A számok tulajdonságai. Az univerzális egyenlőtlenségek képlete

A valós számok mezője a rendezettség tulajdonságával rendelkezik (6. szakasz, 35. o.): bármely a, b számra egy, és a három reláció közül csak az egyik teljesül: vagy . Ebben az esetben az a > b bejegyzés azt jelenti, hogy a különbség pozitív, a bejegyzési különbség pedig negatív. A valós számok mezőjétől eltérően a mező komplex számok nem rendezett: komplex számoknál a „több” és „kevesebb” fogalmak nincsenek definiálva; Ezért ez a fejezet csak az valós számok.

A relációkat egyenlőtlenségnek nevezzük, az a és b számok az egyenlőtlenség tagjai (vagy részei), a > (nagyobb, mint) előjeleket és az a > b és c > d egyenlőtlenségeket ugyanazon (vagy egy és ugyanazon) egyenlőtlenségeknek nevezzük. jelentése; egyenlőtlenségek a > b és c Az egyenlőtlenség definíciójából rögtön az következik

1) bármely nullánál nagyobb pozitív szám;

2) bármelyik negatív szám nullánál kisebb;

3) bármely pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál;

4) két negatív szám közül az, amelyik abszolút értéke kisebb, nagyobb.

Mindezek az állítások egyszerű geometriai értelmezést tesznek lehetővé. Hadd pozitív irány a számtengely innen jobbra megy kiindulópont; akkor bármilyen előjele is legyen a számoknak, a nagyobbat a kisebb számot jelző ponttól jobbra eső pont ábrázolja.

Az egyenlőtlenségek a következő alapvető tulajdonságokkal rendelkeznek.

1. Aszimmetria (irreverzibilitás): ha , akkor , és fordítva.

Valójában, ha a különbség pozitív, akkor a különbség negatív. Azt mondják, hogy egy egyenlőtlenség feltételeinek átrendezése során az egyenlőtlenség jelentését az ellenkezőjére kell változtatni.

2. Tranzitivitás: ha , akkor . A különbségek pozitivitásából valóban az következik

Az egyenlőtlenségi jelek mellett az egyenlőtlenség jeleit és az egyenlőtlenség jeleket is használják alábbiak szerint: a jelölés azt jelenti, hogy vagy vagy Ezért például írhat , és azt is. Jellemzően a jelekkel írt egyenlőtlenségeket szigorú egyenlőtlenségeknek, a jelekkel írt egyenlőtlenségeket pedig nem szigorú egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ennek megfelelően magukat a jeleket szigorú vagy nem jeleinek nevezik szigorú egyenlőtlenség. A fent tárgyalt 1. és 2. tulajdonság erre is igaz nem szigorú egyenlőtlenségek.

Tekintsük most azokat a cselekvéseket, amelyeket egy vagy több egyenlőtlenséggel végezhetünk.

3. Ugyanazon szám hozzáadása egy egyenlőtlenség feltételeihez nem változtatja meg az egyenlőtlenség jelentését.

Bizonyíték. Legyen egyenlőtlenség és tetszőleges szám. Értelemszerűen a különbség pozitív. Ehhez a számhoz adjunk hozzá két ellentétes számot, ami nem változtat rajta, pl.

Ez az egyenlőség a következőképpen írható át:

Ebből az következik, hogy a különbség pozitív, vagyis az

és ezt kellett bizonyítani.

Ez az alapja annak a lehetőségnek, hogy az egyenlőtlenség bármely tagja ellentétes előjellel egyik részről a másikra torzuljon. Például az egyenlőtlenségtől

ebből következik

4. Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal, az egyenlőtlenség jelentése nem változik; Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, az egyenlőtlenség jelentése az ellenkezőjére változik.

Bizonyíték. Legyen akkor Ha akkor, mivel a pozitív számok szorzata pozitív. Az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán lévő zárójeleket megnyitva megkapjuk, azaz . Az esetet hasonló módon vizsgálják.

Pontosan ugyanezt a következtetést vonhatjuk le az egyenlőtlenség részeinek nullától eltérő számmal való osztásakor, mivel a számmal való osztás egyenértékű a számmal való szorzással, és a számok előjele megegyezik.

5. Legyenek pozitívak az egyenlőtlenség feltételei. Majd amikor tagjait ugyanarra neveljük pozitív fokozat az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Bizonyíték. Legyen ebben az esetben a tranzitív tulajdonság által, és . Majd a monoton növekedés miatt teljesítmény funkció mert és pozitív lesz

Különösen, ha hol van természetes szám, akkor azt kapjuk

vagyis ha egy egyenlőtlenség mindkét oldaláról kinyerjük a gyökét pozitív kifejezésekkel, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Legyenek az egyenlőtlenség feltételei negatívak. Akkor nem nehéz ezt bizonyítani, ha a feltételeit páratlanra emeljük természetes fok az egyenlőtlenség jelentése nem változik, de ha egyenletes természetes hatványra emeljük, akkor az ellenkezőjére változik. A negatív tagú egyenlőtlenségekből kivonható a páratlan fok gyöke is.

Legyen továbbá az egyenlőtlenség feltételei különböző jelek. Aztán felállításkor nem páros fokozat az egyenlőtlenség jelentése nem fog megváltozni, és ha egyenletes hatványra emeljük, semmi sem biztos a keletkező egyenlőtlenség jelentésében általános eset Lehetetlen megmondani. Valójában egy szám emelésekor páratlan fokozat a szám előjele megmarad, és ezért az egyenlőtlenség jelentése nem változik. Ha egy egyenlőtlenséget egyenletes hatványra emelünk, akkor pozitív kifejezésekkel egyenlőtlenség jön létre, és ennek jelentése attól függ, abszolút értékeket Az eredeti egyenlőtlenség kifejezései alapján az eredmény lehet az eredetivel azonos jelentésű egyenlőtlenség, ellenkező értelmű egyenlőtlenség, sőt egyenlőség is!

Hasznos az alábbi példa segítségével ellenőrizni mindazt, amit a hatalmi egyenlőtlenségek emeléséről mondtak.

Példa 1. Emelje fel a következő egyenlőtlenségeket a megadott hatványra, ha szükséges, változtassa az egyenlőtlenség jelét ellentétes vagy egyenlőségjelre.

a) 3 > 2 4 hatványára; b) a 3. fokozatig;

c) 3. fokozatra; d) 2. fokozatra;

e) 5 hatványára; e) a 4. fokozatig;

g) 2 > -3 2 hatványára; h) 2 hatványára,

6. Egy egyenlőtlenségből továbbléphetünk a közötti egyenlőtlenségre, ha az egyenlőtlenség mindkét tagja pozitív vagy negatív, akkor a reciprok között ellentétes jelentésű egyenlőtlenség van:

Bizonyíték. Ha a és b azonos előjelű, akkor a szorzatuk pozitív. Oszd egyenlőtlenséggel

vagyis amit meg kellett szerezni.

Ha egy egyenlőtlenség tagjainak ellentétes előjelei vannak, akkor a reciprok közötti egyenlőtlenség ugyanazt jelenti, mivel a reciprok előjelei megegyeznek maguknak a mennyiségeknek az előjeleivel.

2. példa Ellenőrizze az utolsó 6. tulajdonságot a következő egyenlőtlenségek segítségével:

7. Az egyenlőtlenségek logaritmusa csak abban az esetben végezhető el, ha az egyenlőtlenségek tagjai pozitívak (negatív számok és nulla logaritmusok nem rendelkeznek).

Hadd . Aztán lesz

és mikor lesz

Ezen állítások helyessége a monotonitáson alapul logaritmikus függvény, ami növekszik, ha a bázis és csökken azzal

Tehát, ha egy pozitív tagokból álló egyenlőtlenség logaritmusát vesszük alapul, egynél nagyobb, akkor az adottval azonos jelentésű egyenlőtlenség keletkezik, és ha logaritmikusan egynél kisebb pozitív bázisra vesszük, akkor ezzel ellentétes jelentésű egyenlőtlenség jön létre.

8. Ha, akkor ha, de, akkor.

Ez azonnal következik a monotonitás tulajdonságaiból exponenciális függvény(42. o.), amely az esetben nő, és csökken, ha

Ha azonos jelentésű kifejezési egyenlőtlenségeket adunk hozzá, az adatokkal azonos jelentésű egyenlőtlenség jön létre.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be ezt az állítást két egyenlőtlenségre, bár bármennyi hozzáadott egyenlőtlenségre igaz. Legyenek adottak az egyenlőtlenségek

Értelemszerűen a számok pozitívak lesznek; akkor az összegük is pozitívnak bizonyul, i.e.

A kifejezéseket eltérően csoportosítva azt kapjuk

és ezért

és ezt kellett bizonyítani.

Egy két vagy több különböző jelentésű egyenlőtlenség összeadásával kapott egyenlőtlenség jelentéséről általános esetben nem lehet semmi határozottat mondani.

10. Ha az egyik egyenlőtlenségből tagonként kivonunk egy másik, ellenkező értelmű egyenlőtlenséget, akkor az elsővel azonos jelentésű egyenlőtlenség jön létre.

Bizonyíték. Legyen két eltérő jelentésű egyenlőtlenség adott. Közülük a második az irreverzibilitás tulajdonsága szerint a következőképpen írható át: d > c. Most adjuk össze a két egyenlőtlenséget ugyanaz a jelentésés megkapjuk az egyenlőtlenséget

ugyanaz a jelentés. Ez utóbbiból azt találjuk

és ezt kellett bizonyítani.

Lehetetlen általános esetben semmi határozottat mondani egy olyan egyenlőtlenség jelentéséről, amelyet úgy kapunk, hogy az egyik egyenlőtlenségből kivonunk egy másik azonos jelentésű egyenlőtlenséget.

Az egyenlőtlenségeket az iskolában tanultuk, ahol számszerű egyenlőtlenségeket használunk. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a tulajdonságokat számszerű egyenlőtlenségek, amelyre a velük való munka elvei épülnek.

Az egyenlőtlenségek tulajdonságai hasonlóak a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságaihoz. Figyelembe veszik az ingatlanokat, annak indoklását, és példákat hoznak fel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numerikus egyenlőtlenségek: definíció, példák

Az egyenlőtlenségek fogalmának bevezetésekor azt látjuk, hogy definíciójukat a rekord típusa határozza meg. Elérhető algebrai kifejezések, amelyeknek ≠ jelei vannak,< , >, ≤ , ≥ . Adjunk egy definíciót.

1. definíció

Numerikus egyenlőtlenség egyenlőtlenségnek nevezzük, amelyben mindkét oldalon vannak számok és numerikus kifejezések.

Figyelembe vesszük a számszerű egyenlőtlenségeket az iskolában a tanulás után természetes számok. Az ilyen összehasonlítási műveleteket lépésről lépésre tanulmányozzuk. Az elsők úgy néznek ki, mint az 1< 5 , 5 + 7 >3. Ezután a szabályok kiegészülnek, és az egyenlőtlenségek bonyolultabbá válnak, ekkor 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 alakú egyenlőtlenségeket kapunk. 73-17 2< 0 .

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai

Az egyenlőtlenségek helyes kezeléséhez a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait kell használni. Az egyenlőtlenség fogalmából származnak. Ezt a fogalmat egy állítás segítségével határozzák meg, amelyet „több” vagy „kevesebb”-ként jelölnek meg.

2. definíció

• az a szám nagyobb, mint b, ha az a - b különbség pozitív szám;
• az a szám kisebb, mint b, ha az a - b különbség negatív szám;
• az a szám egyenlő b-vel, ha az a - b különbség nulla.

A definíciót akkor használják, amikor egyenlőtlenségeket oldanak meg a „kisebb vagy egyenlő”, „nagyobb vagy egyenlő” összefüggésekkel. Ezt értjük

3. definíció

• a nagyobb vagy egyenlő b-vel, ha a - b nemnegatív szám;
• a kisebb vagy egyenlő b-vel, ha a - b egy nem pozitív szám.

A definíciókat a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak bizonyítására fogjuk használni.

Alaptulajdonságok

Nézzünk meg 3 fő egyenlőtlenséget. Jelek használata< и >a következő tulajdonságokra jellemző:

4. definíció

• antireflexivitás, ami azt mondja, hogy bármely a szám az a egyenlőtlenségekből< a и a >a helytelennek minősül. Ismeretes, hogy bármely a-ra teljesül az a − a = 0 egyenlőség, így azt kapjuk, hogy a = a. Tehát a< a и a >a helytelen. Például 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 hibás.
• aszimmetria. Amikor az a és b számok olyanok, hogy a< b , то b >a, és ha a > b, akkor b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Ennek második része is hasonló módon bizonyított.

1. példa

Például, ha figyelembe vesszük az 5-ös egyenlőtlenséget< 11 имеем, что 11 >5, ami azt jelenti, hogy a − 0, 27 > − 1, 3 numerikus egyenlőtlensége át lesz írva − 1, 3-ra< − 0 , 27 .

Mielőtt továbblépne a az alábbi ingatlanra, vegye figyelembe, hogy az aszimmetria segítségével leolvashatja az egyenlőtlenséget jobbról balra és fordítva. Ily módon a numerikus egyenlőtlenségek módosíthatók és felcserélhetők.

5. definíció

• tranzitivitást. Ha az a, b, c számok megfelelnek az a feltételnek< b и b < c , тогда a < c , и если a >b és b > c , majd a > c .

Bizonyíték 1

Az első állítás bizonyítható. Feltétel a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

A tranzitivitási tulajdonsággal rendelkező második rész is hasonló módon bizonyított.

2. példa

Az elemzett tulajdonságot az egyenlőtlenségek példáján tekintjük − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 és 1 8 > 1 32, ebből az következik, hogy 1 2 > 1 32.

A gyenge egyenlőtlenségjelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek reflexiós tulajdonsággal rendelkeznek, mivel a ≤ a és a ≥ a lehet az a = a egyenlőség esete. Jellemzőjük az aszimmetria és a tranzitivitás.

6. definíció

Azok az egyenlőtlenségek, amelyek írásában ≤ és ≥ előjellel rendelkeznek, a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

• a reflexivitást a ≥ a és a ≤ a valódi egyenlőtlenségnek tekintjük;
• antiszimmetria, ha a ≤ b, akkor b ≥ a, és ha a ≥ b, akkor b ≤ a.
• tranzitivitás, ha a ≤ b és b ≤ c, akkor a ≤ c, és ha a ≥ b és b ≥ c, akkor a ≥ c.

A bizonyítás is hasonló módon történik.

A numerikus egyenlőtlenségek további fontos tulajdonságai

Az egyenlőtlenségek alapvető tulajdonságainak kiegészítésére olyan eredményeket használnak, amelyek rendelkeznek gyakorlati jelentősége. A módszer elve a kifejezések értékeinek becslésére szolgál, amelyeken az egyenlőtlenségek megoldásának elvei alapulnak.

Ez a bekezdés feltárja az egyenlőtlenségek tulajdonságait a szigorú egyenlőtlenség egyik jelére vonatkozóan. Ugyanez történik a nem szigorúakkal is. Nézzünk egy példát, megfogalmazva az egyenlőtlenséget, ha a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• ha a > b, akkor a + c > b + c;
• ha a ≤ b, akkor a + c ≤ b + c;
• ha a ≥ b, akkor a + c ≥ b + c.

A kényelmes bemutatás érdekében megadjuk a megfelelő nyilatkozatot, amelyet leírunk, és bizonyítékokat adunk meg, felhasználási példákat mutatunk be.

7. definíció

Szám hozzáadása vagy kiszámítása mindkét oldalra. Más szóval, amikor a és b az a egyenlőtlenségnek felel meg< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bizonyíték 2

Ennek bizonyításához az egyenletnek teljesítenie kell az a feltételt< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления ellentétes szám- Együtt.

3. példa

Például, ha a 7 > 3 egyenlőtlenség mindkét oldalát 15-tel növeljük, akkor azt kapjuk, hogy 7 + 15 > 3 + 15. Ez egyenlő: 22 > 18.

8. definíció

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a c számmal, valódi egyenlőtlenséget kapunk. Ha negatív számot vesz fel, az előjel az ellenkezőjére változik. Egyébként a következőképpen néz ki: a és b esetén az egyenlőtlenség teljesül, ha a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >i.e.

Bizonyíték 3

Ha c > 0 eset van, akkor különbséget kell tenni a bal és a között megfelelő részek egyenlőtlenségek. Ekkor azt kapjuk, hogy a · c − b · c = (a − b) · c . feltételtől a< b , то a − b < 0 , а c >0, akkor az (a − b) · c szorzat negatív lesz. Ebből következik, hogy a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Bizonyításkor az egész számmal való osztás helyettesíthető szorzással az adott inverzével, azaz 1 c-vel. Nézzünk egy példát egy tulajdonságra bizonyos számokon.

4. példa

A 4-es egyenlőtlenség mindkét oldala megengedett< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Most fogalmazzuk meg a következő két eredményt, amelyeket az egyenlőtlenségek megoldására használunk:

• Következmény 1. Egy numerikus egyenlőtlenség részeinek előjeleinek megváltoztatásakor maga az egyenlőtlenség előjele is az ellenkezőjére változik, mint a< b , как − a >− b . Ez azt a szabályt követi, hogy mindkét oldalt megszorozzuk -1-gyel. Átmenetre alkalmazható. Például – 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Következmény 2. Ha egy numerikus egyenlőtlenség részeit reciprok számokra cseréljük, az előjele is megváltozik, és az egyenlőtlenség igaz marad. Ebből az következik, hogy a és b pozitív számok, a< b , 1 a >1b.

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát felosztjuk a< b разрешается на число a · b . Ez az ingatlan akkor használjuk, ha az 5 > 3 2 egyenlőtlenség igaz, akkor az 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >Az 1b helytelen lehet.

5. példa

Például – 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 helytelen egyenlet.

Minden pontot egyesít az a tény, hogy az egyenlőtlenség részein végzett cselekvések a helyes egyenlőtlenséget adják a kimeneten. Tekintsünk olyan tulajdonságokat, ahol kezdetben több numerikus egyenlőtlenség is van, és ennek eredményét részei összeadásával vagy szorzásával kapjuk.

9. definíció

Amikor az a, b, c, d számok érvényesek az a egyenlőtlenségekre< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

4. bizonyítás

Bizonyítsuk be, hogy (a + c) − (b + d) negatív szám, akkor azt kapjuk, hogy a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям ugyanaz a szám. Ekkor növeljük az egyenlőtlenséget a< b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

A tulajdonság három, négy vagy több numerikus egyenlőtlenség távonkénti összeadására szolgál. Az a 1 , a 2 , … , a n és b 1 , b 2 , … , b n számok kielégítik az a 1 egyenlőtlenségeket< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод matematikai indukció, miután megkapta az 1 + a 2 + … + a n értéket< b 1 + b 2 + … + b n .

6. példa

Például adott három azonos előjelű numerikus egyenlőtlenség – 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

10. definíció

Mindkét oldal termikus szorzata pozitív számot eredményez. Amikor a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bizonyíték 5

Ennek bizonyításához szükségünk van az a egyenlőtlenség mindkét oldalára< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ezt a tulajdonságot arra a számra tekintjük érvényesnek, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldalát meg kell szorozni. Majd a 1 , a 2 , … , a nÉs b 1, b 2, …, b n pozitív számok, ahol egy 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Vegyük észre, hogy az egyenlőtlenségek felírásakor vannak nem pozitív számok, akkor ezek tagonkénti szorzása hibás egyenlőtlenségekhez vezet.

7. példa

Például az 1. egyenlőtlenség< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Következmény: Az egyenlőtlenségek időbeli szorzása a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai

Tekintsük a numerikus egyenlőtlenségek alábbi tulajdonságait.

1. a< a , a >a - nem valódi egyenlőtlenségek,
   a ≤ a, a ≥ a valódi egyenlőtlenségek.
2. Ha a< b , то b >a - antiszimmetria.
3. Ha a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Ha a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Ha a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Ha a< b и c - отрицательное число, то a · c >i.e.

1. következmény: ha a< b , то - a >-b.

2. következmény: ha a és b pozitív számok és a< b , то 1 a >1b.

1. Ha egy 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Ha egy 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n pozitív számok és a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

1. következmény: Ha a< b , a És b pozitív számok, akkor egy n< b n .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az egyenlőtlenségek kiemelkedő szerepet játszanak a matematikában. Az iskolában főleg azzal foglalkozunk számszerű egyenlőtlenségek, amelynek meghatározásával kezdjük ezt a cikket. És akkor felsoroljuk és megindokoljuk a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai, amelyen az egyenlőtlenségekkel való munka minden elve alapul.

Rögtön megjegyezzük, hogy a numerikus egyenlőtlenségek sok tulajdonsága hasonló. Ezért az anyagot ugyanazon séma szerint mutatjuk be: megfogalmazunk egy tulajdonságot, megadjuk annak indoklását és példáit, majd áttérünk a következő tulajdonságra.

Oldalnavigáció.

Numerikus egyenlőtlenségek: definíció, példák

Amikor bemutattuk az egyenlőtlenség fogalmát, észrevettük, hogy az egyenlőtlenségeket gyakran az írásmód határozza meg. Tehát az egyenlőtlenségeket értelmes algebrai kifejezéseknek neveztük, amelyek nem egyenlő ≠, kisebb előjeleket tartalmaznak.<, больше >, kisebb vagy egyenlő, mint ≤ vagy nagyobb vagy egyenlő, mint ≥. A fenti definíció alapján célszerű egy numerikus egyenlőtlenség definícióját megadni:

A numerikus egyenlőtlenségekkel való találkozás az első osztályos matematika órákon következik be, közvetlenül az 1-től 9-ig tartó első természetes számok megismerése és az összehasonlítási művelet megismerése után. Igaz, ott egyszerűen egyenlőtlenségeknek nevezik őket, elhagyva a „numerikus” definícióját. Az érthetőség kedvéért nem ártana néhány példát hoznunk a legegyszerűbb numerikus egyenlőtlenségekre a vizsgálatnak abban a szakaszában: 1<2 , 5+2>3 .

A természetes számoktól távolabb pedig az ismeretek más típusú számokra (egész, racionális, valós számok) is kiterjednek, ezek összehasonlításának szabályait tanulmányozzuk, és ez jelentősen kibővíti a numerikus egyenlőtlenségek fajtáinak sokféleségét: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai

A gyakorlatban az egyenlőtlenségekkel való munka számos lehetőséget tesz lehetővé a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai. Az általunk bevezetett egyenlőtlenség fogalmából következnek. A számokkal kapcsolatban ez a fogalom adott a következő kijelentést, amely a „kisebb, mint” és a „több, mint” összefüggések definíciójának tekinthető egy számhalmazon (ezt gyakran nevezik az egyenlőtlenség differenciadefiníciójának):

Meghatározás.

• szám a több szám b akkor és csak akkor, ha az a−b különbség pozitív szám;
• szám a kevesebb szám b akkor és csak akkor, ha az a−b különbség negatív szám;
• az a szám akkor és csak akkor egyenlő a b számmal, ha az a−b különbség nulla.

Ez a definíció átdolgozható a „kisebb vagy egyenlő” és a „nagyobb vagy egyenlő, mint” relációk definíciójává. Íme a megfogalmazása:

Meghatározás.

• szám a akkor és csak akkor nagyobb vagy egyenlő b-vel, ha a-b – nem negatív szám;
• a kisebb vagy egyenlő b-vel, akkor és csak akkor, ha a-b egy nem pozitív szám.

Ezeket a definíciókat fogjuk használni a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak bizonyításakor, amelyek áttekintésével folytatjuk.

Alaptulajdonságok

Az áttekintést az egyenlőtlenségek három fő tulajdonságával kezdjük. Miért alapvetőek? Mivel ezek az egyenlőtlenségek tulajdonságait tükrözik általános értelemben, és nem csak a numerikus egyenlőtlenségekkel kapcsolatban.

Előjelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek< и >, jellemző:

Ami a gyenge ≤ és ≥ egyenlőtlenségjelekkel írt numerikus egyenlőtlenségeket illeti, reflexivitás (és nem antireflexivitás) tulajdonsággal rendelkeznek, mivel az a≤a és a≥a egyenlőtlenségek az a=a egyenlőség esetét is tartalmazzák. Jellemzőjük az antiszimmetria és a tranzitivitás is.

Tehát a ≤ és ≥ jelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

• reflexivitás a≥a és a≤a valódi egyenlőtlenségek;
• antiszimmetria, ha a≤b, akkor b≥a, és ha a≥b, akkor b≤a.
• tranzitivitás, ha a≤b és b≤c, akkor a≤c, továbbá, ha a≥b és b≥c, akkor a≥c.

Bizonyításuk nagyon hasonló a már megadottakhoz, ezért nem fogunk rajtuk kitérni, hanem áttérünk a numerikus egyenlőtlenségek egyéb fontos tulajdonságaira.

A numerikus egyenlőtlenségek további fontos tulajdonságai

Egészítsük ki a numerikus egyenlőtlenségek alapvető tulajdonságait egy sor gyakorlati jelentőséggel bíró eredményekkel. A kifejezések értékeinek becslésére szolgáló módszerek ezeken alapulnak megoldások az egyenlőtlenségekre stb. Ezért ajánlatos jól megérteni őket.

Ebben a részben csak a szigorú egyenlőtlenség egyik jelére fogjuk megfogalmazni az egyenlőtlenségek tulajdonságait, de érdemes szem előtt tartani, hogy hasonló tulajdonságok érvényesek az ellenkező előjelre, valamint a nem szigorú egyenlőtlenségek jeleire is. Magyarázzuk meg ezt egy példával. Az alábbiakban megfogalmazzuk és igazoljuk az egyenlőtlenségek következő tulajdonságát: ha a

• ha a>b, akkor a+c>b+c ;
• ha a≤b, akkor a+c≤b+c;
• ha a≥b, akkor a+c≥b+c.

A kényelem kedvéért a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait lista formájában mutatjuk be, miközben megadjuk a megfelelő állítást, formálisan írjuk le betűkkel, bizonyítunk, majd használati példákat mutatunk be. A cikk végén pedig egy táblázatban foglaljuk össze a numerikus egyenlőtlenségek összes tulajdonságát. Menjünk!