Függvény származéka.

1. A derivált definíciója, annak geometriai jelentése.

2. Komplex függvény deriváltja.

3. Az inverz függvény deriváltja.

4. Magasabb rendű származékok.

5. Parametrikusan meghatározott funkciókatés implicit módon.

6. Paraméteresen és implicit módon meghatározott függvények differenciálása.

Bevezetés.

A differenciálszámítás eredete két olyan kérdés volt, amelyet a tudomány és a technika igényei vetettek fel a 17. században.

1) Kérdés egy tetszőlegesen megadott mozgástörvényhez.

2) Egy tetszőlegesen megadott görbe érintőjének megtalálása (számítások segítségével).

Egyes görbék érintőjének megrajzolásának problémáját az ókori görög tudós, Arkhimédész (Kr. e. 287-212) oldotta meg a rajzolási módszerrel.

De ezek a kérdések csak a 17. és 18. században, a természettudomány és a technika fejlődésével összefüggésben kaptak megfelelő fejlesztést.

Az egyik fontos kérdés a tanulmányozás során fizikai jelenségÁltalában a kérdés a fellépő jelenség sebességére, sebességére vonatkozik.

Mindig az a sebesség, amellyel egy repülőgép vagy autó mozog a legfontosabb mutató a munkája. Egy adott állam népességnövekedésének üteme társadalmi fejlődésének egyik fő jellemzője.

A sebesség eredeti ötlete mindenki számára világos. A többségi döntésre azonban gyakorlati problémák ez általános elképzelés nem elég. Szükséges ennek a mennyiségnek egy ilyen mennyiségi meghatározása, amit sebességnek nevezünk. Szükséges az ilyen precíz számszerűsítése történelmileg a matematikai elemzés megalkotásának egyik fő ösztönzőjeként szolgált. A matematikai elemzés egy egész szakasza ennek az alapproblémának a megoldására és a megoldásból következtetések levonására szolgál. Továbblépünk ennek a szakasznak a tanulmányozására.

A származék definíciója, geometriai jelentése.

Legyen adott egy függvény, amely egy bizonyos intervallumban van definiálva (a, c)és folyamatos benne.

1. Adjuk meg az érvet X növekményt, akkor a függvény megkapja

növekedés:

2. Hozzunk létre egy relációt .

3. Átlépés a határértékre és, feltételezve, hogy a határérték

létezik, kapunk egy nevezett mennyiséget

függvény deriváltja az argumentum vonatkozásában X.

Meghatározás. Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, ha →0.

A derivált értéke nyilván függ a ponttól X, amelyben megtalálható, ezért a függvény deriváltja viszont valamilyen függvénye X. Jelölve .

Értelemszerűen megvan

vagy (3)

Példa. Keresse meg a függvény deriváltját!

1. ;

A függvény deriváltja az egyik nehéz témák V iskolai tananyag. Nem minden diplomás fog válaszolni arra a kérdésre, hogy mi a származék.

Ez a cikk egyszerűen és világosan elmagyarázza, mi az a származékos termék, és miért van rá szükség.. Az előadásban most nem törekszünk matematikai szigorra. A legfontosabb, hogy megértsük a jelentését.

Emlékezzünk a meghatározásra:

A derivált egy függvény változási sebessége.

Az ábrán három függvény grafikonja látható. Szerinted melyik nő gyorsabban?

A válasz nyilvánvaló - a harmadik. Neki van a legtöbb nagy sebesség változásokat, vagyis a legnagyobb származékot.

Íme egy másik példa.

Kostya, Grisha és Matvey egyszerre kapott munkát. Nézzük meg, hogyan változott a bevételük az év során:

A grafikon mindent egyszerre mutat, nem? Kostya bevétele hat hónap alatt több mint kétszeresére nőtt. És Grisha bevétele is nőtt, de csak egy kicsit. És Matvey jövedelme nullára csökkent. A kiindulási feltételek ugyanazok, de a függvény változási sebessége, azaz származéka, - különböző. Ami Matveyt illeti, a származtatott jövedelme általában negatív.

Intuitív módon könnyen megbecsülhetjük egy függvény változási sebességét. De hogyan tegyük ezt?

Valójában azt nézzük, hogy egy függvény grafikonja milyen meredeken megy felfelé (vagy lefelé). Más szóval, milyen gyorsan változik y, amikor x változik? Nyilvánvalóan ugyanaz a funkció különböző pontokat lehet eltérő jelentése származéka – vagyis gyorsabban vagy lassabban változhat.

Egy függvény deriváltját jelöljük.

Megmutatjuk, hogyan találhatja meg grafikon segítségével.

Valamelyik függvény grafikonja készült. Vegyünk egy pontot, amelyen abszcissza van. Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára ezen a ponton. Meg akarjuk becsülni, milyen meredeken emelkedik a függvénygrafikon. Ennek kényelmes értéke az az érintőszög érintője.

Egy függvény deriváltja egy pontban megegyezik a függvény grafikonjára ebben a pontban húzott érintőszög érintőjével.

Figyelem - az érintő dőlésszögeként az érintő és az érintő közötti szöget vesszük pozitív irány tengelyek

Néha a tanulók megkérdezik, hogy mi az érintője egy függvény grafikonjának. Ez egy egyenes vonal ezt a területet az egyetlen közös pont grafikonnal, és az ábránkon látható módon. Úgy néz ki, mint egy kör érintője.

Találjuk meg. Emlékezzünk arra, hogy egy hegyesszög érintője in derékszögű háromszög egyenlő az aránnyal a szomszédos oldallal ellentétes oldalon. A háromszögből:

A deriváltot egy gráf segítségével találtuk meg anélkül, hogy a függvény képletét is ismertük volna. Ilyen problémák gyakran találhatók a matematika egységes államvizsgáján a szám alatt.

Van még egy fontos kapcsolat. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenest az egyenlet adja meg

Az ebben az egyenletben szereplő mennyiséget ún lejtő közvetlen. Ez egyenlő az egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjével.

.

Ezt értjük

Emlékezzünk erre a képletre. A származék geometriai jelentését fejezi ki.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő meredekségével.

Más szóval, a derivált egyenlő az érintőszög érintőjével.

Már említettük, hogy ugyanannak a függvénynek különböző pontokon különböző deriváltjai lehetnek. Nézzük meg, hogyan kapcsolódik a derivált a függvény viselkedéséhez.

Rajzoljuk meg valamelyik függvény grafikonját. Hagyja, hogy ez a függvény egyes területeken növekedjen, másokon csökkenjen, és ezzel együtt különböző sebességgel. És legyen ennek a függvénynek maximum és minimum pontja.

Egy ponton a függvény növekszik. Kialakul a pontban megrajzolt gráf érintője hegyesszög; pozitív tengelyiránnyal. Ez azt jelenti, hogy a pont deriváltja pozitív.

Ezen a ponton a funkciónk csökken. Az érintő ezen a ponton tompaszöget képez; pozitív tengelyiránnyal. Érintő óta tompaszög negatív, abban a pontban a derivált negatív.

Íme, mi történik:

Ha egy függvény növekszik, a deriváltja pozitív.

Ha csökken, a deriváltja negatív.

Mi fog történni a maximális és minimális pontoknál? Látjuk, hogy a pontokban (maximum pont) és (minimális pont) az érintő vízszintes. Ezért ezekben a pontokban az érintőszög érintője egyenlő nullával, és a derivált is nulla.

Pont - maximális pont. Ezen a ponton a függvény növekedését csökkenés váltja fel. Következésképpen a derivált előjele a ponton „pluszról” mínuszra változik.

A ponton - a minimum ponton - a derivált is nulla, de előjele „mínuszról” „pluszra” változik.

Következtetés: a derivált segítségével mindent megtudhatunk, ami egy függvény viselkedésével kapcsolatban érdekel.

Ha a derivált pozitív, akkor a függvény növekszik.

Ha a derivált negatív, akkor a függvény csökken.

A maximális ponton a derivált nulla, és az előjelet „plusz”-ról „mínuszra” változtatja.

A minimumponton a derivált is nulla, és az előjelet mínuszról pluszra változtatja.

Írjuk le ezeket a következtetéseket táblázat formájában:

	növeli	maximális pont	csökken	minimum pont	növeli
+	0	-	0	+

Tegyünk két apró pontosítást. A probléma megoldásához ezekre lesz szüksége. Egy másik - az első évben, a függvények és származékok komolyabb vizsgálatával.

Lehetséges, hogy egy függvény deriváltja egy ponton nulla, de a függvénynek ezen a ponton nincs sem maximuma, sem minimuma. Ez az ún :

Egy ponton a gráf érintője vízszintes, a derivált pedig nulla. A pont előtt azonban a függvény nőtt - a pont után pedig tovább növekszik. A származék előjele nem változik - pozitív marad, ahogy volt.

Az is előfordul, hogy a maximum vagy minimum pontján a derivált nem létezik. A grafikonon ez egy éles törésnek felel meg, amikor egy adott pontban nem lehet érintőt rajzolni.

Hogyan találjuk meg a deriváltot, ha a függvényt nem gráf, hanem képlet adja meg? Ebben az esetben érvényes

Az óra céljai:

A tanulóknak tudniuk kell:

• amit egy vonal meredekségének neveznek;
• az egyenes és az Ox tengely közötti szög;
• mi a származék geometriai jelentése;
• egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete;
• módszer egy parabola érintőjének megszerkesztésére;
• tudjon jelentkezni elméleti tudás gyakorlatban.

Az óra céljai:

Oktatási: teremtsen feltételeket a tanulóknak egy tudás-, készség- és képességrendszer elsajátítására a származék mechanikai és geometriai jelentésével.

Oktatási: tudományos világkép kialakítása a tanulókban.

Fejlesztő: fejleszti a tanulók kognitív érdeklődését, kreativitását, akaratát, memóriáját, beszédét, figyelmét, képzelőerejét, észlelését.

Az oktatási és kognitív tevékenységek szervezésének módszerei:

• vizuális;
• gyakorlati;
• Által mentális tevékenység: induktív;
• az anyag asszimilációja szerint: részben kereső, szaporító;
• függetlenségi fok szerint: laboratóriumi munka;
• serkentő: ösztönzés;
• kontroll: szóbeli frontális felmérés.

Óraterv

1. Szóbeli gyakorlatok (keresse meg a származékot)
2. A hallgató üzenete „A matematikai elemzés megjelenésének okai” témában.
3. Új anyagok tanulása
4. Phys. Egy pillanat.
5. Feladatok megoldása.
6. Laboratóriumi munka.
7. Összegezve a tanulságot.
8. A házi feladat kommentálása.

Felszerelés: multimédiás projektor (prezentáció), kártyák ( laboratóriumi munka).

Az óra előrehaladása

"Az ember csak ott ér el valamit, ahol hisz a saját erejében"

L. Feuerbach

I. Szervezési mozzanat.

Az egész tanórai óraszervezés, a tanulók tanórai felkészültsége, rendje, fegyelme.

Tanulási célok kitűzése a tanulók számára, mind az egész tanórára, mind annak egyes szakaszaira.

Határozza meg a tanult anyag jelentőségét mind ebben a témában, mind a teljes kurzusban!

Szóbeli számolás

1. Keressen származékokat:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Logikai teszt.

a) Illessze be a hiányzó kifejezést!

5x3-6x	15x 2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. A hallgató üzenete „A matematikai elemzés megjelenésének okai” témában.

A tudomány fejlődésének általános irányát végső soron az emberi tevékenység gyakorlásának követelményei határozzák meg. A bonyolult hierarchikus irányítási rendszerrel rendelkező ókori államok léte lehetetlen lett volna az aritmetika és az algebra kellő fejlesztése nélkül, mert az adók beszedése, a hadsereg utánpótlásának megszervezése, paloták és piramisok építése, öntözőrendszerek kialakítása bonyolult számításokat igényelt. A reneszánsz idején bővültek a kapcsolatok a középkori világ különböző részei között, fejlődött a kereskedelem és a kézművesség. Megkezdődik a termelés technikai színvonalának gyors emelkedése, és olyan új energiaforrások kerülnek ipari felhasználásra, amelyek nem kapcsolódnak az emberek vagy állatok izomerős erőfeszítéseihez. A XI-XII. században megjelentek a töltő- és szövőgépek, a XV közepén pedig egy nyomda. Az igény miatt gyors fejlődés A társadalmi termelés ebben az időszakban változott meg az ősidők óta leíró jellegű természettudományok lényege. A természettudomány célja az elmélyült tanulmányozása természetes folyamatok, nem tárgyak. Az állandó mennyiségekkel operáló matematika az ókor leíró természettudományának felelt meg. Olyan matematikai apparátust kellett létrehozni, amely nem a folyamat eredményét írja le, hanem az áramlás természetét és a benne rejlő mintázatokat. Ennek eredményeként, hogy vége XII században az angliai Newton és a németországi Leibniz befejezte a matematikai elemzés megalkotásának első szakaszát. mi az " matematikai elemzés"? Hogyan lehet jellemezni és megjósolni bármely folyamat jellemzőit? Használja ezeket a funkciókat? Egy adott jelenség lényegébe mélyebben behatolni?

III. Új anyagok tanulása.

Kövessük Newton és Leibniz útját, és nézzük meg, hogyan elemezhetjük a folyamatot az idő függvényében.

Mutassunk be néhány fogalmat, amelyek a továbbiakban segítségünkre lesznek.

Az y=kx+ b lineáris függvény grafikonja egy egyenes, a k számot hívjuk az egyenes lejtése. k=tg, ahol az egyenes szöge, vagyis az egyenes és az Ox tengely pozitív iránya közötti szög.

1. ábra

Tekintsük az y=f(x) függvény grafikonját. Rajzoljunk egy szekánst bármelyik két ponton keresztül, például AM szekáns. (2. ábra)

A szekáns szögegyütthatója k=tg. AMC derékszögű háromszögben<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

2. ábra

3. ábra

Maga a „sebesség” kifejezés az egyik mennyiség változásának egy másik változásától való függését jellemzi, és ez utóbbinak nem kell feltétlenül az időnek lennie.

Tehát a szekáns dőlésszögének érintője tg = .

Minket a mennyiségek rövidebb időn belüli változásának függősége érdekel. Irányítsuk az argumentum növekményét nullára. Ekkor a képlet jobb oldala az A pontban lévő függvény deriváltja (magyarázza meg, miért). Ha x -> 0, akkor az M pont a grafikonon az A pontba kerül, ami azt jelenti, hogy az AM egyenes közelít valamilyen AB egyeneshez, ami érintője az y = f(x) függvény grafikonjának az A pontban. (3. ábra)

A szekáns dőlésszöge az érintő dőlésszögéhez hajlik.

A derivált geometriai jelentése az, hogy a derivált értéke egy pontban egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével a pontban.

A származék mechanikai jelentése.

Az érintőszög érintője a függvény adott pontban bekövetkezett változásának pillanatnyi sebességét mutató érték, vagyis a vizsgált folyamat új jellemzője. Leibniz ezt a mennyiséget nevezte el származéka, és Newton azt mondta, hogy magát a deriváltot pillanatnyinak nevezik sebesség.

IV. Testnevelés perc.

V. Problémák megoldása.

91. szám (1) 91. oldal – mutasd meg a táblán.

Az f(x) = x 3 görbe érintőjének szögegyütthatója az x 0 – 1 pontban e függvény deriváltjának értéke x = 1-ben. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

91. szám (3.5) – diktálás.

92. (1) bekezdése – kívánság szerint a táblán.

92. szám (3) – önállóan szóbeli vizsgáztatással.

92. (5) bekezdése – a táblánál.

Válaszok: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

VI. Laboratóriumi munka.

Cél: a „származék mechanikai jelentése” fogalmának kidolgozása.

A származékok alkalmazása a mechanikában.

A törvény megszületett egyenes vonalú mozgás pontok x = x(t), t.

1. Átlagos mozgási sebesség egy meghatározott időtartam alatt;
2. Sebesség és gyorsulás t 04 időpontban
3. A megállás pillanatai; a megállás pillanata utáni pont ugyanabba az irányba halad-e tovább, vagy az ellenkező irányba kezd-e el mozogni;
4. A legnagyobb mozgási sebesség egy meghatározott időtartamon belül.

A munkavégzés 12 lehetőség szerint történik, a feladatok nehézségi szint szerint vannak megkülönböztetve (az első lehetőség a legalacsonyabb nehézségi szint).

A munka megkezdése előtt beszélgetés a következő kérdésekről:

1. Mi fizikai jelentése az elmozdulás származéka? (Sebesség).
2. Meg lehet találni a sebesség deriváltját?
3. Használják ezt a mennyiséget a fizikában? Hogy hívják? (Gyorsulás). Azonnali sebesség
4. egyenlő nullával. Mit mondhatunk a test mozgásáról ebben a pillanatban? (Ez a megállás pillanata). Mi a fizikai jelentése következő kijelentéseket

Diákmunka minta.

x(t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

4. ábra

IN ellenkező irányba.

Rajzoljuk fel a sebesség sematikus diagramját. A legnagyobb sebesség a ponton érhető el

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300-40 = 260

5. ábra

VII. Összegezve a tanulságot

1) Mi a derivált geometriai jelentése?
2) Mi a származék mechanikai jelentése?
3) Vonjon le következtetést a munkájáról.

VIII. A házi feladat kommentálása.

90. oldal. 91. sz.(2,4,6), 92. sz.(2,4,6,), 92. 112. sz.

Felhasznált irodalom

• Tankönyv Algebra és az elemzés kezdetei.
  Szerzők: Yu.M. Koljagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
  Szerkesztette: A. B. Zhizschenko.
• Algebra 11. évfolyam. Óratervek a tankönyv szerint Sh A. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu. 1. rész
• Internetes források:

Előadás: A függvény deriváltjának fogalma, a derivált geometriai jelentése

A derivált függvény fogalma

Tekintsünk valamilyen f(x) függvényt, amely a teljes mérlegelési intervallumban folytonos lesz. A vizsgált intervallumon kiválasztjuk az x 0 pontot, valamint a függvény értékét ezen a ponton.

Tehát nézzük meg azt a grafikont, amelyen x 0 pontunkat, valamint az (x 0 + ∆x) pontot jelöljük. Emlékezzünk vissza, hogy ∆х a távolság (különbség) két kiválasztott pont között.

Azt is érdemes megérteni, hogy minden x-nek felel meg sajátérték függvények y.

A függvény értékei közötti különbséget az x 0 és (x 0 + ∆x) pontban a függvény növekményének nevezzük: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Figyeljünk oda további információk, amely a grafikonon egy KL szekáns, valamint az általa alkotott háromszög KN és LN intervallumokkal.

Azt a szöget, amelyben a metsző található, dőlésszögének nevezzük, és α-val jelöljük. Könnyen megállapítható fokmérő LKN szög is egyenlő α-val.

Most emlékezzünk a tgα = LN / KN = ∆у / ∆х derékszögű háromszög összefüggéseire.

Vagyis a szekáns szög érintője egyenlő a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányával.

Egyszerre a derivált a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa infinitezimális intervallumokon.

A derivált határozza meg, hogy egy függvény milyen sebességgel változik egy adott területen.

A származék geometriai jelentése

Ha egy adott pontban megtalálja bármely függvény deriváltját, akkor meghatározhatja, hogy egy adott áramban a grafikon érintője az OX tengelyhez képest milyen szögben helyezkedjen el. Ügyeljen a grafikonra - az érintőleges dőlésszöget φ betűvel jelöljük, és az egyenes egyenletében szereplő k együttható határozza meg: y = kx + b.

Vagyis arra a következtetésre juthatunk, hogy a derivált geometriai jelentése az érintőszög érintője a függvény valamely pontjában.

Mi az a származék?
A derivált függvény definíciója és jelentése

Sokakat meg fog lepni, hogy ez a cikk váratlan helyet foglal el szerzőmnek egy változó függvényének deriváltjáról és annak alkalmazásairól szóló kurzusában. Hiszen, ahogy az iskola óta: a standard tankönyv mindenekelőtt a származék meghatározását, geometriai, mechanikai jelentését adja meg. Ezután a tanulók definíció szerint találják meg a függvények deriváltjait, és valójában csak ezután tökéletesítik a differenciálás technikáját. derivált táblázatok.

De az én szemszögemből a következő megközelítés pragmatikusabb: először is tanácsos JÓL ÉRTNI függvény határértéke, és különösen végtelenül kicsi mennyiségek. A lényeg az a származékos definíció a limit fogalmán alapul, ami rosszul van figyelembe véve iskolai tanfolyam. Éppen ezért a tudásgránit fiatal fogyasztóinak jelentős része nem érti a származék lényegét. Így ha rosszul tájékozódsz differenciálszámítás vagy bölcs agy azért sok éven át sikeresen megszabadult ettől a poggyásztól, kezdje ezzel funkció korlátai. Ugyanakkor sajátítsd el/emlékezz a megoldásukra.

Ugyanez a gyakorlati érzék azt diktálja, hogy először előnyös megtanulni származékokat találni, beleértve összetett függvények származékai. Az elmélet az elmélet, de ahogy mondják, mindig különbséget akarsz tenni. Ebben a tekintetben jobb, ha végigdolgozzuk a felsorolt ​​alapleckéket, és talán a differenciálás mestere anélkül, hogy felfogták volna tetteik lényegét.

Azt javaslom, hogy a cikk elolvasása után kezdje az ezen az oldalon található anyagokkal. A deriváltokkal kapcsolatos legegyszerűbb problémák, ahol különösen egy függvény grafikonjának érintőjének problémáját vizsgáljuk. De várhatsz. Az a helyzet, hogy a derivált sok alkalmazása nem igényli megértését, és nem meglepő, hogy az elméleti lecke meglehetősen későn jelent meg - amikor el kellett magyaráznom. növekvő/csökkenő intervallumok és szélsőségek megtalálása funkciókat. Ráadásul elég sokáig benne volt a témában. Függvények és grafikonok”, míg végül úgy döntöttem, hogy korábban teszem.

Ezért, kedves teáskannák, ne rohanjátok a származék esszenciáját felszívni, mint az éhes állatok, mert ízetlen és hiányos lesz a telítettség.

Egy függvény növekvő, csökkenő, maximumának, minimumának fogalma

Sok oktatási segédanyagok néhány gyakorlati probléma felhasználásával vezettek el a derivált fogalmához, és én is kitaláltam érdekes példa. Képzeld el, hogy egy olyan városba készülünk, amelyet különböző módon lehet elérni. Azonnal vessük el az ívelt kanyargós utakat, és csak az egyenes autópályákat vegyük figyelembe. Az egyenes irányok azonban eltérőek: sima autópályán lehet bejutni a városba. Vagy egy dombos autópálya mentén – fel és le, fel és le. Egy másik út csak felfelé megy, egy másik pedig folyamatosan lefelé megy. Az extrém szerelmesek egy meredek sziklával és meredek emelkedővel rendelkező szurdokon keresztül vezetnek útvonalat.

Bármi legyen is a preferenciája, tanácsos ismerni a területet, vagy legalább megkeresni topográfiai térkép. Mi van, ha az ilyen információk hiányoznak? Hiszen választhat például egy sima utat, de ennek eredményeként egy sípályára botlik vidám finnekkel. Nem tény, hogy a navigátor és még műholdkép megbízható adatokat fog szolgáltatni. Ezért jó lenne az út domborművét matematikával formalizálni.

Nézzünk egy utat (oldalnézet):

Minden esetre emlékeztetek egy elemi tényre: az utazás megtörténik balról jobbra. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a függvény folyamatos a vizsgált területen.

Mik a jellemzői ebből a menetrendből?

Időközönként funkció növeli, vagyis annak minden következő értéke több előzőt. Nagyjából elmondható, hogy a menetrend be van fejezve alulról felfelé(felmászunk a dombra). És az intervallumon a függvény csökken– minden következő érték kevesebb előző, és a menetrendünk be van kapcsolva felülről lefelé(lefelé megyünk a lejtőn).

Figyeljünk arra is szinguláris pontok. Abban a pontban, ahol elérjük maximális, vagyis létezik az út olyan szakasza, ahol az érték a legnagyobb (legmagasabb). Ugyanazon a ponton érhető el minimális, És létezik annak a szomszédságában, amelyben az érték a legkisebb (legalacsonyabb).

Az órán szigorúbb terminológiát és definíciókat fogunk vizsgálni. a függvény szélsőértékéről, de most tanuljunk még egyet fontos jellemzője: időközönként a funkció növekszik, de növekszik különböző sebességgel. És az első dolog, ami felkelti a szemét, az az, hogy a grafikon az intervallum alatt felfelé ível sokkal menőbb, mint az intervallumon. Meg lehet-e mérni az út meredekségét matematikai eszközökkel?

A funkció változásának sebessége

Az ötlet a következő: vegyünk valami értéket (olvasd el a "delta x"-et), amit majd hívunk argumentumnövekmény, és kezdjük el „felpróbálni”. különféle pontokat a mi utunk:

1) Nézzük a bal szélső pontot: a távon áthaladva felmászunk a lejtőn egy magasságba (zöld vonal). A mennyiséget ún funkciónövekmény, és be ebben az esetben ez a növekmény pozitív (az értékek különbsége a tengely mentén nagyobb, mint nulla). Hozzunk létre egy arányt, amely az utunk meredekségének mértéke lesz. Nyilvánvaló, hogy ez egy nagyon specifikus szám, és mivel mindkét növekmény pozitív, akkor .

Figyelem! A megnevezések azok EGY szimbólumot, vagyis nem lehet „letépni” a „deltát” az „X”-ről, és ezeket a betűket külön figyelembe venni. Természetesen a megjegyzés a függvénynövekmény szimbólumra is vonatkozik.

Fedezzük fel értelmesebben a kapott tört természetét. Kezdetben legyünk 20 méter magasságban (a bal fekete pontnál). A méteres távolság megtétele után (bal oldali piros vonal) 60 méteres magasságban találjuk magunkat. Ekkor a függvény növekménye lesz méter (zöld vonal) és: . Így, minden méteren az út ezen szakaszán magassága nő átlagosan 4 méterrel...elfelejtette a mászófelszerelését? =) Más szóval, a megszerkesztett összefüggés a függvény ÁTLAGOS VÁLTOZÁSI RÁTÁJÁT (jelen esetben növekedését) jellemzi.

Jegyzet : számértékek A szóban forgó példa csak hozzávetőlegesen felel meg a rajz arányainak.

2) Most menjünk ugyanolyan távolságra a jobb szélső fekete ponttól. Itt az emelkedés fokozatosabb, így a növekmény (bíbor vonal) viszonylag kicsi, az előző esethez viszonyított arány pedig igen szerény lesz. Viszonylag szólva, méter és funkció növekedési üteme van . Vagyis itt az út minden méterére van átlagosan fél méter emelkedés.

3) Egy kis kaland a hegyoldalban. Nézzük meg az ordinátatengelyen található felső fekete pontot. Tegyük fel, hogy ez az 50 méteres jel. Ismét leküzdjük a távot, aminek következtében lejjebb találjuk magunkat - 30 méteres szinten. Mivel a mozgást végrehajtják felülről lefelé(a tengely „ellenirányú” irányában), majd a döntő a függvény növekménye (magasság) negatív lesz: méter (barna szegmens a rajzon). És ebben az esetben már beszélünk csökkenés mértéke Jellemzők: , vagyis ennek a szakasznak minden pályájának méterére a magasság csökken átlagosan 2 méterrel. Az ötödik pontnál vigyázz a ruháidra.

Most pedig tegyük fel magunknak a kérdést: mi a legjobb „mérési standard” érték? Teljesen érthető, 10 méter nagyon durva. Jó tucat hummock simán elfér rajtuk. A dudoroktól függetlenül mély szurdok húzódik alatta, néhány méter után pedig a másik oldala, további meredek emelkedéssel. Így egy tízméteressel nem kapunk érthető leírást az út ilyen szakaszairól az arányon keresztül.

A fenti megbeszélésből a következő következtetés következik: hogyan kisebb érték , annál pontosabban írjuk le az út domborzatát. Ráadásul tisztességesek a következő tényeket:

– Bárkinek emelési pontok kiválaszthat egy értéket (még ha nagyon kicsi is), amely belefér egy adott emelkedés határain belül. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő magasságnövekedés garantáltan pozitív lesz, és az egyenlőtlenség helyesen jelzi a függvény növekedését ezen intervallumok minden pontjában.

- Hasonlóképpen, bármilyen lejtőpont van egy érték, amely teljesen belefér erre a lejtőre. Ebből következően a megfelelő magasságnövekedés egyértelműen negatív, és az egyenlőtlenség helyesen mutatja a függvény csökkenését az adott intervallum minden pontjában.

– Különösen érdekes eset, amikor a függvény változási sebessége nulla: . Először is, a nulla magasságnövekedés () a sima út jele. Másodszor, vannak más érdekes helyzetek is, amelyekre példákat láthat az ábrán. Képzeld el, hogy a sors egy domb tetejére hozott minket szárnyaló sasokkal, vagy egy szakadék aljára, ahol kárognak a békák. Ha egy kis lépést teszünk bármely irányba, akkor a magasságváltozás elhanyagolható lesz, és azt mondhatjuk, hogy a függvény változási sebessége valójában nulla. Pontosan ez a kép látható a pontokon.

Így jutunk el csodálatos lehetőség ideális esetben pontosan jellemezze egy függvény változási sebességét. Végül is a matematikai elemzés lehetővé teszi, hogy az argumentum növekményét nullára irányítsuk: , azaz elenyésző.

Ennek eredményeképpen egy másik logikus kérdés is felmerül: meg lehet-e találni az utat és annak menetrendjét másik funkció, amely tudatná velünk az összes sík szakaszról, emelkedőről, ereszkedésről, csúcsról, völgyről, valamint a növekedés/csökkenés üteméről az út egyes pontjain?

Mi az a származék? A származék definíciója.
A derivált és a differenciál geometriai jelentése

Kérjük, figyelmesen olvassa el és ne túl gyorsan - az anyag egyszerű és mindenki számára hozzáférhető! Nem baj, ha néhol valami nem tűnik túl világosnak, később bármikor visszatérhet a cikkhez. Többet is elmondok, hasznos többször áttanulmányozni az elméletet, hogy alaposan megértsük az összes pontot (a tanács különösen fontos azoknak a „techie” hallgatóknak, akik felsőbb matematika jelentős szerepet játszik az oktatási folyamatban).

Természetesen a derivált definíciójában egy ponton a következőre cseréljük:

Mihez jutottunk? És arra a következtetésre jutottunk, hogy a törvény szerinti funkcióhoz összhangba kerül egyéb funkció, ami az úgynevezett derivált függvény(vagy csak származék).

A származék jellemzi változás mértéke funkciókat Hogyan? Az ötlet vörös szálként fut a cikk legelejétől. Nézzünk egy pontot definíciós tartomány funkciókat Legyen a függvény egy adott pontban differenciálható. Majd:

1) Ha , akkor a függvény a pontban növekszik. És nyilván van is intervallum(még egy nagyon kicsi is), amely egy pontot tartalmaz, ahol a függvény növekszik, és a grafikonja „alulról felfelé” halad.

2) Ha , akkor a függvény a pontban csökken. És van egy intervallum, amely tartalmaz egy pontot, ahol a függvény csökken (a grafikon „fentről lefelé” megy).

3) Ha , akkor végtelenül közel pont közelében a függvény állandó sebességet tart. Ez, amint megjegyeztük, állandó funkcióval és a funkció kritikus pontjain, különösen minimum és maximum pontokon.

Egy kis szemantika. Mi van benne tág értelemben a „megkülönböztet” ige azt jelenti? A megkülönböztetés azt jelenti, hogy kiemelünk egy jellemzőt. Egy függvény differenciálásával „izoláljuk” változásának sebességét a függvény deriváltja formájában. Egyébként mit jelent a „származék” szó? Funkció történt funkcióból.

A kifejezéseket nagyon sikeresen értelmezi a származék mechanikus jelentése :
Tekintsük a test koordinátáinak időtől függő változásának törvényét és a mozgási sebesség függvényét adott test. A függvény a test koordinátáinak változási sebességét jellemzi, ezért ez a függvény első deriváltja az idő függvényében: . Ha a „testmozgás” fogalma nem létezne a természetben, akkor nem lenne származéka a "testsebesség" fogalma.

A test gyorsulása a sebesség változásának mértéke, ezért: . Ha a „testmozgás” és a „testsebesség” kezdeti fogalmai nem léteznének a természetben, akkor nem léteznének származéka a „testgyorsulás” fogalma.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete