Keresse meg a két pont közötti távolságot online. Két pont közötti távolság

Legyen adott egy derékszögű koordináta-rendszer.

1.1. tétel. A sík bármely két M 1 (x 1;y 1) és M 2 (x 2;y 2) pontja esetén a köztük lévő d távolságot a képlet fejezi ki

Bizonyíték. Emeljük ki az M 1 B és M 2 A merőlegeseket az M 1 és M 2 pontokból.

az Oy és az Ox tengelyen, és jelölje K-val az M 1 B és M 2 A egyenesek metszéspontját (1.4. ábra). Lehetséges következő eseteket:

1) Az M 1, M 2 és K pontok különbözőek. Nyilvánvaló, hogy a K pontnak vannak koordinátái (x 2;y 1). Könnyen belátható, hogy M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Mert ∆M 1 KM 2 téglalap alakú, akkor a Pitagorasz-tétel szerint d = M 1 M 2 = = .

2) A K pont egybeesik az M 2 ponttal, de különbözik az M 1 ponttól (1.5. ábra). Ebben az esetben y 2 = y 1

és d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) A K pont egybeesik az M 1 ponttal, de különbözik az M 2 ponttól. Ebben az esetben x 2 = x 1 és d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Az M 2 pont egybeesik az M 1 ponttal. Ekkor x 1 = x 2, y 1 = y 2 és

d = M 1 M 2 = O = .

Egy szegmens felosztása ebből a szempontból.

Adott egy tetszőleges M 1 M 2 szakasz a síkon, és legyen M ─ ennek bármely pontja

az M 2 ponttól eltérő szegmens (1.6. ábra). Az l szám, amelyet az l = egyenlőség határoz meg , hívott hozzáállás, ahol M osztja az M 1 M 2 szakaszt.

Tétel 1.2. Ha egy M(x;y) pont osztja az M 1 M 2 szakaszt l-hez képest, akkor ennek a pontnak a koordinátáit a képletek határozzák meg

x = , y = , (4)

ahol (x 1;y 1) ─ M 1 pont koordinátái, (x 2;y 2) ─ M 2 pont koordinátái.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be a (4) képlet közül az elsőt. A második képlet hasonló módon bizonyított. Két eset lehetséges.

x = x 1 = = = .

2) Az M 1 M 2 egyenes nem merőleges az Ox tengelyre (1.6. ábra). Engedjük le a merőlegeseket az M 1, M, M 2 pontokból az Ox tengelyre, és jelöljük ki az Ox tengellyel való metszéspontjukat P 1, P, P 2-nek. A kb. tétel szerint arányos szegmensek = l.

Mert P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô és az (x – x 1) és (x 2 – x) számoknak ugyanaz az előjele (x 1-nél)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatív), akkor

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Következmény 1.2.1. Ha M 1 (x 1;y 1) és M 2 (x 2;y 2) két tetszőleges pont, és az M(x;y) pont az M 1 M 2 szakasz közepe, akkor

x = , y = (5)

Bizonyíték. Mivel M 1 M = M 2 M, akkor l = 1 és a (4) képleteket használva megkapjuk az (5) képleteket.

Egy háromszög területe.

Tétel 1.3. Minden olyan A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) és C(x 3;y 3) ponthoz, amelyek nem ugyanazon

egyenes, S terület ABC háromszög képlettel fejezzük ki

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1) (y 2 – y 1)ô (6)

Bizonyíték.ábrán látható ∆ ABC terület. 1.7, a következőképpen számolunk

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Kiszámoljuk a trapézok területét:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Most megvan

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 év 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2) (y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1) (y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Egy másik ∆ ABC helynél a (6) képletet hasonló módon bizonyítjuk, de előfordulhat, hogy „-” jellel is kiderül. Ezért a (6) képletbe a modulusjelet teszik.

2. előadás.

Egy síkon lévő egyenes egyenlete: főegyütthatós egyenes egyenlete, általános egyenlet egyenes, szakaszonkénti egyenes egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete. Az egyenesek közötti szög, az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei egy síkon.

2.1. Legyen adott a síkon egy derékszögű koordinátarendszer és valamilyen L egyenes.

Meghatározás 2.1. Az x és y változókat összekötő F(x;y) = 0 alakú egyenletet ún. L egyenes egyenlet(egy adott koordináta-rendszerben), ha ezt az egyenletet az L egyenesen fekvő bármely pont koordinátái teljesítik, és nem egy olyan pont koordinátái, amelyik nem ezen az egyenesen fekszik.

Példák síkon lévő egyenesek egyenleteire.

1) Tekintsünk a derékszögű koordinátarendszer Oy tengelyével párhuzamos egyenest (2.1. ábra). Jelöljük A betűvel ennek az egyenesnek az Ox tengellyel való metszéspontját, (a;o) ─ or-

dinats. Az x = a egyenlet az adott egyenes egyenlete. Valójában ez az egyenlet teljesül az egyenes bármely M(a;y) pontjának koordinátáival, és nem teljesül az egyenesen nem fekvő pontok koordinátái. Ha a = 0, akkor az egyenes egybeesik az Oy tengellyel, amelynek egyenlete x = 0.

2) Az x - y = 0 egyenlet határozza meg a sík azon pontjainak halmazát, amelyek az I és III koordinátaszögek felezőit alkotják.

3) Az x 2 - y 2 = 0 ─ egyenlet a koordinátaszögek két felezőjének egyenlete.

4) Az x 2 + y 2 = 0 egyenlet egyetlen O(0;0) pontot határoz meg a síkon.

5) Az x 2 + y 2 = 25 egyenlet ─ egy 5 sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

A pontok közötti távolság kiszámítása azok koordinátái alapján a Föld felszínén egy kicsit bonyolultabb: megfontoljuk a pontok közötti távolság és kezdeti irányszög mérését vetületi transzformációk nélkül. Először is értsük meg a terminológiát.

Bevezetés

Nagy körív hosszúság– a gömb felületén elhelyezkedő bármely két pont közötti legrövidebb távolság, a két pontot összekötő egyenes mentén mérve (az ilyen egyenest ortodromiának nevezzük), és a gömb felületén vagy más forgásfelületen áthaladva. A gömbgeometria eltér a normál euklideszi geometriától, és a távolságegyenletek is más formát öltenek. Az euklideszi geometriában két pont közötti legrövidebb távolság egy egyenes. Egy gömbön nincsenek egyenes vonalak. Ezek a vonalak a gömbön nagy körök részei – olyan köröknek, amelyek középpontja egybeesik a gömb középpontjával. Kezdeti azimut- azimut, amelyet az A pontból való mozgás megkezdésekor a nagykört követve a legrövidebb távolságra B pontig a végpont B pont lesz. Ha A pontból B pontba haladunk a nagykörvonal mentén, az azimut a jelenlegi pozíció az végpont B folyamatosan változik. A kezdeti irányszög eltér egy állandótól, amelyet követve az aktuális ponttól a végpontig tartó irányszög nem változik, de a követett útvonal nem a legrövidebb távolság két pont között.

A gömb felületének bármely két pontján keresztül, ha azok nincsenek egymással közvetlenül szemben (vagyis nem antipódok), egyedi nagykör rajzolható. Két pont egy nagy kört két ívre oszt. A rövid ív hossza a két pont közötti legrövidebb távolság. Két antipodális pont között húzhatunk végtelen szám nagy körök, de a köztük lévő távolság bármely körön azonos lesz, és egyenlő a kör kerületének felével, vagy π*R, ahol R a gömb sugara.

Egy repülőn (be téglalap alakú rendszer koordináták), a nagy körök és töredékeik, mint fentebb említettük, minden vetületben ívek, kivéve a gnomonikust, ahol a nagy körök egyenesek. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a repülõgépek és egyéb légiközlekedési eszközök mindig a pontok közötti minimális távolság útvonalát használják üzemanyag-megtakarítás céljából, vagyis a repülést nagy körtávolság mentén hajtják végre, síkon ívnek néz ki.

A Föld alakja gömbként írható le, így a távolságszámítási egyenletek nagy kör fontosak a Föld felszínén lévő pontok közötti legrövidebb távolság kiszámításához, és gyakran használják a navigációban. A távolság kiszámítása ezzel a módszerrel hatékonyabb és sok esetben pontosabb, mint a vetített koordináták kiszámítása (téglalap alakú koordinátarendszerekben), mivel először is nem igényel fordítást földrajzi koordináták téglalap alakú koordináta-rendszerbe (vetítési transzformációkat végezni), másodsorban pedig sok vetület helytelenül kiválasztva jelentős hossztorzulásokhoz vezethet a vetületi torzítások jellemzői miatt. Ismeretes, hogy nem gömb, hanem ellipszoid írja le pontosabban a Föld alakját, azonban ez a cikk a gömbön lévő távolságok kiszámítását tárgyalja, a számításokhoz egy 6 372 795 méter sugarú gömböt használnak, ami 0,5%-os nagyságrendű hibához vezethet a távolságok kiszámításakor.

Képletek

A nagykör gömbtávolságát háromféleképpen lehet kiszámítani. 1. Szférikus koszinusz tétel Kis távolságok és kis számítási mélység (tizedesjegyek száma) esetén a képlet használata jelentős kerekítési hibákhoz vezethet. φ1, λ1; φ2, λ2 - két pont szélessége és hosszúsága radiánban Δλ - koordináták különbsége a hosszúságban Δδ - szögkülönbség Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) A szögtávolság metrikussá való konvertálásához megszorozzuk a szögkülönbséget a Föld sugarával (6372795 méter), a végső távolság mértékegységei megegyeznek azokkal az egységekkel, amelyekben a sugár kifejeződik (in ebben az esetben- méter). 2. Haversine képlet A rövid távolságokkal kapcsolatos problémák elkerülésére szolgál. 3. Az antipódok módosítása Az elõzõ képlet az antipodális pontok problémájának függvénye, a következõ módosítást alkalmazzuk.

Saját implementációm PHP-n

// Föld sugara define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Két pont távolsága * $φA, $λA - az 1. pont szélessége, hosszúsága, * $φB, $λB - a 2. pont szélessége, hosszúsága * http://gis-lab.info/ alapján írva qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ függvény számítja ki a távolságot ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // koordináták konvertálása radiánra $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180 = $λA * M_PI / 180 = $λB * M_PI / 180 $cl1 = $sl1 = sin(); $lat1 = sin($delta = cos($delta) nagy kör hossza $y = sqrt($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $); sl1 * $cdelta, 2)); függvényhívás: $lat1 = 77,1539; $hosszú1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $hosszú2 = -139,55; echo számítja ki a távolságot($lat1, $hosszú1, $hossz2, $hosszú2) . "méter"; // "17166029 méter" visszaküldése

Egy sík két pontja közötti távolság.
Koordinátarendszerek

A sík minden A pontját a koordinátái (x, y) jellemzik. Egybeesnek a 0A vektor koordinátáival, amelyek a 0 pontból jönnek ki - a koordináták origója.

Legyenek A és B a sík tetszőleges pontjai (x 1 y 1), illetve (x 2, y 2) koordinátákkal.

Ekkor az AB vektornak nyilvánvalóan vannak koordinátái (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ismeretes, hogy a vektor hosszának négyzete egyenlő az összeggel koordinátáinak négyzetei. Ezért az A és B pont közötti d távolságot, vagy ami megegyezik, az AB vektor hosszát a feltételből határozzuk meg.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

A kapott képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a távolságot a sík bármely két pontja között, ha csak ezeknek a pontoknak a koordinátái ismertek

Valahányszor a síkon egy adott pont koordinátáiról beszélünk, egy jól meghatározott x0y koordinátarendszerre gondolunk. Általánosságban elmondható, hogy a koordinátarendszer egy síkon többféleképpen választható meg. Tehát az x0y koordinátarendszer helyett jöhet az x"0y" koordinátarendszer, amit a régi koordinátatengelyek 0 kezdőpont körüli elforgatásával kapunk. óramutató járásával ellentétes irányban nyilak a sarkon α .

Ha az x0y koordinátarendszerben a sík valamely pontjának koordinátái voltak (x, y), akkor in új rendszer x"0y" koordináták különböző koordinátái lesznek (x, y").

Példaként vegyük az M pontot, amely a 0x tengelyen található, és a 0 ponttól 1 távolságra van elválasztva.

Nyilvánvaló, hogy az x0y koordinátarendszerben ennek a pontnak vannak koordinátái (cos α ,bűn α ), és az x"0y" koordinátarendszerben a koordináták (1,0).

Az A és B sík bármely két pontjának koordinátái attól függnek, hogy a koordinátarendszer hogyan van megadva ezen a síkon. De ezeknek a pontoknak a távolsága nem függ a koordinátarendszer megadásának módjától. Ezt a fontos körülményt a következő bekezdésben jelentősen ki fogjuk használni.

Gyakorlatok

I. Keresse meg a sík pontjai közötti távolságokat koordinátákkal:

1) (3.5) és (3.4); 3) (0,5) és (5, 0); 5) (-3,4) és (9, -17);

2) (2, 1) és (- 5, 1); 4) (0, 7) és (3,3); 6) (8, 21) és (1, -3).

II. Határozzuk meg annak a háromszögnek a kerületét, amelynek oldalait a következő egyenletek adják meg:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 és y = 1.

III. Az x0y koordinátarendszerben az M és N pont (1, 0), illetve (0,1) koordinátával rendelkezik. Keresse meg ezeknek a pontoknak a koordinátáit az új koordinátarendszerben, amelyet a régi tengelyek elforgatásával kapunk kiindulópont 30°-os szögben az óramutató járásával ellentétes irányban.

IV. Az x0y koordinátarendszerben az M és N pontok (2, 0) és (\ / 3/2, - 1/2) ill. Keresse meg ezeknek a pontoknak a koordinátáit az új koordinátarendszerben, amelyet úgy kapunk meg, hogy a régi tengelyeket a kezdőpont körül 30°-os szögben elforgatjuk az óramutató járásával megegyezően.

A matematikai feladatok megoldása a diákok számára gyakran sok nehézséggel jár. Segíts a tanulónak megbirkózni ezekkel a nehézségekkel, és tanítsd meg használni, amije van elméleti tudás amikor eldönti konkrét feladatokat a „Matematika” tantárgy minden szakaszában - webhelyünk fő célja.

A témával kapcsolatos feladatok megoldásának megkezdésekor a tanulóknak tudniuk kell egy síkon egy pontot megszerkeszteni annak koordinátái alapján, valamint meg kell találni egy adott pont koordinátáit.

Két síkon vett A(x A; y A) és B(x B; y B) pont közötti távolság kiszámítása a képlet segítségével történik d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), ahol d annak a szakasznak a hossza, amely a sík ezen pontjait összeköti.

Ha a szakasz egyik vége egybeesik a koordináták origójával, és a másik M(x M; y M) koordinátákkal rendelkezik, akkor a d kiszámításának képlete OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Két pont távolságának kiszámítása e pontok megadott koordinátái alapján

1. példa.

Határozzuk meg a koordinátasíkon az A(2; -5) és B(-4; 3) pontokat összekötő szakasz hosszát (1. ábra).

Megoldás.

A problémafelvetés a következőket mondja ki: x A = 2; x B = -4; y A = -5 és y B = 3. Keresse meg d.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 képletet alkalmazva a következőt kapjuk:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pont koordinátáinak kiszámítása

2. példa

Határozzuk meg az O 1 pont koordinátáit, amely egyenlő távolságra van három A(7; -1) és B(-2; 2) és C(-1; -5) ponttól!

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából következik, hogy O 1 A = O 1 B = O 1 C. Legyen a kívánt O 1 pont koordinátái (a; b). A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Hozzunk létre egy két egyenletrendszert:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Miután négyzetre emeltük a bal és megfelelő részek felírjuk az egyenleteket:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Leegyszerűsítve, írjuk

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

A rendszer megoldása után a következőt kapjuk: a = 2; b = -1.

Az O 1 (2; -1) pont egyenlő távolságra van a feltételben meghatározott három ponttól, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a pont egy háromon áthaladó kör középpontja adott pontokat (2. ábra).

3. Az abszcissza (ordináta) tengelyén elhelyezkedő pont abszcissza (ordináta) kiszámítása adott távolság ettől a ponttól

3. példa

A B(-5; 6) pont és az Ox tengelyen fekvő A pont távolsága 10. Keresse meg az A pontot.

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából az következik, hogy az A pont ordinátája egyenlő nullával és AB = 10.

Az A pont abszcisszáját a-val jelölve A(a; 0)-t írunk.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

A √((a + 5) 2 + 36) = 10 egyenletet kapjuk. Leegyszerűsítve azt kapjuk

a 2 + 10a – 39 = 0.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a 1 = -13; és 2 = 3.

Két A 1 (-13; 0) és A 2 (3; 0) pontot kapunk.

Vizsgálat:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Mindkét kapott pont megfelelő a feladat feltételeinek megfelelően (3. ábra).

4. Egy olyan pont abszcissza (ordináta) kiszámítása, amely az abszcissza (ordináta) tengelyen fekszik és két adott ponttól azonos távolságra van

4. példa

Keressen egy pontot az Oy tengelyen, amely azonos távolságra van az A (6, 12) és B (-8, 10) pontoktól.

Megoldás.

Legyenek a feladat feltételei által megkívánt, Oy tengelyen fekvő pont koordinátái O 1 (0; b) (az Oy tengelyen fekvő pontban az abszcissza nulla). Abból a feltételből következik, hogy O 1 A = O 1 B.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

A következő egyenlet: √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) vagy 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Egyszerűsítés után a következőt kapjuk: b – 4 = 0, b = 4.

A feladat feltételei által megkövetelt O 1 (0; 4) pont (4. ábra).

5. Egy olyan pont koordinátáinak kiszámítása, amely azonos távolságra van a koordinátatengelyektől és egy adott ponttól

5. példa

Keresse meg a koordinátasíkon a koordinátatengelyektől és az A(-2; 1) ponttól azonos távolságra lévő M pontot.

Megoldás.

A szükséges M pont az A(-2; 1) ponthoz hasonlóan a másodikban található koordinátaszög, mivel egyenlő távolságra van az A, P 1 és P 2 pontoktól (5. ábra). Az M pont távolsága a koordinátatengelyektől azonos, ezért koordinátái (-a; a) lesznek, ahol a > 0.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

azok. |-a| = a.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Négyzetesítés és egyszerűsítés után a következőt kapjuk: a 2 – 6a + 5 = 0. Oldja meg az egyenletet, keresse meg a 1 = 1-et; és 2 = 5.

Két M 1 (-1; 1) és M 2 (-5; 5) pontot kapunk, amelyek kielégítik a feladat feltételeit.

6. Az abszcissza (ordináta) tengelytől és az adott ponttól azonos távolságra elhelyezkedő pont koordinátáinak kiszámítása

6. példa.

Keressünk egy M pontot, amelynek távolsága az ordináta tengelytől és az A(8; 6) ponttól egyenlő 5-tel.

Megoldás.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = 5 és az M pont abszcisszája egyenlő 5-tel. Legyen M pont ordinátája b-vel, akkor M(5; b) (6. ábra).

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet szerint a következőket kapjuk:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: b 2 – 12b + 20 = 0. Ennek az egyenletnek a gyökei b 1 = 2; b 2 = 10. Ebből következően két olyan pont van, amely teljesíti a feladat feltételeit: M 1 (5; 2) és M 2 (5; 10).

Ismeretes, hogy sok diák önálló döntés problémák folyamatos konzultációt igényelnek a megoldási technikákról és módszerekről. A tanuló gyakran nem találja meg a módját a probléma megoldásának tanári segítség nélkül. A probléma megoldásához szükséges tanácsokat honlapunkon kaphatja meg a hallgató.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan találja meg a távolságot egy síkon két pont között?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a pontok közötti távolság elméleti és konkrét feladatok példáján keresztül történő meghatározásának módjait. Kezdésként vezessünk be néhány definíciót.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

Pontok közötti távolság az őket összekötő szakasz hossza a meglévő léptékben. Ahhoz, hogy legyen egy hosszegység a méréshez, be kell állítani egy skálát. Ezért a pontok közötti távolság megállapításának problémáját alapvetően úgy oldjuk meg, hogy koordinátáikat koordinátaegyenesen, koordinátasíkban vagy háromdimenziós térben használjuk.

Kiindulási adatok: O x koordinátaegyenes és egy tetszőleges azon fekvő A pont Az egyenes bármely pontjának van egy jellemzője valós szám: legyen az A pontban ez egy bizonyos szám x A, ez egyben az A pont koordinátája is.

Általánosságban elmondhatjuk, hogy egy adott szakasz hosszát egy adott skálán egy hosszegységnek vett szakaszhoz viszonyítva értékeljük.

Ha az A pont egy egész valós számnak felel meg, az O ponttól a pontig sorra lerakva az egyenes O A szakaszokat - hosszegységeket, akkor az összes félretett egységnyi szegmensből meghatározhatjuk az O A szakasz hosszát.

Például az A pont a 3-as számnak felel meg - ahhoz, hogy O pontból eljusson hozzá, három egységszegmenst kell elengednie. Ha az A pont koordinátája - 4, akkor az egységszegmenseket hasonló módon, de eltérő módon helyezzük el, negatív irány. Így az első esetben az O A távolság 3; a második esetben O A = 4.

Ha az A pont koordinátája racionális szám, akkor az origóból (O pont) félreteszünk egész számú egységnyi szegmenst, majd annak szükséges részét. De geometriailag nem mindig lehet mérést végezni. Például nehéznek tűnik a 4 111 tört ábrázolása a koordináta egyenesen.

A fenti módszerrel tedd egyenes vonalra irracionális számés teljesen lehetetlen. Például, ha az A pont koordinátája 11. Ilyenkor lehet absztrakcióra térni: ha az A pont adott koordinátája nagyobb nullánál, akkor O A = x A (a számot veszik távolságnak); ha a koordináta kisebb, mint nulla, akkor O A = - x A . Általában ezek az állítások igazak bármely x A valós számra.

Összefoglalva: az origó és a koordináta egyenes valós számának megfelelő pont közötti távolság egyenlő:

0, ha a pont egybeesik az origóval;

x A, ha x A > 0;

- x A, ha x A< 0 .

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy magának a szakasznak a hossza nem lehet negatív, ezért a modulus előjel segítségével a koordinátával írjuk fel az O pont és az A pont távolságát. xA: O A = x A

A következő állítás igaz lesz: az egyik pont és a másik közötti távolság egyenlő lesz a koordináta-különbség modulusával. Azok. olyan A és B pontok esetében, amelyek bármely helyhez ugyanazon a koordinátavonalon helyezkednek el, és megfelelő koordinátákkal rendelkeznek xAÉs x B: A B = x B - x A.

Kiindulási adatok: az O x y téglalap alakú koordinátarendszer síkon fekvő A és B pontjai adott koordináták: A (x A , y A) és B (x B , y B) .

Rajzoljunk merőlegeseket az A és B pontokon keresztül az O x és O y koordinátatengelyekre, és kapjuk meg ennek eredményeként a vetületi pontokat: A x, A y, B x, B y. Az A és B pont elhelyezkedése alapján a következő lehetőségek lehetségesek:

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla;

Ha az A és B pont az O x tengelyre merőleges egyenesen (abszcissza tengely) fekszik, akkor a pontok egybeesnek, és | A B | = | A y B y | . Mivel a pontok távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, akkor A y B y = y B - y A, és ezért A B = A y B y = y B - y A.

Ha az A és B pont az O y tengelyre (ordináta tengelyre) merőleges egyenesen fekszik - az előző bekezdéshez hasonlóan: A B = A x B x = x B - x A

Ha az A és B pont nem az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen fekszik, akkor a köztük lévő távolságot a számítási képlet levezetésével fogjuk megtalálni:

Látjuk, hogy az A B C háromszög téglalap alakú. Ebben az esetben A C = A x B x és B C = A y B y. A Pitagorasz-tétel segítségével létrehozzuk az egyenlőséget: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, majd transzformáljuk: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott eredményből vonjuk le a következtetést: az A pont és a B pont távolságát a síkon számítással határozzuk meg a képlet segítségével, ezen pontok koordinátáinak felhasználásával.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott képlet megerősíti a korábban kialakított állításokat is pontok egybeesésének eseteire vagy olyan helyzetekre, amikor a pontok a tengelyekre merőleges egyeneseken helyezkednek el. Tehát, ha az A és B pont egybeesik, a következő egyenlőség lesz igaz: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Ha az A és B pont az x tengelyre merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Abban az esetben, ha az A és B pont az ordináta tengelyére merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Kiindulási adat: egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszer, amelyen tetszőleges pontok találhatók adott A (x A, y A, z A) és B (x B, y B, z B) koordinátákkal. Meg kell határozni e pontok közötti távolságot.

Mérlegeljük általános eset, amikor az A és B pontok nem az egyikkel párhuzamos síkban helyezkednek el koordinátasíkok. Rajzoljunk a koordinátatengelyekre merőleges síkokat az A és B pontokon keresztül, és kapjuk meg megfelelő pontokat vetületek: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Az A és B pontok távolsága a kapott paralelepipedon átlója. Ennek a paralelepipedonnak a méréseinek felépítése szerint: A x B x , A y B y és A z B z

A geometria tantárgyból tudjuk, hogy egy paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a méretei négyzeteinek összegével. Ezen állítás alapján megkapjuk az egyenlőséget: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

A korábban levont következtetéseket felhasználva a következőket írjuk:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Alakítsuk át a kifejezést:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Végső képlet a térben lévő pontok távolságának meghatározásáraígy fog kinézni:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Az eredményül kapott képlet akkor is érvényes, ha:

A pontok egybeesnek;

Egyen fekve koordináta tengely vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyenes.

Példák a pontok közötti távolság megállapításával kapcsolatos feladatok megoldására

1. példa

Kiindulási adatok: adott A (1 - 2) és B (11 + 2) koordinátákkal egy koordináta egyenes és a rajta fekvő pontok. Meg kell találni az O kezdőpont és az A pont, valamint az A és B pontok közötti távolságot.

Megoldás

A referenciapont és a pont távolsága megegyezik a pont koordinátájának modulusával, illetve O A = 1 - 2 = 2 - 1
Az A és B pontok közötti távolságot a pontok koordinátái közötti különbség modulusaként határozzuk meg: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Válasz: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2. példa

Kiindulási adatok: egy derékszögű koordinátarendszer és két azon fekvő A (1, - 1) és B (λ + 1, 3) pont adott. λ egy valós szám. Meg kell találni ennek a számnak az összes értékét, amelynél az A B távolság 5 lesz.

Megoldás

Az A és B pontok közötti távolság meghatározásához az A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 képletet kell használni.

Helyettesítés valódi értékeket koordinátákat kapunk: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Használjuk azt a meglévő feltételt is, hogy A B = 5 és akkor lesz igazi egyenlőség:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Válasz: A B = 5, ha λ = ± 3.

3. példa

Kiinduló adatok: megadva háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerben O x y z és a benne fekvő A (1, 2, 3) és B - 7, - 2, 4 pontok.

Megoldás

A feladat megoldásához az A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 képletet használjuk

A valós értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Válasz: | A B | = 9

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete