A megoldásra darabonként megadott függvénypéldák. Implicit függvény hozzárendelés

Elemző funkció hozzárendelése

A %%y = f(x), x \in X%% függvény adott kifejezett analitikus módon, ha adott egy képlet, amely jelzi a sorozatot matematikai műveletek, amelyet a %%x%% argumentummal kell végrehajtani, hogy megkapjuk a függvény %%f(x)%% értékét.

Példa

%% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
%% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
%% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Így például a fizikában egyenletes gyorsulással egyenes mozgás egy test sebességét a következő képlet határozza meg: %%v = v_0 + a t%%, és a képlet, amellyel a testet %%s%% egyenletesen gyorsított mozgással mozgatja egy bizonyos időtartamon keresztül %%0%% -tól %% -ig A t%% a következőképpen írható: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Darabonként definiált függvények

Néha a kérdéses függvényt több képlet is megadhatja, amelyek definíciós tartományának különböző részein működnek, és amelyekben a függvény argumentuma megváltozik. Például: $$ y = \begin(esetek) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Az ilyen típusú függvényeket néha hívják összetett vagy darabonként meghatározott. Ilyen függvény például: %%y = |x|%%

Funkció Domain

Ha egy függvény explicit analitikus módon van megadva egy képlet segítségével, de a függvény definíciós tartománya a %%D%% halmaz formájában nincs megadva, akkor %%D%% alatt mindig a halmazt fogjuk érteni. a %%x%% argumentum értékéből, amelyre ezt a képletet jelentése van. Tehát a %%y = x^2%% függvény definíciós tartománya a %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, mivel a %%x%% argumentum bármilyen értéket felvehet számsor. És a %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% függvény definíciós tartománya a %%x%% értékkészlet lesz, amely kielégíti a %%1 - egyenlőtlenséget. x^2 > 0%%, t .e. %%D = (-1, 1)%%.

Egy függvény explicit analitikus megadásának előnyei

Vegye figyelembe, hogy explicit elemzési módszer A függvény meghatározása meglehetősen kompakt (a képlet általában kevés helyet foglal), könnyen reprodukálható (a képletet nem nehéz megírni), és a legalkalmasabb matematikai műveletek és függvények transzformációinak végrehajtására.

Néhány ilyen művelet - algebrai (összeadás, szorzás stb.) - jól ismert iskolai tanfolyam matematikát, másokat (differenciálás, integráció) tanulnak a jövőben. Ez a módszer azonban nem mindig egyértelmű, mivel a függvény argumentumtól való függésének természete nem mindig egyértelmű, és néha nehézkes számítások szükségesek a függvényértékek megtalálásához (ha szükséges).

Implicit függvény hozzárendelés

%%y függvény = f(x)%% meghatározva implicit elemző módon, ha a $$F(x,y) = 0 reláció adott, akkor ~~~~~~~~~~(1)$$ összeköti a %%y%% függvény és a %% argumentum értékeit x%%. Ha megadja az argumentum értékeit, akkor meg kell találnia a %%y%% értékét, amely egy adott %%x%% értéknek felel meg, meg kell oldania a %%(1)%% egyenletet %% számára y%% ennél a konkrét %%x%% értéknél.

Mert adott értéket%%x%% előfordulhat, hogy a %%(1)%% egyenletnek nincs megoldása, vagy egynél több megoldása van. Az első esetben érték beállítása%%x%% nem tartozik az implicit módon megadott függvény hatókörébe, de a második esetben megadja többértékű függvény, amelynek egynél több jelentése van egy adott argumentumértékhez.

Vegyük észre, hogy ha a %%(1)%% egyenlet explicit módon feloldható a %%y = f(x)%%, akkor ugyanazt a függvényt kapjuk, de már explicit analitikus módon megadva. Tehát a %%x + y^5 - 1 egyenlet = 0%%

és a %%y = \sqrt(1 - x)%% egyenlőség ugyanazt a függvényt határozza meg.

Paraméteres függvény specifikáció

Amikor a %%y%% %%x%%-tól való függése nincs közvetlenül megadva, hanem mindkét változó %%x%% és %%y%% függősége van megadva valamilyen harmadik %%t%% segédváltozótól formájában

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(esetek) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$amiről beszélnek parametrikus a funkció megadásának módja;

akkor a %%t%% segédváltozót paraméternek nevezzük.

Ha lehetséges a %%t%% paramétert kiküszöbölni a %%(2)%% egyenletekből, akkor egy olyan függvényhez jutunk, amelyet a %%y%% explicit vagy implicit analitikai függése határoz meg a %%x%%-tól. . Például a $$ \begin(esetek) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(esetek), ~~~t \in \mathbb(R), $$ relációkból, kivéve a % paraméterre %t%% a %%y = 2 x + 2%% függőséget kapjuk, amely egy egyenest határoz meg a %%xOy%% síkban.

Grafikus módszer

Példa grafikai feladat funkciókat

A fenti példák azt mutatják, hogy egy függvény megadásának analitikai módszere megfelel annak grafikus kép , amely kényelmesnek tekinthető és vizuális forma funkció leírások. Néha használt grafikus módszer függvény megadása, amikor a %%y%% %%x%%-tól való függőségét egy sor adja meg a %%xOy%% síkon. Az egyértelműség ellenére azonban veszít a pontosságból, mivel az argumentum értékei és a megfelelő függvényértékek csak hozzávetőlegesen érhetők el a grafikonból. Az eredményül kapott hiba a grafikon egyes pontjainak abszcissza és ordinátájának skálájától és mérési pontosságától függ. A függvénygráfnak a jövőben csak a függvény viselkedését szemléltetjük, ezért a függvények főbb jellemzőit tükröző grafikonok „vázlatainak” elkészítésére szorítkozunk.

Táblázatos módszer

jegyzet táblázatos módszer függvény-hozzárendelések, amikor bizonyos argumentumértékek és a megfelelő függvényértékek benne vannak egy bizonyos sorrendben kerülnek a táblázatba. Így épülnek fel a híres asztalok trigonometrikus függvények, logaritmustáblázatok stb. A mért mennyiségek közötti kapcsolat kísérleti tanulmányok, megfigyelések, tesztek.

Ennek a módszernek az a hátránya, hogy nem lehet közvetlenül meghatározni a táblázatban nem szereplő argumentumértékek függvényértékeit. Ha biztos abban, hogy a táblázatban nem szereplő argumentumértékek a kérdéses függvény definíciós tartományába tartoznak, akkor a megfelelő függvényértékek interpolációval és extrapolációval megközelítőleg kiszámíthatók.

Példa

x	3	5.1	10	12.5
y	9	23	80	110

A függvények megadásának algoritmikus és verbális módszerei

A funkció beállítható algoritmikus(vagy szoftver) a számítógépes számításoknál széles körben használt módon.

Végül meg lehet jegyezni leíró(vagy szóbeli) egy függvény megadásának módja, amikor a függvényértékek és az argumentumértékek egyeztetésének szabálya szavakkal van kifejezve.

Például a %%[x] = m~\forall függvény (x \in a sorból:

A természetben lezajló valós folyamatok függvényekkel írhatók le. Így két fő folyamattípust különböztethetünk meg, amelyek egymással ellentétesek - ezek fokozatos vagy folyamatosÉs görcsös(példa lehet egy leeső és pattanó labda). De ha vannak nem folytonos folyamatok, akkor vannak speciális eszközök leírni őket. Ebből a célból olyan függvényeket vezetünk be, amelyeknek megszakadásai és ugrásai vannak, vagyis a számsor különböző szakaszaiban a függvény a szerint viselkedik. különböző törvényekés ennek megfelelően adott különböző képletek. Bemutatjuk a folytonossági pontok és az eltávolítható szakadás fogalmát.

Biztosan találkoztál már több képlet által meghatározott függvényekkel, az argumentum értékétől függően, például:

y = (x – 3, ha x > -3;
(-(x – 3), x-nél< -3.

Az ilyen függvényeket ún darabonként vagy darabonként meghatározott. A számegyenes szakaszai -val különféle képletek feladatokat, nevezzük őket alkatrészek tartomány. Az összes komponens egyesítése a darabonkénti függvény tartománya. Azokat a pontokat, amelyek egy függvény definíciós tartományát komponensekre osztják, nevezzük határpontok. Meghívjuk azokat a képleteket, amelyek a definíciós tartomány egyes összetevőire darabonkénti függvényt határoznak meg bejövő funkciók. A darabonként adott függvények grafikonjait az egyes partíciós intervallumokon szerkesztett gráfok egyes részeinek kombinálásával kapjuk.

Feladatok.

Készítsen grafikonokat darabonkénti függvényekből:

1) (-3, ahol -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, ha x = 0,
(1, 0-nál< x ≤ 5.

Az első függvény grafikonja az y = -3 ponton áthaladó egyenes. Egy (-4; -3) koordinátájú pontból ered, az x tengellyel párhuzamosan fut egy (0; -3) koordinátájú pontig. A második függvény grafikonja egy pont, melynek koordinátái (0; 0). A harmadik grafikon hasonló az elsőhöz - ez egy egyenes, amely áthalad az y = 1 ponton, de már a 0-tól 5-ig terjedő területen az Ox tengelye mentén.

Válasz: 1. ábra.

2) (3 ha x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, ha -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2, ha x > 4.

Tekintsünk minden függvényt külön-külön, és készítsük el a grafikonját.

Tehát f(x) = 3 az Ox tengellyel párhuzamos egyenes, de csak azon a területen kell ábrázolni, ahol x ≤ -4.

Az f(x) = |x 2 – 4|x| függvény grafikonja + 3| az y = x 2 – 4x + 3 parabolából kaphatjuk meg. A grafikonjának megszerkesztése után az ábra Ox tengely feletti részét változatlanul kell hagyni, az abszcissza tengely alatti részét pedig szimmetrikusan relatívan ábrázolni az Ökör tengelyéhez. Ezután szimmetrikusan jelenítse meg a grafikon azon részét, ahol
x ≥ 0 az Oy tengelyhez képest negatív x esetén. Az összes transzformáció eredményeként kapott gráfot csak az abszcissza tengely mentén -4-től 4-ig terjedő területen hagyjuk meg.

A harmadik függvény grafikonja egy parabola, melynek ágai lefelé irányulnak, és a csúcs a (4; 3) koordinátákkal rendelkező pontban van. A rajzot csak azon a területen ábrázoljuk, ahol x > 4.

Válasz: 2. ábra.

3) (8 – (x + 6) 2, ha x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, ha -6 ≤ x< 5,
(3, ha x ≥ 5.

A javasolt, darabonként adott függvény felépítése hasonló az előző bekezdéshez. Itt az első két függvény grafikonjait a parabola transzformációiból kapjuk, a harmadik grafikonja pedig egy Ox-szal párhuzamos egyenes.

Válasz: 3. ábra.

4) Ábrázolja az y = x – |x| függvényt + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Megoldás. Ennek a funkciónak a hatóköre minden valós számok, kivéve a nullát. Bővítsük ki a modult. Ehhez vegyünk két esetet:

1) Ha x > 0, akkor y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.

2) x-nél< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Így egy darabonként áll előttünk adott funkciót:

y = ((x – 2) 2, ha x > 0;
(x 2 + 2x, x-nél< 0.

Mindkét függvény grafikonja parabola, melynek ágai felfelé irányulnak.

Válasz: 4. ábra.

5) Rajzolja fel az y = (x + |x|/x – 1) függvény grafikonját 2.

Megoldás.

Könnyen belátható, hogy a függvény tartománya a nulla kivételével minden valós szám. A modul kibontása után egy darabonként megadott függvényt kapunk:

1) Ha x > 0, akkor y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) x-nél< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Írjuk át.

y = (x 2, ha x > 0;
((x – 2) 2 , x-nél< 0.

Ezen függvények grafikonjai parabolák.

Válasz: 5. ábra.

6) Van-e olyan függvény, amelynek grafikonja az Koordináta sík Megvan közös pont bármelyik egyenesből?

Megoldás.

Igen, létezik.

Példa erre az f(x) = x 3 függvény. Valóban, egy köbös parabola grafikonja az (a; a 3) pontban metszi az x = a függőleges egyenest. Adjuk meg most az egyenest az y = kx + b egyenlet. Aztán az egyenlet
x 3 – kx – b = 0 rendelkezik igazi gyökér x 0 (a polinom óta páratlan fokozat mindig van legalább egy valódi gyökere). Következésképpen a függvény grafikonja metszi az y = kx + b egyenest például az (x 0; x 0 3) pontban.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A darabonként definiált függvények folytonossága és grafikus ábrázolása – összetett téma. Jobb, ha közvetlenül egy gyakorlati leckében tanulja meg a grafikonok készítését. Ez elsősorban a folytonossági vizsgálat.

Ismeretes, hogy elemi funkció(lásd 16. o.) folytonos minden olyan ponton, ahol meghatározásra került. Ezért a folytonossági zavar in elemi függvények csak kétféle ponton lehetséges:

a) azokon a pontokon, ahol a funkciót „újradefiniálják”;

b) olyan pontokon, ahol a függvény nem létezik.

Ennek megfelelően csak az ilyen pontok folytonosságát ellenőrzik a vizsgálat során, ahogy a példákban is látható.

A nem elemi függvények esetében a vizsgálat bonyolultabb. Például egy függvény (egy szám egész része) az egészben definiálva van számtengely, de minden egésznél törést szenved x. Az ilyen kérdések kívül esnek a kézikönyv keretein.

Az anyag tanulmányozása előtt ismételje meg az előadásból vagy a tankönyvből, hogy milyen (milyen) töréspontok vannak.

A folytonosságra darabonként definiált függvények vizsgálata

Funkciókészlet darabonként ha be van kapcsolva különböző területeken a definíciós tartományt különböző képletek adják meg.

Az ilyen függvények vizsgálatának fő gondolata az, hogy megtudjuk, hogy a függvény definiálva van-e és hogyan azokon a pontokon, ahol újradefiniálják. Ezután ellenőrzi, hogy az ilyen pontoktól balra és jobbra lévő függvényértékek megegyeznek-e.

1. példa Mutassuk meg, hogy a függvény
folyamatos.

Funkció
elemi, ezért folytonos azokon a pontokon, ahol meghatározásra került. De nyilván minden ponton meg van határozva. Következésképpen minden ponton folyamatos, így a ponton is
, ahogy a feltétel megköveteli.

Ugyanez igaz a függvényre is
, és at
ez folyamatos.

Ilyen esetekben a folytonosság csak a funkció felülírása esetén szakadhat meg. Példánkban ez egy pont
. Nézzük meg, amihez bal és jobb oldalon találjuk a határértékeket:

A bal és a jobb oldali határértékek azonosak. Még látni kell:

a) a függvény magában a pontban van definiálva?
;

b) ha igen, egyezik-e
bal és jobb oldali határértékekkel.

Feltétel szerint, ha
, Azt
. Ezért
.

Ezt látjuk (mind egyenlő a 2-es számmal). Ez azt jelenti, hogy azon a ponton
a függvény folyamatos. Tehát a függvény folytonos a teljes tengely mentén, beleértve a pontot is
.

Hozzászólások a határozathoz

a) Nem játszott szerepet a számításokban, helyettes van egy konkrét számképletünk
vagy
. Ez általában akkor fontos, ha végtelen kicsivel osztunk, mert hatással van a végtelen jelére. Pont itt
És
csak felelősek funkció kiválasztása;

b) általában jelölések
És
azonosak, ugyanez vonatkozik a megnevezésekre is
És
(és minden pontra érvényes, nem csak arra
). Az alábbiakban a rövidség kedvéért az űrlap jelöléseit használjuk
;

c) ha a bal és a jobb oldali határértékek egyenlőek, a folytonosság ellenőrzéséhez valójában azt kell látni, hogy az egyenlőtlenségek valamelyike nem szigorú. A példában ez a 2. egyenlőtlenségnek bizonyult.

2. példa Megvizsgáljuk a függvényt a folytonosság szempontjából
.

Ugyanazok az okok miatt, mint az 1. példában, a folytonosság csak a ponton szakítható meg
. Ellenőrizzük:

A bal és a jobb oldali határértékek egyenlőek, de a ponton
a függvény nincs definiálva (az egyenlőtlenségek szigorúak). Ez azt jelenti
- pont javítható hézag.

Az „eltávolítható rés” azt jelenti, hogy elég vagy az egyenlőtlenségek bármelyikét nem szigorúvá tenni, vagy kitalálni egy külön ponthoz
függvény, amelynek értéke at
egyenlő –5, vagy egyszerűen jelezze ezt
így a teljes funkció
folyamatos lett.

Válasz: pont
– kivehető töréspont.

1. megjegyzés. A szakirodalomban általában az 1. típusú hiányosságok speciális esetének tekintik a pótolható hiányosságot, de a hallgatók gyakrabban értelmezik a hiányosság külön típusaként. Az eltérések elkerülése érdekében ragaszkodunk az 1. szemponthoz, és külön kikötjük az 1. típusú „eltávolíthatatlan” rést.

3. példa Ellenőrizzük, hogy a függvény folytonos-e

Azon a ponton

A bal és jobb oldali korlátok eltérőek:
. Függetlenül attól, hogy a függvény a következő helyen van-e definiálva
(igen) és ha igen, mi egyenlő (egyenlő 2), pont
–az 1. típusú eltávolíthatatlan folytonossági pont.

Azon a ponton
történik végső ugrás(1-től 2-ig).

Válasz: pont

Jegyzet 2. Ahelyett
És
általában írni
És
illetőleg.

Elérhető kérdés: hogyan különböznek a funkciók

És
,

és a grafikonjaikat is? Helyes válasz:

a) A 2. függvény nincs definiálva a pontban
;

b) az 1. függvénypont grafikonján
„árnyékolt”, a 2. grafikonon – nem („szúrt pont”).

Pont
, ahol a grafikon megszakad
, nincs árnyékolva mindkét grafikonon.

Nehezebb azokat a függvényeket vizsgálni, amelyeken másképpen van definiálva három területeken.

4. példa Folyamatos a függvény?
?

Csakúgy, mint az 1–3. példákban, mindegyik függvény
,
És folytonos a teljes numerikus tengely mentén, beleértve azt a területet is, amelyben meg van adva. A törés csak a ponton lehetséges
és/vagy a ponton
, ahol a funkció felül van írva.

A feladat 2 részfeladatra oszlik: vizsgálja meg a függvény folytonosságát

És
,

és időszak
nem érdekli a funkciót
, és pont
– a funkcióért
.

1. lépés. A lényeg ellenőrzése
és funkciója
(az indexet nem írjuk):

A korlátok ugyanazok. Feltétel szerint,
(ha a bal és a jobb oldali határértékek egyenlőek, akkor a függvény akkor folytonos, ha az egyik egyenlőtlenség nem szigorú). Tehát a ponton
a függvény folyamatos.

2. lépés. A lényeg ellenőrzése
és funkciója
:

Mert a
, pont
– 1. típusú szakadási pont, és az érték
(és hogy létezik-e egyáltalán) már nem játszik szerepet.

Válasz: a függvény a pont kivételével minden pontban folytonos
, ahol az 1. típusú eltávolíthatatlan folytonossági hiány van - ugrás 6-ról 4-re.

5. példa Funkciótöréspontok keresése
.

Ugyanaz a séma szerint járunk el, mint a 4. példában.

1. lépés. A lényeg ellenőrzése
:

A)
, hiszen balra
a függvény állandó és egyenlő 0-val;

b) (
– páros funkció).

A határok ugyanazok, de mikor
a függvényt nem feltétel határozza meg, és ez kiderül
– kivehető töréspont.

2. lépés. A lényeg ellenőrzése
:

A)
;

b)
– a függvény értéke nem függ a változótól.

A korlátok eltérőek: , pont
– az 1. típusú eltávolíthatatlan folytonossági pont.

Válasz:
- kivehető töréspont,
az 1. típusú eltávolíthatatlan folytonossági pont, más pontokon a függvény folytonos.

6. példa. Folyamatos a függvény?
?

Funkció
meghatározva at
, tehát a feltétel
állapottá alakul
.

Másrészt a funkció
meghatározva at
, azaz nál nél
. Tehát a feltétel
állapottá alakul
.

Kiderül, hogy a feltételnek teljesülnie kell
, és a teljes függvény definíciós tartománya egy szegmens
.

Maguk a funkciók
És
elemiek, és ezért folytonosak minden olyan ponton, ahol meghatározásra kerültek – különösen és ahol meghatározásra kerültek
.

Továbbra is ellenőrizni kell, mi történik az adott ponton
:

A)
;

Mert a
, nézze meg, hogy a függvény definiálva van-e a ponton
. Igen, az 1. egyenlőtlenség viszonylag gyenge
, és ez elég.

Válasz: a függvény az intervallumon van definiálva
és folyamatos rajta.

Az összetettebb esetek, amikor az egyik összetevő funkció nem elemi, vagy a szegmensének bármely pontján nincs definiálva, kívül esnek a kézikönyv keretein.

NF1. Készítsen függvénygráfokat. Jegyezze meg, hogy a függvény definiálva van-e azon a ponton, ahol újradefiniálják, és ha igen, mi a függvény értéke (a " szó Ha" a rövidség kedvéért kimarad a függvénydefinícióból):

1) a)
b)
V)
G)

2) a)
b)
V)
G)

3) a)
b)
V)
G)

4) a)
b)
V)
G)

7. példa. Hadd
. Aztán a helyszínen
vízszintes vonalat építeni
, és az oldalon
vízszintes vonalat építeni
. Ebben az esetben a pont koordinátákkal
"kilyukadt", és a lényeg
"átfestve". Azon a ponton
az 1. típusú megszakítást („ugrás”) kapjuk, és
.

NF2. Vizsgálja meg a különbözőképpen definiált függvények folytonosságát 3 intervallumon! Grafikonok ábrázolása:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

8. példa. Hadd
. Helyszín bekapcsolva
egyenest építeni
, miért találjuk
És
. A pontok összekötése
És
szegmens. Magukat a pontokat nem vesszük figyelembe, mert mikor
És
a függvényt nem feltétel határozza meg.

Helyszín bekapcsolva
És
körbe az OX tengelyt (rajta
), azonban pont
És
"kivájták". Azon a ponton
eltávolítható rést kapunk, és a ponton
– az 1. típusú megszakítás („ugrás”).

NF3.Ábrázolja a függvényeket, és győződjön meg arról, hogy folytonosak:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF4. Győződjön meg arról, hogy a függvények folytonosak, és ábrázolja őket grafikonon:

1) a)
b)
V)

2 a)
b)
V)

3) a)
b)
V)

NF5. Készítsen függvénygráfokat. Vegye figyelembe a folytonosságot:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

5) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF6. Készítsen grafikonokat nem folytonos függvényekről. Jegyezze fel a függvény értékét azon a ponton, ahol a függvény felülírásra került (és hogy létezik-e):

1) a)
b)
V)