Két egyenes egybeesésének jele, amelyet kanonikus egyenletek adnak meg. Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete? Hogyan lehet megtalálni a távolságot a metsző vonalak között

V. fejezet*. Egyenletek és síkok a térben.

66. § A síkok egybeesésének és metszéspontjának feltételei

Ha a repülőgép R 1 és R 2 , egyenletek által adott

A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 és A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0, (1)

van közös pont, akkor a koordinátái kielégítik az (1) egyenlet mindegyikét. Ezért a síkok közös pontjainak megtalálásához meg kell oldania az egyenletrendszert

azaz két egyenletrendszer három ismeretlennel. Amikor a feltétel teljesül

(3)

a (2) rendszernek nincs megoldása. Sőt, tételezzük fel az ellenkezőjét.
Tegyük fel, hogy ( x 0 ; nál nél 0 , z 0) - a rendszer megoldása. Aztán ha

akkor a (2) rendszer második egyenletéből azt kapjuk

A 2 x 0 + B 2 nál nél 0+C2 z 0 = - D 2 ,

és az elsőtől

k(A 2 x 0 + B 2 nál nél 0+C2 z 0) = - D 1 ,

és ezért ami ellentmond a (3) feltételnek.

Tudjuk, hogy a feltétel van egy feltétele, hogy a síkok párhuzamosak legyenek. Így, ha a (3) feltétel teljesül, a sík R 1 és R 2 párhuzamosak és nem esnek egybe.

Abban az esetben, ha az együtthatók és ingyenes tagok rendszerek (2) teljesítik a feltételt

(4)

úgy néz ki a rendszer

A rendszer minden egyenlete ugyanazt a síkot határozza meg. Így a (4) feltétel szükséges és elégséges állapot síkok egybeesése.

Ha a repülőgép R 1 és R 2 nem párhuzamos, azaz ha metszik egymást, akkor

Ebben az esetben a (2) egyenletek az egyenes egyenletei l sík kereszteződések R 1 és R 2. Mutassuk meg, hogyan találhatja meg ennek az egyenesnek a kanonikus egyenleteit. Egy egyenes kanonikus egyenleteinek összeállításához ismerni kell egy adott pont koordinátáit és irányvektorának koordinátáit A . A (2) rendszer bármely megoldása felvehető az M0 pont koordinátáinak. Útmutató vektorként A egyenes l felveheti a vektorok vektorszorzatát n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) és n 2 = (A 2 ; B 2 ; C 2), azaz síkok normálvektorai R 1 és R 2 .

Valóban (203. ábra) a vektor [ n 1 ; n 2 ] definíció szerint vektor termék merőleges a vektorokra n 1 és n 2, ezért párhuzamos a síkokkal R 1 és R 2, és ezért kollineáris a vonalhoz l a kereszteződéseiket.

1. probléma. Készítsen kanonikus egyenleteket egy olyan egyenesről, amely a síkok metszéspontja

x - 2nál nél + z+ 1 = 0 és 2 x - nál nél+ 3z - 2 = 0.

Mert n 1 = (1; - 2; 1), n 2 = (2; -1; 3), akkor

Egy adott egyenes bármely pontjának koordinátáinak meghatározásához az egyenletrendszer bármely megoldását megtaláljuk

Tegyük fel pl. z= 0, akkor kapjuk

ahol x = 5 / 3 , y= 4/3. Következésképpen az eredeti rendszernek van megoldása (5 / 3; 4 / 3; 0), ezért ez az egyenes átmegy az M ponton (5 / 3; 4 / 3; 0).

Ismerve egy egyenes pontjának koordinátáit és irányvektorának koordinátáit, felírjuk ennek az egyenesnek a kanonikus egyenleteit.

Vegye figyelembe, hogy ha az A sík 1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 és A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0 metszi egymást, akkor a metszésvonalukon átmenő bármely sík egyenlete felírható a következő alakba

α (A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1) + β(A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2) = 0,

ahol α és β néhány szám.

2. feladat.Írjon fel egyenletet a 3. síkok metszésvonalán átmenő síkra! x - 2nál nél - z+ 4 = 0 és x - 4nál nél - 3z- 2 = 0 és M 0 pont (1; 1; - 2).

Készítsünk egyenletet a síkok metszésvonalán átmenő síkok számára:

α(3 x - 2nál nél - z+ 4) + β( x - 4nál nél - 3z - 2) = 0.

Mivel M 0 a kívánt síkhoz tartozik, akkor

α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) + β (1 - 4 1 + 6 -2) = 0,

és ezért

ahonnan például α = 1, β = -7.

A sík szükséges egyenlete a következő lesz

3x - 2nál nél - z + 4 - 7 (x - 4nál nél - 3z - 2) = 0,

2x - 13nál nél - 10z- 9 = 0.

Adjunk most két egyenletet:

Nézzük meg, mikor párhuzamosak az ezen egyenletek által meghatározott d és d egyenesek tág értelemben amikor egybeesnek, amikor párhuzamosak a maga értelmében(azaz nincs egyetlen közös pontjuk).

Az első kérdésre azonnali válasz: a d és d egyenesek akkor és csak akkor párhuzamosak tág értelemben, ha irányvektoraik kollineárisak, vagyis ha van arány, tehát arány

Ha ez az arány kiterjeszthető arra az arányra

akkor az egyenesek egybeesnek: ebben az esetben a két (1), (G) egyenlet egyikének összes együtthatója a másik együtthatóiból adódik úgy, hogy néhányat megszorozunk, és ezért az (1) egyenletek ekvivalensek (minden pont, amely kielégíti az egyik Egyenlet kielégíti a másikat).

Ezzel szemben, ha két egyenes egybeesik, akkor a (3) arány érvényesül.

Bizonyítsuk be ezt először abban az esetben, ha egyeneseink párhuzamosak az ordinátatengellyel. Ezután már csak az egyenlőséget kell bizonyítanunk.

De az utolsó egyenlőség (amelyben abból adódik, hogy mindkét (egybeeső) egyenes az abszcissza tengelyét ugyanabban a pontban metszi az abszcisszával.

Az egybeeső prímek most ne legyenek párhuzamosak az ordinátatengellyel. Ekkor ugyanabban a Q pontban metszik az ordinátával és kapunk egy arányt, amely a (2) arány mellett (amely az egyenesek tágabb értelemben vett párhuzamosságát fejezi ki) megadja a kívánt arányt (3).

A megfelelő értelemben vett párhuzamosság azt jelenti, hogy van tág értelemben vett párhuzamosság (azaz a (2) feltétel teljesül), de nincs véletlen (azaz nem teljesül). Ez azt jelenti, hogy az arány

történik, míg

Két reláció (2) és (4) kombinációját általában egy képlet formájában írják le:

Foglaljunk össze mindent, ami bevált.

1. Tétel. Minden d egyenes egy olyan síkon, amely a affin rendszer A koordinátákat a pontjainak koordinátái közötti elsőfokú egyenlet határozza meg. Ezzel szemben minden elsőfokú egyenlet

valamilyen (egyetlen) d egyenes egyenlete; Ráadásul minden vektor kollineáris ehhez az egyeneshez, és csak ezek teljesítik a homogén egyenletet

Ebben a cikkben részletesen foglalkozunk a geometria egyik elsődleges fogalmával - a síkon lévő egyenes fogalmával. Először is határozzuk meg az alapvető kifejezéseket és megnevezéseket. Ezután egy egyenes és egy pont, valamint két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét tárgyaljuk egy síkon, és bemutatjuk a szükséges axiómákat. Végezetül megvizsgáljuk, hogyan határozhatunk meg egy egyenest egy síkon, és grafikus illusztrációkat adunk.

Oldalnavigáció.

Az egyenes egy síkon egy fogalom.

Mielőtt megadná az egyenes vonal fogalmát egy síkon, világosan meg kell értenie, mi a sík. Egy sík fogalma lehetővé teszi, hogy pl. Sima felület asztal vagy a ház fala. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a táblázat méretei korlátozottak, és a sík túlnyúlik ezeken a határokon a végtelenségig (mintha tetszőlegesen nagy asztalunk lenne).

Ha fogunk egy jól kihegyezett ceruzát, és a hegyét az „asztal” felületéhez érintjük, egy pont képét kapjuk. Így kapjuk egy pont ábrázolása egy síkon.

Most továbbléphet a síkon lévő egyenes fogalma.

Helyezzen egy tiszta papírlapot az asztal felületére (síkra). Ahhoz, hogy egyenes vonalat húzhassunk, vegyünk egy vonalzót, és húzzunk egy vonalat ceruzával, amennyire a vonalzó és a használt papírlap mérete megengedi. Megjegyzendő, hogy így a sornak csak egy részét kapjuk meg. Csak egy egész egyenest tudunk elképzelni, amely a végtelenbe nyúlik.

Egy egyenes és egy pont egymáshoz viszonyított helyzete.

Kezdjük az axiómával: minden egyenesen és minden síkban vannak pontok.

A pontokat általában nagy betűkkel jelölik latin betűkkel például az A és F pont. Az egyenes vonalakat viszont kis latin betűkkel jelölik, például egyenes vonalakat a és d.

Lehetséges két lehetőség egy egyenes és egy pont egymáshoz viszonyított helyzetére a síkon: vagy az egyenesen fekszik a pont (ebben az esetben azt is mondják, hogy az egyenes átmegy a ponton), vagy a pont nem fekszik az egyenesen (azt is mondják, hogy a pont nem tartozik az egyeneshez ill. vonal nem megy át a ponton).

Annak jelzésére, hogy egy pont egy bizonyos vonalhoz tartozik, használja a „” szimbólumot. Például, ha az A pont az a egyenesen fekszik, akkor felírhatjuk . Ha az A pont nem tartozik az a egyeneshez, akkor írjuk be.

Becsületes a következő kijelentést: Bármely két ponton csak egy egyenes halad át.

Ez az állítás axióma, és tényként kell elfogadni. Ráadásul ez teljesen nyilvánvaló: megjelölünk két pontot a papíron, vonalzót alkalmazunk rájuk és húzunk egy egyenest. Egy két adott ponton (például A és B ponton) átmenő egyenest ezzel a két betűvel jelölhetjük (esetünkben AB vagy BA egyenes).

Meg kell érteni, hogy egy síkon meghatározott egyenesen végtelenül sok különböző pont van, és ezek a pontok mindegyike ugyanabban a síkban található. Ezt az állítást az axióma állítja fel: ha egy egyenes két pontja egy bizonyos síkban van, akkor ennek az egyenesnek minden pontja ebben a síkban van.

Az egyenesen adott két pont között elhelyezkedő összes pont halmazát ezekkel a pontokkal együtt nevezzük egyenes szakasz vagy egyszerűen szegmens. A szakaszt határoló pontokat a szakasz végeinek nevezzük. Egy szakaszt két betű jelöl, megfelelő pontokat a szegmens végeit. Legyen például az A és B pont egy szakasz vége, akkor ezt a szakaszt jelölhetjük AB-nak vagy BA-nak. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ez a szakasz megjelölése egybeesik az egyenes megjelölésével. A félreértések elkerülése érdekében javasoljuk a „szegmens” vagy „egyenes” szó hozzáadását a jelöléshez.

Annak röviden rögzítéséhez, hogy egy adott pont egy adott szegmenshez tartozik-e vagy sem, ugyanazokat a szimbólumokat és szimbólumokat kell használni. Annak kimutatására, hogy egy adott szakasz egy vonalon fekszik vagy nem, használja a és a szimbólumokat. Például, ha az AB szegmens az a sorhoz tartozik, akkor röviden beírhatja a -t.

Meg kell időznünk azt az esetet is, amikor három különböző pont tartozik ugyanahhoz az egyeneshez. Ebben az esetben egy, és csak egy pont van a másik kettő között. Ez az állítás egy másik axióma. Legyen az A, B és C pont ugyanazon az egyenesen, a B pont pedig az A és C pontok között. Ekkor azt mondhatjuk, hogy az A és C pontok mentén helyezkednek el különböző oldalak a B pontból. Azt is mondhatjuk, hogy a B és C pont az A pont azonos oldalán, az A és B pont pedig a C pont ugyanazon oldalán található.

A kép teljessé tétele érdekében megjegyezzük, hogy a vonal bármely pontja ezt a vonalat két részre - kettőre - osztja gerenda. Erre az esetre adott egy axióma: egy tetszőleges O pont, amely egy egyeneshez tartozik, ezt az egyenest két sugárra osztja, és egy sugár tetszőleges két pontja az O pont ugyanazon az oldalán található, és bármely két pont különböző sugarak- az O pont ellentétes oldalán.

A vonalak egymáshoz viszonyított helyzete egy síkon.

Most válaszoljunk a kérdésre: „Hogyan helyezkedhet el két egyenes egy síkban egymáshoz képest?”

Először is két egyenes egy síkon lehet egybeesik.

Ez akkor lehetséges, ha a vonalaknak legalább két közös pontja van. Valójában az előző bekezdésben leírt axióma értelmében csak egyetlen egyenes halad át két ponton. Más szóval, ha két egyenes átmegy két adott ponton, akkor egybeesik.

Másodszor, két egyenes egy síkon lehet kereszt.

Ebben az esetben az egyeneseknek van egy közös pontja, amelyet az egyenesek metszéspontjának nevezünk. A vonalak metszéspontját a „” szimbólum jelöli, például a bejegyzés azt jelenti, hogy az a és b vonalak az M pontban metszik egymást. A metsző egyenesek elvezetnek minket a metsző egyenesek közötti szög fogalmához. Külön-külön érdemes figyelembe venni az egyenes vonalak elhelyezkedését egy síkon, ha a köztük lévő szög kilencven fok. Ebben az esetben a vonalakat hívják merőleges(a merőleges vonalak, sorok merőlegessége cikket ajánljuk). Ha az a vonal merőleges a b egyenesre, akkor használhatja rövid jegyzet.

Harmadszor, egy síkon két egyenes lehet párhuzamos.

Egy egyenes vonal egy síkon gyakorlati szempont célszerű a vektorokkal együtt figyelembe venni. Különleges jelentés Ha egy adott egyenesen vagy bármely párhuzamos egyenesen nullától eltérő vektorok vannak, ezeket hívjuk egyenes irányító vektorai. Az Egyenes vektorának irányítása síkon című cikk példákat ad az irányítóvektorokra, és bemutatja azok felhasználási lehetőségeit a problémák megoldásában.

Figyelni kell azokra a nem nulla vektorokra is, amelyek az erre merőleges egyeneseken helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún normál vonalvektorok. A normálvonalvektorok használatát a Normálvonalvektor egy síkon című cikk írja le.

Ha egy síkon három vagy több egyenes van megadva, akkor halmaz keletkezik különféle lehetőségeket relatív helyzetüket. Minden egyenes lehet párhuzamos, in másképp némelyik vagy mindegyik átfedi egymást. Ebben az esetben az összes egyenes metszi egymást egy pontban (lásd a cikket egy csomó vonalról), vagy különböző pontokat kereszteződések.

Nem térünk ki erre részletesen, de bizonyíték nélkül bemutatunk néhány figyelemre méltó és nagyon gyakran használt tényt:

ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak egymással;
ha két egyenes merőleges egy harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak egymással;
Ha egy síkon egy bizonyos egyenes két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, akkor a második egyenest is metszi.

Egyenes síkon történő meghatározásának módszerei.

Most felsoroljuk azokat a főbb módokat, amelyekkel meghatározhat egy adott egyenest egy síkon. Ez a tudás gyakorlati szempontból nagyon hasznos, hiszen számos példa és probléma megoldása ezekre épül.

Először is, egy egyenes definiálható két pont megadásával egy síkon.

Valójában a cikk első bekezdésében tárgyalt axiómából tudjuk, hogy egy egyenes két ponton halad át, és csak egy.

Ha be téglalap alakú rendszer A síkon lévő koordináták két divergens pont koordinátáit jelzik, vagyis azt a képességet, hogy két adott ponton átmenő egyenes egyenletét írjuk fel.

Másodszor, egy egyenes megadható annak a pontnak a megadásával, amelyen áthalad, és azt az egyenest, amellyel párhuzamos. Ez a módszer igazságos, hiszen végig ez a pont síkban egy adott egyenessel csak egy párhuzamos egyenes van. Ennek a ténynek a bizonyítását a geometria órákon végezték el Gimnázium.

Ha egy síkon egy egyenest így adunk meg a beírt téglalaphoz képest Descartes-rendszer koordináták, vagyis az egyenlete létrehozásának képessége. Erről az adott egyenessel párhuzamos, adott ponton átmenő egyenes cikkegyenlete ír.

Harmadszor, egy egyenes úgy határozható meg, hogy megadjuk azt a pontot, amelyen áthalad, és az irányvektorát.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben így adunk meg egy egyenest, akkor könnyen megszerkeszthető a síkon lévő egyenes kanonikus egyenlete, a síkon pedig az egyenes paraméteres egyenlete.

Az egyenes megadásának negyedik módja annak a pontnak a megjelölése, amelyen áthalad, és azt az egyenest, amelyre merőleges. Valóban, keresztül adott pont síkban csak egy egyenes van, amely merőleges az adott egyenesre. Hagyjuk ezt a tényt bizonyíték nélkül.

Végül egy síkon lévő egyenes megadható annak a pontnak a megadásával, amelyen áthalad, és normál vektor egyenes.

Ha egy adott egyenesen fekvő pont koordinátái és az egyenes normálvektorának koordinátái ismertek, akkor fel lehet írni az egyenes általános egyenletét.

Bibliográfia.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7 – 9. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Tankönyv a középiskola 10-11 osztályos számára.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: Elemek lineáris algebraés analitikus geometria.
Iljin V.A., Poznyak E.G. Analitikus geometria.

A szerzői jog okosdiákok tulajdona

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

Ez a cikk a párhuzamos egyenesekről és a párhuzamos egyenesekről szól. Először a párhuzamos egyenesek definícióját adjuk meg síkon és térben, jelöléseket mutatunk be, példákat és grafikus illusztrációkat mutatunk be párhuzamos egyenesekre. Ezután az egyenesek párhuzamosságának előjeleit és feltételeit tárgyaljuk. A következtetés megoldásokat mutat jellemző feladatok a téglalap alakú koordinátarendszerben lévő egyenesek bizonyos egyenleteivel adott egyenesek párhuzamosságának bizonyítása síkon és háromdimenziós tér.

Oldalnavigáció.

Párhuzamos vonalak - alapvető információk.

Meghatározás.

Egy síkban két egyenest hívnak párhuzamos, ha nincsenek közös pontjaik.

Meghatározás.

A háromdimenziós térben lévő két vonalat ún párhuzamos, ha egy síkban fekszenek és nincs közös pontjuk.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a „ha ugyanabban a síkban fekszenek” kitétel a térbeli párhuzamos egyenesek meghatározásában nagyon fontos. Tisztázzuk ezt a pontot: a háromdimenziós térben lévő két olyan egyenes, amelynek nincs közös pontja és nem esik egy síkban, nem párhuzamos, hanem metszi egymást.

Íme néhány példa párhuzamos vonalakra. A jegyzetfüzet lap átellenes élei párhuzamos vonalakon fekszenek. Az egyenes vonalak, amelyek mentén a ház falának síkja metszi a mennyezet és a padló síkját, párhuzamosak. A sík terepen lévő vasúti sínek is párhuzamos vonalaknak tekinthetők.

A párhuzamos vonalak jelölésére használja a „” szimbólumot. Vagyis ha az a és b egyenesek párhuzamosak, akkor röviden felírhatunk egy b-t.

Figyelem: ha az a és b egyenes párhuzamos, akkor azt mondhatjuk, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, és azt is, hogy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Adjunk hangot a kijelentésnek, ami játszik fontos szerep párhuzamos egyenesek tanulmányozásakor egy síkon: egy adott ponton nem fekvő ponton keresztül egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át. Ezt az állítást tényként fogadjuk el (a planimetria ismert axiómái alapján nem bizonyítható), és a párhuzamos egyenesek axiómájának nevezzük.

A térbeli esetre érvényes a tétel: a tér bármely pontján keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át. Ez a tétel könnyen bebizonyítható a fenti párhuzamos egyenesek axiómájával (bizonyítását megtalálja a 10-11. osztályos geometria tankönyvben, amely a cikk végén található a irodalomjegyzékben).

A vonalak párhuzamossága - a párhuzamosság jelei és feltételei.

A vonalak párhuzamosságának jele elégséges feltétele az egyenesek párhuzamosságának, vagyis olyan feltétel, amelynek teljesítése garantálja az egyenesek párhuzamosságát. Más szóval, ennek a feltételnek a teljesülése elegendő annak megállapításához, hogy a vonalak párhuzamosak.

Az egyenesek síkbeli és háromdimenziós térbeli párhuzamosságának is megvannak a szükséges és elégséges feltételei.

Magyarázzuk meg a „szükséges és elégséges feltétel a párhuzamos egyenesekhez” kifejezés jelentését.

A párhuzamos vonalak elégséges feltételével már foglalkoztunk. És mi " szükséges feltétel vonalak párhuzamossága"? A „szükséges” elnevezésből kitűnik, hogy ennek a feltételnek a teljesülése szükséges a párhuzamos vonalakhoz. Más szóval, ha a párhuzamos vonalak szükséges feltétele nem teljesül, akkor a vonalak nem párhuzamosak. És így, szükséges és elégséges feltétele a párhuzamos vonalaknak olyan feltétel, amelynek teljesülése párhuzamos egyeneseknél szükséges és elégséges is. Vagyis ez egyrészt a vonalak párhuzamosságának a jele, másrészt ez a párhuzamos egyenesek tulajdonsága.

Az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételének megfogalmazása előtt célszerű több segéddefiníciót felidézni.

Szekant vonal egy olyan egyenes, amely két adott nem egybeeső egyenes mindegyikét metszi.

Ha két egyenes metszi egy keresztirányú vonalat, nyolc fejletlen alakul ki. Az úgynevezett keresztben fekvő, megfelelőÉs egyoldalú szögek. Mutassuk meg őket a rajzon.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenest keresztirányú metsz, akkor a párhuzamosságukhoz szükséges és elegendő, hogy a metsző szögek egyenlőek legyenek, vagy a megfelelő szögek egyenlőek legyenek, vagy az egyoldalú szögek összege 180 fokon.

Mutassuk meg grafikusan ezt a szükséges és elégséges feltételt az egyenesek párhuzamosságának egy síkon.

Az egyenesek párhuzamosságának ezen feltételeire a 7-9. osztályos geometria tankönyvekben találhat bizonyítékot.

Vegye figyelembe, hogy ezek a feltételek háromdimenziós térben is használhatók - a lényeg az, hogy a két vonal és a szekáns egy síkban legyen.

Íme még néhány tétel, amelyeket gyakran használnak az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak. Ennek a kritériumnak a bizonyítása a párhuzamos egyenesek axiómájából következik.

Létezik hasonló állapot vonalak párhuzamossága háromdimenziós térben.

Tétel.

Ha a térben két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak. Ennek a kritériumnak a bizonyítását a 10. évfolyamon a geometria órákon tárgyaljuk.

Illusztráljuk a megfogalmazott tételeket.

Mutassunk be egy másik tételt, amely lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságának bizonyítását egy síkon.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenes merőleges egy harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak.

Hasonló tétel létezik a térbeli vonalakra is.

Tétel.

Ha a háromdimenziós térben két egyenes merőleges ugyanarra a síkra, akkor párhuzamosak.

Rajzoljunk ezeknek a tételeknek megfelelő képeket.

Az összes fent megfogalmazott tétel, kritérium és szükséges és elégséges feltétel kiválóan alkalmas az egyenesek párhuzamosságának geometriai módszerekkel történő bizonyítására. Vagyis két adott egyenes párhuzamosságának bizonyításához meg kell mutatni, hogy párhuzamosak egy harmadik egyenessel, vagy meg kell mutatni a keresztben fekvő szögek egyenlőségét stb. Sok hasonló problémát oldanak meg a középiskolai geometria órákon. Megjegyzendő azonban, hogy sok esetben célszerű a koordináta módszerrel igazolni az egyenesek párhuzamosságát síkon vagy háromdimenziós térben. Fogalmazzuk meg a téglalap alakú koordinátarendszerben megadott egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételeit.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben.

A cikknek ebben a bekezdésében megfogalmazzuk a párhuzamos vonalak szükséges és elégséges feltételei derékszögű koordinátarendszerben, attól függően, hogy milyen egyenletek határozzák meg ezeket az egyeneseket, és bemutatjuk részletes megoldásokat jellemző feladatok.

Kezdjük az Oxy derékszögű koordináta-rendszer két egyenesének párhuzamosságának feltételével. Bizonyítása az egyenes irányvektorának és a síkon lévő egyenes normálvektorának definícióján alapul.

Tétel.

Ahhoz, hogy két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen egy síkban, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak, vagy ezen egyenesek normálvektorai kollineárisak, vagy az egyik egyenes irányvektora merőleges a normálra a második sor vektora.

Nyilvánvaló, hogy egy síkon két egyenes párhuzamosságának feltétele redukálódik (egyenesek irányvektorai vagy egyenesek normálvektorai) vagy (egy egyenes irányvektora és a második egyenes normálvektora). Így ha és az a és b egyenesek irányvektorai, és És az a és b egyenesek normálvektorai, akkor az a és b egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele így lesz felírva , vagy , vagy , ahol t valamilyen valós szám. Az a és b egyenesek vezetőinek és (vagy) normálvektorainak koordinátáit viszont az ismert egyenesegyenletek segítségével találjuk meg.

Különösen, ha a síkon az Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben lévő a egyenes egy általános egyenes egyenletet határoz meg , és egyenes b - , akkor ezen egyenesek normálvektorainak koordinátái és rendre vannak, és az a és b egyenesek párhuzamosságának feltétele így lesz felírva.

Ha az a egyenes egyenletnek felel meg egy szögegyütthatós egyenes és b- alakú egyenes egyenletének, akkor ezen egyenesek normálvektorainak koordinátái és vannak, és ezen egyenesek párhuzamosságának feltétele a következő alakot veszi fel. . Következésképpen, ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenesek párhuzamosak és szögegyütthatós egyenesek egyenleteivel adhatók meg, akkor lejtőkön az egyenesek egyenlőek lesznek. És fordítva: ha egy téglalap alakú koordináta-rendszerben egy síkon nem egybeeső egyenesek adhatók meg egyenlő szögegyütthatós egyenes egyenleteivel, akkor az ilyen egyenesek párhuzamosak.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy a és egy b egyenest egy egyenes kanonikus egyenlete határozza meg egy alakú síkon És , vagy egy egyenes paraméteres egyenletei a forma síkján És ennek megfelelően ezeknek az egyeneseknek az irányvektorai és koordinátái vannak, az a és b egyenesek párhuzamosságának feltétele pedig így van felírva.

Nézzünk meg néhány példa megoldását.

Példa.

Párhuzamosak a vonalak? És ?

Megoldás.

Írjuk át az egyenes egyenletét szakaszokra az alakban általános egyenlet egyenes: . Most láthatjuk, hogy ez az egyenes normálvektora , a az egyenes normálvektora. Ezek a vektorok nem kollineárisak, mivel ilyen nincs valós szám t amelyre az egyenlőség ( ). Ebből következően az egyenesek síkbeli párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele nem teljesül, ezért az adott egyenesek nem párhuzamosak.

Válasz:

Nem, a vonalak nem párhuzamosak.

Példa.

Egyenesek és párhuzamosak?

Megoldás.

Az egyenes kanonikus egyenletét redukáljuk a szögegyütthatós egyenes egyenletére: . Nyilvánvaló, hogy a és az egyenesek egyenletei nem azonosak (ebben az esetben az adott egyenesek azonosak lennének) és az egyenesek szögegyütthatói egyenlőek, ezért az eredeti egyenesek párhuzamosak.

Ha két l 1 és l 2 egyenes egy síkon fekszik, akkor egymáshoz viszonyított helyzetük három különböző esete lehetséges: 1) metszik egymást (azaz van egy közös pontja); 2) párhuzamos és nem esik egybe; 3) egyezés.

Nézzük meg, hogyan lehet megtudni, hogy ezek közül az esetek közül melyik fordul elő, ha ezeket a sorokat az egyenleteik általános formában adják meg:

Ha az l 1 és l 2 egyenesek egy M(x,y) pontban metszik egymást, akkor ennek a pontnak a koordinátáinak ki kell elégíteniük a (12) rendszer mindkét egyenletét.

Ezért az l 1 és l 2 egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához meg kell oldani a (12) egyenletrendszert:
1) ha a (12) rendszer rendelkezik egyetlen döntés, akkor az l 1 és l 2 egyenesek metszik egymást;
2) ha a (12) rendszernek nincs megoldása, akkor az l 1 és l 2 egyenesek párhuzamosak;
3) ha a (12) rendszernek sok megoldása van, akkor az l 1 és l 2 egyenesek egybeesnek.

Két egyenes egybeesésének feltétele az egyenleteik megfelelő együtthatóinak arányossága.

10. példa. A 3x+4y-1=0 és a 2x+3y-1=0 egyenesek metszik egymást?

Megoldás: Oldjuk meg az egyenletrendszert: a rendszer egyedi megoldással rendelkezik, ezért a vonalak metszik egymást. Az egyenesek metszéspontjának koordinátái vannak (-1;1).

11. példa Párhuzamosak a 2x-y+2=0 és 4x-2y-1=0 egyenesek?

Megoldás: Oldjuk meg az egyenletrendszert
Ennek a rendszernek nincsenek megoldásai, ezért az egyenesek párhuzamosak.

12. példa: Az x+y+1=0 és a 3x+3y+3=0 egyenesek megegyeznek?

Megoldás: Egybeesnek, mivel az együtthatók arányosak.

13. példa Írjon fel egyenletet az x+y-1=0, x-y+2=0 egyenesek metszéspontján és a (2,1) ponton átmenő egyenesre!

Megoldás: Határozzuk meg két adott egyenes metszéspontjának koordinátáit. Ehhez közösen oldjuk meg ezeket az egyenleteket. Összeadva találjuk: 2x+1=0, honnan
Az első egyenletből a másodikat kivonva a következőt kapjuk: 2у-3=0, honnan . Ezután hátra van egy egyenes egyenlet létrehozása két pont () és (2;1) felhasználásával.
A szükséges egyenlet a következő lesz , vagy vagy honnan vagy x+5y-7=0

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete