Vizatoni një rrafsh pingul me atë të dhënë përmes drejtëzës mn. Algoritmi për ndërtimin e një rrafshi pingul me një të dhënë

Ndërtimi i vijave dhe planeve reciproke pingule është një operacion i rëndësishëm grafik në zgjidhjen e problemeve metrike.

Ndërtimi i një pingule me një vijë ose plan bazohet në pronë kënd i drejtë, e cila është formuluar në mënyrën e mëposhtme: nëse njëra nga anët e një këndi të drejtë është paralele me rrafshin e projeksionit, dhe tjetra nuk është pingul me të, atëherë këndi projektohet në madhësi natyrore në këtë rrafsh.

Figura 28

Ana BC e këndit të drejtë ABC, e paraqitur në figurën 28, është paralele me rrafshin P 1. Rrjedhimisht, projeksioni i këndit ABC në këtë rrafsh do të përfaqësojë një kënd të drejtë A 1 B 1 C 1 =90.

Një drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në këtë rrafsh. Kur ndërtoni një pingul nga një grup vijash të drejta që i përkasin aeroplanit, zgjidhni linja të drejta të nivelit - horizontale dhe ballore. Në këtë rast, projeksioni horizontal i pingulit kryhet pingul me horizontalen, dhe projeksioni ballor është pingul me pjesën e përparme. Shembulli i paraqitur në figurën 29 tregon ndërtimin e një pingule me rrafshin e specifikuar trekëndëshi ABC, nga pika K. Për ta bërë këtë, fillimisht vizatoni vijat horizontale dhe ballore në rrafsh. Pastaj, nga projeksioni ballor i pikës K vizatojmë një pingul me projeksionin ballor të ballit, dhe nga projeksioni horizontal i pikës - një pingul me projeksionin horizontal të horizontales. Më pas ndërtojmë pikën e prerjes së kësaj pingule me rrafshin duke përdorur rrafshin ndihmës të prerjes Σ. Pika e kërkuar është F. Kështu, segmenti që rezulton KF është pingul me rrafshin ABC.

Figura 29

Figura 29 tregon ndërtimin e një KF pingul me rrafshin ABC.

Dy rrafshe janë pingul nëse një drejtëz që shtrihet në një rrafsh është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara të rrafshit tjetër. Ndërtimi i një rrafshi pingul me këtë rrafsh ABC është paraqitur në figurën 30. Një drejtëz MN vizatohet përmes pikës M, pingul me rrafshin ABC. Projeksioni horizontal i kësaj vije është pingul me AC, pasi AC është horizontal, dhe projeksioni ballor është pingul me AB, pasi AB është frontal. Pastaj një vijë e drejtë arbitrare EF vizatohet përmes pikës M. Kështu, rrafshi është pingul me ABC dhe përcaktohet nga dy drejtëza të kryqëzuara EF dhe MN.

Figura 30

Kjo metodë përdoret për të përcaktuar vlerat natyrore të segmenteve pozicioni i përgjithshëm, si dhe këndet e tyre të prirjes ndaj planeve të projeksionit. Për të përcaktuar madhësinë natyrore të një segmenti duke përdorur këtë metodë, është e nevojshme të plotësoni një trekëndësh kënddrejtë në një nga projeksionet e segmentit. Këmba tjetër do të jetë ndryshimi në lartësi ose thellësi pikat fundore segmenti dhe hipotenuza - madhësi natyrale.

Le të shqyrtojmë një shembull: Figura 31 tregon një segment AB në pozicionin e përgjithshëm. Kërkohet të përcaktohet madhësia e tij natyrore dhe këndet e pjerrësisë së tij ndaj planeve ballore dhe horizontale të projeksioneve.

Ne tërheqim një pingul me një nga skajet e segmentit në një plan horizontal. Ne vizatojmë ndryshimin e lartësisë (ZA-ZB) të skajeve të segmentit mbi të dhe përfundojmë ndërtimin e një trekëndëshi kënddrejtë. Hipotenuza e saj është vlera natyrore e segmentit, dhe këndi midis vlerës natyrore dhe projeksionit të segmentit është vlera natyrore e këndit të prirjes së segmentit në planin P 1. Rendi i ndërtimit në planin ballor është i njëjtë. Përgjatë pingules ne vizatojmë ndryshimin në thellësi të skajeve të segmentit (YA-YB). Këndi që rezulton midis madhësisë natyrore të segmentit dhe projeksionit të tij ballor është këndi i prirjes së segmentit në planin P2.

Figura 31

1. Tregoni një teoremë për vetinë e këndeve të drejta.

2. Në cilin rast një drejtëz është pingul me një rrafsh?

3. Sa drejtëza dhe sa rrafshe pingul me një rrafsh të caktuar mund të vizatohen nëpër një pikë në hapësirë?

4. Për çfarë përdoret metoda? trekëndësh kënddrejtë?

5. Si të përdoret kjo metodë për të përcaktuar këndin e prirjes së një segmenti në pozicionin e përgjithshëm ndaj planit horizontal të projeksioneve?

Nga gjeometria dihet se një drejtëz është paralele me një rrafsh nëse është paralele me ndonjë drejtëz që i përket rrafshit. Le të kërkohet (Fig. 126) të vizatohet një vijë e drejtë paralele me rrafshin përmes pikës D trekëndëshi ABC. Të tre anët e një trekëndëshi shtrihen në rrafsh. Vizatojmë drejtëzën DE në mënyrë që ajo të jetë paralele me njërën nga brinjët e trekëndëshit, për shembull brinjën AB. Për këtë, siç dihet, është e nevojshme që kushti tjetër: D 2 E 2 ||A 2 B 2 dhe D 1 E 1 ||A 1 B 1. Nëse është e nevojshme të vizatoni një vijë horizontale paralele me rrafshin ABC përmes pikës D, atëherë së pari ndërtoni projeksione të vijës horizontale AF në rrafshin e trekëndëshit dhe pastaj vizatoni vijën e kërkuar horizontale DG||AF përmes pikës.

TFillimi-->Tend-->

Para se të shikoni linjat e drejta, plane pingule, duhet të njiheni me projeksionin e një këndi të drejtë. Rezulton se një kënd i drejtë projektohet pa shtrembërim nëse njëra nga anët e tij është paralele me një plan të caktuar dhe tjetra nuk është pingul me të (Fig. 127, a). Le ta vërtetojmë këtë teoremë; Për ta bërë këtë, le të përshkruajmë këndin e duhur të formuar nga vija e drejtë a dhe vija horizontale h, dhe projeksioni i saj horizontal h 1 Xa 1 . Le t'i kushtojmë vëmendje rrafshit a, ai është horizontalisht i projektuar, pasi kalon përmes vijës së drejtë me projektim horizontal AA 1. Ana h e këndit sipas udhëzimeve është paralele me rrafshin P 1 dhe pingul me drejtëzën a. Në të njëjtën kohë, drejtëza h është pingul me drejtëzën AA 1, që i përket gjithashtu rrafshit a; Kjo do të thotë se është pingul me vetë planin a. Projeksioni horizontal h 1 është paralel me h horizontalen, prandaj është edhe pingul me rrafshin a. Por atëherë është gjithashtu pingul me drejtëzën a 1 që i përket këtij rrafshi. Pra, h 1 _|_a 1 , d.m.th., këndi i drejtë ishte projektuar në rrafsh pa shtrembërim, gjë që duhej vërtetuar.

Në vizatimin kompleks (Fig. 127, b), projeksionet horizontale të vijave të drejta do të formojnë një kënd të drejtë h1_|_ a1, projeksionet ballore h 2 dhe a 2 c në këtë rast formë kënd i mpirë. Në rrafshin ballor të projeksioneve P3, një kënd i drejtë do të projektohet në formën e një këndi të drejtë në rastin kur njëra nga anët e tij / do të jetë ballore.

TFillimi-->
Tend-->

Nga gjeometria dihet se një drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me dy drejtëza që i përkasin këtij rrafshi. Planet horizontale dhe ballore mund të zgjidhen si vija të tilla të drejta. Nëse një vijë është pingul me një rrafsh, atëherë projeksioni horizontal i vijës është pingul me projeksionin horizontal të horizontales, dhe projeksioni ballor është pingul me projeksionin ballor të pjesës së përparme të rrafshit të caktuar. Le ta zbatojmë këtë pozicion në mënyrë që të rivendosim pingulën me rrafshin e trekëndëshit ABC (Fig. 128, a). Nëpër pikën A 2 A 1 vizatojmë vijën horizontale h 2 h 1, përmes pikës C 2 C 1 vizatojmë vijën ballore f 1 f 2; këto drejtëza do të kryqëzohen me njëra-tjetrën në pikën N 2 N 1. Projeksionet e MN pingul duhet të kalojnë: M 2 N 2 _|_ f 2 . M 1 N 1 _|_ h 1 Duke ditur drejtimin e projeksioneve horizontale dhe ballore përkatëse, është e mundur të vizatohen projeksione pingule nga çdo pikë në rrafshin ABC. Zgjidhja thjeshtohet nëse rrafshi specifikohet me gjurmë kxl (Fig. 128, b).

Gjurma k është zero ballore, dhe gjurma l është zero horizontale. Ato mund të përdoren për të ndërtuar projeksione të MN pingul; projeksioni ballor M 2 N 2 i pingules duhet të jetë pingul me projeksionin ballor k 2 të gjurmës ballore të rrafshit k, projeksioni horizontal M 1 N 1 i pingules duhet të jetë pingul me projeksionin horizontal l 1 të horizontales. gjurmët e aeroplanit l. Zgjodhëm pikën N në gjurmën ballore k; mund të merret në një gjurmë horizontale l ose në një vend tjetër në aeroplan.

rn
Për shembull, le të zgjidhim dy probleme.

Problemi 1. Përcaktoni projeksionin e distancës nga pika A në rrafshin e trekëndëshit BCD.

Siç e dini, distanca nga një pikë në një plan matet me gjatësinë e pingulit të tërhequr nga pika në këtë plan. Për të ulur pingulen, është e nevojshme të vizatohen rrafshet horizontale dhe ballore (Fig. 129). Horizontali h i rrafshit në këtë shembull është brinja e trekëndëshit BD, pasi projeksioni i tij ballor është horizontal ( pingul me linjat e komunikimit). Mbetet të vizatohet BE (f); projeksioni i tij horizontal B 1 E 1 duhet të jetë paralel me boshtin imagjinar të projeksioneve x 12; Ne ndërtojmë një projeksion frontal duke përdorur pikën E. Nga projeksioni ballor A 3 pika A ulim pingul me projeksionin ballor B 2 E 2 të BE-së ballore, dhe nga projeksioni horizontal A 1 - në projeksionin horizontal B 1 D 1 të BD-së horizontale. Tani duhet të gjejmë bazën e pikës pingule - O. Për ta bërë këtë, vizatoni një rrafsh horizontal sigma _|_ P 1 dhe gjeni vijën e kryqëzimit MN, projeksionin ballor O 2 të pikës O dhe përgjatë saj horizontalin projeksioni O 1.

Problemi është zgjidhur: A 2 O 2 dhe A1O1 janë projeksione të distancës së kërkuar. Segmenti AO është i dukshëm kur projektohet në rrafshet P2 dhe P1.

TFillimi--> Tend-->

Problemi 2. Nëpër pikën A vizatoni një rrafsh p pingul me rrafshin a (BCD).

Nga gjeometria dihet se nëse një rrafsh kalon nëpër një vijë që është pingul me një rrafsh tjetër, atëherë plane të tilla janë pingul. Le të përdorim vizatimin e mëparshëm, në të cilin është pjesa e parë detyrë e re zgjidhet - vizatohet pingul AO=a (Fig. 130). Tani mjafton të vizatoni një vijë të drejtë b përmes pikës A. Në këtë rast, formohet një rrafsh b_|_ a. Aeroplani i ndërtuar është i hijezuar me pika për qartësi. Siç mund ta shihni, ky problem ka shumë zgjidhje.

Oriz. 4.17 Fig. 4.18

Nëse rrafshi përcaktohet duke kryqëzuar vija të drejta (Fig. 4.17), atëherë zgjidhja e problemit reduktohet në tërheqje përmes pikës Açifte drejtëzash paralele me ato të dhëna.

Nëse rrafshi jepet me gjurmë (4.18), atëherë ndërtimi mund të kryhet duke përdorur algoritmin e mëposhtëm:

1. Përmes një pike A vizatoni, për shembull, një horizontale të planit të dëshiruar Q, paralel me horizontalet aeroplan i dhënë R.

2. Përmes kësaj vije horizontale vizatojmë rrafshin e dëshiruar paralel me atë të dhënë. Gjurmë ballore Q V kryhet përmes projeksionit ballor P" shiriti ballor horizontal paralel me trasenë P V; gjurmë horizontale QH- përmes një pike Q X paralel me shtegun R N.

Detyra 2. Përmes pikës A(a, a") vizatoni një aeroplan P, pingul me drejtëzën (Fig. 4.19).

a) Kërkohet të tregohet rrafshi i dëshiruar duke prerë drejtëza. Në këtë rast, është më e lehtë të ndërtohet një aeroplan P linjat kryesore - horizontale dhe ballore, duke kaluar nëpër pikë A (a, a").

Oriz. 4.19 Fig. 4.20

b) Kërkohet të tregohet rrafshi i dëshiruar me gjurmë. Ndërtimi mund të kryhet duke përdorur algoritmin e mëposhtëm. Përmes pikës A vizatoni rrafshin horizontal P pingul me segmentin dielli. Pastaj përmes kësaj vije horizontale vizatojmë rrafshin e dëshiruar pingul me vijën e drejtë dielli. Gjurmë ballore Q V kryhet përmes projeksionit ballor P" gjurma ballore horizontale pingul b"с'; gjurmë horizontale QH- përmes një pike Q X pingul me p.e.s.

Problemi 3. Përmes pikës A (a, a") vizatoni një aeroplan P, pingul me një plan të caktuar R dhe duke kaluar nëpër pikën e zhdukjes së gjurmëve Q X në bosht X(Fig. 4.20).

Bëhet e ditur se avioni P do të jetë pingul me rrafshin e dhënë R, nëse kalon nëpër një pingul me të ose pingul me një vijë që shtrihet në një rrafsh R.

Në Fig. 4.20 zgjidhja e problemit kryhet sipas një plani duke përdorur të parën nga këto kushte:

1. Nëpërmjet mbrapa këtë pikë A pingul me rrafshin R(am+P H , am′+P V).

2. Nëpër këtë pingul dhe një pikë të dhënë Q X vizatohet rrafshi i kërkuar P. Në të njëjtën kohë, gjurmët Q N të vizatuara përmes projeksionit horizontal T gjurmë horizontale pingul dhe pikë Q X; udhë Q V- përmes projeksionit ballor P' gjurmë ballore e pingul dhe pikë Q X.

Plani i dëshiruar mund të ndërtohet gjithashtu duke kryqëzuar vija të drejta, nëse kalon nëpër një pikë Q X vizatoni ndonjë vijë të drejtë që ka pikë e përbashkët me një pingul.

Detyra 4. Përmes pikës A (a, a") vizatoni një drejtëz pingul me drejtëzën dielli.

Perpendikularja e kërkuar qëndron në rrafshin pingul me drejtëzën e dhënë dielli.

Prandaj, problemi mund të zgjidhet duke përdorur algoritmin e mëposhtëm:

1. Përmes një pike A vizatoni një aeroplan P, pingul me vijën dielli.

2. Përcaktoni pikën K (k, k") kryqëzimi i një vije të drejtë dielli me avion P duke përdorur një plan projeksion horizontal S.

3. Lidhja e pikave A Dhe TE.

Në diagram, duke zgjidhur problemin duke përdorur këtë algoritëm, mund të tregoni aeroplanin me dy linja kryesore të kryqëzuara ( h×f) (Fig. 4.21) ose gjurmë (Fig. 4.22).

Oriz. 4.21 Fig. 4.22

Detyra 5. Ndërtoni një vijë të kryqëzimit të planeve ABC Dhe DEF.

Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur problemin e kryqëzimit të një linje dhe një rrafshi. Në Fig. Në figurën 4.23 është paraqitur ndërtimi i vijës së kryqëzimit të rrafsheve të përcaktuara me trekëndësha ABC Dhe DEF. Drejt MN të ndërtuara në bazë të pikave të gjetura të kryqëzimit të anëve DF Dhe E.F. trekëndëshi DEF me një plan trekëndësh ABC.

Për shembull, për të gjetur një pikë M anët e kryqëzimit DF me avion ABC, përmes një vije të drejtë DF vizatoni një plan projeksion frontal R ABC në vijë të drejtë I II df Dhe 12 m pikën e dëshiruar M. Pastaj gjeni projeksionin ballor m"pika M. Ndalesa e plotë N kryqëzimi i një vije të drejtë E.F. me avion ABC gjetur duke përdorur një plan projeksion frontal P, i cili pret rrafshin e trekëndëshit ABC në vijë të drejtë III IV. Në kryqëzimin e projeksioneve horizontale ef Dhe 34 merrni një projeksion horizontal n pikën e dëshiruar N.

Lidhja e pikave në çifte m"Dhe n", m Dhe n, merrni projeksionet e vijës së kryqëzimit MN aeroplanët ABC Dhe DEF.

Dukshmëria e pjesëve të segmenteve të rrafshët përcaktohet me metodën e pikave konkurruese.

Nuk do të ishte ekzagjerim të thuhet se ndërtimi i vijave dhe planeve reciproke pingule, së bashku me përcaktimin e distancës ndërmjet dy pikave, janë veprimet kryesore grafike në zgjidhjen e problemeve metrike.

Parakushti teorik për ndërtimin e projeksioneve të vijave dhe rrafsheve pingul me njëri-tjetrin në hapësirë ​​në diagramin Monge është vetia e përmendur më parë (shih § 6)

projeksionet e një këndi të drejtë, njëra nga anët e së cilës është paralele me çdo plan projeksioni:

1. Vija reciproke pingule.

Për të qenë në gjendje të përdorni vetinë e shënuar për të ndërtuar dy drejtëza që kryqëzohen në një kënd prej 90° në një diagramë Monge, është e nevojshme që njëra prej tyre të jetë paralele me ndonjë plan projeksioni. Le të shpjegojmë atë që është thënë me shembuj.

SHEMBULL 1. Nëpër pikën A, vizatoni një vijë të drejtë l që pret vijën horizontale h në një kënd të drejtë (Fig. 249).

Meqenëse njëra nga brinjët h të këndit të duhur është paralele me rrafshin π 1, këndi i duhur do të projektohet në këtë rrafsh pa shtrembërim. Prandaj, përmes A" vizatojmë një projeksion horizontal l" ⊥ h". Shënojmë pikën M" = l" ∩ h". Ne gjejmë M" (M" ∈ h"). Pikat A" dhe M" përcaktojnë l" (shih Fig. 249, a).

Nëse në vend të vijës horizontale specifikohet pjesa e përparme f, atëherë ndërtime gjeometrike për sa i përket vizatimit të vijës së drejtë l ⊥ f ato janë të ngjashme me ato që sapo morëm parasysh me ndryshimin e vetëm që është se ndërtimi i një projeksioni të pashtrembëruar të një këndi të drejtë duhet të fillojë me projeksionin ballor (shih Fig. 249, b).

SHEMBULL 2. Nëpër pikën A, vizatoni një drejtëz l që pret drejtëzën a, të përcaktuar nga segmenti [BC], në një kënd prej 90° (Fig. 250).

Meqenëse ky segment zë një pozicion arbitrar në lidhje me rrafshet e projeksionit, ne nuk mundemi, si në shembullin e mëparshëm, të përdorim vetinë në lidhje me rastin e veçantë të projektimit të një këndi të drejtë, kështu që së pari duhet të transferojmë [BC] në një pozicion paralel me disa plane projeksioni.

Në Fig. 250 [BC] është zhvendosur në pozicion paralel me rrafshinπ 3. Kjo bëhet duke përdorur metodën e zëvendësimit të planeve të projeksionit duke zëvendësuar rrafshin π 1 → π 3 || [Dielli].

Si rezultat i këtij zëvendësimi në sistemi i ri x 1 π 2 / π 3 [BC] përcakton vijën horizontale, prandaj të gjitha ndërtimet e mëtejshme kryhen në të njëjtën mënyrë siç u bë në shembullin e mëparshëm: pasi u gjet pika M" 1, ajo u transferua në rrafshet origjinale të projeksionit në pozicionin M "dhe M", këto pika së bashku me A" dhe A" përcaktojnë projeksionet e drejtëzës l.

SHEMBULL 3. Kryeni një projeksion horizontal të anës [BC] të këndit të drejtë ABC, nëse dihet projeksioni i saj ballor ∠A"B"C" dhe projeksioni horizontal i anës [A"B"] (Fig. 251) .

1. Lëvizeni anën e këndit [BA] në pozicionin || π 3 duke lëvizur nga sistemi i planeve të projeksionit xπ 2 / π 1 në x 1 π 3 / π 2 të ri

2. Përcaktoni një projeksion të ri ballor.

Nga B" 1 ndërtojmë një pingul me [B" 1 A" 1]. Në këtë pingul përcaktojmë pikën C" 1 (C" 1 hiqet nga boshti x 1 me një distancë |C x 1 C" 1 | = |C x C"| ).

4. Projeksioni horizontal C" përcaktohet si pika e prerjes së drejtëzave (C" 1 C x 1) ∩ (C"C x) = C".

2. Drejtëza dhe plani reciprokisht pingul.

Nga kursi i stereometrisë dimë se një drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me të paktën dy drejtëza të kryqëzuara që i përkasin këtij rrafshi.

Nëse marrim jo vija arbitrare kryqëzuese në rrafsh, por vijat e tij horizontale dhe ballore, atëherë bëhet e mundur të përdoret vetia e projeksionit të këndit të drejtë, siç u bë në shembullin 1, Fig. 249.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm; Le të supozojmë se nga një pikë A ∈ α duhet të rivendosim një pingul me rrafshin α (Fig. 252).

Nëpër pikën A vizatojmë drejtëzën horizontale h dhe vijën ballore f të rrafshit α. Pastaj, sipas përkufizimit (AB), pingul me rrafshin α, duhet të jetë pingul me drejtëzat h dhe f, d.m.th. Por ana AM ∠ JU || π 1, pra ∠VAM projektohet në rrafshin π 1, pa shtrembërim, d.m.th. . Ana AK ∠ VAK || π 2 dhe, për rrjedhojë, në rrafshin π 2 ky kënd është projektuar gjithashtu pa shtrembërim, d.m.th. . Arsyetimi i mësipërm mund të formulohet si teorema e mëposhtme: Në mënyrë që një vijë e drejtë në hapësirë ​​të jetë pingul me një plan, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që në diagram projeksioni horizontal i vijës së drejtë të jetë pingul me projeksionin horizontal të horizontales së rrafshit, dhe projeksioni ballor me projeksioni ballor i pjesës ballore të këtij rrafshi.

Nëse rrafshi jepet me gjurmë, atëherë teorema mund të formulohet ndryshe: Që një drejtëz në hapësirë ​​të jetë pingul me një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që projeksionet e kësaj drejtëze të jenë pingul me gjurmët me të njëjtin emër në rrafsh.

Marrëdhëniet e vendosura nga teorema ndërmjet një drejtëze në hapësirë ​​pingul me rrafshin dhe projeksioneve të kësaj drejtëze me projeksionet e vijave të nivelit (gjurmëve) të planit qëndrojnë në themel algoritmi grafik zgjidhjen e problemit të vizatimit të drejtëzës pingul me një rrafsh, si dhe ndërtimin e një rrafshi pingul me një drejtëz të caktuar.

SHEMBULL 1. Riktheni pingulën AD në rrafshin ΔАВС në kulmin A (Fig. 253).

Për të përcaktuar drejtimin e projeksioneve të pingules vizatojmë projeksione të h horizontales dhe f frontale të rrafshit ΔABC. Pas kësaj, nga pika A" rivendosim një pingul në h", dhe nga A" - në f".

SHEMBULL 2. Nga pika A, që i përket rrafshit α (m || n), ndërtoni një pingul me këtë rrafsh (Fig. 254).

ZGJIDHJE. Për të përcaktuar drejtimin e projeksioneve pingule l" dhe l", si në shembullin e mëparshëm, vizatoni një vijë horizontale h(h", h") përmes pikës A (A", A"), që i përket rrafshit α. Duke ditur drejtimin h", ndërtojmë një projeksion horizontal të pingules l" (l" ⊥ h"). Për të përcaktuar drejtimin e projeksionit ballor të pingules përmes pikës A (A", A"), vizatoni f (f", f") ballore të rrafshit α. Për shkak të paralelizmit të f me rrafshin e projeksionit ballor, këndi i drejtë midis l dhe f është projektuar në π 2 pa shtrembërim, kështu që vizatojmë l" ⊥ f".

Në Fig. 255 e njëjta problem zgjidhet edhe për rastin kur rrafshi α jepet me gjurmë. Për të përcaktuar drejtimet e projeksioneve të pingulit, nuk ka nevojë të vizatoni horizontalin dhe pjesën e përparme

beli, pasi funksionet e tyre kryhen nga gjurmët e rrafshit h 0α dhe f 0α. Siç mund të shihet nga vizatimi, zgjidhja zbret në vizatimin e projeksioneve l" ⊥ h 0α dhe l" ⊥ f 0α përmes pikave A" dhe A".

SHEMBULL 3. Ndërtoni një rrafsh γ pingul me një drejtëz të caktuar l dhe që kalon nga një pikë e caktuar A (Fig. 256).

ZGJIDHJE. Nëpër pikën A vizatojmë një vijë horizontale h dhe një vijë ballore f. Këto dy vija të kryqëzuara përcaktojnë një rrafsh; që ajo të jetë pingul me drejtëzën l, është e nevojshme që drejtëzat h dhe f të bëjnë kënd 90° me l të drejtë. Për ta bërë këtë, ne vizatojmë h" ⊥ l" dhe f" ⊥ l". Projeksioni ballor h" dhe projeksioni horizontal f" janë paralel me boshtin x.

Rasti i shqyrtuar na lejon ta zgjidhim problemin e dhënë në shembullin 3 në një mënyrë tjetër (f. 175 Fig. 251). Ana [BC] ∠ABC duhet t'i përkasë rrafshit γ ⊥ [AB] dhe të kalojë nëpër pikën B (Fig. 257).

Ky kusht përcakton rrjedhën e zgjidhjes së problemit, i cili është si vijon: pikën B e mbyllim në rrafshin γ ⊥ [AB], për këtë, përmes pikës B vizatojmë horizontalin dhe frontalin e rrafshit γ në mënyrë që h" ⊥ A. "B" dhe f" ⊥ A "B".

Pika C ∈ (BC), që i përket rrafshit γ, prandaj, për të gjetur projeksionin e saj horizontal, vizatojmë një vijë të drejtë arbitrare 1"2" deri në C" që i përket rrafshit γ; përcaktoni projeksionin horizontal të kësaj linje 1"2 " dhe shënoni pikën C mbi të" (C "përcaktohet nga kryqëzimi i linjës së lidhjes - pingulja e rënë nga C" me projeksionin horizontal të vijës së drejtë 1"2"). C" së bashku me B" përcaktojnë projeksionin horizontal (BC) ⊥ (AB).

3. Planet reciproke pingul..

Dy plane janë pingul nëse njëri prej tyre përmban një drejtëz pingul me rrafshin tjetër.

Bazuar në përcaktimin e pingulitetit të planeve, zgjidhim problemin e ndërtimit të një rrafshi β pingul me rrafshin α. mënyrën e mëposhtme: vizatoni një drejtëz l pingul me rrafshin α; e mbyllim drejtëzën l në rrafshin β. Rrafshi β ⊥ α, meqë β ⊃ l ⊥ α.

Shumë plane mund të vizatohen përmes drejtëzës l, kështu që problemi ka shumë zgjidhje. Për ta bërë përgjigjen më specifike, duhet të specifikohen kushte shtesë.

SHEMBULL 1. Nëpër një drejtëz të dhënë vizatoni një rrafsh β pingul me rrafshin α (Fig. 258).

ZGJIDHJE. Përcaktojmë drejtimin e projeksioneve të pingules me rrafshin α, për këtë gjejmë projeksionin horizontal të horizontales (h") dhe projeksionin ballor të frontalit (f"); Nga projeksionet e një pike arbitrare A ∈ α nxjerrim projeksionet e pingules l" ⊥ h" dhe l" ⊥ f". Rrafshi β ⊥ α, meqë β ⊃ l ⊥ α.

SHEMBULL 2. Nëpër një pikë të dhënë A, vizatoni një plan horizontal γ, pingul me rrafshin α, të specifikuar nga gjurmët (Fig. 259, a).

Plani i kërkuar γ duhet të përmbajë një drejtëz pingul me rrafshin α, ose të jetë pingul me një drejtëz që i përket rrafshit α. Meqenëse rrafshi γ duhet të jetë horizontalisht i projektuar, atëherë vija e drejtë pingul me të duhet të jetë paralele me rrafshin π 1, d.m.th., të jetë horizontali i rrafshit α ose (i cili është i njëjtë) gjurma horizontale e këtij plani - h 0α Prandaj, përmes pikës horizontale të projeksionit A" vizatoni një gjurmë horizontale h 0γ ⊥ h 0α gjurmë ballore f 0γ ⊥ x bosht.

Në Fig. 259, b tregon planin ballor të projektuar γ, që kalon nëpër pikën B dhe pingul me rrafshin π 2.

Nga vizatimi duket qartë se tipar dallues diagrami në të cilin janë specifikuar dy rrafshe reciprokisht pingul, njëri prej të cilëve është i projektuar frontalisht, pingulja e gjurmëve të tyre ballore është f 0γ ⊥ f 0α, gjurma horizontale e rrafshit të projektuar ballor është pingul me boshtin x.

NDËRTIMI I RAFSHËVE DHE TË DREJTËSHME PERPENDIKULARE

Nga të gjitha pozicionet e mundshme të një drejtëze që kryqëzon një rrafsh, vërejmë rastin kur vija është pingul me rrafshin dhe shqyrtojmë vetitë e projeksioneve të një linje të tillë.

Në Fig. 185 jepet një rrafsh i përcaktuar nga dy drejtëza të kryqëzuara AN dhe AM, ku AN është horizontali dhe AM ballor i këtij plani. Drejtëza AB, e paraqitur në të njëjtin vizatim, është pingul me AN ​​dhe me AM dhe, për rrjedhojë, pingul me rrafshin e përcaktuar prej tyre.

Një pingul me një rrafsh është pingul me çdo drejtëz të vizatuar në atë rrafsh. Por, në mënyrë që projeksioni i një pingule me një plan të përgjithshëm të jetë pingul me projeksionin me të njëjtin emër të çdo vije të drejtë të këtij rrafshi, vija e drejtë duhet të jetë horizontale, ose ballore, ose një rrafsh i drejtë profili. Prandaj, duke dashur të ndërtojnë një pingul me rrafshin, ata marrin rast i përgjithshëm dy vija të tilla të drejta (për shembull, horizontale dhe ballore, siç tregohet në Fig. 185).

Pra, për një pingul me një plan, projeksioni i tij horizontal është pingul me projeksionin horizontal të horizontales, projeksioni ballor është pingul me projeksionin ballor të frontit, projeksioni i profilit është pingul me projeksionin e profilit të linjës së profilit të kësaj aeroplan.

Natyrisht, në rastin kur rrafshi shprehet me gjurmë (Fig. 186), marrim prodhimi tjetër: nëse një drejtëz është pingul me një rrafsh, atëherë projeksioni horizontal i kësaj vije është pingul me gjurmën horizontale të rrafshit, dhe projeksioni ballor është pingul me gjurmën ballore të rrafshit.

Pra, nëse në sistemin π 1 p 2 projeksioni horizontal i vijës është pingul me gjurmën horizontale dhe projeksioni ballor i vijës është pingul me gjurmën ballore të planit, atëherë në rastin e planeve të pozicionit të përgjithshëm (Fig. 186), si dhe duke u projektuar horizontalisht dhe ballor, vija është pingul me rrafshin. Por për një rrafsh projeksionues të profilit mund të rezultojë se vija e drejtë me këtë plan nuk është pingul, megjithëse projeksionet e vijës së drejtë janë përkatësisht pingul me gjurmët horizontale dhe ballore të planit. Prandaj, në rastin e një plani projektues të profilit, është gjithashtu e nevojshme të merret parasysh pozicioni relativ i projeksionit të profilit të një vije të drejtë dhe gjurma e profilit të një rrafshi të caktuar, dhe vetëm pas kësaj të përcaktohet nëse drejtëza dhe rrafshi i dhënë do të jenë pingul me njëri-tjetrin.

Natyrisht (Fig. 187), projeksioni horizontal i pingules me rrafshin bashkohet me projeksionin horizontal të vijës së pjerrësisë të tërhequr në rrafsh përmes bazës së pingules.

Në Fig. 186 nga pika A tërhiqet një pingul me katrorin. a (А"С" ⊥ f" 0a, А"С" ⊥ h" 0a) dhe tregon ndërtimin e pikës E në të cilën pingulja AC prehet pl. A. Ndërtimi është bërë duke përdorur një shesh të projektuar horizontalisht. β i tërhequr përmes AE pingul.

Në Fig. 188 tregon ndërtimin e një pingul me rrafshin e përcaktuar nga trekëndëshi ABC. Një pingul vizatohet përmes pikës A.

Meqenëse projeksioni ballor i pingulës me rrafshin duhet të jetë pingul me projeksionin ballor të pjesës ballore të planit, dhe projeksioni i tij horizontal është pingul me projeksionin horizontal të horizontales, atëherë në rrafshin përmes pikës A një frontal me projeksione A. "D" dhe A"D" dhe një horizontale A"E vizatohen ", A"E". Sigurisht, këto vija nuk duhet të vizatohen saktësisht përmes pikës A.

Më poshtë janë projeksionet e pingules: M"N" ⊥ A"D", M"N" ⊥ A"E". Pse janë projeksionet në Fig. 188 në seksionet A"N" dhe A"M" tregohen me vija të ndërprera? Sepse këtu kemi parasysh rrafshin e përcaktuar nga trekëndëshi ABC, dhe jo vetëm këtë trekëndësh: pingulja është pjesërisht përpara rrafshit, pjesërisht pas tij.

Në Fig. 189 dhe 190 tregojnë ndërtimin e një rrafshi që kalon nga pika A pingul me drejtëzën BC. Në Fig. 189 aeroplani shprehet me gjurmë. Ndërtimi filloi me tërheqjen e vijës horizontale të rrafshit të dëshiruar përmes pikës A: meqenëse gjurma horizontale e rrafshit duhet të jetë pingul me B "C", atëherë projeksioni horizontal i vijës horizontale duhet të jetë pingul me B "C". Prandaj, A"N" ⊥ B"C. Projeksioni A"N" || i boshtit x, ashtu siç duhet të jetë në horizontale. Më pas vizatoni nëpër pikën N" (N" është projeksioni ballor i gjurmës ballore të AN) gjurma f" 0a ⊥ B "C", fitohet pika X a dhe vizatohet gjurma h" 0a ||

Në Fig. 190 aeroplani përcaktohet nga AM e përparme dhe AN horizontale. Këto vija janë pingul me BC (А"М"" ⊥ В"С", A"N" ⊥ В"С); rrafshi që ata përcaktojnë është pingul me diellin.

Meqenëse një pingul me një rrafsh është pingul me çdo vijë të drejtë të vizatuar në këtë plan, pasi keni mësuar të vizatoni një plan pingul me një vijë të drejtë, mund ta përdorni këtë për të vizatuar një pingul nga një pikë e caktuar A në një drejtëz të përgjithshme BC. Natyrisht, ne mund të përshkruajmë planin e mëposhtëm për ndërtimin e projeksioneve të linjës së dëshiruar:

1) përmes pikës A vizatoni një rrafsh (le ta quajmë ϒ) pingul me BC;

2) përcaktoni pikën K të kryqëzimit të drejtëzës BC me katrorin. ϒ;

3) lidhni pikat A dhe K me një segment të drejtë.

Drejtëzat AK dhe BC janë reciproke pingule.

Një shembull i ndërtimit është dhënë në Fig. 191. Një rrafsh (ϒ) vizatohet përmes pikës A, pingul me BC. Kjo bëhet duke përdorur një frontal, projeksioni ballor A"F" i të cilit është pingul me projeksionin ballor B"C" dhe një horizontal, projeksioni horizontal i së cilës është pingul me B"C".

Pastaj gjendet pika K në të cilën drejtëza BC e pret katrorin. ϒ. Për ta bërë këtë, një rrafsh i projektuar horizontalisht β vizatohet përmes vijës së drejtë BC (në vizatim është specifikuar vetëm nga gjurma horizontale β"). Katrori β pret katrorin ϒ në një vijë të drejtë me projeksionet 1"2' dhe 1"2. ". Në kryqëzimin e kësaj drejtëze me drejtëzën BC, fitohet pika K Drejtëza AK është pingulja e dëshiruar me BC. Në të vërtetë, drejtëza AK kryqëzon drejtëzën BC dhe është në katror. ϒ, pingul me drejtëzën BC; prandaj, AK ⊥ BC.

Në Fig. 192 tregon një rrafsh të pozicionit të përgjithshëm a, që kalon nëpër pikën A, dhe një AM pingul me këtë plan, të shtrirë në kryqëzimin me rrafshin. p 1, në pikën B".

Këndi f 1 ndërmjet pl. a dhe pl. n 1 dhe këndi f ndërmjet drejtëzës AM dhe katrorit. n 1 janë qoshe të mprehta trekëndëshi kënddrejtë B "AM" dhe, për rrjedhojë, φ 1 + φ = 90°. Po kështu, nëse pl. dhe arrin në pl. p 2 kënd σ 2, dhe drejtëza AM, pingul me a, bën c pl. n 2 kënd σ, pastaj σ 2 + σ = 90°. Nga kjo, para së gjithash, del se rrafshi i pozicionit të përgjithshëm, i cili duhet të jetë i barabartë me pl. p 1 kënd f 1 a me pl. n 2 kënd σ 2 mund të ndërtohet vetëm nëse 180° > Ф 1 + σ2 > 90°.

Në të vërtetë, duke shtuar termin sipas termit Ф 1 + Ф = 90° dhe σ 2 + σ = 90°, marrim Ф 1 + σ 2 + Ф + σ = 180°, d.m.th. Ф 1 + σ 2< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф 1 + σ 2 >90°. Nëse merrni Ф 1 + σ 2 =90°, ju merrni një plan projektues të profilit, dhe nëse merrni Ф 1 + σ 2 = 180°, merrni një plan profili, d.m.th. në të dyja këto raste rrafshi nuk është i një pozicion i përgjithshëm, por i një të veçantë.

NDËRTIMI I RRAFSHËVE PREPENDIKULARË TË NDËRMARRJES

Ndërtimi i rrafshit β, pingul me rrafshin a, mund të bëhet në dy mënyra: 1) pl. β vizatohet përmes një drejtëze pingule me katrorin. A; 2) pl. β vizatohet pingul me drejtëzën e shtrirë në katror. a ose paralel me këtë rrafsh. Për marrjen e vetmja zgjidhje kërkohen kushte shtesë.

Në Fig. 193 tregon ndërtimin e një plani pingul me rrafshin dhënë nga një trekëndësh CDE. Një kusht shtesë këtu është që rrafshi i dëshiruar duhet të kalojë nëpër drejtëzën A B. Rrjedhimisht, rrafshi i dëshiruar përcaktohet nga drejtëza AB dhe pingul me rrafshin e trekëndëshit. Për të vizatuar këtë pingul me katrorin. CDE në të merren CN ballore dhe CM horizontale: nëse B"F" ⊥ C"N" dhe B"F"⊥C"M", atëherë BF⊥ katror CDE.

Rrafshi i formuar nga drejtëzat e kryqëzuara AB dhe BF është pingul me katrorin. COE, meqenëse kalon nëpër pingul me këtë rrafsh. Në Fig. 194 plani β horizontalisht i projektuar kalon në pikën K pingul me rrafshin e përcaktuar nga trekëndëshi ABC. Këtu, një kusht shtesë ishte pingulja e planit të dëshiruar me dy rrafshe njëherësh: me katrorin. ABC dhe të pl. f 1. Prandaj, përgjigja është rrafshi horizontal i projeksionit. Dhe meqenëse është tërhequr pingul me drejtëzën horizontale AD, pra me një drejtëz që i përket pl. ABC, pastaj pl. β është pingul me katrorin. ABC.

A mund të shërbejë pinguliteti i gjurmëve të rrafsheve me të njëjtin emër si shenjë e pingulitetit të vetë planeve?

Rastet e dukshme kur është kështu përfshijnë pingulitetin e ndërsjellë të dy rrafsheve të projektuara horizontalisht, në të cilat gjurmët horizontale janë reciproke pingule. Kjo ndodh edhe kur pinguliteti i ndërsjellë gjurmët ballore të planeve të projektimit ballor; këto rrafshe janë reciprokisht pingul.

Le të marrim në konsideratë (Fig. 195) një rrafsh të projektuar horizontalisht β, pingul me rrafshin e përgjithshëm a.

Nëse pl. β është pingul me katrorin. l, p 1 pl. a, pastaj β⊥h" 0a për sa i përket vijës së kryqëzimit të zonës a dhe zonës p 1. Prandaj h" 0a ⊥ β dhe, si rrjedhim, h" 0a ⊥ β, si për një nga drejtëzat në zonën β.

Pra, pinguliteti i gjurmëve horizontale të rrafshit të përgjithshëm dhe rrafshit të projektuar horizontalisht i përgjigjet pingulitetit të ndërsjellë të këtyre rrafsheve.

Natyrisht, pinguliteti i gjurmëve ballore të rrafshit të projektuar ballor dhe rrafshit të pozicionit të përgjithshëm gjithashtu korrespondon me pingulitetin e ndërsjellë të këtyre planeve.

Por nëse gjurmët me të njëjtin emër të dy rrafsheve në pozicionin e përgjithshëm janë reciproke pingule, atëherë vetë rrafshet nuk janë pingul me njëri-tjetrin, pasi asnjë nga kushtet e përmendura në fillim të këtij seksioni nuk plotësohet këtu.

Si përfundim, le të shohim Fig. 196. Këtu vërehet një rast i pingulitetit të ndërsjellë të gjurmëve me të njëjtin emër si në çiftet e tyre ashtu edhe të pingulitetit të vetë rrafsheve: të dy rrafshet e pozicionit të veçantë (të veçantë) - profili ϒ dhe profili-projektues a.