• Rendszerek m lineáris egyenletek Vel n ismeretlen.
  Lineáris egyenletrendszer megoldása- ez egy ilyen számkészlet ( x 1 , x 2 , …, x n), ha a rendszer minden egyenletébe behelyettesítjük, a helyes egyenlőséget kapjuk.
  Ahol a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— rendszeregyütthatók;
  b i , i = 1, …, m- ingyenes tagok;
  x j , j = 1, …, n- ismeretlen.
  A fenti rendszer felírható mátrix formában: A X = B,
  
  
  
  
  hol ( A|B) a rendszer fő mátrixa;
  A— kiterjesztett rendszermátrix;
  X— ismeretlenek oszlopa;
  B- oszlop ingyenes tagok.
  Ha mátrix B nem nullmátrix ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert inhomogénnek nevezzük.
  Ha mátrix B= ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük. Egy homogén rendszernek mindig van nulla (triviális) megoldása: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Együttes lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer, amelynek van megoldása.
  Inkonzisztens lineáris egyenletrendszer egy megoldhatatlan lineáris egyenletrendszer.
  Egy bizonyos lineáris egyenletrendszer- rendelkezik az egyetlen megoldás lineáris egyenletrendszer.
  Határozatlan lineáris egyenletrendszer- rendelkezik végtelen halmaz lineáris egyenletrendszer megoldásai.
• N lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel
  Ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor a mátrix négyzet. A mátrix determinánsát a lineáris egyenletrendszer fő determinánsának nevezik, és a Δ szimbólummal jelöljük.
  Cramer módszer rendszerek megoldására n lineáris egyenletek -val n ismeretlen.
  Cramer szabálya.
  Ha egy lineáris egyenletrendszer fő determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszer konzisztens és definiált, és az egyetlen megoldást a Cramer-képletekkel számítjuk ki:
  ahol Δ i a rendszer Δ fődeterminánsából kapott determinánsok cserével én oszlopból a szabad tagok oszlopába. .
• M lineáris egyenletrendszerek n ismeretlennel
  Kronecker–Capelli tétel.
  
  
  Ahhoz, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszermátrix rangja egyenlő legyen a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, cseng(Α) = cseng(Α|B).
  Ha cseng(Α) ≠ cseng(Α|B), akkor a rendszernek nyilvánvalóan nincsenek megoldásai.
  Ha cseng(Α) = cseng(Α|B), akkor két eset lehetséges:
  1) rang(Α) = n(ismeretlenek száma) - a megoldás egyedi, és a Cramer-képletekkel érhető el;
  2) rang (Α)< n - végtelenül sok megoldás létezik.
• Gauss módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására
  
  
  Hozzunk létre egy kiterjesztett mátrixot ( A|B) egy adott rendszerben az ismeretlenek és a jobb oldal együtthatóiból.
  A Gauss-módszer vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere a kiterjesztett mátrix csökkentéséből áll ( A|B) elemi transzformációkkal a sorain átlós alakra (a felső háromszög nézet). Visszatérve az egyenletrendszerhez, minden ismeretlen meghatározott.
  A karakterláncok feletti elemi transzformációk a következők:
  1) cserélj két sort;
  2) egy karakterlánc szorzata 0-tól eltérő számmal;
  3) újabb karakterlánc hozzáadása egy karakterlánchoz, tetszőleges számmal megszorozva;
  4) nulla vonal kidobása.
  Egy diagonális formára redukált kiterjesztett mátrix az adottval egyenértékű lineáris rendszernek felel meg, melynek megoldása nem okoz nehézséget. .
• Homogén lineáris egyenletrendszer.
  A homogén rendszernek a következő formája van:
  
  a mátrixegyenletnek felel meg A X = 0.
  1) Egy homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(A|B), mindig létezik nulla megoldás (0, 0, …, 0).
  2) Annak érdekében, hogy homogén rendszer nem nulla megoldása volt, szükséges és elegendő az r = r(A)< n , ami ekvivalens Δ = 0-val.
  3) Ha r< n , akkor nyilván Δ = 0, akkor szabad ismeretlenek keletkeznek c 1 , c 2 , …, c n-r, a rendszernek vannak nem triviális megoldásai, és ezekből végtelenül sok van.
  4) Általános megoldás X at r< n mátrix formában írható fel alábbiak szerint:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  hol vannak a megoldások X 1, X 2, …, X n-r alapvető megoldási rendszert alkotnak.
  5) A megoldások alapvető rendszere ebből származhat általános megoldás homogén rendszer:
  
  ,
  ha szekvenciálisan beállítjuk a paraméterértékeket (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Az általános megoldás bővítése in alapvető rendszer megoldásokat egy általános megoldás feljegyzése az alaprendszerhez tartozó megoldások lineáris kombinációja formájában.
  Tétel. A lineáris rendszer érdekében homogén egyenletek nem nulla megoldása volt, szükséges és elegendő, hogy Δ ≠ 0.
  Tehát, ha a determináns Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.
  Ha Δ ≠ 0, akkor a lineáris homogén egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.
  Tétel. Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges és elegendő az r(A)< n .
  Bizonyíték:
  1) r nem lehet több n(a mátrix rangja nem haladja meg az oszlopok vagy sorok számát);
  2) r< n , mert Ha r = n, akkor a rendszer fő determinánsa Δ ≠ 0, és a Cramer-képletek szerint létezik egy egyedi triviális megoldás x 1 = x 2 = … = x n = 0, ami ellentmond a feltételnek. Eszközök, r(A)< n .
  Következmény. A homogén rendszer érdekében n lineáris egyenletek -val n Az ismeretleneknek nem nulla megoldása volt, szükséges és elégséges, hogy Δ = 0.

1. A másod- és harmadrend meghatározói és tulajdonságai 1.1. A mátrix és a másodrendű determináns fogalma

Tetszőleges m számot tartalmazó téglalap alakú számtáblázat

sorokat és tetszőleges számú oszlopot mátrixnak nevezünk. Jelezni

A mátrixok vagy dupla függőleges sávokat vagy kerekeket használnak

zárójelben. Például:

28 20 18 28 20 18

Ha egy mátrix sorainak száma egybeesik az oszlopok számával, akkor a mátrix

négyzetnek nevezik. A mátrixot alkotó számokat nevezzük

elemeket.

Tekintsünk egy négyzetes mátrixot, amely négy elemből áll:

A (3.1) mátrixnak megfelelő másodrendű determináns,

egy szám egyenlő a -vel, és a szimbólummal jelöljük

Tehát definíció szerint

Az adott determináns mátrixát alkotó elemek általában

e determináns elemeinek nevezzük.

Igazságos következő kijelentés: annak érdekében, hogy a meghatározó

másodrendű nullával egyenlő volt, szükséges és elégséges ez

sorainak (vagy ennek megfelelően oszlopainak) elemei voltak

arányos.

Ennek az állításnak a bizonyításához elég megjegyezni, hogy mindegyik

a / = / és / = / arányokból ekvivalens az = egyenlőséggel, és az utolsó egyenlőség

erő (3.2) egyenértékű a determináns eltűnésével.

1.2. Két lineáris egyenletrendszer két ismeretlenben

Mutassuk meg, hogyan használjuk a másodrendű determinánsokat

két lineáris egyenletrendszer kutatása és megoldása

két ismeretlen

(ebben az esetben az együtthatókat és a szabad kifejezéseket vesszük figyelembe

adott). Emlékezzünk vissza, hogy egy számpárt a (3.3) rendszer megoldásának nevezünk,

ha ezeket a számokat helyben és in ezt a rendszert mindkettőt felhívja

a (3.3) egyenletet azonosságokká.

A (3.3) rendszer első egyenletét megszorozzuk --vel, a másodikat --vel, majd megszorozzuk

a kapott egyenlőségeket összeadva azt kapjuk

Hasonlóképpen, a (3.3) egyenleteket - és ennek megfelelően megszorozva

Vezessük be a következő jelölést:

= , = , = . (3.6)

Ezekkel a jelölésekkel és a második determinánsának kifejezésével

nagyságrendileg a (3.4) és (3.5) egyenlet a következőképpen írható át:

Ismeretlenek együtthatóiból álló determináns

rendszert (3.3) szokták hívni meghatározója ennek a rendszernek. Jegyezze meg

determinánsok és a rendszer determinánsából származnak cserével

első, illetve második oszlopát szabad feltételekkel.

Két eset fordulhat elő: 1) a rendszer meghatározója eltér attól

nulla; 2) ez a determináns egyenlő nullával.

Nézzük először a 0. esetet. A (3.7) egyenletekből azonnal megkapjuk

ismeretlenek képletei, ún Cramer képletek:

A kapott Cramer-képletek (3.8) megoldást adnak a (3.7) és rendszerre

ezért bizonyítják a megoldás egyediségét az eredeti rendszerhez (3.3). A nagyon

valójában a (3.7) rendszer a (3.3) rendszer következménye, ezért bármely

a (3.3) rendszer megoldása (ha létezik!) kell

megoldás és rendszer (3.7). Tehát eddig bebizonyosodott, hogy ha az eredeti rendszer

(3.3) 0-nál van megoldás, akkor ez a megoldás egyedileg meghatározott

Cramer-képletek (3.8).

Könnyen ellenőrizhető a megoldás megléte, pl. hogy 0 kettőkor

számok és Cramer-képletek (3.8) határozzák meg. feltéve

helyezze el az ismeretleneket a (3.3) egyenletekben, alakítsa ezeket az egyenleteket azonosságokká.

(Az olvasóra bízzuk, hogy leírja a meghatározó kifejezéseket,

és ellenőrizni kell ezen azonosságok érvényességét.)

elérkezünk a következő következtetésre: ha a rendszer determinánsa (3.3)

különbözik a nullától, akkor létezik, és ráadásul az egyetlen megoldás erre

Cramer-képletekkel meghatározott rendszer (3.8).

Tekintsük most azt az esetet, amikor a rendszer determinánsa egyenlő nulla.

Bemutatkozhatnak két aleset: a) legalább egy meghatározó tényező, vagy

nullától eltérő; b) mindkét determináns és egyenlő nullával. (ha a determináns és

két determináns közül az egyik egyenlő nullával, majd e kettő közül a másik

determinánsok nulla. Valójában legyen például = 0 = 0, azaz. / = /

és / = /. Ekkor ezekből az arányokból azt kapjuk, hogy /= /, azaz = 0).

Az a) alesetben legalább az egyik egyenlőség lehetetlennek bizonyul

(3.7), azaz a (3.7) rendszernek nincsenek megoldásai, ezért nincs megoldása és

eredeti rendszer (3.3) (melynek következménye a (3.7) rendszer).

A b) alesetben az eredeti rendszer (3.3) végtelen halmazzal rendelkezik

döntéseket. Valójában a === 0 egyenlőségekből és a szakasz végi állításból. 1.1

arra a következtetésre jutunk, hogy a (3.3) rendszer második egyenlete az első következménye

és el lehet dobni. De egy egyenlet két ismeretlennel

végtelen sok megoldása van (legalább az egyik együttható, ill

különbözik a nullától, és a hozzá tartozó ismeretlent meg lehet határozni

a (3.9) egyenletből tetszőlegesen át beállított érték másik ismeretlen).

Így, ha a (3.3) rendszer determinánsa nulla, akkor

A (3.3) rendszernek vagy nincs megoldása (ha legalább az egyik

determinánsok vagy nullától eltérőek), vagy megszámlálhatatlan halmaza van

megoldások (abban az esetben, ha == 0). IN az utóbbi eset két egyenlet (3.3)

helyettesíthető eggyel, és a megoldása során egy ismeretlen kérdezhető

önkényesen.

Megjegyzés. Abban az esetben, ha a és a szabad tagok egyenlőek nullával, a lineáris

rendszert (3.3) hívjuk homogén. Vegye figyelembe, hogy a homogén rendszer

mindig van egy úgynevezett triviális megoldása: = 0, = 0 (ez a két szám

mindkét homogén egyenletet azonossággá alakítja).

Ha egy homogén rendszer determinánsa eltér nullától, akkor ez

a rendszernek csak triviális megoldása van. Ha = 0, akkor homogén

a rendszernek számtalan megoldása van(mióta

homogén rendszer, a megoldások hiányának lehetősége kizárt). Így

út, egy homogén rendszernek akkor és csakis van nemtriviális megoldása

abban az esetben, ha a determinánsa nulla.

1.3. Harmadik rendű determinánsok

Tekintsünk egy négyzetes mátrixot, amely kilenc elemből áll

Harmadik rendű determináns, amely a (3.10) mátrixnak felel meg, a szám egyenlő:

és a szimbólummal jelöljük

Tehát definíció szerint

A másodrendű determinánshoz hasonlóan a (3.10) mátrix elemei

hívás magának a determinánsnak az elemei. Ezen kívül egyezzünk meg

hívja az átlót elemek alkotják, És, fő-, és az átló,

az elemek alkotják, és - oldal.

Emlékezzünk a kifejezésben szereplő kifejezések felépítésére

determináns (3.11), jelezzük következő szabály, amihez nem kell sok

a figyelem és a memória stressze. Ehhez lépjen arra a mátrixra, amelyből összeállt

determináns, adja hozzá az első, majd a második oszlopot ismét jobbra. IN

a kapott mátrix

folytonos vonal három párhuzamosan kapott taghármast köt össze

a főátló elmozdításával és a benne foglalt három kifejezésnek megfelelően

kifejezés (3.11) pluszjellel; hármat szaggatott vonal köt össze

többi hármas kapott párhuzamos átvitel oldal

átlói és megfelelnek a (3.11) kifejezésben szereplő három tagnak -val

mínusz jel.

1.4. A determinánsok tulajdonságai

1. tulajdonság. A determináns értéke nem változik, ha a vonalak és

változtassa meg ennek a determinánsnak az oszlopainak szerepét, azaz.

Ennek a tulajdonságnak a bizonyításához elég felírni a determinánsokat,

a (3.13) bal és jobb oldalán állva, ahogy az a szakaszban látható. 1.3 szabály és

győződjön meg arról, hogy a kapott feltételek egyenlőek.

1. tulajdonság készletek teljes egyenlőség sorok és oszlopok. azért

Minden további tulajdonságok a determináns megfogalmazható mind a karakterláncokra, mind

oszlopokhoz és bizonyításhoz - vagy csak sorokhoz, vagy csak oszlopokhoz.

2. tulajdonság. Két sor (vagy két oszlop) átrendezése

determináns egyenértékű azzal, hogy megszorozzuk a -1 számmal.

A bizonyíték is az előzőben leírt szabályból származik

3. tulajdonság. Ha a determinánsnak két azonos karakterlánca van (vagy kettő

azonos oszlopok), akkor egyenlő nullával.

Valójában két azonos karakterlánc átrendezésekor egyből

egyrészt a meghatározó nem változik, másrészt a 2. tulajdonság miatt

az ellenkező jelre vált. Így = -, azaz. 2 = 0 vagy = 0.

4. tulajdonság. Valamely karakterlánc összes elemének szorzása (vagy

valamelyik oszlop) egy determináns egy számmal egyenértékű a szorzással

meghatározó erre a számra.

Más szóval, közös szorzó valamilyen karakterlánc összes eleme

(vagy valamilyen oszlopa) a determinánsból kivehető ennek jeleként

döntő.

Például,

Ennek a tulajdonságnak a bizonyításához elég megjegyezni, hogy

a determinánst összegként fejezzük ki (3.12), amelynek minden tagja

minden sorból egy és csak egy elemet tartalmaz, és csak egyet

minden oszlopból egy elemet.

Tulajdonság 5. Ha valamelyik karakterlánc minden eleme (vagy néhány

oszlopa) egyenlő nullával, akkor maga a determináns nulla.

Ez a tulajdonság az előzőből következik (val = 0).

6. tulajdonság. Ha az elemek két sorból (vagy két oszlopból) állnak

a determinánsok arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

Valójában a 4. tulajdonság miatt az arányossági tényező lehet

a determináns előjelén túlra kivesszük, ami után egy determináns kettővel marad

azonos vonalak, egyenlők nullával a 3. tulajdonság szerint.

Tulajdon 7. Ha mindenki n-edik elem sor (vagy n-edik oszlop)

determináns két tag összege, majd a determináns

két determináns összegeként ábrázolható, az első

amelynek az n-edik sorban van (vagy in n-edik oszlop) az elsőként említett

kifejezések és ugyanazok az elemek, mint az eredeti determináns, a többiben

sorok (oszlopok), és a második determináns az n-edik sorban van (az n-edikben

oszlop) az említett kifejezések közül a második és ugyanazok az elemek, mint

az eredeti determináns, a fennmaradó sorokban (oszlopokban).

Például,

Ennek a tulajdonságnak a bizonyításához ismételten elegendő azt megjegyezni

a determinánst kifejezések összegeként fejezzük ki, amelyek mindegyike

minden sorból egy és csak egy elemet tartalmaz, és csak egyet

elemet minden oszlopból.

Tulajdonság 8. Ha valamilyen karakterlánc elemei (vagy néhány

oszlop) determináns adja hozzá egy másik megfelelő elemeit

sorok (egy másik oszlop) szorozva egy tetszőleges tényezővel, akkor

a determináns értéke nem változik.

Valóban, a jelzett kiegészítés eredményeként

a determináns (a 7. tulajdonság alapján) kettő összegére osztható

determinánsok, amelyek közül az első egybeesik az eredetivel, a második pedig egyenlő

nulla két sor (vagy oszlop) elemeinek arányossága miatt és

tulajdonságok 6.

1.5. Algebrai kiegészítések és mollok

Gyűjtsük össze a (3.12) kifejezésben a determinánshoz azokat a kifejezéseket, amelyek tartalmazzák

ennek a determinánsnak bármelyik elemét, és vegye ki a megadott elemet

zárójelen túl; a zárójelben maradó mennyiséget nevezzük

algebrai komplementer a megadott elemet.

Adott elem algebrai komplementerét fogjuk jelölni

tőke latin betű ugyanaz a név, mint az elem, és

ugyanazt a számot adja meg, mint az adott elem. Például,

egy elem algebrai komplementerét az algebraival fogjuk jelölni

elem hozzáadás - keresztül stb.

Közvetlenül a (3.12) determináns kifejezéséből és abból, hogy

a (3.12) jobb oldalán minden tag egy és csak egy elemet tartalmaz

minden sorból (minden oszlopból) a következő egyenlőségek következnek:

Ezek az egyenlőségek kifejezik következő ingatlan döntő:

döntő egyenlő az összeggel bármely karakterlánc elemeinek szorzata

(bármely oszlopból) a megfelelő algebrai összeadásokhoz

sor (ez oszlop) elemei.

A (3.14) egyenlőségeket általában ún a determináns kiterjesztéseÁltal

az első, a második vagy a harmadik sor elemei, valamint az egyenlőségek

(3.15) - a determináns kiterjesztése az első elemei szerint, ill.

második vagy harmadik oszlop.

Most mutassuk be fontos fogalom kiskorú a determináns ezen elemének

Kisebb n-edrendű determináns adott elemének (esetünkben n = 3)

az adottból kapott (n-1)-edrendű determináns

determináns úgy, hogy áthúzza azt a sort és az oszlopot a metszéspontban

amibe ez az elem kerül.

A determináns bármely elemének algebrai komplementere egyenlő

ennek az elemnek a mollja, ilyen „plusz”-jal felvéve, ha a számok összege

az a sor és oszlop, amelynek metszéspontjában ez az elem áll

a szám páros, és mínuszjellel - be egyébként.

Így a megfelelő algebrai komplementer és moll

csak előjelben térhet el egymástól.

A következő táblázat mutatja vizuális ábrázolás arról, hogy milyen ismerős

a megfelelő algebrai komplement és moll összefügg:

A megállapított szabály a (3.14) és (3.15) képletekben lehetővé teszi a bővítést

determináns a sorok és oszlopok elemeire mindenütt az algebraiak helyett

kiegészítések írják a megfelelő kiskorúakat (a szükséges előjellel).

Így például a (3.14) képlet közül az első, amely megadja a kiterjesztést

determináns az első sor elemei felett alakot ölt

Végezetül állapítsuk meg a következő alapvető tulajdonságot

döntő.

9. tulajdonság. Bármely oszlop elemeinek szorzatainak összege

determináns az elemek megfelelő algebrai komplementereire

ennek az (egyéb) oszlopnak az értéke egyenlő ennek a determinánsnak az értékével (egyenlő nullával).

Természetesen egy hasonló tulajdonság akkor is igaz, ha karakterláncokra alkalmazzuk

döntő. Az az eset, amikor algebrai összeadások és elemek

ugyanazon oszlopnak felelnek meg, amelyet fentebb már tárgyaltunk. A bizonyítás hátra van

hogy bármely oszlop elemeinek szorzatainak összege a megfelelő

a másik oszlop elemeinek algebrai komplementere nulla.

Bizonyítsuk be például, hogy az első ill. elemeinek szorzatainak összege

a harmadik oszlop nulla.

A harmadik képletből indulunk ki (3.15), amely megadja a kiterjesztést

a harmadik oszlop elemei által meghatározó:

Mivel az algebrai összeadások és a harmadik oszlop elemei nem

maguktól az elemektől függ, és ez az oszlop, majd a (3.17) egyenlőségben a számok, és

cserélhető tetszőleges számok, és miközben fenntartja a bal oldalon

rész (3.17) a determináns első két oszlopa, a jobb oldalon pedig a mennyiségek,

és algebrai összeadások.

Így, bármilyen, és az egyenlőség igaz:

A (3.18) egyenlőségbe véve először az elemeket, és

az első oszlopot, majd az elemeket, és a második oszlopot, és ezt figyelembe véve

a két egybeeső oszlopú determináns a 3. tulajdonság miatt egyenlő

nulla, akkor a következő egyenlőségekhez jutunk:

Ez bizonyítja, hogy az első ill. elemeinek szorzatainak összege

második oszlopban az elemek megfelelő algebrai komplementereire

a harmadik oszlop egyenlő nullával: Az egyenlőségeket hasonló módon bizonyítjuk:

és a megfelelő egyenlőségek nem oszlopokra, hanem sorokra vonatkoznak:

2. Lineáris egyenletrendszerek három ismeretlennel 2.1. Három lineáris egyenletrendszer három ismeretlenben

nullától eltérő determináns.

A fent vázolt elmélet alkalmazásaként tekintsük a rendszert

három lineáris egyenlet három ismeretlennel:

(együtthatók, , és szabad kifejezések adottnak tekinthetők).

A számok hármasát a (3.19) rendszer megoldásának nevezzük, ha ezeket behelyettesítjük

számok a helyükön, a (3.19) rendszerbe mindhárom (3.19) egyenletet

identitások.

A következő négy alapvető szerepet játszik a jövőben:

döntő:

A determinánst általában a (3.19) rendszer determinánsának nevezik (it

ismeretlenek együtthatóiból áll össze). Meghatározók, és

a rendszer determinánsából nyerjük ki azokat szabadokkal helyettesítve

az első, a második és a harmadik oszlop elemeinek tagjai.

Az ismeretlenek kizárásához a (3.19) rendszerből megszorozzuk az egyenleteket

(3.19) az első elemeinek algebrai komplementereinek megfelelően

a rendszer determinánsának oszlopát, majd összeadjuk az eredményt

egyenletek Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

Tekintettel arra, hogy egy adott oszlop elemeinek szorzatainak összege

determináns az elemek megfelelő algebrai komplementereire

ennek az (egyéb) oszlopnak egyenlő a determinánssal (nulla) (lásd a 9. tulajdonságot),

0, ++= 0.

Ezenkívül a determinánst az első oszlop elemeire bontva a képletet kapjuk:

A (3.21) és (3.22) képletekkel a (3.20) egyenlőség a következőre lesz írva:

a következő (ismeretleneket nem tartalmazó) formában:

Az egyenlőségek = és

Így megállapítottuk, hogy az egyenletrendszer = , = , =

az eredeti rendszer (3.19) következménye.

A jövőben külön fogunk foglalkozni két eset:

1) amikor a rendszer meghatározó nem nulla,

2) amikor ez a determináns egyenlő nullával.

Tehát legyen 0. Ekkor a (3.23) rendszerből azonnal megkapjuk az ismeretlenek képleteit, ún Cramer képletek:

Az általunk kapott Cramer-képletek megoldást adnak a (3.23) és rendszerre

ezért bizonyítják a megoldás egyediségét az eredeti rendszerre (3.19), mert

rendszer (3.23) a (3.19) rendszer következménye, és a rendszer bármely megoldása

(3.19) megoldásnak kell lennie a (3.23) rendszerre is.

Tehát bebizonyítottuk, hogy ha az eredeti (3.19) rendszer létezik

0 megoldás, akkor ezt a megoldást a Cramer-képletek egyedileg határozzák meg

Meg kell bizonyítanunk, hogy valóban létezik megoldás

cserélje be értékeiket az eredeti rendszerbe (3.19) x, y és z helyére,

a (3.24) Cramer-képletekkel határozzuk meg, és győződjön meg arról, hogy mindhárom

a (3.19) egyenletek azonosságokká alakulnak. Győződjön meg arról, hogy például

az első (3.19) egyenlet azonossággá változik, ha x értékeit helyettesítjük,

y és z, a (3.24) Cramer-képletekkel meghatározva. Ezt figyelembe véve

behelyettesítéssel kapjuk meg bal oldalt a (2.19) egyenlet első értéke, és

Cramer képletei határozzák meg:

Az A, A2 és A3 kifejezések csoportosítása a kapcsos zárójelben,

ezt kapjuk:

A 9. tulajdonság alapján az utolsó egyenlőségben mindkettő szögletes zárójelek egyenlő

nulla, és a zárójel egyenlő a determinánssal. Tehát ++-t kapunk

És létrejön a (3.19) rendszer első egyenletének azonosságra való konvertálása.

Hasonlóképpen létrejön a második és a harmadik azonosságára való átalakítás

(3.19) egyenletek.

A következő következtetésre jutunk: ha a rendszer determinánsa (3.19)

különbözik a nullától, akkor létezik, és ráadásul egyedi megoldás is erre

rendszer, amelyet Cramer-képletek határoznak meg (3.24).

2.2. Két lineáris egyenlet homogén rendszere három ismeretlenben

Ebben és a részben kidolgozzuk azt az apparátust, amely a (3.19) inhomogén rendszer nullával egyenlő determinánssal való figyelembevételéhez szükséges. Először tekintsünk két lineáris egyenletből álló homogén rendszert három ismeretlen:

Ha mindent három másodrendű determináns lehet

mátrixból összeállítani

egyenlők nullával, akkor a szakasz nyilatkozata alapján. 1,1 együttható az első közül

a (3.25) egyenletek arányosak a megfelelő együtthatókkal

ezen egyenletek közül a második. Ezért ebben az esetben a második (3.25) egyenlet

az első következménye, és elvethető. De egy egyenlet

három ismeretlen ++= 0-nak természetesen végtelen a száma

megoldások (két ismeretlenhez tetszőleges értéket rendelhetünk, és

határozzuk meg a harmadik ismeretlent az egyenletből).

Tekintsük most a (3.25) rendszert arra az esetre, amikor legalább az egyik

mátrixból összeállított másodrendű determinánsok(3.26), kiváló

nulláról. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy ez különbözik a nullától

döntő

0 Ezután a (3.25) rendszert átírhatjuk a formába

és állítsuk, hogy minden z-re van erre egyedi megoldás

rendszer, amelyet Cramer-képletek határoznak meg (lásd 1.2. szakasz, (3.8) képletek):

a determináns harmadik sora:

Szekt eredményei miatt. 1.5 az algebrai összeadások kapcsolatáról és

kiskorúak írhatók

A (3.29) alapján a (3.28) képleteket átírhatjuk a formába

Ahhoz, hogy megoldást kapjunk a formában, szimmetrikus

minden ismeretlenhez képest x, y és z, beállítjuk (megjegyezzük, hogy (3.27)

a determináns különbözik a nullától). Mivel z bármilyen

értékeket, majd az új t változót bármilyen értéket felvehet.

Arra a következtetésre jutunk, hogy in Abban az esetben, ha a (3.27) determináns nullától eltérő, a (3.25) homogén rendszernek végtelen számú, a képletekkel meghatározott megoldása van

amelyben t bármilyen értéket felvesz, és algebrai

kiegészítések, ésképletek határozzák meg (3.29).

2.3. Három lineáris egyenlet homogén rendszere három ismeretlenben

Tekintsünk most egy három egyenletből álló homogén rendszert hárommal

ismeretlen:

Nyilvánvaló, hogy ebben a rendszerben mindig megvan az úgynevezett triviális

megoldás: x = 0, y = 0, z = 0.

Abban az esetben, ha a rendszer meghatározója, ez triviális megoldás

egyedi (a 2.1. szakasz miatt).

Ezt bizonyítsuk be az az eset, amikor a determináns egyenlő nullával, homogén

rendszernek (3.32) végtelen számú megoldása van.

Ha minden másodrendű determináns, amelyből összeállítható

egyenlőek nullával, akkor a szakasz utasítása alapján. 1.1 releváns

mindhárom egyenlet (3.32) együtthatói arányosak. De akkor a második

és a harmadik egyenlet (3.32) az első következményei és lehet

el kell hagyni, és egy egyenlet ++= 0, amint azt a szakaszban már megjegyeztük. 2.2, van

számtalan megoldás.

Még mérlegelni kell azt az esetet, amikor legalább egy kiskorú mátrixok (3.33)

különbözik a nullától. Mivel az egyenletek és az ismeretlenek sorrendje

rendelkezésünkre áll, akkor az általánosság elvesztése nélkül megtehetjük

szakasz 2.2, az első két egyenletrendszer (3.32) számtalan

a (3.31) képletekkel meghatározott megoldások halmaza (bármely t-re).

Be kell bizonyítani, hogy a (3.31) képletekkel definiált x, y, z (val

tetszőleges t, a harmadik (3.32) egyenlet is azonossággá alakul. Behelyettesítés

a harmadik egyenlet (3.32) x, y és z bal oldala, a képletekkel meghatározott

(3.31), kapjuk

Kihasználtuk, hogy a 9. tulajdonság miatt a kerek kifejezés

zárójelben egyenlő a (3.32) rendszer determinánsával. De a feltétel alapján meghatározó

egyenlő nullával, ezért bármely t-re ++= 0-t kapunk.

Szóval ez bebizonyosodott homogén rendszer (3.32) A determinánssal.

nullával egyenlő, végtelen számú megoldása van. Ha különbözik a nullától

minor (3.27), akkor ezeket az oldatokat a (3.31) for

önkényesen vett t.

A kapott eredmény a következőképpen is megfogalmazható: homogén

A (3.32) rendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása

amikor a determinánsa nulla.

2.4. Heterogén rendszer három lineáris egyenlet hárommal

ismeretlenek nullával egyenlő determinánssal.

Most van egy apparátusunk az inhomogénnek tekintendő

rendszer (3.19) nullával egyenlő determinánssal. Ketten bemutatkozhatnak

eset: a) a determinánsok legalább egyike, vagy - nullától eltérő; b) mindhárom

determináns és egyenlők nullával.

Abban az esetben, ha a (3.23) egyenlőség legalább egyike lehetetlennek bizonyul,

azaz a (3.23) rendszernek nincsenek megoldásai, ezért az eredeti

rendszer (3.19) (ennek következménye a (3.23) rendszer).

Folytatjuk a b) esettel, amikor mind a négy determináns , ,

és egyenlők nullával. Kezdjük egy példával, amely ebben az esetben is ezt mutatja

lehet, hogy a rendszernek nincs egyetlen megoldása. Fontolja meg a rendszert:

Nyilvánvaló, hogy ennek a rendszernek nincsenek megoldásai. Sőt, ha

megoldás létezett, akkor az első két egyenletből kapnánk, és

innen, ha az első egyenlőséget megszorozzuk 2-vel, azt kapjuk, hogy 2 = 3.

nyilvánvaló, hogy mind a négy meghatározó , , és egyenlők nullával. Igazán,

rendszer meghatározó

három egyforma oszlopa van, determinánsok, és cseréjével kapjuk meg

ezen oszlopok egyike szabad kifejezésként szerepel, ezért kettővel is rendelkezik

azonos oszlopok. A 3. tulajdonság alapján ezek a determinánsok mindegyike egyenlő nullával.

Most bizonyítsuk be ha a (3.19) rendszer determinánsával egyenlő

nullának van legalább egy megoldása, akkor végtelen számú

különféle megoldások.

Tegyük fel, hogy meghatározott rendszer van megoldása. Majd

a személyazonosságok érvényesek

Ha a (3.34) azonosságokat tagonként kivonjuk a (3.19) egyenletekből, megkapjuk

egyenletrendszer

egyenértékű rendszer (3.19). De a (3.35) rendszer homogén

egy három lineáris egyenletrendszer három ismeretlenre, és azzal

determináns egyenlő nullával. szakasz szerint 2.3 a legújabb rendszer (és lett

be, és a (3.19) rendszernek végtelen számú megoldása van. Például be

abban az esetben, ha a moll (3.27) nem nulla, akkor a (3.31) képleteket használjuk.

a következő végtelen megoldáshalmazt kapjuk a (3.19) rendszerre:

(t bármilyen értéket felvehet).

Az elhangzott állítás bebizonyosodott, és megtehetjük

a következő következtetés: Ha= = = = 0, akkor az inhomogén egyenletrendszer

(3.19) vagy egyáltalán nincs megoldása, vagy végtelen sok van.

3. A tetszőleges sorrendű és lineáris determinánsok fogalma

rendszerek tetszőleges számú ismeretlennel A harmadik determináns kiterjesztésének általunk megállapított tulajdonság

a sorrend bármely (például az első) sor elemeiig lehet

alapját képezi a determináns indukciójával történő szekvenciális bevezetésnek

negyedik, ötödik és minden későbbi megrendelés.

Tegyük fel, hogy már bevezettük a sorrenddetermináns fogalmát

(n-1), és tekintsünk egy tetszőleges négyzetes mátrixot, amelyből áll

elemeket

Nevezzük a (3.36) mátrix bármely általunk már bevezetett elemének mollját

(n-1) rendű determináns, amely a (3.36) mátrixnak felel meg, ahonnan i-

Én egy húr vagyok és j. oszlop. Egyezzünk meg abban, hogy a mellékelemet szimbólummal jelöljük.

Például a mátrix (3.36) első sorának bármely elemének mollja

a következő sorrenddetermináns (n-1):

Nevezzük számnak a (3.36) mátrixnak megfelelő n rendű determinánst

egyenlő az összeggel

és a szimbólummal jelöljük

= Vegye figyelembe, hogy n = 3 esetén a (3.37) kiterjesztése egybeesik a kiterjesztéssel

(3.16) az első sorban lévő harmadrendű determináns.

Tekintsünk most egy n egyenletből álló inhomogén rendszert n ismeretlennel:

n rendű determináns, at együtthatókból áll

rendszer ismeretlenjei (3.39) és egybeesnek az egyenlőségből származó determinánssal

(3.38), a rendszer determinánsának nevezzük. Bármely j-re egyenlő 1, 2, ...,

n, szimbólummal jelöljük a determinánsból kapott n rendű determinánst

rendszert úgy, hogy a j-edik oszlopát egy szabad kifejezések oszlopára cseréli, ..., .

Teljes analógiában az n = 3 esettel kiderül, hogy

a következő eredmény: ha egy inhomogén rendszer determinánsa (3.39)

eltér a nullától, akkor ennek a rendszernek egyedi megoldása van,

Cramer-képletek határozzák meg:

legalább az egyik determináns, ... különbözik nullától, akkor a (3.39) rendszer nem

megoldásai vannak.

Amennyiben ha n > 2 és minden determináns, ... egyenlő nullával, akkor a rendszer

(3.39) szintén nem lehet megoldása, de ha van legalább egy

megoldást, akkor számtalan belőlük van.

4. Megoldás keresése lineáris rendszer Gauss módszer Tekintsük az inhomogén rendszert (3.39), amelyben most for

A jelölést lerövidítjük azáltal, hogy újradefiniáljuk a szabad kifejezéseket, a ..., használatukat

i = 1, 2 ..., n jelölése. Vázoljuk az egyik legegyszerűbb módszert

megoldásokat erre a rendszerre, amely abból áll következetes kirekesztés

ismeretlen és hívott Gauss módszer.

Az ismeretlenek együtthatói közül válasszunk egy ettől eltérő együtthatót

nullától, és nevezzük vezetőnek. Az általánosság elvesztése nélkül ezt feltételezzük

mi ez az együttható (különben megváltoztathatjuk a sorrendet

ismeretlenek és egyenletek követése).

Az első (3.39) egyenlet összes tagját elosztva kapjuk az első adott egyenletet

amelyben j = 1, 2, ..., (n+1) esetén.

Emlékezzünk erre, és különösen a .

Az ismeretlen kiküszöbölésére kivonjuk a (3.39) rendszer i-edik egyenletéből.

(i = 2, 3 ..., n)

megszorozzuk az adott (3.40) egyenlettel.

Ennek eredményeként bármely i = 2, 3, ..., n esetén megkapjuk az egyenletet

amelyben

ha j = 2, 3, ..., (n+1).

Így megkapjuk az első rövidített rendszert:

amelyek együtthatóit a (3.41) képletek határozzák meg.

A (3.42) rendszerben nullától eltérő vezető együtthatót találunk.

Legyen. Ezután az első (3.42) egyenletet elosztva ezzel

együttható, megkapjuk a második adott egyenletet, és kiiktatva c

ezt az egyenletet a fent leírt séma szerint felhasználva az ismeretlenhez jutunk el

a második rövidített rendszer, amely nem tartalmazza az i-t.

Az okfejtést e séma szerint folytatva ún egyenesen előre

Gauss módszer, akkor vagy a megvalósítást egy lineáris eléréssel fejezzük be

csak egy ismeretlent tartalmazó egyenletet, különben nem tudjuk kitölteni

megvalósítása (mivel az eredeti rendszer (3.39) nem rendelkezik

döntések). Ha az eredeti rendszernek (3.39) van megoldása, akkor azt kapjuk

adott egyenletek lánca

amelyből a Gauss-módszer inverzét alkalmazva egymás után azt találjuk

ismeretlen

Hangsúlyozzuk, hogy minden művelet a Gauss-módszer inverze alatt (1.43)

felosztás nélkül hajtják végre,

Példaként vegyünk egy három egyenletből álló inhomogén rendszert

három ismeretlennel

Természetesen ellenőrizhető, hogy a rendszer determinánsa (3.44)

különbözik a nullától, és keressük meg Cramer-képletekkel, de alkalmazzuk a módszert

A (3.44) rendszer első egyenletét elosztva 2-vel, megkapjuk az elsőt

adott egyenlet:

A (3.44) rendszer második egyenletéből kivonva az adott egyenletet

(3,45), megszorozva 3-mal, és kivonva a (3,44) rendszer harmadik egyenletéből

adott (3.45) egyenletet 4-gyel megszorozva rövidítve kapunk

két egyenletrendszer két ismeretlennel:

Az első egyenletet (3.46) elosztva a második adott egyenletet kapjuk

egyenlet:

A redukált (3.47) egyenlet kivonása a második (3.46) egyenletből,

8-cal megszorozva a következő egyenletet kapjuk:

amely redukció után = 3.

Ezt az értéket a második (3.47) egyenletbe behelyettesítve kapjuk

amely = -2. Végül a talált értékek = -2 és = 3 behelyettesítése az elsőbe

adott (3.45) egyenletből azt kapjuk, hogy = 1.

IRODALOM 1. Iljin V.A., Kurkina A.V. -" Felső matematika", M.: TK Welby, Prospekt kiadó,

Másodrendű determináns

és a szabály szerint számítják ki

Számok hívják a determináns elemei (az első index a sorszámot jelöli, a második pedig
annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában ez az elem áll); elemek alkotta átló
,
, hívott fő- , elemek
,

oldal .

Hasonlóan vezetjük be a harmadrendű determináns fogalmát is.

Harmadik rendű determináns az a szám, amelyet a szimbólum képvisel

és a szabály szerint számítják ki

Elemek által alkotott átló
,
,
, hívott fő- , elemek
,
,

oldal .

Emlékeztetni kell arra, hogy az egyenlőség (1) jobb oldalán lévő termékek közül melyik szerepel a " jellel
"és néhányan a "
", hasznos a következő "háromszögek szabálya":

Bevezetheti a 4., 5. stb. rendek determináns fogalmát.

Kisebb
egy determináns egy bizonyos elemének olyan determináns, amelyet egy adott elemből úgy alakítunk ki, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

Algebrai komplementer a determináns valamely elemének ennek az elemnek a mollja szorozva ezzel
, Hol
sorszám,
annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában ez az elem található:

.

A determinánsok tulajdonságai.

A determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait felcserélik.

A szóban forgó műveletet transzponálásnak nevezzük. 1. tulajdonság

megállapítja a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét.

1. feladat. Determinánsok kiszámítása:

1) 2)3)4).

2. feladat. Számítsa ki a determinánsokat az első oszlop elemeire bontva:

1)
2)

3. feladat. Lelet az egyenletekből:

1)
2)

1.2. Lineáris egyenletrendszerek megoldása determinánsok segítségével. Cramer-képletek

ÉN) Két lineáris inhomogén egyenletrendszer két ismeretlennel

Jelöljük

a rendszer fő meghatározója;

,
kisegítő minősítők.

a) Ha a rendszer meghatározója

,
. (1)

b) Ha a rendszer meghatározója
, akkor a következő esetek lehetségesek:

1)
(az egyenletek arányosak), akkor a rendszer csak egy egyenletet tartalmaz, pl.
és végtelen sok megoldása van (bizonytalan rendszer). Megoldásához az egyik változót egy másikkal kell kifejezni, amelynek értékét tetszőlegesen választjuk meg;

2) ha legalább az egyik meghatározó
nullától eltérő, akkor a rendszernek nincsenek megoldásai (inkonzisztens rendszer).

II) Két lineáris homogén egyenletrendszer három változóval

(2)

A lineáris egyenletet ún homogén , ha ennek az egyenletnek a szabad tagja nulla.

a) Ha
, akkor a (2) rendszer egy egyenletre redukálódik (például az elsőre), amelyből egy ismeretlen két másikon keresztül fejeződik ki, amelyek értékeit tetszőlegesen választják meg.

b) Ha az a feltétel
nem teljesül, akkor a (2) rendszer megoldásához mozgassunk egy változót jobbra, és oldjuk meg a két lineáris inhomogén egyenletrendszert a Cramer-képletekkel (1).

III) Három lineáris inhomogén egyenletrendszer három ismeretlennel:

Állítsuk össze és számítsuk ki a fő meghatározót és segédminősítők ,.

a) Ha
, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-képletekkel találunk meg:

,
,
(3)

b) Ha
, akkor a következő esetek lehetségesek:

1)
, akkor a rendszernek végtelen sok megoldása lesz, vagy egy vagy két egyenletből álló rendszerre redukálódik (egy ismeretlent jobbra mozgatunk, és két egyenletből álló rendszert két ismeretlennel oldunk meg);

2) legalább az egyik meghatározó
nullától eltérő, a rendszernek nincs megoldása.

IV) Három lineáris homogén egyenletrendszer három ismeretlennel:

Ez a rendszer mindig konzisztens, mert nulla megoldása van.

a) Ha a rendszer meghatározója
, akkor egyedi nulla megoldása van.

b) Ha
, akkor a rendszer vagy két egyenletre redukál (a harmadik a következménye), vagy egy egyenletre (a másik kettő a következménye), és végtelen sok megoldása van (lásd a II. bekezdést).

4. feladat. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Számítsuk ki a rendszer determinánsát

Mert
, akkor a rendszer egyedi megoldást kínál. Használjuk a Cramer-képleteket (3). Ehhez kiszámítjuk a segéddeterminánsokat:

,
,

,
,

5. feladat. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Számítsuk ki a rendszer determinánsát:

Következésképpen egy homogén egyenletrendszernek végtelenül sok nullától eltérő megoldása van. Megoldjuk az első két egyenlet rendszerét (a harmadik egyenlet ezek következménye):

Mozgassuk a változót V jobb oldalon egyenlőség:

Innen az (1) képletekkel megkapjuk

,
.

Önállóan megoldandó problémák

6. feladat. Oldja meg az egyenletrendszer determinánsaival:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)

Kezdőlap > Dokumentum

MÁTRIZOK, DETERMINÁNSOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

A MÁTRIX DEFINÍCIÓJA. A MÁTRIZOK TÍPUSAIM méretű mátrix× n készletnek nevezik m·nűrlapba rendezett számok téglalap alakú asztal-tól m vonalak és n oszlopok. Ez a táblázat általában zárójelben van. Például a mátrix így nézhet ki:

A rövidség kedvéért a mátrixot eggyel jelölhetjük nagybetű, Például A vagy IN.IN általános nézet mátrix mérete m× nírd meg így

.

A mátrixot alkotó számokat nevezzük mátrix elemek. A mátrixelemeket célszerű két indexszel ellátni a ij: Az első a sor számát, a második az oszlop számát jelöli. Például, a 23 – az elem a 2. sorban, a 3. oszlopban van, ha egy mátrixban a sorok száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrix ún. négyzet, és a sorok vagy oszlopok számát hívjuk meg sorrendben mátrixok. A fenti példákban a második mátrix négyzet alakú - sorrendje 3, a negyedik mátrix pedig 1. Egy olyan mátrixot, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, nevezzük. négyszögletes. A példákban ez az első és a harmadik mátrix. Vannak olyan mátrixok is, amelyeknek csak egy sora vagy egy oszlopa van mátrix - sor(vagy karakterlánc), és egy mátrix csak egy oszlopot mátrix - oszlop.Olyan mátrixot nevezünk, amelynek minden eleme nulla nullés (0) vagy egyszerűen 0 jelöli. Például,

.

Főátló négyzetmátrixnak a bal felső felől jobbra haladó átlót nevezzük alsó sarok.

Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelyben a főátló alatti összes elem nullával egyenlő háromszögű mátrix.

.

Egy négyzetmátrixot, amelyben minden elem, kivéve talán a főátlón lévőket, egyenlő nullával, az ún. átlós mátrix. Például, vagy. Átlós mátrix, amelyre minden átlós elem egyenlő eggyel, nevezzük egyetlen mátrixot és E betűvel jelöljük. Például a 3. rendű azonosságmátrix alakja .CSELEKVÉSEK A MÁTRIKUKONMátrix egyenlőség. Két mátrix AÉs B egyenlőnek mondjuk, ha azonos számú soruk és oszlopuk van, és a megfelelő elemeik egyenlőek a ij = b ij. Tehát ha És , Azt A=B, Ha a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 És a 22 = b 22 .Transzponálja. Mérlegeljük tetszőleges mátrix A-tól m vonalak és n oszlopok. A következő mátrixhoz társítható B-tól n vonalak és m oszlopok, amelyekben minden sor egy mátrixoszlop A ugyanazzal a számmal (tehát minden oszlop a mátrix egy sora A ugyanazzal a számmal). Tehát ha , Azt .Ez a mátrix B hívott átültetve mátrix A, és az átmenetet A To B átültetésÍgy a transzpozíció a mátrix sorai és oszlopai szerepének megváltozása. Mátrix transzponált mátrixba A, általában jelölve A T.Matrix közötti kapcsolat A transzponálása pedig a formába írható. Például. Keresse meg az adott transzponált mátrixát! Mátrix összeadás. Hagyjuk a mátrixokat AÉs Báll ugyanaz a szám sorok és ugyanannyi oszlop, azaz. van azonos méretek. Majd mátrixok hozzáadásához AÉs B mátrixelemekhez szükséges A mátrixelemek hozzáadása B ugyanazokon a helyeken állva. Így két mátrix összege AÉs B mátrixnak nevezzük C, amelyet a szabály határoz meg, pl.

Példák. Keresse meg a mátrixok összegét: Könnyen ellenőrizhető, hogy a mátrixösszeadás megfelel-e a következő törvényeknek: kommutatív A+B=B+Aés asszociatív ( A+B)+C=A+(B+C).Egy mátrix szorzása egy számmal. Egy mátrix szorzásához A számonként k a mátrix minden elemére szükség van A szorozzuk meg ezzel a számmal. Így a mátrixszorzat A számonként k Van új mátrix, amelyet a szabály határoz meg vagy .Bármilyen számhoz aÉs bés mátrixok AÉs B a következő egyenlőségek érvényesek: Példák. . Mátrix C nem található, mert mátrixok AÉs B különböző méretűek. Mátrixszorzás. Ezt a műveletet egy sajátos törvény szerint hajtják végre. Először is megjegyezzük, hogy a faktormátrixok méretének konzisztensnek kell lennie. Csak azokat a mátrixokat szorozhatja meg, amelyekben az első mátrix oszlopainak száma egybeesik a második mátrix sorainak számával (azaz az első sor hossza megegyezik a második oszlop magasságával). A munka mátrixok A nem mátrix Búj mátrixnak nevezik C=AB, amelynek elemei a következőkből állnak:

Így például a termék megszerzéséhez (azaz a mátrixban C) elem, amely az 1. sorban és a 3. oszlopban található c 13 , akkor az 1. mátrixban az 1. sort, a 2. oszlopban a 3. oszlopot kell venni, majd a sorelemeket meg kell szorozni a megfelelő oszlopelemekkel, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A szorzatmátrix többi elemét pedig az első mátrix sorainak és a második mátrix oszlopainak hasonló szorzatával kapjuk meg. általános eset, ha a mátrixot megszorozzuk A = (a ij ) méret m× n a mátrixhoz B = (b ij ) méret n× p, akkor megkapjuk a mátrixot C méret m× p, melynek elemeit a következőképpen számítjuk ki: elem c ij elemek szorzata eredményeként kapjuk meg én mátrix sora A a megfelelő elemekhez j mátrixoszlop Bés összeadásaik Ebből a szabályból az következik, hogy mindig meg lehet szorozni két azonos sorrendű négyzetmátrixot, így egy azonos sorrendű négyzetmátrixot kapunk. Különösen egy négyzetes mátrix mindig szorozható önmagával, azaz. négyzet Egy másik fontos eset egy sormátrix szorzása egy oszlopmátrixszal, és az első szélességének meg kell egyeznie a második magasságával, ami elsőrendű mátrixot (azaz egy elemet) eredményez. Igazán,

.

Példák. Keressen elemeket c 12 , c 23 És c 21 mátrixok C.

Keresse meg a mátrixok szorzatát.

.
Lelet ABÉs VA. Lelet ABÉs VA. , B·A- nincs értelme tehát ezeknek egyszerű példák mutassák meg, hogy a mátrixok általánosságban véve nem ingáznak egymással, pl. A∙B ≠ B∙A . Ezért a mátrixok szorzásakor gondosan figyelni kell a tényezők sorrendjét. Ellenőrizheti, hogy a mátrixok szorzása megfelel-e az asszociatív és eloszlási törvényeknek, pl. (AB)C=A(BC)És (A+B)C=AC+BC.Négyzetes mátrix szorzásakor is könnyen ellenőrizhető A-on identitásmátrix E ugyanilyen sorrendben ismét egy mátrixot kapunk A, és AE=EA=A A következő érdekes tényt lehet megjegyezni. Mint tudod, 2 nem nulla szám szorzata nem egyenlő 0-val. Mátrixoknál ez nem biztos, hogy így van, azaz. 2 nem szorzata nulla mátrixok egyenlőnek bizonyulhat a nulla mátrixszal. Például, Ha , Azt

.

A DETERMINÁNSOK FOGALMA Legyen adott egy másodrendű mátrix - egy négyzetes mátrix, amely két sorból és két oszlopból áll. Másodrendű determináns egy adott mátrixnak megfelelő szám a következőképpen kapott szám: a 11 a 22 -a 12 a 21 .A determinánst a szimbólum jelzi Tehát a másodrendű determináns megtalálásához ki kell vonni a második átló mentén lévő elemek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából. Példák. Számítsa ki a másodrendű determinánsokat!

Hasonlóképpen tekinthetünk egy harmadrendű mátrixot és a hozzá tartozó determinánst. Harmadik rendű determináns, amely egy adott harmadrendű négyzetmátrixnak felel meg, a következőképpen jelölt és kapott szám:

.

Így ez a képlet megadja a harmadrendű determináns kiterjesztését az első sor elemeire nézve a 11 , a 12 , a 13 és a harmadrendű determináns számítását a másodrendű determinánsok kiszámítására redukálja. Példák. Számítsa ki a harmadrendű determinánst!
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Hasonlóképpen bevezetheti a determinánsok fogalmát a negyedik, ötödik stb. sorrendben, az 1. sor elemeire bővítve a sorrendjüket, miközben a kifejezések „+” és „–” jelei váltakoznak bizonyos módon megfeleltetésbe kerül a mátrixszal.

A MEGHATÁROZÓ SZEREK TULAJDONSÁGAI

Bizonyíték igazolással történik, azaz. az írott egyenlőség mindkét oldalának összehasonlításával. Számítsuk ki a determinánsokat a bal és a jobb oldalon:

2 sor vagy oszlop átrendezésekor a determináns előjelet vált az ellenkezőjére, fenntartva abszolút érték, azaz pl.

Bizonyíték az 1. tulajdonság bizonyításához hasonlóan mindkét rész összehasonlításával történik. Végezzük el egy másodrendű meghatározónak.

A harmadrendű determináns esetében ellenőrizze saját maga. Valóban, ha itt átrendezzük a 2. és 3. sort, akkor a 2. tulajdonság alapján ennek a determinánsnak előjelet kell váltania, de maga a determináns ebben az esetben nem változik, i.e. kapunk | A| = –|A| vagy | A| = 0. Bizonyíték igazolással történik, mint az 1. tulajdonság. (Önállóan)

Ha egy determináns bármely sorának vagy oszlopának minden eleme nulla, akkor maga a determináns nulla. (Bizonyítás – igazolással). Ha egy determináns bármely sorának vagy oszlopának minden eleme 2 tag összegeként jelenik meg, akkor a determináns 2 determináns összegeként ábrázolható a képlet segítségével, például:

.

Bizonyíték- ellenőrzés, hasonlóan az 1. tulajdonsághoz.

Ha a determináns bármely sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal, akkor a determináns nem változtatja meg az értékét. Például,

. Bizonyítsuk be ezt az egyenlőséget a determináns előző tulajdonságaival.
A determinánsok ezen tulajdonságait meglehetősen gyakran használják a determinánsok kiszámításakor és különféle problémák esetén. ALGEBRAI KIEGÉSZÍTŐK ÉS MINOROK Legyen egy harmadrendű determinánsunk: .Kisebb, megfelelő ezt az elemet a ij harmadrendű determinánsnak nevezzük azt a másodrendű determinánst, amelyet egy adottból úgy kapunk, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az adott elem áll, azaz. én-edik sor és j oszlop. Adott elemnek megfelelő minorok a ij jelölni fogjuk M ij .Például, kisebb M 12 , az elemnek megfelelő a 12 , lesz meghatározó , amelyet az 1. sor és a 2. oszlop törlésével kapunk az adott determinánsból. Így a harmadrendű determinánst definiáló formula azt mutatja, hogy ez a determináns egyenlő az 1. sor elemeinek és a hozzájuk tartozó mellékelemek szorzatának összegével. ; ebben az esetben az elemnek megfelelő moll a 12 , „–” jellel veszik, azaz. ezt írhatjuk Hasonlóképpen bevezethetjük a kiskorúak definícióit a másodrendű és magasabb rendű determinánsokra. Vezessünk be még egy fogalmat. Algebrai komplementer elem a ij a determinánst minornak nevezzük M ij, szorozva (–1) i+j .Elem algebrai komplementere a ijáltal jelölve A ij.A definícióból azt találjuk, hogy egy elem algebrai komplementere és mollja közötti kapcsolatot az egyenlőség fejezi ki A ij= (–1) i+j M ij . Például, Példa. Egy determináns adott. Lelet A 13 , A 21 , A 32 .

Könnyen belátható, hogy az (1) képletet a következő alakban írhatjuk fel: Ehhez a képlethez hasonlóan megkaphatjuk a determináns kiterjesztését bármely sor vagy oszlop elemeire a determináns kiterjesztése a 2. sor elemeire a következőképpen érhető el. A determináns 2. tulajdonsága szerint a következőkkel rendelkezünk: A kapott determinánst bontsuk ki az 1. sor elemeire.

.

Innen mert A (2) képlet másodrendű determinánsai az elemek minorjai a 21 , a 22 , a 23 . Így, i.e. megkaptuk a determináns kiterjesztését a 2. sor elemeire Hasonlóan megkaphatjuk a determináns kiterjesztését a harmadik sor elemeire. A determinánsok 1. tulajdonságát felhasználva (a transzpozícióról) megmutathatjuk, hogy a hasonló kiterjesztések az oszlopok elemeivel történő bővítéskor is érvényesek. Így a következő tétel érvényes. Tétel (egy determináns adott sorra vagy oszlopra való kiterjesztéséről). A determináns egyenlő bármely sora (vagy oszlopa) elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával. A fentiek mindegyike igaz bármely magasabb rendű determinánsra is. Példák.

Számítsa ki a determinánst a tulajdonságainak felhasználásával! Mielőtt a determinánst kibővítenénk bármely sor elemeire, és harmadrendű determinánsokra redukálnánk, a 7-es tulajdonság segítségével átalakítjuk, így egy sor vagy oszlop minden eleme egy kivételével, egyenlő nullával. Ebben az esetben célszerű figyelembe venni a 4. oszlopot vagy a 4. sort:

INVERZ MÁTRIX

Koncepció inverz mátrix csak azért lépett be négyzetes mátrixok .Ha A akkor négyzetmátrix fordított számára a mátrix egy mátrix, jelölve A -1 és a feltétel kielégítése. (Ezt a meghatározást a számok szorzásával analóg módon vezetjük be) A következő tétel érvényes: Tétel. Négyzetmátrix érdekében A inverze volt, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Bizonyíték:

Szükség. Engedjük meg a mátrixot A van egy inverz mátrix A -1 . Mutassuk meg, hogy | A| ≠ 0.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a determinánsok következő tulajdonságát tudjuk bizonyítani. Tegyük fel, hogy | A| = 0. Akkor . De másrészt . Az ebből eredő ellentmondás bizonyítja, hogy | A| ≠ 0. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben az inverz mátrix lesz a mátrix , Hol A ij elem algebrai komplementere a ij. Keressük AB=C. Vegye figyelembe, hogy a mátrix összes átlós eleme C egyenlő lesz 1-gyel. Valóban, pl.

Hasonlóképpen, a determináns karakterlánc elemeire való kiterjesztésének tételével bebizonyítható, hogy c 22 =c 33 = 1. Ezenkívül a mátrix összes nem átlós eleme C egyenlők nullával. Például,
Ezért, AB=E. Hasonlóképpen kimutatható, hogy BA=E. azért B=A -1 .A tétel tehát tartalmaz egy módszert az inverz mátrix megtalálására

,

Ahol A ij- elemek algebrai összeadása a ij adott mátrix A Tehát a szükséges inverz mátrix megtalálásához: Hasonlóan másodrendű mátrixokhoz, az inverz a következő mátrix lesz .Példák. |A| = 2. Keresse meg a mátrixelemek algebrai komplementereit! A. Vizsgálat: . Hasonlóképpen A∙A -1 = E. . Számoljunk | A| = 4. Akkor . .

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

Ahol a ijÉs b én (én=1,…,m; b=1,…,n) - néhány ismert számok, A x 1 ,…,x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij első index én jelöli az egyenlet számát, és a második j– az ismeretlenek száma, amelynél ez az együttható áll. Az ismeretlenek együtthatóit felírjuk egy mátrixba, amelyet meg fogunk hívni a rendszer mátrixa.Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívják ingyenes tagok. Totalitás n számok c 1 ,…,c n hívott döntés egy adott rendszerre, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1 ,…,x n.A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet adódhat: Olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek legalább egy megoldása van, ún. közös. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún nem ízületi Nézzük meg, hogyan lehet megoldást találni a rendszerre. MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszermátrixot és mátrixok oszlopai ismeretlen és szabad kifejezések Keressük a munkát

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer a formába írható vagy rövidebb A∙X=B.Itt vannak a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix X ismeretlen. Meg kell találni, mert... elemei jelentik a megoldást erre a rendszerre. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.A mátrix determinánsa nullától eltérő | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A -1 , a mátrix inverze A: . Mivel A -1 A=EÉs E∙X = X, akkor megkapjuk a megoldást mátrix egyenlet formában X = A -1 B Figyeljük meg, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixoknál található, akkor mátrix módszer csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos rögzítése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem lesz négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.Példák. Egyenletrendszerek megoldása. Keressük meg a mátrix inverzét A. , Így, x = 3, y = – 1.
Így, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Adjuk meg a szükséges mátrixot X-tól adott egyenlet. Keressük a mátrixot A -1 . Vizsgálat: A kapott egyenletből . Ezért, CRAMER SZABÁLYA Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszermátrixnak megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott a rendszer meghatározója.Készítsünk még három determinánst a következőképpen: cseréljük ki egymás után a D determináns 1, 2 és 3 oszlopát egy szabad tagok oszlopára.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani. Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem a 11 , 2. egyenlet – be A 21 és 3. – on A 31 :

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Nézzük meg ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. Az 1. oszlop elemeiben a determináns kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és Végül könnyen észrevehető Így megkapjuk az egyenlőséget: .Így, .Hasonlóan származnak a és egyenlőségek, amiből a tétel állítása következik. Így megjegyezzük, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, ill. viszont. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen. Példák. Egyenletrendszer megoldása
Így, X=1, at=2, z=3. A rendszernek egyedi megoldása van, ha Δ ≠ 0. . ezért . GAUSS MÓDSZER A korábban tárgyalt módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez abból áll, hogy a rendszer egyenleteiből szekvenciálisan elimináljuk az ismeretleneket három egyenlet három ismeretlennel:

.

Mennyibe kerül a dolgozat megírása?

Válassza ki a munka típusát Tézis(Bachelor/Specialista) A szakdolgozat része Mesterdiploma Tanfolyam gyakorlattal Árfolyamelmélet Absztrakt esszé Teszt Feladatok Minősítési munka(VAR/VKR) Üzleti terv Kérdések a vizsgához MBA diplomamunka (főiskola/műszaki iskola) Egyéb esetek Laboratóriumi munka, RGR Online súgó Gyakorlati jelentés Információk keresése PowerPoint prezentáció Absztrakt érettségihez Kísérő anyagok a diplomához Cikk Teszt Rajzok tovább »

Köszönjük, e-mailt küldtünk Önnek. Ellenőrizze az e-mailjét.

Szeretnél egy promóciós kódot 15% kedvezménnyel?

SMS fogadása
promóciós kóddal

Sikeresen!

?Adja meg a promóciós kódot a menedzserrel folytatott beszélgetés során.
A promóciós kód egyszer használható fel az első rendelésnél.
A promóciós kód típusa - " tézis".

AZ RCB VÉDELEM KATONAI EGYETEME KOSTROMA ÁG

Csapatirányítás Automatizálási Tanszék

Csak tanároknak

"jóváhagyom"

9. számú osztályvezető

YAKOVLEV A.B. ezredes

"____"__________________ 2004

egyetemi docens A.I. SMIRNOVA

"MINŐSÍTŐK.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA"

ELŐADÁS 2/1

9. számú szakosztályi ülésen tárgyalt

"________"___________ 2004

____________ számú jegyzőkönyv

Kostroma, 2004.

Bevezetés

Másod- és harmadrend meghatározói.

A determinánsok tulajdonságai.

Dekompozíciós tétel.

Cramer tétele.

Következtetés

Irodalom V.E. Schneider et al.

Rövid tanfolyam

Felsőmatematika, I. kötet, Ch.

Az előadás a másod- és harmadrend meghatározóit, tulajdonságait tárgyalja. És Cramer tétele is, amely lehetővé teszi lineáris egyenletrendszerek determinánsok segítségével történő megoldását. A determinánsokat később a „Vektoralgebra” témakörben is használjuk a vektorok vektorszorzatának kiszámításakor.

1. tanulmányi kérdés A MÁSODIK ÉS A HARMADIK MEGHATÁROZÓI

RENDELÉS

Tekintsünk egy táblázatot az űrlap négy számából

A táblázatban szereplő számokat két indexű betű jelzi. Az első index a sorszámot, a második az oszlop számát jelöli.

MEGHATÁROZÁS 1. Másodrendű determináns ilyen kifejezésnek nevezik:

(1)

Az a11, ..., a22 számokat a determináns elemeinek nevezzük.

a11 elemek által alkotott átló; az a22-t főnek nevezzük, az a12 elemei által alkotott átlót; a21 - oldal.

Így a másodrendű determináns egyenlő a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatának különbségével.

Vegye figyelembe, hogy a válasz egy szám.

PÉLDÁK.

Számítsa ki:

Most nézzünk meg egy kilenc számból álló táblázatot, három sorban és három oszlopban:Harmadik rendű determináns 2. MEGHATÁROZÁS.

a forma kifejezésének nevezzük:

Elemek a11; a22; a33 – alkotja a főátlót.

Számok a13; a22; a31 – oldalátlót alkotnak.

" + " " – "

Vizsgáljuk meg sematikusan a plusz és mínusz tagok képződését:

A plusz a következőket tartalmazza: a főátlón lévő elemek szorzata, a maradék két tag a főátlóval párhuzamos alapokkal rendelkező háromszög csúcsaiban elhelyezkedő elemek szorzata.

A mínusz tagokat ugyanazon séma szerint képezzük a másodlagos átlóhoz képest.

Ezt a harmadrendű determináns kiszámításának szabályát nevezzük

Szabály T reugolnikov.

PÉLDÁK.

Számítsa ki a háromszög szabály segítségével: MEGJEGYZÉS. A determinánsokat determinánsoknak is nevezik.

2. tanulmányi kérdés

DETERMINÁNSOK TULAJDONSÁGAI.

.

KITERJESZTÉSI TÉTEL

Tulajdonság 1. A determináns értéke nem változik, ha sorait felcseréljük a megfelelő oszlopokkal.

Mindkét determináns feltárásával meggyőződünk az egyenlőség érvényességéről.

.

Az 1. tulajdonság megállapítja a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét. Ezért a determináns minden további tulajdonságát sorokra és oszlopokra egyaránt megfogalmazzuk.

.

Tulajdonság 2. Ha két sort (vagy oszlopot) átrendezünk, a determináns az ellentétes előjelét változtatja meg, megtartva abszolút értékét.

Ez a tulajdonság közvetlen ellenőrzéssel igazolható, vagy használhatja a 2-es tulajdonságot.

Jelöljük a determinánst D-vel. Két azonos első és második sor átrendezésekor az nem változik, de a második tulajdonság szerint előjelet kell váltania, azaz.

D = - D Yu 2 D = 0 Yu D = 0.

5. tulajdonság. Ha egy sor (vagy oszlop) minden eleme nulla, akkor a determináns nulla.

Ez a tulajdonság a 3. tulajdonság speciális esetének tekinthető, amikor

6. tulajdonság. Ha egy determináns két sorának (vagy oszlopának) elemei arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

.

Igazolható közvetlen ellenőrzéssel vagy a 3. és 4. tulajdonság felhasználásával.

7. tulajdonság. A determináns értéke nem változik, ha bármely sor (vagy oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit ugyanazzal a számmal megszorozva.

.

Közvetlen ellenőrzéssel igazolva.

Ezen tulajdonságok használata bizonyos esetekben megkönnyítheti a determinánsok kiszámításának folyamatát, különösen a harmadrendűek esetében.

A következőkhöz szükségünk lesz a moll és az algebrai komplement fogalmára. Tekintsük ezeket a fogalmakat a harmadik rend meghatározásához.

3. MEGHATÁROZÁS.Kisebb Egy harmadrendű determináns adott elemének másodrendű determinánsának nevezzük, amelyet egy adott elemből úgy kapunk, hogy áthúzzuk azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az adott elem áll.

Az ai j mellékelemet Mi j-nek jelöljük. Tehát az a11 minor elemhez

Ezt úgy kapjuk meg, hogy a harmadrendű determináns első sorát és első oszlopát áthúzzuk.

4. MEGHATÁROZÁS.A determináns elemének algebrai komplementere minornak szorozva (-1)k-vel, ahol k azon sor- és oszlopszámok összege, amelyek metszéspontjában ez az elem áll.

Az ai j elem algebrai komplementerét Ai j-vel jelöljük.

Így Аi j = .

Írjuk fel az a11 és a12 elemek algebrai összeadásait.

.

Hasznos megjegyezni a szabályt: egy determináns elemének algebrai komplementere egyenlő a molljával pluszjellel, ha annak a sornak és oszlopnak az összege, amelyben az elem található, páros, és mínuszjellel, ha ez az összeg páratlan.

PÉLDA. Keresse meg a determináns első sorának elemeire a mollokat és az algebrai kiegészítéseket:

Nyilvánvaló, hogy a mollok és az algebrai kiegészítések csak előjelben különbözhetnek egymástól.

Tekintsünk bizonyítás nélkül egy fontos tételt – a determináns dekompozíciós tételét.

KITERJESZTÉSI TÉTEL

A determináns egyenlő bármely sor vagy oszlop elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével.

Ezzel a tétellel az első sorba írjuk a harmadrendű determináns kiterjesztését.

.

Bővített formában:

.

Az utolsó képlet használható főként a harmadrendű determináns kiszámításakor.

A kiterjesztési tétel lehetővé teszi, hogy a harmadrendű determináns számítását három másodrendű determináns számítására redukáljuk.

A dekompozíciós tétel egy második módszert biztosít a harmadrendű determinánsok kiszámítására.

PÉLDÁK.

Számítsa ki a determinánst a kiterjesztési tétel segítségével!

bővítményeket használt a második sor mentén.

A kiterjesztési tétel lehetővé teszi a magasabb rendű determinánsok kiszámítását is, redukálva azokat több harmad- vagy másodrendű determináns kiszámítására.

Így a negyedrendű determináns négy harmadrendű determináns számítására redukálható. 3. tanulmányi kérdés

CRAMER TÉTEL

Alkalmazzuk a determinánsok vizsgált elméletét lineáris egyenletrendszerek megoldására.

(3)

Két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel.

Itt x1, x2 ismeretlenek;

a11, ..., a22 – az ismeretlenek együtthatói, két indexszel számozva, ahol az első index az egyenlet számát, a második index pedig az ismeretlen számát jelenti.

b1, b2 szabad kifejezések.

Emlékezzünk vissza, hogy a (3) rendszer megoldása x1, x2 értékpárként értendő, amely mindkét egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséggé alakítja azokat.

Abban az esetben, ha egy rendszernek egyedi megoldása van, ezt a megoldást másodrendű determinánsok segítségével találhatjuk meg. DEFINÍCIÓ 5 . Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst nevezzük

a rendszer meghatározója.

Jelöljük a rendszer determinánsát D-vel.

A D determináns oszlopai az x1 és x2 együtthatóit tartalmazzák.

Vezessünk be két további determinánst, amelyeket a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy az egyik oszlopot egy szabad tagok oszlopára cseréljük:

Tekintsük a következő tételt bizonyítás nélkül: CRAMER TÉTEL

(n = 2 esetre)

(4)

Ha a (3) rendszer D determinánsa különbözik nullától (D No. 0), akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a következő képletek szerint találunk:

A (4) képleteket Cramer-képleteknek nevezzük.

PÉLDA. Oldja meg a rendszert a Cramer-szabály segítségével.

Válasz: x1 = 3; x2 = -1

(5)

2. Három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel:

Egyedi megoldás esetén az (5) rendszer harmadrendű determinánsok segítségével oldható meg.

A D rendszer determinánsának alakja:

Mutassunk be három további meghatározót:

A tétel hasonlóan fogalmazódik meg.

Ha az (5) rendszer D determinánsa különbözik nullától, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a következő képletek szerint találunk:

A (6) képletek Cramer-képletek.

MEGJEGYZÉS. G. Cramer (1704 – 1752) – svájci matematikus.

Vegyük észre, hogy a Cramer-tétel akkor alkalmazható, ha az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, és ha a D rendszer determinánsa nem nulla.

Ha egy rendszer determinánsa nulla, akkor ebben az esetben a rendszernek vagy nem lehet megoldása, vagy lehet végtelen számú megoldása. Ezeket az eseteket külön tanulmányozzuk, és az ajánlott irodalomban részletesen megtalálhatók.

Csak egy esetet jegyezzünk meg:

Ha a rendszer determinánsa nulla (D = 0), és a további determinánsok közül legalább egy különbözik nullától, akkor a rendszernek nincs megoldása (azaz inkonzisztens).

Cramer tétele általánosítható n lineáris egyenletrendszerre, n ismeretlennel.

Ha , akkor a rendszer egyetlen megoldása a szerint található

Cramer-képletek:

Kiegészítő minősítő a D determinánsból kapjuk, ha az ismeretlenre vonatkozó együtthatók oszlopát tartalmazza

xi helyébe a szabad tagok oszlopa lép.

Figyeljük meg, hogy a D, D1, …, Dn determinánsok n-es rendűek.

KÖVETKEZTETÉS

Az előadás egy új fogalmat - determinánst - vizsgált meg, és részletesen tárgyalta a gyakorlatban gyakran előforduló másod- és harmadrendű determinánsokat. A harmadrendű determinánshoz két számítási módszert adunk meg. Cramer tételét tekintjük, amely gyakorlati módot ad a lineáris egyenletrendszerek megoldására arra az esetre, ha a megoldás egyedi. Erről a témáról többet megtudhat az ajánlott irodalomból.

Hasonló absztraktok:

Mátrix és vektor szorzatának szabályai, a mátrix és a determináns inverzének megtalálása. Elemi átalakulások mátrixok: szorzás számmal, sorok összeadása, permutációja és törlése, transzponálás. Egyenletrendszer megoldása Gauss módszerrel.

Ez az absztrakt a másod- és harmadrendű determinánsokat vizsgálja, és példákat mutat be az egyenletrendszerek determináns módszerrel történő megoldására.

Meghatározás algebrai komplementer meghatározó elem, mátrix, mérete és típusai. Inhomogén lineáris rendszer algebrai egyenletek. Egyenletrendszer megoldása Cramer módszerével. Skalár és vektor mennyiségek, példáik, vektorbontás.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete