Egyenletek

Hogyan lehet egyenleteket megoldani?

Ebben a részben felidézzük (vagy tanulmányozzuk, attól függően, hogy kit választasz) a legelemibb egyenletekre. Tehát mi az egyenlet? Emberi értelemben ez valamiféle matematikai kifejezés, ahol egyenlőségjel és ismeretlen található. Amit általában betűvel jelölnek "X". Oldja meg az egyenletet- ez az, hogy megtaláljuk az x olyan értékeit, amelyekre behelyettesítve eredeti kifejezés adja meg a helyes azonosságot. Hadd emlékeztesselek arra, hogy az identitás olyan kifejezés, amely kétségtelen még egy olyan ember számára is, akit egyáltalán nem terhel a matematikai tudás. Például 2=2, 0=0, ab=ab stb. Tehát hogyan lehet egyenleteket megoldani? Találjuk ki.

Mindenféle egyenlet létezik (meglepődöm, igaz?). De minden végtelen változatosságuk csak négy típusra osztható.

4. Mindenki más.)

Az összes többi persze leginkább igen...) Ide tartozik a köbös, az exponenciális, a logaritmikus, a trigonometrikus és minden más. Szorosan együttműködünk velük a megfelelő szekciókban.

Azonnal megmondom, hogy néha az egyenletek első három annyira átverik a típusokat, hogy fel sem ismered őket... Semmi. Megtanuljuk, hogyan oldjuk meg őket.

És miért van szükségünk erre a négy típusra? És akkor mi van lineáris egyenletek egyféleképpen oldják meg négyzet mások, tört racionalitások – harmadik, A pihenés Egyáltalán nem merik! Nos, nem arról van szó, hogy egyáltalán nem tudnak dönteni, hanem arról, hogy tévedtem a matematikában.) Csak megvannak a saját speciális technikáik és módszereik.

De bármely (ismétlem - számára bármilyen!) egyenletek megbízható és hibamentes alapot adnak a megoldáshoz. Mindenhol és mindig működik. Ez az alapozó - Ijesztően hangzik, de nagyon egyszerű. És nagyon (Nagyon!) fontos.

Valójában az egyenlet megoldása éppen ezekből a transzformációkból áll. 99% Válasz a kérdésre: " Hogyan lehet egyenleteket megoldani?" pontosan ezekben az átalakulásokban rejlik. Világos a célzás?)

Egyenletek azonos transzformációi.

IN bármilyen egyenlet az ismeretlen megtalálásához átalakítanod és egyszerűsítened kell eredeti példa. És így, ha a megjelenés megváltozik az egyenlet lényege nem változott. Az ilyen transzformációkat ún azonos vagy azzal egyenértékű.

Vegye figyelembe, hogy ezek az átalakítások érvényesek konkrétan az egyenletekre. A matematikában is vannak identitástranszformációk kifejezéseket. Ez egy másik téma.

Most megismételjük az összes, minden, minden alapvető egyenletek azonos transzformációi.

Alapvető, mert rájuk lehet alkalmazni bármilyen egyenletek - lineáris, másodfokú, tört, trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus stb. stb.

Az első identitásátalakítás: bármely egyenlet mindkét oldalához hozzáadhat (kivonhat). bármilyen(de egy és ugyanaz!) szám vagy kifejezés (beleértve az ismeretlen kifejezést is!). Ez nem változtat az egyenlet lényegén.

Egyébként állandóan ezt a transzformációt használtad, csak arra gondoltál, hogy az egyenlet egyik részéből előjelváltással átvisz néhány tagot a másikba. Típus:

Az eset ismerős, jobbra mozgatjuk a kettőt, és ezt kapjuk:

Tulajdonképpen te elvitték az egyenlet mindkét oldaláról kettő. Az eredmény ugyanaz:

x+2 - 2 = 3 - 2

A kifejezések balra és jobbra mozgatása előjelváltással egyszerűen az első identitástranszformáció rövidített változata. És miért van szükségünk ilyenekre mély tudás? – kérdezed. Semmi az egyenletekben. Az isten szerelmére, bírd ki. Csak ne felejtse el megváltoztatni a jelet. Ám az egyenlőtlenségekben az átvitel szokása zsákutcához vezethet...

Második identitásátalakítás: az egyenlet mindkét oldala szorozható (osztható) ugyanazzal nem nulla szám vagy kifejezés. Itt már megjelenik egy érthető korlát: nullával szorozni hülyeség, osztani pedig teljesen lehetetlen. Ez az az átalakítás, amelyet akkor használsz, amikor valami klassz dolgot oldasz meg, mint pl

Világos X= 2. Hogyan találtad meg? Kiválasztás szerint? Vagy csak most tudatosult benned? Ahhoz, hogy ne szelektálj és ne várj a betekintésre, meg kell értened, hogy igazságos vagy felosztotta az egyenlet mindkét oldalát 5-tel. A bal oldal felosztásakor (5x) az ötöst csökkentettük, így tiszta X maradt. Pontosan erre volt szükségünk. És ha a (10) jobb oldalát elosztjuk öttel, akkor kettőt kapunk.

Ennyi.

Vicces, de ez a két (csak két!) egyforma átalakítás az alapja a megoldásnak a matematika összes egyenlete. Hűha! Érdemes példákat nézni arra, hogy mit és hogyan, nem?)

Példák egyenletek azonos transzformációira. Fő problémák.

Kezdjük azzal első identitás-átalakítás. Áthelyezés balról jobbra.

Példa a fiatalabbaknak.)

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő egyenletet:

3-2x=5-3x

Emlékezzünk a varázslatra: "X-szel - balra, X nélkül - jobbra!" Ez a varázslat az első identitástranszformáció használatára vonatkozó utasítások.) Mi az a kifejezés, amelynek jobb oldalán X van? 3x? A válasz helytelen! A jobb oldalunkon - 3x! Mínusz három x! Ezért, ha balra mozog, a jel pluszra változik. Ki fog derülni:

3-2x+3x=5

Tehát az X-eket egy halomba gyűjtötték. Térjünk bele a számokba. A bal oldalon három van. Milyen jellel? A „semmivel” választ nem fogadjuk el!) A három előtt valóban nincs semmi. És ez azt jelenti, hogy a három előtt van plusz. Tehát a matematikusok egyetértettek. Nincs ráírva semmi, ami azt jelenti plusz. Ezért a hármas átkerül a jobb oldalra mínuszával. Kapunk:

-2x+3x=5-3

Csak apróságok maradtak. A bal oldalon - hozzon hasonlókat, a jobb oldalon - számoljon. A válasz rögtön jön:

Ebben a példában egy identitásátalakítás elég volt. A másodikra ​​nem volt szükség. Na jó.)

Példa az idősebb gyermekek számára.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Amikor együtt dolgozunk különféle kifejezések, beleértve a számokat, betűket és változókat, végre kell hajtanunk nagy számban aritmetikai műveletek. Amikor konverziót végzünk vagy értéket számolunk, nagyon fontos követni a műveletek helyes sorrendjét. Más szóval, aritmetikai műveletek sajátjuk van külön rendelés végrehajtás.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ebben a cikkben megmondjuk, mely műveleteket kell először megtenni, és melyeket azután. Először is nézzünk meg néhányat egyszerű kifejezések, amelyek csak változó vagy numerikus értékeket, valamint osztás-, szorzás-, kivonás- és összeadásjeleket tartalmaznak. Ezután vegyünk példákat zárójelekkel, és gondoljuk át, milyen sorrendben kell ezeket kiszámítani. A harmadik részben adjuk kívánt sorrendet transzformációk és számítások azokban a példákban, amelyek gyökök, hatványok és egyéb függvények jeleit tartalmazzák.

Zárójel nélküli kifejezések esetén a műveletek sorrendje egyértelműen meghatározott:

1. Minden művelet balról jobbra történik.
2. Először az osztást és szorzást, majd a kivonást és az összeadást végezzük.

Ezeknek a szabályoknak a jelentése könnyen érthető. A hagyományos balról jobbra írási sorrend határozza meg a számítások alapvető sorrendjét, és az előbbi szorzás vagy osztás szükségességét ezeknek a műveleteknek a lényege magyarázza.

Vegyünk néhány feladatot az érthetőség kedvéért. Csak a legegyszerűbbeket használtuk numerikus kifejezések, hogy minden számítást fejben lehessen elvégezni. Így gyorsan megjegyezheti a kívánt sorrendet, és gyorsan ellenőrizheti az eredményeket.

1. példa

Állapot: számold ki, hogy mennyi lesz 7 − 3 + 6 .

Megoldás

Nincsenek zárójelek a kifejezésünkben, nincs szorzás és osztás sem, ezért minden műveletet a megadott sorrendben hajtunk végre. Először a hétből kivonunk hármat, majd a maradékhoz hozzáadunk hatot, és végül tíz lesz. Íme a teljes megoldás átirata:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Válasz: 7 − 3 + 6 = 10 .

2. példa

Állapot: milyen sorrendben kell a számításokat elvégezni a kifejezésben? 6:2 8:3?

Megoldás

A kérdés megválaszolásához olvassuk el újra a zárójel nélküli kifejezésekre vonatkozó, korábban megfogalmazott szabályt. Itt csak szorzás és osztás van, ami azt jelenti, hogy megtartjuk a számítások írott sorrendjét, és balról jobbra számolunk.

Válasz: Először a hatot elosztjuk kettővel, az eredményt megszorozzuk nyolccal, és a kapott számot elosztjuk hárommal.

3. példa

Állapot: számold ki, mennyi lesz 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Megoldás

Először is határozzuk meg a műveletek helyes sorrendjét, hiszen itt megvan az összes alapvető aritmetikai művelettípus - összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Az első dolgunk, hogy osszuk és szorozzuk. Ezeknek a műveleteknek nincs elsőbbsége egymással szemben, ezért jobbról balra haladva írott sorrendben hajtjuk végre őket. Vagyis 5-öt meg kell szorozni 6-tal, hogy 30-at kapjunk, majd 30-at el kell osztani 3-mal, hogy 10-et kapjunk. Ezt követően oszd el a 4-et 2-vel, ez 2. Helyettesítsük be a talált értékeket az eredeti kifejezésbe:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Itt már nincs osztás vagy szorzás, így a hátralévő számításokat sorrendben elvégezzük, és megkapjuk a választ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Válasz:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Amíg a műveletek végrehajtási sorrendjét szilárdan meg nem jegyzi, számokat helyezhet el az aritmetikai műveletek előjelei fölé, jelezve a számítási sorrendet. Például a fenti problémát így írhatjuk:

Ha van szó szerinti kifejezések, akkor ugyanezt tesszük velük: először szorozunk és osztunk, majd összeadunk és kivonunk.

Mik az első és a második szakasz műveletei?

Néha a kézikönyvekben minden aritmetikai műveletet az első és a második szakasz műveleteire osztanak. Fogalmazzuk meg a szükséges definíciót.

Az első szakasz műveletei közé tartozik a kivonás és az összeadás, a második - a szorzás és az osztás.

Ezen nevek ismeretében a műveletek sorrendjére vonatkozóan a korábban megadott szabályt a következőképpen írhatjuk fel:

2. definíció

Zárójelet nem tartalmazó kifejezésben először a második szakasz műveleteit kell végrehajtani balról jobbra, majd az első szakasz műveleteit (ugyanabban az irányban).

Számítási sorrend a zárójeles kifejezésekben

A zárójelek maguk a jelek, amelyek megmondják a cselekvések kívánt sorrendjét. Abban az esetben a helyes szabályígy írható:

3. definíció

Ha a kifejezésben zárójelek vannak, akkor első lépésként azokban kell végrehajtani a műveletet, ami után szorozunk és osztunk, majd balról jobbra összeadunk és kivonunk.

Ami magát a zárójeles kifejezést illeti, a főkifejezés szerves részének tekinthető. A zárójelben lévő kifejezés értékének kiszámításakor az általunk ismert eljárást alkalmazzuk. Illusztráljuk elképzelésünket egy példával.

4. példa

Állapot: számold ki, hogy mennyi lesz 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.

Megoldás

Ebben a kifejezésben zárójelek vannak, ezért kezdjük velük. Először is számoljuk ki, hogy mennyi lesz 7 − 2 · 3. Itt meg kell szoroznunk 2-t 3-mal, és ki kell vonnunk az eredményt 7-ből:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Az eredményt a második zárójelben számítjuk ki. Itt egyetlen műveletünk van: 6 − 4 = 2 .

Most be kell cserélnünk a kapott értékeket az eredeti kifejezésbe:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Kezdjük a szorzással és osztással, majd végezzük el a kivonást, és kapjuk meg:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Ezzel a számítások lezárulnak.

Válasz: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.

Ne ijedjen meg, ha feltételünk olyan kifejezést tartalmaz, amelyben egyes zárójelek másokat tartalmaznak. Csak a fenti szabályt kell következetesen alkalmaznunk minden zárójelben lévő kifejezésre. Vegyük ezt a problémát.

5. példa

Állapot: számold ki, hogy mennyi lesz 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Megoldás

Zárójelek vannak a zárójelben. Kezdjük 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), nevezetesen 2 + 3-val. 5 lesz. Az értéket be kell cserélni a kifejezésbe, és ki kell számítani, hogy 3 + 1 + 4 · 5. Emlékezzünk rá, hogy először szoroznunk kell, majd össze kell adnunk: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. A talált értékeket behelyettesítve az eredeti kifejezésbe, kiszámítjuk a választ: 4 + 24 = 28 .

Válasz: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Más szóval, amikor egy olyan kifejezés értékét számítjuk ki, amely zárójeleket tartalmaz a zárójelben, akkor a belső zárójelekkel kezdjük, és a külső zárójelek felé haladunk.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk, hogy mennyi lesz (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Kezdjük a belső zárójelben lévő kifejezéssel. Mivel 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, az eredeti kifejezés a következőképpen írható fel: (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Megint a belső zárójelekre nézve: 4 + 1 = 5. Elérkeztünk a kifejezéshez (4 + 5 − 1) − 1 . számolunk 4 + 5 − 1 = 8 és ennek eredményeként 8 - 1 különbséget kapunk, aminek eredménye 7 lesz.

A számítási sorrend hatványokkal, gyökökkel, logaritmusokkal és egyéb függvényekkel rendelkező kifejezésekben

Ha a feltételünk tartalmaz egy kifejezést fokos gyökérrel, logaritmussal ill trigonometrikus függvény(szinusz, koszinusz, érintő és kotangens) vagy más függvények, akkor először a függvény értékét számítjuk ki. Ezt követően az előző bekezdésekben meghatározott szabályok szerint járunk el. Más szóval, a függvények ugyanolyan fontosak, mint a zárójelben lévő kifejezés.

Nézzünk egy példát egy ilyen számításra.

6. példa

Állapot: találd meg, mennyi az (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Megoldás

Van egy fokos kifejezésünk, aminek az értékét kell először megtalálni. Számolunk: 6 2 = 36. Most cseréljük be az eredményt a kifejezésbe, amely után az (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 alakot veszi fel.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Válasz: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

Egy külön cikkben, amely a kifejezések értékeinek kiszámításával foglalkozik, más, többet nyújtunk összetett példák számítások gyököt, fokot stb. tartalmazó kifejezések esetén. Javasoljuk, hogy ismerkedjen meg vele.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az egyenlet egy olyan betűt tartalmazó egyenlőség, amelynek értékét meg kell találni.

Az egyenletekben az ismeretlent általában kisbetűvel jelöljük latin betű. Leggyakrabban az „x” [ix] és az „y” [y] betűket használják.

• Az egyenlet gyökere- ez annak a betűnek az értéke, amelynél a helyes eredményt kapjuk az egyenletből számszerű egyenlőség.
• Oldja meg az egyenletet- azt jelenti, hogy meg kell találni az összes gyökerét, vagy meg kell győződni arról, hogy nincsenek gyökerei.

Az egyenlet megoldása után mindig írunk egy csekket a válasz után.

Információk a szülőknek

Kedves Szülők, felhívjuk a figyelmet arra, hogy elemi iskolaés 5. osztályban a gyerekek NEM ismerik a „Negatív számok” témát.

Ezért az egyenleteket csak az összeadás, kivonás, szorzás és osztás tulajdonságaival kell megoldaniuk. Az alábbiakban bemutatjuk az 5. osztály egyenletek megoldásának módszereit.

Ne próbálja megmagyarázni az egyenletek megoldását úgy, hogy az egyenlet egyik részéből számokat és betűket előjelváltással áthelyez a másikba.

Az összeadáshoz, kivonáshoz, szorzáshoz és osztáshoz kapcsolódó fogalmakat az „Aritmetika törvényei” leckében ecsetelheti.

Összeadási és kivonási egyenletek megoldása

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
kifejezést

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
kisebbítendő

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
kivonandó

Megtalálni ismeretlen kifejezés, az összegből ki kell vonni egy ismert tagot.

Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.

Megtalálni ismeretlen részrész, ki kell vonni a különbséget a minuendből.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Vizsgálat

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Vizsgálat

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5–3
x = 2
Vizsgálat

Szorzási és osztási egyenletek megoldása

Hogyan találjunk meg egy ismeretlent
tényező

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
osztalék

Hogyan találjunk meg egy ismeretlent
osztó

Megtalálni ismeretlen szorzó, el kell osztania a terméket egy ismert tényezővel.

Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval.

Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Vizsgálat

y: 7 = 2
y = 27
y=14
Vizsgálat

8:y=4
y=8:4
y=2
Vizsgálat

Az egyenlet egy olyan betűt tartalmazó egyenlőség, amelynek előjelét meg kell találni. Az egyenlet megoldása a betűértékek halmaza, amely az egyenletet átalakítja igazi egyenlőség:

A megoldáshoz idézd fel egyenletát kell vinni az ismeretlennel rendelkező kifejezéseket az egyenlőség egyik részébe, a numerikus tagokat a másikba, hasonlókat kell hozni, és a következő egyenlőséget kapni:

Az utolsó egyenlőségből meghatározzuk az ismeretlent a szabály szerint: „az egyik tényező egyenlő a második tényezővel elosztott hányadossal”.

Mert racionális számok a és b lehet azonos és különböző jelek, akkor az ismeretlen előjelét a racionális számok osztásának szabályai határozzák meg.

Eljárás lineáris egyenletek megoldására

A lineáris egyenletet egyszerűsíteni kell a zárójelek kinyitásával és a második lépés műveleteinek (szorzás és osztás) végrehajtásával.

Mozgassa az ismeretleneket az egyenlőségjel egyik oldalára, a számokat pedig az egyenlőségjel másik oldalára, így az adott egyenlőséggel azonos egyenlőséget kap.

Hozz hasonlókat az egyenlőségjeltől balra és jobbra, így megkapod a forma egyenlőségét fejsze = b.

Számítsa ki az egyenlet gyökerét (keresse meg az ismeretlent X egyenlőségtől x = b : a),

Ellenőrizze úgy, hogy az ismeretlent behelyettesíti az adott egyenletbe.

Ha egy numerikus egyenlőségben azonosságot kapunk, akkor az egyenlet helyesen van megoldva.

Az egyenletek megoldásának speciális esetei

1. Ha egyenlet ha adott egy 0-val egyenlő szorzat, akkor a megoldáshoz a szorzás tulajdonságát használjuk: „a szorzat akkor egyenlő nullával, ha az egyik tényező vagy mindkét tényező nulla.”

27 (x - 3) = 0
27 nem egyenlő 0-val, ami azt jelenti x - 3 = 0

A második példának két megoldása van az egyenletre, mivel
ez egy másodfokú egyenlet:

Ha az egyenlet együtthatói közönséges törtek, akkor először is meg kell szabadulnunk a nevezőktől. Ehhez tegye a következőket:

Lelet közös nevező;

Határozza meg további szorzók az egyenlet minden tagjára;

Szorozzuk meg a törtek és egész számok számlálóit további tényezőkkel, és írjuk fel az egyenlet összes tagját nevezők nélkül (a közös nevezőt el lehet vetni);

Az egyenlőségjelből az ismeretleneket tartalmazó tagokat az egyenlet egyik oldalára, a numerikus tagokat pedig a másikra helyezzük, így ekvivalens egyenlőséget kapunk;

Hozz hasonló tagokat;

Az egyenletek alapvető tulajdonságai

Az egyenlet bármely részében megadhatjuk hasonló kifejezések vagy nyissa ki a tartót.

Az egyenlet bármely tagja átvihető az egyenlet egyik részéből a másikba, ha az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

Az egyenlet mindkét oldala 0 kivételével szorozható (osztható) ugyanazzal a számmal.

A fenti példában minden tulajdonságát felhasználtuk az egyenlet megoldására.

Szabály egyszerű egyenletek megoldására

Figyelem!
Vannak további
anyagok be Különleges szakasz 555.
Azoknak, akik nagyon „nem nagyon. »
És azoknak, akik „nagyon. ")

Lineáris egyenletek.

A lineáris egyenletek nem a leginkább összetett téma iskolai matematika. De vannak olyan trükkök, amelyek még egy képzett diákot is megzavarhatnak. Találjuk ki?)

A lineáris egyenletet általában a következő alakú egyenletként határozzák meg:

Semmi bonyolult, igaz? Főleg, ha nem veszi észre a következő szavakat: "ahol a és b tetszőleges számok". És ha észreveszi és hanyagul belegondol?) Végül is, ha a=0, b=0(bármilyen szám lehetséges?), akkor kapunk egy vicces kifejezést:

De ez még nem minden! Ha mondjuk a=0, A b=5, Ez valami egészen szokatlan dolognak bizonyul:

Ami megterhelő és aláássa a matematikába vetett bizalmat, igen.) Főleg vizsgák közben. De ezek közül a furcsa kifejezések közül meg kell találni X-et is! Ami egyáltalán nem létezik. És meglepő módon ezt az X-et nagyon könnyű megtalálni. Megtanuljuk ezt csinálni. Ebben a leckében.

Hogyan lehet felismerni egy lineáris egyenletet a megjelenése alapján? Attól függ mit megjelenés.) A trükk az, hogy nem csak az alak egyenleteit nevezzük lineáris egyenletnek fejsze + b = 0 , hanem minden olyan egyenletet is, amely átalakításokkal és egyszerűsítésekkel ebbe a formába redukálható. És ki tudja, hogy lejön-e vagy sem?)

A lineáris egyenlet bizonyos esetekben egyértelműen felismerhető. Tegyük fel, ha van egy egyenletünk, amelyben csak elsőfokú ismeretlenek és számok vannak. És az egyenletben nincs törtek osztva ismeretlen , ez fontos! És osztás szerint szám, vagy numerikus tört – ez örvendetes! Például:

Ez egy lineáris egyenlet. Itt vannak törtek, de nincs x a négyzetben, kockában stb., és nincs x a nevezőkben, azaz. Nem osztás x-szel. És itt van az egyenlet



nem nevezhető lineárisnak. Itt az X-ek mind első fokon vannak, de vannak osztás kifejezéssel x-szel. Egyszerűsítések és átalakítások után beszerezhet lineáris egyenletet, másodfokú egyenletet vagy bármit, ami tetszik.

Kiderült, hogy lehetetlen felismerni a lineáris egyenletet néhány bonyolult példában, amíg majdnem meg nem oldja. Ez felháborító. De a feladatoknál általában nem kérdeznek az egyenlet alakjáról, igaz? A feladatok egyenleteket kérnek dönt. Ez boldoggá tesz.)

Lineáris egyenletek megoldása. Példák.

A lineáris egyenletek teljes megoldása a következőkből áll identitás-transzformációk egyenletek. A megoldások alapját egyébként ezek az átalakítások (két darab!) képezik a matematika összes egyenlete. Más szóval a megoldás bármilyen az egyenlet éppen ezekkel a transzformációkkal kezdődik. Lineáris egyenletek esetén ez (a megoldás) ezeken a transzformációkon alapul, és teljes válasszal zárul. Van értelme követni a linket, nem?) Sőt, van ott példa a lineáris egyenletek megoldására is.

Először nézzük a legegyszerűbb példát. Minden buktató nélkül. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt az egyenletet.

Ez egy lineáris egyenlet. Az X-ek mind az első hatványban vannak, nincs X-szel való osztás. De valójában nem mindegy számunkra, hogy milyen egyenletről van szó. Meg kell oldanunk. A séma itt egyszerű. Gyűjts össze mindent az egyenlet bal oldalán lévő X-szel, a jobb oldalon pedig mindent, ahol nincs X (szám).

Ehhez át kell vinni — 4x bal oldalra, persze jelzésváltással, ill — 3 - jobbra. Mellesleg ez az az egyenletek első azonos transzformációja. Meglepődött? Ez azt jelenti, hogy nem követted a linket, de hiába.) Ezt kapjuk:

Itt vannak hasonlók, figyelembe vesszük:

Mi kell a teljes boldogsághoz? Igen, hogy a bal oldalon tiszta X legyen! Öt útban van. Megszabadulni az öttől a segítséggel az egyenletek második azonos transzformációja. Ugyanis az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 5-tel. Kész választ kapunk:

Természetesen egy elemi példa. Ez bemelegítésre szolgál.) Nem egészen világos, hogy miért emlékeztem itt azonos átalakításokra? RENDBEN. Fogjuk meg a bikát a szarvánál.) Döntsünk valami szilárdabbat.

Például itt van az egyenlet:



Hol kezdjük? X-szel - balra, X nélkül - jobbra? Ez lehetséges. Kis lépésekben hosszú út. Vagy megteheti azonnal, univerzális és erőteljes módon. Ha természetesen azonos egyenlettranszformációk vannak az arzenáljában.

Felteszek egy kulcskérdést: Mit nem szeretsz a legjobban ebben az egyenletben?

100 emberből 95 válaszol: törtek ! A válasz helyes. Tehát szabaduljunk meg tőlük. Ezért azonnal kezdjük azzal második identitástranszformáció. Mi kell ahhoz, hogy a bal oldali törtet megszorozzuk, hogy a nevező teljesen lecsökkenjen? Így van, 3-nál. És a jobb oldalon? 4-gyel. De a matematika lehetővé teszi, hogy mindkét oldalt megszorozzuk ugyanaz a szám. Hogyan juthatunk ki? Szorozzuk meg mindkét oldalt 12-vel! Azok. közös nevezőre. Ekkor a három és a négy is csökkenni fog. Ne felejtse el, hogy minden részt meg kell szoroznia teljesen. Így néz ki az első lépés:





Figyel! Számláló (x+2) zárójelbe teszem! Törtszámok szorzásakor ugyanis a teljes számlálót megszorozzuk! Most csökkentheti a törteket:

Bontsa ki a fennmaradó zárójeleket:

Nem példa, hanem puszta öröm!) Most emlékezzünk a varázslatra junior osztályok: X-szel - balra, X nélkül - jobbra!És alkalmazza ezt az átalakítást:

És mindkét részt elosztjuk 25-tel, azaz. alkalmazza újra a második transzformációt:



Ennyi. Válasz: X=0,16

Vegye figyelembe: hogy az eredeti zavaró egyenletet kellemes kilátás, kettőt használtunk (csak kettőt!) identitás-transzformációk– balra-jobbra fordítása előjelváltással és egy egyenlet azonos számmal való szorzásával-osztásával. Ez univerzális módszer! Ezzel együtt fogunk dolgozni bármilyen egyenletek! Teljesen bárki. Ezért unalmasan ismétlem ezeket az azonos átalakulásokat.)

Mint látható, a lineáris egyenletek megoldásának elve egyszerű. Felvesszük az egyenletet, és azonos transzformációkkal egyszerűsítjük, amíg meg nem kapjuk a választ. A fő problémák itt a számításokban vannak, nem a megoldás elvében.

De. Olyan meglepetések érik a legelemibb lineáris egyenletek megoldása során, hogy erős kábulatba kergethetnek.) Szerencsére csak két ilyen meglepetés lehet. Nevezzük őket különleges eseteknek.

Speciális esetek a lineáris egyenletek megoldásában.

Első meglepetés.

Tegyük fel, hogy egy nagyon alapvető egyenlettel találkozik, valami ilyesmi:

Kissé unottan az X-szel balra, az X nélkül jobbra haladunk. A táblaváltással minden rendben. Kapunk:

Azt gondoljuk, és hopp. Kapunk:

Ez az egyenlőség önmagában nem kifogásolható. Valóban nulla egyenlő nullával. De X hiányzik! És le kell írnunk a válaszba, x mivel egyenlő? Egyébként a megoldás nem számít, ugye.) Holtpont?

Nyugodt! Ilyen kétes esetekben a legáltalánosabb szabályok megmentenek. Hogyan lehet egyenleteket megoldani? Mit jelent egy egyenlet megoldása? Ez azt jelenti, keresse meg x összes értékét, amelyre behelyettesítve eredeti egyenlet, valódi egyenlőséget biztosít számunkra.

De nálunk van igazi egyenlőség már működött! 0=0, mennyivel pontosabb?! Azt kell kitalálni, hogy ez melyik x-nél történik. X milyen értékekkel helyettesíthető? eredeti egyenlet, ha ezek az x-ek még mindig zsugorodik teljes nulla? Gyerünk?)

Igen. Az X-ek helyettesíthetők bármilyen! Melyiket szeretnéd? Legalább 5, legalább 0,05, legalább -220. Akkor is zsugorodnak. Ha nem hiszi, ellenőrizheti.) Cserélje be az X bármely értékét eredeti egyenletet és kiszámítani. Mindig megkapja a tiszta igazságot: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 és így tovább.

Íme a válaszod: x - tetszőleges szám.

A választ többféleképpen is felírhatjuk matematikai ikonok, a lényeg nem változik. Ez egy teljesen helyes és teljes válasz.

Második meglepetés.

Vegyük ugyanazt az elemi lineáris egyenletet, és változtassunk meg benne csak egy számot. Ezt fogjuk eldönteni:

Ugyanezen azonos átalakítások után valami érdekeset kapunk:

mint ez. Megoldottunk egy lineáris egyenletet, és furcsa egyenlőséget kaptunk. Matematikai értelemben megkaptuk hamis egyenlőség.És beszélni egyszerű nyelven, ez nem igaz. Félrebeszél. De ennek ellenére ez a hülyeség nagyon jó ok rá a helyes döntés egyenletek.)

Ismét általános szabályok alapján gondolkodunk. Ha az eredeti egyenletbe behelyettesítjük az x-eket, az adható meg nekünk igaz egyenlőség? Igen, egyik sem! Nincsenek ilyen X-ek. Mindegy mit teszel bele, minden lecsökken, csak a hülyeségek maradnak.)

Íme a válaszod: nincsenek megoldások.

Ez is teljesen teljes válasz. A matematikában gyakran találunk ilyen válaszokat.

mint ez. Nos, remélem, az X-ek eltűnése bármely (nem csak lineáris) egyenlet megoldása során egyáltalán nem fogja megzavarni. Ez már ismerős dolog.)

Most, hogy az összes buktatóval foglalkoztunk lineáris egyenletek, van értelme megoldani őket.

Egységes államvizsgán lesznek? - hallom a kérdést gyakorlatias emberek. felelem. IN tiszta forma- Nem. Túl alapvető. De a GIA-n vagy az egységes államvizsga problémák megoldása során biztosan találkozni fog velük! Tehát az egeret tollra cseréljük, és döntünk.









A válaszok összevissza adják: 2,5; nincsenek megoldások; 51; 17.

Sikerült?! Gratulálok! Jó esélyeid vannak a vizsgákon.)

A válaszok nem egyeznek? Hmmm. Ez nem tesz boldoggá. Ez nem az a téma, ami nélkül meglenni. Azt javaslom, látogassa meg az 555. szakaszt. Nagyon részletesen le van írva, Mi meg kell tenni és Hogyan tegye ezt, hogy ne keveredjen össze a döntésben. Ezeket az egyenleteket példaként használva.

A hogyan kell megoldani az egyenleteket ravaszabbak - ez a következő topikban.

Ha tetszik ez az oldal.

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Itt gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

És itt megismerkedhet a függvényekkel és a származékokkal.

Lineáris egyenletek megoldása 7. évfolyam

Mert lineáris egyenletek megoldása két alapvető szabályt (tulajdonságokat) használjon.

1. számú ingatlan
vagy
átviteli szabály

Amikor az egyenlet egyik részéből a másikba viszünk át, az egyenlet egy tagja az ellenkezőjére változtatja az előjelét.

Nézzük meg az átviteli szabályt egy példán keresztül. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy lineáris egyenletet.



Emlékezzünk vissza, hogy minden egyenletnek van bal és jobb oldalon.



Vigyük át a „3” számot az egyenlet bal oldaláról jobbra.

Mivel a „3” számnak egy „+” jele volt az egyenlet bal oldalán, ez azt jelenti, hogy a „3” átkerül az egyenlet jobb oldalára „−” jellel.



Megkapta számérték"x = 2" az egyenlet gyökének nevezzük.

Ne felejtse el leírni a választ az egyenlet megoldása után.

Tekintsünk egy másik egyenletet.

Az átviteli szabály szerint az egyenlet bal oldaláról „4x” mozgatjuk jobbra, az előjelet fordítva az ellenkezőjére.

Annak ellenére, hogy a "4x" előtt nincs tábla, megértjük, hogy a "4x" előtt van egy "+" jel.

Most adjunk hasonlókat, és oldjuk meg az egyenletet a végéig.

2. számú ingatlan
vagy
felosztási szabály

Bármely egyenletben eloszthatja a bal és a jobb oldalt ugyanazzal a számmal.

De nem oszthatsz az ismeretlenre!

Nézzünk egy példát az osztási szabály használatára lineáris egyenletek megoldása során.

Az „x”-et jelentő „4” számot az ismeretlen numerikus együtthatójának nevezzük.



A numerikus együttható és az ismeretlen között mindig van egy szorzási művelet.

Az egyenlet megoldásához meg kell győződnie arról, hogy „x” együtthatója „1”.

Tegyük fel magunknak a kérdést: „Mivel osszuk el a „4”-et, hogy ez sikerüljön
kapsz "1"-et? A válasz nyilvánvaló, el kell osztani „4”-gyel.

Az osztási szabályt használjuk, és az egyenlet bal és jobb oldalát elosztjuk „4”-el. Ne felejtse el, hogy a bal és a jobb oldali részt is fel kell osztani.



Használjuk a törtcsökkentést, és oldjuk meg a lineáris egyenletet a végéig.



Hogyan lehet megoldani egy egyenletet, ha "x" negatív

Az egyenletekben gyakran előfordul olyan helyzet, amikor az „x” negatív együtthatóval rendelkezik. Mint az alábbi egyenletben.

Egy ilyen egyenlet megoldásához ismét feltesszük magunknak a kérdést: „Mivel kell elosztanunk a „-2”-t, hogy „1”-et kapjunk? El kell osztani „-2”-vel.

Egyszerű lineáris egyenletek megoldása

Ebben a videóban egy sor lineáris egyenletet elemezünk, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.

Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?

Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokig.

A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:

Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:

2. Ha van, bontsa ki a zárójeleket;
3. Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
4. Adjon hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalán;
5. A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.

Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:

6. Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például amikor valami olyasmi kiderül, hogy $0\cdot x=8$, pl. a bal oldalon a nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
7. A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.

Most pedig nézzük meg, hogyan működik mindez, valós példák segítségével.

Példák egyenletek megoldására

Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.

Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:

1. Először is meg kell nyitnia a zárójeleket, ha vannak (mint a mi utolsó példa);
2. Akkor hozzon hasonlót
3. Végül izoláljuk a változót, azaz. minden, ami a változóhoz kapcsolódik - a kifejezések, amelyekben szerepel - az egyik oldalra kerül, és minden, ami nélküle marad, a másik oldalra kerül.

Ezután általában hasonlókat kell hozni a kapott egyenlőség mindkét oldalára, és ezután már csak az „x” együtthatóval kell osztani, és megkapjuk a végső választ.

Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. A hibák jellemzően a zárójelek megnyitásakor vagy a „plusz” és „mínusz” kiszámításakor történnek.

Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy a megoldás a teljes számegyenes, i.e. tetszőleges szám. A mai leckében ezeket a finomságokat nézzük meg. De kezdjük, ahogy már megértetted, a nagyon egyszerű feladatokat.

Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására

Először is hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:

4. Bontsa ki a zárójeleket, ha vannak.
5. Elkülönítjük a változókat, azaz. Mindent, ami „X”-et tartalmaz, áthelyezünk az egyik oldalra, és mindent, amiben nincs „X” a másik oldalra.
6. Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
7. Mindent elosztunk az „x” együtthatóval.

Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak benne bizonyos finomságok és trükkök, és most megismerjük őket.

Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre

Az első lépéshez meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk őket ezt a szakaszt. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Kérjük, vegye figyelembe: arról beszélünk csak az egyes kifejezésekről. Írjuk fel:

Hasonló kifejezéseket mutatunk be a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért haladjunk tovább negyedik lépés: osztva az együtthatóval:

Tehát megkaptuk a választ.

Ebben a feladatban láthatjuk a zárójeleket, ezért bővítsük ki őket:

A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a kialakítást látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. a változók szétválasztása:

Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.

A harmadik lineáris egyenlet érdekesebb:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, egyszerűen csak különböző jelek előzik meg őket. Bontsuk fel őket:

Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:

Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az „x” együtthatóval:

Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során

Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, a következőket szeretném mondani:

8. Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
9. Még ha vannak is gyökerek, nulla lehet köztük – nincs ezzel semmi baj.

A nulla ugyanaz, mint a többi; semmilyen módon nem szabad megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kap, akkor valamit rosszul csinált.

Egy másik jellemző a zárójelek nyitásához kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. És akkor kinyithatjuk szabványos algoritmusok: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.

Ennek megértése egyszerű tény lehetővé teszi, hogy elkerülje az ostoba és sértő hibákat a középiskolában, amikor az ilyen tevékenységeket magától értetődőnek tekintik.

Összetett lineáris egyenletek megoldása

Térjünk tovább a továbbiakra összetett egyenletek. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és különféle transzformációk végrehajtásakor egy kvadratikus függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijednünk, mert ha a szerző terve szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformációs folyamat során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom biztosan törlődik.

Nyilvánvaló, hogy az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:

Most pedig vessünk egy pillantást az adatvédelemre:

Nyilvánvaló, hogy adott egyenlet Nincsenek megoldások, ezért ezt írjuk a válaszba:

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre. Első lépés:

Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:

Ennek a lineáris egyenletnek természetesen nincs megoldása, ezért a következőképpen írjuk fel:

vagy nincsenek gyökerei.

A megoldás árnyalatai

Mindkét egyenlet teljesen megoldott. E két kifejezést példaként használva ismét meggyőződhettünk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy, vagy nincs, vagy végtelen sok gyök. A mi esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, mindkettőnek egyszerűen nincs gyökere.

De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan kell megnyitni, ha mínusz jel van előtte. Fontolja meg ezt a kifejezést:

Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni „X”-szel. Figyelem: szoroz minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.

És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet kinyitni a zárójelet abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, amikor az átalakítások befejeződtek, eszünkbe jut, hogy a zárójelek előtt mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy minden alább egyszerűen előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.

Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:

Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig sorozat elemi átalakulások, ahol képtelenség egyértelműen és hozzáértően teljesíteni egyszerű lépéseket oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulnak ilyen egyszerű egyenleteket megoldani.

Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket az automatizmusig csiszolod. Többé nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.

Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása

Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:

Tegyünk egy kis magánéletet:

Végezzük el az utolsó lépést:

Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során másodfokú függvényű együtthatók voltak, ezek kioltották egymást, ami lineárissá teszi az egyenletet, és nem másodfokú.

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Óvatosan hajtsuk végre az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelből származó minden elemet a másodikból származó minden elemmel. Az átalakítások után összesen négy új kifejezésnek kell lennie:

Most óvatosan hajtsuk végre a szorzást minden egyes tagban:

Mozgassuk az „X”-szel jelölt kifejezéseket balra, a nem - jobbra pedig azokat:

Itt vannak hasonló kifejezések:

Ismét megkaptuk a végső választ.

A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban, hogy amint elkezdjük szorozni az egynél több tagot tartalmazó zárójeleket, az következő szabály: vesszük az első tagot az elsőből, és szorozunk minden elemmel a másodikból; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból származó minden elemmel. Ennek eredményeként négy ciklusunk lesz.

Az algebrai összegről

Ezzel az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mire algebrai összeg. IN klasszikus matematika 1-7 dollár alatt értjük egyszerű kialakítás: vonjon ki egyből hetet. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az „egy” számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a „mínusz hetest”. Így különbözik az algebrai összeg a közönséges számtani összegtől.

Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.

Végül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.

Egyenletek megoldása törtekkel

Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadnunk az algoritmusunkhoz. De először hadd emlékeztesselek az algoritmusunkra:

10. Külön változók.

Sajnos, ez a csodálatos algoritmus, minden hatékonysága ellenére, nem bizonyul teljesen megfelelőnek, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben a bal és a jobb oldalon is van egy tört.

Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet az első művelet előtt és után is meg lehet tenni, nevezetesen a törtektől való megszabadulást. Tehát az algoritmus a következő lesz:

11. Megszabadulni a törtektől.
12. Nyissa ki a zárójeleket.
13. Hozz hasonlókat.
14. Oszd el az aránnyal.

Mit jelent „megszabadulni a törtektől”? És miért lehet ezt megtenni az első standard lépés után és előtt is? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevezőjében, azaz. A nevező mindenhol csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezzel a számmal, megszabadulunk a törtektől.

Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:

Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert van két zárójel, nem jelenti azt, hogy mindegyiket "néggyel" kell szoroznia. Írjuk fel:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

A változót elkülönítjük:

Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Megvan végső döntést, menjünk tovább a második egyenletre.

Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:

Valójában ez minden, amit ma el akartam mondani.

Kulcspontok

A legfontosabb megállapítások a következők:

8. Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
9. A zárójelek kinyitásának képessége.
10. Ne aggódj, ha látod másodfokú függvények, nagy valószínűséggel a további átalakulások során csökkenni fognak.
11. A lineáris egyenletekben háromféle gyök létezik, még a legegyszerűbbek is: egyetlen gyök, az egész számegyen gyök, és nincs gyök.

Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, és oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!

12. Irracionális egyenlet: a gyökérizolációs módszerrel való megoldás megtanulása
13. Hogyan oldjunk meg egy kétnegyedes egyenletet
14. Teszt a leckéhez" Összetett kifejezések törtekkel" (egyszerű)
15. Próba Egységes Államvizsga 2012 december 7-től. 1. lehetőség (logaritmus nélkül)
16. Videólecke a C2 feladatokról: egy pont és egy sík távolsága
17. Matematikatanár: hol találunk diákokat?

A videó megtekintéséhez adja meg e-mail címét, és kattintson az „Edzés indítása” gombra

• Oktató 12 éves tapasztalattal
• Videofelvétel az egyes órákról
• Az osztályok egyszeri költsége - 3000 rubel 60 percre

Az egyenletek az egyik nehéz témák asszimilációhoz, de ugyanakkor elegendőek erőteljes eszköz a legtöbb probléma megoldására.

A leíráshoz egyenleteket használnak különféle folyamatok, a természetben előforduló. Az egyenleteket széles körben használják más tudományokban is: közgazdaságtanban, fizikában, biológiában és kémiában.

IN ezt a leckét Megpróbáljuk megérteni a legegyszerűbb egyenletek lényegét, megtanuljuk az ismeretlenek kifejezését és több egyenlet megoldását. Ahogy új anyagokat tanul, az egyenletek bonyolultabbá válnak, ezért nagyon fontos az alapok megértése.

Előzetes készségek Az óra tartalma

Mi az egyenlet?

Az egyenlet egy olyan egyenlőség, amely egy változót tartalmaz, amelynek az értékét meg akarja találni. Ennek az értéknek olyannak kell lennie, hogy az eredeti egyenletbe behelyettesítve a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk.

Például a 2 + 2 = 4 kifejezés egyenlőség. A bal oldal kiszámításakor a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk 4 = 4.

De az egyenlőség 2+ x= 4 egyenlet, mert változót tartalmaz x, melynek értéke megtalálható. Az értéknek olyannak kell lennie, hogy ha ezt az értéket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk.

Más szóval, meg kell találnunk egy értéket, amelynél az egyenlőségjel igazolná a helyét - a bal oldalnak egyenlőnek kell lennie a jobb oldallal.

Egyenlet 2 + x= 4 elemi. Változó érték x egyenlő a 2-es számmal. Más érték esetén az egyenlőség nem érvényesül

Azt mondják, hogy a 2-es szám gyökér vagy az egyenlet megoldása 2 + x = 4

Gyökér vagy az egyenlet megoldása- ez annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé változik.

Lehet több gyökér, vagy egyáltalán nincs. Oldja meg az egyenletet azt jelenti, hogy megtaláljuk a gyökereit, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökerei.

Az egyenletben szereplő változót egyébként ún ismeretlen. Jogod van annak nevezni, aminek tetszik. Ezek szinonimák.

Jegyzet. Az „egyenlet megoldása” kifejezés önmagáért beszél. Egy egyenlet megoldása az egyenlet „kiegyenlítését” jelenti – kiegyensúlyozzuk úgy, hogy a bal oldal egyenlő legyen a jobb oldallal.

Egy dolgot fejezz ki a másikon keresztül

Az egyenletek tanulmányozása hagyományosan azzal kezdődik, hogy megtanulunk egy egyenlőségben szereplő számot számos másik számon keresztül kifejezni. Ne törjük meg ezt a hagyományt, és tegyük ugyanezt.

Tekintsük a következő kifejezést:

8 + 2

Ez a kifejezés a 8 és 2 számok összege. Jelentés adott kifejezés egyenlő 10-el

8 + 2 = 10

Egyenlőséget kaptunk. Most bármilyen számot kifejezhet ebből az egyenlőségből az azonos egyenlőségben szereplő többi számon keresztül. Például fejezzük ki a 2-es számot.

A 2-es szám kifejezéséhez fel kell tennie a kérdést: „Mit kell tenni a 10-es és 8-as számokkal, hogy megkapjuk a 2-es számot”. Nyilvánvaló, hogy a 2-es szám megszerzéséhez ki kell vonni a 8-at a 10-ből.

Mi ezt tesszük. Felírjuk a 2-es számot, és az egyenlőségjelen keresztül azt mondjuk, hogy ehhez a 2-hez a 8-at kivonjuk a 10-ből:

2 = 10 − 8

A 2-es számot a 8 + 2 = 10 egyenlőségből fejeztük ki. Amint a példából látható, ebben nincs semmi bonyolult.

Egyenletek megoldása során, különösen egy szám másokkal való kifejezésekor, célszerű az egyenlőségjelet a „ szóra cserélni. Van" . Ezt mentálisan kell megtenni, nem magában a kifejezésben.

Tehát a 2-es számot a 8 + 2 = 10 egyenlőségből kifejezve a 2 = 10 − 8 egyenlőséget kaptuk. Ez az egyenlőség a következőképpen olvasható:

2 Van 10 − 8

Vagyis egy jel = helyébe a „van” szó lép. Ráadásul a 2 = 10 − 8 egyenlőség lefordítható innen matematikai nyelv teljes értékűre emberi nyelv. Akkor lehet olvasni alábbiak szerint:

2. szám Van különbség a 10-es és a 8-as szám között

2. szám Van különbség a 10-es és a 8-as szám között.

De csak arra szorítkozunk, hogy az egyenlőségjelet a „van” szóra cseréljük, és ezt nem mindig tesszük meg. Az elemi kifejezések megérthetők anélkül, hogy a matematikai nyelvet emberi nyelvre fordítanák.

Állítsuk vissza a kapott 2 = 10 − 8 egyenlőséget eredeti állapotába:

8 + 2 = 10

Ezúttal fejezzük ki a 8-as számot. Mit kell tenni a maradék számokkal, hogy megkapjuk a 8-ast? Így van, a 10-es számból ki kell vonni a 2-t

8 = 10 − 2

Állítsuk vissza a kapott 8 = 10 − 2 egyenlőséget eredeti állapotába:

8 + 2 = 10

Ezúttal a 10-es számot fogjuk kifejezni. De kiderül, hogy nem kell a tízet kifejezni, hiszen az már ki van fejezve. Elég felcserélni a bal és jobb oldali részeket, akkor megkapjuk, amire szükségünk van:

10 = 8 + 2

2. példa. Tekintsük a 8 − 2 = 6 egyenlőséget

Adjuk meg ebből az egyenlőségből a 8-as számot A 8-as szám kifejezéséhez össze kell adni a maradék két számot:

8 = 6 + 2

Állítsuk vissza a kapott 8 = 6 + 2 egyenlőséget eredeti állapotába:

8 − 2 = 6

Adjuk ki a 2-t ebből az egyenlőségből A 2-es szám kifejezéséhez 8-ból ki kell vonni a 6-ot

2 = 8 − 6

3. példa. Tekintsük a 3 × 2 = 6 egyenlőséget

Fejezzük ki a 3-as számot. A 3-as szám kifejezéséhez 6-ot kell osztani 2-vel

Állítsuk vissza a kapott egyenlőséget eredeti állapotába:

3 × 2 = 6

Adjuk meg a 2-t ebből az egyenlőségből A 2-es szám kifejezéséhez 6-ot kell osztani 3-mal

4. példa. Vegye figyelembe az egyenlőséget

Adjuk meg ebből az egyenlőségből a 15-öt A 15-ös szám kifejezéséhez meg kell szorozni a 3-at és az 5-öt

15 = 3 × 5

Állítsuk vissza a kapott 15 = 3 × 5 egyenlőséget eredeti állapotába:

Adjuk meg az 5-ös számot ebből az egyenlőségből Az 5-ös szám kifejezéséhez 15-öt kell osztani 3-mal

Az ismeretlenek megtalálásának szabályai

Nézzünk meg néhány szabályt az ismeretlenek megtalálására. Ismerősek lehetnek számodra, de nem árt megismételni őket. A jövőben ezek elfelejthetők, hiszen megtanulunk egyenleteket megoldani e szabályok alkalmazása nélkül.

Térjünk vissza az első példához, amelyet megvizsgáltunk előző téma, ahol a 8 + 2 = 10 egyenlőségben a 2-es számot kellett kifejezni.

A 8 + 2 = 10 egyenlőségben a 8 és 2 a tagok, a 10 pedig az összeg.

A 2-es szám kifejezéséhez a következőket tettük:

2 = 10 − 8

Azaz a 10 összegéből kivontuk a 8 tagot.

Most képzeljük el, hogy a 8 + 2 = 10 egyenlőségben a 2 helyett egy változó van x

8 + x = 10

Ebben az esetben a 8 + 2 = 10 egyenlőségből a 8 + egyenlet lesz x= 10 és a változó x ismeretlen kifejezés



A feladatunk ennek az ismeretlen tagnak a megtalálása, vagyis a 8 + egyenlet megoldása x= 10. Egy ismeretlen kifejezés megtalálásához a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen tag megtalálásához ki kell vonni az ismert tagot az összegből.

Amit alapvetően csináltunk, amikor kettőt fejeztünk ki a 8 + 2 = 10 egyenlőségben. A 2. tag kifejezéséhez a 10-es összegből kivontunk egy másik 8-as tagot

2 = 10 − 8

Most pedig keressük meg az ismeretlen kifejezést x, ki kell vonnunk az ismert 8-as tagot a 10-es összegből:

x = 10 − 8

Ha kiszámítja a kapott egyenlőség jobb oldalát, akkor megtudhatja, hogy a változó mivel egyenlő x

x = 2

Megoldottuk az egyenletet. Változó érték x egyenlő 2-vel. Egy változó értékének ellenőrzése x az eredeti 8+ egyenlethez küldjük x= 10 és helyettesíti x. Célszerű ezt bármilyen megoldott egyenlettel megtenni, mivel nem lehet teljesen biztos abban, hogy az egyenletet helyesen oldotta meg:



Ennek eredményeként

Ugyanez a szabály akkor is érvényes, ha az ismeretlen kifejezés az első 8.

x + 2 = 10

Ebben az egyenletben x az ismeretlen tag, a 2 az ismert tag, a 10 az összeg. Ismeretlen kifejezést találni x, ki kell vonni az ismert 2-es tagot a 10-es összegből

x = 10 − 2

x = 8



Térjünk vissza az előző téma második példájához, ahol a 8 − 2 = 6 egyenlőségben a 8-as számot kellett kifejezni.

A 8 − 2 = 6 egyenlőségben a 8-as szám a minuend, a 2-es a részfej, a 6-os pedig a különbség

A 8-as szám kifejezésére a következőket tettük:

8 = 6 + 2

Azaz összeadtuk a 6-os különbséget és a kivont 2-t.

Most képzeljük el, hogy a 8 − 2 = 6 egyenlőségben a 8 helyett egy változó van x

x − 2 = 6

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal az ún ismeretlen minuend



Ismeretlen kisérlet megtalálásához a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.

Ezt tettük, amikor a 8-as számot a 8 − 2 = 6 egyenlőségben fejeztük ki. A 8 minuendjének kifejezéséhez hozzáadtuk a 2 részrészét a 6 különbségéhez.

Most pedig, hogy megtaláljuk az ismeretlen kisembert x, hozzá kell adnunk a 2-es részrészt a 6-os különbséghez

x = 6 + 2

Ha kiszámítja a jobb oldalt, megtudhatja, hogy a változó mivel egyenlő x

x = 8

Most képzeljük el, hogy a 8 − 2 = 6 egyenlőségben a 2 helyett egy változó van x

8 − x = 6

Ebben az esetben a változó x vállalja a szerepet ismeretlen részrész

Ismeretlen részrész kereséséhez a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.

Ezt tettük, amikor a 2-es számot a 8 − 2 = 6 egyenlőségben fejeztük ki. A 2-es szám kifejezéséhez a 8-as minuendből kivontuk a 6-os különbséget.

Most, hogy megtaláljuk az ismeretlen részrészt x, ismét le kell vonni a 6-os különbséget a 8-as minuendből

x = 8 − 6

Kiszámoljuk a jobb oldalt és megtaláljuk az értéket x

x = 2

Térjünk vissza az előző témakör harmadik példájához, ahol a 3 × 2 = 6 egyenlőségben a 3-as számot próbáltuk kifejezni.

A 3 × 2 = 6 egyenlőségben a 3 a szorzó, a 2 a szorzó, a 6 a szorzat

A 3-as szám kifejezésére a következőket tettük:

Vagyis a 6 szorzatát elosztottuk 2-vel.

Most képzeljük el, hogy a 3 × 2 = 6 egyenlőségben a 3 helyett egy változó van x

x× 2 = 6

Ebben az esetben a változó x vállalja a szerepet ismeretlen szorzó.

Ismeretlen szorzószám kereséséhez a következő szabályt kell megadni:

Ismeretlen szorzószám kereséséhez el kell osztani a szorzatot a tényezővel.

Ezt tettük, amikor a 3-as számot a 3 × 2 = 6 egyenlőségből fejeztük ki. A 6-os szorzatot elosztottuk a 2-es tényezővel.

Most keressük meg az ismeretlen szorzót x, a 6-os szorzatot el kell osztani a 2-es tényezővel.

A jobb oldal kiszámítása lehetővé teszi egy változó értékének meghatározását x

x = 3

Ugyanez a szabály érvényes, ha a változó x a szorzó helyett található, nem a szorzó. Képzeljük el, hogy a 3 × 2 = 6 egyenlőségben a 2 helyett egy változó van x.

Ebben az esetben a változó x vállalja a szerepet ismeretlen szorzó. Egy ismeretlen tényező megtalálásához ugyanazt az eljárást biztosítjuk, mint egy ismeretlen szorzószám keresésekor, nevezetesen a szorzat elosztását egy ismert tényezővel:

Ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a szorzatot a szorzóval.

Ezt tettük, amikor a 2-es számot a 3 × 2 = 6 egyenlőségből fejeztük ki. Ezután a 2-es szám megadásához elosztottuk 6 szorzatát a 3-as szorzóval.

Most keressük meg az ismeretlen tényezőt x A 6 szorzatát elosztottuk 3 szorzójával.

Az egyenlőség jobb oldalának kiszámítása lehetővé teszi, hogy megtudja, mi x egyenlő

x = 2

A szorzót és a szorzót együtt faktoroknak nevezzük. Mivel a szorzó és a szorzó megtalálásának szabályai megegyeznek, megfogalmazhatjuk általános szabály az ismeretlen tényező megtalálása:

Ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztania a terméket az ismert tényezővel.

Például oldjuk meg a 9 × egyenletet x= 18. Változó x egy ismeretlen tényező. Ennek az ismeretlen tényezőnek a megtalálásához el kell osztania a 18-as szorzatot az ismert 9-es tényezővel

Oldjuk meg az egyenletet x× 3 = 27. Változó x egy ismeretlen tényező. Ennek az ismeretlen tényezőnek a megtalálásához el kell osztania a 27-es szorzatot az ismert 3-as tényezővel

Térjünk vissza negyedik példa az előző témakörből, ahol egy egyenlőségben a 15-öt kellett kifejezni. Ebben az egyenlőségben a 15-ös az osztó, az 5-ös az osztó, a 3-as pedig a hányados.



A 15-ös szám kifejezéséhez a következőket tettük:

15 = 3 × 5

Vagyis a 3 hányadosát megszoroztuk 5 osztójával.

Most képzeljük el, hogy az egyenlőségben a 15 helyett egy változó van x

Ebben az esetben a változó x vállalja a szerepet ismeretlen osztalék.



Az ismeretlen osztalék megtalálásához a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval.

Ezt tettük, amikor az egyenlőségből a 15-ös számot fejeztük ki. A 15-ös szám kifejezéséhez megszorozzuk a 3 hányadosát 5 osztójával.

Most pedig keressük meg az ismeretlen osztalékot x, meg kell szorozni a 3 hányadosát az 5 osztójával

x= 3 × 5

x .

x = 15

Most képzeljük el, hogy az egyenlőségben az 5 helyett egy változó van x .

Ebben az esetben a változó x vállalja a szerepet ismeretlen osztó.



Ismeretlen osztó kereséséhez a következő szabályt kell alkalmazni:

Ezt tettük, amikor az egyenlőségből az 5-ös számot fejeztük ki. Az 5-ös szám kifejezéséhez a 15-ös osztalékot elosztjuk a 3-as hányadossal.

Most keressük meg az ismeretlen osztót x, a 15-ös osztalékot el kell osztani a 3-as hányadossal

Számítsuk ki a kapott egyenlőség jobb oldalát! Így megtudjuk, hogy a változó mivel egyenlő x .

x = 5

Tehát az ismeretlenek megtalálásához a következő szabályokat tanulmányoztuk:

• Az ismeretlen tag megtalálásához ki kell vonni az ismert tagot az összegből;
• Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez;
• Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből;
• Ismeretlen szorzószám kereséséhez el kell osztani a szorzatot a tényezővel;
• Ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztania a szorzatot a szorzóval;
• Ismeretlen osztalék megtalálásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval;
• Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal.

Alkatrészek

Összetevőknek nevezzük az egyenlőségben szereplő számokat és változókat

Tehát az összeadás összetevői a következők feltételeketÉs összeg



A kivonás összetevői kisebbítendő, kivonandóÉs különbség

A szorzás összetevői az szorzandó, tényezőÉs munka

Az osztás összetevői az osztó, az osztó és a hányados.

Attól függően, hogy mely összetevőkkel van dolgunk, az ismeretlenek megtalálásának megfelelő szabályai érvényesek. Ezeket a szabályokat az előző témakörben tanulmányoztuk. Az egyenletek megoldásánál ezeket a szabályokat célszerű fejből ismerni.

1. példa. Keresse meg a 45 + egyenlet gyökerét x = 60

45 - kifejezés, x- ismeretlen kifejezés, 60 - összeg. Az összeadás összetevőivel foglalkozunk. Emlékeztetünk arra, hogy egy ismeretlen kifejezés megtalálásához ki kell vonni az ismert kifejezést az összegből:

x = 60 − 45

Számítsuk ki a jobb oldalt és kapjuk meg az értéket x egyenlő 15-tel

x = 15

Tehát az egyenlet gyöke 45 + x= 60 egyenlő 15-tel.

Leggyakrabban egy ismeretlen kifejezést olyan formára kell redukálni, amelyben kifejezhető.

2. példa. Oldja meg az egyenletet

Itt az előző példától eltérően az ismeretlen kifejezést nem lehet azonnal kifejezni, mivel 2-es együtthatót tartalmaz. A feladatunk az, hogy ezt az egyenletet olyan formába hozzuk, amelyben kifejezhető. x

IN ebben a példában Az összeadás összetevőivel – a kifejezésekkel és az összeggel – van dolgunk. 2 x az első tag, 4 a második tag, 8 az összeg.

Ebben az esetben a 2. kifejezés x változót tartalmaz x. Miután megtalálta a változó értékét x kifejezés 2 x másképp fog kinézni. Ezért a 2. kifejezés x teljesen ismeretlen kifejezésnek tekinthető:



Most alkalmazzuk az ismeretlen kifejezés megtalálásának szabályát. Vonjuk ki az ismert tagot az összegből:

Számítsuk ki a kapott egyenlet jobb oldalát:

Van egy új egyenletünk. Most a szorzás összetevőivel foglalkozunk: a szorzóval, a szorzóval és a szorzattal. 2 - szorzó, x- szorzó, 4 - szorzat

Ebben az esetben a változó x nem csak egy szorzó, hanem egy ismeretlen szorzó

Ennek az ismeretlen tényezőnek a megtalálásához el kell osztania a szorzatot a szorzóval:

Számítsuk ki a jobb oldalt és kapjuk meg a változó értékét x

Az ellenőrzéshez küldje el a talált gyökeret az eredeti egyenletbe, és helyettesítse x



3. példa. Oldja meg az egyenletet 3x+ 9x+ 16x= 56

Azonnal fejezze ki az ismeretlent x tilos. Először ezt az egyenletet olyan formára kell hoznia, amelyben kifejezhető.

Az egyenlet bal oldalán bemutatjuk:



A szorzás összetevőivel foglalkozunk. 28 - szorzó, x- szorzó, 56 - szorzat. Egy időben x egy ismeretlen tényező. Egy ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztania a szorzatot a szorzóval:

Innen x egyenlő 2-vel

Egyenértékű egyenletek

Az előző példában az egyenlet megoldásakor 3x + 9x + 16x = 56 , hasonló kifejezéseket adtunk meg az egyenlet bal oldalán. Ennek eredményeként egy új 28-as egyenletet kaptunk x= 56 . Régi egyenlet 3x + 9x + 16x = 56 és a kapott új 28-as egyenlet x= 56 hívják ekvivalens egyenletek, hiszen gyökereik egybeesnek.

Az egyenleteket ekvivalensnek nevezzük, ha gyökük egybeesik.

Nézzük meg. Az egyenlethez 3x+ 9x+ 16x= 56 azt találtuk, hogy a gyökér egyenlő 2-vel. Először cseréljük be ezt a gyöket az egyenletbe 3x+ 9x+ 16x= 56 , majd a 28-as egyenletbe x= 56, amelyet úgy kaptunk, hogy az előző egyenlet bal oldalára hasonló tagokat vittünk. Meg kell kapnunk a megfelelő numerikus egyenlőségeket



A műveletek sorrendjének megfelelően először a szorzás történik:



Helyettesítsük be a 2. gyöket a második 28-as egyenletbe x= 56



Látjuk, hogy mindkét egyenletnek ugyanaz a gyökere. Tehát az egyenletek 3x+ 9x+ 16x= 6 és 28 x= 56 valóban egyenértékűek.

Az egyenlet megoldásához 3x+ 9x+ 16x= 56 Az egyiket használtuk - a hasonló kifejezések csökkentését. Az egyenlet helyes azonosságtranszformációja lehetővé tette, hogy megkapjuk a 28-as ekvivalens egyenletet x= 56, ami könnyebben megoldható.

Az azonos átalakulásoktól a pillanatnyilag csak azt tudjuk, hogyan lehet törteket csökkenteni, hasonló kifejezéseket hozzáadni, kivenni közös szorzó a zárójeleken túl, és nyissa ki a zárójeleket is. Vannak más konverziók is, amelyekről tudnia kell. De azért általános elképzelés az egyenletek azonos transzformációiról az általunk vizsgált témák teljesen elegendőek.

Tekintsünk néhány olyan transzformációt, amelyek lehetővé teszik, hogy megkapjuk az ekvivalens egyenletet

Ha az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk, akkor az adott egyenletet kapunk.

és hasonlóan:

Ha egy egyenlet mindkét oldaláról kivonjuk ugyanazt a számot, akkor az adott egyenletnek megfelelő egyenletet kapunk.

Más szóval, az egyenlet gyöke nem változik, ha ugyanazt a számot hozzáadjuk (vagy mindkét oldalról kivonjuk) ugyanahhoz a számhoz.

1. példa. Oldja meg az egyenletet

Vonjunk ki 10-et az egyenlet mindkét oldaláról



5-ös egyenletet kaptunk x= 10. A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Ismeretlen tényező megtalálása x, el kell osztania a 10-es szorzatot az ismert 5-ös tényezővel.

és helyettesíti x talált érték 2



Megkaptuk a helyes számszerű egyenlőséget. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

Az egyenlet megoldása kivontuk a 10-es számot az egyenlet mindkét oldaláról. Ennek eredményeként egy ekvivalens egyenletet kaptunk. Ennek az egyenletnek a gyökere, akárcsak az egyenlet egyenlő 2-vel

2. példa. Oldja meg a 4( x+ 3) = 16

Vonjuk ki a 12-es számot az egyenlet mindkét oldaláról

4 marad a bal oldalon x, jobb oldalon pedig a 4-es szám

Megkaptuk a 4-es egyenletet x= 4. A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Ismeretlen tényező megtalálása x, el kell osztania a 4-es szorzatot az ismert 4-es tényezővel

Térjünk vissza az eredeti 4-es egyenlethez ( x+ 3) = 16 és helyettesíti x talált érték 1



Megkaptuk a helyes számszerű egyenlőséget. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

A 4. egyenlet megoldása ( x+ 3) = 16 az egyenlet mindkét oldaláról kivontuk a 12-es számot. Ennek eredményeként megkaptuk a 4-es ekvivalens egyenletet x= 4. Ennek az egyenletnek a gyöke, mint a 4( x+ 3) = 16 egyenlő 1-gyel

3. példa. Oldja meg az egyenletet

Bontsuk ki az egyenlőség bal oldalán lévő zárójeleket:

Adja hozzá a 8-as számot az egyenlet mindkét oldalához

Mutassunk be hasonló kifejezéseket az egyenlet mindkét oldalán:

2 marad a bal oldalon x, jobb oldalon pedig a 9-es szám

A kapott egyenletben 2 x= 9 az ismeretlen tagot fejezzük ki x

Térjünk vissza az eredeti egyenlethez és helyettesíti x talált érték 4,5



Megkaptuk a helyes számszerű egyenlőséget. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

Az egyenlet megoldása az egyenlet mindkét oldalához hozzáadtuk a 8-as számot. Ennek eredményeként egy ekvivalens egyenletet kaptunk. Ennek az egyenletnek a gyökere, akárcsak az egyenlet szintén egyenlő 4,5-tel

A következő szabály, amely lehetővé teszi, hogy ekvivalens egyenletet kapjunk, a következő

Ha egy egyenletben szereplő tagot az egyik részből a másikba mozgatjuk, megváltoztatva az előjelét, akkor az adott egyenletet kapunk.

Vagyis az egyenlet gyökere nem változik meg, ha egy tagot az egyenlet egyik részéből a másikba helyezünk át, megváltoztatva az előjelét. Ez a tulajdonság az egyik legfontosabb és az egyik gyakran használt egyenletek megoldása során.

Tekintsük a következő egyenletet:

Ennek az egyenletnek a gyöke egyenlő 2-vel. Helyettesítsük be x ezt a gyökeret, és ellenőrizze, hogy a numerikus egyenlőség helyes-e



Az eredmény egy helyes egyenlőség. Ez azt jelenti, hogy a 2-es szám valóban az egyenlet gyökere.

Most próbáljunk meg kísérletezni ennek az egyenletnek a feltételeivel, mozgatva őket egyik részről a másikra, megváltoztatva az előjeleket.

Például a 3. kifejezés x az egyenlet bal oldalán található. Vigyük át a jobb oldalra, a jelet fordítsuk az ellenkezőjére:



Az eredmény egy egyenlet 12 = 9x − 3x . ennek az egyenletnek a jobb oldalán:



x egy ismeretlen tényező. Keressük ezt a jól ismert tényezőt:

Innen x= 2. Mint látható, az egyenlet gyökere nem változott. Tehát az egyenletek 12 + 3 x = 9xÉs 12 = 9x − 3x egyenértékűek.

Valójában ez a transzformáció az előző transzformáció egyszerűsített módszere, ahol ugyanazt a számot adták hozzá (vagy vonták ki) az egyenlet mindkét oldalához.

Azt mondtuk, hogy a 12 + 3 egyenletben x = 9x kifejezés 3 x jobb oldalra került, jelzést váltva. A valóságban a következő történt: a 3. tagot kivontuk az egyenlet mindkét oldaláról x



Ezután hasonló kifejezéseket adtunk meg a bal oldalon, és megkaptuk az egyenletet 12 = 9x − 3x. Ezután ismét hasonló kifejezéseket adtunk, de a jobb oldalon, és a 12 = 6 egyenletet kaptuk x.

De az úgynevezett „fordítás” kényelmesebb az ilyen egyenleteknél, ezért kapta ezt széles körben elterjedt. Az egyenletek megoldása során gyakran ezt a transzformációt fogjuk használni.

A 12 + 3 egyenletek is ekvivalensek x= 9xÉs 3x− 9x= −12 . Ezúttal a 12 + 3 egyenletben x= 9x a 12. tag jobb oldalra került, a 9. pedig x balra. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az átruházás során ezen feltételek jelei megváltoztak



A következő szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyenértékű egyenletet kapjunk, a következő:

Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, amely nem egyenlő nullával, akkor az adott egyenletet kapunk.

Más szóval, az egyenlet gyökerei nem változnak, ha mindkét oldalt ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk. Ezt a műveletet gyakran használják, amikor egy olyan egyenletet kell megoldani, amely tartalmazza törtkifejezések.

Először nézzünk meg olyan példákat, amelyekben az egyenlet mindkét oldala meg lesz szorozva ugyanazzal a számmal.

1. példa. Oldja meg az egyenletet

Törtkifejezéseket tartalmazó egyenletek megoldásánál először az egyenletet szokás egyszerűsíteni.

IN ebben az esetbenéppen olyan egyenlettel van dolgunk. Az egyenlet egyszerűsítése érdekében mindkét oldalt meg lehet szorozni 8-cal:



Emlékezzünk rá, hogy a esetén meg kell szoroznunk egy adott tört számlálóját ezzel a számmal. Két törtünk van, és mindegyiket megszorozzuk a 8-as számmal. A feladatunk az, hogy a törtek számlálóit megszorozzuk ezzel a 8-cal.



Most következik az érdekes rész. Mindkét tört számlálója és nevezője 8-as tényezőt tartalmaz, amely 8-cal csökkenthető. Ezzel megszabadulhatunk a tört kifejezéstől:



Ennek eredményeként a legegyszerűbb egyenlet marad

Nos, nem nehéz kitalálni, hogy ennek az egyenletnek a gyöke 4

x talált érték 4



Az eredmény egy helyes numerikus egyenlőség. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

Ennek az egyenletnek a megoldása során mindkét oldalt megszoroztuk 8-cal. Ennek eredményeként megkaptuk az egyenletet. Ennek az egyenletnek a gyöke az egyenlethez hasonlóan 4. Ez azt jelenti, hogy ezek az egyenletek ekvivalensek.

Azt a tényezőt, amellyel az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk, általában az egyenletrész elé írjuk, és nem utána. Tehát az egyenlet megoldása során mindkét oldalt megszoroztuk 8-cal, és a következő bejegyzést kaptuk:



Ez nem változtatta meg az egyenlet gyökerét, de ha ezt az iskolában tettük volna, akkor megrovásban részesültünk volna, mivel az algebrában az a szokás, hogy egy faktort írnak a kifejezés elé, amellyel szorozzák. Ezért célszerű az egyenlet mindkét oldalának 8-as szorzatát átírni a következőképpen:



2. példa. Oldja meg az egyenletet



A bal oldalon a 15-ös faktor 15-tel, a jobb oldalon pedig a 15-ös és 5-ös faktor 5-tel csökkenthető



Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet jobb oldalán:

Tegyük át a kifejezést x az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalra, az előjelet változtatva. És áthelyezzük a 15-ös tagot az egyenlet jobb oldaláról a bal oldalra, ismét megváltoztatva az előjelet:

Mindkét oldalon hasonló kifejezéseket mutatunk be, kapjuk

A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Változó x

Térjünk vissza az eredeti egyenlethez és helyettesíti x talált érték 5



Az eredmény egy helyes numerikus egyenlőség. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg. Ennek az egyenletnek a megoldása során mindkét oldalt megszoroztuk 15-tel. Azonos transzformációk további végrehajtásával a 10 = 2 egyenletet kaptuk x. Ennek az egyenletnek a gyökere, akárcsak az egyenlet egyenlő 5-tel. Ez azt jelenti, hogy ezek az egyenletek egyenértékűek.

3. példa. Oldja meg az egyenletet



A bal oldalon két hármat csökkenthet, a jobb oldal pedig 18 lesz



A legegyszerűbb egyenlet marad. A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Változó x egy ismeretlen tényező. Keressük ezt a jól ismert tényezőt:

Térjünk vissza az eredeti egyenlethez, és helyettesítsük x talált érték 9

Az eredmény egy helyes numerikus egyenlőség. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

4. példa. Oldja meg az egyenletet

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 6-tal



Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet bal oldalán. A jobb oldalon a 6-os tényező a számlálóra emelhető:



Csökkentsük az egyenletek mindkét oldalán csökkenthető mennyiséget:



Írjuk át, ami maradt:

Használjuk a kifejezések átvitelét. Ismeretlent tartalmazó kifejezések x, az egyenlet bal oldalán csoportosítjuk, az ismeretlenektől mentes kifejezéseket pedig a jobb oldalon:

Mutassunk be hasonló kifejezéseket mindkét részben:



Most keressük meg a változó értékét x. Ehhez el kell osztani a 28-as szorzatot az ismert 7-es tényezővel

Innen x= 4.

Térjünk vissza az eredeti egyenlethez és helyettesíti x talált érték 4



Az eredmény egy helyes numerikus egyenlet. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

5. példa. Oldja meg az egyenletet

Ha lehetséges, nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét oldalán:

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 15-tel

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét oldalán:

Csökkentsük az egyenlet mindkét oldalán csökkenthető mennyiséget:



Írjuk át, ami maradt:

Ha lehetséges, bővítsük ki a zárójeleket:

Használjuk a kifejezések átvitelét. Az egyenlet bal oldalára csoportosítjuk az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket, a jobb oldalon pedig az ismeretlentől mentes kifejezéseket. Ne felejtse el, hogy az átutalás során a feltételek az ellenkezőjére változnak:

Mutassunk be hasonló kifejezéseket az egyenlet mindkét oldalán:



Keressük az értéket x

A kapott válasz egy teljes részt tartalmaz:



Térjünk vissza az eredeti egyenlethez, és helyettesítsük x talált értéket



Kiderül, hogy ez egy meglehetősen nehézkes kifejezés. Használjunk változókat. Tegyük az egyenlőség bal oldalát egy változóba A, az egyenlőség jobb oldalát pedig változóvá B



Az a feladatunk, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a bal oldal egyenlő-e a jobb oldallal. Más szóval, bizonyítsuk be az A = B egyenlőséget

Keressük meg a kifejezés értékét az A változóban.



Változó érték A egyenlő . Most keressük meg a változó értékét B. Vagyis egyenlőségünk jobb oldalának értéke. Ha ez is egyenlő, akkor az egyenlet helyesen lesz megoldva



Látjuk, hogy a változó értéke B, valamint az A változó értéke is. Ez azt jelenti, hogy a bal oldal egyenlő a jobb oldallal. Ebből arra következtetünk, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

Most próbáljuk meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát ne szorozzuk meg ugyanazzal a számmal, hanem osztjunk.

Tekintsük az egyenletet 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Oldjuk meg a szokásos módszer: az ismeretleneket tartalmazó kifejezések az egyenlet bal oldalán, az ismeretlenektől mentes kifejezések pedig a jobb oldalon vannak csoportosítva. Ezután az ismert identitástranszformációkat végrehajtva megkeressük az értéket x



Helyettesítsük helyette a talált értéket 2-vel x az eredeti egyenletbe:



Most próbáljuk meg szétválasztani az egyenlet összes tagját 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 valamilyen számmal Megjegyezzük, hogy ennek az egyenletnek a közös tényezője 2. Minden tagot elosztunk vele:

Végezzünk csökkentést minden kifejezésben:



Írjuk át, ami maradt:

Oldjuk meg ezt az egyenletet a jól ismert identitástranszformációk segítségével:



Megvan a root 2. Tehát az egyenletek 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 És 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 egyenértékűek.

Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk ugyanazzal a számmal, akkor az ismeretlent eltávolíthatjuk az együtthatóból. Az előző példában, amikor megkaptuk a 7-es egyenletet x= 14, a 14-es szorzatot el kellett volna osztanunk az ismert 7-es tényezővel. De ha a bal oldalon lévő 7-es faktortól megszabadítottuk volna az ismeretlent, akkor a gyökér azonnal meglett volna. Ehhez elég volt mindkét oldalt elosztani 7-tel

Ezt a módszert is gyakran fogjuk alkalmazni.

Szorzás mínusz eggyel

Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk mínusz eggyel, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk.

Ez a szabály abból a tényből következik, hogy egy egyenlet mindkét oldalának szorzása (vagy elosztása) ugyanazzal a számmal nem változtatja meg az adott egyenlet gyökerét. Ez azt jelenti, hogy a gyökér nem változik, ha mindkét részét megszorozzuk -1-gyel.

Ez a szabály lehetővé teszi az egyenletben szereplő összes komponens előjelének megváltoztatását. Ez mire való? Ismét egy ekvivalens egyenlet létrehozása, amely könnyebben megoldható.

Tekintsük az egyenletet. Miért egyenlő a gyökérrel ez az egyenlet?

Adja hozzá az 5-ös számot az egyenlet mindkét oldalához

Nézzük a hasonló kifejezéseket:



Most emlékezzünk kb. Mi az egyenlet bal oldala? Ez mínusz egy és egy változó szorzata x

Vagyis a mínusz jel a változó előtt x nem magára a változóra vonatkozik x, hanem egyhez, amit nem látunk, hiszen az 1-es együtthatót nem szokták felírni. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet valójában így néz ki:

A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Megtalálni X, akkor a −5 szorzatot el kell osztani az ismert −1 tényezővel.

vagy osszuk el az egyenlet mindkét oldalát −1-gyel, ami még egyszerűbb



Tehát az egyenlet gyöke 5. Az ellenőrzéshez cseréljük be az eredeti egyenletbe. Ne felejtsük el, hogy az eredeti egyenletben a mínusz a változó előtt van x láthatatlan egységre utal



Az eredmény egy helyes numerikus egyenlet. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

Most próbáljuk meg megszorozni az egyenlet mindkét oldalát mínusz eggyel:

A zárójelek kinyitása után a kifejezés a bal oldalon jön létre, a jobb oldal pedig 10 lesz

Ennek az egyenletnek a gyöke az egyenlethez hasonlóan az 5



Ez azt jelenti, hogy az egyenletek ekvivalensek.

2. példa. Oldja meg az egyenletet

Ebben az egyenletben minden komponens negatív. Kényelmesebb pozitív komponensekkel dolgozni, mint negatívakkal, ezért változtassuk meg az egyenletben szereplő összes komponens előjelét. Ehhez szorozzuk meg ennek az egyenletnek mindkét oldalát −1-gyel.

Nyilvánvaló, hogy -1-gyel szorozva bármely szám az ellenkezőjére változtatja az előjelét. Ezért nincs részletesen leírva a −1-gyel való szorzás és a zárójelek felnyitásának eljárása, hanem azonnal felírjuk az egyenlet ellentétes előjelű összetevőit.

Így egy egyenlet -1-gyel való szorzata a következőképpen írható fel részletesen:



vagy egyszerűen megváltoztathatja az összes összetevő jelét:



Az eredmény ugyanaz lesz, de a különbség annyi, hogy időt takarítunk meg magunknak.

Tehát az egyenlet mindkét oldalát -1-gyel megszorozva megkapjuk az egyenletet. Oldjuk meg ezt az egyenletet. Vonjunk ki 4-et mindkét oldalról, és mindkét oldalt osszuk el 3-mal



A gyökér megtalálásakor általában a bal oldalra írjuk a változót, a jobbra pedig az értéket, amit mi is tettünk.

3. példa. Oldja meg az egyenletet

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát −1-gyel. Ezután az összes komponens előjelét ellentétesre változtatja:



Vonjunk ki 2-t a kapott egyenlet mindkét oldaláról xés adj hasonló kifejezéseket:



Adjunk hozzá egyet az egyenlet mindkét oldalához, és adjunk hasonló kifejezéseket:

Egyenlő a nullával

Nemrég tanultuk meg, hogy ha egy egyenletben szereplő tagot az egyik részből a másikba mozgatjuk, megváltoztatva az előjelét, akkor az adott egyenletet kapunk.

Mi történik, ha nem csak egy kifejezést, hanem az összes kifejezést egyik részről a másikra lépteti át? Így van, abban a részben, ahol az összes kifejezést elvették, nulla marad. Vagyis nem marad semmi.

Példaként tekintsük az egyenletet. Oldjuk meg ezt az egyenletet a szokásos módon - az egyik részbe az ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket csoportosítjuk, a másikban a numerikus tagokat hagyjuk ismeretlenektől. Ezután az ismert azonosságtranszformációkat végrehajtva megkeressük a változó értékét x



Most próbáljuk meg megoldani ugyanazt az egyenletet úgy, hogy minden összetevőjét nullával egyenlővé tesszük. Ehhez az összes kifejezést jobbról balra mozgatjuk, megváltoztatva a jeleket:



Mutassunk be hasonló kifejezéseket a bal oldalon:



Adjunk hozzá 77-et mindkét oldalhoz, és osszuk el mindkét oldalt 7-tel

Az ismeretlenek felkutatására vonatkozó szabályok alternatívája

Nyilvánvaló, hogy az egyenletek azonos transzformációinak ismeretében nem kell megjegyezni az ismeretlenek megtalálásának szabályait.

Például, hogy megtaláljuk az ismeretlent egy egyenletben, a 10-es szorzatot elosztottuk az ismert 2-es tényezővel.

De ha az egyenlet mindkét oldalát elosztja 2-vel, akkor a gyökér azonnal megtalálható. Az egyenlet bal oldalán a számlálóban a 2-es tényező, a nevezőben pedig a 2-es tényező 2-vel csökken. A jobb oldal pedig egyenlő lesz 5-tel.

A forma egyenleteit az ismeretlen tag kifejezésével oldottuk meg:

De használhatja ugyanazokat az átalakításokat, amelyeket ma tanulmányoztunk. Az egyenletben a 4-es tag az előjel megváltoztatásával jobbra mozgatható:

Az egyenlet bal oldalán két kettes érvénytelenül. A jobb oldal egyenlő lesz 2-vel. Ezért .

Vagy levonhat 4-et az egyenlet mindkét oldaláról, akkor a következőt kapja:



Az alaki egyenletek esetében célszerűbb a szorzatot ismert tényezővel osztani. Hasonlítsuk össze a két megoldást:



Az első megoldás sokkal rövidebb és rendezettebb. A második megoldás jelentősen lerövidíthető, ha fejben hajtja végre a felosztást.

Mindazonáltal mindkét módszert ismerni kell, és csak azután kell használni a kívántat.

Amikor több gyökér van

Egy egyenletnek több gyöke is lehet. Például az egyenlet x(x+ 9) = 0-nak két gyöke van: 0 és -9.



Az Eq. x(x+ 9) = 0 ilyen értéket kellett találni x amelynél a bal oldal egyenlő lenne nullával. Ennek az egyenletnek a bal oldala tartalmazza a kifejezéseket xÉs (x+9), amelyek olyan tényezők. A szorzattörvényekből tudjuk, hogy egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nullával egyenlő (akár az első, akár a második tényező).

Vagyis az egyenletben. x(x+ 9) = 0 egyenlőség érhető el, ha x egyenlő lesz nullával vagy (x+9) nullával lesz egyenlő.

x= 0 vagy x + 9 = 0

Ha mindkét kifejezést nullára állítjuk, akkor megtaláljuk az egyenlet gyökereit x(x+ 9) = 0 . Az első gyökér, amint az a példából is látható, azonnal megtalálható volt. A második gyökér megtalálásához meg kell oldani az elemi egyenletet x+ 9 = 0 . Könnyű kitalálni, hogy ennek az egyenletnek a gyöke -9. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a gyökér helyes:

−9 + 9 = 0

2. példa. Oldja meg az egyenletet

Ennek az egyenletnek két gyöke van: 1 és 2. Bal oldal az egyenlet kifejezések szorzata ( x− 1) és ( x− 2) . És a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező egyenlő nullával (vagy a tényező ( x− 1) vagy tényező ( x − 2) ).

Keressünk valami ilyesmit x amely alatt a kifejezések ( x− 1) vagy ( x− 2) nullává válik:



A talált értékeket egyenként behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és megbizonyosodunk arról, hogy ezeknél az értékeknél a bal oldal nullával egyenlő:



Amikor végtelenül sok gyökér van

Egy egyenletnek végtelen sok gyöke lehet. Vagyis ha egy ilyen egyenletbe tetszőleges számot behelyettesítünk, megkapjuk a helyes numerikus egyenlőséget.

1. példa. Oldja meg az egyenletet

Ennek az egyenletnek a gyöke tetszőleges szám. Ha kinyitja az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket, és hozzáadja a hasonló kifejezéseket, akkor a 14 = 14 egyenlőséget kapja. Ezt az egyenlőséget bármelyikre megkapjuk x



2. példa. Oldja meg az egyenletet

Ennek az egyenletnek a gyöke tetszőleges szám. Ha kinyitja az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket, megkapja az egyenlőséget 10x + 12 = 10x + 12. Ezt az egyenlőséget bármelyikre megkapjuk x

Amikor nincsenek gyökerek

Az is előfordul, hogy az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagyis nincs gyökere. Például az egyenletnek nincs gyöke, hiszen bármely értékhez x, az egyenlet bal oldala nem lesz egyenlő a jobb oldalával. Például hagyjuk. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel



2. példa. Oldja meg az egyenletet

Bontsuk ki az egyenlőség bal oldalán lévő zárójeleket:

Nézzük a hasonló kifejezéseket:



Látjuk, hogy a bal oldal nem egyenlő a jobb oldallal. És ez minden érték esetében így lesz. y. Például hadd y = 3 .



Betűegyenletek

Egy egyenlet nem csak számokat tartalmazhat változókkal, hanem betűket is.

Például a sebesség meghatározásának képlete egy szó szerinti egyenlet:

Ez az egyenlet a test sebességét írja le egyenletesen gyorsított mozgás közben.

Hasznos készség a betűegyenletben szereplő bármely összetevő kifejezésének képessége. Például egy egyenlettől való távolság meghatározásához ki kell fejeznie a változót s .

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel t



Változók a jobb oldalon t vágjunk bele t



A kapott egyenletben felcseréljük a bal és a jobb oldalt:



Most megvan a képlet a távolság meghatározásához, amelyet korábban tanulmányoztunk.

Próbáljuk meg meghatározni az időt az egyenletből. Ehhez ki kell fejezni a változót t .

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel t



Változók a jobb oldalon t vágjunk bele tés írjuk át, ami maradt:



A kapott egyenletben v×t = s ossza fel mindkét részt v

Változók a bal oldalon v vágjunk bele vés írjuk át, ami maradt:

Megvan az idő meghatározásának képlete, amelyet korábban tanulmányoztunk.

Tegyük fel, hogy a vonat sebessége 50 km/h

v= 50 km/h

A távolság pedig 100 km

s= 100 km

Ekkor a levél a következő formájú lesz

Ebből az egyenletből az idő kiszámítható. Ehhez ki kell tudni fejezni a változót t. Ismeretlen osztó keresésére használhatja a szabályt úgy, hogy az osztalékot elosztja a hányadossal és így határozza meg a változó értékét t

vagy használhat azonos transzformációkat. Először szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel t



Ezután ossza el mindkét oldalát 50-nel



2. példa x

Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából a



Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát b



a + bx = c, akkor lesz kész megoldás. Elég lesz helyettesíteni szükséges értékeket. Azok az értékek, amelyek a betűket helyettesítik a, b, cáltalában hívják paramétereket. És a formaegyenletek a + bx = c hívott egyenlet paraméterekkel. A paraméterektől függően a gyökér megváltozik.

Oldjuk meg a 2 + 4 egyenletet x= 10. Úgy néz ki, mint egy betűegyenlet a + bx = c. Azonos átalakítások végrehajtása helyett használhatunk kész megoldást. Hasonlítsuk össze a két megoldást:



Látjuk, hogy a második megoldás sokkal egyszerűbb és rövidebb.

A kész megoldáshoz egy kis megjegyzést kell tenni. Paraméter b nem lehet nulla (b ≠ 0), mivel a nullával való osztás megengedett.

3. példa. Adott egy szó szerinti egyenlet. Fejezd ki ebből az egyenletből x

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét oldalán

Használjuk a kifejezések átvitelét. Változót tartalmazó paraméterek x, az egyenlet bal oldalán csoportosítjuk, az ettől a változótól mentes paramétereket pedig a jobb oldalon.

A bal oldalon zárójelből kivesszük a tényezőt x

Osszuk el mindkét oldalt a kifejezésben a − b



A bal oldalon a számláló és a nevező csökkenthető a − b. Így fejeződik ki végül a változó x



Most, ha találkozunk a forma egyenletével a(x − c) = b(x + d), akkor kész megoldásunk lesz. Elegendő lesz behelyettesíteni a szükséges értékeket.

Tegyük fel, hogy megadtuk az egyenletet 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Olyan, mint egy egyenlet a(x − c) = b(x + d). Kétféleképpen oldjuk meg: azonos transzformációkkal és egy kész megoldással:

A kényelem kedvéért vegyük ki az egyenletből 4(x− 3) = 2(x+ 4) paraméterértékek a, b, c, d . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy ne tévedjünk a csere során:



Az előző példához hasonlóan itt is a nevező nem lehet egyenlő nullával ( a − b ≠ 0) . Ha az alak egyenletével találkozunk a(x − c) = b(x + d) amelyben a paraméterek aÉs b ugyanaz lesz, megoldás nélkül mondhatjuk, hogy ennek az egyenletnek nincs gyökere, hiszen a különbség azonos számok egyenlő nullával.

Például az egyenlet 2(x – 3) = 2(x + 4) a forma egyenlete a(x − c) = b(x + d). Az Eq. 2(x – 3) = 2(x + 4) paramétereket aÉs b azonos. Ha elkezdjük megoldani, arra a következtetésre jutunk, hogy a bal oldal nem lesz egyenlő a jobb oldallal:



4. példa. Adott egy szó szerinti egyenlet. Fejezd ki ebből az egyenletből x

Hozzuk az egyenlet bal oldalát közös nevezőre:

Szorozd meg mindkét oldalt ezzel a



A bal oldalon x tegyük zárójelbe



Osszuk el mindkét oldalt az (1 − a)



Lineáris egyenletek egy ismeretlennel

Az ebben a leckében tárgyalt egyenleteket ún elsőfokú lineáris egyenletek egy ismeretlennel.

Ha az egyenlet első fokon adott, nem tartalmaz osztást az ismeretlennel, és nem tartalmaz gyököket az ismeretlenből, akkor lineárisnak nevezhetjük. Még nem tanulmányoztuk az erőket és a gyökereket, ezért, hogy ne bonyolítsuk életünket, a „lineáris” szót „egyszerű”-ként fogjuk érteni.

Az ebben a leckében megoldott egyenletek többsége végül egy egyszerű egyenletből állt, amelyben a szorzatot el kellett osztani egy ismert tényezővel. Például ez a 2( x+ 3) = 16 . Oldjuk meg.

Nyissa ki a zárójeleket az egyenlet bal oldalán, és kapjon 2-t x+ 6 = 16. Mozgassuk a 6-os tagot jobbra, előjelet váltva. Akkor kapunk 2-t x= 16 − 6. Számítsuk ki a jobb oldalt, 2-t kapunk x= 10. Megtalálni x, osszuk el a 10-es szorzatot az ismert 2-es tényezővel x = 5.

2( x+ 3) = 16 lineáris. Lejön a 2. egyenlet x= 10, aminek a gyökerének megtalálásához el kellett osztani a szorzatot egy ismert tényezővel. Ezt a legegyszerűbb egyenletet nevezzük elsőfokú lineáris egyenlet egy ismeretlennel in kanonikus forma . A „kanonikus” szó egyet jelent az „egyszerű” vagy a „normál” szóval.

Az elsőfokú lineáris egyenletet egy ismeretlennel kanonikus alakban alakegyenletnek nevezzük ax = b.

A kapott egyenletünk 2 x= 10 egy elsőfokú lineáris egyenlet egy kanonikus formában ismeretlennel. Ez az egyenlet elsőfokú, egy ismeretlen, nem tartalmaz osztást az ismeretlennel, és nem tartalmaz gyököket az ismeretlenből, és kanonikus formában, vagyis a legegyszerűbb formában jelenik meg, amelyben az érték könnyen meghatározható x. Paraméterek helyett aÉs b egyenletünk tartalmazza a 2-es és 10-es számokat. De egy ilyen egyenlet más számokat is tartalmazhat: pozitív, negatív vagy nullával egyenlő.

Ha egy lineáris egyenletben a= 0 és b= 0, akkor az egyenletnek végtelen sok gyöke van. Valóban, ha a egyenlő nullával és b egyenlő nullával, akkor a lineáris egyenlet fejsze= b 0 alakot vesz fel x= 0. Bármilyen értékre x a bal oldal egyenlő lesz a jobb oldallal.

Ha egy lineáris egyenletben a= 0 és b≠ 0, akkor az egyenletnek nincs gyöke. Valóban, ha a egyenlő nullával és b egyenlő egy olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, mondjuk az 5-ös számmal, majd az egyenlettel ax = b 0 alakot vesz fel x= 5. A bal oldal nulla, a jobb oldal pedig öt. A nulla pedig nem egyenlő öttel.

Ha egy lineáris egyenletben a≠ 0 és b bármely számmal egyenlő, akkor az egyenletnek egy gyöke van. Ezt a paraméter elosztásával határozzuk meg b paraméterenként a

Valóban, ha a egyenlő egy olyan számmal, amely nem nulla, mondjuk a 3-as számmal, és b egyenlő valamilyen számmal, mondjuk a 6-os számmal, akkor az egyenlet a következőt veszi fel.
Innen.

Létezik egy másik formája az elsőfokú lineáris egyenlet felírásának egy ismeretlennel. Így néz ki: ax−b= 0. Ez ugyanaz az egyenlet, mint ax = b

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új VKontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

Ebben a videóban egy sor lineáris egyenletet elemezünk, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.

Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?

Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokig.

A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:

Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:

1. Ha van, bontsa ki a zárójeleket;
2. Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
3. Adjon hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalán;
4. A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.

Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:

1. Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például amikor valami olyasmi kiderül, hogy $0\cdot x=8$, pl. a bal oldalon a nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
2. A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.

Most pedig nézzük meg, hogyan működik mindez, valós példák segítségével.

Példák egyenletek megoldására

Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.

Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:

1. Először is ki kell bővítenie a zárójeleket, ha vannak (mint legutóbbi példánkban);
2. Akkor hozzon hasonlót
3. Végül izoláljuk a változót, azaz. vigyen át mindent, ami a változóval kapcsolatos – a kifejezéseket, amelyekben szerepel – az egyik oldalra, és helyezzen át mindent, ami nélküle marad.

Ezután általában hasonlókat kell hozni a kapott egyenlőség mindkét oldalára, és ezután már csak az „x” együtthatóval kell osztani, és megkapjuk a végső választ.

Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. A hibák jellemzően a zárójelek megnyitásakor vagy a „plusz” és „mínusz” kiszámításakor történnek.

Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy a megoldás a teljes számegyenes, i.e. tetszőleges szám. A mai leckében ezeket a finomságokat nézzük meg. De amint azt már megértette, a legegyszerűbb feladatokkal kezdjük.

Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására

Először is hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:

1. Bontsa ki a zárójeleket, ha vannak.
2. Elkülönítjük a változókat, azaz. Mindent, ami „X”-et tartalmaz, áthelyezünk az egyik oldalra, és mindent, amiben nincs „X” a másik oldalra.
3. Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
4. Mindent elosztunk az „x” együtthatóval.

Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak benne bizonyos finomságok és trükkök, és most megismerjük őket.

Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre

1. számú feladat

Az első lépéshez meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk ezt a lépést. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Kérjük, vegye figyelembe: csak egyedi kifejezésekről beszélünk. Írjuk fel:

Hasonló kifejezéseket mutatunk be a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért továbblépünk a negyedik lépésre: osszuk el az együtthatóval:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tehát megkaptuk a választ.

2. feladat

Ebben a feladatban láthatjuk a zárójeleket, ezért bővítsük ki őket:

A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a kialakítást látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. a változók szétválasztása:

Íme néhány hasonló:

Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.

3. feladat

A harmadik lineáris egyenlet érdekesebb:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, egyszerűen csak különböző jelek előzik meg őket. Bontsuk fel őket:

Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Számoljuk ki:

Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az „x” együtthatóval:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során

Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, a következőket szeretném mondani:

• Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
• Még ha vannak is gyökerek, nulla lehet köztük – nincs ezzel semmi baj.

A nulla ugyanaz, mint a többi; semmilyen módon nem szabad megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kap, akkor valamit rosszul csinált.

Egy másik jellemző a zárójelek nyitásához kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. Ezután pedig szabványos algoritmusok segítségével megnyithatjuk: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.

Ennek az egyszerű ténynek a megértése segít elkerülni az ostoba és bántó hibákat a középiskolában, amikor az ilyen dolgokat magától értetődőnek tekintik.

Összetett lineáris egyenletek megoldása

Térjünk át az összetettebb egyenletekre. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és különféle transzformációk végrehajtásakor egy kvadratikus függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijednünk, mert ha a szerző terve szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformációs folyamat során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom biztosan törlődik.

1. számú példa

Nyilvánvaló, hogy az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:

Most pedig vessünk egy pillantást az adatvédelemre:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Íme néhány hasonló:

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, ezért ezt írjuk a válaszba:

\[\varnothing\]

vagy nincsenek gyökerei.

2. példa

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre. Első lépés:

Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:

Íme néhány hasonló:

Ennek a lineáris egyenletnek természetesen nincs megoldása, ezért a következőképpen írjuk fel:

\[\varnothing\],

vagy nincsenek gyökerei.

A megoldás árnyalatai

Mindkét egyenlet teljesen megoldott. E két kifejezést példaként használva ismét meggyőződhettünk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy, vagy nincs, vagy végtelen sok gyök. A mi esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, mindkettőnek egyszerűen nincs gyökere.

De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan kell megnyitni, ha mínusz jel van előtte. Fontolja meg ezt a kifejezést:

Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni „X”-szel. Figyelem: szoroz minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.

És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet kinyitni a zárójelet abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, amikor az átalakítások befejeződtek, eszünkbe jut, hogy a zárójelek előtt mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy minden alább egyszerűen előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.

Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:

Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig elemi átalakítások sorozata, ahol az egyszerű műveletek világos és kompetens végrehajtásának képtelensége oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulják az ilyen egyszerű egyenleteket megoldani.

Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket az automatizmusig csiszolod. Többé nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.

Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása

Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.

1. számú feladat

\[\bal(7x+1 \jobb)\bal(3x-1 \jobb)-21((x)^(2))=3\]

Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:

Tegyünk egy kis magánéletet:

Íme néhány hasonló:

Végezzük el az utolsó lépést:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során másodfokú függvényű együtthatók voltak, ezek kioltották egymást, ami lineárissá teszi az egyenletet, és nem másodfokú.

2. feladat

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Óvatosan hajtsuk végre az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelből származó minden elemet a másodikból származó minden elemmel. Az átalakítások után összesen négy új kifejezésnek kell lennie:

Most óvatosan hajtsuk végre a szorzást minden egyes tagban:

Vigyük át az „X”-szel jelölt kifejezéseket balra, a nélkülözőket pedig jobbra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Itt vannak hasonló kifejezések:

Ismét megkaptuk a végső választ.

A megoldás árnyalatai

A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban a következő: amint elkezdjük szorozni azokat a zárójeleket, amelyek egynél több tagot tartalmaznak, ez a következő szabály szerint történik: az első tagot vesszük az elsőből, és szorozunk minden elemmel a második; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból származó minden elemmel. Ennek eredményeként négy ciklusunk lesz.

Az algebrai összegről

Ezzel az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mi az algebrai összeg. A klasszikus matematikában 1-7 dollár alatt egy egyszerű konstrukciót értünk: vonjunk ki hetet egyből. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az „egy” számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a „mínusz hetest”. Így különbözik az algebrai összeg a közönséges számtani összegtől.

Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.

Végül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.

Egyenletek megoldása törtekkel

Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadnunk az algoritmusunkhoz. De először hadd emlékeztesselek az algoritmusunkra:

1. Nyissa ki a zárójeleket.
2. Külön változók.
3. Hozz hasonlókat.
4. Oszd el az aránnyal.

Sajnos, ez a csodálatos algoritmus, minden hatékonysága ellenére, nem bizonyul teljesen megfelelőnek, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben a bal és a jobb oldalon is van egy tört.

Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet az első művelet előtt és után is meg lehet tenni, nevezetesen a törtektől való megszabadulást. Tehát az algoritmus a következő lesz:

1. Megszabadulni a törtektől.
2. Nyissa ki a zárójeleket.
3. Külön változók.
4. Hozz hasonlókat.
5. Oszd el az aránnyal.

Mit jelent „megszabadulni a törtektől”? És miért lehet ezt megtenni az első standard lépés után és előtt is? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevezőjében, azaz. A nevező mindenhol csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezzel a számmal, megszabadulunk a törtektől.

1. számú példa

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \jobbra)\cdot 4\]

Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert van két zárójel, nem jelenti azt, hogy mindegyiket "néggyel" kell szoroznia. Írjuk fel:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Most bővítsük ki:

A változót elkülönítjük:

Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Megkaptuk a végső megoldást, térjünk át a második egyenletre.

2. példa

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

A probléma megoldódott.

Valójában ez minden, amit ma el akartam mondani.

Kulcspontok

A legfontosabb megállapítások a következők:

• Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
• A zárójelek kinyitásának képessége.
• Ne aggódjon, ha valahol másodfokú függvényei vannak, ezek a további átalakítások során csökkenni fognak.
• A lineáris egyenletekben háromféle gyök létezik, még a legegyszerűbbek is: egyetlen gyök, az egész számegyen gyök, és nincs gyök.

Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, és oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!



Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete