Három ismeretlent tartalmazó egyenlet megoldásainak halmaza. Két vektor ortogonalitásának meghatározása
Lineáris egyenletek (elsőfokú egyenletek) két ismeretlennel
1. definíció. Lineáris egyenlet (elsőfokú egyenlet) két ismeretlennel x és y elnevezi a forma egyenletét
Megoldás . Adjuk meg a (2) egyenlőségből az y változót az x változón keresztül:
A (3) képletből az következik, hogy a (2) egyenlet megoldásai mind olyan számpárok, amelyek
ahol x tetszőleges szám.
Jegyzet. Amint az 1. példa megoldásából látható, a (2) egyenlet igen végtelenül sok megoldás. Azt azonban fontos megjegyezni nem akármilyen számpár (x; y) ennek az egyenletnek a megoldása. A (2) egyenlet tetszőleges megoldásához az x szám tetszőlegesnek tekinthető, majd az y számot a (3) képlet segítségével kiszámíthatjuk.
Két lineáris egyenletrendszer két ismeretlenben
3. definíció. Kettős rendszer lineáris egyenletek két ismeretlennel x és y alakú egyenletrendszert hív
Ahol a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – megadott számok.
4. definíció. A (4) egyenletrendszerben a számok a 1 , b 1 , a 2 , b 2 hívott , és számok c 1 , c 2 – ingyenes tagok.
5. definíció. A (4) egyenletrendszer megoldásával hívj egy pár számot ( x; y), amely a (4) rendszer egyik és másik egyenletének is megoldása.
6. definíció. A két egyenletrendszert ún egyenértékű (egyenértékű), ha az első egyenletrendszer minden megoldása a második rendszer megoldása, és a második rendszer minden megoldása az első rendszer megoldása.
Az egyenletrendszerek egyenértékűségét a „” szimbólum jelzi
A lineáris egyenletrendszereket a segítségével oldjuk meg, amit példákkal illusztrálunk.
2. példa Egyenletrendszer megoldása
Megoldás. A rendszer (5) megoldásához kiküszöböljük az ismeretlent a rendszer második egyenletéből X .
Ebből a célból először az (5) rendszert olyan alakra alakítjuk, amelyben a rendszer első és második egyenletében szereplő ismeretlen x együtthatók azonosak lesznek.
Ha az (5) rendszer első egyenletét megszorozzuk a második egyenletben szereplő x-ben lévő együtthatóval (7-es szám), és a második egyenletet megszorozzuk az első egyenletben (2-es szám) szereplő x-hez tartozó együtthatóval, akkor az (5) rendszer formát ölti majd
Most hajtsuk végre a következő átalakításokat a (6) rendszeren:
- a második egyenletből kivonjuk az első egyenletet, és a rendszer második egyenletét a kapott különbséggel helyettesítjük.
Ennek eredményeként a (6) rendszer egy ekvivalens rendszerré alakul
A második egyenletből azt találjuk y= 3, és ezt az értéket behelyettesítve az első egyenletbe, azt kapjuk
Válasz . (-2 ; 3) .
3. példa Keresse meg a p paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszer vonatkozik
A) egyedi megoldása van;
b) végtelen sok megoldása van;
V) nem rendelkezik megoldással.
Megoldás . A (7) rendszer második egyenletéből x-et y-ig kifejezve, és a kapott kifejezést x helyett a (7) rendszer első egyenletébe behelyettesítve kapjuk
Tanulmányozzuk a (8) rendszer megoldásait a p paraméter értékétől függően.
| y (2 - Ehhez először tekintsük a (8) rendszer első egyenletét:) (2 + Ehhez először tekintsük a (8) rendszer első egyenletét:) = 2 + Ehhez először tekintsük a (8) rendszer első egyenletét: | (9) |
p 
Ha
, akkor a (9) egyenletnek egyedi megoldása van Így abban az esetben, amikor , rendszer (7)
p Ehhez először tekintsük a (8) rendszer első egyenletét: egyedi megoldása van
= - 2, akkor a (9) egyenlet alakot ölt 
megoldása pedig tetszőleges szám . Ezért a (7) rendszer megoldása az
végtelen halmaz mindenki
,
számpárok
p Ehhez először tekintsük a (8) rendszer első egyenletét: ahol y tetszőleges szám.
= 2, akkor a (9) egyenlet alakját veszi fel és nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a rendszer (7).
nincsenek megoldásai
Három lineáris egyenletrendszer három ismeretlenben 7. definíció. Három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel
Ahol a 1 , b 1 , c 1 , x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja 1 , a 2 , b 2 , c 2 , x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja 2 , a 3 , b 3 , c 3 , x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja 3 – megadott számok.
d a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 8. definíció. A (10) egyenletrendszerben a számok hívott együtthatók az ismeretlenekre x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja 1 , x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja 2 , x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja 3 – ingyenes tagok.
, és a számok 9. definíció. A (10) egyenletrendszer megoldásával (x; y ; nevezzen meg három számot) , z
ha behelyettesítjük őket a (10) rendszer három egyenletébe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk.
4. példa Egyenletrendszer megoldása Megoldás. A (11) rendszer segítségével oldjuk meg módszer szekvenciális elimináció.
ismeretlen Ehhez először a rendszer második és harmadik egyenletéből kizárjuk az ismeretlent
- y a következő átalakítások végrehajtásával a (11) rendszeren:
- A rendszer első egyenletét változatlanul hagyjuk;
- a második egyenlethez hozzáadjuk az első egyenletet, és a rendszer második egyenletét a kapott összeggel helyettesítjük;
a harmadik egyenletből kivonjuk az első egyenletet, és a kapott különbséggel a rendszer harmadik egyenletét helyettesítjük.
Ennek eredményeként a (11) rendszer egy ekvivalens rendszerré alakul Jelenleg kiküszöböljük az ismeretlent a rendszer harmadik egyenletéből
- x a következő átalakítások végrehajtásával a (12) rendszeren:
- A rendszer első és második egyenletét változatlanul hagyjuk;
a harmadik egyenletből kivonjuk a második egyenletet, és a kapott különbséggel a rendszer harmadik egyenletét helyettesítjük.
Ennek eredményeként a (12) rendszer egy ekvivalens rendszerré alakul A rendszerből (13)
nevezzen meg három számot = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .
következetesen találjuk
Válasz . (1; 2; -2) .
5. példa Egyenletrendszer megoldása következmény, hozzáadva a rendszer mindhárom egyenletét:
A lineáris egyenletrendszer több lineáris egyenlet együttes figyelembevétele.
Egy rendszernek tetszőleges számú egyenlete lehet tetszőleges számú ismeretlennel.
Az egyenletrendszer megoldása olyan ismeretlen értékek halmaza, amely kielégíti a rendszer összes egyenletét, azaz azonosságokká alakítja azokat.
Azt a rendszert, amelynek van megoldása, konzisztensnek nevezzük.
A rendszer megoldására különféle módszereket alkalmaznak.
Hadd 
(az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával).
Cramer módszer
Gondoljuk át a megoldást háromból álló rendszer lineáris egyenletek három ismeretlennel:
(7)
Ismeretleneket találni 
Alkalmazzuk a Cramer-képletet:
(8)
Ahol 
- a rendszer determinánsa, melynek elemei az ismeretlenek együtthatói:
.
a determináns első oszlopának cseréjével kapott 
ingyenes tagok oszlopa:
.
Hasonlóképpen:
;
.
1. példa Oldja meg a rendszert Cramer képletével:
.
Megoldás: Használjuk a (8) képleteket:
;
;
;
;
Válasz: 
.
Bármilyen rendszerhez 
lineáris egyenletek -val 
az ismeretlenek kijelenthetők:
Mátrix megoldás
Tekintsük a rendszer megoldását (7) három lineáris három ismeretlent tartalmazó egyenleteket mátrix módszerrel.
A mátrixszorzás szabályait alkalmazva, ezt a rendszert az egyenletek a következőképpen írhatók fel: 
, Hol
.
Hagyja a mátrixot 
nem degenerált, azaz. 
. A bal oldali mátrixegyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a mátrixszal 
, a mátrix inverze 
, kapunk: 
.
Ezt figyelembe véve 
, van
(9)
2. példa Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel:
.
Megoldás: Mutassuk be a mátrixokat:
- az ismeretlenek együtthatóiból;
- ingyenes tagok oszlopa.
Ekkor a rendszer felírható mátrixegyenletként: 
.
Használjuk a (9) képletet. Keressük az inverz mátrixot 
a (6) képlet szerint:
;
.
Ezért,
Megérkezett:
.
Válasz: 
.
Az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere (Gauss-módszer)
Az alkalmazott módszer fő gondolata az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölése. Magyarázzuk meg ennek a módszernek a jelentését a rendszeren három egyenlet három ismeretlennel:
.
Tegyük fel, hogy 
(Ha 
, akkor megváltoztatjuk az egyenletek sorrendjét, és első egyenletnek azt választjuk, amelyben az együttható 
nem egyenlő nullával).
Első lépés: a) oszd el az egyenletet! 
-on 
; b) szorozd meg a kapott egyenletet 
és kivonjuk belőle 
; c) majd az eredményt szorozzuk meg vele 
és kivonjuk belőle 
. Az első lépés eredményeként a következő rendszert kapjuk:
,
Második lépés: foglalkozunk az egyenlettel 
És 
pontosan ugyanaz, mint az egyenleteknél 
.
Ennek eredményeként az eredeti rendszer átalakul az úgynevezett lépcsőzetes formává:
Az átalakított rendszerből minden ismeretlent nehézség nélkül egymás után meghatározunk.
Megjegyzés. A gyakorlatban kényelmesebb, ha nem magát az egyenletrendszert redukáljuk lépcsőzetes formára, hanem együtthatók, ismeretlenek és szabad tagok mátrixát.
3. példa Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel:
.
Az egyik mátrixból a másikba való átmenetet a ~ ekvivalenciajellel írjuk le.
~
~
~
~
~
.
A kapott mátrix segítségével kiírjuk a transzformált rendszert:
.
Válasz: 
.
Megjegyzés: Ha a rendszernek egyedi megoldása van, akkor a lépésrendszer háromszög alakúra redukálódik, azaz olyanra, amelyben az utolsó egyenlet egy ismeretlent tartalmaz. Bizonytalan rendszer esetén, vagyis olyan, amelyben az ismeretlenek száma több szám lineárisan független egyenletek esetén nem lesz háromszögrendszer, mivel az utolsó egyenlet egynél több ismeretlent tartalmaz (a rendszernek végtelen sok megoldása van). Ha a rendszer inkonzisztens, akkor lépésenkénti formára redukálva legalább egyet tartalmazni fog 
a forma értéke 
, azaz egy egyenlet, amelyben minden ismeretlennek nulla együtthatója van, a jobb oldal pedig nem nulla (a rendszernek nincs megoldása). A Gauss-módszer alkalmazható tetszőleges rendszer lineáris egyenletek (bármilyen 
És 
).
Létezési tétel lineáris egyenletrendszer megoldására
Lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során arra a kérdésre, hogy ez a rendszer kompatibilis vagy inkonzisztens, csak a számítások végén adható meg. Gyakran azonban fontos megoldani egy egyenletrendszer kompatibilitásának vagy inkompatibilitásának kérdését anélkül, hogy maguknak a megoldásoknak meg kellene találniuk. Erre a kérdésre a következő Kronecker-Capelli tétel adja meg a választ.
Adott legyen a rendszer 
lineáris egyenletek -val 
ismeretlen:
(10)
Ahhoz, hogy a (10) rendszer konzisztens legyen, szükséges és elégséges, hogy a rendszermátrix rangja
.
egyenlő volt a kiterjesztett mátrix rangjával
.
Sőt, ha 
, akkor a (10) rendszernek egyedi megoldása van; ha 
, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.
Tekintsünk egy homogén lineáris egyenletrendszert (minden szabad tag egyenlő nullával):
.
Ez a rendszer mindig konzisztens, mivel nulla megoldása van.
A következő tétel olyan feltételeket ad meg, amelyek mellett a rendszernek a nullától eltérő megoldásai is vannak.
Terema. Annak érdekében, hogy homogén rendszer vonalegyenleteknek nulla megoldása van, szükséges és elégséges, hogy a determinánsa 
egyenlő volt nullával:
.
Így ha 
, akkor a megoldás az egyetlen. Ha 
, akkor végtelen sok más nem nulla megoldás létezik. Jelöljük meg az egyik módot arra, hogyan lehet megoldást találni egy homogén három lineáris egyenletrendszerre három ismeretlennel abban az esetben 
.
Bizonyítható, hogy ha 
, és az első és a második egyenlet aránytalan (lineárisan független), akkor a harmadik egyenlet az első kettő következménye. A három egyenletből álló homogén rendszer megoldása három ismeretlennel redukálódik két egyenlet három ismeretlennel történő megoldására. Megjelenik egy úgynevezett szabad ismeretlen, amelyhez tetszőleges értékek rendelhetők.
4. példa Keresse meg a rendszer összes megoldását:
.
Megoldás. Ennek a rendszernek a meghatározója
.
Ezért a rendszer rendelkezik nulla megoldás. Észreveheti, hogy például az első két egyenlet nem arányos, ezért lineárisan függetlenek. A harmadik az első kettő következménye (kiderül, ha az első egyenlethez a második kétszeresét adjuk). Elutasítva egy két egyenletrendszert kapunk három ismeretlennel:
.
Feltéve, hogy pl. 
, megkapjuk
.
Két lineáris egyenletrendszer megoldása során kifejezzük 
És 
keresztül 
:
. Ezért a rendszer megoldása a következőképpen írható fel: 
, Hol 
- tetszőleges szám.
5. példa Keresse meg a rendszer összes megoldását:
.
Megoldás. Könnyen belátható, hogy ebben a rendszerben csak egy független egyenlet van (a másik kettő ezzel arányos). Egy három egyenletből álló, három ismeretlennel rendelkező egyenlet egy három ismeretlent tartalmazó egyenletre redukálódott. Két szabad ismeretlen jelenik meg. Megkeresve például az első egyenletből 
önkényesnek 
És 
, megoldásokat kapunk erre a rendszerre. A megoldás általános formája hova írható 
És 
- tetszőleges számok.
Önellenőrző kérdések
Fogalmazzuk meg a Cramer-szabályt a rendszer megoldására 
lineáris egyenletek -val 
ismeretlen.
Mi a mátrixos rendszerek megoldási módszerének lényege?
Mi Gauss módszere lineáris egyenletrendszer megoldására?
Mondja el a Kronecker-Capelli tételt!
Fogalmazzon meg egy szükséges és elégséges feltételt egy homogén lineáris egyenletrendszer nullától eltérő megoldásainak létezéséhez.
Példák önmegoldásra
Találja meg a rendszerek összes megoldását:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Határozza meg, milyen értékeken 
És 
egyenletrendszer
a) egyedi megoldása van;
b) nincs megoldása;
c) végtelen sok megoldása van.
16.
; 17.
;
Keresse meg a következő homogén rendszerek összes megoldását:
18.
; 19.
;
20.
; 21.
;
22.
; 23.
;
Válaszok a példákra
1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;
5.
- tetszőleges szám.
6.
, Hol 
- tetszőleges szám.
7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;
11.
, Hol 
- tetszőleges szám.
12. , hol 
És 
- tetszőleges számok.
13.
; 14.
Ahol 
És 
- tetszőleges számok.
15. Ǿ; 16. a) 
; b) 
; V) 
.
17. a) 
; b) 
; V) 
;
18.
; 19.
; 20., hol 
- tetszőleges szám.
21. , hol 
- tetszőleges szám.
22. , hol 
- tetszőleges szám.
23. , hol 
És 
- tetszőleges számok.
Lineáris egyenletek két változóban
Egy iskolásnak 200 rubelt kell ebédelnie az iskolában. Egy sütemény 25 rubel, egy csésze kávé 10 rubelbe kerül. Hány süteményt és csésze kávét vásárolhat 200 rubelért?
Jelöljük a sütemények számát x, és a csésze kávé át y. Ekkor a sütemények költségét a 25 kifejezés jelöli x, és a csésze kávé ára 10-ben y .
25x-ár x sütemények
10y —ár y csésze kávét
A teljes összegnek 200 rubelnek kell lennie. Ekkor kapunk egy két változós egyenletet xÉs y
25x+ 10y= 200
Hány gyökere van? adott egyenlet?
Minden a tanuló étvágyától függ. Ha vesz 6 süteményt és 5 csésze kávét, akkor az egyenlet gyökerei a 6-os és az 5-ös számok lesznek.
A 6-os és 5-ös értékpár a 25-ös egyenlet gyökere x+ 10y= 200. Írva (6; 5), az első szám a változó értéke x, a második pedig a változó értéke y .
A 6 és 5 nem az egyetlen gyök, amely megfordítja a 25-ös egyenletet x+ 10y= 200 az azonossághoz. Kívánság szerint ugyanazon 200 rubelért egy diák 4 süteményt és 10 csésze kávét vásárolhat:
Az e abban az esetben a 25-ös egyenlet gyökerei x+ 10y= 200 egy értékpár (4; 10).
Ezenkívül egy iskolás egyáltalán nem vesz kávét, hanem süteményeket vásárolhat a teljes 200 rubelért. Ezután a 25-ös egyenlet gyökerei x+ 10y= 200 lesz a 8 és 0 érték
Vagy fordítva, ne süteményt, hanem kávét vegyen a teljes 200 rubelért. Ezután a 25-ös egyenlet gyökerei x+ 10y= 200, az értékek 0 és 20 lesznek
Próbáljuk meg felsorolni a 25-ös egyenlet összes lehetséges gyökerét x+ 10y= 200. Egyezzünk meg abban, hogy az értékek xÉs y egész számok halmazába tartoznak. És legyenek ezek az értékek nagyobbak vagy egyenlők nullával:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Ez magának a diáknak is kényelmes lesz. Kényelmesebb egész tortát vásárolni, mint például több egész tortát és egy fél tortát. Kényelmesebb egész csészében is bevenni a kávét, mint például több egész csészével és fél csészével.
Vegye figyelembe, hogy páratlan x az egyenlőséget semmilyen körülmények között lehetetlen elérni y. Aztán az értékek x a következő számok 0, 2, 4, 6, 8 lesznek. És tudva x könnyen meghatározható y
Így a következő értékpárokat kaptuk (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ezek a párok a 25. egyenlet megoldásai vagy gyökerei x+ 10y= 200. Ezt az egyenletet azonossággá alakítják.
A forma egyenlete ax + by = c hívott két változós lineáris egyenlet. Ennek az egyenletnek a megoldása vagy gyöke egy értékpár ( x; y), ami identitássá változtatja.
Vegye figyelembe azt is, hogy ha két változós lineáris egyenletet írunk a formába ax + b y = c , akkor azt mondják, hogy be van írva kánoni(normál) forma.
Néhány lineáris egyenlet két változóban kanonikus formára redukálható.
Például az egyenlet 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) eszünkbe lehet juttatni ax + by = c. Nyissuk ki a zárójeleket ennek az egyenletnek mindkét oldalán, és kapjuk meg 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket az egyenlet bal oldalán, az ismeretlentől mentes kifejezéseket pedig a jobb oldalon csoportosítjuk. Akkor kapunk 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . hozzuk hasonló kifejezések mindkét oldalon a 16-os egyenletet kapjuk x+ 8y= 32. Ezt az egyenletet a formára redukáljuk ax + by = cés kanonikus.
A korábban tárgyalt 25. egyenlet x+ 10y= 200 szintén egy lineáris egyenlet, amelyben két változó szerepel kanonikus forma. Ebben az egyenletben a paraméterek a , bÉs c megegyeznek a 25, 10 és 200 értékekkel.
Valójában az egyenlet ax + by = c számtalan megoldása van. Az egyenlet megoldása 25x+ 10y= 200, gyökereit csak az egész számok halmazán kerestük. Ennek eredményeként több olyan értékpárt kaptunk, amelyek ezt az egyenletet azonossággá alakították. De sokakon racionális számok 25. egyenlet x+ 10y= 200 végtelen sok megoldása lesz.
Új értékpárok megszerzéséhez tetszőleges értéket kell felvennie a számára x, majd expressz y. Vegyük például a változót xérték 7. Ekkor egy változós egyenletet kapunk 25×7 + 10y= 200 amelyben ki lehet fejezni y
Hadd x= 15. Aztán az egyenlet 25x+ 10y= 200-ból 25 × 15 lesz + 10y= 200. Innentől azt találjuk y = −17,5
Hadd x= -3 . Aztán az egyenlet 25x+ 10y= 200-ból 25 × (-3) lesz + 10y= 200. Innentől azt találjuk y = −27,5
Két lineáris egyenlet rendszere két változóval
Az egyenlethez ax + by = c tetszőleges értékeket vehet fel, ahányszor csak akar xés értékeket találni y. Külön-külön véve egy ilyen egyenletnek számtalan megoldása lesz.
De az is előfordul, hogy a változók xÉs y nem egy, hanem két egyenlet köti össze. Ilyenkor alkotják az ún két változós lineáris egyenletrendszer. Egy ilyen egyenletrendszernek egy értékpárja lehet (vagy más szóval: „egy megoldás”).
Az is előfordulhat, hogy a rendszernek egyáltalán nincs megoldása. Egy lineáris egyenletrendszernek számtalan megoldása lehet ritka és kivételes esetekben.
Két lineáris egyenlet alkot rendszert, amikor az értékek xÉs yírja be ezeket az egyenleteket.
Térjünk vissza a legelső 25-ös egyenlethez x+ 10y= 200. Ennek az egyenletnek az egyik értékpárja a (6; 5) pár volt. Ez az az eset, amikor 200 rubelért 6 süteményt és 5 csésze kávét lehetett vásárolni.
Fogalmazzuk meg a feladatot úgy, hogy a (6; 5) pár legyen az egyetlen megoldás a 25. egyenlethez x+ 10y= 200. Ehhez hozzunk létre egy másik egyenletet, amely ugyanazt kapcsolná össze x sütemények és y csésze kávét.
Fogalmazzuk meg a feladat szövegét a következőképpen:
„A diák több süteményt és több csésze kávét vett 200 rubelért. Egy sütemény 25 rubel, egy csésze kávé 10 rubelbe kerül. Hány süteményt és csésze kávét vett a tanuló, ha ismert, hogy az egységenkénti sütemények száma több mennyiséget csésze kávé?
Már megvan az első egyenlet. Ez a 25-ös egyenlet x+ 10y= 200. Most hozzunk létre egyenletet a feltételhez "a sütemények száma egy egységgel több, mint a csésze kávé" .
A sütemények száma az x, és a csésze kávék száma y. Ezt a kifejezést az egyenlet segítségével írhatja le x−y= 1. Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a sütemények és a kávé közötti különbség 1.
x = y+ 1. Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a sütemények száma eggyel több, mint a csésze kávéé. Ezért az egyenlőség elérése érdekében egyet adunk a csésze kávék számához. Ez könnyen megérthető, ha azt a skálamodellt használjuk, amelyet a legegyszerűbb problémák tanulmányozásakor vettünk figyelembe:
Két egyenletet kaptunk: 25 x+ 10y= 200 és x = y+ 1. Mivel az értékek xÉs y, azaz a 6 és az 5 mindegyik egyenletben szerepel, akkor együtt alkotnak egy rendszert. Írjuk le ezt a rendszert. Ha az egyenletek rendszert alkotnak, akkor a rendszerjel keretezi őket. A rendszerszimbólum egy kapcsos zárójel:
Oldjuk meg ezt a rendszert. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy lássuk, hogyan jutunk el a 6-os és 5-ös értékekhez. Számos módszer létezik az ilyen rendszerek megoldására. Nézzük ezek közül a legnépszerűbbeket.
Helyettesítő módszer
Ennek a módszernek a neve önmagáért beszél. Lényege, hogy az egyik egyenletet egy másikra cseréljük, miután előzőleg kifejeztük valamelyik változót.
A mi rendszerünkben semmit sem kell kifejezni. A második egyenletben x = y+ 1 változó x már kifejezve. Ez a változó egyenlő a kifejezéssel y+ 1. Ezután ezt a kifejezést behelyettesítheti az első egyenletbe a változó helyett x
A kifejezés behelyettesítése után y+ 1 helyett az első egyenletbe x, megkapjuk az egyenletet 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ez egy lineáris egyenlet egy változóval. Ez az egyenlet nagyon könnyen megoldható:
Megtaláltuk a változó értékét y. Most cseréljük be ezt az értéket az egyik egyenletbe, és keressük meg az értéket x. Ehhez célszerű a második egyenletet használni x = y+ 1. Helyettesítsük be az értéket y
Ez azt jelenti, hogy a (6; 5) pár az egyenletrendszer megoldása, ahogyan azt szándékoztunk. Ellenőrizzük és megbizonyosodunk arról, hogy a (6; 5) pár megfelel a rendszernek:
2. példa
Helyettesítsük be az első egyenletet x= 2 + y a második egyenletbe 3 x− 2y= 9. Az első egyenletben a változó x egyenlő a 2 + kifejezéssel y. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a második egyenletbe x
Most keressük meg az értéket x. Ehhez helyettesítsük az értéket y az első egyenletbe x= 2 + y
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása a párérték (5; 3)
3. példa. Helyettesítéssel megoldani a következő rendszert egyenletek:
Itt a korábbi példákkal ellentétben az egyik változó nincs kifejezve kifejezve.
Az egyik egyenlet másikkal való helyettesítéséhez először szüksége van a következőre:
Célszerű azt a változót kifejezni, amelynek együtthatója egy. A változó együtthatója egy x, amelyet az első egyenlet tartalmaz x+ 2y= 11. Fejezzük ki ezt a változót.
Változó kifejezés után x, rendszerünk a következő formában lesz:
Most cseréljük be az első egyenletet a másodikra, és keressük meg az értéket y
Cseréljük y x
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (3; 4)
Természetesen változót is kifejezhet y. Ez nem fogja megváltoztatni a gyökereket. De ha kifejezed y, Az eredmény nem túl egyszerű egyenlet, amelynek megoldása több időt vesz igénybe. Így fog kinézni:
Ezt látjuk benne ebben a példában expressz x sokkal kényelmesebb, mint kifejezni y .
4. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert helyettesítési módszerrel:
Fejezzük ki az első egyenletben x. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
y
Cseréljük y az első egyenletbe és keresse meg x. Használhatja az eredeti 7-es egyenletet x+ 9y= 8, vagy használja azt az egyenletet, amelyben a változó kifejeződik x. Ezt az egyenletet fogjuk használni, mert kényelmes:
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (5; −3)
Hozzáadás módja
Az összeadás módszere abból áll, hogy a rendszerben szereplő egyenleteket tagonként összeadjuk. Ez az összeadás egy új egyenletet eredményez egy változóval. És egy ilyen egyenlet megoldása meglehetősen egyszerű.
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
Adjuk össze az első egyenlet bal oldalát a második egyenlet bal oldalával. A jobb oldalon az első egyenlet a második egyenlet jobb oldalával. A következő egyenlőséget kapjuk:
Nézzük a hasonló kifejezéseket:
Ennek eredményeként a legegyszerűbb 3-as egyenletet kaptuk x= 27 melynek gyöke 9. Értékének ismerete x megtalálhatja az értéket y. Cseréljük ki az értéket x a második egyenletbe x−y= 3. 9 −-et kapunk y= 3. Innen y= 6 .
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (9; 6)
2. példa
Adjuk össze az első egyenlet bal oldalát a második egyenlet bal oldalával. És az első egyenlet jobb oldala a második egyenlet jobb oldalával. A kapott egyenlőségben hasonló kifejezéseket mutatunk be:
Ennek eredményeként a legegyszerűbb 5-ös egyenletet kaptuk x= 20, melynek gyöke 4. Érték ismeretében x megtalálhatja az értéket y. Cseréljük ki az értéket x az első egyenletbe 2 x+y= 11. Legyen 8+ y= 11. Innen y= 3 .
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (4;3)
Az adagolási folyamatot nem ismertetjük részletesen. Mentálisan kell csinálni. Összeadáskor mindkét egyenletet kanonikus formára kell redukálni. Azaz egyébként ac + by = c .
A vizsgált példákból világosan látszik, hogy az egyenletek összeadásának fő célja az egyik változótól való megszabadulás. De nem mindig lehet azonnal megoldani egy egyenletrendszert az összeadás módszerével. Leggyakrabban a rendszer először olyan formára kerül, amelyben a rendszerben szereplő egyenletek összeadhatók.
Például a rendszer 
kiegészítéssel azonnal megoldható. Mindkét egyenlet összeadásakor a kifejezések yÉs −y eltűnnek, mert összegük nulla. Ennek eredményeként a legegyszerűbb 11 egyenlet jön létre x= 22, melynek gyöke 2. Ekkor lehet majd meghatározni y egyenlő 5-tel.
És az egyenletrendszer 
Az összeadás módszere nem oldható meg azonnal, mivel ez nem vezet az egyik változó eltűnéséhez. Az összeadás a 8-as egyenletet eredményezi x+ y= 28, amelynek végtelen számú megoldása van.
Ha egy egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk. Ez a szabály egy kétváltozós lineáris egyenletrendszerre is igaz. Az egyik egyenlet (vagy mindkét egyenlet) tetszőleges számmal megszorozható. Az eredmény egy egyenértékű rendszer lesz, amelynek gyökerei egybeesnek az előzővel.
Térjünk vissza a legelső rendszerhez, amely leírta, hogy egy iskolás hány süteményt és csésze kávét vett. Ennek a rendszernek a megoldása egy értékpár volt (6; 5).
Szorozzuk meg a rendszerben szereplő mindkét egyenletet néhány számmal. Tegyük fel, hogy az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat pedig 3-mal
Ennek eredményeként egy rendszert kaptunk 
Ennek a rendszernek a megoldása továbbra is az értékpár (6; 5)
Ez azt jelenti, hogy a rendszerben szereplő egyenletek az összeadás módszerének alkalmazására alkalmas formára redukálhatók.
Térjünk vissza a rendszerhez , amit az összeadás módszerével nem tudtunk megoldani.
Szorozzuk meg az első egyenletet 6-tal, a másodikat pedig -2-vel
Ekkor a következő rendszert kapjuk:
Adjuk össze a rendszerben szereplő egyenleteket. Összetevők hozzáadása 12 xés −12 x 0-t, összeadás 18-at eredményez yés 4 y 22-t fog adni y, és ha 108-at és −20-at összeadva 88-at kapunk. Ekkor a 22-es egyenletet kapjuk y= 88, innen y = 4 .
Ha eleinte nehéz fejben összeadni egyenleteket, akkor leírhatod, hogyan jön össze bal oldalt az első egyenletnek a második egyenlet bal oldalával, és az első egyenlet jobb oldalával a második egyenlet jobb oldalával:
Tudva, hogy a változó értéke y 4, akkor megtalálhatja az értéket x. Cseréljük y az egyik egyenletbe, például az első 2. egyenletbe x+ 3y= 18. Ekkor egy 2-es változójú egyenletet kapunk x+ 12 = 18. Mozgassuk a 12-t jobb oldalra, jelet váltva, 2-t kapunk x= 6, innen x = 3 .
4. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Szorozzuk meg a második egyenletet −1-gyel. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Adjuk össze mindkét egyenletet. Összetevők hozzáadása xÉs −x 0-t, összeadás 5-öt eredményez yés 3 y 8-at fog adni y 7-et és 1-et összeadva 8-at kapunk. Az eredmény a 8-as egyenlet y= 8, amelynek gyöke 1. Tudva, hogy az érték y 1, akkor megtalálhatja az értéket x .
Cseréljük y az első egyenletbe, megkapjuk x+ 5 = 7, tehát x= 2
5. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Kívánatos, hogy az azonos változókat tartalmazó kifejezések egymás alatt helyezkedjenek el. Ezért a második egyenletben az 5 yés −2 x Cseréljünk helyet. Ennek eredményeként a rendszer a következő formában jelenik meg:
Szorozzuk meg a második egyenletet 3-mal. Ekkor a rendszer a következő alakot veszi fel:
Most adjuk hozzá mindkét egyenletet. Az összeadás eredményeként a 8-as egyenletet kapjuk y= 16, melynek gyöke 2.
Cseréljük y az első egyenletbe 6-ot kapunk x− 14 = 40. Mozgassuk a −14 tagot jobbra, előjelet változtatva, és kapjunk 6-ot x= 54 . Innen x= 9.
6. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Megszabadulunk a törtektől. Szorozzuk meg az első egyenletet 36-tal, a másodikat 12-vel
Az így létrejövő rendszerben 
az első egyenlet -5-tel, a második 8-cal szorozható
Adjuk össze az egyenleteket a kapott rendszerben. Ekkor a legegyszerűbb egyenletet kapjuk –13 y= -156 . Innen y= 12. Cseréljük y az első egyenletbe és keresse meg x
7. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Mindkét egyenletet redukáljuk le normális kinézetű. Itt célszerű mindkét egyenletben alkalmazni az arányosság szabályát. Ha az első egyenletben a jobb oldalt , a második egyenlet jobb oldalát pedig , akkor a rendszer a következő alakot veszi fel:
Van egy arányunk. Szorozzuk meg szélső és középső tagját. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Szorozzuk meg az első egyenletet -3-mal, és nyissuk meg a zárójeleket a másodikban:
Most adjuk hozzá mindkét egyenletet. Ezen egyenletek összeadásával olyan egyenlőséget kapunk, amelynek mindkét oldalán nulla van:
Kiderült, hogy a rendszernek számtalan megoldása van.
De nem csak tetszőleges értékeket vehetünk át az égből xÉs y. Az egyik értéket megadhatjuk, a másikat az általunk megadott érték függvényében határozzuk meg. Például hadd x= 2. Helyettesítsük be ezt az értéket a rendszerbe:
Az egyik egyenlet megoldásának eredményeként a for y, amely mindkét egyenletet kielégíti:
Az eredményül kapott értékpár (2; -2) kielégíti a rendszert:
Keressünk egy másik értékpárt. Hadd x= 4. Helyettesítsük be ezt az értéket a rendszerbe:
Szemből megállapíthatja, hogy az érték y egyenlő nullával. Ezután kapunk egy értékpárt (4; 0), amely kielégíti a rendszerünket:
8. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Szorozzuk meg az első egyenletet 6-tal, a másodikat 12-vel
Írjuk át, ami maradt:
Szorozzuk meg az első egyenletet −1-gyel. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Most adjuk hozzá mindkét egyenletet. Az összeadás eredményeként kialakul a 6. egyenlet b= 48, melynek gyöke 8. Helyettesít b az első egyenletbe és keresse meg a
Három változós lineáris egyenletrendszer
A három változós lineáris egyenlet három együtthatós változót tartalmaz, valamint ingyenes tag. Kanonikus formában a következőképpen írható:
ax + by + cz = d
Ennek az egyenletnek számtalan megoldása van. Két változó megadása különböző jelentések, egy harmadik érték is megtalálható. A megoldás ebben az esetben az értékek hármasa ( x; y; z), amely az egyenletet azonossággá alakítja.
Ha a változók x, y, z három egyenlet köti össze, akkor három változós lineáris egyenletrendszer jön létre. Egy ilyen rendszer megoldásához ugyanazokat a módszereket használhatja, mint a két változós lineáris egyenleteknél: a helyettesítési módszert és az összeadás módszert.
1. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert helyettesítési módszerrel:
Fejezzük ki a harmadik egyenletben x. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Most végezzük el a helyettesítést. Változó x egyenlő a kifejezéssel 3 − 2y − 2nevezzen meg három számot . Helyettesítsük be ezt a kifejezést az első és a második egyenletbe:
Nyissuk meg a zárójeleket mindkét egyenletben, és mutassunk be hasonló kifejezéseket:
Elérkeztünk egy kétváltozós lineáris egyenletrendszerhez. IN ebben az esetben Kényelmes az addíciós módszer alkalmazása. Ennek eredményeként a változó y eltűnik, és megtaláljuk a változó értékét nevezzen meg három számot
Most keressük meg az értéket y. Ehhez célszerű a − egyenletet használni y+ nevezzen meg három számot= 4. Helyettesítse be az értéket nevezzen meg három számot
Most keressük meg az értéket x. Ehhez célszerű az egyenletet használni x= 3 − 2y − 2nevezzen meg három számot . Helyettesítsük be az értékeket yÉs nevezzen meg három számot
Így az értékek hármasa (3; -2; 2) megoldást jelent rendszerünkre. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy ezek az értékek megfelelnek a rendszernek:
2. példa. Oldja meg a rendszert az összeadás módszerével!
Adjuk össze az első egyenletet a másodikkal, megszorozva −2-vel.
Ha a második egyenletet megszorozzuk -2-vel, akkor a következőt veszi fel −6x+ 6y − 4nevezzen meg három számot = −4 . Most adjuk hozzá az első egyenlethez:
Ezt látjuk ennek eredményeként elemi átalakulások, a változó értéke meghatározásra kerül x. Ez egyenlő eggyel.
Térjünk vissza fő rendszer. Adjuk össze a második egyenletet a harmadikkal, megszorozva −1-gyel. Ha a harmadik egyenletet megszorozzuk -1-gyel, akkor a következő alakot veszi fel −4x + 5y − 2nevezzen meg három számot = −1 . Most adjuk hozzá a második egyenlethez:
Megkaptuk az egyenletet x− 2y= −1 . Helyettesítsük be az értéket x amit korábban találtunk. Ezután meg tudjuk határozni az értéket y
Most már tudjuk a jelentéseket xÉs y. Ez lehetővé teszi az érték meghatározását nevezzen meg három számot. Használjuk a rendszerben szereplő egyenletek egyikét:
Így az értékek hármasa (1; 1; 1) a megoldás a rendszerünkre. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy ezek az értékek megfelelnek a rendszernek:
Lineáris egyenletrendszerek összeállításának problémái
Az egyenletrendszer összeállításának feladatát több változó megadásával oldjuk meg. Ezután a feladat feltételei alapján egyenleteket állítunk össze. Az összeállított egyenletekből rendszert alkotnak és azt megoldják. A rendszer megoldása után ellenőrizni kell, hogy a megoldása megfelel-e a probléma feltételeinek.
1. probléma. Egy Volga autó hajtott ki a városból a kolhozhoz. Egy másik úton tért vissza, amely 5 km-rel rövidebb volt, mint az első. Az autó összesen 35 km-t tett meg oda-vissza. Hány kilométer az egyes utak hossza?
Megoldás
Hadd x- az első út hossza, y- a második hossza. Ha az autó 35 km-t tett meg oda-vissza, akkor az első egyenlet így írható fel x+ y= 35. Ez az egyenlet mindkét út hosszának összegét írja le.
Állítólag az autó 5 km-rel rövidebb úton tért vissza, mint az első. Ekkor a második egyenlet így írható fel x− y= 5. Ez az egyenlet azt mutatja, hogy az úthosszak közötti különbség 5 km.
Vagy a második egyenlet felírható így x= y+ 5. Ezt az egyenletet fogjuk használni.
Mert a változók xÉs y mindkét egyenletben ugyanazt a számot jelöljük, akkor ezekből rendszert alkothatunk:
Oldjuk meg ezt a rendszert néhány korábban vizsgált módszerrel. Ebben az esetben célszerű a helyettesítési módszert használni, mivel a második egyenletben a változó x már kifejezve.
Helyettesítsd be a második egyenletet az elsőbe, és keresd meg y
Helyettesítsük a talált értéket y a második egyenletben x= y+5 és megtaláljuk x
Az első út hosszát a változón keresztül jelöltük ki x. Most megtaláltuk a jelentését. Változó x Ez azt jelenti, hogy az első út hossza 20 km.
A második út hosszát pedig az jelezte y. Ennek a változónak az értéke 15. Ez azt jelenti, hogy a második út hossza 15 km.
Ellenőrizzük. Először győződjön meg arról, hogy a rendszer megfelelően van megoldva:
Most nézzük meg, hogy a megoldás (20; 15) kielégíti-e a probléma feltételeit.
Azt mondták, hogy az autó összesen 35 km-t tett meg oda-vissza. Összeadjuk mindkét út hosszát, és meggyőződünk arról, hogy a megoldás (20; 15) kielégítő ezt az állapotot: 20 km + 15 km = 35 km
A következő feltétel: az autó egy másik úton tért vissza, amely 5 km-rel rövidebb volt, mint az első . Látjuk, hogy a (20; 15) megoldás is kielégíti ezt a feltételt, hiszen 15 km rövidebb, mint 20 km 5 km-rel: 20 km − 15 km = 5 km
A rendszer összeállításánál fontos, hogy a változók ugyanazokat a számokat képviseljék a rendszerben szereplő összes egyenletben.
Tehát rendszerünk két egyenletet tartalmaz. Ezek az egyenletek viszont változókat tartalmaznak xÉs y, amelyek mindkét egyenletben ugyanazokat a számokat jelentik, nevezetesen a 20 km-es és a 15 km-es úthosszakat.
2. probléma. A peronra tölgy és fenyő talpfa került, összesen 300 talpfa. Ismeretes, hogy az összes tölgy talpfa 1 tonnával kisebb volt, mint az összes fenyő talpfa. Határozza meg, hány tölgy és fenyő talpfa volt külön-külön, ha minden tölgy talpfa 46 kg, és mindegyik fenyő talpfa 28 kg volt!
Megoldás
Hadd x tölgy és y fenyő talpfákat raktak a peronra. Ha összesen 300 alvó volt, akkor az első egyenlet így írható fel x+y = 300 .
Az összes tölgyfa talpfa súlya 46 volt x kg, a fenyők pedig 28-at nyomtak y kg. Mivel a tölgy talpfa 1 tonnával kevesebb volt, mint a fenyő talpfa, a második egyenlet így írható fel. 28y − 46x= 1000 . Ez az egyenlet azt mutatja, hogy a tölgy és fenyő talpfa tömegkülönbsége 1000 kg.
A tonnákat átszámították kilogrammra, mivel a tölgy és fenyő talpfa tömegét kilogrammban mérték.
Ennek eredményeként két egyenletet kapunk, amelyek alkotják a rendszert
Oldjuk meg ezt a rendszert. Fejezzük ki az első egyenletben x. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Helyettesítsd be az első egyenletet a másodikra, és keresd meg y
Cseréljük y az egyenletbe x= 300 − yés megtudja, mi az x
Ez azt jelenti, hogy 100 tölgy és 200 fenyő talpfát raktak a peronra.
Vizsgáljuk meg, hogy a megoldás (100; 200) kielégíti-e a feladat feltételeit. Először győződjön meg arról, hogy a rendszer megfelelően van megoldva:
Azt mondták, hogy összesen 300 alvó volt. Összeadjuk a tölgy és fenyő talpfák számát, és meggyőződünk arról, hogy a megoldás (100; 200) ezt a feltételt teljesíti: 100 + 200 = 300.
A következő feltétel: az összes tölgy talpfa 1 tonnával kisebb volt, mint az összes fenyő talpfa . Látjuk, hogy a megoldás (100; 200) ezt a feltételt is kielégíti, hiszen 46 × 100 kg tölgy talpfa könnyebb, mint 28 × 200 kg fenyő talpfa: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
3. probléma. Három darab réz-nikkel ötvözetet vettünk 2:1, 3:1 és 5:1 tömegarányban. Egy 12 kg súlyú darabot olvasztottak ki belőlük 4:1 réz-nikkeltartalommal. Határozza meg minden eredeti darab tömegét, ha az első darab tömege megduplázódik! több tömeg második.
Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A három ismeretlent tartalmazó egyenletek gyakoriak a matematikában. Az ilyen típusú egyenletek megoldására jó néhány módszer létezik, és a legtöbb esetben ezek oroszlánrészét további 2 egyenlet/feltétel egészíti ki.
A megoldási mód kiválasztása közvetlenül függ a konkrét egyenlettől.
Vannak olyan egyenletrendszerek, amelyeket úgy lehet megoldani, hogy egy egyenletből kivonunk egy másikat. Ez akkor lehetséges, ha az egyik kifejezést meg lehet szorozni egy változóval/értékkel, ami lehetővé teszi a kivonást több ismeretlen redukálásához. Érdemes azonban emlékezni arra, hogy számmal való szorzáskor és kivonáskor a kifejezés mindkét oldalán műveleteket kell végrehajtani.
Hol lehet online megoldani egy egyenletet 3 ismeretlennel?
A https://site weboldalunkon három ismeretlen online megoldóval is megoldhat egy egyenletet. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba.
Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.
Összeállítjuk a rendszer fő meghatározóját
és számolja ki.
Ezután további determinánsokat állítunk össze
és kiszámolja őket.
; 
;
Cramer szabálya szerint a rendszer megoldását a képletek segítségével találjuk meg 
1)
,Ha
Számoljunk:
A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:
2)
,Ha
Válasz: (1; 2; 3) 
Mivel a fő meghatározó 
, és legalább egy további egy nem egyenlő nullával (esetünkben
3)
,Ha
), akkor a rendszernek nincs megoldása. 
Mivel minden determináns egyenlő nullával, a rendszernek végtelen számú megoldása van, amelyeket a következőképpen találhatunk meg:
Oldja meg a rendszereket saját maga: 
A) 
b) 
;
;
Válasz: a) (1; 2; 5) b)
3. számú gyakorlati óra a témában:
Két vektor pontszorzata és alkalmazása 
És 
1. Ha adott , Azt pont termék 
∙
képlettel találjuk meg:
2.Ha, akkor ennek a két vektornak a skaláris szorzatát a képlet találja meg 
És 
1. Adott két vektor
.
A skalárszorzatukat a következőképpen találjuk:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
2. Két vektort adunk meg:
3.
,
A skaláris szorzat így található:
3.1 Állandó erő munkájának megállapítása egyenes útszakaszon
1) 15 N erő hatására a test egyenes vonalban 2 métert elmozdult. Az erő és a mozgás iránya közötti szög =60 0. Számítsd ki azt a munkát, amelyet egy test mozgatására szolgáló erő végez! 
Adott:
Megoldás: 
Adott:
2) Adott:
3) Egy test az M(1; 2; 3) pontból az N(5; 4; 6) pontba 60 N erő hatására elmozdult. Az erő iránya és az elmozdulásvektor közötti szög =45 0. Számítsa ki az erő által végzett munkát! 
Megoldás: keresse meg az eltolási vektort
Az eltolási vektor moduljának megkeresése: 
A képlet szerint
munkát találni:
3.2 Két vektor ortogonalitásának meghatározása 
Két vektor ortogonális, ha
, vagyis 
1) 
mert
2) 
– nem ortogonális
-ortogonális 
3) Határozza meg, hogy melyik -nál a vektorok! 
kölcsönösen ortogonális.
Mert 
, Azt 
, Azt jelenti
Döntsd el magad:
Oldja meg a rendszereket saját maga: 
. Keresse meg a skalárszorzatukat.
b) Számítsa ki, mekkora munkát végez az erő! 
, ha az alkalmazási pont egyenesen mozgó M pontból (5; -6; 1) az N pontba (1; -2; 3) került.
c) Határozza meg, hogy a vektorok merőlegesek-e! 
És
A válaszok: a) 1 b) 16 c) igen
3.3. A vektorok közötti szög meghatározása
1)
. Lelet 
.
találunk 
behelyettesítjük a képletbe:
.
1). Adottak az A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) háromszög csúcsai. Keresse meg az A csúcsban lévő szöget.
Tegyük bele a képletbe: 
Döntsd el magad:
Adottak az A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) háromszög csúcsai. Határozza meg belső sarok az A tetején.
Válasz: 90 o
4. számú gyakorlati óra a témában:
KÉT VEKTOR VEKTORTERMÉKE ÉS ALKALMAZÁSA.
Képlet két vektor keresztszorzatának megtalálásához:
|
|
|
|
|
úgy néz ki |
||
1) Keresse meg a vektorszorzat modulusát:
Állítsunk össze egy determinánst, és számítsuk ki (Sarrus szabálya vagy a determináns első sor elemeire való kiterjesztésének tétele alapján).
1. módszer: Sarrus szabálya szerint
2. módszer: bontsa ki a determinánst az első sor elemeire.
2) Keresse meg a vektorszorzat modulusát:
4.1. KÉT VEKTORRA ÉPÍTETT PARALLELOGRAM TERÜLETÉNEK KISZÁMÍTÁSA.
1) Számítsa ki a vektorokra épített paralelogramma területét!
2). Keresse meg a vektorszorzatot és annak modulusát!
4.2. A HÁROMSZÖG TERÜLETÉNEK KISZÁMÍTÁSA
Példa: adottak az A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) háromszög csúcsai. Számítsa ki a háromszög területét.
Először is keressük meg két, ugyanabból a csúcsból kiinduló vektor koordinátáit.
Keressük meg a vektorszorzatukat
4.3. KÉT VEKTOR KOLLINEARITÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSA
Ha a vektor 
És 
akkor kollineárisak
, azaz a vektorok koordinátáinak arányosnak kell lenniük.
a) Adott vektorok:: 
,
.
Kollineárisak, mert 
És
minden tört csökkentése után megkapjuk az arányt 
b) Adott vektorok: 
.
Nem kollineárisak, mert 
vagy 
Döntsd el magad:
a) Mekkora m és n értéken vannak a vektorok? 
kollineáris?
Válasz: 
;
b) Keresse meg a vektorszorzatot és annak modulusát! 
,
.
Válasz: 
,
.
5. számú gyakorlati óra a témában:
EGYENES VONAL A REPÜLŐN
1. feladat. Határozza meg az egyenessel párhuzamos A(-2; 3) ponton átmenő egyenes egyenletét 
1. Keresse meg az egyenes meredekségét! 
.
egy szögegyütthatós egyenes egyenlete és egy kezdő ordináta ( 
). azért 
.
2. Mivel az MN és AC egyenesek párhuzamosak, szögegyütthatójuk egyenlő, azaz. 
.
3. Az AC egyenes egyenletének megtalálásához egy adott szögegyütthatós ponton átmenő egyenes egyenletét használjuk:
. Ebben a képletben ahelyett 
És 
helyette az A(-2; 3) pont koordinátáit 
Cseréljük be – 3. A behelyettesítés eredményeként a következőt kapjuk:
Válasz: 
2. feladat. Határozzuk meg az egyenessel párhuzamos K(1; –2) ponton átmenő egyenes egyenletét!
1. Határozzuk meg az egyenes meredekségét!
Ez általános egyenlet egyenes vonal, ami az általános nézet képlet adja meg. Az egyenleteket összehasonlítva azt találjuk, hogy A = 2, B = –3. Az egyenlet által megadott egyenes meredekségét a képlet határozza meg 
. Ha ebbe a képletbe behelyettesítjük A = 2 és B = –3 értékeket, azt kapjuk lejtő közvetlen MN. Így, 
.
2. Mivel az MN és KS egyenesek párhuzamosak, szögegyütthatójuk egyenlő: 
.
3. A KS egyenes egyenletének megtalálásához az adott szögegyütthatós ponton átmenő egyenes egyenletének képletét használjuk 
. Ebben a képletben ahelyett 
És 
Helyettesítsük a K(–2; 3) pont koordinátáit 
3. feladat. Határozzuk meg az egyenesre merőleges K(–1; –3) ponton átmenő egyenes egyenletét!
1. egy egyenes általános egyenlete, amelyet általános formában a képlet ad meg.
és azt találjuk, hogy A = 3, B = 4.
Az egyenlet által megadott egyenes meredekségét a következő képlet határozza meg: 
. Ebbe a képletbe behelyettesítve A = 3 és B = 4 értékeket, megkapjuk az MN egyenes meredekségét: 
.
2. Mivel az MN és KD egyenesek merőlegesek, szögegyütthatójuk fordítottan arányos és ellentétes előjelű:
.
3. A KD egyenes egyenletének megtalálásához az adott szögegyütthatós ponton átmenő egyenes egyenletének képletét használjuk
. Ebben a képletben ahelyett 
És 
Helyettesítsük a K(–1;–3) pont koordinátáit 
helyettesítsük A helyettesítés eredményeként a következőket kapjuk:
Döntsd el magad:
1. Határozza meg az egyenessel párhuzamos K(–4; 1) ponton átmenő egyenes egyenletét 
.
Válasz: 
.
2. Határozza meg az egyenessel párhuzamos K(5; –2) ponton átmenő egyenes egyenletét 
.
3. Határozza meg az egyenesre merőleges K(–2, –6) ponton átmenő egyenes egyenletét! 
.
4. Határozza meg az egyenesre merőleges K(7; –2) ponton átmenő egyenes egyenletét! 
.
Válasz: 
.
5. Határozza meg a K(–6; 7) pontból az egyenesre ejtett merőleges egyenletét 
.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete