Oktatási portál az egységes államvizsgára való felkészüléshez. Önfelkészülés a matematika vizsgára

FGKOU "MKK" Panzió az Orosz Föderáció Védelmi Minisztériumának tanulói számára

"JÓVÁHAGYOTT"

Külön tudományág vezetője

(matematika, számítástechnika és IKT)

Yu V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« A trapéz és tulajdonságai»

Módszertani fejlesztés

matematika tanár

Shatalina Elena Dmitrievna

Áttekintette és

a PMO _______________-i ülésén

______ számú jegyzőkönyv

Moszkva

2015

Tartalomjegyzék

Bevezetés 2

Meghatározások 3

Tulajdonságok egyenlő szárú trapéz 4

Beírt és körülírt körök 7

A beírt és körülírt trapézok tulajdonságai 8

Átlagértékek a 12-es trapézben

Egy tetszőleges trapéz tulajdonságai 15

A trapéz jelei 18

További konstrukciók a 20-as trapézban

Trapéz terület 25

10. Következtetés

Felhasznált irodalom jegyzéke

Alkalmazás

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka 27

Önálló munkához szükséges feladatok

Problémák a megnövekedett összetettségű „Trapéz” témában

Szűrőteszt a „Trapéz” témában

Bevezetés

Ezt a munkát trapéznak nevezett geometriai alakzatnak szentelték. „Közönséges figura” – mondod, de nem így van. Rengeteg titkot és rejtélyt rejt magában, ha közelebbről megvizsgálja, sok új dolgot fog felfedezni a geometria világában, amelyek egyszerűnek tűnnek.

Trapéz - a görög trapéz szó - „asztal”. Hitelfelvétel a 18. században a lat. nyelv, ahol a trapéz a görög. Ez egy négyszög kettővel ellentétes oldalak párhuzamos. A trapézzel először az ókori görög tudós, Posidonius találkozott (Kr. e. 2. század). Sok minden van az életünkben különböző figurák. 7. osztályban közelebbről megismerkedtünk a háromszöggel, 8. osztályban iskolai tananyag elkezdtük a trapéz tanulmányozását. Ez az alak érdekelt bennünket, és a tankönyvben megengedhetetlenül keveset írnak róla. Ezért úgy döntöttünk, hogy kezünkbe vesszük ezt az ügyet, és információkat keresünk a trapézról. tulajdonságait.

A munka a tankönyv anyagából a tanulók számára ismert tulajdonságokat vizsgálja, de ben nagyobb mértékben ismeretlen tulajdonságok, amelyek megoldásához szükséges összetett feladatok. Hogyan több mennyiséget megoldandó feladatok, témák további kérdéseket megoldásuk során merül fel. A válasz ezekre a kérdésekre olykor rejtélynek tűnik, ha megismerjük a trapéz új tulajdonságait, a szokatlan problémamegoldási módszereket, valamint a további konstrukciók technikáját, fokozatosan felfedezzük a trapéz titkait. Az interneten, ha beírja egy keresőbe, nagyon kevés irodalom található a „trapéz” témájú problémák megoldásának módszereiről. A projekten való munka során nagy mennyiségű információt találtak, amelyek segítenek a diákoknak a geometria alapos tanulmányozásában.

Trapéz alakú.

Meghatározások

Trapéz alakú – olyan négyszög, amelyben csak az egyik oldalpár párhuzamos (a másik oldalpár pedig nem párhuzamos).

A trapéz párhuzamos oldalait ún okokból. .
A másik kettő az oldal Ha az oldalak egyenlőek, akkor trapéznek nevezzük

egyenlő szárú Olyan trapéznek nevezzük, amelynek oldalai derékszögűek

négyszögletesAz oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt ún.

trapéz középvonala

2 Az alapok közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.

3. Az egyenlő szárú trapéz tulajdonságai

4

1
. Egy egyenlő szárú trapéz átlói egyenlőek.

0. Egy egyenlő szárú trapéz oldalsó oldalának vetítése a nagyobb alapra egyenlő az alapok különbségének felével, az átló vetülete pedig az alapok összegével.

3. Beírt és körülírt kör

Ha egy trapéz alapjainak összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele.
E

Ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható le körülötte.

4. A beírt és körülírt trapézok tulajdonságai

2.Ha egy egyenlő szárú trapézba kör írható, akkor az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével. Ezért az oldal hossza megegyezik a hosszával középvonal

4 . trapéz alakúak.

Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középpontjából kiinduló oldalak 90°-os szögben láthatók. Ha egy kör trapézba van írva és érinti az egyik oldalát, akkor szakaszokra osztja m , és n

1

0 akkor a beírt kör sugara megegyezik e szakaszok geometriai átlagával. . Ha a trapéz kisebbik alapjára átmérőként egy kört építünk, akkor áthalad az átlók felezőpontjain és érinti alsó alap

, akkor a trapéz szögei 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Átlagértékek trapézban

Geometriai átlag Bármilyen trapézban, talpakkal a És b Mert > ab :

az egyenlőtlenség igaz

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

1
6. Tetszőleges trapéz tulajdonságai

2. A trapéz egyik oldalsó oldalával szomszédos szögfelezők merőlegesek, és a trapéz középvonalán fekvő pontban metszik egymást, azaz amikor metszik, a derékszögű háromszög oldalával egyenlő hypotenusával.

3. A trapéz alapjaival párhuzamos, a trapéz oldaloldalait és átlóit metsző egyenes szakaszai, amelyek az oldalsó oldal és az átló közé záródnak, egyenlőek.

Egy tetszőleges trapéz oldalainak meghosszabbításának metszéspontja, átlóinak metszéspontja és az alapok felezőpontja ugyanazon az egyenesen található.

5. Ha egy tetszőleges trapéz átlói metszik egymást, négy közös csúcsú háromszög keletkezik, és az alapokkal szomszédos háromszögek hasonlóak, az oldalakkal szomszédos háromszögek pedig egyenlő méretűek (azaz egyenlő területűek).

6. Egy tetszőleges trapéz átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldaloldalak négyzeteinek összegével dupla termék okokból.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. IN téglalap alakú trapéz az átlók négyzeteinek különbsége megegyezik az alapok négyzeteinek különbségével d 1 2 - d 2 2 = Bármilyen trapézban, talpakkal 2 – És 2

8 . A szög oldalait metsző egyenesek arányos szegmenseket vágnak le a szög oldalairól.

9. szegmens, párhuzamos az alapokkalés az átlók metszéspontján áthaladva ez utóbbival kettéosztjuk.

7. A trapéz jelei

8. További konstrukciók trapézban

1. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakasz a trapéz középvonala.

2
. A trapéz egyik oldalsó oldalával párhuzamos szakasz, amelynek egyik vége egybeesik a másik oldaloldal közepével, a másik az alapot tartalmazó egyeneshez tartozik.

3
. Ha egy trapéz minden oldala adott, akkor a kisebbik alap csúcsán keresztül az oldallal párhuzamos egyenest húzzuk. Az eredmény egy háromszög, amelynek oldalai megegyeznek a trapéz oldalsó oldalaival és az alapok különbségével. A Heron-képlet segítségével keresse meg a háromszög területét, majd a háromszög magasságát, amely megegyezik a trapéz magasságával.

4

. Az egyenlő szárú trapéz magassága, amelyet a kisebbik alap csúcsából húzunk, a nagyobb alapot szakaszokra osztja, amelyek közül az egyik egyenlő az alapok különbségének felével, a másik pedig a trapéz alapjainak összegének felével, azaz a trapéz középvonala.

5. Az egyik alap csúcsaiból lesüllyesztett trapéz magasságait a másik alapot tartalmazó egyenesen, az első alappal megegyező szakaszon vágjuk ki.

6
. A trapéz egyik átlójával párhuzamos szakaszt egy csúcson keresztül húzunk - egy ponton, amely a másik átló vége. Az eredmény egy háromszög, amelynek két oldala megegyezik a trapéz átlóival, és a harmadik - összeggel egyenlő okokból

7
.Az átlók felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő a trapéz alapjai közötti különbség felével.

8. A trapéz egyik oldalsó oldalával szomszédos szögfelezők merőlegesek, és a trapéz középvonalán fekvő pontban metszik egymást, azaz metszésükkor derékszögű háromszög keletkezik, amelynek befogója megegyezik az oldalirányúval oldal.

9. A trapézszög felezője levág egy egyenlő szárú háromszöget.

1
0. Egy tetszőleges trapéz átlói metszéskor kettőt alkotnak háromszöghöz hasonló hasonlósági együtthatóval, egyenlő az aránnyal alapok, és két egyenlő háromszög az oldalakkal szomszédos.

1
1. Egy tetszőleges trapéz átlói metszés közben két hasonló háromszöget alkotnak, amelyek hasonlósági együtthatója megegyezik az alapok arányával, és két egyenlő háromszöget az oldalsó oldalakkal szomszédos.

1
2. A trapéz oldalainak a metszéspontig való folytatása lehetővé teszi hasonló háromszögek figyelembevételét.

13. Ha egy egyenlő szárú trapézba egy kör van beírva, akkor számítsa ki a trapéz magasságát - a trapéz alapjainak szorzatának geometriai átlagát vagy annak az oldalsó oldalnak a szegmenseinek a geometriai átlagának kétszeresét az érintési ponttal van osztva.

9. Trapéz területe

1 . A trapéz területe egyenlő az alapok és a magasság felének szorzatával S = ½( Mert + a) h vagy

P

A trapéz területe egyenlő a trapéz középvonalának és magasságának szorzatával S = Ha egy kör trapézba van írva és érinti az egyik oldalát, akkor szakaszokra osztja h .

2. A trapéz területe egyenlő a másik oldal közepétől az első oldalt tartalmazó egyenesre húzott oldal és a merőleges szorzatával.

Egy egyenlő szárú trapéz területe, amelynek kör sugara egyenlő rés szög az alapnálα :

10. Következtetés

HOL, HOGYAN ÉS MIRE ALKALMAZHATÓ A TRAPÉZ?

Trapéz a sportban: A trapéz minden bizonnyal az emberiség progresszív találmánya. Úgy tervezték, hogy tehermentesítse a kezünket, és kényelmes és könnyű pihenést biztosítson a szörfözésnek. A rövid deszkán való járásnak nincs értelme trapéz nélkül, mivel e nélkül lehetetlen a tapadást helyesen elosztani a lépés és a lábak között, és hatékonyan felgyorsulni.

Trapéz a divatban: A ruházati trapéz már a középkorban, a 9-11. század román korában volt népszerű. Akkoriban a női ruházat alapját a földig érő tunikák képezték, a tunika erősen kitágult, ami trapéz hatást keltett. A sziluett újjáéledése 1961-ben történt, és a fiatalság, a függetlenség és a kifinomultság himnuszává vált. A trapéz népszerűsítésében óriási szerepet játszott a törékeny modell, Leslie Hornby, Twiggy néven. Egy alacsony, anorexiás testalkatú, hatalmas szemű lány a kor szimbólumává vált, kedvenc öltözékei pedig rövid ruhák trapéz alakúak.

Trapéz a természetben: A trapéz a természetben is megtalálható. Az embereknek trapéz izomzata van, és néhány embernek trapéz alakú az arca. A virágszirmok, a csillagképek és természetesen a Kilimandzsáró-hegy is trapéz alakú.

Trapéz a mindennapi életben: A trapéz a mindennapi életben is használatos, mert praktikus a formája. Olyan tárgyakban található meg, mint: kotró vödör, asztal, csavar, gép.

A trapéz az inka építészet szimbóluma. Az inka építészet domináns stílusformája egyszerű, de kecses – a trapéz. Neki nem csak funkcionális érték, hanem szigorúan korlátozott művészi tervezés is. Trapéz alakú ajtónyílások, ablakok és falfülkék minden típusú épületben megtalálhatók, mind a templomokban, mind a durvább szerkezetű kisebb épületekben. A trapéz is megtalálható benne modern építészet. Az épületek ilyen formája szokatlan, ezért az ilyen épületek mindig vonzzák a járókelők tekintetét.

Trapéz a technológiában: A trapézt az alkatrészek tervezésénél használják űrtechnológiákés a repülésben. Például néhány napelemek űrállomások trapéz alakúak, mert van nagy terület, ami azt jelenti, hogy több napenergiát halmoznak fel

A 21. században az emberek gyakorlatilag már nem gondolnak a jelentésre geometriai formák az életükben. Egyáltalán nem érdekli őket, milyen formájú az asztaluk, a szemüvegük vagy a telefonjuk. Egyszerűen a praktikus formát választják. De a tárgy felhasználása, célja és a munka eredménye függhet ennek vagy annak a dolognak a formájától. Ma bemutattuk Önnek az egyiket legnagyobb eredményeket az emberiség – trapézzel. Kinyitottuk előtted az ajtót csodálatos világábrákat, elmesélte a trapéz titkait, és megmutatta, hogy a geometria körülöttünk van.

Felhasznált irodalom jegyzéke

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Matematika elmélet és problémák. 1. könyv oktatóanyag pályázóknak M.1998 MPEI Könyvkiadó.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Felsőoktatási Kar egyetem előtti képzés. Matematika. Oktatási és módszertani kézikönyv 4. rész M2004

Gordin R.K. Planimetria. Probléma könyv.

Ivanov A.A. Ivanov A.P., Matematika: Útmutató az egységes államvizsgára való felkészüléshez és az egyetemi felvételihez - M: MIPT Kiadó, 2003-288p. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma, szövetségi állami költségvetés oktatási intézmény kiegészítő oktatás a ZFTSH Moszkva gyermekei Fizikai és Technológiai Intézet (állami egyetem)". Matematika. Planimetria. A 10. évfolyamok 2. számú feladatai (2012-2013 tanév).

Pigolkina T.S., Planimetry (1. rész). M., orosz kiadó nyílt egyetem 1992.

Sharygin I.F. Válogatott geometriai feladatok az egyetemi versenyvizsgákhoz (1987-1990) Lvov Magazin „Quantor” 1991.

Enciklopédia "Avanta Plus", Mathematics M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Alkalmazás

1. A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítása.

1. A trapéz alapjaival párhuzamos átlóinak metszéspontján áthaladó egyenes vonal metszi a trapéz oldalsó oldalait a pontokbanK És L . Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz alapjai egyenlőek A a És , Azt szegmens hossza KL egyenlő a trapéz alapjainak geometriai átlagával. Bizonyíték

HaddKÖRÜLBELÜL - az átlók metszéspontja,HIRDETÉS = a, nap = És . Közvetlen KL párhuzamos az alappalHIRDETÉS , tehát,K KÖRÜLBELÜL║ HIRDETÉS , háromszögekIN K KÖRÜLBELÜL ÉsROSSZ hasonlóak tehát

(1)

(2)

Helyettesítsük (2)-et (1)-be, megkapjuk KO =

Hasonlóképpen L.O.= Akkor K L = K.O. + L.O. =

IN Bármely trapéz esetében az alapok felezőpontja, az átlók metszéspontja és az oldalsó oldalak folytatásának metszéspontja ugyanazon az egyenesen fekszik.

Bizonyítás: Az oldalak meghosszabbításai a pontban metsszék egymástTO. A ponton keresztülTO és időszakKÖRÜLBELÜL átlós kereszteződésekhúzzunk egy egyenest CO.

K

Bizonyítsuk be, hogy ez az egyenes kettéosztja az alapokat.

KÖRÜLBELÜL jelentősVM = x, MS = y, AN = És, ND = v . Nálunk:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

A trapéz egy konvex négyszög, amelyben az egyik szemközti oldalpár párhuzamos egymással, a másik pedig nem.

A trapéz definíciója és a paralelogramma jellemzői alapján párhuzamos oldalak A trapézok nem lehetnek egyenlőek egymással. Ellenkező esetben a másik oldalpár is párhuzamos és egyenlő barát egy barátnak. Ebben az esetben paralelogrammával lenne dolgunk.

A trapéz párhuzamos szemközti oldalait ún okokból. Vagyis a trapéznek két alapja van. A trapéz nem párhuzamos ellentétes oldalait nevezzük oldalain.

Attól függően, hogy melyik oldalsó oldalt, milyen szöget zárnak be az alapokkal, megkülönböztetik őket különféle típusok trapéz alakú. Leggyakrabban a trapézokat egyenlőtlen (egyoldalú), egyenlő szárú (egyenlő oldalú) és téglalap alakúra osztják.

U ferde trapézok az oldalak nem egyenlőek egymással. Sőt, nagy alapnál mindkettő csak hegyesszöget képezhet, vagy az egyik szög tompa, a másik hegyes szög. Az első esetben a trapéz ún hegyesszögű, a másodikban - tompa.

U egyenlő szárú trapézok az oldalak egyenlőek egymással. Ráadásul nagy alappal csak hegyesszögeket tudnak kialakítani, pl. Minden egyenlőszárú trapéz hegyesszögű. Ezért nincsenek hegyesszögűre és tompaszögűre osztva.

U téglalap alakú trapézok egy oldal merőleges az alapokra. A második oldal nem lehet rájuk merőleges, mert ebben az esetben téglalappal lenne dolgunk. A téglalap alakú trapézoknál a nem merőleges oldal mindig hegyesszöget zár be a nagyobb alappal. Egy merőleges oldal merőleges mindkét alapra, mert az alapok párhuzamosak.

Ebben a cikkben megpróbáljuk a lehető legteljesebb mértékben tükrözni a trapéz tulajdonságait. Különösen arról fogunk beszélni általános jelekés a trapéz tulajdonságairól, valamint a beírt trapéz és a trapézba írt kör tulajdonságairól. Kitérünk az egyenlő szárú és a téglalap alakú trapéz tulajdonságaira is.

Egy probléma megoldásának példája a tárgyalt tulajdonságok segítségével segít a fejedben lévő helyekre rendezni, és jobban megjegyezni az anyagot.

Trapéz és minden-minden

Először röviden idézzük fel, mi a trapéz, és milyen egyéb fogalmak kapcsolódnak hozzá.

Tehát a trapéz egy négyszög alakú alakzat, amelynek két oldala párhuzamos egymással (ezek az alapok). És a kettő nem párhuzamos – ezek az oldalak.

A trapézban a magasság csökkenthető - az alapokra merőlegesen. A középvonal és az átlók megrajzolódnak. Lehetőség van a trapéz bármely szögéből is felezőt rajzolni.

Körülbelül különféle tulajdonságok, amely mindezen elemekkel és azok kombinációival társul, most beszélni fogunk.

A trapézátlók tulajdonságai

Az áttekinthetőség érdekében olvasás közben vázolja fel az ACME trapézt egy papírra, és rajzoljon bele átlókat.

1. Ha megtalálja az egyes átlók felezőpontját (nevezzük ezeket a pontokat X-nek és T-nek), és összekapcsolja őket, akkor kap egy szakaszt. A trapéz átlóinak egyik tulajdonsága, hogy a HT szakasz a középvonalon fekszik. És a hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy az alapok különbségét elosztjuk kettővel: ХТ = (a – b)/2.
2. Előttünk ugyanaz a trapéz ACME. Az átlók az O pontban metszik egymást. Nézzük meg az AOE és MOK háromszögeket, amelyeket az átlók szakaszai alkotnak a trapéz alapjaival együtt. Ezek a háromszögek hasonlóak. A háromszögek k hasonlósági együtthatóját a trapéz alapjainak arányával fejezzük ki: k = AE/KM.
   Az AOE és MOK háromszögek területének arányát a k 2 együttható írja le.
3. Ugyanaz a trapéz, ugyanazok az átlók metszik egymást az O pontban. Ezúttal csak azokat a háromszögeket vesszük figyelembe, amelyeket az átlók szakaszai a trapéz oldalaival együtt alkottak. Az AKO és az EMO háromszögek területei egyenlő méretűek - területeik azonosak.
4. A trapéz másik tulajdonsága átlók felépítése. Tehát, ha az AK és ME oldalát a kisebb bázis irányába folytatod, akkor előbb-utóbb egy bizonyos ponton metszik egymást. Ezután húzzon egy egyenes vonalat a trapéz alapjainak közepén. Az X és T pontokban metszi az alapokat.
   Ha most meghosszabbítjuk az XT egyenest, akkor az O trapéz átlóinak metszéspontját fogja összekötni, azt a pontot, ahol az X és T alapok oldalainak meghosszabbításai és közepe metszik egymást.
5. Az átlók metszéspontján keresztül rajzolunk egy szakaszt, amely összeköti a trapéz alapjait (T a kisebb KM alapon, X a nagyobb AE-n található). Az átlók metszéspontja ezt a szakaszt a következő arányban osztja fel: TO/OX = KM/AE.
6. Most az átlók metszéspontján keresztül a trapéz alapjaival (a és b) párhuzamos szakaszt rajzolunk. A metszéspont két egyenlő részre osztja. A szegmens hosszát a képlet segítségével találhatja meg 2ab/(a + b).

A trapéz középvonalának tulajdonságai

Húzzuk meg a trapéz középvonalát az alapjaival párhuzamosan.

1. A trapéz középvonalának hosszát úgy számíthatjuk ki, hogy összeadjuk az alapok hosszát és elosztjuk őket felére: m = (a + b)/2.
2. Ha bármely szakaszt (például magasságot) a trapéz mindkét alapján áthúz, a középső vonal azt két egyenlő részre osztja.

Trapézfelező tulajdonság

Jelölje ki a trapéz bármely sarkát, és rajzoljon egy felezőt. Vegyük például az ACME trapézunk KAE szögét. Miután saját maga végezte el az építkezést, könnyen ellenőrizheti, hogy a felező levágja-e az alapból (vagy magán az ábrán kívüli egyenes vonalon történő folytatásából) az oldallal azonos hosszúságú szakaszt.

A trapézszögek tulajdonságai

1. Bármelyik oldallal szomszédos két szögpár közül melyiket választja, a pár szögeinek összege mindig 180 0: α + β = 180 0 és γ + δ = 180 0.
2. Kössük össze a trapéz alapjainak felezőpontjait egy TX szakasszal. Most nézzük meg a szögeket a trapéz alapjainál. Ha bármelyik szögösszege 90 0, akkor a TX szakasz hossza könnyen kiszámítható az alapok hosszának különbsége alapján, felezve: TX = (AE – KM)/2.
3. Ha párhuzamos egyeneseket húzunk egy trapézszög oldalain, akkor a szög oldalait arányos szegmensekre osztják.

Egyenlőszárú (egyenlő oldalú) trapéz tulajdonságai

1. Egy egyenlő szárú trapézban a szögek bármely alapnál egyenlőek.
2. Most készítsen újra egy trapézt, hogy könnyebb legyen elképzelni, miről beszélünk. Óvatosan nézze meg az AE bázist - a szemközti M bázis csúcsa az AE-t tartalmazó egyenes egy bizonyos pontjára vetül. Az A csúcs és az M csúcs vetületi pontja és egy egyenlő szárú trapéz középvonala egyenlő.
3. Néhány szó az egyenlő szárú trapéz átlóinak tulajdonságairól - a hosszúságuk egyenlő. És ezeknek az átlóknak a trapéz alapjához viszonyított dőlésszöge is azonos.
4. Csak egy egyenlő szárú trapéz körül írható le a kör, mivel a négyszög ellentétes szögeinek összege 180 0 - előfeltétel erre.
5. Az egyenlő szárú trapéz tulajdonsága az előző bekezdésből következik - ha a trapéz közelében leírható egy kör, akkor az egyenlő szárú.
6. Az egyenlő szárú trapéz jellemzőiből következik a trapéz magasságának tulajdonsága: ha átlói derékszögben metszik egymást, akkor a magasság hossza egyenlő az alapok összegének felével: h = (a + b)/2.
7. Ismét rajzolja meg a TX szakaszt a trapéz alapjainak felezőpontjain keresztül - egyenlő szárú trapéz esetén merőleges az alapokra. És ugyanakkor TX egy egyenlő szárú trapéz szimmetriatengelye.
8. Ezúttal csökkentse a magasságot a trapéz ellentétes csúcsától a nagyobb alapra (nevezzük a). Két szegmenst kapsz. Az egyik hosszát akkor kapjuk meg, ha az alapok hosszát összeadjuk és kettéosztjuk: (a + b)/2. A másodikat akkor kapjuk, ha a nagyobb bázisból kivonjuk a kisebbet, és a kapott különbséget elosztjuk kettővel: (a – b)/2.

A körbe írt trapéz tulajdonságai

Mivel már egy körbe írt trapézról beszélünk, térjünk át erre a kérdésre részletesebben. Különösen azon, ahol a kör középpontja a trapézhoz képest van. Itt is ajánlatos időt szánni ceruzát előkapni, és lerajzolni az alábbiakban tárgyalandókat. Így gyorsabban fog érteni és jobban emlékezni fog.

1. A kör középpontjának helyét a trapéz átlójának oldalához képesti dőlésszöge határozza meg. Például egy átló nyúlhat ki a trapéz tetejétől merőlegesen oldalra. Ebben az esetben a nagyobb alap pontosan középen metszi a körülírt kör középpontját (R = ½AE).
2. Az átló és az oldal is találkozhat alatta hegyesszög– akkor a kör középpontja a trapéz belsejében van.
3. A körülírt kör középpontja lehet a trapézon kívül, nagyobb alapján túl, ha a trapéz átlója és az oldala között tompaszög van.
4. Az ACME trapéz átlója és nagyobb alapja által alkotott szög (beírt szög) fele akkora központi szög, ami ennek felel meg: MAE = ½ MOE.
5. Röviden a körülírt kör sugarának meghatározásának két módjáról. Első módszer: nézze meg alaposan a rajzát – mit lát? Könnyen észreveheti, hogy az átló két háromszögre osztja a trapézt. A sugarat a háromszög oldalának a szinuszhoz viszonyított arányán keresztül találhatjuk meg ellentétes szög, szorozva kettővel. Például, R = AE/2*sinAME. A képlet hasonló módon írható fel mindkét háromszög bármelyik oldalára.
6. Második módszer: keresse meg a körülírt kör sugarát a háromszög területén keresztül, amelyet a trapéz átlója, oldala és alapja alkot: R = AM*ME*AE/4*S AME.

A kör körül körülírt trapéz tulajdonságai

Egy kört a trapézba illeszthet, ha egy feltétel teljesül. Olvasson róla bővebben alább. És együtt ez a figurák kombinációja számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik.

1. Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középvonalának hosszát könnyen meg tudjuk állapítani, ha összeadjuk az oldalak hosszát, és a kapott összeget felezzük: m = (c + d)/2.
2. Egy körre körülírt ACME trapéz esetén az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével: AK + ME = KM + AE.
3. A trapéz alapjainak ebből a tulajdonságából a fordított állítás következik: olyan trapézbe írható kör, amelynek alapjainak összege egyenlő az oldalainak összegével.
4. A trapézba írt r sugarú kör érintőpontja két szakaszra osztja az oldalt, nevezzük ezeket a-nak és b-nek. A kör sugara a következő képlettel számítható ki: r = √ab.
5. És még egy ingatlan. A félreértések elkerülése érdekében rajzolja ezt a példát maga is. Megvan a jó öreg ACME trapéz, egy körben leírva. Olyan átlókat tartalmaz, amelyek az O pontban metszik egymást. Az AOK és EOM háromszögek, amelyeket az átlók szakaszai és az oldalsó oldalak alkotnak, téglalap alakúak.
   Ezeknek a háromszögeknek a magassága a hipotenusokhoz (azaz a trapéz oldalsó oldalaihoz) süllyesztve egybeesik a beírt kör sugaraival. És a trapéz magassága egybeesik a beírt kör átmérőjével.

A téglalap alakú trapéz tulajdonságai

A trapézt négyszögletesnek nevezzük, ha az egyik szöge derékszögű. És tulajdonságai ebből a körülményből fakadnak.

1. A téglalap alakú trapéz egyik oldala merőleges az alapjára.
2. A trapéz magassága és oldalsó oldala szomszédos derékszög, egyenlők. Ez lehetővé teszi egy téglalap alakú trapéz területének kiszámítását ( általános képlet S = (a + b) * h/2) nemcsak a magasságon, hanem a derékszöggel szomszédos oldalon keresztül is.
3. Egy téglalap alakú trapéz esetében a trapéz átlóinak fentebb már ismertetett általános tulajdonságai relevánsak.

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka

Szögek egyenlősége egy egyenlő szárú trapéz alapjában:

• Valószínűleg már sejtette, hogy itt ismét szükségünk lesz az AKME trapézre - rajzoljon egy egyenlő szárú trapézt. Rajzolj egy MT egyenest az M csúcsból, párhuzamosan az AK oldalával (MT || AK).

Az eredményül kapott AKMT négyszög egy paralelogramma (AK || MT, KM || AT). Mivel ME = KA = MT, ∆ MTE egyenlő szárú és MET = MTE.

AK || MT, ezért MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Hol van AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Most egy egyenlő szárú trapéz tulajdonsága (átlók egyenlősége) alapján bebizonyítjuk, hogy Az ACME trapéz egyenlő szárú:

• Először húzzunk egy egyenest MX – MX || KE. Kapunk egy KMHE paralelogrammát (bázis – MX || KE és KM || EX).

∆AMX egyenlő szárú, mivel AM = KE = MX és MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, ezért MAE = MHE.

Kiderült, hogy az AKE és az EMA háromszögek egyenlőek egymással, mert AM = KE és AE – közös oldal két háromszög. És még MAE = MXE. Megállapíthatjuk, hogy AK = ME, és ebből az következik, hogy az AKME trapéz egyenlő szárú.

Feladat áttekintése

Az ACME trapéz alapjai 9 cm és 21 cm, a KA oldaloldal 8 cm-nek megfelelő 150 0 -os szöget zár be a kisebb alappal. Meg kell találnia a trapéz területét.

Megoldás: A K csúcsról leengedjük a magasságot a trapéz nagyobbik alapjára. És kezdjük el nézni a trapéz szögeit.

Az AEM és KAN szögek egyoldalúak. Ez azt jelenti, hogy összesen 180 0-t adnak. Ezért KAN = 30 0 (a trapézszögek tulajdonsága alapján).

Nézzük most a téglalap alakú ∆ANC-t (úgy gondolom, hogy ez a pont nyilvánvaló az olvasók számára további bizonyítékok nélkül). Ebből megtaláljuk a KH trapéz magasságát - egy háromszögben az a láb, amely a 30 0 szöggel szemben helyezkedik el. Ezért KH = ½AB = 4 cm.

A trapéz területét a következő képlettel határozzuk meg: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Utószó

Ha alaposan és átgondoltan tanulmányozta ezt a cikket, nem volt túl lusta ahhoz, hogy ceruzával a kezében trapézokat rajzoljon az összes adott tulajdonságra, és elemezze azokat a gyakorlatban, akkor jól el kellett volna sajátítania az anyagot.

Természetesen rengeteg információ található itt, változatos és néha zavaró is: nem olyan nehéz összetéveszteni a leírt trapéz tulajdonságait a feliratos tulajdonságaival. De maga is látta, hogy óriási a különbség.

Most mindenről van egy részletes összefoglalója általános tulajdonságok trapéz alakúak. Valamint az egyenlő szárú és téglalap alakú trapézok sajátos tulajdonságait és jellemzőit. Nagyon kényelmesen használható tesztekre és vizsgákra való felkészüléshez. Próbáld ki te is, és oszd meg a linket ismerőseiddel!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a cikkben megpróbáljuk a lehető legteljesebb mértékben tükrözni a trapéz tulajdonságait. Különösen a trapéz általános jellemzőiről és tulajdonságairól, valamint a beírt trapéz és a trapézba írt kör tulajdonságairól lesz szó. Kitérünk az egyenlő szárú és a téglalap alakú trapéz tulajdonságaira is.

Egy probléma megoldásának példája a tárgyalt tulajdonságok segítségével segít a fejedben lévő helyekre rendezni, és jobban megjegyezni az anyagot.

Trapéz és minden-minden

Először röviden idézzük fel, mi a trapéz, és milyen egyéb fogalmak kapcsolódnak hozzá.

Tehát a trapéz egy négyszög alakú alakzat, amelynek két oldala párhuzamos egymással (ezek az alapok). És a kettő nem párhuzamos – ezek az oldalak.

A trapézban a magasság csökkenthető - az alapokra merőlegesen. A középvonal és az átlók megrajzolódnak. Lehetőség van a trapéz bármely szögéből is felezőt rajzolni.

Most az összes elemhez kapcsolódó különféle tulajdonságokról és azok kombinációiról fogunk beszélni.

A trapézátlók tulajdonságai

Az áttekinthetőség érdekében olvasás közben vázolja fel az ACME trapézt egy papírra, és rajzoljon bele átlókat.

1. Ha megtalálja az egyes átlók felezőpontját (nevezzük ezeket a pontokat X-nek és T-nek), és összekapcsolja őket, akkor kap egy szakaszt. A trapéz átlóinak egyik tulajdonsága, hogy a HT szakasz a középvonalon fekszik. És a hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy az alapok különbségét elosztjuk kettővel: ХТ = (a – b)/2.
2. Előttünk ugyanaz a trapéz ACME. Az átlók az O pontban metszik egymást. Nézzük meg az AOE és MOK háromszögeket, amelyeket az átlók szakaszai alkotnak a trapéz alapjaival együtt. Ezek a háromszögek hasonlóak. A háromszögek k hasonlósági együtthatóját a trapéz alapjainak arányával fejezzük ki: k = AE/KM.
   Az AOE és MOK háromszögek területének arányát a k 2 együttható írja le.
3. Ugyanaz a trapéz, ugyanazok az átlók metszik egymást az O pontban. Ezúttal csak azokat a háromszögeket vesszük figyelembe, amelyeket az átlók szakaszai a trapéz oldalaival együtt alkottak. Az AKO és az EMO háromszögek területei egyenlő méretűek - területeik azonosak.
4. A trapéz másik tulajdonsága átlók felépítése. Tehát, ha az AK és ME oldalát a kisebb bázis irányába folytatod, akkor előbb-utóbb egy bizonyos ponton metszik egymást. Ezután húzzon egy egyenes vonalat a trapéz alapjainak közepén. Az X és T pontokban metszi az alapokat.
   Ha most meghosszabbítjuk az XT egyenest, akkor az O trapéz átlóinak metszéspontját fogja összekötni, azt a pontot, ahol az X és T alapok oldalainak meghosszabbításai és közepe metszik egymást.
5. Az átlók metszéspontján keresztül rajzolunk egy szakaszt, amely összeköti a trapéz alapjait (T a kisebb KM alapon, X a nagyobb AE-n található). Az átlók metszéspontja ezt a szakaszt a következő arányban osztja fel: TO/OX = KM/AE.
6. Most az átlók metszéspontján keresztül a trapéz alapjaival (a és b) párhuzamos szakaszt rajzolunk. A metszéspont két egyenlő részre osztja. A szegmens hosszát a képlet segítségével találhatja meg 2ab/(a + b).

A trapéz középvonalának tulajdonságai

Húzzuk meg a trapéz középvonalát az alapjaival párhuzamosan.

1. A trapéz középvonalának hosszát úgy számíthatjuk ki, hogy összeadjuk az alapok hosszát és elosztjuk őket felére: m = (a + b)/2.
2. Ha bármely szakaszt (például magasságot) a trapéz mindkét alapján áthúz, a középső vonal azt két egyenlő részre osztja.

Trapézfelező tulajdonság

Jelölje ki a trapéz bármely sarkát, és rajzoljon egy felezőt. Vegyük például az ACME trapézunk KAE szögét. Miután saját maga végezte el az építkezést, könnyen ellenőrizheti, hogy a felező levágja-e az alapból (vagy magán az ábrán kívüli egyenes vonalon történő folytatásából) az oldallal azonos hosszúságú szakaszt.

A trapézszögek tulajdonságai

1. Bármelyik oldallal szomszédos két szögpár közül melyiket választja, a pár szögeinek összege mindig 180 0: α + β = 180 0 és γ + δ = 180 0.
2. Kössük össze a trapéz alapjainak felezőpontjait egy TX szakasszal. Most nézzük meg a szögeket a trapéz alapjainál. Ha bármelyik szögösszege 90 0, akkor a TX szakasz hossza könnyen kiszámítható az alapok hosszának különbsége alapján, felezve: TX = (AE – KM)/2.
3. Ha párhuzamos egyeneseket húzunk egy trapézszög oldalain, akkor a szög oldalait arányos szegmensekre osztják.

Egyenlőszárú (egyenlő oldalú) trapéz tulajdonságai

1. Egy egyenlő szárú trapézban a szögek bármely alapnál egyenlőek.
2. Most készítsen újra egy trapézt, hogy könnyebb legyen elképzelni, miről beszélünk. Óvatosan nézze meg az AE bázist - a szemközti M bázis csúcsa az AE-t tartalmazó egyenes egy bizonyos pontjára vetül. Az A csúcs és az M csúcs vetületi pontja és egy egyenlő szárú trapéz középvonala egyenlő.
3. Néhány szó az egyenlő szárú trapéz átlóinak tulajdonságairól - a hosszúságuk egyenlő. És ezeknek az átlóknak a trapéz alapjához viszonyított dőlésszöge is azonos.
4. Csak egy egyenlő szárú trapéz körül írható le a kör, mivel egy négyszög ellentétes szögeinek összege 180 0 - ennek előfeltétele.
5. Az egyenlő szárú trapéz tulajdonsága az előző bekezdésből következik - ha a trapéz közelében leírható egy kör, akkor az egyenlő szárú.
6. Az egyenlő szárú trapéz jellemzőiből következik a trapéz magasságának tulajdonsága: ha átlói derékszögben metszik egymást, akkor a magasság hossza egyenlő az alapok összegének felével: h = (a + b)/2.
7. Ismét rajzolja meg a TX szakaszt a trapéz alapjainak felezőpontjain keresztül - egyenlő szárú trapéz esetén merőleges az alapokra. És ugyanakkor TX egy egyenlő szárú trapéz szimmetriatengelye.
8. Ezúttal csökkentse a magasságot a trapéz ellentétes csúcsától a nagyobb alapra (nevezzük a). Két szegmenst kapsz. Az egyik hosszát akkor kapjuk meg, ha az alapok hosszát összeadjuk és kettéosztjuk: (a + b)/2. A másodikat akkor kapjuk, ha a nagyobb bázisból kivonjuk a kisebbet, és a kapott különbséget elosztjuk kettővel: (a – b)/2.

A körbe írt trapéz tulajdonságai

Mivel már egy körbe írt trapézról beszélünk, térjünk át erre a kérdésre részletesebben. Különösen azon, ahol a kör középpontja a trapézhoz képest van. Itt is ajánlatos időt szánni ceruzát előkapni, és lerajzolni az alábbiakban tárgyalandókat. Így gyorsabban fog érteni és jobban emlékezni fog.

1. A kör középpontjának helyét a trapéz átlójának oldalához képesti dőlésszöge határozza meg. Például egy átló nyúlhat ki a trapéz tetejétől merőlegesen oldalra. Ebben az esetben a nagyobb alap pontosan középen metszi a körülírt kör középpontját (R = ½AE).
2. Az átló és az oldal hegyesszögben is találkozhat - ekkor a kör középpontja a trapéz belsejében van.
3. A körülírt kör középpontja lehet a trapézon kívül, nagyobb alapján túl, ha a trapéz átlója és az oldala között tompaszög van.
4. Az ACME trapéz átlója és nagy alapja által alkotott szög (beírt szög) a hozzá tartozó középponti szög fele: MAE = ½ MOE.
5. Röviden a körülírt kör sugarának meghatározásának két módjáról. Első módszer: nézze meg alaposan a rajzát – mit lát? Könnyen észreveheti, hogy az átló két háromszögre osztja a trapézt. A sugarat a háromszög oldalának a szemközti szög szinuszához viszonyított arányával szorozzuk meg kettővel. Például, R = AE/2*sinAME. A képlet hasonló módon írható fel mindkét háromszög bármelyik oldalára.
6. Második módszer: keresse meg a körülírt kör sugarát a háromszög területén keresztül, amelyet a trapéz átlója, oldala és alapja alkot: R = AM*ME*AE/4*S AME.

A kör körül körülírt trapéz tulajdonságai

Egy kört a trapézba illeszthet, ha egy feltétel teljesül. Olvasson róla bővebben alább. És együtt ez a figurák kombinációja számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik.

1. Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középvonalának hosszát könnyen meg tudjuk állapítani, ha összeadjuk az oldalak hosszát, és a kapott összeget felezzük: m = (c + d)/2.
2. Egy körre körülírt ACME trapéz esetén az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével: AK + ME = KM + AE.
3. A trapéz alapjainak ebből a tulajdonságából a fordított állítás következik: olyan trapézbe írható kör, amelynek alapjainak összege egyenlő az oldalainak összegével.
4. A trapézba írt r sugarú kör érintőpontja két szakaszra osztja az oldalt, nevezzük ezeket a-nak és b-nek. A kör sugara a következő képlettel számítható ki: r = √ab.
5. És még egy ingatlan. A félreértések elkerülése érdekében rajzolja ezt a példát maga is. Megvan a jó öreg ACME trapéz, egy körben leírva. Olyan átlókat tartalmaz, amelyek az O pontban metszik egymást. Az AOK és EOM háromszögek, amelyeket az átlók szakaszai és az oldalsó oldalak alkotnak, téglalap alakúak.
   Ezeknek a háromszögeknek a magassága a hipotenusokhoz (azaz a trapéz oldalsó oldalaihoz) süllyesztve egybeesik a beírt kör sugaraival. És a trapéz magassága egybeesik a beírt kör átmérőjével.

A téglalap alakú trapéz tulajdonságai

A trapézt négyszögletesnek nevezzük, ha az egyik szöge derékszögű. És tulajdonságai ebből a körülményből fakadnak.

1. A téglalap alakú trapéz egyik oldala merőleges az alapjára.
2. A derékszöggel szomszédos trapéz magassága és oldala egyenlő. Ez lehetővé teszi egy téglalap alakú trapéz területének kiszámítását (általános képlet S = (a + b) * h/2) nemcsak a magasságon, hanem a derékszöggel szomszédos oldalon keresztül is.
3. Egy téglalap alakú trapéz esetében a trapéz átlóinak fentebb már ismertetett általános tulajdonságai relevánsak.

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka

Szögek egyenlősége egy egyenlő szárú trapéz alapjában:

• Valószínűleg már sejtette, hogy itt ismét szükségünk lesz az AKME trapézre - rajzoljon egy egyenlő szárú trapézt. Rajzolj egy MT egyenest az M csúcsból, párhuzamosan az AK oldalával (MT || AK).

Az eredményül kapott AKMT négyszög egy paralelogramma (AK || MT, KM || AT). Mivel ME = KA = MT, ∆ MTE egyenlő szárú és MET = MTE.

AK || MT, ezért MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Hol van AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Most egy egyenlő szárú trapéz tulajdonsága (átlók egyenlősége) alapján bebizonyítjuk, hogy Az ACME trapéz egyenlő szárú:

• Először húzzunk egy egyenest MX – MX || KE. Kapunk egy KMHE paralelogrammát (bázis – MX || KE és KM || EX).

∆AMX egyenlő szárú, mivel AM = KE = MX és MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, ezért MAE = MHE.

Kiderül, hogy az AKE és az EMA háromszögek egyenlőek egymással, mert AM = KE és AE a két háromszög közös oldala. És még MAE = MXE. Megállapíthatjuk, hogy AK = ME, és ebből az következik, hogy az AKME trapéz egyenlő szárú.

Feladat áttekintése

Az ACME trapéz alapjai 9 cm és 21 cm, a KA oldaloldal 8 cm-nek megfelelő 150 0 -os szöget zár be a kisebb alappal. Meg kell találnia a trapéz területét.

Megoldás: A K csúcsról leengedjük a magasságot a trapéz nagyobbik alapjára. És kezdjük el nézni a trapéz szögeit.

Az AEM és KAN szögek egyoldalúak. Ez azt jelenti, hogy összesen 180 0-t adnak. Ezért KAN = 30 0 (a trapézszögek tulajdonsága alapján).

Nézzük most a téglalap alakú ∆ANC-t (úgy gondolom, hogy ez a pont nyilvánvaló az olvasók számára további bizonyítékok nélkül). Ebből megtaláljuk a KH trapéz magasságát - egy háromszögben az a láb, amely a 30 0 szöggel szemben helyezkedik el. Ezért KH = ½AB = 4 cm.

A trapéz területét a következő képlettel határozzuk meg: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Utószó

Ha alaposan és átgondoltan tanulmányozta ezt a cikket, nem volt túl lusta ahhoz, hogy ceruzával a kezében trapézokat rajzoljon az összes adott tulajdonságra, és elemezze azokat a gyakorlatban, akkor jól el kellett volna sajátítania az anyagot.

Természetesen rengeteg információ található itt, változatos és néha zavaró is: nem olyan nehéz összetéveszteni a leírt trapéz tulajdonságait a feliratos tulajdonságaival. De maga is látta, hogy óriási a különbség.

Most részletes vázlatot kap a trapéz összes általános tulajdonságáról. Valamint az egyenlő szárú és téglalap alakú trapézok sajátos tulajdonságait és jellemzőit. Nagyon kényelmesen használható tesztekre és vizsgákra való felkészüléshez. Próbáld ki te is, és oszd meg a linket ismerőseiddel!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete