Nézze meg, mi a „Koch-görbe” más szótárakban. Önhasonlóság és zuhatag

A Richardsonian fraktáldimenzióként való értelmezésének teljesebb megértéséhez lépjünk tovább természeti jelenség, amelyek felett nincs hatalmunk, a geometriai struktúrákra, amelyek teljesen alá vannak vetve akaratunknak.

ÖNHASONLÍTÁS ÉS CASCADES

Eddig inkább a partvonalak geometriai összetettségére összpontosítottunk; Itt az ideje megemlíteni, hogy szerkezetük nagyrészt leegyszerűsített.

Bár a különböző léptékű térképek bizonyos részletekben különböznek egymástól, általánosabb jellemzőik változatlanok maradnak. Durva közelítéssel a nagy partrészletek geometriailag megegyeznek a kicsikkel, az egyetlen különbség a léptékben van.

Ez a forma ahhoz a mintázathoz hasonlítható, amelyet egyes többlépcsős tűzijátékok az égre festenek: égésének minden szakaszában újabb, egyre kisebb, a kezdeti robbanás eredményével azonos alakú részletek kerülnek az összképbe. Lewis Richardson turbulenciáról szóló fent említett munkáiból azonban kölcsönözhetünk egy megfelelőbb összehasonlítást, és kaszkádnak nevezhetjük az ilyen struktúrákat létrehozó mechanizmust.

Ha egy bizonyos forma egyes részei geometriailag hasonlóak az egészhez, akkor mind a formát, mind az azt létrehozó kaszkádot önhasonlónak nevezzük. IN ezt a fejezetet Az önhasonlóságot a legszabályosabb figurák segítségével vizsgáljuk.

Az önhasonló formákkal szemben a legteljesebb kontraszt a görbék, amelyeknek vagy csak egy léptéke van (például egy kör), vagy két, egymástól jól elkülönülő skála (például egy kör, amelyet sok kisebb félkörből álló „gerinc” díszít). Az ilyen formákat nem skálázhatóként jellemezhetjük.

A TERAGONOK MINT PARTVONALOK MODELLEI. TRINITY KOCH GÖRBE

Ha olyan görbét akarunk kapni, amely tartalmazza végtelen szám hosszúságú mérleget, a legbiztonságosabb az lenne, ha egymás után beírnád őket oda. Az 1-es oldalhosszúságú szabályos háromszögnek egy léptéke van, az 1/3 oldalhosszúságú szabályos háromszögeknek is egy léptékük van, csak kisebb - az oldalhossz szabály szerinti további csökkentésével örökös háromszögeket kapunk. kisebb léptékű. Miután az összes háromszöget egymásra halmoztuk (ahogyan a 70. ábrán látható), olyan alakzatot kapunk, amelyben az összes lépték 1-nél kisebb.

Lényegében azt feltételezzük, hogy a partvonal egy része, 1/1 000 000 léptékkel rajzolva, egységnyi hosszúságú egyenesként jelenik meg; Nevezzünk egy ilyen szakaszt kezdeményezőnek. Ezután feltételezzük, hogy egy 3/1000 000 léptékű térképen egy bizonyos részlet válik láthatóvá, nevezetesen egy egyenlő oldalú háromszög alakú kiemelkedés, amely az eredeti szakasz középső harmadát foglalja el. Az így kapott második közelítés egy négy szakaszból álló szaggatott vonal egyenlő hosszúságú- nevezzük generátornak. Tegyük fel, hogy még inkább részletes térkép(9/1000 000 skála) úgy néz ki, mint annak az eredménye, hogy a generátor mind a négy szegmensét ugyanannak a generátornak háromszor kisebb példányára cserélik, azaz két új, azonos alakú, de kisebb méretű kiemelkedés nő. minden kiemelkedésből.

Ugyanebben a szellemben folytatva az összes egyenes szegmenst kicseréljük szaggatott vonalak, és a kezdetben egyenes iniciátor fokozatosan egyre hosszabb törött görbévé válik. Mivel ebben az esszében végig ilyen görbékkel fogunk foglalkozni, javaslom a bevezetést ezek jelölésére új kifejezés teragonok (a görög „szörny, furcsa lény” és „szög”) szóból. A tera előtag egyébként (meg kell mondanom) a metrikus rendszerben a szorzást jelenti.

Ha a fent leírt kaszkádfolyamatot a végtelenségig folytatjuk, akkor teragonjaink a von Koch által először megfontolt határig rohannak (lásd 74. ábra). Nevezzünk egy ilyen görbét hármas Koch-görbének, és jelöljük a szimbólummal.

ábrán. 71 jól látható, hogy ennek a görbének a területe eltűnik. Másrészt minden építési szakaszban a teljes hossza 4/3-szorosára nő, ezért a határértékben a Koch-görbe hossza végtelen. Ráadásul a Koch-görbe folytonos, de nincs érintője sehol – pontosan egy olyan folytonos függvény grafikonja, amelynek nincs deriváltja.

A partvonal modelljeként a görbe csak nagyon durva közelítés, de nem azért, mert túl szabálytalan, hanem azért, mert egy tipikus partvonal egyenetlenségéhez képest a Koch-görbe egyenetlensége nagyon megjósolható. A 24. és 28. fejezetben megpróbáljuk jobb illeszkedést elérni az építési folyamat véletlenszerűsítésével.

KOCH GÖRBE MINT SZÖRNYETET

Az előző részt elolvasó személynek az a benyomása lehet, hogy a Koch-görbe az egyik legnyilvánvalóbb és legintuitívabb geometriai alakzat. Az okok azonban, amelyek von Kochot késztették ennek megépítésére, egyáltalán nem olyan nyilvánvalóak. A matematikusok hozzáállása pedig teljesen titokzatosnak tűnik. Szinte egyhangúlag szörnyűnek nyilvánították a görbét! A részletekért lapozzuk át Khan „A józan ész válsága” című munkáját, amely egyébként sokszor hasznos lesz számunkra. Khan ezt írja: „A [egy nem egyenirányítható görbe vagy egy olyan görbe, amelyhez lehetetlen érintőt húzni] természete teljesen meghaladja azt, amit intuitív módon megértünk. Valójában egy egyszerű szegmentálási művelet néhány megismétlése után a kapott ábra olyan bonyolulttá válik, hogy nehéz közvetlenül érzékelni, és teljesen elképzelhetetlen, hogy ez a görbe a határban mire hajlik. Ennek alakulását csak az értelem segítségével, logikai elemzés segítségével tudjuk teljes mértékben nyomon követni furcsa tárgy. Ha támaszkodnánk ebben az esetben józan ész, akkor az általunk összeállított elképzelés alapvetően hibás lenne, hiszen a józan ész elkerülhetetlenül arra a következtetésre vezetne, hogy olyan görbék, amelyeknek egyik pontjában sincs érintő, egyszerűen nem léteznek. Az intuitív megközelítés elégtelenségének ez az első példája a megkülönböztetés legalapvetőbb fogalmait érinti."

Kánnak meg kell adnunk a neki járót – nyilatkozataiban nem megy el odáig, mint Charles Hermite híres felkiáltása a nem megkülönböztethető funkciókról. A Stieltjesnek írt, 1893. május 20-i levelében Hermite arról a borzalomról és undorról ír, amit „az Úrnak ez a büntetése, ezek a nyomorúságos, származékok nélküli funkciók” vált ki belőle (II, 318. o.). Természetesen mindannyian azt akarjuk hinni, hogy a nagyok hibátlanok, és Hermite csak tréfált, de Lebesgue 1922-ben írt „Jegyzeteiből” (, I) arra következtethetünk, hogy ez nem teljesen igaz. Miután Lebesgue cikket írt olyan felületekről, amelyekre nem lehet érintősíkot építeni (az „abszolút gyűrött zsebkendőkről”), Lebesgue benyújtotta a Tudományos Akadémiának publikálásra, de „Hermite eleinte ellenezte a cikk Comptes Rendusba való felvételét”1; Stieltjesnek írt levele nagyjából ekkoriból származik...”

Te és én már tudjuk, hogy Perrin és Steinhaus nem félt a szörnyektől, de az egyetlen matematikus, aki kifogásolta az általános véleményt, pontosan intuitív megfontolások alapján (Steinhaus tények alapján tiltakozott), Paul Levy volt: „[Én] Mindig is így volt. meglepő hallani, hogy ha a józan ész vezérli a geometriában, akkor minden bizonnyal arra a következtetésre jut, hogy minden folyamatos funkciók megkülönböztethető. Amennyire saját tapasztalataim alapján meg tudom ítélni, a származékok fogalmával való első találkozásomtól kezdve a mai napig ennek éppen az ellenkezője igaz.”

Sajnos ezek a hangok nem hallottak. Szinte minden könyv és abszolút minden tudományos múzeum továbbra is biztosít bennünket arról, hogy a differenciálatlan funkciók ellentétesek a józan ésszel, „szörnyűek”, „kórosak” vagy akár „pszichopatikusak”.

A KOCH GÖRBE MEGSZABADÍTÁSA. DIMENZIÓ

Azzal érvelek, hogy a Koch-görbe egy partvonal nyers, de matematikailag szigorú modellje. Első mennyiségi ellenőrzésként vegyük figyelembe a Koch hármas teragon hosszát, amelynek oldalhossza . Ezúttal a görbe hossza pontosan mérhető, rendkívül kielégítő eredménnyel:

Ez a pontos képlet megegyezik Richardson empirikus törvényével Nagy-Britannia partjainak hosszára. A hármas Koch-görbéhez rendelkezünk

ami azt jelenti, hogy az érték a Richardson által kapott értéktartományon belül van!

< Доказательство: Nyilvánvaló, hogy és

Ennek az egyenletnek akkor van megoldása, ha kielégíti a relációt.

Ezért mit kellett volna bizonyítani.

Természetesen a Koch-görbe esetében a mutató nem empirikus, hanem matematikai állandó. Így még meggyőzőbbek azok az érvek, amelyek amellett szólnak, hogy ezt a mutatót dimenziónak tekintsük, mint a partvonalak esetében.

Másrészt a Hausdorff-kiterjesztés hozzávetőleges dimenzióban (ez a fogalom, amelyet a következő helyen vezettek be előző fejezet) egyenlő a hosszúságú szakaszok számának szorzatával, azaz. Ez jól igazolja, hogy a mennyiség Hausdorff-dimenzió. Sajnos ennek a dimenziónak a Hausdorff-féle definíciója nagyon kevéssé alkalmas a szigorú matematikai értelmezésre. És még ha ez nem is így lenne, a dimenzió fogalmának a nem egész számok halmazára történő általánosítása annyira tág és olyan súlyos következményekkel jár, hogy ennek mélyebb indoklása üdvözlendő lenne.

A HASONLÓSÁG DIMENZIÓJA

Kiderül, hogy az önhasonló figurák esetét és a hasonlósági dimenzió fogalmát figyelembe véve könnyen megkaphatjuk a keresett mélyebb igazolást. Gyakran halljuk, hogy a matematikusok a hasonlósági dimenziót használják a Hausdorff-dimenzió közelítésére, és az ebben az esszében tárgyalt esetek többségében ez a közelítés helyesnek bizonyul. Ha ezekre az esetekre alkalmazzuk, a fraktáldimenziót a hasonlósági dimenzió szinonimájaként tekinthetjük.< Аналогичным образом мы используем термин «топологическая размерность» как синоним обычной, «интуитивной», размерности.

Amolyan ösztönző bevezetésként nézzük meg a szabványos önhasonló alakzatokat: vonalszakaszokat, téglalapokat egy síkon stb. (lásd 73. ábra). Egy egyenes euklideszi dimenziója egyenlő 1-gyel, ezért bármely egész „bázis” esetén egy szakaszt a teljes „hosszában” lefedhet (minden pontot egyszer és csak egyszer fed le) bizonyos számú „ részek” egyenlő . Ezek a "részek" olyan szegmensek, ahol 1 és . Minden rész az egészből egy együtthatós hasonlósági transzformációval nyerhető ki .

A sík euklideszi dimenziója egyenlő 2-vel. Ebből hasonló módon következik, hogy bármely érték esetén az „egész”, amely egy téglalapból áll az oldalak hosszával, maradék nélkül „törhető” részekre. Ezek a részek egyenletrendszerrel meghatározott téglalapok

Hol és váltson 1-ről . És itt minden rész kivehető az egészből egy együtthatós hasonlósági transzformáció segítségével .

Egy téglalap alakú paralelepipedon esetében hasonló érvelés vezet bennünket az együtthatóhoz.

Nem okoz nehézséget azoknak a tereknek a meghatározása, amelyek euklideszi dimenziója nagyobb, mint 3. (Itt és alább az euklideszi - vagy derékszögű - dimenziót betűvel jelöljük.) Minden -dimenziós paralelepipedonnál () az egyenlőség megfigyelhető

.

Így,

Az egyenértékű alternatív kifejezések a következők:

Most térjünk át a nem szabványos figurákra. Ahhoz, hogy az önhasonlósági jelző formai jelentéssel bírjon, csak az szükséges, hogy a szóban forgó ábra önhasonló legyen, azaz részekre bontható legyen, amelyek mindegyike a teljes ábrából nyerhető egy hasonlósági transzformáció együtthatóval (elmozdulás vagy szimmetria transzformációval kombinálva). Az így kapott érték mindig kielégíti az egyenlőséget

A hármas Koch-görbe esetében a, tehát, ami teljesen egybeesik a Hausdorff-dimenzióval.

GÖRBÉBEK. TOPOLÓGIAI DIMENZIÓ

Eddig különösebb gondolkodás nélkül a Koch-figurát görbének neveztük; Ideje megérteni ezt a fogalmat. Józan ész azt sugallja, hogy a szabványos ív egy összekapcsolt halmaz, és ha eltávolítja bármelyik pontját, a halmaz megszakad. A zárt görbe egy összefüggő halmaz, amely két pont eltávolítása után két szabványos ívre van felosztva. Ezen okok miatt a Koch-figura görbének tekinthető.

Bármely matematikus elmondja, hogy minden olyan alakzatnak, amely rendelkezik a fenti tulajdonsággal (legyen az görbe, intervallum vagy kör), topológiai dimenziója egyenlő 1-gyel. Vagyis van egy másik dimenziófogalmunk! William Ockham követőjeként minden tudós tisztában van azzal, hogy „nem szabad az entitásokat szükségtelenül szaporítani”. Itt be kell vallanom, hogy a fraktáldimenzió több, majdnem egyenértékű formája közötti ugrálásunkat egyszerűen a kényelmi megfontolások magyarázzák. De a fraktál és a topológiai dimenzió párhuzamos létezése a legsúlyosabb szükségszerűség. Azoknak az olvasóknak, akik lemaradtak a fraktál meghatározásáról szóló 3. fejezet kitérőjéről, javaslom, hogy most olvassák el; Ezen kívül mindenkinek ismernie kell a 41. fejezet DIMENZIÓ című részét.

A DIMENZIÓ INTUITÍV ÉRZÉKEDKÜSZÖBÖK JELENTÉSÉBEN ÉS

Cesaro egyik műve epigráfával kezdődik:

„... határtalan akarat, határtalan vágyak, annak ellenére, hogy az erőnk korlátozott, és az álmok megvalósítása a lehetőségek szorításában van.”1

Valójában a lehetőségek karmai uralják a tudósokat kisebb mértékben mint Shakespeare Troilusa és Cressidája fölött. A Koch-görbe megalkotásához új, minden alkalommal csökkenő kiemelkedések kaszkádjának kell a végtelenbe eljutnia, de a természetben minden kaszkád megállásra vagy változásra van ítélve. Természetesen feltételezhetjük a kiemelkedések végtelen sorozatának létezését, de önhasonlóként csak bizonyos határok között jellemezhetők. Ha a hosszt az alsó határnál kisebb értékekre csökkentjük, a partvonal fogalma megszűnik a földrajzi területhez tartozni.

Így ésszerűnek tűnik egy valódi partvonalat két küszöbskálát magában foglaló görbének tekinteni. A külső küszöbnek a szigetet vagy szárazföldet leíró legkisebb kör átmérőjét tekinthetjük, belső küszöbnek pedig ugyanazt a 20 m-t vehetjük, amit az 5. fejezetben tárgyaltunk. Nagyon nehéz valós számértékeket megadni a küszöbértékeket, de ugyanezen küszöbértékek bevezetésének szükségessége nem kétséges.

És mégis, még azután is, hogy elvetettük a legnagyobb és legkisebb részleteket, a nagyság továbbra is tényleges méretet jelent, amint azt a 3. fejezetben leírtuk. Szigorúan véve a háromszög, a Dávid-csillag és a Koch-féle véges teragonok 1-es dimenzióval rendelkeznek. intuitív és pragmatikus nézőpont, a szükséges korrekciós kifejezések egyszerűségétől és természetességétől vezérelve - ésszerűbb a Koch-teragont az építés egyik későbbi szakaszában olyan alaknak tekinteni, amely közelebb áll egy 1-es méretű görbéhez, mint egy görbéhez 1-es mérettel.

Ami a partvonalat illeti, valószínűleg több különböző dimenziója van (emlékezzünk a harmadik fejezet cérnagömbjére). Földrajzi dimenziója a Richardson-kitevő. De abban a mérettartományban, amellyel a fizika foglalkozik, a partvonal dimenziója teljesen eltérő lehet – ez a víz, a levegő és a homok határfelületének fogalmához kapcsolódik.

ALTERNATÍV KOCH GENERÁTOROK ÉS KOCH GÖRBÉK ÖNMETSZÉS NÉLKÜL

Fogalmazzuk meg még egyszer a hármas Koch-görbe megszerkesztésének alapelvét. Az építkezés két figurával kezdődik: egy iniciátorral és egy generátorral. Ez utóbbi egy orientált szaggatott vonal, amely egyenlő hosszúságú szegmensekből áll. Az építés minden szakaszának elején van néhány szaggatott vonal; maga a szakasz abból áll, hogy minden egyenes szakaszt a generátor másolatával helyettesítünk, kicsinyítve és eltolva úgy, hogy a végpontjai egybeessenek a kicserélt szakasz végpontjaival. Minden szakaszban .

Nem nehéz változtatni általános nézet az eredményül kapott terv a generátor módosításával; Különösen érdekesek a kiemelkedések és mélyedések kombinációi – példákat a fejezetet követő illusztrációkon találhatunk. Így lehetséges különböző Koch-teragonok előállítása, amelyek olyan görbékhez konvergálnak, amelyek mérete 1 és 2 közötti tartományba esik.

Mindezek a Koch-görbék nem metszik magukat sehol, ezért definiálásuk során minden egyértelműség nélkül feloszthatók nem metsző részekre. Ha azonban gondatlanul kiválasztott generátorokat használ a Koch-görbe megalkotásakor, fennáll annak a veszélye, hogy önérintésre vagy metszéspontra, vagy akár önátfedésre kerül. Ha a kívánt érték elég kicsi, akkor a generátor gondos kiválasztásával könnyen elkerülhető a dupla pontok megjelenése. A probléma élesen bonyolultabbá válik, mint , de mindaddig, amíg az érték kisebb, mint 2, létezik megoldás.

Ha a fent leírt konstrukcióval megpróbálunk 2-nél nagyobb méretű Koch-görbét kapni, akkor elkerülhetetlenül olyan görbékhez jutunk, amelyek a síkot végtelenül sokszor lefedik. Az eset külön figyelmet érdemel, a 7. fejezetben foglalkozunk vele.

ÍVEK ÉS FÉLEGYENES DOBOZOK

Egyes esetekben szükség van arra, hogy a „Koch-görbe” kifejezést pedánsan lecseréljük valami pontosabbra és megfelelőbbre. Például az ábrán látható ábra. Az alábbi 73. ábra formálisan egy vonalszakasz Koch-térképe, és Koch-ívnek nevezhető. Ennek következtében a határvonal az ábrán. A 74-ről kiderül, hogy három Koch-ívből áll. Gyakran hasznos egy ívet Koch-félvonalra extrapolálni – az extrapoláció először egy tényezővel nagyítja az eredeti ívet, a bal végpontját használja fókuszként, majd egy tényezővel stb. Minden további extrapoláció eredménye tartalmazza az előzőt. görbe, és az eredményül kapott görbe a határértékben mindent köztes végső görbét tartalmaz.

A MÉRÉS FÜGGŐSÉGE A SUGÁRTÓL TÖRTÉRTÉKELD

Tekintsük az euklideszi geometria egy másik standard helyzetét, és általánosítsuk azt a fraktáldimenziók figyelembevételével. Ideális homogén sűrűségű fizikai objektumok esetén feltételezhetjük, hogy egy hosszúságú rúd, korong vagy sugarú golyó tömege arányos -vel. Ha = 1,2 és 3, az arányossági együtthatók rendre egyenlőek , és .

A szabály a fraktálokra is vonatkozik, feltéve, hogy önhasonlóak.

A hármas Koch-görbék esetében ez az állítás akkor bizonyítható a legkönnyebben, ha az origó egybeesik a Koch-félegyenes végpontjával. Ha egy sugarú kör (ahol ) tömeget tartalmaz, akkor egy sugarú kör tömeget tartalmaz . Innen

Ezért az arány nem függ a sugártól, és a sűrűség meghatározására szolgálhat.

KOCH MOZGÁS

Képzeljünk el egy pontot, amely a Koch-félegyenes mentén mozog, és egyenlő időközönként halad át egy ugyanolyan nagyságú íven. Ha most megfordítjuk az időt egy pont helyzetének függvényében meghatározó függvényt, akkor olyan függvényt kapunk, amely egy pont helyzetét az idő függvényében, azaz a mozgás függvényében határozza meg. Az ilyen mozgás sebessége természetesen végtelen.

VÉLETLENSZERŰ PARTVONALOK: ELŐZETES MEGTEKINTÉS

A Koch-görbe hasonló a valódihoz partvonalak azonban van néhány jelentős hiányossága (ezek a hiányosságok szinte változatlanok az ebben az esszében tárgyalt precedensek minden korai modelljében). Részei azonosak egymással, és magát a hasonlósági együtthatót minden bizonnyal a forma merev skálája határozza meg, ahol egy egész szám, azaz stb. Így a Koch-görbe csak a partvonal nagyon előzetes modelljének tekinthető.

Számos módszert kidolgoztam e hiányosságok kiküszöbölésére, de egyik sem nélkülözi azokat a valószínűségi szövődményeket, amelyekkel jelenleg nem tudtunk megbirkózni: először is a nem véletlenszerű fraktálokkal kapcsolatban sok probléma van, amit meg kell oldani. A valószínűségszámításban jártas érdeklődő olvasót semmi sem akadályozza meg abban, hogy egy kicsit tovább nézzen, és megcsodálhassa a modelleket, amelyek az én „sugorodási görbéim” (lásd a 24. fejezetet), és ami még fontosabb, a tört Brown-felületek szintvonalain alapulnak (lásd a 28. fejezetet). ).

Itt és lent használom következő út az anyag bemutatása. A rendezett fraktálok hátterében számos, a Nature által alkotott mintát veszünk figyelembe, amelyek – bár nagyon durván, de – modellként szolgálhatnak a vizsgált jelenségekre, míg az általam javasolt véletlenszerű modellek a későbbi fejezetekbe kerülnek.

Feljegyzés. Minden olyan esetben, amikor az érték pontosan ismert, nem egész szám, és az összehasonlítás megkönnyítése érdekében decimális formában van írva, négy tizedesjegyig megőrződik. A 4-es szám kiválasztása a következő szempontok alapján történt: Meg akartam mutatni, hogy ebben az esetben az érték nem empirikus (minden empirikus értékek jelenleg egy-két tizedesjegy pontossággal ismertek), és ez sem teljesen biztos geometriai érték(Minden hasonló értékeket jelenleg vagy egy vagy két tizedesjegy pontossággal, vagy hat tizedesjegy pontossággal ismertek).

ÖSSZETETT VAGY MÉG EGYSZERŰ ÉS HELYES?

A Koch-görbék az egyszerűség és a bonyolultság új és nagyon érdekes kombinációját mutatják be. Első pillantásra sokkal összetettebbnek tűnnek, mint bármely szabványos euklideszi görbe. Azonban az elmélet matematikai algoritmusok Kolmogorov-Chaitin ennek az ellenkezőjét állítja: a Koch-görbe semmivel sem bonyolultabb, mint egy kör! Ez az elmélet bizonyos „betűkkel” vagy „betűkkel” működik. nukleáris műveletek", és a legrövidebb hossza jól ismert algoritmus a kívánt függvény felépítését tekintjük ennek a függvénynek a komplexitásának objektív felső határának.

Próbáljuk meg alkalmazni a fent leírt megközelítést görbék felépítésére. Egyezzünk meg abban, hogy a grafikai folyamat betűit vagy „atomjait” egyenes „vonásokkal” ábrázoljuk. Ilyen ábécé használatakor szabályos sokszög felépítése szükséges véges szám vonások, amelyek mindegyike véges számú utasítással írható le, és ennek következtében véges bonyolultságú probléma. A kör felépítésében éppen ellenkezőleg, " végtelen szám végtelenül rövid vonások”, és ezért a kör végtelen bonyolultságú görbeként jelenik meg előttünk. Ha azonban rekurzívan szerkesztünk egy kört, láthatjuk, hogy csak véges számú utasításra van szükség, ezért a kör megalkotása is véges bonyolultságú feladat. Kezdjük például egy szabályos sokszöggel, amelynek oldalainak száma egyenlő (), majd cseréljük le az egyes hosszúságvonalakat két hosszúságú vonallal; majd a folyamat újra és újra megismétlődik. A Koch-görbék elkészítéséhez ugyanazt a megközelítést alkalmazzuk, de egyszerűbb műveletekkel: az egyes vonások hosszát csak meg kell szorozni -val, és a vonások egymáshoz viszonyított helyzete változatlan marad a konstrukció során. Ebből a paradox állítás következik: ha a komplexitást a pillanatnyilag legjobb algoritmus hossza határozza meg, adott ábécével kifejezve, a Koch-görbe egyszerűbbnek bizonyul, mint egy kör.

A görbéknek ezt a szokatlan eloszlását a felépítésük viszonylagos nehézsége szerint nem szabad komolyan venni. A legérdekesebb dolog az, hogy egy körön és vonalzón alapuló ábécét használva (vagyis a kört „atomnak” véve) az ellenkező következtetésre jutunk. És mégis, egy ésszerűen megválasztott ábécé mellett bármely Koch-görbe nemcsak véges bonyolultságú, hanem egyszerűbbnek is bizonyul, mint a legtöbb euklideszi görbe.

Mindig is lenyűgözött a szavak etimológiája, ezért nem fejezhetem be ezt a fejezetet anélkül, hogy be ne valljam, utálom a Koch-görbét „rossznak” nevezni. Ez a kifejezés az uralkodni szóhoz kapcsolódik, és elvileg teljesen elfogadható, ha ezt a szót úgy értjük, hogy „korrigálni, kiegyenesíteni”: nem valószínű, hogy bármi kiegyenesítheti a Koch-görbét. Emlékezve azonban az uralkodni szó másik jelentésére, és az uralkodókra vagy királyokra gondolva (ugyanaz a jelentés, csak kicsit más etimológia. Egyébként latin szavak A rex ("király") és a regula ("szabály") is azonos gyökérrel rendelkezik, vagyis azokról, akik megingathatatlan szabályokat állítanak fel, amelyeket megkérdőjelezhetetlenül be kell tartani, mindig csendben tiltakozom a szerencsétlen kifejezés ellen - ebben az értelemben. , in Egyszerűen nincs „helyesebb” a világon, mint a Koch-görbe.

Rizs. 70. HÁROMSÁGSZIGET (VAGY HÓPEHELY) KOCH. HELGE VON KOCH EREDETI ÉPÍTÉSE (PARTVONAL DIMENZIÓ)

A konstrukció a „kezdeményezővel” kezdődik, azaz egy fekete egyenlő oldalú háromszöggel, amelynek oldalhossza eggyel egyenlő. Majd mindkét oldal középső harmadába építünk egyenlő oldalú háromszög 1/3 oldalhosszúsággal. Ebben a szakaszban kapunk egy hatágú csillagot, vagy a Dávid-csillagot. A kapott csillag mindkét oldalán a fent leírt módon egyenlő oldalú háromszöget készítünk, és a végtelenségig megismételjük a folyamatot.

Bármelyik szakasz középső harmadának pontjai minden összeadáskor merőleges irányban eltolódnak, míg a háromszög iniciátor csúcsai mozdulatlanok maradnak. A Dávid-csillag fennmaradó kilenc pontja véges számú szakasz után ér el végső pozícióját. Egyes pontok végtelen számú alkalommal, de minden alkalommal kisebb mértékben eltolódnak, és végül konvergálnak bizonyos határokhoz, amelyek meghatározzák a partvonal alakját.

Maga a sziget a poligonok által határolt területek sorozatának határát jelenti, amelyek mindegyike tartalmazza az előző sokszög által határolt területet. Ennek a határértéknek a fényképes negatívja látható az ábrán. 74.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezen és sok más rajzon gyakran inkább szigeteket és tavakat ábrázolnak, mint partvonalakat – általában a „szilárd” alakzatokat egyértelműen előnyben részesítik a kontúrokkal szemben. Ez nagyon egyszerűen magyarázható – csak próbáltuk kihozni a legtöbbet grafikus rendszerünk nagy felbontásából.

Miért nem rajzolhatunk érintőt erre a görbére? Válasszuk ki az eredeti háromszög egyik csúcsát fix pontnak, és húzzunk egy egyenest a határgörbe egy bizonyos pontjára az óramutató járásával megegyező irányban. Ahogy a görbe kiválasztott pontja a csúcsunkhoz közeledik, az őket összekötő egyenes 30 fokos szögben ingadozik, és egyáltalán nem hajlandó olyan határ felé rohanni, amelyet az óramutató járásával megegyező irányú érintőnek neveznénk. Az óramutató járásával ellentétes irányú érintő szintén nem definiált. Hiperbolikus pontnak nevezzük azt a pontot, amelyhez nem lehet érintőt húzni, mivel a belőle leejtett húrok jól meghatározott szögekben oszcillálnak. Ami azokat a pontokat illeti, amelyekhez a görbe aszimptotikusan hajlik, ezekhez szintén lehetetlen érintőt húzni, de más okból.

Rizs. 71. TRINITY SZIGET (VAGY HÓPEHELY) KOCH K. ERNEST CESARO ALTERNATÍV ÉPÍTÉSE (A PARTVONAL DIMENZIÓJA)

A Koch-sziget alternatív felépítését javasolja Cesaro von Koch-görbékről szóló cikke – ez a munka annyira figyelemre méltó, hogy valahányszor kinyitom a magazint, elfelejtem, milyen sokáig és keményen kerestem ezt a cikket (és milyen mérges voltam, amikor később felfedeztem hogy minden munkám hiábavaló volt – azonnal meg kellett volna néznem a gyűjteményt). Hadd idézzek néhány különösen elragadó sort ingyenes fordításomból. „Ennek az alaknak önmagában való végtelen beágyazása ad némi fogalmat arról, amit Tennyson egykor belső végtelennek nevezett – lényegében a végtelenség egyetlen fajtája, amely elérhető a természetről alkotott felfogásunk számára. Az egész és a részek közötti hasonlóságnak köszönhetően - egészen a legkisebb, eltűnően kicsi részig - a Koch-görbe igazán csodálatos tulajdonságokra tesz szert. Ha életet adna neki, ahhoz, hogy megöljük, nyomtalanul el kell pusztítanunk az egész görbét, mert újra és újra újjászületne háromszögei mélyéről; ez azonban elmondható az Univerzum életéről általában.”

Cesaro szerkezetének kezdeményezője egy szabályos hatszög oldalhosszúsággal. A szigetet körülvevő óceán szürkével látható. Minden egyenes szakasz a partot egy háromszög alakú öböl váltja fel, amelynek mérete az építés minden egyes szakaszával a végtelenségig csökken, és a Koha-sziget válik a csökkenő közelítések határává.

A fenti ábrán mindkét építési mód látható: a Koch-módszer (lásd 70. ábra) és az imént ismertetett Cesaro-módszer. Ebből a nézetből úgy tűnik, hogy Koch végső partvonala két teragon közé szorul, amelyek belülről és kívülről folyamatosan közelednek. Elképzelhető egy lépcsőzetes folyamat, amelynek elején három koncentrikus gyűrűnk van: szilárd talaj(fekete), mocsár (fehér) és víz (szürke). A lépcsőzetes folyamat minden egyes lépésével a mocsár egy része szilárd földdé vagy vízzé alakul. A határon a mocsár rendkívül elvékonyodik, „felszínből” görbületté válik.

A medián eltolódás értelmezése. A generátort és az alábbi lépést használjuk (a szög 120 fok):

Ha egy egyenes szakasz felezőpontját kifelé toljuk a . belső teragon felé, akkor megkapjuk a 3. külső teragont; a külső teragon befelé történő medián elmozdulása adja a harmadik külső teragont. Ennek a megközelítésnek a hatékonyságát az ábra mutatja. 98. és 99., valamint a 25. fejezetben is.

Rizs. 73. AZ ÖNHASONLÍTÁS KÉT TÍPUSA: SZABVÁNY ÉS FRAKTAL

Az ábrán látható, hogy adott egész szám (ebben az esetben = 5) adott egy egységnyi hosszúságú egyenes szakaszt részintervallumokra, amelyek mindegyikének hossza egyenlő . Hasonlóképpen feloszthatjuk az egységnégyzetet kisebb oldalhosszúságú négyzetekre. A mennyiség mindkét esetben a szóban forgó ábra hasonlóságának dimenzióját jelenti, olyan mennyiséget, amelyet az iskolai geometria nem tart szükségesnek megemlíteni, mivel jelentése az euklideszi dimenzióra redukálódik.

Az alsó ábra a Koch hármas görbe vagy a Koch-sziget harmadik partvonala. Az eredeti görbéhez hasonlóan kisebb figurákra is felosztható, -val, és -vel. A hasonlóság dimenziója ebben az esetben kiderül törtszám(értéke hozzávetőlegesen 1,2618), nincs analógja a szabványos geometriában.

Hausdorff megmutatta, hogy a mennyiség nagyon hasznos lehet a matematikában, és egybeesik a Hausdorff vagy fraktál dimenzióval. Azt állítom, hogy a természettudományok terén nem nélkülözheti a nagyságrendet.

Rizs. 74. TRINITY LAKE KOKHA K (A PARTVONAL DIMENZIÓJA)

Folytassuk a 70. és 71. ábra magyarázatában leírt konstrukciót valamilyen előrehaladott stádiumba, és fényképezzük le az eredményt. Egy ilyen fénykép negatívja az ábrán látható, és inkább tóra, mint szigetre hasonlít.

A tavat betöltő szürke „hullámok” szokatlan mintázata nem véletlen. Leírása a 104. és 105. ábra magyarázatában található.

A Kokha-tó partvonala nem önhasonló, mivel egy zárt görbe nem ábrázolható hozzá hasonló kisebb zárt görbék halmazaként.< Хотя в главе 13 мы используем самоподобие для построения бесконечного скопления островов.

Rizs. 75. és 76. EGYÉB SZIGETEK ÉS A KOHA-TÓ (PARTVONAL DIMENZIÓ)

A Koch-sziget ezen változatát W. Gospernek köszönhetjük (lásd): az iniciátor egy szabályos hatszög, a generátor pedig így néz ki:

Rizs. 75.Íme a „Gosper-sziget” felépítésének több szakasza (vastag vonallal). A sziget belső kitöltéséről (vékony vonal) kicsit később lesz szó (lásd 106. ábra).

Rizs. 76. A Gosper-sziget építésének egyik későbbi szakasza. A párnázás (a szigeten belüli változó vastagságú vonalak) magyarázatához lásd az 1. ábrát. 106.

Vegye figyelembe, hogy az eredeti Koch-görbével ellentétben ez a generátor szimmetrikus a középpontjára. Az öblöket és a félszigeteket úgy egyesíti, hogy a sziget területe a teljes építkezés során változatlan marad. Ugyanez igaz a Koch-görbékre is (88. ábráig).

Csempézés. A Gosper-szigetek teljesen lefedhetnek egy síkot, hézagok nélkül. Ezt az eljárást bevonatnak vagy csempézésnek nevezik)

Összefüggő. Sőt, ez a sziget önhasonló, ami jól látható, ha az ábrán a különböző vastagságú vonalakkal árnyékolt területeket nézzük. Vagyis minden sziget hét "tartományra" osztható, amelyek mindegyike az egész szigetből egy hasonlósági transzformációval nyerhető, együtthatóval. Egy sík ilyen önhasonló csempék segítségével történő lefedésének jelölésére egy új kifejezés, a pertyling bevezetését javaslom (a latin előtag a folyamat tökéletességét és átfogóságát fejezi ki itt).

A legtöbb felületi burkolat esetében a csempe nem osztható fel az eredetihez hasonló kisebb csempére. Sokakat például rendkívül irritál az a tény, hogy ha összerakják szabályos hatszögek ne képezzenek egy ugyanolyan szabályos nagyobb hatszöget. A Gosper csempékből nagyon is lehetséges egy hatszög meglehetősen közeli hasonlóságát „összehozni”, amely képes pontosan hét azonos részre osztani. Más fraktállapkák lehetővé teszik a felosztást különböző számú részre.

Franciaország. A földrajzi valóságok között van egy meglepő adat helyes forma, amelyet rendszeressége miatt gyakran hatszögnek neveznek. kb Franciaországról. Azt kell mondani, hogy az alak szimbolizálja földrajzi térkép Franciaország sokkal kevésbé emlékeztet hatszögre, mint az ábrán látható alak. 76 (bár Bretagne rajzunkon talán kissé alultápláltnak tűnik).

< Почему нельзя провести касательную ни в одной точке этой береговой линии? Válasszon ki egy fix pontot a partvonalon, amelyet véges számú építési szakasz után kapott, és kösse össze ezt a pontot egy egyenes vonallal a korlátozó partvonal valamely mozgó pontjával. Ahogy a mozgó pont a határoló partvonal mentén közeledik az állóponthoz (akár jobbra, akár balra), a pontokat összekötő egyenes folyamatosan irányt változtat. Az ilyen fix pontot loxodromikus pontnak nevezzük.

Rizs. 79. EGYÉB KOHA-SZIGETEK ÉS TAVAK (PARTVONAL MÉRETEI 1 -TŐL)

Ebben a fraktálgörbék sorozatában az iniciátor az szabályos sokszög az oldalak számával a generátor olyan, hogy , és az első és második, valamint a második és harmadik szegmens közötti szögek egybeesnek, és egyenlőek . ábrán. 75. és 76. ábra (ez az ábra nincs itt), a c görbét pedig az 1. ábra magyarázata tárgyalja. 109. Ez a kép azt mutatja késői szakaszok teragonok építése = 4, 8, 16 és 32 értékekre egymásba ágyazott tavak és szigetek formájában. Például az érték a következő generátornak felel meg:

A középső szigeten () belüli árnyékolást az 1. ábra magyarázata írja le. 109 és 110.

Ha a paraméter a végtelenbe megy, akkor a megfelelő görbe hajlamos kör alakot ölteni. Ha csökken, akkor alakjaink „zsugorodni” kezdenek, először fokozatosan, majd éles ugrásokkal. Amikor eléri a 3-at, az önmetszéspontok megjelennek a megfelelő görbén. Ezt az esetet később tárgyaljuk (lásd 109. és 110. ábra).

Kritikus dimenzió. Ha egy szegmens van kiválasztva kezdeményezőként, a szög bármilyen értéket felvehet 180 foktól 60 fokig. Van azonban néhány kritikus szög- olyan, hogy a partvonalnak akkor és csak akkor nincs önálló metszéspontja. A megfelelő dimenziót az önmetszéspontok kritikus dimenziójának nevezzük. A szög közel 60 fok.

Általánosítás. ábrán látható szerkezetek. 75-88., lehetővé teszi a következő egyszerű általánosítást. Nevezzük az ábrán látható generátorokat direktnek (S), és definiáljuk az inverz generátort (F) a direkt generátor tükörképeként az egyeneshez képest. Az építés minden egyes szakaszában egy generátort használunk, de a különböző szakaszokhoz különböző generátorokat választhat. Ezekben (és néhány későbbi) ábrában a görbék S-generátorok felhasználásával készültek, de az S- és F-generátorok más végtelen sorozatai nagyon hasonló eredményeket adnak.

< При чередовании F- и S-генераторов локсодромические точки переходят в гиперболические, как в оригинальной кривой Коха.

ábrán. A 79-85. ábrákon több Koch-figura látható, amelyek iniciátora egy négyzet (innen a négyzet elnevezése). Az ilyen konstrukciók egyik előnye, hogy gyenge grafikus rendszereken is lehet velük kísérletezni.< Еще одно преимущество - квадратичные фрактальные кривые ведут непосредственно к оригинальной кривой Пеано, описанной в пояснении к рис. 95.

Rizs. 81. A kezdeményező itt egy négyzet, a generátor pedig így néz ki:

ábrán látható módon. 75-79, az építés minden szakaszában teljes terület A sziget változatlan marad. ábrán. A fenti 81. ábra az építés első két szakaszát mutatja bezárés két következőt kisebb léptékben.

Az utolsó szakasz eredménye, még jobban kinagyítva, demonstrálja a legkisebb részleteket nagyon vékony, alig látható nyúlványok formájában, amelyeket Ön természetesen nem látott volna, ha a mi grafikus rendszer olyan kiváló felbontás.

Mind a teragonokban, mind a határgörbében nincs önátfedés, önmetszés vagy önérintkezés. Ez az állítás a későbbi konstrukciókra is érvényes (85. ábráig).

< Не следует забывать о том, что фракталы на рис. 81-85 представляют береговые линии; суша и море здесь - это удобные фигуры, обладающие положительными и конечными площадями. На с. 209 упоминается случай, в котором только «море», будучи объединением простых трем, имеет вполне bizonyos terület, míg a földnek nincs egyetlen belső pontja.

Csempézés és pertilizálás. Ez a sziget 16 kisebb szigetre osztható (). Mindegyik egy Koha-szigetet képvisel, amely az építkezés első szakaszát alkotó 16 tér egyikére épült.

< В главах 25 и 29 показано, что размерность характерна также для многих броуновских функций. Следовательно, это значение легко можно получить с помощью случайных кривых и поверхностей.

Rizs. 81. KOHA TÉR SZIGET (PARTVONAL DIMENZIÓJA )

Vegyünk ismét egy négyzetet kezdeményezőnek, és a generátor a következő szaggatott vonal lesz:

Nagyon jelentős az a tény, hogy az illusztrációkból bemutatott négyzetes Koch-szigetek partvonala nagymértékben függ attól. Ugyanakkor, mivel közös kezdeményezőjük egy négyzet, ezeknek a szigeteknek a külső alakja megközelítőleg változatlan marad. Ha a kezdeményező valamilyen más szabályos -gon (), akkor megfigyelhető, hogy ennek növekedésével a külső forma egyre simábbá válik. Csak a 28. fejezetben ismerkedünk meg a külső forma és a jelentés valódi kapcsolatával, amely azokat a véletlenszerű partvonalakat vizsgálja, amelyek hatékonyan meghatározzák mind a generátort, mind a kezdeményezőt.

< Максимальность. Hozzájárulás a hasonlósághoz külső formák hozzájárul ahhoz, hogy az ábrán láthatók. 79-85 másodfokú Koch-görbék nagyon érdekes ingatlan maximális. Helyezzünk el minden olyan Koch-generátort, amely görbéket generál önmetszéspontok nélkül egy négyzetrácsra, amelyet egyenesek alkotnak, párhuzamos ill. merőleges a szakaszra. Tételezzük fel azt is, hogy ezek a generátorok a négyzetrácsunk bármely iniciátorával használhatók. Határozzuk meg maximálisnak azokat a generátorokat, amelyek jellemzik legmagasabb értékés ennek következtében . Ez a folyamat a következő fejezetben csúcsosodik ki, a Peano határértékkel

és így - az ábra görbéjéhez. 84:

E pilóta rémálmainak gátai és csatornái egyre szűkebbek lesznek, ahogy a félszigetek legtávolabbi fokai vagy az öblök legszélesebb körben kivágott nyelvei felé haladunk. Ráadásul a fraktáldimenzió növekedésével a szűkülési tendencia is megfigyelhető, és ezeknél a gátaknál, csatornákon „darázsderekak” jelennek meg.

< О турбулентной дисперсии. ábrán látható fraktálgörbék közelítési sorozata között véleményem szerint. 85. ábra, és a tinta vízben való turbulens diszperziójának egymást követő szakaszai feltűnő hasonlóságot mutatnak. Természetesen a valós szórás valamivel kevésbé rendezett, de ez szimulálható úgy, hogy a véletlenszerűség elemét beiktatjuk az építési folyamatba.

Elmondhatjuk, hogy itt a Richardson-kaszkádot látjuk „működésben”. A kezdeti kis mennyiségű energia egy négyzet alakú tintafoltot oszlat szét a víz felszínén. A kezdeti örvény ezután kisebb örvényekre bomlik, amelyek hatása lokalizáltabb. A kezdeti energia egyre kisebb részekre oszlik, míg végül nem marad más, mint a keletkező folt kontúrjainak enyhe elmosódása, amint az az alábbi ábrán látható, amelyet Corrsin munkáiból kölcsönzött.

Rizs. 84. és 85. KOHA SZIGETEK (A PARTVONALOK MÉRETEI ÉS )

Valószínűleg a folyadék kezdeti energiájától és az edény méretétől függ, amelyben a diszperzió megtörténik. Alacsony kezdeti energiánál egy kerek foltból dimenziós görbét kapunk (lásd a 7. fejezetet), látni fogjuk, hogy minőségileg eltér az esettől, mivel lehetővé teszi bármely két tintarészecskét, amely a folyamat elején távol voltak egymástól, hogy aszimptotikus kapcsolatba kerüljenek.<Я бы совсем не удивился, если бы оказалось, что за одним термином «турбулентная дисперсия» скрываются два совершенно отличных друг от друга феномена.

P.S. Miután ez az illusztráció 1977-ben megjelent a Fractals-ban, Paul Dimotakis egy lamináris környezetben szétszóródó turbulens sugár vékony szeleteit fényképezte. Nagyon boldoggá tett a fotók és az illusztráció hasonlósága.

Rizs. 87. és 88. ÁLTALÁNOSÍTOTT KOCH-GÖRBÉK ÉS ÖNHASONLÍTÁS EGYENLŐTLEN EGYÜTTHATÓKKAL (,,)

Ezeknek a szerkezeteknek a felépítésénél a Koch-módszert alkalmazták, de a generátor oldalainak egyenlőtlenségével. Eddig azt értjük, hogy ugyanazt a hasonlósági együtthatót alkalmazzuk minden „részre”, amelyre az „egészünk” fel van osztva. Egyenlőtlen együtthatók esetén a Koch-görbe némileg elveszíti kérlelhetetlen helyességét. ábrán. 87 látható az így módosított Koch-ternergörbe.

Vegye figyelembe, hogy a teljes előző illusztrációsorozatban a görbe felépítése addig folytatódott, amíg el nem érte egy előre meghatározott méretű legkisebb részletet. Ha a kívánt célt bizonyos előre meghatározott számú építési szakaszban elérjük, itt a szükséges szakaszok száma változónak bizonyul. ábrán látható görbére is átírható. A sziget partvonala a Peano Poia-görbéhez nyúlik, amely a következő fejezetben tárgyalt Peano-görbék egyike. Az ábra és egy fasor közötti hasonlóság nem véletlen, amint azt a 17. fejezet mutatja. Végül a 17. fejezetben látható görbe. Az alábbi 88 csak valamivel nagyobb 1-nél.

A görbe vagy vonal egy geometriai fogalom, amelyet a geometria különböző ágaiban eltérően határoznak meg. Tartalom 1 Elemi geometria 2 Paraméteres meghatározások 3 Jordan görbe ... Wikipédia

Deltoid A deltoid (Steiner-görbe) egy olyan síkgörbe, amelyet egy másik kör belsejében gördülő kör fix pontja ír le, amelynek sugara háromszorosa az első kör sugarának. A görbe a nevét a görög... ... Wikipédiához való hasonlóságáról kapta

Brachistochrone (a görög βράχιστος legrövidebb és χρόνος idő szóból) legmeredekebb ereszkedési görbe. A megtalálását 1696-ban Johann Bernoulli rótta fel. Ez a következő: A két adott A és B pontot összekötő síkgörbék között ... ... Wikipédia

- (a továbbiakban görbe) a görbe legáltalánosabb (de nem túlzó) definíciója, amelyet Urysohn vezetett be 1921-ben. Ez a meghatározás Cantor definícióját tetszőleges dimenzióra általánosítja. A definíció a következőképpen fogalmazódik meg: A görbe egy összefüggő... ... Wikipédia

Általános neve paraméteres görbéknek, amelyek képe négyzetet (vagy általánosabban nyitott térrégiókat) tartalmaz Tartalom 1 Tulajdonságok 2 Példák 3 Általánosítások ... Wikipédia

Levy görbe fraktál. P. Levy francia matematikus javasolta. Kiderül, ha vesz egy fél négyzetet a / formából, majd mindkét oldalt ugyanazzal a töredékkel helyettesíti, és ezt a műveletet megismételve a ... Wikipédia

Különböző paraméterek esetén a chase görbe a „chase” probléma megoldását reprezentáló görbe, amely a következőképpen van megfogalmazva. Hadd... Wikipédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Görbe (jelentések). A görbe vagy vonal egy geometriai fogalom, amelyet a geometria különböző ágaiban eltérően határoznak meg. Tartalom 1 Elemi geometria 2 ... Wikipédia

A Bezier-görbéket vagy Bernstein Bezier-görbéket egymástól függetlenül fejlesztette ki a 20. század 60-as éveiben Pierre Bézier a Renault autógyártó cégtől és Paul de Faget de Casteljau a Citroen cégtől ... Wikipédia

A Minkowski-görbe felépítése A Minkowski-görbe egy klasszikus geometriai fraktál, amelyet Minkowski javasolt. A kezdeményező egy szegmens, a generátor pedig egy nyolcas szaggatott vonal... Wikipédia

Könyvek

• A fraktálhalmazok elméletének elemei, Sekovanov V.S. Ez a tankönyv rövid történelmi hátteret nyújt a modern matematika egy új irányának - a fraktálgeometriának - kialakulásához. A fraktál felhasználási területei…

Téma: Fraktálok.

1.Bevezetés. Rövid történelmi háttér a fraktálokról. 2. A fraktálok a természet geometriájának elemei.

3. Fraktál tulajdonságokkal rendelkező objektumok a természetben. 4. A „fraktálok” terminológia meghatározása.

5. A fraktálok osztályai.

6.Fraktál folyamatok leírása. 7. Eljárások fraktálhalmazok beszerzésére.

8.1 Törött Kokha (megszerzési eljárás).

8.2 Koch hópehely (Koch Fractal).

8.3 Menger szivacsok.

9. Példák a fraktálok használatára.

Bevezetés. Rövid történelmi háttér a fraktálokról.

A fraktálok a diszkrét matematika fiatal ágai.

IN 1904-ben a svéd Koch egy folytonos görbével állt elő, amelynek sehol nincs érintője – a Koch-görbét.

IN 1918-ban a francia Julia a fraktálok egész családját írta le.

IN 1938-ban Pierre Levy publikálta „Az egészhez hasonló részekből álló sík- és térbeli görbék és felületek” című cikkét.

IN 1982-ben Benoit Mandelbrot kiadta a "The Fractal Geometry of Nature" című könyvet.

VEL Egyszerű konstrukciók és képletek segítségével képeket kapunk. Megjelent a „fraktálfestészet”.

A World Scientific 1993 óta adja ki a „Fractals” című folyóiratot.

A fraktálok a természet geometriájának elemei.

A fraktálok olyan tárgyak leírásának eszközei, mint például a hegyláncok modelljei, zord partvonalak, számos kapilláris és edény keringési rendszere, fák koronája, lépcsőzetes vízesések, fagyos minták az üvegen.

Vagy ezek: páfránylevél, felhők, folt.

Az ilyen objektumok képei fraktálgrafikával ábrázolhatók.

Fraktál tulajdonságokkal rendelkező objektumok a természetben.

KorallokCsillagok és sünökTengeri kagylók

Virágok és növények (brokkoli, káposzta) Gyümölcsök (ananász)

A fák koronája és a növény levelei Keringési rendszer Emberek és állatok hörgői Az élettelen természetben:

Földrajzi objektumok határai (országok, régiók, városok) Partvonalak Hegyvonulatok Hópelyhek Felhők Villám

Üvegen kialakult minták Kristályok Cseppkövek, sztalagmitok, heliktitek.

A „fraktálok” terminológia meghatározása.

A fraktálok olyan geometriai formák, amelyek megfelelnek a következő tulajdonságok közül egynek vagy többnek:

Bonyolult, nem triviális szerkezete van bármilyen nagyításnál (minden skálán) (körülbelül) önhasonló.

Tört Hausdorff (fraktál) dimenzióval rendelkezik, vagy meghaladja a topológiát. Rekurzív eljárásokkal szerkeszthető.

Szabályos alakokhoz, mint például kör, ellipszis, sima függvény grafikonja egy nagyon nagy léptékű kis töredék úgy néz ki, mint egy egyenes vonal töredéke. Egy fraktál esetében a skála növelése nem vezet a szerkezet egyszerűsítéséhez minden skála esetében egyformán összetett képeket fogunk látni.

Fraktál osztályok

A fraktál az egészhez hasonló részekből (alszerkezetekből) álló szerkezet.

Egyes fraktálok, mint a természet elemei, a geometriai (konstruktív) fraktálok közé sorolhatók.

A többi dinamikus fraktálok (algebrai) közé sorolható.

Eljárások fraktálhalmazok beszerzésére.

Ez egy egyszerű rekurzív eljárás a fraktálgörbék megszerzésére: adjon meg egy tetszőleges szaggatott vonalat véges számú hivatkozással - egy generátort. Ezután a generátor minden szegmense kicserélődik benne. Ezután minden szegmenset újra felvált egy generátor, és így tovább a végtelenségig.

A képen: egy egységszegmens felosztása 3 részre (a), egy egységnyi négyzetterület 9 részre (b), egy egységkocka 27 részre (c) és 64 részre (d). A részek száma n, a léptékező tényező k, a tér mérete d. A következő összefüggéseink vannak: n = kd,

ha n = 3, k = 3, akkor d = 1; ha n = 9, k = 3, akkor d = 2; ha n = 27, k = 3, akkor d = 3.

ha n = 4, k = 4, akkor d = 1; ha n = 16, k = 4, akkor d = 2; ha n = 64, k = 4, akkor d = 3. A tér méretét egész számokban fejezzük ki: d = 1, 2, 3; n = 64 esetén d értéke

A Koch-szaggatott vonal felépítésének öt lépése látható: egy egységnyi hosszúságú szegmens (a), három részre osztva (k = 3), négy részből (n = 4) - egy szaggatott vonal (b); minden egyenes szakasz három részre van osztva (k2 = 9) és 16 részre (n2 = 16) - egy szaggatott vonal (c); az eljárást megismételjük k3 = 27 és n3 = 64 esetén – szaggatott vonal (g); k5 = 243 és n5 = 1024 esetén – szaggatott vonal (d).

Dimenzió

Ez egy tört- vagy fraktáldimenzió.

A Helg von Koch által 1904-ben javasolt Koch vonallánc fraktálként működik, amely alkalmas a partvonal egyenetlenségének modellezésére. Mandelbrot egy véletlenszerű elemet vezetett be a partvonal-építési algoritmusba, ami azonban nem befolyásolta a partvonal hosszára vonatkozó fő következtetést. Mert a határ

A partvonal hossza a végtelenbe hajlik a part végtelen egyenetlensége miatt.

A partvonal simításának eljárása, amikor egy részletesebb léptékről egy kevésbé részletezettre lépünk át, pl.

Koch-hópehely (Koch-fraktál)

A konstrukció alapjául nem egységnyi hosszúságú szegmenseket vehetünk, hanem egy egyenlő oldalú háromszöget, amelynek mindkét oldalára kiterjeszthető az egyenetlenségek szorzásának eljárása. Ebben az esetben egy Koch-hópelyhet kapunk (ábra), és háromféle: az újonnan kialakult háromszögek csak kifelé irányulnak az előző (a) és (b) háromszögből; csak belül (benn); véletlenszerűen kifelé vagy befelé (d) és (e). Hogyan állíthatja be a Koch-fraktál készítésének eljárását?

Rizs. Hópehely Koch

ábrán. két vektordiagram látható; A nyilak feletti számok valószínűleg felvetik a kérdést: mit jelentenek? A 0 vektor egybeesik az abszcissza tengely pozitív irányával, mivel exp (i2πl/6) fázistényezője l = 0-nál megtartja irányát. Az 1. vektort 2π/6 szöggel elforgatjuk a 0 vektorhoz képest, ha l= 1. Az 5. vektor fázistényezője exp (i2π5/6), l = 5. Az utolsó vektornak ugyanaz a fázistényezője, mint az elsőnek ( l = 0). Az l egész számok az egységvektor fázistényezőjének szögét jellemzik.

Az első lépés (ábra) egy rekurzív eljárást határoz meg minden további lépéshez, és különösen a második lépéshez (ábra). Hogyan juthatunk el a φ1 = (0 1 5 0) számhalmaztól a φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) értékig? Válasz: közvetlen mátrixszorzással, amikor egy mátrix minden elemét megszorozzuk az eredeti mátrixszal. Mivel ebben az esetben egydimenziós tömbről van szó, pl. Mivel a mátrixok vektorok, az egyik mátrixvektor minden elemét megszorozzuk egy másik mátrixvektor összes elemével. Ezenkívül a φ1 mátrixvektor elemei exp (i2πl/6) exponenciális függvényekből állnak, ezért 10-et a h szám szorzásakor a (6) mod szerint össze kell adni, nem pedig szorozni.

Fraktálok Sok természeti tárgy és jelenség nem sima, hanem töredezett. Ilyenek a falevelek, a partvonal, a villámlás stb. A klasszikus matematikai elemzéssel foglalkozó szokásos differenciálható függvények nem alkalmasak ezen objektumok leírására. Az elmúlt évtizedekben a matematikában egy új irány jelent meg és fejlődik - a fraktálgeometria. A "fraktál" szót 1975-ben vezette be B. Mandelbrot (a latin "fractus" szóból, ami törött, töredezett). 2010-ben a tekintélyes matematikai Fields-díjat (a Nobel-díjhoz hasonlóan) S. Smirnov orosz tudós kapta a fraktálok új tulajdonságainak felfedezéséért. A fraktálok sajátossága nem csak töröttségük, hanem önhasonlóságuk is, vagyis a fraktál minden egyes része hasonlít az egészhez. Az önhasonlóság tulajdonsága a természeti objektumok sajátosságát is tükrözi, amikor egy növény vagy állat egyetlen sejtje teljes információt hordoz az egész szervezetről. Koch-csillag A fraktálok egyik első példáját a 20. század elején H. von Koch (1870-1924) német matematikus találta fel, és Koch-csillagnak (Koch hópehelyének) hívják. Ennek elkészítéséhez egy egyenlő oldalú háromszöget veszünk, és egymás után hozzáadunk hozzá hasonló háromszögeket. Az eredmény egyre bonyolultabb sokszögek, amelyek megközelítik a határhelyzetet - a Koch-csillagot. 1. gyakorlat Határozza meg a Koch-csillag területét, ha az eredeti háromszög területe 1. Megoldás. A Koch-csillag megalkotásának első lépésében három egyenlő oldalú háromszöget adunk hozzá, amelyek oldalai háromszor kisebbek, mint az eredetiek. Minden ilyen háromszög területe 1/9. Ezért egy szabályos csillagozott hatszög területe 1+3/9=4/3. A következő lépés tizenkét háromszöget ad hozzá, amelyek teljes területe 12/81. Mivel a háromszögek oldalainak hossza minden lépésnél háromszorosára csökken, területük kilencszeresére csökken. A hozzáadott háromszögek száma megegyezik a sokszög oldalainak számával, és minden lépésben négyszeresére nő. Ezért a Koch-csillag S területe az eredeti háromszög területe, plusz egy geometriai progresszió összege, amelynek kezdeti tagja 3/9 és nevezője 4/9. A geometriai haladás összegének képletével azt kapjuk, hogy S=1+3/5=8/5. 2. feladat Határozza meg a Koch-csillagot határoló görbe hosszát úgy, hogy az eredeti háromszög oldalai egyenlőek 1-gyel. Megoldás! Az első lépésben a háromszög mindkét oldalát szaggatott vonallal helyettesítjük, amely négy 1/3 hosszúságú szakaszból áll. Így a szaggatott vonal hossza 4/3-szorosára nő, és egyenlő 4-gyel. Ugyanez történik a következő lépésekben is. A szaggatott vonal hossza minden alkalommal 4/3-szorosára nő. Mivel a (4/3)n sorozat a végtelenbe hajlik, a Koch-görbe hossza egyenlő a végtelennel. Szalvéta A Koch-csillag másik változata négyzetekből is megszerkeszthető, ha egymás után hasonló négyzeteket adunk az eredeti négyzethez. 3. gyakorlat Határozza meg a szalvéta területét, amelyet úgy kapunk, hogy egy adott egységnégyzethez 1/3, 1/9 stb. oldalú négyzeteket adunk egymás után. Válasz: 2. 4. gyakorlat Keresse meg annak a fraktál alaknak a területét, amelyet úgy kapunk, hogy egy adott 1 sugarú körhöz szekvenciálisan hozzáadunk ½, ¼ stb. sugarú köröket. Válasz: 5. Sierpinski szőnyeg Az önhasonló alak másik példáját W. Sierpinski (1882-1969) lengyel matematikus találta ki. Ezt Sierpinski szőnyegnek hívják, és egy négyzetből nyerik a középső négyzetek egymás utáni kivágásával. Ami az összes vágás után marad, az a kívánt Sierpinski szőnyeg lesz. Vegye figyelembe, hogy mivel a vágott négyzetek egyre gyakrabban vannak elrendezve, ezért a Sierpiski szőnyegen egyetlen, még a legkisebb négyzet sem lesz lyuk nélkül. 5. gyakorlat Határozza meg a Sierpinski szőnyeg területét úgy, hogy az eredeti négyzet oldalai egyenlőek 1-gyel. Megoldás. A Sierpinski-négyzet területének meghatározásához elegendő kiszámítani a kivágott négyzetek területét. Az első lépés egy 1/9-es négyzet kivágása. A második lépésben nyolc négyzetet vágunk ki, mindegyik 1/81 területű. Minden következő lépésben a vágott négyzetek száma nyolcszorosára nő, és mindegyik területe kilencszeresére csökken. Így a vágott négyzetek teljes területe egy geometriai progresszió összege, amelynek kezdeti tagja 1/9 és nevezője 8/9. A geometriai progresszió összegének képletével azt találjuk, hogy ez a szám egyenlő eggyel. Ezért a Sierpinski szőnyeg területe nulla. Sierpinski szalvéta Nem négyzetből, hanem szabályos háromszögből kiindulva, a középső háromszögeket kivágva egy Sierpinski-szőnyeghez hasonló, Sierpinski-szalvétának hívott, önhasonló figurát kapunk. 6. gyakorlat Keresse meg a megfelelő területből kapott szalvéta területét 1. Válasz: 0. Sierpinski-háromszög Peano-görbe Egy fraktál karakterű görbére egy példát D. Peano (1858-1932) készített, és az ún. Peano görbe. Megalkotásához ezt a négyzetet négy egyenlő négyzetre osztjuk, és a középpontjukat három szegmenssel összekötjük, amint az a) ábrán látható. A leírt eljárást megismételve egyre bonyolultabb szaggatott vonalakat kapunk, közelítve a Peano-görbéhez. Figyeljük meg, hogy a Peano-görbe felépítésében részt vevő szaggatott vonalak minden szakaszban áthaladnak az összes négyzeten, és maguk a négyzetek csökkennek, összehúzódva az eredeti négyzet pontjaira. Ezért a Peano-görbe az eredeti négyzet minden pontján áthalad. Természetesen végtelen hosszú lesz. Sárkánygörbe Egy érdekes példa az önhasonló görbére a „sárkánygörbe”, amelyet E. Heyway alkotott meg. Ennek megszerkesztéséhez vegyünk egy szegmenst. Forgassuk el 90°-kal az egyik csúcs körül, és adjuk hozzá a kapott szegmenst az eredetihez. Forgassuk el a kapott szöget 90°-kal a csúcs körül, és a kapott szaggatott vonalat adjuk hozzá az eredetihez. A leírt eljárást megismételve egyre bonyolultabb, sárkányra emlékeztető szaggatott vonalakat kapunk. Pitagorasz fa fraktál 1 fraktál 2 fraktál 3 fraktál 4 fraktál 5 fraktál 6 fraktál 7 fraktál 8

Ez a szám az egyik első fraktál, amelyet a tudósok tanulmányoztak. Három példányból származik Koch-görbe, amely először Helge von Koch svéd matematikus cikkében jelent meg 1904-ben. Ezt a görbét egy olyan folytonos egyenes példájaként találták ki, amelyhez egyetlen pontban sem lehet érintőt húzni. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező vonalak korábban is ismertek voltak (Karl Weierstrass építette példáját még 1872-ben), de a Koch-görbe a tervezés egyszerűsége miatt figyelemre méltó. Nem véletlen, hogy cikkét „Az elemi geometriából fakadó folytonos görbén érintők nélkül” címmel.

A Koch-görbe felépítésének első lépései

A rajz és az animáció tökéletesen bemutatja, hogyan készül a Koch-görbe lépésről lépésre. Az első iteráció egyszerűen a kezdeti szegmens. Ezután három egyenlő részre osztjuk, a központi részből szabályos háromszöget alkotunk, majd kidobjuk. Az eredmény a második iteráció - egy szaggatott vonal, amely négy szegmensből áll. Mindegyikre ugyanazt a műveletet alkalmazzuk, és megkapjuk az építés negyedik lépését. Ugyanebben a szellemben folytatva újabb és újabb sorokat kaphattok (mind szaggatott sor lesz). És ami a határban történik (ez már egy képzeletbeli objektum lesz), azt Koch-görbének nevezzük.

A Koch-görbe alapvető tulajdonságai

1. Folyamatos, de sehol nem differenciálható. Nagyjából ezért találták ki – az effajta matematikai „furcsák” példájaként.

2. Végtelen hosszúságú. Legyen az eredeti szegmens hossza 1. Minden építési lépésnél a vonalat alkotó szakaszokat 4/3-szor hosszabb szaggatott vonalra cseréljük. Ez azt jelenti, hogy a teljes szaggatott vonal hosszát minden lépésben megszorozzuk 4/3-mal: a számmal ellátott sor hosszával n egyenlő (4/3) n–1 . Ezért a határvonalnak nincs más választása, mint hogy végtelenül hosszú legyen.

3. A Koch-féle hópehely határolja a véges területet.És ez annak ellenére, hogy a kerülete végtelen. Ez a tulajdonság paradoxnak tűnhet, de nyilvánvaló - a hópehely teljesen beleillik egy körbe, így a területe nyilvánvalóan korlátozott. A területet ki lehet számítani, és ehhez nem is kell speciális tudás - az iskolában tanítják a háromszög területének és a geometriai haladás összegének képleteit. Az érdeklődők számára a számítást alább felsoroljuk apró betűs betűkkel.

Legyen az eredeti szabályos háromszög oldala egyenlő a. Akkor a területe . Először az oldal 1, a terület pedig: . Mi történik az iteráció növekedésével? Feltételezhetjük, hogy egy meglévő sokszöghez kis egyenlő oldalú háromszögek kapcsolódnak. Első alkalommal csak 3 van belőlük, és minden következő alkalommal 4-szer több van belőlük, mint az előzőben. Vagyis bekapcsolva n A lépésben T n = 3 · 4 n–1 háromszög készül el. Mindegyik oldalának hossza az előző lépésben kitöltött háromszög oldalának egyharmada. Ez azt jelenti, hogy egyenlő (1/3) n. A területek arányosak az oldalak négyzetével, tehát minden háromszög területe . Nagy értékekhez n Ez egyébként nagyon kevés. Ezeknek a háromszögeknek a teljes hozzájárulása a hópehely területéhez: T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Ezért után n lépésben az ábra területe egyenlő lesz az S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = összeggel . Végtelen számú lépés után hópehelyet kapunk, ami n → ∞-nek felel meg. Az eredmény egy végtelen összeg, de ez egy csökkenő geometriai progresszió összege, van rá egy képlet: . A hópehely területe egyenlő.

4. A fraktáldimenzió az log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . A pontos számítás jelentős erőfeszítést és részletes magyarázatot igényel, ezért itt inkább a fraktáldimenzió meghatározását illusztráljuk. Az N(δ) ~ (1/δ)D hatványtörvény képletből, ahol N- az egymást metsző négyzetek száma, δ - méretük, D- dimenzió, akkor azt kapjuk, hogy D = log 1/δ N. Ez az egyenlőség egy állandó összeadásáig igaz (mindenre ugyanaz) δ ). Az ábrák a Koch-görbe felépítésének ötödik iterációját mutatják, a vele metsző rácsnégyzetek zöld színűek. Az eredeti szakasz hossza 1, így a bal oldali ábrán a négyzetek oldalhossza 1/9. 12 négyzet árnyékolt, log 9 12 ≈ 1,130929... . Még nem nagyon hasonlít az 1.261859-hez... . Nézzük tovább. A középső képen a négyzetek fele akkorák, méretük 1/18, árnyékolva 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Már jobban. A jobb oldalon még feleakkorák a négyzetek, 72 darabot már átfestettek. log 72 30 ≈ 1,193426... . Még közelebb. Ezután növelni kell az iterációs számot és egyidejűleg csökkenteni kell a négyzeteket, ekkor a Koch-görbe dimenziójának „empirikus” értéke folyamatosan megközelíti a log 3 4-et, és a határértékben teljesen egybeesik.

Opciók

Koch hópehelye "fordítva" akkor kapjuk meg, ha az eredeti egyenlő oldalú háromszögön belül Koch-görbéket készítünk.
Cesaro vonalak. Az egyenlő oldalú háromszögek helyett egyenlő szárú háromszögeket használnak, amelyek alapszöge 60° és 90° között van. Az ábrán a szög 88°.
Négyzet alakú lehetőség. Itt elkészültek a négyzetek.
Háromdimenziós analógok. Koch tér.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete