Melyik tengelyen nézzük a növekvő függvényt? Funkció tulajdonságai

1. Keresse meg a függvény tartományát

2. Keresse meg a függvény deriváltját!

3. Egyenlítse a deriváltot nullával, és keresse meg kritikus pontok funkciókat

4. Jelölje meg a kritikus pontokat a definíciós területen

5. Számítsa ki a derivált előjelét a kapott intervallumok mindegyikében!

6. Ismerje meg a függvény viselkedését az egyes intervallumokban!

Példa: Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumaitf(x) = és ennek a függvénynek a nulláinak száma az intervallumon.

Megoldás:

1.D( f) = R

2. f"(x) =

D( f") = D( f) = R

3. Keresse meg a függvény kritikus pontjait az egyenlet megoldásával! f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

egy függvény kritikus pontjai x= 0 és x = 10.

4. Határozzuk meg a derivált előjelét!

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

a (-∞; 0) és (10; +∞) intervallumokban a függvény deriváltja pozitív és a pontokban x= 0 és x = 10 függvény f(x) folyamatos, ezért ezt a funkciót növekszik a következő intervallumokon: (-∞; 0]; .

Határozzuk meg a függvényértékek előjelét a szegmens végén.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Mivel a függvény a szegmensen csökken, és a függvényértékek előjele megváltozik, ezért ezen a szegmensen a függvénynek egy nulla van.

Válasz: az f(x) függvény növekszik a következő intervallumokon: (-∞; 0]; ;

az intervallumon a függvénynek egy nulla függvénye van.

2. A függvény szélsőpontjai: maximumpontok és minimumpontok. Egy függvény szélsőértékének létezéséhez szükséges és elégséges feltételek. Szabály egy függvény tanulmányozására extrémumhoz .

1. definíció:Azokat a pontokat, ahol a derivált nullával egyenlő, kritikusnak vagy stacionáriusnak nevezzük.

2. definíció. Egy pontot egy függvény minimum (maximum) pontjának nevezünk, ha a függvény értéke ezen a ponton kisebb (nagyobb, mint a függvény legközelebbi értéke).

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a maximum és minimum in ebben az esetben helyiek.

ábrán. 1. A helyi maximumok és minimumok láthatók.

1. tétel.(egy függvény szélsőértéke létezésének szükséges jele). Ha egy pontban differenciálható függvénynek ezen a ponton van maximuma vagy minimuma, akkor a deriváltja a pontban eltűnik, .

2. tétel.(elegendő jele a függvény szélsőértékének létezésének). Ha folyamatos funkció a kritikus pontot tartalmazó intervallum minden pontján deriváltja van (lehet, hogy magát a pontot kivéve), és Ha a derivált, amikor az argumentum balról jobbra halad át a kritikus ponton, az előjelet pluszról mínuszra változtatja, akkor a függvénynek ezen a ponton van maximuma, és amikor az előjel mínuszról pluszra változik, akkor minimuma van.

A funkció extrémje

2. definíció

Egy $x_0$ pontot egy $f(x)$ függvény maximumpontjának nevezzük, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy a környéken található összes $x$ egyenlőtlenségre a $f(x)\le f(x_0) egyenlőtlenség vonatkozik. $ tart.

3. definíció

Egy $x_0$ pontot egy $f(x)$ függvény maximális pontjának nevezzük, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy ebben a szomszédságban minden $x$ esetén a $f(x)\ge f(x_0) egyenlőtlenség $ tart.

A függvény szélsőértékének fogalma szorosan összefügg a függvény kritikus pontjának fogalmával. Mutassuk be a definícióját.

4. definíció

$x_0$ a $f(x)$ függvény kritikus pontjának nevezzük, ha:

1) $x_0$ - a definíciós tartomány belső pontja;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ vagy nem létezik.

Az extrémum fogalmához a létezéséhez elegendő és szükséges feltételek mellett fogalmazhatunk meg tételeket.

2. tétel

Elegendő feltétel az extrémumhoz

Legyen a $x_0$ pont kritikus az $y=f(x)$ függvény számára, és legyen a $(a,b)$ intervallumban. Legyen az $f"(x)$ derivált minden $\left(a,x_0\right)\ és\ (x_0,b)$ intervallumon, és őrizze meg állandó jel. Akkor:

1) Ha az $(a,x_0)$ intervallumon a derivált $f"\left(x\right)>0$, és az $(x_0,b)$ intervallumon a derivált: $f"\left( x\jobbra)

2) Ha az $(a,x_0)$ intervallumon a $f"\left(x\right)0$ derivált, akkor a $x_0$ pont a minimális pont ennek a függvénynek.

3) Ha az $(a,x_0)$ és az $(x_0,b)$ intervallumon is a $f"\left(x\right) >0$ vagy a $f"\left(x) derivált \jobb)

Ezt a tételt az 1. ábra szemlélteti.

1. ábra. Elegendő feltétel az extrémák fennállásához

Példák szélsőségekre (2. ábra).

2. ábra Példák szélsőséges pontokra

Szabály egy függvény tanulmányozására extrémumhoz

2) Keresse meg a $f"(x)$ deriváltot;

7) A 2. Tétel segítségével vonjon le következtetéseket a maximumok és minimumok meglétére minden intervallumon.

Növekvő és csökkentő funkció

Először mutassuk be a növekvő és a csökkenő függvények definícióit.

5. definíció

A $X$ intervallumon definiált $y=f(x)$ függvényt növekvőnek mondjuk, ha bármely $x_1,x_2\in $x_1 X$-ban lévő pontra

6. definíció

A $X$ intervallumon definiált $y=f(x)$ függvényt csökkenőnek mondjuk, ha bármely $x_1,x_2\in X$ pontra $x_1f(x_2)$ esetén.

Növekedési és csökkentési függvény tanulmányozása

Növekvő és csökkenő függvényeket tanulmányozhat a derivált segítségével.

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumainak vizsgálatához a következőket kell tennie:

1) Keresse meg a $f(x)$ függvény definíciós tartományát;

2) Keresse meg a $f"(x)$ deriváltot;

3) Keresse meg azokat a pontokat, amelyekben fennáll a $f"\left(x\right)=0$ egyenlőség;

4) Keresse meg azokat a pontokat, ahol $f"(x)$ nem létezik;

5) Jelölje meg a koordináta egyenesen az összes talált pontot és a függvény definíciós tartományát;

6) Határozza meg a $f"(x)$ derivált előjelét minden kapott intervallumon;

7) Vonja le a következtetést: azokon az intervallumokon, ahol $f"\left(x\right)0$ a függvény növekszik.

Példák a növekedési, csökkentési és szélsőséges pontok jelenlétének függvényeinek tanulmányozására

1. példa

Vizsgálja meg a növekedés és a csökkentés függvényét, valamint a maximális és minimális pontok jelenlétét: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Mivel az első 6 pont ugyanaz, először hajtsuk végre őket.

1) Definíciós tartomány - minden valós szám;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ a definíciós tartomány minden pontján létezik;

5) Koordinátavonal:

3. ábra.

6) Határozza meg a $f"(x)$ derivált előjelét minden intervallumon:

\ \ .

- Egy változó függvényének szélsőpontjai. Elegendő feltételek extrémum

Az intervallumban definiált és folytonos f(x) függvény ne legyen benne monoton. Az intervallumnak vannak olyan részei [ , ], amelyekben a legnagyobb és legkisebb értéket éri el a függvény belső pont, azaz között és.

Egy f(x) függvényről azt mondjuk, hogy egy pontban maximuma (vagy minimuma) van, ha ez a pont körülvehet egy olyan környezetet (x 0 - ,x 0 +), amely abban az intervallumban található, ahol a függvény adott, hogy az egyenlőtlenség minden pontjára érvényes.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Más szóval, az x 0 pont akkor adja meg az f(x) függvény maximumát (minimumát), ha az f(x 0) érték a legnagyobb (legkisebb) a függvény által elfogadott értékek közül. (legalábbis kicsi) környéke ennek a pontnak. Vegye figyelembe, hogy a maximum (minimum) definíciója feltételezi, hogy a függvény az x 0 pont mindkét oldalán meg van adva.

Ha van olyan környék, amelyen belül (x=x 0-nál) szigorú egyenlőtlenség

f(x) f(x 0)

akkor azt mondják, hogy a függvénynek megvan a maga maximuma (minimuma) az x 0 pontban, in másképp- nem a sajátod.

Ha egy függvénynek maximuma van az x 0 és x 1 pontokban, akkor a második Weierstrass-tételt alkalmazva az intervallumra azt látjuk, hogy a függvény ebben az intervallumban eléri a legkisebb értékét egy x 2 pontban, x 0 és x 1 között, és van egy ott minimum. Hasonlóképpen, két minimum között biztosan lesz maximum. A legegyszerűbb (és a gyakorlatban a legfontosabb) esetben, amikor egy függvénynek általában csak van végső szám csúcsok és mélypontok, csak váltakoznak.

Vegye figyelembe, hogy a maximum vagy minimum jelölésére van egy kifejezés, amely egyesíti őket - extrémum.

A maximum (max f(x)) és minimum (min f(x)) fogalma a függvény lokális tulajdonságai, és egy bizonyos x 0 pontban játszódnak le. A legnagyobb (sup f(x)) és a legkisebb (inf f(x)) értékek fogalma egy véges szegmensre vonatkozik, és egy szegmensen lévő függvény globális tulajdonságai.

Az 1. ábrából jól látható, hogy az x 1 és x 3 pontokban lokális maximumok, az x 2 és x 4 pontokban pedig lokális minimumok vannak. Azonban, legalacsonyabb érték a függvény eléri az x=a pontot, és a legnagyobb az x=b pontban.

Tegyük fel azt a problémát, hogy megtaláljuk az argumentum összes értékét, amely a függvény szélsőértékét adja. Megoldásánál a származék lesz a főszerep.

Először tegyük fel, hogy az f(x) függvénynek véges deriváltja van az (a,b) intervallumban. Ha az x 0 pontban a függvénynek szélsőértéke van, akkor Fermat tételét alkalmazva a fent tárgyalt (x 0 - , x 0 + intervallumra) arra a következtetésre jutunk, hogy f (x) = 0 ez a szélsőség szükséges feltétele. . Az extrémumot csak azokon a pontokon kell keresni, ahol a derivált nullával egyenlő.

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy minden pont, ahol a derivált nullával egyenlő, extrémumot ad a függvénynek: az imént jelzett szükséges feltétel nem elegendő

Derivált. Ha egy függvény deriváltja az intervallum bármely pontjára pozitív, akkor a függvény növekszik, ha negatív, akkor csökken.

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához meg kell találni a definíciós tartományát, deriváltját, megoldani az F’(x) > 0 és F’(x) alakú egyenlőtlenségeket.

Megoldás.

3. Oldja meg az y’ > 0 és y’ 0 egyenlőtlenségeket;
(4 - x)/x³

Megoldás.
1. Keressük meg a függvény definíciós tartományát. Nyilvánvaló, hogy a nevezőben lévő kifejezésnek mindig különböznie kell a nullától. Ezért a 0 ki van zárva a definíciós tartományból: a függvény x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) esetén van definiálva.

2. Számítsa ki a függvény deriváltját:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Oldja meg az y’ > 0 és y’ 0 egyenlőtlenségeket;
(4 - x)/x³

4. Bal oldal Az egyenlőtlenségnek egy valós x = 4 van, és az x = 0-ra fordul. Ezért az x = 4 érték az intervallumban és a csökkenő intervallumban is szerepel, a 0 pont pedig nem.
Tehát a szükséges függvény növekszik az x ∈ (-∞; 0) ∪ intervallumon.

4. Az egyenlőtlenség bal oldalán egy valós x = 4 van, és az x = 0-ra fordul. Ezért az x = 4 az intervallumban és a csökkenő intervallumban is szerepel, a 0 pont pedig nem.
Tehát a szükséges függvény növekszik az x ∈ (-∞; 0) ∪ intervallumon.

Források:

• hogyan keressünk csökkenő intervallumokat egy függvényen

A függvény egy szám szigorú függését jelenti egy másiktól, vagy egy függvény (y) értékét egy argumentumtól (x). Minden folyamat (nem csak a matematikában) leírható a saját funkciójával, amelynek lesz jellemzők: csökkenő és növekvő intervallumok, minimumok és maximumok pontjai és így tovább.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll.

Utasítás

2. példa
Keresse meg az f(x)=sinx +x csökkenő intervallumait.
Ennek a függvénynek a deriváltja egyenlő lesz: f’(x)=cosx+1.
A cosx+1 egyenlőtlenség megoldása

Intervallum egyhangúság függvényt nevezhetünk olyan intervallumnak, amelyben a függvény vagy csak növekszik, vagy csak csökken. Sor bizonyos cselekvéseket segít megtalálni az ilyen tartományokat egy függvényhez, amelyre gyakran szükség van algebrai problémák ilyen jellegű.

Utasítás

Az első lépés annak a feladatnak a megoldásában, hogy meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyekben egy függvény monoton nő vagy csökken, ennek a függvénynek a kiszámítása. Ehhez keresse meg az összes argumentumértéket (az x tengely mentén lévő értékeket), amelyekhez megtalálhatja a függvény értékét. Jelölje meg azokat a pontokat, ahol megszakadások figyelhetők meg. Keresse meg a függvény deriváltját! Miután meghatározta a származékot reprezentáló kifejezést, állítsa azt nullára. Ezt követően meg kell találnia a kapott eredet gyökereit. Nem a megengedett területről.

Azok a pontok, ahol a függvény, vagy ahol a deriváltja egyenlő nullával, az intervallumok határait jelentik egyhangúság. Ezeket a tartományokat, valamint az őket elválasztó pontokat egymás után kell beírni a táblázatba. Keresse meg a függvény deriváltjának előjelét a kapott intervallumokban! Ehhez helyettesítse be az intervallum bármely argumentumát a deriváltnak megfelelő kifejezésbe. Ha az eredmény pozitív, a függvény ebben a tartományban növekszik, ellenkező esetben csökken. Az eredmények bekerülnek a táblázatba.

Az f’(x) függvény deriváltját jelölő sorban az argumentumok megfelelő értékeit írjuk: „+” - ha a derivált pozitív, „-” - negatív vagy „0” - egyenlő nullával. A következő sorban vegye figyelembe magának az eredeti kifejezésnek a monotóniáját. A felfelé mutató nyíl növekedésnek, a lefelé mutató nyíl pedig a csökkenésnek felel meg. Ellenőrizze a funkciókat. Ezek azok a pontok, ahol a derivált nulla. A szélsőség lehet maximumpont vagy minimumpont. Ha a függvény előző szakasza nőtt, a jelenlegi pedig csökkent, akkor ez a maximális pont. Abban az esetben, ha a függvény egy adott pont előtt csökkent, most pedig növekszik, ez a minimumpont. Írja be a függvény értékeit a táblázatba a szélső pontokon.

Források:

• mi a monotónia definíciója

Egy argumentumtól komplexen függő függvény viselkedését a derivált segítségével vizsgáljuk. A derivált változásának természeténél fogva megtalálhatja a függvény kritikus pontjait, növekedési vagy csökkenési területeit.

Diplomás munka benn Egységes államvizsga nyomtatvány 11. osztályosok számára szükségszerűen tartalmaz határszámítási feladatokat, függvények csökkenő és növekvő deriváltjainak intervallumait, szélsőpontok keresését és grafikonok készítését. Jó tudás Ez a témakör lehetővé teszi, hogy helyesen válaszoljon több vizsgakérdésre, és ne tapasztaljon nehézségeket a szakmai továbbképzés során.

Alapok differenciálszámítás- a matematika egyik fő témája modern iskola. Tanulmányozza a derivált használatát a változók függőségének tanulmányozására - a deriválton keresztül lehet elemezni egy függvény növekedését és csökkenését anélkül, hogy rajzot kellene használni.

A végzettek átfogó felkészítése az egységes államvizsga letétele tovább oktatási portál A „Shkolkovo” segít mélyen megérteni a differenciálás elveit - részletesen megérteni az elméletet, tanulmányozni a megoldási példákat tipikus feladatokés próbálja ki magát az önálló munkában. Segítünk a tudásbeli hiányosságok megszüntetésében – tisztázza a megértését lexikális fogalmak témakörök és mennyiségek függőségei. A tanulók képesek lesznek áttekinteni, hogyan találják meg a monotonitás intervallumait, ami azt jelenti, hogy egy függvény deriváltja emelkedik vagy csökken egy bizonyos szakaszon, amikor a határpontok szerepelnek és nem szerepelnek a talált intervallumokban.

Mielőtt elkezdené a közvetlen megoldást tematikus feladatok, javasoljuk, hogy először lépjen az „Elméleti háttér” részhez, és ismételje meg a fogalmak, szabályok és táblázatos képletek. Itt olvashatja el, hogyan lehet megkeresni és felírni az egyes növekvő és csökkenő függvények intervallumait a derivált gráfon.

Minden felkínált információ a lehető legkönnyebben hozzáférhető formában jelenik meg a megértés érdekében, gyakorlatilag a semmiből. A weboldal több helyen nyújt anyagokat az észleléshez és az asszimilációhoz különféle formák– olvasás, videónézés és közvetlen képzés tapasztalt tanárok irányításával. Profi tanárok részletesen elmondja, hogyan találja meg egy függvény növekvő és csökkenő deriváltjainak intervallumait analitikusan és grafikusan. A webináriumok során bármilyen elméleti és konkrét problémamegoldással kapcsolatos kérdést feltehetsz, ami érdekli.

Miután megjegyezte a téma főbb pontjait, nézzen meg példákat egy függvény deriváltjának növelésére, hasonlóan a feladatokhoz vizsgalehetőségek. A tanultak megszilárdításához vessen egy pillantást a „Katalógusra” – itt megtalálja gyakorlati gyakorlatok Mert önálló munkavégzés. A szakaszban szereplő feladatok ki lettek választva különböző szinteken nehézségek a képességek fejlődését figyelembe véve. Például mindegyikhez megoldási algoritmusok és helyes válaszok társulnak.

A "Konstruktor" szekció kiválasztásával a hallgatók gyakorolhatják egy függvény deriváltjának növelését és csökkentését. valós lehetőségek Egységes államvizsga, folyamatosan frissítve figyelembe véve legújabb változásokés innovációk.