Alaptételek a határértékekkel rendelkező függvényekről. Végtelen funkciókorlátok

Hadd f(x)És j(x)– olyan funkciók, amelyeknek korlátai vannak x® x 0(¥):

,

Ekkor a határértékekre vonatkozó alábbi tételek érvényesek:

1. Egy függvénynek nem lehet több korlátja.

2. Limit algebrai összeg véges szám függvények egyenlő ezen függvények határértékeinek összegével:

3. Véges számú függvény szorzatának határértéke egyenlő a termékkel ezen funkciók határai:

A konstans tényezőt különösen a határjelen túl lehet venni:

4. Két függvény hányadosának határa egyenlő ezen függvények határainak hányadosával (feltéve, hogy az osztó határértéke nem egyenlő nullával):

(B#0)

Példa . Számítsa ki a határértéket .

◄ A számláló és a nevező korlátai vannak, és a nevező korlátja nem nulla. A hányadoshatártételt felhasználva kapjuk:

Példa . Kiszámítja .

◄ A magántulajdon újraelosztásáról szóló tétel itt nem alkalmazható, mert a számlálónak és a nevezőnek nincs véges határa. Bizonytalanság van bennünk. Ilyen esetekben a bizonytalanság feltárása érdekében tanácsos a számlálót és a nevezőt hatványokkal elosztani. x a legmagasabb pontszámmal, majd lépjen a határértékre:

.

Csodálatos határok

Az első csodálatos határ:

Második csodálatos határ:

,

Ahol – Euler-szám, ami az alapja természetes logaritmusok. Az utolsó korlát más formában is felírható:

,

.

Példa . Kiszámítja.

◄ Az ilyen bizonytalanságok feltárására az első figyelemre méltó határértéket használjuk:

A funkció folytonossága.

Funkció f(x) nak, nek hívják folyamatos azon a ponton x 0, ha kielégíti következő feltételekkel:

1) pontban van meghatározva, azaz. létezik f(x 0);

2) van végső határ funkciók at x® x 0;

3) ezt a határt egyenlő az értékkel egy ponton működik x 0,

azok.

Például azon a ponton x = 0 a funkció nem folyamatos (az 1. feltétel sérül).

Kifejezéssel adott függvény:

azon a ponton x= 0 nem folytonos a határérték hiánya miatt x® 0, bár vannak határok a bal és a jobb oldalon (lásd az ábrát).

A lényeg az ún töréspont függvény, ha ez a függvény egy adott pontban nem folytonos. Kétféle töréspont létezik.

1. típusú megszakítási pont: véges egyoldalú határértékei vannak a függvénynek a bal oldalon és a jobb oldalon amikor x® x 0, Nem egyenlő barát egy barátnak.

x= 0 a fent tárgyalt függvényre .

2. típusú megszakítási pont: az egyoldalú határértékek legalább egyike egyenlő a végtelennel, vagy nem létezik.

Példaként megadhatja a pontot x= 0 a függvényhez.

Egy pontban folytonos függvények tulajdonságai:

1. Ha a függvények a pontban folytonosak, akkor összegük, szorzatuk és hányadosuk () a pontban folytonos függvények.

2. Ha a függvény y = f(x) folyamatos a pontban x 0És f(x 0)> 0, akkor van a pontnak ilyen szomszédsága x 0 , amelyben és f(x)> 0.

3. Ha a függvény y = f(u) folyamatos a pontban u 0És f(x 0)> 0, és a függvény folytonos a pontban x 0, Azt összetett funkcióy = f[j(x)] folyamatos a pontban x 0 .

Funkció y = f(x) akkor nevezzük folytonosnak az X intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos.

Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai:

1. Ha a függvény y = f(x) folyamatos a [ a, b], akkor ezen a szegmensen korlátozott.

2. Ha a függvény y = f(x) folyamatos a [ a, b], eléri ezt a szegmenst legalacsonyabb érték mÉs legmagasabb érték M.

3. Ha a függvény y = f(x) folyamatos a [ a, b] és értékei a szegmens végén f(a)És f(b) van ellentétes jelek, akkor a szakaszon belül van egy pont x Î ( a, b) oly módon, hogy f(x)=0.

2.7.2. előadás „Származék. Differenciális"

Tanulmányi kérdések:

1. Származék

2. Differenciál

Derivált

Derivált egy függvény értéke a függvény növekménye és a független változó növekményének arányának határa, mivel az utóbbi nullára hajlik (ha létezik ez a határ):

.

Egyéb származékos jelölések: .

Különbségtétel függvény ennek a függvénynek a deriváltját keresi. Ha egy függvénynek van egy pontja x származéka (véges), akkor ún megkülönböztethető ezen a ponton.

Geometriai jelentés derivált: a derivált egyenlő a tengely közötti szög érintőjével Ökörés a függvény grafikonjára egy pontban húzott érintő (lásd az ábrát).

Mechanikai jelentés: egy út deriváltja az idő függvényében egy pont sebessége egy pillanatban, azaz. .

A munkatermelékenység jelenleg a termelés mennyiségének időbeli származéka.

Tétel. Ha egy függvény egy ponton differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

Fordított tétel, általában véve nem helyes, i.e. folyamatos funkció nem differenciálható egy ponton, például egy függvény egy pontban.

A megkülönböztetés szabályai

1. Egy állandó deriváltja nulla, azaz. , Ahol VAL VEL - const.

2. Az argumentum deriváltja egyenlő 1-gyel, azaz. .

3. Véges számú differenciálható függvény algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak azonos összegével, azaz.

Alaptételek a határértékekről.

Tétel (az egyenlőségek határértékére való átlépésről). Ha egy pont valamelyik szomszédságában az f(x) és g(x) függvények értékei egybeesnek, akkor a határértékük ebben a pontban egyenlő:

f(x)=g(x) => .

Tétel (az egyenlőtlenségek határértékére való átlépésről). Ha egy pont valamelyik környezetében fennáll az f(x)≤ g(x) egyenlőtlenség, akkor a következő egyenlőtlenség is igaz: .

Tétel. Az állandó határértéke megegyezik magával az állandóval: .

Doc. A definíció alapján történik, ahol bármely pozitív szám vehető értékként. Aztán a .▲

Tétel (a határérték egyediségéről). Egy függvénynek nem lehet több határértéke egy adott pontban.

Doc. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen és , . Ezután a határérték és a BM kapcsolatáról szóló tétel szerint:

- BM at ,

- BM at . Ezeket az egyenlőségeket kivonva a következőket kapjuk:

A BMF 1. ingatlana alapján ez egy BM. Ha elérjük a határt ebben az egyenlőségben, a következőt kapjuk:

,

Olyan ellentmondást kapunk, amely bizonyítja a tételt.▲

Egy függvény véges határának létezéséhez szükséges feltételek.

Tétel (a lokális korlátról). Ahhoz, hogy egy függvénynek egy pontban véges határértéke legyen, szükséges, hogy ennek a pontnak valamely szomszédságában (kivéve magát a pontot) a függvény korlátozott legyen.

Tétel (a lokális ismétlődésről egy határérték tulajdonságainak függvényében). Ahhoz, hogy egy ponton véges határ létezzen, az szükséges, hogy ennek a pontnak a szomszédságában legyen (kivéve magát a pontot).

Elegendő feltétel egy függvény véges határának létezéséhez.

Tétel (az aritmetikáról). Ha vannak véges határértékek az és-re, akkor azok összegére és szorzatára is vannak véges határok, és:

Ha , akkor a hányadosnak véges határa van:

Doc. Bizonyítsuk be például a második egyenlőséget.

Legyenek véges határok és . Bizonyítsuk be, hogy van véges határ .

Tehát bizonyítanunk kell, hogy:

Vegyünk egy tetszőlegeset. Keressük a feltételből, i.e. ezért : .

Keressük a feltételből, i.e. ezért :

Mert mert feltétel szerint van véges határérték a t-ben, akkor ez a függvény t valamelyik szomszédságában lesz korlátos (a lokális korlátosság tétele), azaz. - néhány állandó.

Tegyük fel . Ellenőrizzük, hogy ez az, amit keresünk. Igazán,

Tétel (a köztes függvényről). Legyen a függvényeknek véges határértékei t-ben, egyenlők egymással, és a t. valamely szomszédságában, magát ezt a pontot kivéve, teljesül a feltétel:

. Ekkor is van egy véges határérték t.-ben, amely megegyezik az és függvények határértékeinek értékével.

Tétel (a monoton korlátos függvény határáról). Ha egy függvény monoton növekszik (csökken) egy bizonyos m környezetében, és felülről (alulról) korlátos, akkor ezen a ponton van egy megfelelő egyoldalú határértéke.

Funkciókorlátok kiszámítása.

Az aritmetikai tétel nemcsak a véges határ létezésének tényét teszi lehetővé, hanem annak kiszámítását is.

Példa. .

Néhány esetben azonban az aritmetikai tétel nem alkalmazható.

, . A tétel azonban nem alkalmazható

Ilyen esetekben azt mondjuk, hogy bizonytalanság van. A határérték kiszámításához a függvényt azonos módon kell transzformálni, hogy az aritmetikai tétel alkalmazhatóvá váljon (azaz a bizonytalanság feltárása).

A következő helyzetek minősülnek bizonytalanságnak:

Csodálatos határok.

1. tétel (első figyelemre méltó határérték). Egy végtelenül kicsi ív szinuszának magához az ívhez viszonyított arányának határa radiánban kifejezve egyenlő az egységgel:

Doc. Tekintsünk egy R sugarú kört, amelynek középpontja az O pontban van. Legyen először . Az ábrából jól látszik, hogy.

;

;

És így,

Ennek a kifejezésnek mindkét oldalát elosztva ezzel

>0, kapjuk:

vagy .

Ha elérjük a határértéket ebben az egyenlőtlenségben, akkor kapjuk: .

A köztes függvénytétel alapján.

A levont következtetések is érvényesek lesznek (bizonyítsd be magad).▲

Következmények. ; ; .

2. Tétel (második figyelemre méltó határ). A számsorozatnak véges határa van, számával egyenlő e:

, ()

Következmények. ; .

Számos probléma a fizika, biológia, magfizika, demográfia stb. területéről e. Nézzük a második használatát csodálatos határ a gazdasági számításokban.

Folyamatos összetett probléma.

1. Egyszerű kamat. Egy pénzösszeg kamatra kerül a bankban. Az éves kamat p%. Mekkora lesz a Q hozzájárulás mértéke t év múlva?

Használata egyszerű érdeklődés A betét nagysága évente ugyanennyivel növekszik.

Egy év múlva lesz az összeg

Két év múlva: ;

t év alatt:

- egyszerű kamatképlet.

2. kamatos kamat. A kamatos kamat alkalmazásakor „kamat kamata” kerül kiszámításra, azaz. A betét nagysága évente ugyanannyiszor növekszik:

- kamatos kamat képlete.

A gyakorlati pénzügyi és hitelműveletek során a folyamatos kamatfelhalmozást nem alkalmazzák, hanem demográfiai, befektetési és egyéb számításoknál alkalmazzák.

FUNKCIÓK ÉS KORLÁTOK IX

212. § Alaptételek a függvények határairól

Először is vegye figyelembe, hogy nem minden funkcióhoz nál nél = f (x ) van egy határ f (x ). Tehát például mikor x -> π / 2 függvényérték nál nél = tg x (303. ábra) vagy korlátlanul nőhet (val x < π / 2), vagy korlátlanul csökkenteni (val x > π / 2).

Ezért nem lehet számot megadni b , amelyre ennek a függvénynek az értékei hajlanak.

Egy másik példa. Hadd

Ennek a függvénynek a grafikonja a 304. ábrán látható.

Amikor az argumentum értéket x 0-hoz közelít, negatív marad, a megfelelő függvényértékek 1-re hajlanak. Amikor az argumentumértékek x 0-hoz közelít, pozitív marad, a megfelelő függvényértékek -2-re hajlanak. Ugyanazon a ponton x = 0, a függvény 0-ra fordul. Nyilvánvalóan jelöljön meg egy számot, amelyre az összes érték hajna nál nél amikor közeledik x 0-ra, nem. Ezért ezt a funkciót nincs korlátja x -> 0.

Amikor egy függvény határértékéről beszélünk a jövőben, mindig feltételezzük, hogy ez a határ létezik.

Határ létezésének feltételezése f (x ) nem jelenti azt, hogy ez a határ egybeesik a függvény értékével f (x ) pontban x = a . Vegyük például azt a függvényt, amelynek grafikonja a 305. ábrán látható.

Nyilván a határ f (x ) létezik, és egyenlő 1-gyel. De magában a pontban x = 0 a függvény értéke 2. Ezért in ebben az esetben

f (x ) =/= f (0).

Ha a funkció y = f (x ) megfelel a feltételnek

f (x ) = f (a ),

akkor úgy hívják folyamatos azon a ponton x = a . Ha a megadott feltétel nem teljesül, akkor a függvény f (x ) nak, nek hívják robbanó azon a ponton x = a ."

Minden elemi függvények(Például, y = x n , nál nél = bűn x , nál nél = tg x , nál nél = barna 2 x + tg x stb.) folytonosak minden olyan pontban, ahol meghatározásra kerültek.

Funkció nál nél = f (x ) nak, nek hívják folyamatos az intervallumban [a, b ], ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos. Például a függvény nál nél = tg x folyamatos az intervallumban [- π / 4 , π / 4 ], függvények nál nél = bűn x És y =cos x folyamatos bármilyen intervallumban stb.

Bizonyítás nélkül bemutatjuk a függvények határaira vonatkozó fő tételeket. Ezek a tételek meglehetősen hasonlóak azokhoz, amelyeket korábban (szintén bizonyítás nélkül) vettünk figyelembe a számsorozatok határainak tanulmányozása során.

1. Egy állandó határértéke megegyezik ezzel az állandóval:

c = c .

2. A konstans tényező a határjelen túlra vehető:

[ k f (x )] = k f (x ).

3. A függvények összegének (különbségének) korlátja egyenlő az összeggel(különbségek) ezen függvények határai között:

[ f (x ) ± g (x )] = f (x ) ± g (x ).

4. A függvények szorzatának határértéke egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával:

[ f (x ) g (x )] = f (x ) g (x ).

5. Két függvény arányának határa egyenlő az aránnyal ezen függvények határértékei, hacsak az osztó határértéke nem nulla:

Nézzünk néhány tipikus példát a függvények határainak megtalálására.

1. példa megtalálja

Nál nél x -> 3 Ennek a törtnek a számlálója és nevezője nullára hajlik. Ezért a hányados határára vonatkozó tétel közvetlen alkalmazása itt lehetetlen. azonban adott tört rövidíthető:

(Kérlek vegyed figyelembe a következőt fontos jellemzője, jellemző a vizsgált példára. Amikor a határról beszélünk f (x ), akkor általában feltételezzük, hogy a függvény f (x ) minden pontban kellően közel van a ponthoz x = a . A függvény azonban csak a számára van definiálva pozitív értékeket x . Ezért, ha figyelembe vesszük ennek a függvénynek a határát, valójában azt feltételezzük x -> 0, folyamatosan pozitív marad. Ilyenkor nem csak a határról beszélnek, hanem kb egyoldalúan határ. Hasonló példákkal találkozunk a későbbiekben ehhez a részhez tartozó gyakorlatokban.)

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete