Az online tesztelés közös nevezőhöz vezet. "A törtek redukálása közös nevezőre" (5. osztály)

Törtek redukálása közös nevezőre

Az I. törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. Azt mondják, van közös nevező 25. Törtek és van különböző nevezők, de rávezethetők közös nevező törtek alaptulajdonságát felhasználva. Ezért keressük meg a számot, ami osztható 8-mal és 3-mal, például 24. Hozzuk a törteket a 24 nevezőre, ehhez megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét további szorzó 3. A kiegészítő tényezőt általában balra írják a számláló fölé:

Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét további 8-as tényezővel:

Hozzuk a törteket közös nevezőre. Leggyakrabban a törteket a legkisebb közös nevezőre redukálják, amely az adott törtek nevezőinek legkisebb közös többszöröse. Mivel LCM (8, 12) = 24, ezért a törtek 24-es nevezőre redukálhatók. további szorzók törtek: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Akkor

Több tört közös nevezőre redukálható.

Példa. Hozzuk a törteket közös nevezőre. Mivel 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, akkor LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Keressük meg a törtek további tényezőit, és hozzuk őket a 150-es nevezőre:

A törtek összehasonlítása

ábrán. A 4.7 egy 1 hosszúságú AB szakaszt mutat, amely 7-re van felosztva egyenlő részek. Az AC szegmensnek hossza , az AD szegmensnek pedig a hossza .

Az AD szakasz hossza nagyobb, mint az AC szakasz hossza, azaz a tört nagyobb, mint a tört

Két közös nevezővel rendelkező tört közül a nagyobb számlálóval rendelkező nagyobb, azaz.

Például, ill

Bármely két tört összehasonlításához csökkentse azokat egy közös nevezőre, majd alkalmazza a közös nevezővel rendelkező törtek összehasonlítására vonatkozó szabályt.

Példa. Hasonlítsa össze a törteket

Megoldás. LCM (8, 14) = 56. Akkor Mivel 21 > 20, akkor

Ha az első tört kisebb, mint a második, és a második kisebb, mint a harmadik, akkor az első kisebb, mint a harmadik.

Bizonyíték. Legyen három tört adott. Hozzuk őket közös nevezőre. Hadd nézzenek ki, mivel az első tört kisebb

második, majd r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

A tört úgynevezett helyes, ha a számlálója kisebb, mint a nevezője.

A tört úgynevezett rossz, ha a számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.

Például a törtek helyesek, a törtek pedig nem megfelelőek.

A megfelelő tört kisebb, mint 1, és helytelen tört nagyobb vagy egyenlő, mint 1.

Eredetileg a törtek összeadása és kivonása részbe szerettem volna belefoglalni a közös nevező technikákat. De nagyon sok információ volt, és a jelentősége olyan nagy volt (végül is nem csak numerikus törtek), hogy jobb ezt a kérdést külön tanulmányozni.

Tehát tegyük fel, hogy van két törtünk különböző nevezőkkel. És biztosítani szeretnénk, hogy a nevezők azonosak legyenek. A tört alapvető tulajdonsága segít, ami, hadd emlékeztessem önöket, így hangzik:

Egy tört nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét nullától eltérő számmal szorozzuk meg.

Így, ha helyesen választja meg a tényezőket, a törtek nevezői egyenlővé válnak - ezt a folyamatot közös nevezőre való redukciónak nevezik. A szükséges számokat pedig, „kiegyenlítve” a nevezőket, további tényezőknek nevezzük.

Miért kell a törteket közös nevezőre redukálni? Íme néhány ok:

1. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása. Nincs más módja ennek a műveletnek a végrehajtására;
2. A törtek összehasonlítása. Néha a közös nevezőre való redukálás nagyban leegyszerűsíti ezt a feladatot;
3. Tört- és százalékos feladatok megoldása. Százalékok valójában közönséges kifejezések, amelyek törteket tartalmaznak.

Sokféleképpen lehet olyan számokat találni, amelyeket ha megszorozunk velük, akkor a törtek nevezője egyenlő lesz. Ezek közül csak hármat fogunk figyelembe venni - a növekvő összetettség és bizonyos értelemben a hatékonyság érdekében.

Keresztező szorzás

A legegyszerűbb és legmegbízhatóbb módszer, amely garantáltan kiegyenlíti a nevezőket. „Folyamatosan” fogunk cselekedni: az első törtet megszorozzuk a második tört nevezőjével, a másodikat pedig az első tört nevezőjével. Ennek eredményeként mindkét tört nevezője azzá válik egyenlő a termékkel eredeti nevezők. Nézd meg:

További tényezőként vegyük figyelembe a szomszédos törtek nevezőit. Kapunk:

Igen, ez ilyen egyszerű. Ha csak most kezdi a törtek tanulmányozását, jobb, ha ezzel a módszerrel dolgozik - így sok tévedés ellen biztosíthatja magát, és garantáltan megkapja az eredményt.

Az egyetlen hátránya ez a módszer- sokat kell számolni, mert a nevezők „végig” szorozódnak, és az eredmény nagyon lehet nagy számok. Ez az ár a megbízhatóságért.

Közös osztó módszer

Ez a technika segít jelentősen csökkenteni a számításokat, de sajnos meglehetősen ritkán használják. A módszer a következő:

1. Mielőtt egyenesen továbbmenne (azaz a keresztmetszeti módszerrel), vessen egy pillantást a nevezőkre. Talán az egyik (a nagyobb) fel van osztva a másikra.
2. Az ebből az osztásból kapott szám egy további tényező a kisebb nevezőjű törtnél.
3. Ebben az esetben a nagy nevezőjű törtet egyáltalán nem kell szorozni semmivel – itt rejlik a megtakarítás. Ugyanakkor a hiba valószínűsége jelentősen csökken.

Feladat. Keresse meg a kifejezések jelentését:

Vegye figyelembe, hogy 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Mivel mindkét esetben az egyik nevező maradék nélkül osztható a másikkal, a módszert alkalmazzuk közös tényezők. Nekünk van:

Megjegyzendő, hogy a második törtet egyáltalán nem szorozták meg semmivel. Valójában felére csökkentjük a számítási mennyiséget!

Egyébként ebben a példában nem véletlenül vettem a törteket. Ha érdekli, próbálja meg számolni őket a keresztezés módszerével. A csökkentés után ugyanazok lesznek a válaszok, de sokkal több lesz a munka.

Ez a közös osztók módszerének hatványa, de ismét csak akkor használható, ha az egyik nevezőt maradék nélkül elosztja a másik. Ami elég ritkán fordul elő.

A legkevésbé gyakori többszörös módszer

Amikor a törteket közös nevezőre redukáljuk, akkor lényegében egy olyan számot próbálunk találni, amely osztható minden nevezővel. Ekkor ehhez a számhoz hozzuk mindkét tört nevezőjét.

Nagyon sok ilyen szám van, és a legkisebb nem feltétlenül egyenlő közvetlen termék az eredeti törtek nevezői, amint azt a keresztezési módszer feltételezi.

Például a 8-as és a 12-es nevezőknél a 24-es szám megfelelő, mivel a 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Ez a szám sok kevesebb termék 8 12 = 96.

Az egyes nevezőkkel osztható legkisebb számot legkisebb közös többszörösüknek (LCM) nevezzük.

Jelölés: A és b legkisebb közös többszörösét LCM(a ; b) jelöli. Például LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12)=24.

Ha sikerül ilyen számot találni, a számítások teljes mennyisége minimális lesz. Nézd meg a példákat:

Feladat. Keresse meg a kifejezések jelentését:

Vegye figyelembe, hogy 234 = 117 2; 351 = 117 3. A 2-es és a 3-as faktor másodlagos (nincs más közös tényezője, mint az 1), és a 117-es faktor közös. Ezért LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Hasonlóképpen 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. A 3-as és 4-es faktor koprím, az 5-ös faktor gyakori. Ezért LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Most hozzuk a törteket közös nevezőkre:

Figyelje meg, mennyire hasznos volt az eredeti nevezők faktorizálása:

1. Azonos tényezőket felfedezve azonnal elérkeztünk a legkisebb közös többszöröshez, ami általában véve nem triviális probléma;
2. Az így kapott bővítésből megtudhatja, hogy mely tényezők „hiányoznak” az egyes törtekből. Például 234 · 3 = 702, ezért az első törthez a további tényező 3.

Ha szeretné megérteni, mekkora különbséget tesz a legkevésbé gyakori többszörös módszer, próbálja meg ugyanezeket a példákat a keresztezés módszerével kiszámítani. Természetesen számológép nélkül. Szerintem ezek után feleslegesek lesznek a kommentek.

Ne hidd, hogy vannak ilyenek összetett törtek valós példákban nem így lesz. Folyamatosan találkoznak, és a fenti feladatok nem korlátok!

Az egyetlen probléma az, hogyan lehet megtalálni ezt a NOC-ot. Néha mindent meg lehet találni néhány másodperc alatt, szó szerint „szemmel”, de általában ez egy összetett számítási feladat, amely külön mérlegelést igényel. Erre itt nem térünk ki.

Hogyan lehet a törteket közös nevezőre redukálni

Ha közönséges törtek ugyanazok a nevezők, akkor azt mondják, hogy ezek törtek közös nevezőre redukálódnak.

1. példa

Például a $\frac(3)(18)$ és a $\frac(20)(18)$ törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. Állítólag 18 dollár a közös nevezőjük. A $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ és $\frac(100)(29)$ törteknek is ugyanaz a nevezője. Állítólag 29 dollár a közös nevezőjük.

Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor közös nevezőre redukálhatók. Ehhez meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket bizonyos további tényezőkkel.

2. példa

Hogyan csökkenthetjük a $\frac(6)(11)$ és a $\frac(2)(7)$ törteket közös nevezőre.

Megoldás.

Szorozzuk meg a $\frac(6)(11)$ és $\frac(2)(7)$ törteket $7$ és $11$ további tényezőkkel, és hozzuk őket egy közös nevezőre $77$:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

És így, törteket közös nevezőre redukálni adott törtek számlálójának és nevezőjének szorzata további tényezőkkel, amelyek eredményeként azonos nevezőjű törtek keletkeznek.

Közös nevező

1. definíció

Valamely törthalmaz összes nevezőjének bármely pozitív közös többszörösét nevezzük közös nevező.

Vagyis az adott közönséges törtek közös nevezője tetszőleges természetes szám, amely az adott törtek összes nevezőjére osztható.

A definícióból következik végtelen halmaz közös nevezők ezt a készletet törtek

3. példa

Keresse meg a $\frac(3)(7)$ és a $\frac(2)(13)$ törtek közös nevezőit.

Megoldás.

Ezeknek a törtrészeknek a nevezői 7 $, illetve 13 $. A $2$ és az 5$ pozitív közös többszörösei: $91, 182, 273, 364 $ stb.

Ezen számok bármelyike ​​használható a $\frac(3)(7)$ és a $\frac(2)(13)$ törtek közös nevezőjeként.

4. példa

Határozza meg, hogy a $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ és $\frac(11)(9)$ törteket le lehet-e redukálni $252$ közös nevezőre.

Megoldás.

Annak meghatározásához, hogy miként lehet egy törtet $252$ közös nevezőre konvertálni, ellenőriznie kell, hogy a $252$ szám a $2, 7$ és $9$ nevezők közös többszöröse-e. Ehhez osszuk el a $252$ számot a nevezők mindegyikével:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

A $252$ szám osztható minden nevezővel, i.e. $2, 7$ és 9$ közös többszöröse. Ez azt jelenti, hogy a megadott $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ és $\frac(11)(9)$ törtek egy közös nevezőre redukálhatók $252$.

Válasz: lehet.

Legalacsonyabb közös nevező

2. definíció

Adott törtek összes közös nevezője között megkülönböztethetjük a legkisebb természetes számot, amelyet ún legalacsonyabb közös nevező.

Mert LOC – legkisebb pozitív közös osztó adott számhalmazból, akkor az adott törtek nevezőinek LCM-je az adott törtek legkisebb közös nevezője.

Ezért a törtek legkisebb közös nevezőjének megtalálásához meg kell találnia e törtek nevezőinek LCM-jét.

5. példa

A megadott törtek $\frac(4)(15)$ és $\frac(37)(18)$. Keresse meg a legkisebb közös nevezőt.

Megoldás.

Ezeknek a törteknek a nevezője 15$ és 18$. Keressük a legkisebb közös nevezőt a $15$ és a $18$ számok LCM-jeként. Ehhez a számok felbontását használjuk elsődleges tényezők:

15 USD=3\cdot 5$, 18 USD=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Válasz: 90 dollár.

A törtek legkisebb közös nevezőre való csökkentésére vonatkozó szabály

Leggyakrabban algebrai, geometriai, fizikai stb. feladatok megoldásakor. Szokásos a közös törteket a legkisebb közös nevezőre redukálni, nem pedig bármilyen közös nevezőre.

Algoritmus:

1. Keresse meg a legkisebb közös nevezőt az adott törtek nevezőinek LCM-jével.
2. 2. Számítsa ki a járulékos tényezőt az adott törtekhez! Ehhez a talált legkisebb közös nevezőt el kell osztani az egyes törtek nevezőjével. A kapott szám ennek a törtnek a további tényezője lesz.
3. Szorozzuk meg az egyes törtek számlálóját és nevezőjét a talált további tényezővel.

6. példa

Keresse meg a $\frac(4)(16)$ és $\frac(3)(22)$ törtek legkisebb közös nevezőjét, és csökkentse rá mindkét törtet.

Megoldás.

Használjunk egy algoritmust a törtek csökkentésére a legkisebb közös nevezőre.

Számítsuk ki $16$ és $22$ legkisebb közös többszörösét:

Tekintsük a nevezőket egyszerű tényezőkre: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Számítsunk további tényezőket minden törthez:

$176\div 16=11$ – a $\frac(4)(16)$ törtre;

$176\div 22=8$ – a $\frac(3)(22)$ törtre.

Szorozzuk meg a $\frac(4)(16)$ és $\frac(3)(22)$ törtek számlálóit és nevezőit további $11$ és $8$ tényezőkkel. Kapunk:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Mindkét tört a legkisebb közös nevezőre, 176 dollárra csökken.

Válasz: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Néha a legkisebb közös nevező megtalálása egy sor időigényes számítást igényel, ami nem feltétlenül indokolja a probléma megoldásának célját. Ebben az esetben használhatja a legtöbbet egyszerű módon– a törteket közös nevezőre redukálni, amely e törtek nevezőinek szorzata.

Ebben a leckében megvizsgáljuk a törtek közös nevezőre való redukálását, és megoldjuk a témával kapcsolatos problémákat. Határozzuk meg a közös nevező és egy járulékos tényező fogalmát, emlékezzünk a kölcsönösre prímszámok. Határozzuk meg a legalacsonyabb közös nevező (LCD) fogalmát, és oldjunk meg számos problémát, hogy megtaláljuk.

Téma: Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása

Tanulság: Törtek redukálása közös nevezőre

Ismétlés. A tört fő tulajdonsága.

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor egyenlő törtet kapunk.

Például egy tört számlálója és nevezője osztható 2-vel. Megkapjuk a törtet. Ezt a műveletet törtcsökkentésnek nevezzük. Azt is megteheti inverz konverzió, megszorozva a tört számlálóját és nevezőjét 2-vel. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a törtet új nevezőre hoztuk. A 2-es számot további tényezőnek nevezzük.

Következtetés. Egy tört tetszőleges nevezőre redukálható, amely az adott tört nevezőjének többszöröse. Egy tört új nevezőhöz hozásához a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni egy további tényezővel.

1. Csökkentse a törtet a 35-ös nevezőre.

A 35 a 7 többszöröse, vagyis a 35 maradék nélkül osztható 7-tel. Ez azt jelenti, hogy ez az átalakítás lehetséges. Keressünk egy további tényezőt. Ehhez el kell osztani 35-öt 7-tel. 5-öt kapunk. Az eredeti tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 5-tel.

2. Csökkentse a törtet 18-as nevezőre.

Keressünk egy további tényezőt. Ehhez osszuk el új nevező az eredetihez. 3-at kapunk. Ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 3-mal.

3. Csökkentse a törtet 60-as nevezőre.

Ha 60-at osztunk 15-tel, további tényezőt kapunk. Ez egyenlő 4-gyel. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt 4-gyel.

4. Csökkentse a törtet a 24-es nevezőre

Egyszerű esetekben az új nevezőre való redukálást mentálisan hajtják végre. A kiegészítő tényezőt csak egy zárójel mögött, kissé jobbra és az eredeti tört fölött szokás feltüntetni.

Egy tört 15-ös nevezõre, egy tört pedig 15-ös nevezõre csökkenthetõ. A törtek közös nevezõje is 15.

A törtek közös nevezője a nevezőik bármely közös többszöröse lehet. Az egyszerűség kedvéért a törteket a legkisebb közös nevezőre redukáljuk. Ez egyenlő az adott törtek nevezőinek legkisebb közös többszörösével.

Példa. Csökkentse a tört legkisebb közös nevezőjére és.

Először keressük meg e törtek nevezőinek legkisebb közös többszörösét. Ez a szám 12. Keressünk egy további tényezőt az első és a második törthez. Ehhez osszuk el a 12-t 4-gyel és 6-tal. A három egy további tényező az első törthez, a kettő pedig a másodikhoz. Vigyük a törteket a 12-es nevezőhöz.

A törteket közös nevezőre hoztuk, vagyis olyan egyenlő törteket találtunk, amelyeknek azonos a nevezője.

Szabály. Ha a törteket a legkisebb közös nevezőre szeretné csökkenteni, meg kell tennie

Először keresse meg e törtek nevezőinek legkisebb közös többszörösét, ez lesz a legkisebb közös nevezőjük;

Másodszor, ossza el a legkisebb közös nevezőt ezen törtek nevezőivel, azaz keressen minden törthez egy további tényezőt.

Harmadszor, szorozza meg minden tört számlálóját és nevezőjét a további tényezőjével.

a) Csökkentse a és a törteket közös nevezőre!

A legkisebb közös nevező 12. Az első tört további tényezője 4, a másodiké - 3. A törteket a 24-es nevezőre csökkentjük.

b) Csökkentse a és a törteket közös nevezőre!

A legkisebb közös nevező a 45. A 45-öt elosztva 9-tel 15-tel 5-öt, illetve 3-at kapunk.

c) Csökkentse a és a törteket közös nevezőre.

A közös nevező a 24. További tényezők 2, illetve 3.

Néha nehéz lehet szóban megtalálni az adott törtek nevezőinek legkisebb közös többszörösét. Ezután a közös nevezőt és a további tényezőket prímtényezősítés segítségével találjuk meg.

Csökkentse a törteket és közös nevezőre.

Tekintsük a 60 és 168 számokat prímtényezőkbe. Írjuk ki a 60-as szám kiterjesztését, és adjuk hozzá a hiányzó 2-es és 7-es tényezőt a második bővítésből. Szorozzuk meg 60-at 14-gyel, és kapjunk közös nevezőt 840-re. Az első tört további tényezője 14. A második tört további tényezője 5. Hozzuk a törteket 840 közös nevezőre.

Bibliográfia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. és egyebek 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. osztály. - Gimnázium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Egy matematika tankönyv lapjai mögött. - Felvilágosodás, 1989.

4. Rurukin A.N., Csajkovszkij I.V. A matematika tanfolyam feladatai 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Szocsilov S.V., Csajkovszkij K.G. Matematika 5-6. Kézikönyv 6. osztályos tanulóknak levelező iskola MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. és egyebek: Tankönyv-beszélgető 5-6 Gimnázium. Matek tanári könyvtár. - Felvilágosodás, 1989.

Az 1.2 pontban meghatározott könyvek letölthetők. ebből a leckéből.

Házi feladat

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. és mások matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link lásd 1.2)

Házi feladat: 297., 298., 300. sz.

Egyéb feladatok: 270. sz., 290. sz

Ez a cikk elmagyarázza, hogyan lehet a törteket közös nevezőre csökkenteni, és hogyan lehet megtalálni a legkisebb közös nevezőt. Megadjuk a definíciókat, megadjuk a törtek közös nevezőre redukálásának szabályát, és gyakorlati példákat is figyelembe veszünk.

Mit jelent egy tört közös nevezőre való redukálása?

A közönséges törtek egy számlálóból állnak - a felső részből és egy nevezőből - az alsó részből. Ha a törtek rendelkeznek ugyanaz a nevező, állítólag közös nevezőre redukálódnak. Például a 11 14, 17 14, 9 14 törteknek ugyanaz a 14 nevezője. Más szóval, közös nevezőre redukálódnak.

Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor egyszerű lépésekkel mindig közös nevezőre redukálhatók. Ehhez meg kell szoroznia a számlálót és a nevezőt bizonyos további tényezőkkel.

Nyilvánvaló, hogy a 4 5 és 3 4 törtek nem redukálódnak közös nevezőre. Ehhez további 5-ös és 4-es tényezőket kell használnia, hogy 20-as nevezőre hozza őket. Hogyan kell ezt pontosan megtenni? Szorozzuk meg a 4 5 tört számlálóját és nevezőjét 4-gyel, a 3 4 tört számlálóját és nevezőjét pedig 5-tel. A 4 5 és 3 4 törtek helyett 16 20-at, illetve 15 20-at kapunk.

Törtek redukálása közös nevezőre

A törtek közös nevezőre való redukálása a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzata olyan tényezőkkel, amelyek eredményeként azonos nevezőjű, azonos törteket kapunk.

Közös nevező: definíció, példák

Mi a közös nevező?

Közös nevező

A törtek közös nevezője bármely pozitív szám, amely az összes megadott tört közös többszöröse.

Más szóval, egy bizonyos törthalmaz közös nevezője egy természetes szám lesz, amely maradék nélkül osztható ezen törtek összes nevezőjével.

A természetes számok sorozata végtelen, ezért definíció szerint minden közös törthalmaznak végtelen számú közös nevezője van. Más szóval, az eredeti törthalmaz összes nevezőjének végtelen sok közös többszöröse van.

Több tört közös nevezője könnyen megtalálható a definíció segítségével. Legyen 1 6 és 3 5 törtek. A törtek közös nevezője a 6 és 5 számok bármely pozitív közös többszöröse. Ilyen pozitív közös többszörösek a 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 és így tovább.

Nézzünk egy példát.

Példa 1. Közös nevező

Az 1 3, 21 6, 5 12 törtek közös nevezőre hozhatók, ami 150?

Annak megállapításához, hogy ez így van-e, ellenőriznie kell, hogy a 150 a törtek nevezőinek közös többszöröse, azaz a 3, 6, 12 számok esetében. Más szóval, a 150-es számnak oszthatónak kell lennie 3-mal, 6-tal, 12-vel maradék nélkül. Ellenőrizzük:

150 ÷ ​​3 = 50, 150 ÷ ​​6 = 25, 150 ÷ ​​12 = 12,5

Ez azt jelenti, hogy a 150 nem ezeknek a törteknek a közös nevezője.

Legalacsonyabb közös nevező

Egy törthalmaz sok közös nevezője közül a legkisebb természetes számot a legkisebb közös nevezőnek nevezzük.

Legalacsonyabb közös nevező

A törtek legkisebb közös nevezője az legkisebb szám e törtek összes közös nevezője között.

Egy adott számhalmaz legkisebb közös osztója a legkisebb közös többszörös (LCM). A törtek összes nevezőjének LCM-je a legkisebb közös nevezője ezeknek a törteknek.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös nevezőt? Megtalálása a törtek legkisebb közös többszörösének megkereséséhez vezet. Nézzünk egy példát:

2. példa: Keresse meg a legkisebb közös nevezőt

Meg kell találnunk a legkisebb közös nevezőt az 1 10 és a 127 28 törtekhez.

A 10-es és 28-as számok LCM-jét keressük. Vegyük őket egyszerű tényezőkbe, és kapjuk meg:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

Hogyan csökkenthetjük a törteket a legkisebb közös nevezőre

Van egy szabály, amely elmagyarázza, hogyan lehet a törteket közös nevezőre redukálni. A szabály három pontból áll.

A törtek közös nevezőre való redukálásának szabálya

1. Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét.
2. Keressen minden törthez egy további tényezőt. A tényező meghatározásához osszuk el a legkisebb közös nevezőt az egyes törtek nevezőjével.
3. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a talált további tényezővel.

Tekintsük ennek a szabálynak az alkalmazását egy konkrét példán keresztül.

3. példa: Törtek redukálása közös nevezőre

Vannak 3 14 és 5 18 törtek. Csökkentsük őket a legkisebb közös nevezőre.

A szabály szerint először keressük meg a törtek nevezőinek LCM-jét.

14 = 2 7 18 = 2 3 3 N O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

Minden törthez további tényezőket számítunk ki. 3 14 esetén a járulékos tényező 126 ÷ 14 = 9, az 5 18 törtre pedig 126 ÷ 18 = 7.

Megszorozzuk a törtek számlálóját és nevezőjét további tényezőkkel, és megkapjuk:

3 · 9 14 · 9 = 27 126, 5 · 7 18 · 7 = 35 126.

Több tört redukálása a legkisebb közös nevezőre

A figyelembe vett szabály szerint nem csak a törtpárok, hanem azok nagyobb száma is közös nevezőre redukálható.

Mondjunk egy másik példát.

4. példa: Törtek redukálása közös nevezőre

Csökkentse a 3 2 , 5 6 , 3 8 és 17 18 törteket a legkisebb közös nevezőjükre.

Számítsuk ki a nevezők LCM-jét. Megtaláljuk a három és az LCM-et több számok:

NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72

3 2 esetén a kiegészítő tényező 72 ÷ 2 = 36, 5 6 esetén a kiegészítő tényező 72 ÷ 6 = 12, 3 8 esetén a kiegészítő tényező 72 ÷ 8 = 9, végül 17 18 esetén a kiegészítő tényező 72 ÷ 6 18 = 4.

A törteket megszorozzuk további tényezőkkel, és a legkisebb közös nevezőhöz jutunk:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt