Egyenletek két változóval, hatvány természetes kitevővel. Lineáris egyenletek megoldása egy változóban

LINEÁRIS EGYENLET EGY VÁLTOZÓVAL

Lineáris egyenlet egy változóval csak egy változót tartalmazó egyenlőséget hívunk.

Példák a lineáris egyenletekre:

3 x =12 vagy 10 y -20=0 vagy 8 a +3=0

Oldja meg az egyenletet- ez azt jelenti, hogy megtaláljuk az egyenlet összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nem léteznek. Más szóval, egy lineáris egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni a változó összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenlet helyes numerikus egyenlőséggé alakul.Gyökér Egy egyenlet (vagy megoldása) annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé változik.

Tehát a 3 x = 12 egyenletnek x gyöke van =4, mivel 3*4=12 – igazi egyenlőség, és meg kell jegyezni, hogy nincsenek más gyökerek.

Egyáltalán lineáris egyenlet egy változóval x-et alakegyenletnek nevezzük ax + b = 0 .

b - „ingyenes tag”.

Az együtthatók néhány szám, és egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az x értékét, amelynél a kifejezés ax + b = 0 helyes.

Például van egy lineáris egyenletünk 3 x – 6 = 0. Megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk azt, amivel egyenlőnek kell lennie x-től 3-ig – 6 egyenlő volt 0-val. A transzformációkat végrehajtva a következőket kapjuk:

3 x = 6

x = 2

Tehát a 3. kifejezés x – 6 = 0 igaz, ha x = 2 (3 * 2 – 6 = 0 ellenőrzés)

2 a gyökér adott egyenlet. Amikor megold egy egyenletet, megtalálja a gyökereit.

A és b együtthatók Bármilyen szám lehet, de vannak ilyen értékek, amikor egy változóval rendelkező lineáris egyenlet gyöke több mint egy.

Ha a = 0, akkor ax + b = 0 b = 0-ra változik. Itt x "megsemmisült". Ugyanaz a kifejezés b = 0 csak tudás esetén lehet igaz b Az egyenlet 0* x A + 3 = 0 helytelen, mert a 3 = 0 hamis állítás. azonban 0* x + 0 = 0 a helyes kifejezés. Ebből arra következtetünk, hogy ha a = 0 és b ≠ 0 egy változós lineáris egyenletnek egyáltalán nincs gyöke, de ha a = 0 és b = 0 , akkor az egyenlet gyökei végtelen halmaz. Ha b = 0 és a ≠ 0 , akkor az egyenlet alakot ölt ax = 0 . Egyértelmű, hogy ha a ≠ 0 , de a szorzás eredménye az 0, ami azt jelenti, hogy x = 0 . Vagyis ennek az egyenletnek a gyöke 0.

Tekintsük a leggyakoribb esetet, amikor a ≠ 0

1) ax + b = 0, ami azt jelenti, hogy ax = - b (egyszerűen áthelyeztük a b kifejezést a bal oldalról a jobb oldalra -val ellentétes jel) Ne feledje ezt a szabályt

2) ax = - b, ami azt jelenti

x = –b/a . Emlékezzen erre a szabályra

x érték be ebben az esetben a és b értékétől függ. Ráadásul ez lesz az egyetlen. Azaz lehetetlen csakugyanazokat az együtthatókat, hogy két vagy több különböző értéket kapjunk x. Például,

–8,5 x – 17 = 0

x = 17 / –8,5

x = –2

A –2-n kívül más szám nem kapható meg, ha 17-et elosztunk –8,5-tel

Vannak olyan egyenletek, amelyek első pillantásra nem tűnnek annak általános forma lineáris egyenlet egy változóval, de könnyen átalakítható rá. Például,

–4,8 + 1,3 x = 1,5 x + 12

Ha mindent átvisz a bal oldal, akkor a jobb oldali 0 marad:

–4,8 + 1,3 x – 1,5 x – 12 = 0

Az iskolások számára az algebra a 7. osztályban sok meglepetést tartogat egyenletrendszerek formájában, matematikai modell felállítása, identitás fogalma és mások. fontos témákat. De az egyik szakaszból a másikba kell lépnie egymás után, teljesen elsajátítva az anyagot - ez a siker kulcsa.

A tudomány nyelve

A fő feltétele annak, hogy a tanuló megértsen egy témát, hogy jó és világos elképzelése legyen arról, hogy miről van szó. arról beszélünk. Ebből a célból időnként célszerű a hosszú és összetett kifejezések több egyszerű szavakkal. Matematikai nyelv van Hivatalos nyelv akik tanulnak egzakt tudományok. A megszokott gondolati kifejezéshez képest tömörebb, mert konkrét, logikus és precíz fogalmakkal operál. A matematikai nyelvű szavak olyanok betűjelölés szimbólumok, kifejezések - képletek.

A 7. osztályos gyerekek számára minden témával összetettebbé válik a matematikai nyelv, ugyanakkor érdekesebbé, gazdagabbá válik. Új fogalmak születnek, mint pl fok c természetes mutató és sok más, a gyerekeknek nem csak meg kell tanulniuk helyesen megérteni, hanem alkalmazni is.

A modern oktatás hátrányai

Annak érdekében, hogy ne tévedjünk össze a kifejezések sokféleségében, az algebra tanulmányozását komolyan és felesleges kapkodás nélkül kell megközelíteni, ami oly gyakori. modern leckék Iskolában. Kis mennyiségű tanítási órák, amely ki van osztva iskolai tananyag egy adott témában előbb-utóbb szomorú eredményeket adnak – sok diák nem érti a tárgyalt anyagot és lemarad. Ez veszélyes, mert a matematikában az egyik téma elégtelen elsajátítása ahhoz vezet, hogy a gyermek nem tudja jól elsajátítani az összes következőt.

Lineáris egyenletek

Belül gyerekeknek tanterv két változós egyenletet fogsz megismerni és tanulmányozni. Ez egy matematikai „kifejezés” a*x + b*y = c, melynek megoldása tetszőleges x és y számpár, amely ennek az egyenletnek megfelel, vagyis az ezekkel a változókkal rendelkező egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítják. . Tól től alapvető tulajdonságait emlékeznie kell a következőkre.

1. Az egyenlet bármely tagja áthelyezhető egyik részből a másikba, ezáltal az előjel az ellenkezőjére változtatható. A kapott egyenlőség megegyezik az eredetivel.
2. Az egyenlet mindkét oldala nulla kivételével tetszőleges számmal osztható.

Egyenlet két változóval van egy csomó különböző megoldások. Jó, ha a tanár ezt könnyen át tudja adni a gyereknek. Valóban, a jövőben az összes alapvető „matematikai kifejezés” bonyolultabbá válik a középiskolában, megjelenik a természetes kitevővel rendelkező diploma stb. A tanár feladata, hogy ezt a lehető legvilágosabban elmagyarázza a tanulónak. A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy a tanulónak további órákat kell igénybe vennie az anyag elsajátításához.

Méltó alternatíva

A szülők ezt tudják további osztályok oktatóval nem olcsó mulatság. Iskolai tanárok nem mindig tud ajánlani tanórán kívüli tevékenységek a lemaradóknak. Hogyan legyen? Van egy kiút - képzés speciális internetes forrásokról. Számos komoly előnnyel jár, mert a diák egy számára problémás témában megtekinthető videoleckét bármikor, otthon, kényelmes környezetben, ingyen. Ha egy gyerek nem értette meg az anyagot az első megtekintésre, könnyen újra megnézheti a videót anélkül, hogy félne a kritikától és a nevetségességtől, ami gyakran előfordul az osztályteremben. Minden matematikaóra ingyenesen elérhető portálunkon.

A matematikával való barátság a kulcs fejlett gondolkodás, amelyet a briliáns logika és a gondolat teljessége jellemez majd.

stb., logikus más típusú egyenletekkel is megismerkedni. A következő a sorban lineáris egyenletek, melynek célzott tanulmányozása a 7. évfolyam algebra órákon kezdődik.

Nyilvánvaló, hogy először meg kell magyaráznunk, mi a lineáris egyenlet, meg kell határoznunk a lineáris egyenletet, együtthatóit, és meg kell mutatnunk az általános formáját. Ezután kitalálhatja, hogy az együtthatók értékétől függően hány megoldása van egy lineáris egyenletnek, és hogyan található a gyökök. Ez lehetővé teszi, hogy továbblépjen a példák megoldására, és ezáltal megszilárdítsa a tanult elméletet. Ebben a cikkben ezt fogjuk megtenni: részletesen foglalkozunk a lineáris egyenletekkel és megoldásaikkal kapcsolatos összes elméleti és gyakorlati ponton.

Tegyük fel azonnal, hogy itt csak egy változós lineáris egyenleteket fogunk figyelembe venni, és egy külön cikkben tanulmányozzuk a megoldási elveket két változós lineáris egyenletek.

Oldalnavigáció.

Mi az a lineáris egyenlet?

A lineáris egyenlet definícióját a felírás módja adja. Ráadásul be különböző tankönyvek A lineáris egyenletek definícióinak matematikai és algebrai megfogalmazásaiban vannak olyan eltérések, amelyek nem befolyásolják a kérdés lényegét.

Például Yu N. Makarychev és munkatársai 7. osztályos algebrai tankönyvében egy lineáris egyenlet a következőképpen van meghatározva:

Meghatározás.

A forma egyenlete a x=b, ahol x egy változó, a és b néhány szám, nevezzük lineáris egyenlet egy változóval.

Adjunk példákat olyan lineáris egyenletekre, amelyek megfelelnek a megadott definíciónak. Például 5 x = 10 egy lineáris egyenlet egy x változóval, itt az a együttható 5, a b szám pedig 10. Egy másik példa: a −2.3·y=0 szintén egy lineáris egyenlet, de y változóval, amelyben a=−2,3 és b=0. A lineáris egyenletekben pedig az x=-2 és -x=3,33 a nincs explicit módon jelen, és egyenlő 1-gyel, illetve -1-gyel, míg az első egyenletben b=-2, a másodikban pedig - b=3,33.

Egy évvel korábban pedig N. Ya matematika tankönyvében az egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletek az a x = b formájú egyenletek mellett olyan egyenleteket is figyelembe vettek, amelyek ebbe a formába hozhatók a tagok egy részből történő átvitelével. az egyenlet egy másik előjelű egyenletére, valamint öntéssel hasonló kifejezések. E meghatározás szerint az 5 x = 2 x + 6 alakú egyenletek stb. lineáris is.

Az A. G. Mordkovich 7. osztályos algebrai tankönyvében viszont a következő meghatározás szerepel:

Meghatározás.

Lineáris egyenlet egy x változóval egy a·x+b=0 alakú egyenlet, ahol a és b néhány szám, amelyet a lineáris egyenlet együtthatóinak nevezünk.

Például az ilyen típusú lineáris egyenletek 2 x−12=0, itt az a együttható 2, és b egyenlő –12, és 0.2 y+4.6=0 a=0.2 és b =4.6 együtthatókkal. De ugyanakkor vannak példák olyan lineáris egyenletekre, amelyek alakja nem a·x+b=0, hanem a·x=b, például 3·x=12.

Hogy a jövőben ne legyenek eltéréseink, egy x változós lineáris egyenlet alatt a és b együtthatókkal értsünk egy a x + b = 0 alakú egyenletet. Ez a fajta lineáris egyenlet tűnik a leginkább indokoltnak, mivel a lineáris egyenletek azok algebrai egyenletek első fokozat. És az összes többi fent említett egyenlet, valamint olyan egyenlet, amely segítségével ekvivalens transzformációk a x+b=0 alakra redukálódnak, akkor hívjuk lineáris egyenletekre redukáló egyenletek. Ezzel a megközelítéssel a 2 x+6=0 egyenlet lineáris egyenlet, a 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 stb. - Ezek olyan egyenletek, amelyek lineárisra redukálódnak.

Hogyan lehet lineáris egyenleteket megoldani?

Itt az ideje, hogy kitaláljuk, hogyan oldják meg az a·x+b=0 lineáris egyenleteket. Más szóval, itt az ideje, hogy megtudja, van-e egy lineáris egyenletnek gyöke, és ha igen, hány közülük, és hogyan lehet őket megtalálni.

A lineáris egyenlet gyökeinek jelenléte az a és b együtthatók értékétől függ. Ebben az esetben az a x+b=0 lineáris egyenlet rendelkezik

• az a≠0 egyetlen gyöke,
• nincs gyöke az a=0 és b≠0 értékekhez,
• végtelen sok gyöke van a=0-ra és b=0-ra, ebben az esetben bármely szám gyöke egy lineáris egyenletnek.

Magyarázzuk el, hogyan kaptuk ezeket az eredményeket.

Tudjuk, hogy az egyenletek megoldásához az eredeti egyenletről átléphetünk a ekvivalens egyenletek, azaz olyan egyenletekre, amelyek gyökerei megegyeznek vagy megegyeznek az eredetivel, gyök nélkül. Ehhez a következő egyenértékű átalakításokat használhatja:

• egy tag átvitele az egyenlet egyik oldaláról a másikra ellenkező előjellel,
• valamint az egyenlet mindkét oldalának szorzása vagy elosztása ugyanazzal a nullától eltérő számmal.

Tehát egy lineáris egyenletben eggyel az űrlap változója a x+b=0 áthelyezhetjük a b kifejezést a bal oldalról ide jobb oldal ellenkező előjellel. Ebben az esetben az egyenlet a·x=−b alakot ölti majd.

És akkor felmerül a kérdés, hogy az egyenlet mindkét oldalát el kell osztani az a számmal. De van egy dolog: az a szám egyenlő lehet nullával, ebben az esetben az ilyen felosztás lehetetlen. A probléma megoldásához először feltételezzük, hogy az a szám nem nulla, és kicsit később külön megvizsgáljuk a nullával egyenlő lény esetét.

Tehát, ha a nem egyenlő nullával, akkor az a x=-b egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk a-val, ami után az x=(-b):a alakba fog átalakulni, ez az eredmény felírható tizedesvessző Hogyan .

Így a≠0 esetén az a·x+b=0 lineáris egyenlet ekvivalens azzal az egyenlettel, amelyből a gyöke látható.

Könnyen kimutatható, hogy ez a gyök egyedi, vagyis a lineáris egyenletnek nincs más gyöke. Ez lehetővé teszi az ellenkező módszer végrehajtását.

Jelöljük a gyökét x 1-el. Tegyük fel, hogy van egy másik gyöke a lineáris egyenletnek, amit x 2-ként és x 2 ≠x 1-ként jelölünk, ami a definíciók egyenlő számok a különbségen keresztül ekvivalens az x 1 −x 2 ≠0 feltétellel. Mivel x 1 és x 2 gyökei az a·x+b=0 lineáris egyenletnek, számszerű egyenlőségeket a x 1 +b=0 és a x 2 +b=0. Kivonhatjuk ezen egyenlőségek megfelelő részeit, ami lehetővé teszi számunkra a numerikus egyenlőségek tulajdonságai, van a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, amiből a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 és tovább a·(x 1 − x 2)=0. De ez az egyenlőség lehetetlen, mivel mind a≠0, mind pedig x 1 − x 2 ≠0. Tehát egy olyan ellentmondáshoz jutottunk, amely bizonyítja az a·x+b=0 lineáris egyenlet gyökének a≠0 esetén az egyediségét.

Tehát megoldottuk az a·x+b=0 lineáris egyenletet a≠0-ra. A bekezdés elején megadott első eredmény indokolt. Maradt még kettő, amely megfelel az a=0 feltételnek.

Ha a=0, az a·x+b=0 lineáris egyenlet 0·x+b=0 alakot ölt. Ebből az egyenletből és a számok nullával való szorzásának tulajdonságából az következik, hogy bármilyen számot vegyünk is x-nek, ha behelyettesítjük a 0 x + b=0 egyenletbe, akkor a b=0 numerikus egyenlőséget kapjuk. Ez az egyenlőség akkor igaz, ha b=0, más esetekben pedig, ha b≠0, ez az egyenlőség hamis.

Következésképpen a=0 és b=0 esetén tetszőleges szám az a·x+b=0 lineáris egyenlet gyöke, mivel ilyen feltételek mellett tetszőleges számmal x helyett a helyes 0=0 numerikus egyenlőséget kapjuk. És ha a=0 és b≠0, akkor az a x+b=0 lineáris egyenletnek nincs gyöke, mivel ilyen feltételek mellett, ha bármilyen számot helyettesítünk x-szel, az hibás. számszerű egyenlőség b=0.

A megadott indoklások lehetővé teszik, hogy olyan műveletsort fogalmazzunk meg, amely lehetővé teszi bármely lineáris egyenlet megoldását. Így, algoritmus lineáris egyenlet megoldására ez:

• Először is, a lineáris egyenlet felírásával megtaláljuk az a és b együtthatók értékeit.
• Ha a=0 és b=0, akkor ennek az egyenletnek végtelen sok gyöke van, vagyis bármely szám gyöke ennek a lineáris egyenletnek.
• Ha a nem nulla, akkor
• a b együtthatót átvisszük a jobb oldalra ellentétes előjellel, és a lineáris egyenletet a·x=-b alakra transzformáljuk,
• majd a kapott egyenlet mindkét oldalát elosztjuk egy nullától eltérő a számmal, amely megadja az eredeti lineáris egyenlet kívánt gyökét.

Az írott algoritmus átfogó válasz a lineáris egyenletek megoldásának kérdésére.

Ennek a pontnak a végén érdemes elmondanunk, hogy hasonló algoritmust használnak az a·x=b alakú egyenletek megoldására. A különbség az, hogy ha a≠0, akkor az egyenlet mindkét oldala azonnal el van osztva ezzel a számmal, itt b már az egyenlet szükséges részében van, és nem kell átvinni.

Az a x = b alakú egyenletek megoldásához a következő algoritmust használjuk:

• Ha a=0 és b=0, akkor az egyenletnek végtelen sok gyöke van, amelyek tetszőleges számok.
• Ha a=0 és b≠0 , akkor eredeti egyenlet nincsenek gyökerei.
• Ha a értéke nem nulla, akkor az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk egy nem nulla a számmal, amelyből az egyenlet egyetlen gyöke található, amely egyenlő b/a-val.

Példák lineáris egyenletek megoldására

Térjünk át a gyakorlásra. Nézzük meg, hogyan használják a lineáris egyenletek megoldására szolgáló algoritmust. Itt vannak a megoldások tipikus példák, megfelelő különböző jelentések lineáris egyenletek együtthatói.

Példa.

Oldja meg a 0·x−0=0 lineáris egyenletet.

Megoldás.

Ebben a lineáris egyenletben a=0 és b=−0 , ami megegyezik b=0 -val. Ezért ennek az egyenletnek végtelen sok gyöke van, bármely szám gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz:

x – tetszőleges szám.

Példa.

Van-e megoldása a 0 x + 2,7 = 0 lineáris egyenletnek?

Megoldás.

Ebben az esetben az a együttható egyenlő nullával, és ennek a lineáris egyenletnek a b együtthatója 2,7, azaz különbözik nullától. Ezért a lineáris egyenletnek nincs gyökere.

Független témáktól: „Numerikus és algebrai kifejezések", "Matematikai nyelv és matematikai modell", "Lineáris egyenlet egy változóval", "Koordináta egyenes és sík", "Lineáris egyenletek két változóval", "Lineáris függvény és grafikonja", "Két változós lineáris egyenlet rendszerei" " , "Fokozat természetes kitevővel és tulajdonságai", " Normál nézet monomiális", "Egy monom összeadása és kivonása", "Monomok szorzása", "Monomiális felemelése természetes fok", "Egy monom elosztása egy monomimmal", "Egy polinom faktorálása"

1. sz. önálló munka (1. negyed), „Numerikus és algebrai kifejezések”

I. lehetőség.

8 USD\frac(5)(9)*4,8 -\frac(2)(9)* 2,1 USD.

$3x - 6y + 5$, ha $x= 0,5$ és $y=\frac(2)(3)$ adott.

3. Keresse meg az $x$ értékét, amelynél az $5x-3$ kifejezés egyenlő lesz a $x - 4$ kifejezéssel.

lehetőség II.

1. Számítsa ki leginkább a kifejezés értékét! racionális módon.
3 USD\frac(3)(4) * 5,6 -\frac(1)(4)* 1,9 USD.

2. Keresse meg ennek a kifejezésnek a jelentését!
$x - 8y - 9$, ha $x= 0,9$ és $y=\frac(5)(6)$ adott.

3. Keresse meg az $x$ értékét, amelynél a $6x - 7$ kifejezés egyenlő lesz a $x - 5$ kifejezéssel.

lehetőség III.

1. Számítsa ki a kifejezés értékét a legracionálisabb módon!
1 USD\frac(7)(9)* 7,6 -\frac(1)(9)* 4,9 USD.

2. Keresse meg ennek a kifejezésnek a jelentését!
$x - 8y - 11$, ha $x= 2,4$ és $y=\frac(6)(8).$ adott

3. Keresse meg az $y$ azon értékét, amelynél a $3y - 2$ kifejezés egyenlő lesz a $y + 8$ kifejezéssel.

2. sz. önálló munka (1. negyedév)
"Matematikai nyelv", "Matematikai modell"

I. lehetőség.

1. Fordítsa le a mondatot erre matematikai nyelv: $a$ és $b$ számkockák különbsége.

Egy szám szorzata önmagában egyenlő a szám négyzetével.

A $3\frac(3)(4)$ szám és a $5\frac(4)(8)$ és $\frac(1)(8)$ szorzata.

A szabó 3 ruhát készített. Minden ruhához $x$ méter szövet kellett. Aztán készített még 10 öltönyt. Mindegyik öltönyhöz 2 méterrel több szövet kellett, mint a ruhához. Mennyi anyag kellett az összes ruha és öltöny megvarrásához?

lehetőség II.

1. Fordítsa le a mondatot matematikai nyelvre! x és y számok négyzeteinek összege.

2. Fordítsa le matematikai nyelvre következő ingatlan.
Ha egy számot megszorozunk $-1$-al, akkor ugyanazt a számot kapjuk, csak ellenkező előjellel.

3. Írd át a mondatot így numerikus kifejezés. Számítsa ki az értékét.

A $3\frac(5)(8)$ szám és a $2\frac(5)(8)$ és $1\frac(1)(2)$ hányados közötti különbség.

4. Komponálás matematikai modell ez a szituáció.
a) Két gyalogos ment felé ellentétes irányokba. Az első gyalogos sebessége $x$ km/óra. A második gyalogos sebessége 2 km/h-val nagyobb. Milyen messzire utaznak 3 óra után? Mennyi ideig tart a második gyalogosnak 10 km-t gyalogolni?

lehetőség III.

1. Fordítsa le a mondatot matematikai nyelvre: a 3-as szám és a $n$ és $m$ számok különbségének szorzata!

2. Fordítsd le a következő tulajdonságot matematikai nyelvre: ha egyet osztunk törttel, akkor ennek eredményeként az adott tört inverzét kapjuk.

3. Írd át a mondatot numerikus kifejezésként! Számítsa ki az értékét:
A $6\frac(5)(8)$ szám és a $1\frac(5)(9)$ és $\frac(2)(9)$ számok hányadosa összege.

4. Készítse el a helyzet matematikai modelljét!
A csónak a mólótól lefelé haladt. A folyó sebessége $x$ km/óra. A csónak sebessége 2 km/h-val több. Mennyi ideig tart a hajó 10 km-t megtenni? Mennyi idő alatt tér vissza?

3. sz. önálló munka (1 negyedév)
"Lineáris egyenlet egy változóval"

I. lehetőség.

a) $5z - 4 = 2\frac(3)(4)z + 2$.

B) $\frac(4x + 2)(3) =\frac(5x + 1)(6)$.

Egy sportoló 18 perc alatt fut le egy bizonyos távolságot. Ha 3 km/h-val növeli a sebességét, akkor 4 perccel gyorsabban futja le ugyanazt a távot. Keresse meg a sportoló sebességét.

lehetőség II.

1. Oldja meg az egyenleteket egy változóban.
a) $3z - 2 = 1\frac(3)(6)z +1$.

B) $\frac(5y + 3)(7)=\frac(3y + 8)(4)$.

2. Írjon fel egyenletet erre a feladatra, és oldja meg!
Egy autó 4 óra alatt eljut városból faluba. Ha 20 km/h-val növeli a sebességét, akkor ugyanazt az utat 3 óra alatt teszi meg. Keresse meg az autó sebességét.

lehetőség III.

1. Oldja meg az egyenleteket egy változóban.
a) $4x - 6 = 2\frac(5)(8)x + 3$.

B) $\frac(2y + 7)(2)=\frac(4y + 3)(5)$.

2. Írjon fel egyenletet erre a feladatra, és oldja meg!
A hajó 30 perc alatt indul a mólótól a kikötőig. Ha 10 km/h-val növeli a sebességét, 20 perc alatt úszja meg ugyanazt a távot. Keresse meg a hajó sebességét.

4. sz. önálló munka (1 negyed) "Koordináta sor"

I. lehetőség.

X(-2); Y(-6,5); Z(3,8).

2. Jelölje be a koordinátavonalon a jelzett intervallumot.
a) [-2,5; 0]; b) ; [-∞; 0].

3. Mennyit természetes számok az adott intervallumhoz tartoznak [-30; -5]?

lehetőség II.

1. Jelölje be a következő három pontot a koordinátavonalon:
X(3); Y(-5); Z (-3,8).

A) ; b) ; .

3. Hány természetes szám tartozik egy adott intervallumhoz?

lehetőség III.

1. Jelölje be a következő három pontot a koordinátavonalon:
X (-7); Y(2); Z(3,8).

2. Jelölje be a koordinátavonalon a jelzett intervallumot:
A) ; b) [-2; 4]; [-1; +∞].

3. Hány természetes szám tartozik az adott intervallumhoz [-52; -4]?

5. sz. önálló munka (1 negyed) "Koordinátasík"

I. lehetőség.

E (-2; 5); F (5; -3); H (-3; -5).

A (-4; 0); B (5; 8); C (-5; -4).

3. Építsd tovább Koordináta sík Az XOY egy egyenes C(-4;2) és D(3;0) koordinátákkal.

lehetőség II.

1. Kép ​​rajzolása nélkül adja meg, hogy a pontok melyik koordinátasíkban helyezkednek el?
E (3; 6); F (-8; 7); H(4;4).

2. Szerkesszünk háromszöget, ha ismertek a csúcsainak koordinátái
A (5; 3); B (-5; -2); C (-3; 0).

3. Szerkesszünk egyenest az XOY koordinátasíkon C(-2;6) és D(7;-2) koordinátákkal!

lehetőség III.

1. Kép ​​rajzolása nélkül adja meg, hogy a pontok melyik koordinátasíkban helyezkednek el?
E (-2; -4); F (4; 6); H (3; -2).

2. Szerkesszünk háromszöget, ha ismertek a csúcsainak koordinátái
A (7; -3); B (2; 6); C (-2; 1).

3. Szerkesszünk egyenest az XOY koordinátasíkon C(6;-4) és D(-3;6) koordinátákkal!

6. sz. önálló munka (1 negyed) "Lineáris egyenletek két változóval"

I. lehetőség.

1. Ábrázolja a függvényt: $5x + y -4 = 0$.

2. Készítsen grafikonokat két függvényről, és keresse meg a metszéspontot: $x + 5y = 7$; $x - 4y = -2 $.

3. Az egyenlethez: $x + 2y - 4 = 0$, keressük meg annak a pontnak az ordinátáját, amelynek abszcissza egyenlő 4-gyel.

lehetőség II.

1. Ábrázolja a függvényt: $3x - y + 6 = 0$.

2. Készítsen grafikonokat két függvényről, és keresse meg a metszéspontot: $2x - 5y = $8; $2x - y = 0$.

3. Az egyenlethez: $2x + 4y - 5 = 0$, keressük meg annak a pontnak az ordinátáját, amelynek abszcissza egyenlő 5-tel.

lehetőség III.

1. Ábrázolja a függvényt: $2x - 2y - 6 = 0$.

2. Készítsen grafikonokat két függvényről, és keresse meg a metszéspontot: $2х + 2у = 10$; x - 2 év = 5 dollár.

3. Az egyenlethez: $x + 4y - 2 = 0$, keressük meg annak a pontnak az ordinátáját, amelynek abszcissza egyenlő 5-tel.

7. sz. önálló munka (1 negyed) "Lineáris függvény és grafikonja"

I. lehetőség.

1. Adott egy lineáris egyenlet: $x - 2y - 4 = 0$. Alakítsa át a következő alakra: $y = kx + m$. Keresse meg $k$ és $m$ értékét.

a) $y = 6x - 2 $, ahol $x = 2 $; b) $y = -3x + 5 $, ahol $х = 3 $.

3. Rajzolja fel a függvény grafikonját: $y = 3\frac(5)(8)x -\frac(1)(2)$.

4. Adott egy lineáris egyenlet: $y = 4 - 3x$. Számítsa ki annak az argumentumnak az értékét, amelynél értékeket vesz fel:
a) 3; b) -2; c) -1.1.

5. Melyik pontban metszi egymást kettő? lineáris függvények: $y = 3x - 12 $ és $y = -2x + 3 $?

6. Be adott intervallum$[-3; +3]$ megtalálja a legnagyobb és legkisebb érték függvények $y=-5x + 4$.

lehetőség II.

1. Adott egy lineáris egyenlet: $2x - 3y - 5 = 0$. Alakítsa át a következő alakra: $y = kx + m$. Keresse meg $k$ és $m$ értékét.

2. Keresse meg a függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert.
a) $y = 2x + 2$, ahol $x = 1$; b) $y = 3x - 6 $, ahol $x = 4 $.

3. Rajzolja fel a függvény grafikonját: $y = 4\frac(2)(3)x - \frac(3)(6)$.

4. Adott egy lineáris egyenlet: $y = 5 + 2x$. Számítsa ki annak az argumentumnak az értékét, amelynél értékeket vesz fel:
a) -2; b) -4; c) -2.6.

5. Melyik pontban metszi egymást két lineáris függvény: $y = 2x - 5$ és $y = -3x + 10$?

6. Adott intervallumon $[-2; +6]$ keresse meg a $y=-2x - 2$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

lehetőség III.

1. Adott egy lineáris egyenlet: $3x - y + 2 = 0$. Alakítsd át $y = kx + m$ alakra. Keresse meg $k$ és $m$ értékét.

2. Keresse meg a függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert.
a) $y = -2x +5 $, ahol $x = 3 $; b) $y = -2x + 6 $, ahol $х = -1 $.

3. Készítse el a függvény grafikonját: $y = 2\frac(1)(4)x + \frac(2)(3)$.

4. Adott egy lineáris egyenlet: $y = 3 +2x$. Számítsa ki annak az argumentumnak az értékét, amelynél értékeket vesz fel:
a) -1; b) -4; 2-kor.

5. Melyik pontban metszi egymást két lineáris függvény: $y = -2x +4$ és $y = -4x - 2$?

6. Adott $$ intervallumon keressük meg a $y=3x-5$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

1. sz. önálló munka (2. negyed) "Két változós lineáris egyenletrendszerek"

I. lehetőség

1. Adott egy egyenletrendszer. Nézze meg, melyik számpár (4;0), (3;4), (0;5) a megoldása erre az egyenletrendszerre.
$\begin (esetek) 2x+y=10, \\ 4x-2y=4. \end (esetek)$

$\begin (esetek) x-y=2, \\ 3x+3y=6. \end (esetek)$

a) $\begin (esetek) x=-y, \\ 3x-y=8. \end (esetek)$

B) $\begin (esetek) x=2y, \\ 2x+4y=40. \end (esetek)$

a) $\begin (esetek) x=y+4, \\ -x=-3y-4. \end (esetek)$

B) $\begin (esetek) x=4y, \\ 2x+4y=24. \end (esetek)$

5. Oldja meg a problémát.
Két szám összege 9, a különbség pedig 1. Keresse meg ezeket a számokat!

6. Oldja meg a problémát.
2 szám van megadva. Ezeknek a számoknak az összege 80. Ha az első számot kétszeresére csökkentjük, a másodikat pedig 2-szeresére növeljük, akkor az összeg 115 lesz. Mire egyenlők ezek a számok?

lehetőség II

1. Adott egy egyenletrendszer. Nézze meg, melyik számpár (2;6), (-3;4), (2;4) a megoldása erre az egyenletrendszerre.
$\begin (esetek) 5x-3y=-2, \\ 3x+y=10. \end (esetek)$

2. Oldja meg grafikusan a megadott egyenletrendszert!
$\begin (esetek) 2x-2y=6, \\ x-y=1. \end (esetek)$

3. Adott egyenletrendszerek. Oldja meg őket a staging módszerrel.
a) $\begin (esetek) x=-0,5y, \\ 3x-y=15. \end (esetek)$

B) $\begin (esetek) x=-3y, \\ 3x+4y=10. \end (esetek)$

4. Döntse el adott rendszerek egyenletek az algebrai összeadás módszerével.
a) $\begin (esetek) x=2y-1, \\ x-3y=-4. \end (esetek)$

B) $\begin (esetek) x=4y, \\ 2x-4y=4. \end (esetek)$

5. Oldja meg a problémát.
Két szám összege 10, az első és a második szám háromszorosa közötti különbség pedig 2. Keresse meg ezeket a számokat.

6. Oldja meg a problémát.
Két gazda 300 kg bogyót gyűjtött júliusban. Augusztusban az első gazda kétszer több bogyót gyűjtött, a második pedig feleannyit, mint júliusban. Hány kg bogyót gyűjtöttek a gazdák havonta, ha augusztusban 450 kg-ot szedtek össze?

lehetőség III

1. Adott egy egyenletrendszer. Nézze meg, melyik számpár (2;6), (3;-2), (2;4) a megoldása erre az egyenletrendszerre.
$\begin (esetek) 2x-4y=14, \\ -3x+y=-11. \end (esetek)$

2. Oldja meg grafikusan a megadott egyenletrendszert!
$\begin (esetek) 5x+5y=-5, \\ 5x+y=3. \end (esetek)$

3. Adott egyenletrendszerek. Oldja meg őket a staging módszerrel.
a) $\begin (esetek) x=-y, \\ 3x-2y=5. \end (esetek)$

B) $\begin (esetek) x+y=4, \\ 3x+4y=12. \end (esetek)$

4. Oldja meg a megadott egyenletrendszereket algebrai összeadás módszerével!
a) $\begin (esetek) x=y+1, \\ x-2y=1. \end (esetek)$

B) $\begin (esetek) x=2y,\\ x-4y=12. \end (esetek)$

5. Oldja meg a problémát.
Két szám összege 10, a különbség pedig -2. Keresse meg ezeket a számokat.

6. Oldja meg a problémát.
Egy hajó két falu közötti távolságot 4 óra alatt teszi meg lefelé és 6 óra alatt az áramlattal szemben. Határozza meg a csónak sebességét és a folyó áramlását, ha a falvak távolsága 60 km.

2. sz. önálló munka (2. negyedév) "Fokozat természetes indikátorral és tulajdonságaival"

I. lehetőség.

a) 3,4 * 3,4 * 3,4 * 3,4.
b) a * a * a * a * a * a * a.

2. Számolja ki:
a) $5^3$.
b) 7^3-4^4$.

3. Oldja meg az egyenleteket:
a) $5x^3=320$.
b) $3^(x-3)=81$.

4. Határozza meg egy kocka térfogatát és területét, ha az éle 4 cm!

a) $x^3* x^5$.
b) $x^6* x^4$.
c) $(a^3)^6$.

6. Számítsa ki: $\frac(2^6*(2^3)^2)(2^4)$.

7. A kifejezések adottak. Emelje őket hatalomra.
a) $(4z^3)^3$.
b) $(6x^3y^3)^2$.
c) $\frac((2a^3)^4)((b^2)^3)$.

lehetőség II.

1. Írja ezeket a kifejezéseket hatványként:
a) 5,1 * 5,1 * 5,1 * 5,1.
b) d * d * d * d * d * d * d * d.

2. Számolja ki:
a) $4^5$.
b) 8^2-6^3$.

3. Oldja meg az egyenleteket:
a) $2y^2=162$.
b) $4^(x-3)=64$.

4. Határozza meg a kocka térfogatát és élének hosszát, ha a felülete 216 cm 2!

5. A kifejezések adottak. Fejezd ki ezeket képességként:
a) $y^4* y^3$.
b) $z^6* z^2$.
c) $(b^4)^5$.

6. Számítsa ki: $\frac(3^6*(3^2)^3)(3^4)$.

a) $(2y^2)^4$.
b) $(5x^2z^3)^3$.
c) $\frac((3c^4)^5)((d^2)^2)$.

lehetőség III.

1. Írja ezeket a kifejezéseket hatványként:
a) 6,2 * 6,2 * 6,2.
b) z*z*z*z.

2. Számolja ki:
a) $6^4$.
a) 5^2-3^4$.

3. Oldja meg az egyenleteket:
a) $2f^4=512$.
b) $3^(x-1)=81$.

4. Egy kocka térfogata 125 cm3. Határozza meg a kocka élének hosszát és területét!

5. A kifejezések adottak. Fejezd ki ezeket képességként:
a) $z^4* z^2$.
b) $\frac(y^5)(y^2)$.
c) $(c^4)^6$.

6. Számolja ki:
$\frac(4^6*(4^3)^3)(4^5)$.

7. A kifejezések adottak. Emelje őket hatalomra:
a) $(3a^2)^2$.
b) $(5z^3)^2$.
c) $\frac((2d^5)^6)((c^2)^3)$.

1. sz. önálló munka (3. negyed) "Egy monom standard formája", "Monomiális összeadás és kivonás"

I. lehetőség.

5 3 x 3 év 4 * (-3 x 2 év 4).

2. Egyszerűsítés: 5ab 3 - 3ab 3 + 4ab 3.

3. Egyszerűsítse a megadott kifejezést, és keresse meg értékét $y=2$, $t= 0.5$.
-4t 3 év 2 + 3 év 2 - 2t 2 + 3t 2 + y 2.

Egy busz turistákkal az út 2⁄9-ét 60 km/h-s sebességgel, 4⁄9-ét 50 km/h-s sebességgel tette meg. A maradék 18 km-t 60 km/órás sebességgel tette meg. Meddig utazott a turistabusz?

lehetőség II.

1. Csökkentse az adott monomit standard formára.

3 4 év 3 x 2 * 3 év 4 x 5 .

2. Egyszerűsítés: 2cd 4 - 3cd 4 + 7cd 4.

3. Egyszerűsítse a megadott kifejezést, és keresse meg értékét $d=0,3$-ban; $e=2$.
5d 3 e 2 + 2d 2 - 2e 2 + 4d 2 + e 2

4. Oldja meg a feladatot, kiemelve a matematikai modellezés három szakaszát!
A sportoló 3⁄8 távot futott 12 km/h sebességgel, és 1⁄8 távot 15 km/h sebességgel. A maradék 5 km-t 10 km/h-s sebességgel futotta. Meddig futott a sportoló?

lehetőség III.

1. Csökkentse az adott monomit standard formára.

5 3 a 2 b 3 * 2y 3 a 3 .

2. Egyszerűsítés: 4 perc 2 + 5 perc 2 - 6 perc 2.

3. Egyszerűsítse a megadott kifejezést, és keresse meg értékét t= - 1 ⁄ 2, $u= 6$ esetén.
-3t 3 u 2 + 5t 2 - 7t 3 u 2 + 3t 2 + u 2 .

4. Oldja meg a feladatot, kiemelve a matematikai modellezés három szakaszát!
A kerékpáros az út 1⁄5-ét 25 km/órás sebességgel, 3⁄5-ét 30 km/órás sebességgel tette meg. A maradék 10 km-t 18 km/h-s sebességgel tette meg. Milyen messzire utazott a sportoló?

2. sz. önálló munka (3. negyed) „Monomiálisok szorzása”, „Monomiális felemelése természetes hatványra”, „Monomiális osztás monomimmal”

I. lehetőség.

1. Számítsa ki.
a) 3n ​​3 m 2 *(- 4m 3 n 4).
b) 2 ⁄ 7 x 2 y 4 * 1 ⁄ 3 x 3 y 4 .

2. Oldja meg a problémát.
2 négyzet van megadva. A nagyobb négyzet oldala 1,5-szeres több oldal kisebb négyzet. A nagyobb négyzet területe pedig 125 cm 2 több területet kisebb négyzet. Keresse meg a négyzetek oldalait.
3. Osszuk el a monomit a monomimmal: $\frac((-6a^4b)^3)(3a^3)$.
4. Egyszerűsítse a kifejezést: $\frac((3x^3d^2)^3)((xd^2)^2)$.

lehetőség II.

1. Számítsa ki.
a) 5y 2 z 3* (- 6y 4 z 4).

B) 3 ⁄ 8 a 4 b 2 * 1 ⁄ 8 a 2 b 3 .

2. Osszuk el a monomit a monomimmal: $\frac(5b^4d^2)(7b^2)$.

3. Egyszerűsítse a kifejezést: $\frac((5c^3z^4)^2)(cz^3)$.

lehetőség III.

1. Számítsa ki.
a) - 6tu 2 * 5t 4 u 3.

B) 5 ⁄ 9 x 2 y 3 * 1 ⁄ 9 x 2 y 2 .

2. Osszuk el a monomit a monomimmal: $\frac(14z^4e^3)(7z^3)$.

3. Egyszerűsítse a kifejezést: $\frac((8t^5u^5)^2)(4t^3)$.

1. sz. önálló munka (4. negyed) "Polinom faktorálása"

I. lehetőség.

1. Számítsa ki a következő kifejezést a legracionálisabb módon: 4,5 2 - 2,5 2!

2. Döntse el adott egyenlet: $(3x + 5)(2x - 2) = 0$.

3. Számítsa ki a kifejezést a legracionálisabb módon: $\frac(346^2- 146^2)(50 * 512)$.

4. Fektesse ki a következő kifejezéseket szorzókkal:
a) 4y + 8y 2 .
b) 7z 5 - 21z 2.
c) 6a 2 b 5 c + 24 ab 2 c - 8 a 2 b 3 .

5. Oldja meg az egyenletet: 3y 2 - 9 y =0.

lehetőség II.

1. Számítsa ki a következő kifejezést a legracionálisabb módon: 12,5 2 - 7,5 2!

2. Oldja meg a megadott egyenletet: $(4y + 6)(y - 3) = 0$.

3. Számítsa ki a kifejezést a legracionálisabb módon: $\frac((456)^2-(256)^2)(1200 * 1024)$.

a) 2z + 6z 2 .
b) 8 év 5 - 24 év 3.
c) 2abc -3 a 2 b 2 + 4 a 2 b 3 c.
5. Oldja meg az egyenletet: 6y 2 + 4y =0.

lehetőség III.

1. Számítsa ki a következő kifejezést a legracionálisabb módon: 8,2 2 - 4,2 2!

2. Oldja meg a megadott egyenletet: $(2z - 3)(z + 5) = 0$.

3. Számítsa ki a kifejezést a legracionálisabb módon: $\frac((663)^2-(363)^2)(40 * 243)$.

4. Tényezősítse a következő kifejezéseket!
a) 3x + 9x 2 .
b) 12 év 4 - 26 év 2 .
c) 3x 2 y 5 z+12xy 2 z - 9x 2 y 3 z.

5. Oldja meg a megadott egyenletet: 5a 2 + 10a =0!

I. lehetőség.
1. 40,6.
2. 2,5.
3. $x=-0,25 $.
lehetőség II.
1. $20,525$.
2. -14 $\frac(23)(30)$.
3. $x=0,4 $.
lehetőség III.
1. $12\frac(87)(90)$.
2. $-14,6$.
3. $y=5$.

I. lehetőség.
1. $a^3-b^3$.
2. Bármely $a$ számra igaz az $a*a=a^2$ állítás.
3. $3\frac(3)(4)+5\frac(4)(8)*\frac(1)(8)=4,4375 USD.
4. $13x+$20.
lehetőség II.
1. $x^2+y^2$.
2. Bármely $a$ számra igaz az $a*(-1)=-a$ ​​állítás.
3. $3\frac(5)(8)-2\frac(5)(8):\frac(1)(2)=-1\frac(5)(8)$.
4. Megteszik a $(6x+6)$ távolságot. A második gyalogosnak $\frac(10)(x+2)$ órára lesz szüksége.
lehetőség III.
1. $3(n-m)$.
2. Bármely $a$, $b$ számra igaz a következő állítás: $1:(\frac(a)(b))=\frac(b)(a)$.
3. $6\frac(5)(8)+1\frac(5)(9):\frac(2)(9)=-\frac(3)(8)$.
4. Egy hajó 10 km-t tesz meg $\frac(5)(x+1)$-ért. A mólóhoz való visszatérés 5 órát vesz igénybe.

I. lehetőség.
1.
a) $z=\frac(8)(3)$.
b) $x=-1$.
2. 10,5 km/h.
lehetőség II.
1.
a) $z=2$.
b) $y=-44 $.
2. 60 km/h.
lehetőség III.
1.
a) $6\frac(6)(11)$.
b) -14,5,20 km/h.
2. 20 km/h.

I. lehetőség.

lehetőség II.
3. 43.
lehetőség III.
3. Ebben az intervallumban nincsenek természetes számok.

I. lehetőség.
2. $x=2$, $y=1$.
3. $y=0$.
lehetőség II.
2. $x=-1$, $y=-2$.
3. $y=-1,25 $.
lehetőség III.
2. $x=5$, $y=0$.
3. $y=-0,75 $.

I. lehetőség.
1. $y=0,5x+2$.
2.
a) $y=10$.
b) $y=-4$.
4.
a) $x=\frac(1)(3)$.
b) $x=2$.
c) $x=1,7 $.
5. Pont $x=3$, $y=-3$ koordinátákkal.
6. $y_(perc)=-11$, $y_(max)=19$.
lehetőség II.
1. $y=\frac(2)(3)x-\frac(5)(3)$.
2.
a) $y=4$.
b) $y=6$.
4.
a) $x=-3,5 $.
b) $x=-4,5 $.
c) $x=-3,8 $.
5. Pont $x=3$, $y=1$ koordinátákkal.
6. $y_(min)=2$, $y_(max)=-14$.
lehetőség III.
1. $y=3x+2$.
2.
a) $y=-1$.
b) $y=8$.
4.
a) $x=-2$.
b) $x=3,5 $.
c) $x=-0,5 $.
5. Pont $x=-3$, $y=10$ koordinátákkal.
6. $y_(min)=-5$, $y_(max)=16$.

I. lehetőség.
1. Pont koordinátákkal (3;4).
2. Pont koordinátákkal (2;0).
3.
a) $x=2$, $y=-2$.
b) $x=10$, $y=5$.
4.
a) $x=4$, $y=0$.
b) $x=8$, $y=2$.
5. Az egyik szám 5, a másik szám 4.
6. Az egyik szám 30, a másik szám 50.
lehetőség II.
1. Pont koordinátákkal (2;4).
2. Nincs metszéspont.
3.
a) $x=3$, $y=-6$.
b) $x=6$, $y=-2$.
4.
a) $x=5$, $y=3$.
b) $x=4$, $y=1$.
5. Az egyik szám 3, a másik szám 7.
6. Júliusban az első gazda 200 kg-ot, a második 100 kg-ot gyűjtött. Augusztusban az első gazda 400 kg-ot, a második 50 kg-ot gyűjtött.
lehetőség III.
1. Pont koordinátákkal (3;-2).
2. Pont koordinátákkal (1;-2).
3.
a) $x=1$, $y=-1$.
b) $x=4$, $y=0$.
4.
a) $x=1$, $y=0$.
b) $x=-12$, $y=-6$.
5. Az egyik szám 4, a másik szám 6.
6. A csónak sebessége 12,5 km/h. A folyó áramlási sebessége 2,5 km/h.

I. lehetőség.
1. a) $(3,4)^4$; b) $a^7$.
2. a) 125; b) 87.
3. a) $x=4$; b) $x=7$.
4. $V=64 (cm)^3$. $S=96 (cm)^2$.
5. a) $x^8$; b) $x^(10)$; c) $a^(18)$.
6. 256.
7. a) $64z^9$; b) $36x^6y^6$; c) $\frac(16a^(12))(b^6)$.
lehetőség II.
1. a) $(5,1)^4$; b) $d^8$.
2. a) 1024; b) -152.
3. a) $y=9$; b) $x=6$.
4. $V=216 (cm)^3$; $a=6 cm$.
5. a) $y^7$; b) $z^8$; c) $b^(20)$.
6. 6561.
7. a) $16y^8$; b) $125x^6z^9$; c) $\frac(243c^(20))(d^4)$.
lehetőség III.
1. a) $(6,2)^3$; b) $z^4$.
2. a) 1296; b) -56.
3. a) $f=4$; b) $x=5$.
4. $a=5 cm$. $S=150 (cm)^2$.
5. a) $z^6$; b) $y^3$; c) $c^24$.
6. 64.
7. a) $9a^4$; b) $25z^6$; c) $\frac(64d^(30))(c^6)$.

I. lehetőség.
1. -375x^5y^8$.
2. $6ab^3$.
3. 3,25.
4. 54 km.
lehetőség II.
1. $243x^7y^7$.
2. $6cd^4$.
3. -2,92.
4. 10 km.
lehetőség III.
1. -250a^5b^3y^3$.
2. 3 millió dollár ^ 2 dollár.
3. 83.
4. 50 km.

I. lehetőség.
1. a) $-12n^7m^5$; b) $\frac(2)(21)x^5y^8$.
2. 10 cm és 15 cm.
3. -72a^9b^3$.
4. $27x^7d^4$.
lehetőség II.
1. a) $-30y^6z^7$ b) $\frac(3)(64)a^6b^5$.
2. $\frac(5)(7)b^2d^2$.
3. 25c^5Z^5$.
lehetőség III.
1. $-30t^5u^5$; b) $\frac(5)(81)x^4y^4$.
2. $2ze^3$.
3. $16t^7u^(10)$.

I. lehetőség.
1. 14.
2. $3x^2+2x-5=0$.
3. $\frac(123)(32)$.
4. a) $4y(1+2y)$; b) $7z^2(z^3-3)$; c) $2ab(3ab^4c+12bc-4ab^2)$.
5. $y=3$.
lehetőség II.
1. 25.
2. $2y^2-3y-9=0$.
3. $\frac(89)(768)$.
4. a) $2z(1+3z)$; b) $8y^3(y^2-3)$; c) $ab(2c-3ab+4ab^2c)$.
5. $y=-\frac(2)(3)$.
lehetőség III.
1. 49,6.
2. $2z^2+7z-15=0$.
3. $\frac(2565)(81)$.
4. a) $3x(1+3x)$; b) $2y^2(6y^2-13)$; c) $3xy^2z(xy^3+4-3xy)$.
5. $a=-2$.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete