlő a végtelennel plusz vagy mínusz előjellel.
Keressük meg a sorozat összegét. Ehhez a sorozat közös tagját, amely egy tört, a határozatlan együtthatók módszerével konvertáljuk az I. típusú egyszerű törtek összegére.

Ezután a korábban megadott utasításoknak megfelelően a sorozat összegét írjuk át az egyszerű törtek megfelelő összegein keresztül

Felírjuk az összegeket, és kiválasztjuk azokat a tagokat, amelyek összegzéskor 0-val lesznek egyenlők.

Ennek eredményeként több tag összegét kapjuk (feketével kiemelve), ami 17/6.

1.9. példa Keresse meg a sorozat összegét:
A)
Számítástechnika: Számítási határok

Gondoskodunk arról, hogy ez a sorozat konvergáljon, és meg tudjuk találni az összeget. Ezután a függvény nevezőjét n számról n-re bővítjük elsődleges tényezők, és a teljes törtet konvertálja át az I. típusú egyszerű törtek összegére

Ezután két egyszerű kifejezéssel írjuk fel a sorozat összegét az ütemezésnek megfelelően

Kifejezetten írjuk a sorozatot, és kiválasztjuk azokat a kifejezéseket, amelyek összeadása után nullát adnak. A többi kifejezés (feketével kiemelve) képviseli végső összeget sor

Így egy sorozat összegének megtalálásához a gyakorlatban redukálni kell közös nevező 3 egyszerű törtek.
b)
Számítások: A sorozattag határa at nagy értékek a számok nullára hajlanak

Ebből következik, hogy a sorozat konvergál, és összege véges. Határozzuk meg a sorozat összegét, ehhez először a sorozat általános tagját bontjuk három legegyszerűbb típusra a határozatlan együtthatók módszerével;

Ennek megfelelően a sorozatok összege három egyszerű sorozat összegére fordítható

Ezután mindhárom összegben keresünk kifejezéseket, amelyek összegzés után nullává válnak. Három egyszerű törtet tartalmazó sorozatban az egyik ilyen lesz egyenlő nullával(pirossal kiemelve). Ez egyfajta utalásként szolgál a számításokhoz

A sorozat összege egyenlő 3 tag összegével és egyenlő eggyel.

1.15. példa Számítsa ki a sorozat összegét:
A)

Számítások: Amikor a sorozat általános tagja nullára hajlik

ez a sorozat összefolyik. Alakítsuk át a közös tagot úgy, hogy a legegyszerűbb törtek összege legyen

Ezután az adott sorozatot az ütemezési képletek szerint két sorozat összegén keresztül írjuk fel

Explicit írás után a sorozat legtöbb tagja az összegzés eredményeként nullával egyenlő lesz. Már csak a három tag összegét kell kiszámítani.

A számsor összege -1/30.
b)
Számítások: Mivel a sorozat közös tagjának korlátja nulla,

akkor a sorozat konvergál. Egy sorozat összegének meghatározásához a közös tagot a legegyszerűbb típus törteire bontjuk.

A felbontásnál a meghatározatlan együtthatók módszerét alkalmaztuk. A talált ütemtervből felírjuk a sorozat összegét

A következő lépésben ki kell választani azokat a feltételeket, amelyek nem járulnak hozzá a végösszeghez, és a fennmaradóakat

A sorozat összege 4,5.

1.25. példa Számítsa ki a sorok összegét:
A)


Mivel egyenlő nullával, a sorozat konvergál. Megtaláljuk a sorozat összegét. Ehhez az előző példák sémája szerint egyszerű törtekkel bővítjük a sorozat közös tagját

Ez lehetővé teszi, hogy sorozatot írjon az egyszerű sorozatok összegén keresztül, és a benne lévő kifejezések kiemelésével egyszerűsítse az összegzést.

Ebben az esetben egy kifejezés marad, amely egyenlő eggyel.
b)
Számítások: A sorozat közös tagjának határának megtalálása

és győződjön meg arról, hogy a sorozatok konvergálnak. Ezután a számsor általános tagját a határozatlan együtthatók módszerével a legegyszerűbb típusú törtekre bontjuk.

Ugyanezekkel a törtekkel írjuk fel a sorozat összegét

A sorozatot kifejezetten és 3 tag összegére egyszerűsítjük

A sorozat összege 1/4.
Ezzel befejeződik a sorozatösszegzési sémák bevezetése. A végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegére redukált, faktoriálisokat, hatványfüggéseket és hasonlókat tartalmazó sorozatokat itt még nem vettük figyelembe. A bemutatott anyag azonban hasznos lesz a vetélkedők és vetélkedők tanulói számára.

Válasz: a sorozat eltér.

3. példa

Keresse meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ sorozat összegét.

Mivel az összegzés alsó határa 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Komponáljunk n-edik részleges a sorozat összege, i.e. Adjuk össze egy adott számsorozat első $n$ tagját:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Hogy miért pontosan $\frac(2)(3\cdot 5)$-t írok, és nem $\frac(2)(15)$-t, az a további elbeszélésből kiderül. Egy részösszeg felírása azonban egy cseppet sem vitt közelebb a célunkhoz. Meg kell találnunk a $\lim_(n\to\infty)S_n$-t, de ha csak azt írjuk:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

akkor ez a teljesen korrekt formájú rekord lényegében semmit sem ad nekünk. A határ meghatározásához először a részösszeg kifejezését kell egyszerűsíteni.

Erre van egy szabványos transzformáció, ami abból áll, hogy a sorozat általános tagját jelentő $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ törtet elemi törtekre bontjuk. A bomlás kérdése racionális törtek eleminek szentelt külön téma(Lásd például ezen az oldalon a 3. példát). Ha a $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ törtet elemi törtekre bontjuk, akkor a következőt kapjuk:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

A bal és a törtek számlálóit egyenlővé tesszük megfelelő részek a kapott egyenlőség:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Kétféleképpen lehet megtalálni a $A$ és a $B$ értékét. Megnyithatja a zárójeleket és átrendezheti a kifejezéseket, vagy egyszerűen behelyettesíthet néhány megfelelő értékkel a $n$ helyett. Csak a változatosság kedvéért, ebben a példában az első utat fogjuk követni, a következőben pedig a $n$ privát értékeket helyettesítjük. A zárójeleket kinyitva és a kifejezéseket átrendezve a következőket kapjuk:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Az egyenlőség bal oldalán az $n$ előtt egy nulla áll. Ha szeretnéd, bal oldal Az egyértelműség kedvéért az egyenlőség a következőképpen ábrázolható: $0\cdot n+ 2$. Mivel az $n$ egyenlőség bal oldalán nulla, az $n$ egyenlőség jobb oldalán pedig $2A+2B$ áll, így az első egyenlet: $2A+2B=0$. Azonnal osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát 2-vel, ami után $A+B=0$-t kapunk.

Mivel az egyenlőség bal oldalán ingyenes tag egyenlő 2-vel, és az egyenlőség jobb oldalán a szabad tag egyenlő: $3A+B$, majd $3A+B=2$. Tehát van egy rendszerünk:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

A bizonyítást módszerrel fogjuk elvégezni matematikai indukció. Első lépésben ellenőrizni kell, hogy a bizonyított egyenlőség igaz-e $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$ esetén. Tudjuk, hogy $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, de vajon a $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ kifejezés adja-e a $\frac( 2 )(15)$, ha behelyettesítjük $n=1$ értékkel? Ellenőrizzük:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Tehát $n=1$ esetén a $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ egyenlőség teljesül. Ezzel befejeződik a matematikai indukciós módszer első lépése.

Tegyük fel, hogy $n=k$ esetén az egyenlőség teljesül, azaz. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Bizonyítsuk be, hogy ugyanez az egyenlőség teljesül $n=k+1$ esetén is. Ehhez vegye figyelembe a $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Mivel $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, akkor $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. A fenti $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ feltevés szerint ezért a $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ képlet a következő formában lesz:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Következtetés: a $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ képlet helyes $n=k+1$ esetén. Ezért a matematikai indukció módszere szerint a $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ képlet igaz bármely $n\in N$-ban. Az egyenlőség bebizonyosodott.

A standard tanfolyamon felsőbb matematikaáltalában megelégszenek azzal, hogy „áthúzzák” a törlési feltételeket anélkül, hogy bizonyítékot kérnének. Tehát van egy kifejezésünk n-edik részlegesösszegek: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Keressük meg a $\lim_(n\to\infty)S_n$ értékét:

Következtetés: az adott sorozat konvergál és összege $S=\frac(1)(3)$.

A második módszer a részösszeg képletének egyszerűsítésére.

Őszintén szólva én magam is jobban szeretem ezt a módszert :) A részösszeget írjuk le rövidített változatban:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Korábban megkaptuk, hogy $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, ezért:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\jobbra). $$

A $S_n$ összeg tartalmazza végső mennyiség feltételeket, így tetszés szerint átrendezhetjük őket. Először szeretném hozzáadni a $\frac(1)(2k+1)$ formátumú összes kifejezést, és csak ezután térek át a $\frac(1)(2k+3)$ formátumú kifejezésekre. Ez azt jelenti, hogy a részösszeget az alábbiak szerint mutatjuk be:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\lpont+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Természetesen a bővített jelölés rendkívül kényelmetlen, így a fent bemutatott egyenlőség tömörebben is felírható:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Most alakítsuk át a $\frac(1)(2k+1)$ és a $\frac(1)(2k+3)$ kifejezéseket egyetlen formává. Szerintem célszerű nagyobb frakcióra redukálni (bár lehet kisebbet is használni, ez ízlés dolga). Mivel a $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (minél nagyobb a nevező, kisebb töredék), akkor a $\frac(1)(2k+3)$ törtet a $\frac(1)(2k+1)$ alakra redukáljuk.

A kifejezést a $\frac(1)(2k+3)$ tört nevezőjében a következőképpen mutatom be:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

És a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ összeg most a következőképpen írható fel:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Ha a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) egyenlőség 1) A $ nem vet fel kérdéseket, akkor menjünk tovább. Ha kérdése van, bővítse ki a megjegyzést.

Hogyan kaptuk meg az átváltott összeget? mutat elrejt

Volt egy sorozatunk $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Vezessünk be egy új változót a $k+1$ helyett – például $t$. Tehát $t=k+1$.

Hogyan változott a régi $k$ változó? És 1-ről $n$-ra változott. Nézzük meg, hogyan fog változni az új $t$ változó. Ha $k=1$, akkor $t=1+1=2$. Ha $k=n$, akkor $t=n+1$. Tehát a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ kifejezés a következőképpen alakul: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Megvan a $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ összeg. Kérdés: nem mindegy, hogy ebben az összegben melyik betűt használják fel? :) Egyszerűen a $t$ helyett a $k$ betűt írva a következőket kapjuk:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Így kapjuk a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+) egyenlőséget 1) \frac(1)(2k+1)$.

Így a részösszeg a következőképpen ábrázolható:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Vegye figyelembe, hogy a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ és a $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ csak az összegzési határértékekben tér el. Tegyük egyenlővé ezeket a határokat. Az első elem „kivételével” a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ összegből a következőt kapjuk:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

Az utolsó elemet „kivéve” a $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ összegből a következőt kapjuk:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3 ).$$

Ekkor a részösszeg kifejezése a következő formában lesz:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ha kihagyja az összes magyarázatot, akkor az n-edik részösszeg rövidített képletének keresése a következő formában történik:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a $\frac(1)(2k+3)$ törtet a $\frac(1)(2k+1)$ alakra redukáltuk. Persze lehet fordítva is, pl. ábrázolja a $\frac(1)(2k+1)$ törtet $\frac(1)(2k+3)$ alakban. A részösszeg végső kifejezése nem változik. Ebben az esetben a részösszeg megtalálásának folyamatát jegyzet alá rejtem.

Hogyan lehet megtalálni a $S_n$-t, ha átváltjuk egy másik törtre? mutat elrejt

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\jobbra) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) ). $$

Tehát $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Keresse meg a $\lim_(n\to\infty)S_n$ korlátot:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Az adott sorozat konvergál és összege $S=\frac(1)(3)$.

Válasz: $S=\frac(1)(3)$.

A sorozat összegének megtalálása témakör folytatását a második és harmadik részben tárgyaljuk.

Számsorozat. Konvergencia és divergencia számsorozat. D'Alembert konvergencia tesztje. Váltakozó sorozatok. Abszolút és feltételes konvergencia sorokat. Funkcionális sorozat. Teljesítmény sorozat. Bomlás elemi függvények a Maclaurin sorozatban.

Irányelvek az 1.4 témához:

Számsorozat:

A számsorozat az alak összege

hol vannak a számok u 1, u 2, u 3, n n, sorozat tagjainak nevezzük, végtelen sorozatot alkotnak; az un kifejezést a sorozat közös tagjának nevezzük.

. . . . . . . . .

A sorozat (27.1) első tagjaiból álló részösszegeket a sorozat részösszegeinek nevezzük.

Minden sor társítható részösszegek sorozatához S 1, S 2, S 3. Ha az n szám végtelen növekedésével a sorozat részösszege S n a határig hajlik S, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, és a számot S- konvergens sorozat összege, azaz.

Ez a bejegyzés egyenértékű a

Ha a részösszeg S n sorozat (27.1) korlátlan növekedéssel n nincs véges határértéke (különösen + ¥ vagy - ¥ felé hajlik), akkor egy ilyen sorozatot divergensnek nevezünk

Ha a sorozat konvergál, akkor az érték S n mert elég nagy n a sorozat összegének közelítő kifejezése S.

Különbség r n = S - S n a sorozat többi részének nevezik. Ha a sorozat konvergál, akkor a maradéka nullára hajlik, azaz. r n = 0, és fordítva, ha a maradék nullára hajlik, akkor a sorozat konvergál.

Az űrlap sorozatát ún geometriai sorozat.

hívott harmonikus.

Ha N®¥, akkor S n®¥, azaz a harmonikus sorozat szétválik.

Példa 1. Írjon egy sorozatot a megadott közös kifejezés alapján:

1) ha n = 1, n = 2, n = 3, akkor végtelen számsort kapunk: , , , Összeadva a tagjait, megkapjuk a sorozatot

2) Ugyanezt csinálva megkapjuk a sorozatot

3) Adjuk meg n-nek az 1, 2, 3 értékeket, és figyelembe vesszük, hogy 1! = 1, 2! = 1 × 2,3! = 1 × 2 × 3, megkapjuk a sorozatot

2. példa Find n-a sorozat harmadik tagja a megadott első számai szerint:

1) ; 2) ; 3) .

3. példa Keresse meg a sorozat tagjainak összegét:

2) .

1) Keresse meg a sorozat tagjainak részösszegeit:

; ;

… .

Írjuk fel a részösszegek sorrendjét: …, , … .

Ennek a sorozatnak a közös tagja a . Ennélfogva,

.

A részösszegek sorozatának korlátja egyenlő. Tehát a sorozat konvergál, és összege egyenlő .

2) Végtelenül csökken geometriai progresszió, amelyben a 1 = , q= . A képlet segítségével a következőt kapjuk: Ez azt jelenti, hogy a sorozat konvergál, és összege 1.

Számsorok konvergenciája és divergenciája. A konvergencia jele d'Alembert :

Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele. Egy sorozat csak akkor konvergálhat, ha a közös tagja u n korlátlan számnövekedéssel n nullára hajlik:

Ha , akkor a sorozat eltér – ez van elegendő jelzés oldhatósági sorozat.

Elegendő jele egy pozitív tagú sorozat konvergenciájának.

A sorozatok pozitív kifejezésekkel való összehasonlításának jele. A vizsgált sorozat akkor konvergál, ha tagjai nem haladják meg egy másik, nyilvánvalóan konvergens sorozat megfelelő tagjait; a vizsgált sorozat akkor divergál, ha tagjai meghaladják egy másik nyilvánvalóan divergens sorozat megfelelő tagjait.

Amikor a konvergencia és az oldhatóság sorozatait vizsgáljuk ezen a kritériumon alapulóan, gyakran geometriai sorozatot használnak

amely |q|-nál konvergál

,

divergens lévén.

Sorozatok tanulmányozásakor az általánosított harmonikus sorozatot is használják

.

Ha p= 1, akkor ez a sorozat harmonikus sorozattá alakul, amely divergens.

Ha p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 van egy geometriai sorozatunk, amelyben | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 és eltér a p£1.

D'Alembert jele. Ha pozitív feltételekkel rendelkező sorozathoz

(u n > 0)

a feltétel teljesül, akkor a sorozat konvergál at l l > 1.

D'Alembert jele nem ad választ, ha l= 1. Ebben az esetben más technikákat alkalmaznak a sorozat tanulmányozására.

Váltakozó sorozatok.

Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája:

Számsorozat

u 1 + u 2 + u 3 + u n

alternálónak nevezzük, ha tagjai között vannak pozitív és negatív számok is.

Egy számsort váltakozónak nevezünk, ha bármely két szomszédos tag rendelkezik ellentétes jelek. Ez a sorozat egy váltakozó sorozat speciális esete.

Változó sorozatok konvergenciapróbája. Ha egy váltakozó sorozat tagjai monoton csökkennek abszolút értékés közös tagja u n nullára hajlamos as n® , akkor a sorozat konvergál.

Egy sorozatot abszolút konvergensnek mondunk, ha a sorozatok is konvergálnak. Ha egy sorozat abszolút konvergens, akkor konvergens (a szokásos értelemben). A fordított állítás nem igaz. Egy sorozatot feltételesen konvergensnek nevezünk, ha maga is konvergál, és a tagjainak modulusaiból álló sorozat divergál. 4. példa. Vizsgálja meg a sorozat konvergenciáját .

Alkalmazzuk Leibniz elégséges tesztjét váltakozó sorozatokra. Kapunk mert a . Ezért ez a sorozat konvergál. 5. példa. Vizsgálja meg a sorozat konvergenciáját .

Próbáljuk meg alkalmazni Leibniz kritériumát: Látható, hogy az általános tag modulusa nem nullázódik, amikor n → ∞. Ezért ez a sorozat eltér egymástól. 6. példa Határozza meg, hogy egy sorozat abszolút konvergens, feltételesen konvergens vagy divergens.

A d'Alembert-tesztet a megfelelő kifejezések moduljaiból álló sorozatra alkalmazva azt kapjuk, hogy Ezért ez a sorozat abszolút konvergál.

7. példa: Vizsgálja meg az előjel-váltakozó sorozatot a konvergencia szempontjából (abszolút vagy feltételes):

1) Ennek a sorozatnak a tagjai abszolút értékben monoton csökkennek És . Ezért Leibniz kritériuma szerint a sorozatok konvergálnak. Nézzük meg, hogy ez a sorozat abszolút vagy feltételesen konvergál.

2) Ennek a sorozatnak a feltételei monoton módon csökkennek abszolút értékben: , De

.

Funkcionális sorok:

Egy szabályos számsor számokból áll:

A sorozat összes tagja - Ezt számok.

A funkcionális sorozat a következőkből áll funkciók:

A polinomok, faktoriálisok stb. mellett a sorozat általános kifejezése biztosan az "x" betű szerepel. Például így néz ki: . A számsorokhoz hasonlóan bármely funkcionális sorozat felírható kiterjesztett formában:

Mint látható, a funkcionális sorozat összes tagja funkciókat.

A funkcionális sorozatok legnépszerűbb típusa az teljesítmény sorozat.

Teljesítmény sorozat:

Teljesítmény sorozat forma sorozatának nevezzük

,

hol vannak a számok a 0, a 1, a 2, a n sorozat együtthatóinak nevezzük, és a kifejezés a n x n- a sorozat közös tagja.

A konvergencia területe teljesítmény sorozat az összes érték halmazának nevezzük x, amelyhez ez a sorozat konvergál.

Szám R a sorozat konvergencia sugarának nevezzük, ha | x| a sorozat összefolyik.

8. példa Adott egy sorozat

Vizsgáljuk meg a konvergenciáját a pontokban x= 1 és x= 3, x= -2.

Ha x = 1, ez a sorozat számsorozattá változik

.

Vizsgáljuk meg ennek a sorozatnak a konvergenciáját D'Alembert-kritérium segítségével. Nekünk van

azok. a sorozat összefolyik.

Ha x = 3, megkapjuk a sorozatot

Ami eltér, mert a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül

Ha x = -2 kapjuk

Ez egy váltakozó sorozat, amely Leibniz kritériuma szerint konvergál.

Szóval pontokon x= 1 és x= -2. a sorozat konvergál, és a ponton x= 3 eltér.

Az elemi funkciók bővítése a Maclaurin sorozatban:

Taylor közelében funkcióhoz f(x) alak hatványsorának nevezzük

Alapvető definíciók

Meghatározás. Egy végtelen számsorozat tagjainak összegét számsorozatnak nevezzük.

Ebben az esetben a számokat a sorozat tagjainak nevezzük, és un - a sorozat közös kifejezését.

Meghatározás. Az n = 1, 2, ... összegeket a sorozat privát (részleges) összegeinek nevezzük.

Így lehetséges figyelembe venni az S1, S2, …, Sn, … sorozatok részösszegeinek sorozatait.

Meghatározás. Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha részösszegeinek sorozata konvergál. Egy konvergens sorozat összege a részösszegei sorozatának határa.

Meghatározás. Ha egy sorozat részösszegeinek sorozata eltér, azaz. nincs határa, vagy végtelen a határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük, és nem rendelünk hozzá összeget.

Sor tulajdonságai

1) A sorozatok konvergenciája vagy divergenciája nem sérül, ha megváltoztatja, eldobja vagy hozzáadja a sorozat véges számú tagját.

2) Tekintsünk két sorozatot és ahol C egy állandó szám.

Tétel. Ha egy sorozat konvergál, és összege egyenlő S-vel, akkor a sorozat is konvergál, és összege egyenlő CS-vel. (C 0)

3) Tekintsünk két sort és. Ezeknek a sorozatoknak az összegét vagy különbségét olyan sorozatnak nevezzük, ahol az elemeket az azonos számú eredeti elemek összeadása (kivonása) eredményeként kapjuk meg.

Tétel. Ha a sorozat és konvergál, és összegük egyenlő S-vel, illetve, akkor a sorozat is konvergál, és összege egyenlő S +-val.

Két konvergens sorozat különbsége is konvergens sorozat lesz.

Egy konvergens és egy divergens sorozat összege divergens sorozat.

Lehetetlen általános állítást tenni két divergens sorozat összegéről.

A sorozatok tanulmányozása során elsősorban két problémát oldanak meg: a konvergencia tanulmányozását és a sorozatok összegének megállapítását.

Cauchy-kritérium.

(a sorozatok konvergenciájának szükséges és elégséges feltételei)

Ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármelyikhez létezik olyan N szám, hogy n > N és bármely p > 0 esetén, ahol p egész szám, az egyenlőtlenség teljesülne:

Bizonyíték. (szükségesség)

Legyen akkor bármely számhoz olyan N szám, hogy az egyenlőtlenség

akkor teljesül, ha n>N. n>N és bármely p>0 egész számra az egyenlőtlenség is fennáll. Mindkét egyenlőtlenséget figyelembe véve a következőket kapjuk:

A szükségesség bebizonyosodott. Nem vesszük figyelembe az elegendőség igazolását.

Fogalmazzuk meg a sorozat Cauchy-kritériumát.

Ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármelyikhez létezik olyan N szám, hogy n>N és bármely p>0 esetén az egyenlőtlenség teljesüljön

A gyakorlatban azonban a Cauchy-kritérium közvetlen használata nem túl kényelmes. Ezért általában több egyszerű jelek konvergencia:

1) Ha a sorozatok konvergálnak, akkor szükséges, hogy az un közös tag nullára tartson. Ez a feltétel azonban nem elegendő. Csak azt mondhatjuk, hogy ha a közös kifejezés nem nullázódik, akkor a sorozat határozottan eltér. Például az úgynevezett harmonikus sorozat divergens, bár közös tagja nullára hajlik.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete