A három ponton átmenő sík egyenletének képlete. Egy determinánson keresztüli sík egyenlete

Ebben az anyagban megvizsgáljuk, hogyan találjuk meg a sík egyenletét, ha ismerjük három különböző pont koordinátáit, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ehhez emlékeznünk kell arra, hogy miben van egy téglalap alakú koordináta-rendszer háromdimenziós tér. Először bemutatjuk az alapelvet adott egyenletés pontosan megmutatja, hogyan kell használni konkrét problémák megoldására.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Először is emlékeznünk kell egy axiómára, amely így hangzik:

1. definíció

Ha három pont nem esik egybe egymással és nem egy egyenesen fekszik, akkor a háromdimenziós térben csak egy sík halad át rajtuk.

Más szóval, ha hárman vagyunk különböző pontokat, melynek koordinátái nem esnek egybe, és amelyek nem köthetők össze egyenessel, akkor meg tudjuk határozni a rajta áthaladó síkot.

Tegyük fel, hogy van egy téglalap alakú koordináta-rendszerünk. Jelöljük O x y z-vel. Három M pontot tartalmaz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) koordinátákkal, amelyek nem kapcsolhatók össze. egyenes vonal. Ezen feltételek alapján felírhatjuk a szükséges sík egyenletét. A probléma megoldására két megközelítés létezik.

1. Az első megközelítés az általános síkegyenletet használja. Betű formában úgy írják, hogy A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Segítségével egy téglalap alakú koordinátarendszerben definiálhatunk egy bizonyos alfasíkot, amely átmegy az első megadott M 1 (x 1, y 1, z 1) ponton. Kiderül, hogy normál vektor Az α síknak A, B, C koordinátái lesznek.

N meghatározása

Ismerve a normálvektor koordinátáit és annak a pontnak a koordinátáit, amelyen a sík áthalad, felírhatjuk ennek a síknak az általános egyenletét.

Ebből indulunk ki a jövőben.

Így a feladat feltételei szerint megvannak a kívánt pont koordinátái (akár három is), amelyen a sík áthalad. Az egyenlet megtalálásához ki kell számítani a normálvektor koordinátáit. Jelöljük n → .

Emlékezzünk a szabályra: egy adott sík bármely nullától eltérő vektora merőleges ugyanazon sík normálvektorára. Ekkor azt kapjuk, hogy n → merőleges lesz az eredeti M 1 M 2 → és M 1 M 3 → pontokból álló vektorokra. Ekkor jelölhetjük n → as vektor termék az M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formájú.

Mivel M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) és M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (ezek az egyenlőségek bizonyítékai a vektor koordinátáinak a pontok koordinátáiból történő kiszámítására vonatkozó cikkben találhatók), akkor kiderül, hogy:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ha kiszámítjuk a determinánst, akkor megkapjuk a szükséges n → normálvektor koordinátáit. Most felírhatjuk azt az egyenletet, amelyre szükségünk van egy három adott ponton áthaladó síkhoz.

2. A második megközelítés az M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) egyenlet megkereséséhez, olyan koncepción alapul, mint a vektorok koplanaritása.

Ha van egy M (x, y, z) ponthalmazunk, akkor téglalap alakú koordinátarendszerben az adott M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) pontokhoz síkot határoznak meg. , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ) csak abban az esetben, ha az M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 vektorok → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) és M 1 M 3  → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) egysíkúak lesznek .

A diagramon ez így fog kinézni:

Ez azt fogja jelenteni vegyes munka az M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → vektorok nullával egyenlőek lesznek: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, mivel ez a koplanaritás fő feltétele : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) és M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Írjuk fel a kapott egyenletet koordináta alakban:

A determináns kiszámítása után megkapjuk a három ponthoz szükséges síkegyenletet, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vannak: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ).

Az eredményül kapott egyenletből a sík szakaszonkénti egyenletéhez, vagy ahhoz lehet eljutni normál egyenlet síkban, ha a probléma körülményei ezt megkívánják.

A következő bekezdésben példákat mutatunk be az általunk jelzett megközelítések gyakorlati megvalósítására.

Példák a 3 ponton átmenő sík egyenletének összeállításának feladatára

Korábban két megközelítést azonosítottunk, amelyek segítségével megtalálhatjuk a kívánt egyenletet. Nézzük meg, hogyan használják őket problémák megoldására, és mikor érdemes mindegyiket választani.

1. példa

Három pont van, amelyek nem ugyanazon az egyenesen találhatók, M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) koordinátákkal. Írj egyenletet a rajtuk áthaladó síkra!

Megoldás

Mindkét módszert felváltva használjuk.

1. Határozzuk meg a szükséges két vektor koordinátáit: M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Most számítsuk ki a vektorszorzatukat. Nem írjuk le a determináns számításait:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Van egy normálvektorunk a síknak, amely átmegy a három szükséges ponton: n → = (- 5, 30, 2) . Ezután vegyünk egy pontot, például M 1 (- 3, 2, - 1), és írjuk fel az n vektorú síkra vonatkozó egyenletet → = (- 5, 30, 2). Azt kapjuk, hogy - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Erre az egyenletre van szükségünk egy három ponton áthaladó síkhoz.

2. Vegyünk egy másik megközelítést. Írjuk fel az egyenletet egy olyan síkra, amelynek három pontja M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) a következő űrlapot:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Itt helyettesítheti a problémafelvetés adatait. Mivel x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, ennek eredményeként a következőket kapjuk:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 év + 2 z - 73

Megkaptuk a szükséges egyenletet.

Válasz:- 5 x + 30 év + 2 z - 73 .

De mi van akkor, ha a megadott pontok még mindig ugyanazon az egyenesen fekszenek, és síkegyenletet kell létrehoznunk számukra? Itt azonnal meg kell mondani, hogy ez a feltétel nem lesz teljesen megfelelő. Az ilyen pontokon végtelen számú sík haladhat át, így lehetetlen egyetlen választ kiszámítani. Tekintsünk egy ilyen problémát a kérdés ilyen megfogalmazásának helytelenségének bizonyítására.

2. példa

Van egy téglalap alakú koordinátarendszerünk a háromdimenziós térben, amelyben három pont M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) koordinátákkal van elhelyezve. , 1) . Létre kell hozni a rajta áthaladó sík egyenletét.

Megoldás

Használjuk az első módszert, és kezdjük két M 1 M 2 → és M 1 M 3 → vektor koordinátáinak kiszámításával. Számítsuk ki a koordinátáikat: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

A keresztszorzat egyenlő lesz:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Mivel M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, akkor vektoraink kollineárisak lesznek (ha elfelejtette a fogalom meghatározását, olvassa el újra a róluk szóló cikket). Így az M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) kezdőpontok ugyanazon az egyenesen vannak, és a feladatunk végtelenül sok opciók választ.

Ha a második módszert használjuk, akkor a következőket kapjuk:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 év + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

A kapott egyenlőségből az is következik, hogy a megadott M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) pontok ugyanazon az egyenesen vannak.

Ha legalább egy választ szeretne találni erre a problémára végtelen szám opcióit, a következő lépéseket kell végrehajtania:

1. Írja fel az M 1 M 2, M 1 M 3 vagy M 2 M 3 egyenes egyenletét (ha szükséges, tekintse meg a műveletről szóló anyagot).

2. Vegyünk egy M 4 (x 4, y 4, z 4) pontot, amely nem az M 1 M 2 egyenesen fekszik.

3. Írja fel a hárman átmenő sík egyenletét! különböző pontokat M 1, M 2 és M 4, nem ugyanazon az egyenesen fekszenek.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy sík egyenletét, amely három adott ponton megy át, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen. A sugárvektorukat -val, az aktuális sugárvektort pedig -vel jelölve könnyen megkaphatjuk a kívánt egyenletet vektor formában. Valójában a vektoroknak egy síkban kell lenniük (mind a kívánt síkban fekszenek). Ezért, vektor-pont termék ezen vektorok közül nullának kell lennie:

Ez egy három adott ponton átmenő sík egyenlete vektoros formában.

Továbblépve a koordinátákra, megkapjuk az egyenletet koordinátákban:

Ha három adott pont ugyanazon az egyenesen feküdne, akkor a vektorok kollineárisak lennének. Ezért a (18) egyenletben a determináns utolsó két sorának megfelelő elemei arányosak, a determináns pedig azonos egyenlő nullával. Következésképpen a (18) egyenlet azonos lesz x, y és z bármely értékére. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a tér minden pontján áthalad egy sík, amelyben az adott három pont található.

Megjegyzés 1. Ugyanez a probléma vektorok használata nélkül is megoldható.

A három adott pont koordinátáit rendre jelölve felírjuk az első ponton áthaladó bármely sík egyenletét:

A kívánt sík egyenletének megszerzéséhez meg kell követelni, hogy a (17) egyenletet két másik pont koordinátái is kielégítsék:

A (19) egyenletekből meg kell határozni két együttható arányát a harmadikhoz, és a talált értékeket be kell írni a (17) egyenletbe.

Példa 1. Írjon egyenletet a pontokon átmenő síkra!

Az első ponton áthaladó sík egyenlete a következő lesz:

A (17) sík két másik ponton és az első ponton való áthaladásának feltételei a következők:

Ha hozzáadjuk a második egyenletet az elsőhöz, azt kapjuk:

A második egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

A (17) egyenletbe behelyettesítve A, B, C helyett 1, 5, -4 (ezekkel arányos számokat) kapjuk:

2. példa Írjon fel egyenletet a (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) pontokon átmenő síkra!

A (0, 0, 0) ponton áthaladó bármely sík egyenlete a következő lesz]

Ennek a síknak az (1, 1, 1) és (2, 2, 2) pontokon való áthaladásának feltételei a következők:

Ha a második egyenletet 2-vel csökkentjük, azt látjuk, hogy két ismeretlen meghatározásához van egy egyenlet

Innentől kapunk. Most, ha a sík értékét behelyettesítjük az egyenletbe, azt találjuk:

Ez a kívánt sík egyenlete; tetszőlegesen múlik

B, C mennyiségek (azaz az összefüggésből, azaz végtelen sok sík megy át három adott ponton (három adott pont ugyanazon az egyenesen fekszik).

Megjegyzés 2. Az a probléma, hogy egy síkot három megadott ponton keresztül rajzoljunk, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, könnyen megoldható általános nézet, ha determinánsokat használunk. Valójában, mivel a (17) és (19) egyenletekben az A, B, C együtthatók nem lehetnek egyidejűleg egyenlőek nullával, akkor ezeket az egyenleteket úgy tekintve, homogén rendszer három ismeretlennel A, B, C írjuk be a szükséges ill elégséges állapot ennek a rendszernek a nullától eltérő megoldása (1. rész, VI. fejezet, 6. §):

Ezt a determinánst az első sor elemeire kiterjesztve az aktuális koordinátákra vonatkozóan egy elsőfokú egyenletet kapunk, amelyet különösen a három adott pont koordinátái tesznek eleget.

Ez utóbbit közvetlenül is ellenőrizheti, ha a pontok bármelyikének koordinátáit helyettesíti a helyett. A bal oldalon egy determinánst kapunk, amelyben vagy az első sor elemei nullák, vagy két egyforma sor van. Így a megszerkesztett egyenlet a három adott ponton áthaladó síkot reprezentálja.

Ebben a leckében megvizsgáljuk, hogyan használhatjuk a determinánst a létrehozáshoz sík egyenlet. Ha nem tudja, mi az a determináns, menjen a lecke első részéhez - „Mátrixok és meghatározók”. Ellenkező esetben azt kockáztatja, hogy semmit sem ért meg a mai anyagból.

Egy sík egyenlete három pont felhasználásával

Egyáltalán miért van szükségünk síkegyenletre? Egyszerű: ennek ismeretében könnyen kiszámolhatunk szögeket, távolságokat és egyéb baromságokat a C2 feladatban. Általában nem nélkülözheti ezt az egyenletet. Ezért megfogalmazzuk a problémát:

Feladat. Három olyan pont van megadva a térben, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. A koordinátáik:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Létre kell hoznia egy egyenletet a három ponton áthaladó síkra. Ezenkívül az egyenletnek így kell kinéznie:

Ax + By + Cz + D = 0

ahol az A, B, C és D számok azok az együtthatók, amelyeket valójában meg kell találni.

Nos, hogyan kapjuk meg a sík egyenletét, ha csak a pontok koordinátáit ismerjük? A legegyszerűbb, ha a koordinátákat behelyettesítjük az Ax + By + Cz + D = 0 egyenletbe. Egy három egyenletrendszert kapunk, amely könnyen megoldható.

Sok diák rendkívül fárasztónak és megbízhatatlannak tartja ezt a megoldást. A tavalyi matematika egységes államvizsga azt mutatta, hogy valóban nagy a valószínűsége a számítási hiba elkövetésének.

Ezért a legfejlettebb tanárok elkezdtek egyszerűbb és elegánsabb megoldásokat keresni. És megtalálták! Igaz, a kapott fogadtatás inkább arra utal felsőbb matematika. Személy szerint át kellett turkálnom a teljes szövetségi tankönyvlistán, hogy megbizonyosodjunk arról, jogunk van-e ezt a technikát minden indoklás és bizonyíték nélkül használni.

Egy determinánson keresztüli sík egyenlete

Elég a dalszövegből, lássuk a dolgot. Először egy tétel arról, hogy a mátrix determinánsa és a sík egyenlete hogyan függ össze.

Tétel. Adjuk meg három pont koordinátáit, amelyeken keresztül a síkot meg kell rajzolni: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Ekkor ennek a síknak az egyenlete a determinánson keresztül írható fel:

Példaként próbáljunk meg találni egy olyan síkpárt, amelyek valóban előfordulnak a C2 feladatban. Nézd meg, milyen gyorsan történik minden kiszámítása:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Összeállítunk egy determinánst, és egyenlővé tesszük nullával:

Bővítjük a meghatározót:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Mint látható, a d szám kiszámításakor egy kicsit „fésültem” az egyenletet, hogy az x, y és z változók bekerüljenek helyes sorrend. Ennyi! A sík egyenlet készen áll!

Feladat. Írj egyenletet a pontokon átmenő síkra:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

A pontok koordinátáit azonnal behelyettesítjük a determinánsba:

Ismét bővítjük a meghatározót:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Tehát ismét megkapjuk a sík egyenletét! Az utolsó lépésnél ismét meg kellett változtatnunk a benne lévő jeleket, hogy „szebb” képletet kapjunk. Ebben a megoldásban ezt egyáltalán nem szükséges megtenni, de mégis ajánlott - a probléma további megoldásának egyszerűsítése érdekében.

Amint látja, a sík egyenletének összeállítása most sokkal könnyebb. Behelyettesítjük a pontokat a mátrixba, kiszámítjuk a determinánst - és kész, az egyenlet kész.

Ezzel véget is érhet a lecke. Sok diák azonban folyamatosan elfelejti, hogy mi van a determinánsban. Például, hogy melyik sorban van x 2 vagy x 3, és melyik sorban csak x. Ahhoz, hogy ez valóban elkerülhető legyen, nézzük meg, honnan származnak az egyes számok.

Honnan származik a determinánst tartalmazó képlet?

Tehát nézzük meg, honnan származik egy ilyen kemény egyenlet egy determinánssal. Ez segít emlékezni rá és sikeresen alkalmazni.

A C2 feladatban megjelenő összes síkot három pont határozza meg. Ezeket a pontokat mindig jelöljük a rajzon, vagy akár közvetlenül a feladat szövegében is jelezzük. Mindenesetre egy egyenlet létrehozásához fel kell írnunk a koordinátáikat:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Tekintsünk egy másik pontot a síkunkon tetszőleges koordinátákkal:

T = (x, y, z)

Vegyünk bármelyik pontot az első háromból (például az M pontot), és rajzoljunk vektorokat belőle a fennmaradó három pont mindegyikébe. Három vektort kapunk:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1).

Most komponáljunk ezekből a vektorokból négyzetmátrixés a determinánsát egyenlővé kell tenni nullával. A vektorok koordinátái a mátrix soraivá válnak - és megkapjuk azt a determinánst, amelyet a tétel jelez:

Ez a képlet azt jelenti, hogy az MN, MK és MT vektorokra épített paralelepipedon térfogata nullával egyenlő. Ezért mindhárom vektor ugyanabban a síkban van. Konkrétan egy tetszőleges T = (x, y, z) pont az, amit kerestünk.

Egy determináns pontjainak és egyeneseinek cseréje

A determinánsoknak számos nagyszerű tulajdonsága van, amelyek még könnyebbé teszik a C2 probléma megoldása. Például számunkra nem mindegy, hogy melyik pontból rajzoljuk a vektorokat. Ezért a következő determinánsok ugyanazt a síkegyenletet adják, mint a fenti:

A determináns sorait is felcserélheti. Az egyenlet változatlan marad. Például sokan szeretnek olyan vonalat írni, amelynek legfelül a T = (x; y; z) pont koordinátái. Kérem, ha Önnek kényelmes:

Vannak, akiket megzavar, hogy az egyik sor x, y és z változókat tartalmaz, amelyek pontok helyettesítésekor nem tűnnek el. De nem szabad eltűnniük! A számokat a determinánsba behelyettesítve a következő konstrukciót kell kapnia:

Ezután a determinánst az óra elején megadott diagram szerint kibővítjük, és megkapjuk standard egyenlet repülőgép:

Ax + By + Cz + D = 0

Vessen egy pillantást egy példára. Ez az utolsó a mai órán. Szándékosan felcserélem a sorokat, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a válasz ugyanazt a sík egyenletét adja.

Feladat. Írj egyenletet a pontokon átmenő síkra:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Tehát 4 pontot veszünk figyelembe:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Először hozzunk létre egy standard determinánst, és egyenlővé tegyük nullával:

Bővítjük a meghatározót:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ennyi, megkaptuk a választ: x + y + z − 2 = 0.

Most rendezzünk át néhány sort a determinánsban, és nézzük meg, mi történik. Például írjunk egy sort az x, y, z változókkal nem alul, hanem felül:

Ismét kibővítjük a kapott determinánst:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Pontosan ugyanazt a síkegyenletet kaptuk: x + y + z − 2 = 0. Ez azt jelenti, hogy valóban nem függ a sorok sorrendjétől. Már csak a választ le kell írni.

Tehát meg vagyunk győződve arról, hogy a sík egyenlete nem függ a vonalak sorrendjétől. Hasonló számításokat végezhetünk, és bebizonyíthatjuk, hogy a sík egyenlete nem attól a ponttól függ, amelynek koordinátáit kivonjuk a többi pontból.

A fenti feladatban a B 1 = (1, 0, 1) pontot használtuk, de teljesen felvehető volt a C = (1, 1, 0) vagy D 1 = (0, 1, 1) pont. Általában bármely pontról ismert koordináták, a kívánt síkon fekve.

Ahhoz, hogy egyetlen síkot át lehessen húzni a tér bármely három pontján, szükséges, hogy ezek a pontok ne legyenek ugyanazon az egyenesen.

Tekintsük az M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) pontokat általában Descartes-rendszer koordináták

Ahhoz, hogy egy tetszőleges M(x, y, z) pont egy síkban feküdjön az M 1, M 2, M 3 pontokkal, szükséges, hogy a vektorok egysíkúak legyenek.

(
) = 0

Így,

Három ponton áthaladó sík egyenlete:

Két pont adott sík és a síkkal kollineáris vektor egyenlete.

Legyen adott az M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) pont és a vektor
.

Készítsünk egyenletet az adott M 1 és M 2 pontokon átmenő síkra és a vektorral párhuzamos tetszőleges M (x, y, z) pontra .

Vektorok
és vektor
egy síkban kell lennie, pl.

(
) = 0

Sík egyenlet:

Egy sík egyenlete egy pont és két vektor felhasználásával,

kollineáris a síkkal.

Legyen két vektor adott
És
, kollineáris síkok. Ekkor a síkhoz tartozó tetszőleges M(x, y, z) pontra a vektorok
egy síkban kell lennie.

Sík egyenlet:

Sík egyenlete pontonként és normálvektoronként .

Tétel. Ha adott egy M pont a térben 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), akkor az M ponton átmenő sík egyenlete 0 merőleges a normálvektorra (A, B, C) alakja:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bizonyíték. A síkhoz tartozó tetszőleges M(x, y, z) ponthoz vektort alkotunk. Mert vektor a normálvektor, akkor merőleges a síkra, és ezért merőleges a vektorra
. Aztán a skalárszorzat

= 0

Így megkapjuk a sík egyenletét

A tétel bizonyítást nyert.

Sík egyenlete szegmensekben.

Ha az Ax + Bi + Cz + D = 0 általános egyenletben mindkét oldalt elosztjuk (-D)

,

cseréje
, megkapjuk a sík egyenletét szegmensekben:

Az a, b, c számok a sík metszéspontjai az x, y, z tengelyekkel, ill.

Sík egyenlete vektor formában.

Ahol

- az aktuális pont sugárvektora M(x, y, z),

Egységvektor, amelynek az origóból egy síkra ejtett merőleges iránya.

,  és  a vektor által az x, y, z tengellyel alkotott szögek.

p ennek a merőlegesnek a hossza.

Koordinátákban ez az egyenlet így néz ki:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Egy pont és egy sík távolsága.

Egy tetszőleges M 0 (x 0, y 0, z 0) pont és az Ax+By+Cz+D=0 sík távolsága:

Példa. Határozzuk meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P(4; -3; 12) pont az origóból erre a síkra ejtett merőleges alapja.

Tehát A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, a következő képletet használjuk:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Példa. Határozzuk meg egy P(2; 0; -1) ponton átmenő sík egyenletét és!

Q(1; -1; 3) merőleges a 3x + 2y – z + 5 = 0 síkra.

Normálvektor a 3x + 2y – z + 5 = 0 síkra
párhuzamos a kívánt síkkal.

Kapunk:

Példa. Határozzuk meg az A(2, -1, 4) pontokon áthaladó sík egyenletét és!

B(3, 2, -1) merőleges a síkra X + at + 2z – 3 = 0.

A sík szükséges egyenlete a következő alakú: A x+B y+C z+ D = 0, normálvektor erre a síkra (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) a síkhoz tartozik. A nekünk adott sík, a kívántra merőleges, normálvektorral rendelkezik (1, 1, 2). Mert Az A és B pont mindkét síkhoz tartozik, és a síkok egymásra merőlegesek, akkor

Tehát a normálvektor (11, -7, -2). Mert az A pont a kívánt síkhoz tartozik, akkor a koordinátáinak ki kell elégíteniük ennek a síknak az egyenletét, azaz. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Összességében megkapjuk a sík egyenletét: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Példa. Határozzuk meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P(4, -3, 12) pont az origóból erre a síkra ejtett merőleges alapja.

A normálvektor koordinátáinak megtalálása
= (4, -3, 12). A sík szükséges egyenlete a következő: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. A D együttható megkereséséhez behelyettesítjük a P pont koordinátáit az egyenletbe:

16 + 9 + 144 + D = 0

Összességében megkapjuk a szükséges egyenletet: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Példa. A piramis csúcsainak koordinátái a következők: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Határozzuk meg az A 1 A 2 él hosszát.

Határozza meg az A 1 A 2 és A 1 A 4 élek közötti szöget.

Keresse meg az A 1 A 4 él és az A 1 A 2 A 3 lap közötti szöget.

Először keressük meg az A 1 A 2 A 3 arc normálvektorát vektorok keresztszorzataként
És
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Határozzuk meg a normálvektor és a vektor közötti szöget
.

-4 – 4 = -8.

A vektor és a sík közötti kívánt szög  egyenlő lesz:  = 90 0 - .

Keresse meg az arc területét A 1 A 2 A 3.

Keresse meg a piramis térfogatát!

Határozzuk meg az A 1 A 2 A 3 sík egyenletét!

Használjuk a képletet a három ponton átmenő sík egyenletére.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

A számítógépes verzió használatakor Felsőfokú matematika szak” futtathat egy programot, amely a piramis csúcsainak tetszőleges koordinátáira megoldja a fenti példát.

A program elindításához kattintson duplán az ikonra:

A megnyíló programablakba írja be a piramis csúcsainak koordinátáit és nyomja meg az Enter billentyűt. Így az összes döntési pontot egyenként lehet megszerezni.

Megjegyzés: A program futtatásához telepítenie kell a Maple programot ( Waterloo Maple Inc.) a számítógépére, a MapleV Release 4-től kezdődő bármely verziójára.

Beállíthatod különböző módokon(egy pont és egy vektor, két pont és egy vektor, három pont stb.). Ezt szem előtt tartva lehet a sík egyenlete különféle típusok. Továbbá, figyelemmel bizonyos feltételeket a síkok lehetnek párhuzamosak, merőlegesek, metszőek stb. Ebben a cikkben erről fogunk beszélni. Megtanuljuk, hogyan kell létrehozni egy sík általános egyenletét és így tovább.

Az egyenlet normál alakja

Tegyük fel, hogy van egy R 3 tér, amelynek téglalap alakú XYZ koordinátarendszere van. Határozzuk meg azt az α vektort, amelyből felszabadulunk kiindulópont O. Az α vektor végén át rajzolunk egy P síkot, amely merőleges lesz rá.

Jelöljünk egy tetszőleges pontot P-n Q = (x, y, z) alakban. Jelöljük a Q pont sugárvektorát p betűvel. Ebben az esetben az α vektor hossza egyenlő р=IαI és Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ez egy oldalra irányított egységvektor, mint az α vektor. α, β és γ azok a szögek, amelyek az Ʋ és vektor között képződnek pozitív irányok x, y, z tértengelyek rendre. Bármely QϵП pont vetülete az Ʋ vektorra a következő állandó érték, ami egyenlő p-vel: (p,Ʋ) = p(p≥0).

A fenti egyenletnek akkor van értelme, ha p=0. Csak az a helyzet, hogy a P sík ebben az esetben metszi a koordináták origójának számító O pontot (α = 0), és az O pontból felszabaduló Ʋ egységvektor iránya ellenére merőleges lesz P-re, ami azt jelenti, hogy az Ʋ vektor előjel pontossággal van meghatározva. Az előző egyenlet a P sík egyenlete, vektor alakban kifejezve. De koordinátákban ez így fog kinézni:

P itt nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Megtaláltuk a térbeli sík egyenletét normál alakban.

Általános egyenlet

Ha a koordinátákban megadott egyenletet megszorozzuk bármely olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk, amely pontosan azt a síkot határozza meg. Így fog kinézni:

Itt A, B, C olyan számok, amelyek egyszerre különböznek a nullától. Ezt az egyenletet általános síkegyenletnek nevezzük.

Síkok egyenletei. Különleges esetek

Az egyenlet általános formában módosítható további feltételek fennállása esetén. Nézzünk meg néhányat közülük.

Tegyük fel, hogy A együttható 0. Ez azt jelenti adott repülőgép párhuzamos az adott Ox tengellyel. Ebben az esetben az egyenlet alakja megváltozik: Ву+Cz+D=0.

Hasonlóképpen, az egyenlet alakja megváltozik a következő feltételek mellett:

• Először is, ha B = 0, akkor az egyenlet Ax + Cz + D = 0-ra változik, ami az Oy tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
• Másodszor, ha C=0, akkor az egyenlet Ax+By+D=0-ra transzformálódik, ami az adott Oz tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
• Harmadszor, ha D=0, az egyenlet így fog kinézni: Ax+By+Cz=0, ami azt jelenti, hogy a sík metszi az O-t (az origót).
• Negyedszer, ha A=B=0, akkor az egyenlet Cz+D=0-ra változik, ami párhuzamosnak bizonyul Oxy-val.
• Ötödször, ha B=C=0, akkor az egyenlet Ax+D=0 lesz, ami azt jelenti, hogy az Oyz síkja párhuzamos.
• Hatodszor, ha A=C=0, akkor az egyenlet Ву+D=0 alakot vesz fel, azaz párhuzamosságot jelent Oxz-nek.

Az egyenlet típusa szegmensekben

Abban az esetben, ha az A, B, C, D számok különböznek nullától, a (0) egyenlet alakja a következő lehet:

x/a + y/b + z/c = 1,

amelyben a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Eredményként azt kapjuk, hogy ez a sík egy pontban metszi az Ox tengelyt (a,0,0), Oy - (0,b,0) és Oz - (0,0,c). ).

Az x/a + y/b + z/c = 1 egyenletet figyelembe véve nem nehéz vizuálisan elképzelni a sík adott koordinátarendszerhez viszonyított elhelyezkedését.

Normál vektor koordináták

A P sík n normálvektorának koordinátái együtthatók általános egyenlet egy adott sík, azaz n (A, B, C).

A normál n koordinátáinak meghatározásához elegendő egy adott sík általános egyenletének ismerete.

Ha egy egyenletet szegmensekben használunk, amelynek alakja x/a + y/b + z/c = 1, mint az általános egyenletnél, akkor egy adott sík bármely normálvektorának koordinátáit felírhatjuk: (1/a + 1/b + 1/ -val).

Érdemes megjegyezni, hogy a normálvektor számos probléma megoldásában segít. A leggyakoribbak a síkok merőlegességének vagy párhuzamosságának bizonyításával kapcsolatos problémák, a síkok közötti szögek vagy a síkok és egyenesek közötti szögek megállapításának problémái.

A síkegyenlet típusa a pont és a normálvektor koordinátái szerint

Egy adott síkra merőleges, nullától eltérő n vektort egy adott síkra normálisnak nevezzük.

Tegyük fel, hogy a koordinátatérben (téglalap koordinátarendszer) Oxyz adott:

• Mₒ pont koordinátákkal (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulla vektor n=A*i+B*j+C*k.

Létre kell hozni egy egyenletet egy síkra, amely átmegy az Mₒ ponton, amely merőleges az n-re.

Kiválasztjuk a tér tetszőleges pontját és jelöljük M (x y, z). Legyen bármely M (x,y,z) pont sugárvektora r=x*i+y*j+z*k, az Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) pont sugárvektora pedig - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Az M pont egy adott síkhoz fog tartozni, ha az MₒM vektor merőleges az n vektorra. Írjuk fel az ortogonalitási feltételt a skalárszorzat segítségével:

[MₒM, n] = 0.

Mivel MₒM = r-rₒ, a sík vektoregyenlete így fog kinézni:

Ennek az egyenletnek más alakja is lehet. Ehhez a skalárszorzat tulajdonságait használjuk, a transzformációt pedig az bal oldalt egyenletek.

= - . Ha c-vel jelöljük, a következő egyenletet kapjuk: - c = 0 vagy = c, amely a síkhoz tartozó adott pontok sugárvektorainak normálvektorára való vetületek állandóságát fejezi ki. Most megtekintheti a rekord koordináta nézetét vektor egyenlet

a síkunk = 0. Mivel r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, és n = A*i+B*j+C*k, nálunk van:

Kiderült, hogy van egy egyenletünk a normál n-re merőleges ponton átmenő síkra:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

A síkegyenlet típusa két pont koordinátái szerint és egy, a síkkal kollineáris vektor

Határozzuk meg két tetszőleges M′ (x′,y′,z′) és M″ (x″,y″,z″) pontot, valamint egy a (a′,a″,a‴) vektort.

Most létrehozhatunk egy egyenletet egy adott síkra, amely átmegy a meglévő M′ és M″ pontokon, valamint bármely olyan M ponton, amelynek koordinátái (x, y, z) párhuzamosak az adott a vektorral.

Ebben az esetben az M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) és M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektoroknak egy síkban kell lenniük a vektorral a=(a′,a″,a‴), ami azt jelenti, hogy (M′M, M″M, a)=0.

Tehát a térbeli síkegyenletünk így fog kinézni:

Három pontot metsző sík egyenletének típusa

Tegyük fel, hogy három pontunk van: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), amelyek nem tartoznak ugyanabba az egyenesbe. Fel kell írni egy adott három ponton áthaladó sík egyenletét. A geometria elmélete azt állítja, hogy ez a fajta sík valóban létezik, de ez az egyetlen és egyedülálló. Mivel ez a sík metszi az (x′,y′,z′ pontot), az egyenlet alakja a következő lesz:

Itt A, B, C egyszerre különbözik a nullától. Ezenkívül az adott sík még két pontot metsz: (x″,y″,z″) és (x‴,y‴,z‴). E tekintetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:

Most létrehozhatunk egy homogén rendszert u, v, w ismeretlenekkel: A miénkben vagy z tetszőleges pontként működik, amely kielégíti az (1) egyenletet. Adott az (1) egyenlet és a (2) és (3) egyenletrendszer, a fenti ábrán látható egyenletrendszert az N (A,B,C) vektor teljesíti, amely nem triviális. Ezért ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Az általunk kapott (1) egyenlet a sík egyenlete. Pontosan 3 ponton megy át, és ez könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell terjesztenünk a determinánsunkat az első sor elemeire. A determináns meglévő tulajdonságaiból következik, hogy síkunk egyszerre metszi három kezdetben megadott pontot (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Azaz megoldottuk a ránk bízott feladatot.

Kétszögű síkok közötti szög

A diéderszög egy térbeli szöget jelöl geometriai alakzat, amelyet két félsík alkot, amelyek egy egyenesből erednek. Más szóval, ez az a térrész, amelyet ezek a félsíkok korlátoznak.

Tegyük fel, hogy van két síkunk a következő egyenletekkel:

Tudjuk, hogy az N=(A,B,C) és N¹=(A¹,B1,C1) vektorok merőlegesek adott repülőgépek. Ebben a tekintetben az N és N¹ vektorok közötti φ szög egyenlő azzal a szöggel (diéder), amely e síkok között helyezkedik el. Pontos termék a következő formában van:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

pontosan azért

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Elég figyelembe venni, hogy 0≤φ≤π.

Valójában két metsző sík két szöget (diédert) alkot: φ 1 és φ 2. Összegük egyenlő π-vel (φ 1 + φ 2 = π). A koszinuszukat illetően abszolút értékük egyenlő, de előjelben különböznek, azaz cos φ 1 = -cos φ 2. Ha a (0) egyenletben A, B és C helyére -A, -B és -C számokat írunk, akkor a kapott egyenlet ugyanazt a síkot fogja meghatározni, az egyetlen, a φ szöget. cos egyenletφ=NN 1 /|N||N 1 | helyébe π-φ kerül.

Egy merőleges sík egyenlete

Azokat a síkokat, amelyek között a szög 90 fokos, merőlegesnek nevezzük. A fent bemutatott anyagot felhasználva megtalálhatjuk egy másikra merőleges sík egyenletét. Tegyük fel, hogy két síkunk van: Ax+By+Cz+D=0 és A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Azt mondhatjuk, hogy merőlegesek lesznek, ha cosφ=0. Ez azt jelenti, hogy NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Párhuzamos sík egyenlet

Két olyan síkot, amelyek nem tartalmaznak közös pontokat, párhuzamosnak nevezzük.

A feltétel (egyenleteik megegyeznek az előző bekezdésben leírtakkal), hogy a rájuk merőleges N és N¹ vektorok kollineárisak. Ez pedig azt jelenti, hogy teljesülnek következő feltételekkel arányosság:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ha az arányossági feltételeket kiterjesztjük - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ez azt jelzi, hogy ezek a síkok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy az Ax+By+Cz+D=0 és az A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 egyenletek egy síkot írnak le.

Távolság a síktól a ponttól

Tegyük fel, hogy van egy P sík, amelyet a (0) egyenlet ad meg. Meg kell találni a távolságot egy ponttól, melynek koordinátái (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ehhez normál alakba kell hoznia a P sík egyenletét:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN ebben az esetbenρ (x,y,z) a P-n elhelyezkedő Q pontunk sugárvektora, p a P merőleges hossza, amelyet feloldottunk nulla pont, v az egységvektor, amely az a irányban helyezkedik el.

Valamely P-hez tartozó Q = (x, y, z) pont ρ-ρº sugárvektora, valamint egy adott Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) pont sugárvektora egy ilyen vektor, abszolút érték amelynek v-re vetülete egyenlő a d távolsággal, amelyet Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) és P között kell megtalálni:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, de

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Szóval kiderül

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Tehát meg fogjuk találni abszolút érték az eredményül kapott kifejezés, vagyis a kívánt d.

A paraméternyelv használatával a következőt kapjuk:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ha beállított pont Q 0 a P sík másik oldalán van, akárcsak a koordináták origója, akkor a ρ-ρ 0 és v vektor között helyezkedik el tehát:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ 0,v)-р>0.

Abban az esetben, ha a Q 0 pont a koordináták origójával együtt P ugyanazon az oldalán található, akkor a létrehozott szög hegyes, azaz:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Ennek eredményeként kiderül, hogy az első esetben (ρ 0 ,v)>р, a másodikban (ρ 0 ,v)<р.

Érintősík és egyenlete

A felület érintési síkja az Mº érintkezési pontban egy olyan sík, amely tartalmazza a felület ezen pontján keresztül rajzolt görbék összes lehetséges érintőjét.

Az ilyen típusú F(x,y,z)=0 felületi egyenletnél az érintősík egyenlete az Mº(xº,yº,zº) érintőpontban így fog kinézni:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ha a felületet explicit formában z=f (x,y) adjuk meg, akkor az érintősíkot a következő egyenlet írja le:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Két sík metszéspontja

A koordinátarendszerben (téglalap alakú) Oxyz található, két П′ és П″ sík adott, amelyek metszik egymást és nem esnek egybe. Mivel a téglalap alakú koordinátarendszerben található bármely síkot egy általános egyenlet határozza meg, feltételezzük, hogy P′ és P″ az A′x+B′y+C′z+D′=0 és A″x egyenletek alapján. +B″y+ С″z+D″=0. Ebben az esetben a P′ sík normál n′ (A′,B′,C′), a P″ sík normál n″ (A″,B″,C″) értéke van. Mivel síkjaink nem párhuzamosak és nem esnek egybe, ezek a vektorok nem kollineárisak. Ezt a feltételt a matematika nyelvén a következőképpen írhatjuk fel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. A P′ és P″ metszéspontjában lévő egyenest jelöljük a betűvel, ebben az esetben a = P′ ∩ P″.

a egy egyenes, amely a (közös) P′ és P″ síkok összes pontjának halmazából áll. Ez azt jelenti, hogy az a egyeneshez tartozó bármely pont koordinátáinak egyidejűleg teljesíteniük kell az A′x+B′y+C′z+D′=0 és az A″x+B″y+C″z+D″=0 egyenletet. . Ez azt jelenti, hogy a pont koordinátái a következő egyenletrendszer részmegoldásai lesznek:

Ennek eredményeként kiderül, hogy ennek az egyenletrendszernek az (általános) megoldása meghatározza a P′ és P″ metszéspontjaként működő egyenes minden pontjának koordinátáit, és meghatározza az egyenest. a az Oxyz (téglalap alakú) koordinátarendszerben a térben.