A sugár kiszámítása: hogyan találjuk meg a kör kerületét az átmérő ismeretében. A kör területével kapcsolatos problémák

A kör egy zárt görbe, amelynek minden pontja azonos távolságra van a középponttól. Ez az alak lapos. Ezért a probléma megoldása, amelynek kérdése az, hogy hogyan találjuk meg a kerületet, meglehetősen egyszerű. A mai cikkben megvizsgáljuk az összes elérhető módszert.

Ábra leírások

A meglehetősen egyszerű leíró definíción kívül van még három matematikai jellemzők körök, amelyek önmagukban tartalmazzák a választ arra a kérdésre, hogy hogyan lehet megtalálni a kör kerületét:

• Az A és B pontokból, valamint az összes többiből áll, amelyekből AB derékszögben látható. Ennek az alaknak az átmérője hosszával egyenlő a vizsgált szegmens.
• Csak azokat az X pontokat tartalmazza, amelyekben az AX/BX arány állandó, és nem egyenlő eggyel. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor ez nem kör.
• Pontokból áll, amelyek mindegyikére érvényes a következő egyenlőség: a másik kettő távolságának négyzetösszege egy adott érték, amely mindig több mint a közöttük lévő szakasz hosszának a fele.

Terminológia

Nem mindenkinek volt az iskolában jó tanár matematika. Ezért a kerület meghatározásának kérdésére adott választ tovább bonyolítja az a tény, hogy nem mindenki ismeri az alapvető geometriai fogalmak. A sugár egy olyan szakasz, amely az ábra közepét a görbe pontjával köti össze. Különleges eset a trigonometriában az egységkör. Az akkord egy szakasz, amely egy görbe két pontját köti össze. Például a már tárgyalt AB ebbe a definícióba tartozik. Az átmérő a középponton áthaladó húr. A π szám egyenlő az egységnyi félkör hosszával.

Alapképletek

A definíciókból egyenesen következik geometriai képletek, amelyek lehetővé teszik egy kör fő jellemzőinek kiszámítását:

1. A hosszúság egyenlő a π szám és az átmérő szorzatával. A képlet általában le van írva alábbiak szerint: C = π*D.
2. Sugár felével egyenlőátmérő Kiszámítható úgy is, hogy a kerületet elosztjuk a π szám kétszeresével. A képlet így néz ki: R = C/(2* π) = D/2.
3. Az átmérő egyenlő a kerület hányadosával osztva π-vel vagy a sugár kétszeresével. A képlet meglehetősen egyszerű, és így néz ki: D = C/π = 2*R.
4. A kör területe egyenlő π és a sugár négyzetének szorzatával. Hasonlóképpen, az átmérő is használható ebben a képletben. Ebben az esetben a terület egyenlő lesz π szorzata és az átmérő négyzete osztva néggyel. A képlet a következőképpen írható fel: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Hogyan találjuk meg a kör kerületét átmérő alapján

A magyarázat egyszerűsítése érdekében jelöljük betűkkel a számításhoz szükséges ábra jellemzőit. Legyen C a kívánt hosszúság, D az átmérője, és π megközelítőleg egyenlő 3,14-gyel. Ha csak egy ismert mennyiségünk van, akkor a probléma megoldottnak tekinthető. Miért van erre szükség az életben? Tegyük fel, hogy úgy döntünk, hogy egy kerek medencét kerítéssel veszünk körül. Hogyan kell számolni szükséges mennyiség oszlopok? És itt segít a kerület kiszámításának képessége. A képlet a következő: C = π D. Példánkban az átmérőt a medence sugara és a kerítéstől való szükséges távolság alapján határozzuk meg. Tegyük fel például, hogy az otthoni mesterséges tavunk 20 méter széles, és attól tíz méter távolságra fogjuk elhelyezni az oszlopokat. A kapott kör átmérője 20 + 10*2 = 40 m Hossza 3,14*40 = 125,6 méter. 25 oszlopra lesz szükségünk, ha a köztük lévő távolság körülbelül 5 m.

Hosszúság a sugáron keresztül

Mint mindig, kezdjük azzal, hogy betűket rendelünk a kör jellemzőihez. Valójában univerzálisak, tehát a matematikusok különböző országokban Egyáltalán nem szükséges ismerni egymás nyelvét. Tegyük fel, hogy C a kör kerülete, r a sugara, és π megközelítőleg egyenlő 3,14-gyel. A képlet ebben az esetben így néz ki: C = 2*π*r. Nyilvánvaló, hogy ez egy teljesen helyes egyenlet. Amint azt már kitaláltuk, egy kör átmérője a sugarának kétszerese, tehát ez a képlet így néz ki. Az életben ez a módszer is sokszor jól jöhet. Például süteményt sütünk speciális csúszó formában. Ahhoz, hogy ne szennyeződjön, szükségünk van egy díszcsomagolásra. De hogyan kell kört vágni a megfelelő méret. Itt a matematika jön a segítségre. Azok, akik tudják, hogyan kell megtudni a kör kerületét, azonnal azt mondják, hogy meg kell szorozni a π számot az alakzat sugarának kétszeresével. Ha a sugara 25 cm, akkor a hossza 157 centiméter.

Minta problémák

A kör kerületének megállapítására vonatkozó ismeretek több gyakorlati esetét már megvizsgáltuk. De gyakran nem róluk aggódunk, hanem a valódi miatt matematikai feladatok amelyeket a tankönyv tartalmaz. Hiszen a tanár pontokat ad értük! Tehát nézzük a problémát fokozott komplexitás. Tegyük fel, hogy a kör kerülete 26 cm Hogyan találjuk meg egy ilyen alak sugarát?

Példa megoldás

Először is írjuk fel, hogy mit kapunk: C = 26 cm, π = 3,14. Emlékezzünk a képletre is: C = 2* π*R. Ebből kivonhatja a kör sugarát. Így R= C/2/π. Most folytassuk a tényleges számítással. Először oszd el a hosszát kettővel. 13-at kapunk. Most el kell osztanunk a π szám értékével: 13/3,14 = 4,14 cm Fontos, hogy ne felejtsük el helyesen, azaz mértékegységekkel megírni a választ, különben a teljes gyakorlati jelentést az ilyen problémák elvesznek. Ezenkívül az ilyen figyelmetlenségért egy ponttal alacsonyabb osztályzatot kaphat. És bármilyen bosszantó is legyen, el kell viselnie ezt az állapotot.

A fenevad nem olyan ijesztő, mint ahogy le van festve

Tehát első ránézésre ilyen nehéz feladattal számoltunk. Mint kiderült, csak meg kell értenie a kifejezések jelentését, és emlékeznie kell néhány egyszerű képletre. A matematika nem olyan ijesztő, csak egy kis erőfeszítést kell tennie. Tehát a geometria rád vár!

Nagyon gyakran döntéskor iskolai feladatokat a fizikában felmerül a kérdés - hogyan lehet megtalálni a kör kerületét az átmérő ismeretében? Valójában nincsenek nehézségek a probléma megoldásában, csak világosan kell elképzelni, hogy mi képletek, ehhez fogalmak és definíciók szükségesek.

Alapfogalmak és definíciók

1. A sugár az összekötő vonal a kör középpontja és tetszőleges pontja. Ki van jelölve latin betű r.
2. Az akkord két tetszőleges vonalat köt össze körön fekvő pontok.
3. Az átmérő az összekötő vonal egy kör két pontja és áthalad a középpontján. A latin d betű jelöli.
4. egy olyan egyenes, amely az összes pontból áll, amely a következő helyen található egyenlő távolságra egy kiválasztott pontból, amelyet középpontjának nevezünk. A hosszát latin l betűvel jelöljük.

A kör területe a teljes terület körbe zárva. Meg van mérve V négyzetegységek és a latin s betűvel jelöljük.

Definícióink segítségével arra a következtetésre jutunk, hogy egy kör átmérője egyenlő a legnagyobb húrjával.

Figyelem! A kör sugarának meghatározásából megtudhatja, hogy mekkora a kör átmérője. Ez két ellentétes irányú sugár!

Egy kör átmérője.

A kör kerületének és területének meghatározása

Ha megadjuk egy kör sugarát, akkor a kör átmérőjét a képlet írja le d = 2*r. Így annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogyan lehet megtalálni a kör átmérőjét, ismerve a sugarát, elegendő az utolsó szorozzuk meg kettővel.

A kör kerületének sugarával kifejezett képlet alakja l = 2*P*r.

Figyelem! A latin P (Pi) betű a kör kerületének és átmérőjének arányát jelöli, és ez nem periodikus. decimális. IN iskolai matematika 3,14-gyel egyenlő, korábban ismert táblázatos értéknek számít!

Most írjuk át az előző képletet, hogy megtaláljuk egy kör kerületét az átmérőjén keresztül, emlékezve arra, hogy mekkora a különbség a sugárhoz képest. Ki fog derülni: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

A matematika tantárgyból tudjuk, hogy a kör területét leíró képlet alakja: s = П*r^2.

Most írjuk át az előző képletet, hogy megtaláljuk egy kör területét az átmérőjén keresztül. kapunk,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Az egyik legnehezebb feladat ebben a témában a kör területének meghatározása a kerületen keresztül és fordítva. Használjuk ki, hogy s = П*r^2 és l = 2*П*r. Innen azt kapjuk, hogy r = l/(2*П). Helyettesítsük be a kapott sugár kifejezést a terület képletébe, így kapjuk: s = l^2/(4P). Teljesen hasonló módon a kerületet a kör területén keresztül határozzák meg.

A sugár hosszának és átmérőjének meghatározása

Fontos! Először is tanuljuk meg az átmérő mérését. Nagyon egyszerű - rajzoljon bármilyen sugarat, és hosszabbítsa meg az ellenkező oldalt amíg nem metszi az ívet. Az így kapott távolságot iránytűvel mérjük, és bármilyen metrikus eszközzel megtudjuk, mit keresünk!

Válaszoljunk arra a kérdésre, hogyan lehet megtudni a kör átmérőjét, ismerve a hosszát. Ehhez az l = П*d képletből fejezzük ki. Azt kapjuk, hogy d = l/P.

Azt már tudjuk, hogyan keressük meg az átmérőjét a kör kerületéből, és ugyanúgy megtaláljuk a sugarát is.

l = 2*P*r, tehát r = l/2*P. Általában a sugár meghatározásához átmérőben kell kifejezni, és fordítva.

Tegyük fel, hogy most meg kell határoznia az átmérőt, ismerve a kör területét. Azt a tényt használjuk, hogy s = П*d^2/4. Innen fejezzük ki a d-t. Meg fog menni d^2 = 4*s/P. Magának az átmérőnek a meghatározásához ki kell húznia a jobb oldal négyzetgyöke. Kiderül, hogy d = 2*sqrt(s/P).

Tipikus feladatok megoldása

1. Nézzük meg, hogyan találjuk meg az átmérőt, ha a kerület adott. Legyen egyenlő 778,72 kilométerrel. Megtalálásához szükséges d. d = 778,72/3,14 = 248 kilométer. Emlékezzünk arra, hogy mi az átmérő, és azonnal határozzuk meg a sugarat, hogy ezt megtegyük, a fent meghatározott d értéket felezzük. Meg fog menni r = 248/2 = 124 kilométer
2. Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy adott kör hosszát, ismerve a sugarát. Legyen r értéke 8 dm 7 cm Váltsuk át mindezt centiméterekre, akkor r egyenlő lesz 87 centiméterrel. A képlet segítségével keressük meg egy kör ismeretlen hosszát. Ekkor a kívánt értékünk egyenlő lesz l = 2*3,14*87 = 546,36 cm. A kapott értékünket alakítsuk át metrikus mennyiségek egész számává l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Meg kell határoznunk egy adott kör területét a képlet segítségével az ismert átmérőjén keresztül. Legyen d = 815 méter. Emlékezzünk a kör területének megtalálásának képletére. Helyettesítsük ide a nekünk adott értékeket, megkapjuk s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 négyzetméter m.
4. Most megtanuljuk, hogyan találjuk meg a kör területét, ismerve a sugarának hosszát. Legyen a sugár 38 cm Az általunk ismert képletet használjuk. Helyettesítsük itt a feltétel által adott értéket. A következőt kapja: s = 3,14 * 38 ^ 2 = 4534,16 négyzetméter. cm.
5. Az utolsó feladat egy kör területének meghatározása ismert hosszúságú körökben. Legyen l = 47 méter. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 négyzetméter m.

Kerület

1. Nehezebb megtalálni kerület átmérője, ezért először nézzük meg ezt a lehetőséget.

Példa: Határozzuk meg egy 6 cm átmérőjű kör kerületét!. A fenti kör kerülete képletet használjuk, de először meg kell találnunk a sugarat. Ehhez a 6 cm-es átmérőt elosztjuk 2-vel, és megkapjuk a kör sugarát 3 cm-re.

Ezek után minden rendkívül egyszerű: szorozzuk meg a Pi számot 2-vel és a kapott 3 cm-es sugárral.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Most nézzük újra az egyszerű lehetőséget keresse meg a kör kerületét, a sugara 5 cm

Megoldás: Szorozzuk meg az 5 cm-es sugarat 2-vel, és szorozzuk meg 3,14-gyel. Ne ijedjen meg, mert a szorzók átrendezése nem befolyásolja az eredményt, ill kerületi képlet bármilyen sorrendben használható.

5cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - ez a talált kerület 5 cm-es sugár esetén!

Online körméret kalkulátor

Kerület kalkulátorunk ezeket az egyszerű számításokat azonnal elvégzi, és sorba, megjegyzésekkel írja a megoldást. A kerületet 3, 5, 6, 8 vagy 1 cm-es sugár esetén számítjuk ki, vagy az átmérő 4, 10, 15, 20 dm, a számológépünk nem foglalkozik azzal, hogy melyik sugár értékét találja meg.

Minden számítás pontos lesz, amelyet speciális matematikusok tesztelnek. Az eredmények felhasználhatók a megoldásban iskolai feladatokat geometriában vagy matematikában, valamint az építőiparban végzett munkaszámításokhoz vagy a helyiségek javításához és díszítéséhez, amikor pontos számításokra van szükség ennek a képletnek a használatával.