Az első típusú nem megfelelő integrálok: a határozott integrál fogalmának kiterjesztése a végtelen felső vagy alsó integrációs határral rendelkező integrálok eseteire, vagy mindkét integrálási határ végtelen.

A második típusú nem megfelelő integrálok: a határozott integrál fogalmának kiterjesztése a korlátlan függvények integráljaira, az integrandus nem létezik az integráció véges szegmensének véges számú pontjában, a végtelenbe fordulva.

Összehasonlításképp. A határozott integrál fogalmának bevezetésekor azt feltételeztük, hogy a függvény f(x) folyamatos a [ a, b], és az integrációs szegmens véges, azaz számok korlátozzák, és nem a végtelen. Egyes feladatok e korlátozások feladásához vezetnek. Így jelennek meg a nem megfelelő integrálok.

Geometriai jelentés helytelen integrál Egészen egyszerűen kiderül. Abban az esetben, ha egy függvény grafikonja y = f(x) a tengely felett van Ökör, a határozott integrál a területet fejezi ki ívelt trapéz, amelyet egy görbe határol y = f(x) , x tengely és ordináták x = a , x = b. Viszont helytelen integrál egy korlátlan (végtelen) ívelt trapéz területét fejezi ki a vonalak között y = f(x) (az alábbi képen - piros), x = aés az abszcissza tengely.

A helytelen integrálokat hasonlóképpen határozzuk meg más végtelen intervallumokhoz:

Egy végtelen görbe trapéz területe lehet véges szám, ebben az esetben a nem megfelelő integrált konvergensnek nevezzük. A terület lehet végtelen is, és ebben az esetben a nem megfelelő integrált divergensnek nevezzük.

Egy integrál határértékének használata a nem megfelelő integrál helyett. A nem megfelelő integrál kiértékeléséhez a határozott integrál határértékét kell használni. Ha ez a határ létezik és véges (nem egyenlő a végtelennel), akkor a nem megfelelő integrált konvergensnek nevezzük, és másképp- eltérő. Az, hogy egy változó milyen mértékben hajlik a határjel alá, attól függ, hogy az első vagy a második típusú nem megfelelő integrállal van-e dolgunk. Ezt most derítsük ki.

Az első típusú helytelen integrálok - végtelen határokkal és konvergenciájukkal

Nem megfelelő integrálok végtelen felső határral

Tehát egy nem megfelelő integrál írása abban különbözik a szokásos határozott integráltól, hogy az integráció felső határa végtelen.

Meghatározás. Egy helytelen integrál végtelen felső integrációs határral folyamatos funkció f(x) közötti intervallumban a előtt ∞ ennek a függvénynek az integráljának határát az integráció felső határával nevezzük b és az integráció alsó határa a feltéve, hogy az integráció felső határa korlátlanul nő, azaz

.

Ha ez a határ létezik, és nem a végtelen, hanem valamilyen számmal egyenlő, akkor a nem megfelelő integrált konvergensnek nevezzük, és azt a számot veszik értéknek, amellyel a határ egyenlő. Másképp a nem megfelelő integrált divergensnek nevezzükés semmi értelmet nem tulajdonítanak neki.

Példa 1. Számítsa ki a nem megfelelő integrált(ha összefolyik).

Megoldás. A nem megfelelő integrál definíciója alapján azt találjuk

Mivel a határ létezik és egyenlő 1-gyel, akkor ez helytelen integrál konvergálés egyenlő 1-gyel.

A következő példában az integrandus majdnem ugyanaz, mint az 1. példában, csak az x fok nem kettő, hanem az alfa betű, és a feladat a nem megfelelő integrál tanulmányozása a konvergenciához. Vagyis a kérdés továbbra is megválaszolandó: milyen alfa-értékeknél konvergál ez a nem megfelelő integrál, és milyen értékeknél tér el?

2. példa Vizsgálja meg a nem megfelelő integrált a konvergenciára(az integráció alsó határa nagyobb, mint nulla).

Megoldás. Akkor először tegyük fel, hogy

Az eredményül kapott kifejezésben a következő határértékre lépünk:

Könnyen belátható, hogy a jobb oldali határ létezik és egyenlő nullával, mikor , azaz , és nem létezik, mikor , azaz .

Az első esetben, amikor . Ha akkor és nem létezik.

Tanulmányunk következtetése a következő: ez helytelen integrál konvergálés eltér nál nél .

A Newton-Leibniz képlet alkalmazása a vizsgált nem megfelelő integrál típusára , levezetheti a következő képletet, amely nagyon hasonlít hozzá:

.

Ez általánosított képlet Newton-Leibniz.

3. példa: Számítsa ki a nem megfelelő integrált(ha összefolyik).

Ennek az integrálnak a határa létezik:

A második integrál, amely az eredeti integrált kifejező összeget alkotja:

Ennek az integrálnak a határa is létezik:

.

Megtaláljuk két integrál összegét, ami egyben az eredeti nem megfelelő integrál értéke is két végtelen határral:

A második típusú helytelen integrálok - korlátlan függvényekből és konvergenciájukból

Legyen a függvény f(x) tól származó szegmensen adott a előtt b és korlátlan. Tegyük fel, hogy a függvény a pontban a végtelenbe megy b , míg a szakasz összes többi pontján folytonos.

Meghatározás. Egy függvény nem megfelelő integrálja f(x) től származó szegmensen a előtt b ennek a függvénynek az integráljának határát az integráció felső határával nevezzük c , ha a törekvés során c Nak nek b a függvény korlátozás nélkül növekszik, és a ponton x = b funkció nincs definiálva, azaz

.

Ha ez a határ létezik, akkor a második típusú nem megfelelő integrált konvergensnek, ellenkező esetben divergensnek nevezzük.

A Newton-Leibniz képlet segítségével levezetjük.

Itt vagy most? =) Nem, nem akartam megfélemlíteni senkit, csak a nem megfelelő integrálok témája nagyon szép illusztráció milyen fontos nem futni felsőbb matematikaés mások egzakt tudományok. A weboldalon minden megtalálható, ami a lecke elsajátításához szükséges - igény szerint részletes és hozzáférhető formában...

Tehát kezdjük azzal. Képletesen szólva a nem megfelelő integrál egy „fejlett” határozott integrál, és valójában nincs is velük olyan sok nehézség, ráadásul a nem megfelelő integrálnak nagyon jó geometriai jelentése van.

Mit jelent egy nem megfelelő integrál értékelése?

Számítsa ki a helytelen integrált - ez a SZÁM megtalálását jelenti(pontosan ugyanaz, mint a határozott integrálban), vagy bizonyítsd be, hogy eltér(vagyis szám helyett a végtelent kapod).

Kétféle nem megfelelő integrál létezik.

Nem megfelelő integrál végtelen integrálási határértékekkel

Néha egy ilyen helytelen integrált hívnak az első típusú helytelen integrál. BAN BEN Általános nézet egy végtelen határú nem megfelelő integrál legtöbbször így néz ki: . Miben különbözik a határozott integráltól? A felső határon. Végtelen: .

Ritkábban fordulnak elő a végtelen alsó határértékkel vagy két végtelen határértékkel rendelkező integrálok: , és ezeket később is figyelembe vesszük - ha rájössz :)

Nos, most nézzük a legnépszerűbb esetet. A példák túlnyomó többségében az integrand függvény folyamatos között, és ez fontos tény először ellenőrizni kell! Mert ha vannak hiányosságok, akkor vannak további árnyalatok. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy akkor is a tipikus ívelt trapézígy fog kinézni:

Jegyezzük meg, hogy végtelen (jobb oldalon nincs korlátos), és helytelen integrál számszerűen megegyezik a területével. A következő lehetőségek lehetségesek:

1) Az első gondolat, ami eszünkbe jut: „mivel az alak végtelen, akkor ", vagyis a terület is végtelen. Lehet, hogy így van. Ebben az esetben azt mondják, hogy a nem megfelelő integrál eltér.

2) De. Bármilyen paradoxon is hangzik, egy végtelen alak területe egyenlő lehet... véges szám! Például: . Ez igaz lehet? Könnyen. A második esetben a nem megfelelő integrál konvergál.

3) A harmadik lehetőségről kicsit később.

Milyen esetekben divergál és milyen esetekben konvergál egy nem megfelelő integrál? Ez az integrandustól függ, és hamarosan konkrét példákat is megvizsgálunk.

Mi történik, ha egy végtelen görbe trapéz található a tengely alatt? Ebben az esetben a nem megfelelő integrál (eltér) vagy egyenlő a döntővel negatív szám.

És így, a nem megfelelő integrál lehet negatív.

Fontos! Ha BÁRMILYEN helytelen integrált kell megoldani, akkor általában véve nincs szó semmilyen területről és nem kell rajzot építeni. A nem megfelelő integrál geometriai jelentését csak az anyag megértésének megkönnyítése érdekében magyaráztam el.

Mivel a nem megfelelő integrál nagyon hasonlít a határozott integrálhoz, akkor idézzük fel a képletet Newton-Leibniz: . Valójában a képlet nem megfelelő integrálokra is alkalmazható, csak kicsit módosítani kell. Mi a különbség? Az integráció végtelen felső határán: . Valószínűleg sokan sejtették, hogy ez már a határok elméletének alkalmazására utal, és a képlet így lesz írva: .

Mi a különbség a határozott integráltól? Semmi különös! A határozott integrálhoz hasonlóan meg kell találni az antiderivatív függvényt ( határozatlan integrál), tudja alkalmazni a Newton-Leibniz képletet. Az egyetlen dolog, ami hozzáadásra került, az a határérték kiszámítása. Akinek rossz dolga van velük, vegye le a leckét Funkciókorlátok. Példák megoldásokra, mert jobb későn, mint a hadseregben.

Nézzünk két klasszikus példát:

1. példa

Az egyértelműség kedvéért rajzolok egy rajzot, bár még egyszer hangsúlyozom, a gyakorlaton Ebben a feladatban nincs szükség rajzok készítésére.

Az integráns függvény a félintervallumon folyamatos, ami azt jelenti, hogy minden rendben van, és a nem megfelelő integrál kiszámítható a „standard” módszerrel.

Képletünk alkalmazása és a probléma megoldása így néz ki:

Vagyis a nem megfelelő integrál eltér, és az árnyékolt ívelt trapéz területe egyenlő a végtelennel.

A vizsgált példában a legegyszerűbb táblázatintegrált használjuk, és ugyanazt a technikát alkalmazzuk a Newton-Leibniz formula alkalmazására, mint a határozott integrálban. De ezt a képletet a határ jele alatt alkalmazzuk. A „dinamikus” változó szokásos betűje helyett a „be” betű jelenik meg. Ennek nem szabad megzavarnia vagy megzavarnia, mert egyik betű sem rosszabb, mint a szabványos „X”.

Ha nem érti, hogy miért pontban, akkor ez nagyon rossz, vagy nem érti a legegyszerűbb határértékeket (és általában nem érti, mi az a határ), vagy nem tudja, hogy néz ki egy logaritmikus függvény grafikonja. A második esetben vegyen részt egy órán Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai.

A nem megfelelő integrálok megoldásánál nagyon fontos tudni, hogyan néznek ki a fő integrálok grafikonjai. elemi függvények!

A kész feladatnak valahogy így kell kinéznie:

“

! Példa készítésekor mindig megszakítjuk a megoldást, és jelezzük, hogy mi történik az integrandusszal – folyamatos az integráció intervallumán vagy sem?. Ezzel azonosítjuk a nem megfelelő integrál típusát, és indokoljuk a további lépéseket.

2. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

Készítsük el a rajzot:

Először a következőket jegyezzük meg: az integrandus a félintervallumon folytonos. Kapucni. A képlet segítségével oldjuk meg :

(1) Vegyük a legegyszerűbb integrálját teljesítmény funkció(ez különleges eset sok táblázatban megjelenik). Jobb, ha a mínuszt azonnal a határjelen kívülre helyezi, hogy ne akadályozza a további számításokat.

(2) A felső és alsó határt a Newton-Leibniz képlet segítségével helyettesítjük.

(3) Jelezzük, hogy (Uraim, ezt már régen érteni kellett volna), és leegyszerűsítjük a választ.

Itt egy végtelen görbe trapéz területe véges szám! Hihetetlen, de igaz.

A kész példának valahogy így kell kinéznie:

“

Az integrand függvény folyamatosan be van kapcsolva

“

Mi a teendő, ha olyan integrállal találkozik, mint - -val töréspont az integrációs intervallumon? Ez azt jelenti, hogy a példában elírás van. (Legvalószínűbb), vagy emelt szintű képzésről. BAN BEN az utóbbi eset, alapján additív tulajdonságok, figyelembe kell venni két helytelen integrált intervallumokon, majd kezelni az összeget.

Néha elírás vagy szándékosság miatt előfordulhat, hogy egy nem megfelelő integrál egyáltalán nem léteznek, így például ha betesszük a fenti integrál nevezőjét Négyzetgyök„x”-ből, akkor az integrációs intervallum egy része egyáltalán nem fog szerepelni az integrandus definíciós tartományában.

Sőt, előfordulhat, hogy a nem megfelelő integrál még a „látszólagos jóllét” ellenére sem létezik. Klasszikus példa: . A koszinusz határozottsága és folytonossága ellenére ilyen nem megfelelő integrál nem létezik! Miért? Nagyon egyszerű, mert:
- nem létezik megfelelő határértéket.

És ilyen példák, bár ritkán, de előfordulnak a gyakorlatban! Így a konvergencia és a divergencia mellett van a megoldásnak egy harmadik eredménye is, amely érvényes választ ad: „nincs helytelen integrál”.

Azt is meg kell jegyezni, hogy a nem megfelelő integrál szigorú definíciója pontosan a határon keresztül van megadva, és aki szeretné, az itt is megismerkedhet vele. oktatási irodalom. Nos, folytatjuk gyakorlati óraés lépjen tovább az értelmesebb feladatokra:

3. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

Először próbáljuk meg megtalálni az antiderivatív függvényt (határozatlan integrál). Ha ezt elmulasztjuk, akkor természetesen a nem megfelelő integrált sem tudjuk megoldani.

Melyik táblázatintegrálhoz hasonlít az integrandus? Arktangensre emlékeztet: . Ezek a megfontolások azt sugallják, hogy jó lenne egy négyzet a nevezőben. Ez cserével történik.

Cseréljük:

A határozatlan integrál megtalálható, a konstans benne van ebben az esetben nincs értelme hozzátenni.

Mindig hasznos ellenőrizni a piszkozatot, azaz megkülönböztetni a kapott eredményt:

Az eredeti integrált megkaptuk, ami azt jelenti, hogy a határozatlan integrált helyesen találtuk meg.

Most megtaláljuk a nem megfelelő integrált:

(1) A megoldást a képlet szerint írjuk fel . Jobb, ha az állandót azonnal a határjelen túlra mozgatjuk, hogy ne zavarja a további számításokat.

(2) A felső és alsó határértéket a Newton-Leibniz képlet szerint helyettesítjük. Miért nál nél ? Lásd az arctangens grafikont a már ajánlott cikkben.

(3) Megkapjuk a végső választ. Egy tény, amit hasznos fejből tudni.

Előfordulhat, hogy a haladók nem találják meg külön a határozatlan integrált, és nem alkalmazzák a helyettesítési módszert, hanem inkább azt a módszert használják, hogy a differenciáljel alatti függvényt behelyettesítik, és a nem megfelelő integrált „azonnal” megoldják. Ebben az esetben a megoldásnak valahogy így kell kinéznie:

“

Az integrandus folyamatos a .

“

4. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

! Ez tipikus példa, és nagyon gyakran előfordulnak hasonló integrálok. Dolgozd ki jól! Antiderivatív funkció itt van a kiválasztási módszer teljes négyzet, a módszerről további részletek a leckében találhatók Néhány tört integrálása.

5. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

Ez az integrál részletesen megoldható, azaz először változó változtatással keressük meg a határozatlan integrált. Vagy „azonnal” megoldhatja - a függvényt a differenciáljel alá foglalva. Kinek van matematikai képzettsége?

Komplett megoldásokés a lecke végén válaszol.

Az oldalon találhat példákat a végtelen alsó integrációs határú helytelen integrálok megoldására Hatékony módszerek a nem megfelelő integrálok megoldására. Itt azt az esetet is elemeztük, amikor az integráció mindkét határa végtelen.

Korlátlan függvények nem megfelelő integráljai

Vagy a második típusú nem megfelelő integrálok. A második típusú nem megfelelő integrálok alattomosan a szokásos határozott integrál alá vannak „titkosítva”, és pontosan ugyanúgy néznek ki: De a határozott integráltól eltérően az integrandus végtelen folytonossági hiányt szenved (nem létezik): 1) a pontban, 2) ill. pontban, 3) vagy mindkét pontban egyszerre, 4) vagy akár az integrációs szegmensen. Megvizsgáljuk az első két esetet a 3-4. esethez a cikk végén található egy hivatkozás egy további leckére.

Csak egy példa, hogy egyértelmű legyen: . Úgy tűnik, ez egy határozott integrál. De valójában ez a második típusú nem megfelelő integrál, ha az alsó határ értékét behelyettesítjük az integrandusba, akkor a nevezőnk nullára megy, vagyis az integrandus ezen a ponton egyszerűen nem létezik!

Általában egy nem megfelelő integrál elemzésekor mindig mindkét integrációs korlátot be kell cserélnie az integrandusba. Ezzel kapcsolatban nézzük meg a felső határt: . Itt minden rendben van.

A vizsgált nem megfelelő integráltípus görbe trapézja alapvetően így néz ki:

Itt minden majdnem ugyanaz, mint az első típusú integrálban.

Integrálunk numerikus területtel egyenlőárnyékolt íves trapéz, amely felül nincs korlátozva. Ebben az esetben két lehetőség lehet*: a nem megfelelő integrál divergál (a terület végtelen), vagy a nem megfelelő integrál egy véges számmal (vagyis egy végtelen alak területe véges!).

* alapértelmezés szerint általában azt feltételezzük, hogy a nem megfelelő integrál létezik

Már csak a Newton-Leibniz képlet módosítása van hátra. Határ segítségével is módosul, de a határ már nem a végtelen felé hajlik, hanem a jobb oldali értékre. A rajzból könnyen követhető: a tengely mentén végtelenül közel kell megközelíteni a töréspontot jobb oldalon.

Lássuk, hogyan valósul meg ez a gyakorlatban.

6. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

Az integrandus egy ponton végtelen törést szenved (ne felejtse el szóban vagy piszkozaton ellenőrizni, hogy minden rendben van-e a felső határértékkel!)

Először is számítsuk ki a határozatlan integrált:

Csere:

Ha nehézségei vannak a cserével kapcsolatban, kérjük, olvassa el a leckét Behelyettesítési módszer határozatlan integrálban.

Számítsuk ki a nem megfelelő integrált:

(1) Mi újság itt? Megoldástechnika terén gyakorlatilag semmi. Csak a limit ikon alatti bejegyzés változott: . Az összeadás azt jelenti, hogy a jobb oldali értékre törekszünk (ami logikus – lásd a grafikont). Az ilyen határt a határok elméletében ún egyoldalú határ. Ebben az esetben van jobb oldali határ.

(2) A felső és alsó határt a Newton-Leibniz képlet segítségével helyettesítjük.

(3) Foglalkozzunk a következővel: . Hogyan határozható meg, hogy egy kifejezés hova megy? Durván fogalmazva, csak be kell cserélni az értéket, be kell cserélni háromnegyedet, és jelezni kell, hogy . Fésüljük át a választ.

Ebben az esetben a nem megfelelő integrál egyenlő egy negatív számmal. Ebben nincs bűnözés, csak a megfelelő íves trapéz található a tengely alatt.

És most két példa a független megoldásokra.

7. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

8. példa

Számítsa ki a nem megfelelő integrált, vagy állapítsa meg divergenciáját.

Ha az integrandus nem létezik a ponton

Egy ilyen helytelen integrálhoz tartozó végtelen görbe trapéz alapvetően így néz ki.

Határozott integrál, mint az integrálösszeg határa

csak akkor létezhet (vagyis van egy bizonyos végső értéke), ha a feltételek teljesülnek

Ha e feltételek közül legalább egy megsérül, a meghatározás értelmét veszti. Valóban, egy végtelen szakasz esetén például [ a; ) nem osztható fel P véges hosszúságú részek
, ami ráadásul a szegmensek számának növekedésével nullára dőlne. A korlátlan esetében valamikor Val vel[a; b] sérül az önkényes pontkiválasztás követelménye részszakaszokon – nem választható ki =Val vel, mivel a függvény értéke ezen a ponton definiálatlan. Azonban még ezekre az esetekre is lehetőség van a határozott integrál fogalmának általánosítására, ha egy másik szakaszt bevezetünk a határvonalba. A végtelen intervallumok feletti integrálokat és a nem folytonos (korlátlan) függvényeket hívjuk nem a sajátod.

Meghatározás.

Legyen a függvény
a [ a; ) és bármely véges intervallumra integrálható [ a; b], azaz létezik
bárkinek b > a. Típuskorlát
hívott helytelen integrál első fajta (vagy nem megfelelő integrált egy végtelen intervallumon) és jelölje
.

Tehát definíció szerint
=
.

Ha a jobb oldali határ létezik és véges, akkor a nem megfelelő integrál
hívott konvergens . Ha ez a határ végtelen, vagy egyáltalán nem létezik, akkor azt mondják, hogy a nem megfelelő integrál eltér .

Hasonlóképpen bevezethetjük a függvény nem megfelelő integráljának fogalmát
intervallum mentén (–; b]:

=
.

És a függvény nem megfelelő integrálja
az intervallum felett (–; +) a fent bevezetett integrálok összegeként van definiálva:

=
+
,

Ahol A– tetszőleges pont. Ez az integrál konvergál, ha mindkét tag konvergál, és divergál, ha legalább az egyik tag eltér.

Geometriai szempontból az integrál
,
, határozza meg numerikus érték egy végtelen görbe trapéz területe, amelyet felette a függvény grafikonja határol
, balra – egyenes
, alulról – az OX tengelyével. Az integrál konvergenciája azt jelenti, hogy létezik egy ilyen trapéz véges területe és egyenlősége egy mozgatható jobb falú görbe vonalú trapéz területének határával.
.

Egy végtelen határú integrál esetén általánosíthatunk Newton-Leibniz képlet:

=
=F( + ) – F( a),

ahol F( + ) =
. Ha ez a határ létezik, akkor az integrál konvergál, ellenkező esetben divergál.

Megfontoltuk a határozott integrál fogalmának a végtelen intervallum esetére történő általánosítását.

Tekintsünk most egy általánosítást egy korlátlan függvény esetére.

Meghatározás

Legyen a függvény
a [ a; b), korlátlan a pont bizonyos környezetében b, és bármely intervallumon folyamatos
, ahol>0 (és ezért integrálható ezen az intervallumon, pl.
létezik). Típuskorlát
hívott a második típusú helytelen integrál (vagy egy korlátlan függvény nem megfelelő integrálja), és jelöljük
.

Így a korlátlan helytelen integrálja a pontban b függvények definíció szerint léteznek

=
.

Ha a jobb oldali határérték létezik és véges, akkor az integrált hívjuk konvergens. Ha végső határ nem létezik, akkor a nem megfelelő integrált hívjuk divergens.

Hasonlóképpen definiálhatjuk a függvény nem megfelelő integrálját
amelynek a pontban végtelen folytonossági hiánya van A:

=
.

Ha a funkció
végtelen folytonossági hiánya van a belső pontban Val vel
, akkor a nem megfelelő integrált a következőképpen definiáljuk

=
+
=
+
.

Ez az integrál konvergál, ha mindkét tag konvergál, és divergál, ha legalább egy tag eltér.

Geometriai szempontból a korlátlan függvény nem megfelelő integrálja a korlátlan görbe trapéz területét is jellemzi:

Mivel a nem megfelelő integrált egy határozott integrálból a határértékre való átadással vezetjük le, a határozott integrál összes tulajdonsága átvihető (megfelelő finomításokkal) az első és a második típusú nem megfelelő integrálokra.

Sok olyan problémában, amely nem megfelelő integrálokhoz vezet, nem szükséges tudni, hogy ez az integrál mivel egyenlő, elég csak ellenőrizni a konvergenciáját vagy divergenciáját. Erre használnak a konvergencia jelei. A nem megfelelő integrálok konvergenciájának jelei:

1) Összehasonlító jel.

Legyen mindenkié x

. Aztán ha
konvergál, majd konvergál
, és

. Ha
eltér, majd eltér és
.

2) Ha konvergál
, majd konvergál és
(az utolsó integrált ebben az esetben hívjuk abszolút konvergens).

A korlátlan függvények nem megfelelő integráljainak konvergenciájának és divergenciájának jelei hasonlóak a fentebb megfogalmazottakhoz.

Példák problémamegoldásra.

1. példa

A)
; b)
; V)

G)
; d)
.

Megoldás.

a) Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

.

b) Hasonlóképpen

Ezért ez az integrál konvergál és egyenlő .

c) Definíció szerint
=
+
, és A – tetszőleges szám. Tegyük a mi esetünkbe
, akkor kapjuk:

Ez az integrál konvergál.

Ez azt jelenti, hogy ez az integrál eltér.

e) Gondoljuk át
.

Az integrandus antideriváltjának megtalálásához a részenkénti integráció módszerét kell alkalmazni. Akkor kapjuk:
Mivel egyik sem
, se

nem létezik, akkor nem létezik és

Ezért ez az integrál divergál.

2. példa Vizsgáljuk meg az integrál konvergenciáját! P.

Megoldás.

attól függően, hogy
Nál nél

nekünk van:
Ha
, Azt

nekünk van:
Ha
És. Ezért az integrál eltér.
, A

=,

, Akkor

nekünk van:
Ha

Ezért az integrál konvergál.

ezért az integrál eltér.

És így,

3. példa

A)
Számítsa ki a nem megfelelő integrált vagy állapítsa meg divergenciáját:
;
.

Megoldás.

b)
;
V)

a) Integrál

.

a második típusú nem megfelelő integrál, mivel az integrandus .

nem korlátozott egy ponton
. Akkor definíció szerint
Az integrál konvergál és egyenlő

b) Fontolja meg

. Az integrandus itt sem korlátozódik a ponton
. Ezért ez az integrál nem megfelelő a második fajtához, és definíció szerint
Ezért az integrál eltér.
c) Fontolja meg
. Integrand
két ponton végtelen hézagot szenved:

=

=

.

És
.

, amelyek közül az első az integrációs intervallumhoz tartozik . Ezért ez az integrál a második típusú nem megfelelő integrál. Akkor definíció szerint kiemelkedő szerzők könyve alapján. Nagyon köszönjük nekik, és kifejezzük tiszteletünket ezeknek a személyeknek. Segít meghatározni a határozott integrált online szolgáltatás gyorsan kiszámítani az ilyen problémákat. Csak adja meg a helyes információkat, és minden rendben lesz! Bármilyen határozott integrál egy probléma megoldásaként javítja a tanulók írástudását. Minden lusta ember erről álmodik, és mi sem vagyunk kivételek, valljuk be őszintén. Ha mégis sikerül ingyenes megoldással online számolni egy határozott integrált, akkor kérjük, írja meg mindenkinek a weboldal címét, aki használni szeretné. Ahogy mondják, oszd meg hasznos link- és meg fogják köszönni jó emberek ingyen. Nagyon érdekes lesz egy olyan probléma elemzésének kérdése, amelyben a határozott integrált a számológép önmagában oldja meg, és nem az értékes idejét pazarolja. Ezért gépek, hogy az emberekért dolgozzanak. A határozott integrálok online megoldását azonban nem minden webhely képes kezelni, és ezt könnyű ellenőrizni, nevezetesen, hogy összetett példaés próbálja meg megoldani az egyes ilyen szolgáltatások segítségével. Érezni fogod a különbséget saját bőrét. Gyakran nehéz erőfeszítés nélkül megtalálni egy határozott integrált online, és a válasz nevetségesnek tűnik az eredmény általános képének hátterében. Jobb lenne először egy fiatal harcos tanfolyamot végezni. A helytelen integrálok online megoldása először a határozatlan kiszámítására redukálódik, majd a határok elméletével az eredményül kapott kifejezésekből az A és B helyettesített határokkal általában egyoldalú határértékeket számítunk ki. Az Ön által megadott határozott integrált figyelembe véve online -val részletes megoldás, arra a következtetésre jutottunk, hogy hibát követett el az ötödik lépésben, mégpedig a Csebisev-változóhelyettesítő képlet használatakor. Legyen nagyon óvatos a további döntése során. Ha a határozott integrál online számológép Ha az első alkalommal nem tudta átvenni, akkor először is ellenőrizze az írott adatokat a megfelelő űrlapokon a weboldalon. Győződjön meg róla, hogy minden rendben van, és hajrá, Go-Go! Minden diák számára az akadály a nem megfelelő integrálok online kiszámítása magával a tanárral, mivel ez vagy vizsga, vagy kollokvium, vagy csak teszt egy páron.. Amint az adott nem megfelelő integrált online kalkulátor a rendelkezésére áll, azonnal adja meg adott funkciót, helyettesítse be a megadott integrációs korlátokat, és kattintson a Megoldás gombra, amely után teljes, részletes választ kaphat. Mégis jó, ha van egy ilyen csodálatos oldal, mint oldal, mert ingyenes, könnyen használható, és sok szekciót is tartalmaz. amelyet a tanulók mindennap használnak, ezek egyike egy határozott integrál online megoldással teljes formában. Ugyanebben a részben online kiszámíthatja a nem megfelelő integrált részletes megoldással a válasz további alkalmazásaihoz mind az intézetben, mind a mérnöki munkában. Úgy tűnik, hogy egy határozott integrál online meghatározása nem mindenkinek nehéz feladat, ha előre megold egy ilyen példát a felső és a alsó határ, vagyis nem a Leibniz integrál, hanem a határozatlan integrál. De itt te és én kategorikusan nem értünk egyet, mivel első pillantásra ez pontosan így tűnhet, de van egy jelentős különbség, tegyünk mindent. A megoldás nem kifejezetten ad ilyen határozott integrált, hanem a kifejezés határértékké való átalakításának következményeként. Más szóval, először meg kell oldani az integrált a határok szimbolikus értékeinek helyettesítésével, majd ki kell értékelni a határértéket vagy a végtelenben, vagy egy adott pontban. Ezért egy határozott integrál online kiszámítása egy megoldással nem jelent mást, mint a pontos megoldás bemutatását a Newton-Leibniz képlet segítségével. Ha figyelembe vesszük a határozott integrálszámítógépünket, akkor néhány másodperc alatt a szeme láttára segít kiszámolni. Ez a rohanás mindenkinek szükséges, aki a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni a feladatot, és fel kell szabadulnia személyes ügyeire. Nem szabad olyan oldalakat keresni az interneten, amelyek regisztrációt kérnek, majd pénzt adnak az egyenlegéhez, mindezt annak érdekében, hogy néhány okos fickó készítsen megoldásokat bizonyos integrálokra állítólag online. Ne feledje, hogy a Math24 egy ingyenes szolgáltatás a megoldáshoz matematikai problémákat, online is segítünk megtalálni a határozott integrált konkrét példák. Írja be az integrandust a megfelelő mezőbe, majd adjon meg vagy végtelen határértékeket (ebben az esetben a nem megfelelő integrálok megoldását a rendszer kiszámítja és online megkapja), vagy adja meg a számszerű vagy szimbolikus határértékeit és a határozott integrált online részletes megoldással A "Megoldás" gombra kattintás után megjelenik az oldalon. Ugye - nagyon egyszerű, nem igényel felesleges műveleteket, ingyenes, ami a legfontosabb, és ugyanakkor hatékony. A szolgáltatást saját maga is igénybe veheti, hogy egy bizonyos integrált online számológép maximális hasznot hozzon Önnek, és kényelmes állapotot kapjon anélkül, hogy a számítási folyamatok bonyolultságán túl stresszelne, hagyja, hogy mindent megteszünk Ön helyett, és megmutathassuk az erejét. számítógépes technológia modern világ. Ha belemerülsz a vadonba a legbonyolultabb képletekés önállóan tanulja meg a nem megfelelő integrálok számítását online, akkor ez dicséretes, és jogosult lehet a PhD-dolgozat megírására, de térjünk vissza a valóságba diákélet. Ki az a diák? Először is egy fiatal, energikus és jókedvű férfi, aki szeretne pihenni és házi feladatot csinálni! Ezért gondoskodtunk azokról a diákokról, akik nem megfelelő integrált online kalkulátort próbálnak találni a globális hálózat széles skáláján, és ez a figyelmed – az oldal a leghasznosabb online megoldó a fiatalok számára. Mellesleg, bár a mi szolgáltatásunkat asszisztensként mutatjuk be diákoknak, iskolásoknak, minden mérnök számára teljes mértékben megfelel, mert bármilyen típusú problémára képesek vagyunk, és azok megoldását professzionális formában mutatjuk be. Például egy határozott integrált online kínálunk teljes formában, szakaszosan, azaz mindegyikhez logikai blokk(részfeladatok) külön rekordot osztanak ki az összes számítással a folyamat során általános megoldás. Ez természetesen leegyszerűsíti a többlépcsős szekvenciális elrendezések érzékelését, és így az oldalprojekt előnye a hasonló szolgáltatásokkal szemben, mivel részletes megoldással találja meg a nem megfelelő integrálókat az interneten.

TantárgyHELYTELEN INTEGRÁLOK

a témában" Határozott integrál» véges intervallum esetén a határozott integrál fogalmát vettük figyelembe
és korlátozott funkciója
(lásd a 3. § 1. tételét). Most általánosítsuk ezt a fogalmat egy végtelen intervallum és egy korlátlan függvény eseteire. Az ilyen általánosítás szükségességét például a következő helyzetek mutatják.

1. Ha az ívhossz képletével próbálja meg kiszámítani egy negyedkör hosszát
,
, akkor a korlátlan függvény integráljához jutunk:

, Ahol
.

2. Legyen a testnek tömege
ellenállási erővel rendelkező közegben tehetetlenséggel mozog
, Ahol
- testsebesség. Newton második törvényét használva (
, Ahol
gyorsulás), megkapjuk az egyenletet:
, Ahol
. Nem nehéz megmutatni, hogy ennek a (differenciál!) egyenletnek a megoldása a függvény
Ha ki kell számítanunk a test által megtett utat, mielőtt teljesen megáll, pl. addig a pillanatig, amikor
, akkor egy végtelen intervallumon keresztül eljutunk az integrálhoz:

§1. 1. típusú nem megfelelő integrálok

I Definíció

Legyen a függvény
meghatározott és folyamatos az intervallumon
. Aztán bárkinek
az intervallumon integrálható
, vagyis van egy integrál
.

1. definíció . Végső ill végtelen határ ennek az integrálnak at
a függvény 1. fajtájának nem megfelelő integráljának nevezzük
az intervallum mentén
és a szimbólum jelöli
. Sőt, ha a megadott határ véges, akkor a nem megfelelő integrált konvergensnek nevezzük, ellenkező esetben (
vagy nem létezik) – divergens.

Tehát definíció szerint

Példák

2.
.

3.
- nem létezik.

Az 1. példából származó nem megfelelő integrál a 2. és 3. példában az integrálok eltérnek.

II. Newton–Leibniz formula az első típusú nem megfelelő integrálhoz

Hadd
- néhány antiderivált a funkcióhoz
(létezik
, mert
- folyamatos). Akkor

Innen világos, hogy az (1) nem megfelelő integrál konvergenciája egyenértékű egy véges határ létezésével
. Ha ez a határ meg van határozva
, akkor felírhatjuk a Newton-Leibniz képletet az (1) integrálra:

, Ahol
.

Példák .

5.
.

6. Bonyolultabb példa:
. Először is keressük meg az antiderivatívet:

Most megtaláljuk az integrált , tekintettel arra

:

III Tulajdonságok

Mutassuk be az (1) nem megfelelő integrál számos tulajdonságát, amelyek a határértékek és a határozott integrál általános tulajdonságaiból következnek:

IV Egyéb meghatározások

2. definíció . Ha
folyamatos tovább
Ha

.

3. definíció . Ha
folyamatos tovább
, akkor definíció szerint elfogadjuk

(- tetszőleges),

Sőt, a bal oldali nem megfelelő integrál akkor is konvergál, ha csak mindkét jobb oldali integrál konvergál.

Ezekre az integrálokra, valamint az (1) integrálra felírhatjuk a megfelelő Newton–Leibniz formulákat.

7. példa .

§2.

1. típusú nem megfelelő integrál konvergenciájának tesztjei

Leggyakrabban definíció szerint lehetetlen nem megfelelő integrált kiszámítani, ezért a közelítő egyenlőséget használják ).

(nagyoknak

Ennek az összefüggésnek azonban csak konvergens integrálok esetén van értelme. Szükség van módszerekre az integrál viselkedésének tisztázására a definíciót megkerülve. én

Hadd
Pozitív függvények integráljai
tovább
a felső határ függvényében növekvő függvény (ez a határozott integrál általános tulajdonságaiból következik).

1. tétel . Egy nemnegatív függvény első fajtájának nem megfelelő integrálja akkor és csak akkor konvergál, ha a függvény
növekedésével korlátozott marad .

Ez a tétel a monoton függvények általános tulajdonságainak következménye. A tételnek gyakorlatilag nincs gyakorlati jelentése, de lehetővé teszi, hogy megkapjuk az ún a konvergencia jelei.

2. tétel (1. összehasonlítási jel). Hagyjuk a függvényeket
c) Fontolja meg
folyamatos számára
és kielégíti az egyenlőtlenséget
. Akkor:

1) ha az integrál
akkor konvergál
konvergál;

2) ha az integrál
akkor eltér
eltér.

Bizonyíték . Jelöljük:
c) Fontolja meg
. Mert
Ha

. Legyen az integrál
konvergál, akkor (az 1. tétel alapján) a függvény
- korlátozott. De aztán
korlátozott, ezért az integrál
is konvergál. A tétel második részét hasonló módon bizonyítjuk.

Ez a kritérium nem alkalmazható, ha az integrál eltér a
vagy integráljának konvergenciája
. Ez a hátrány hiányzik a 2. összehasonlító funkcióból.

3. tétel (2. összehasonlítási jel). Hagyjuk a függvényeket
c) Fontolja meg
folyamatos és nem negatív be
. Aztán ha
nál nél
, akkor a nem megfelelő integrálok
c) Fontolja meg
egyidejűleg konvergálnak vagy divergálnak.

Bizonyíték . A tétel feltételeiből a következő ekvivalens állítások láncát kapjuk:

, ,

.

Legyen pl.
. Akkor:

Alkalmazzuk az 1. § 2. Tételét és 1) tulajdonságát, és kapjuk meg a 3. Tétel állítását.

A szabványos funkció, amellyel ezt összehasonlítják, egy teljesítményfüggvény
,
. Felkérjük a tanulókat, hogy bizonyítsák maguknak, hogy az integrál

-nél konvergál
és eltér a
.

Példák . 1.
.

Tekintsük az intervallum integrandusát
:

,
.

Integrál
konvergál, mert
. A 2. összehasonlítási kritérium alapján az integrál is konvergál
, és az 1. §-ból származó 2) tulajdonság miatt az eredeti integrál is konvergál.

2.
.

Mert
, akkor létezik
olyan hogy mikor

. Az ilyen változó értékekhez:

Ismeretes, hogy logaritmikus függvény lassabban növekszik, mint egy hatványtörvény, azaz.

,

ami azt jelenti, hogy a változó egy bizonyos értékéből kiindulva ez a tört kisebb, mint 1. Ezért

.

Integrál referenciaként konvergál. Az 1. összehasonlítási kritérium alapján konvergál és
. A 2. kritériumot alkalmazva azt kapjuk, hogy az integrál
konvergál. És ismét az 1. § 2) tulajdonsága bizonyítja az eredeti integrál konvergenciáját.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete