Sa është amplituda e probabilitetit të një funksioni valor. Kushti i normalizimit për funksionin $\psi$

Për të përshkruar vetitë e valës së grimcave të një elektroni në mekanikën kuantike, përdoret një funksion valor, i cili shënohet Letra greke psi (T). Karakteristikat kryesore të funksionit të valës janë:

• në çdo pikë të hapësirës me koordinatat x, y, z ka një shenjë dhe amplitudë të caktuar: BHd:, në, G);
• moduli në katror i funksionit valor | CHH, y,z) | 2 e barabartë me probabilitetin vendndodhjen e një grimce në një njësi vëllimi, d.m.th. dendësia e probabilitetit.

Dendësia e probabilitetit të zbulimit të një elektroni në distanca të ndryshme nga bërthama e një atomi përshkruhet në disa mënyra. Shpesh karakterizohet nga numri i pikave për njësi vëllimi (Fig. 9.1, A). Një imazh i densitetit të probabilitetit me pika i ngjan një reje. Duke folur për renë elektronike, duhet të kihet parasysh se një elektron është një grimcë që shfaq njëkohësisht edhe korpuskulare dhe valë.

Oriz. 9.1.

Vetitë. Gama e probabilitetit për zbulimin e një elektroni nuk ka kufij të qartë. Sidoqoftë, është e mundur të zgjidhni një hapësirë ​​ku probabiliteti i zbulimit të tij është i lartë ose edhe maksimal.

Në Fig. 9.1, A Vija e ndërprerë tregon një sipërfaqe sferike brenda së cilës probabiliteti i zbulimit të një elektroni është 90%. Në Fig. Figura 9.1b tregon një imazh konturor të densitetit të elektronit në një atom hidrogjeni. Kontura më e afërt me bërthamën mbulon një zonë të hapësirës në të cilën probabiliteti i zbulimit të një elektroni është 10%, probabiliteti i zbulimit të një elektroni brenda konturit të dytë nga bërthama është 20%, brenda të tretës - 30%, etj. Në Fig. 9.1, reja e elektroneve përshkruhet si një sipërfaqe sferike, brenda së cilës probabiliteti i zbulimit të një elektroni është 90%.

Së fundi, në Fig. 9.1, d dhe b, tregon probabilitetin e zbulimit të një elektroni është në distanca të ndryshme në dy mënyra G nga kerneli: në krye është një "prerje" e kësaj probabiliteti që kalon nëpër kernel, dhe në fund është vetë funksioni 4lr 2 |U| 2.

ekuacioni i Schrödingsr-it. Ky është ekuacioni themelor Mekanika kuantike u formulua nga fizikani austriak E. Schrödinger në vitin 1926. Ai lidh energjinë totale të një grimce E, e barabartë me shumën potencial dhe energjia kinetike, energjia potenciale?“, masa e grimcave T dhe funksioni valor 4*. Për një grimcë, për shembull një elektron me masë kjo eshte, duket kështu:

ME pikë matematikore Sipas mendimit tonë, ky është një ekuacion me tre të panjohura: Y, E Dhe?". Zgjidheni, d.m.th. Këto të panjohura mund të gjenden duke i zgjidhur së bashku me dy ekuacione të tjera (për të gjetur tre të panjohura nevojiten tre ekuacione). Si ekuacione të tilla përdoren ekuacionet për energjinë potenciale dhe kushtet kufitare.

Ekuacioni i energjisë potenciale nuk përmban funksionin valor V. Ai përshkruan bashkëveprimin e grimcave të ngarkuara sipas ligjit të Kulombit. Kur një elektron ndërvepron me një bërthamë me ngarkesë +z, energji potenciale e barabartë me

Ku g = Y* 2 + y 2+ z 2 .

Ky është rasti i të ashtuquajturit atom me një elektron. Në më shumë sisteme komplekse, kur ka shumë grimca të ngarkuara, ekuacioni i energjisë potenciale përbëhet nga shuma e të njëjtave terma të Kulonit.

Ekuacioni i kushtit kufitar është shprehja

Do të thotë se funksioni i valës elektroni tenton në zero në distanca të gjata nga bërthama e një atomi.

Zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit lejon që dikush të gjejë funksionin e valës elektronike? = (x, y, z) në funksion të koordinatave. Kjo shpërndarje quhet orbitale.

Orbitale -është një funksion valor i përcaktuar në hapësirë.

Një sistem ekuacionesh, duke përfshirë ekuacionet e Shrodingerit, energjinë potenciale dhe kushtet kufitare, nuk ka një, por shumë zgjidhje. Secila prej zgjidhjeve përfshin njëkohësisht 4 x = (x, y, G) Dhe E, d.m.th. përshkruan renë elektronike dhe energjinë totale përkatëse të saj. Secila prej zgjidhjeve përcaktohet numrat kuantikë.

Kuptimi fizik i numrave kuantikë mund të kuptohet duke marrë parasysh dridhjet e një vargu, si rezultat i të cilave valë në këmbë(Fig. 9.2).

Gjatësia e valës në këmbë X dhe gjatësia e vargut b lidhur me ekuacionin

Gjatësia e një vale në këmbë mund të ketë vetëm vlera të përcaktuara rreptësisht që korrespondojnë me numrin P, i cili pranon vetëm vlera të plota jo negative 1,2,3, etj. Siç është e qartë nga Fig. 9.2, numri i maksimumeve të amplitudës së lëkundjes, d.m.th. forma e një vale në këmbë përcaktohet në mënyrë unike nga vlera P.

Meqenëse një valë elektronike në një atom është më shumë proces i vështirë sesa vala e qëndrueshme e vargut, vlerat e funksionit të valës elektronike përcaktohen jo nga një, por nga

Oriz. 9.2.

katër numra, të cilët quhen numra kuantikë dhe caktohen me shkronja P, /, T Dhe s. Ky grup numrat kuantikë P, /, T përgjigjeni njëkohësisht një funksioni të caktuar valor Ch"lDl, dhe energji totale E„j. Numri kuantik T në E mos tregoni, sepse në mungesë fushë e jashtme energjia e elektroneve nga T nuk varet. Numri kuantik s nuk prek asnjë 4 *n xt, aspak E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*f
• Simbolet --, --- nënkuptojnë derivatet e dyta të pjesshme të harqeve fir1 të funksionit 8z2 H". Këto janë derivate të derivateve të parë. A përputhet kuptimi i derivatit të parë me tangjenten e pjerrësisë së funksionit H" nga argumenti x, y ose z në grafikë? = j(x), T =/2(y), H" =/:!(z).

Funksioni i valës(ose vektori i gjendjes) - funksion kompleks, duke përshkruar gjendjen e një sistemi mekanik kuantik. Njohuritë e tij ju lejojnë të merrni informacion të plotë rreth sistemit të mikrobotës. Pra, me ndihmën e tij, ju mund të llogaritni të gjitha karakteristikat fizike të matshme të sistemit, probabilitetin për të qenë në një vend të caktuar në hapësirë ​​dhe evolucionin e tij në kohë. Funksioni i valës mund të gjendet duke zgjidhur ekuacionin e valës së Schrödinger-it.

Sasia |ψ(x,y,z,t)| 2 dV është proporcionale me probabilitetin që grimca të zbulohet në kohën t në vëllimin dV në afërsi të pikës (x,y,z).

Moduli në katror i funksionit të valës përcakton probabiliteti se grimca do të zbulohet brenda vëllimit dV:dP=(|Y|^2) 2 dV=YY * dV.

ku Y * - funksioni valor kompleks i konjuguar.

Madhësia (|Y| ^2)=YY * = dP/dV - ka kuptimin e densitetit të probabilitetit.

Integrali i marrë në të gjithë hapësirën duhet të jetë i barabartë me unitetin (probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme P=1). – gjendja e normalizimit: zbulimi i një grimce në të gjithë hapësirën është një ngjarje e besueshme, probabiliteti i së cilës është i barabartë me një.

19. Ekuacioni i Shrodingerit dhe zbatimi i tij në një elektron të lirë.

Ψ – funksioni i valës.

i = - njësi imagjinare; m-- masa e grimcave; ∆ është operatori Laplace, i cili në Sistemi kartezian ka formën =, U(x,y,z,t) – energjia potenciale e një grimce në një fushë force të jashtme në një pikë me koordinata ( x, y, z).

Për të përshkruar sjelljen e një elektroni në një atom, në disa raste është e rëndësishme të jeni në gjendje të gjeni zgjidhje stacionare Ekuacionet e Shrodingerit që nuk përmbajnë kohë. Për të zgjidhur këtë problem ju duhet të merrni të ashtuquajturin ekuacioni i palëvizshëm Schrödinger, në të cilin është përjashtuar varësia e Ψ nga koha.

ekuacioni i Shrodit. për gjendjet stacionare.

Fusha është e palëvizshme kur karakteristikat e saj nuk varen nga koha, për shembull, për gjendjet me vlera fikse të energjisë.

Një hyrje tjetër.

Për një elektron të lirë:

20. Zbatimi i ekuacionit të Shrodingerit në një elektron në një pus potencial.

Ur-ieSchröd.:

Grimca nuk depërton përtej gropës, kështu që probabiliteti i zbulimit të saj jashtë gropës është zero. Në kufijtë e pusit, funksioni i valës gjithashtu duhet të zhduket. Prandaj, kushtet kufitare në këtë rast ato duken si:

Brenda pusit, ekuacioni i Shrodingerit 0

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial:

Sepse B= 0 (nga ), atëherë

Niveli: ekzekutohet vetëm kur kl = nπ. Ato. është e nevojshme që: .

Rezulton se energjia varet nga n:

Ato. ekuacioni i palëvizshëm i Shrodingerit, i cili përshkruan lëvizjen e një grimce në një pus potencial me mure pafundësisht të larta, është i kënaqur vetëm për vlerat e veta En që varen nga numri i plotë n. Rrjedhimisht, energjia En e një grimce në një pus potencial me mure pafundësisht të larta merr vetëm disa vlera diskrete, d.m.th. të kuantizuara. Vlerat e energjisë kuantike En quhen nivelet e energjisë, dhe numri n, i cili përcakton nivelet e energjisë, është numri kuantik kryesor.

Kështu, mikrogrimca në një "pus potencial" me mure pafundësisht të larta mund të jetë vetëm në një nivel të caktuar energjie En, ose, siç thonë ata, grimca është në gjendje kuantike P.

Zbatimi i ekuacionit të Shrodingerit në një grimcë në një pus potencial me mure pafundësisht të larta çon në vlerat e energjisë kuantike dhe koordinon, ndërsa mekanika klasike nuk vendos kufizime të panevojshme në energjinë e kësaj grimce.

· Kuantike e vëzhgueshme · Funksioni i valës· Mbipozicioni kuantik · Ngatërrimi kuantik · Gjendja e përzier · Matja · Pasiguria · Parimi i Paulit · Dualizmi · Dekoherenca · Teorema e Ehrenfestit · Efekti i tunelit

Funksioni i valës, ose funksioni psi $\backslash psi$është një funksion me vlerë komplekse që përdoret në mekanikën kuantike për të përshkruar gjendjen e pastër të një sistemi. Është koeficienti i zgjerimit të vektorit të gjendjes mbi një bazë (zakonisht një koordinative):

$\backslash majtas|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash djathtas\backslash rangle\; dx$

Ku $\backslash majtas|x\backslash djathtas\backslash rangle\; =\; \backslash majtas|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n\backslash djathtas\backslash rangle$është vektori bazë i koordinatave, dhe $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash langle\; x\backslash majtas|\backslash psi(t)\backslash djathtas\backslash rangle$- funksioni valor në paraqitjen e koordinatave.

Normalizimi i funksionit të valës

Funksioni i valës $\backslash Psi$ në kuptimin e tij duhet të plotësojë të ashtuquajturin kusht normalizimi, për shembull, në paraqitjen e koordinatave që ka formën:

$(\backslash int\backslash limits\_(V)(\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi)dV)=1$

Ky kusht shpreh faktin se probabiliteti për të gjetur një grimcë me një funksion të caktuar valor kudo në hapësirë ​​është e barabartë me një. Në rastin e përgjithshëm, integrimi duhet të kryhet mbi të gjitha variablat nga të cilët varet funksioni i valës në një paraqitje të caktuar.

Parimi i mbivendosjes së gjendjeve kuantike

Për funksionet valore, parimi i mbivendosjes është i vlefshëm, që është se nëse një sistem mund të jetë në gjendje të përshkruar nga funksionet valore $\backslash Psi\_1$ Dhe $\backslash Psi\_2$, atëherë mund të jetë edhe në një gjendje të përshkruar nga funksioni valor

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$ për çdo kompleks $c\_1$ Dhe $c\_2$.

Natyrisht, mund të flasim për mbivendosjen (imponimin) e çdo numri gjendjesh kuantike, domethënë për ekzistencën e një gjendje kuantike të sistemit, e cila përshkruhet nga funksioni valor $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (c)\_N(\backslash Psi)\_N=\backslash sum\_(n=1)^(N)\; (c)\_n(\backslash Psi)\_n$.

Në këtë gjendje, katrori i modulit të koeficientit $(c)\_n$ përcakton probabilitetin që, kur matet, sistemi të zbulohet në një gjendje të përshkruar nga funksioni valor $(\backslash Psi)\_n$.

Prandaj, për funksionet valore të normalizuara $\backslash sum\_(n=1)^(N)\backslash majtas|c\_(n)\backslash djathtas|^2=1$.

Kushtet për rregullsinë e funksionit valor

Kuptimi probabilistik i funksionit valor imponon kufizime ose kushte të caktuara në funksionet valore në problemet e mekanikës kuantike. Këto kushte standarde shpesh quhen kushtet për rregullsinë e funksionit valor.

1. Kushti për fundshmërinë e funksionit valor. Funksioni i valës nuk mund të marrë vlera të pafundme të tilla që integrali $(1)$ do të bëhet divergjente. Rrjedhimisht, ky kusht kërkon që funksioni i valës të jetë një funksion i integrueshëm në mënyrë kuadratike, domethënë t'i përkasë hapësirës së Hilbertit. $L^2$. Në veçanti, në problemet me një funksion valor të normalizuar, moduli në katror i funksionit të valës duhet të priret në zero në pafundësi.
2. Kushti për veçantinë e funksionit valor. Funksioni i valës duhet të jetë një funksion i paqartë i koordinatave dhe kohës, pasi densiteti i probabilitetit të zbulimit të një grimce duhet të përcaktohet në mënyrë unike në çdo problem. Në problemet që përdorin një sistem koordinativ cilindrik ose sferik, kushti i unicitetit çon në periodicitetin e funksioneve të valës në ndryshore këndore.
3. Kushti për vazhdimësinë e funksionit valor. Në çdo moment në kohë, funksioni i valës duhet të jetë një funksion i vazhdueshëm i koordinatave hapësinore. Përveç kësaj, derivatet e pjesshme të funksionit të valës duhet të jenë gjithashtu të vazhdueshme $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash x\; pjesshme)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; y)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; z)$. Këto derivate të pjesshme të funksioneve vetëm në raste të rralla të problemeve me fusha të idealizuara të forcës mund të pësojnë një ndërprerje në ato pika në hapësirë ​​ku energjia potenciale që përshkruan fushën e forcës në të cilën lëviz grimca përjeton një ndërprerje të llojit të dytë.

Funksioni valor në paraqitje të ndryshme

Bashkësia e koordinatave që veprojnë si argumente funksioni përfaqëson një sistem të plotë të vëzhguesve në lëvizje. Në mekanikën kuantike, është e mundur të zgjidhen disa grupe të plota të vëzhgueshme, kështu që funksioni valor i së njëjtës gjendje mund të shkruhet në terma të argumenteve të ndryshëm. Përcakton grupi i plotë i sasive të zgjedhura për të regjistruar funksionin e valës përfaqësimi i funksionit valor. Kështu, një paraqitje e koordinatave, një paraqitje e momentit janë të mundshme; në teorinë kuantike të fushës, përdoret kuantizimi sekondar dhe paraqitja e numrave të pushtimit ose përfaqësimi Fock, etj.

Nëse funksioni i valës, për shembull, i një elektroni në një atom, jepet në paraqitjen e koordinatave, atëherë moduli në katror i funksionit të valës përfaqëson densitetin e probabilitetit të zbulimit të një elektroni në një pikë të caktuar në hapësirë. Nëse i njëjti funksion valor jepet në paraqitjen e impulsit, atëherë katrori i modulit të tij përfaqëson densitetin e probabilitetit të zbulimit të një impulsi të veçantë.

Formulimet e matricës dhe vektorit

Funksioni valor i së njëjtës gjendje në paraqitje të ndryshme do të korrespondojë me shprehjen e të njëjtit vektor në sisteme të ndryshme koordinative. Operacionet e tjera me funksione valore do të kenë gjithashtu analoge në gjuhën e vektorëve. Në mekanikën valore, përdoret një paraqitje ku argumentet e funksionit psi janë sistemi i plotë të vazhdueshme duke lëvizur të vëzhgueshmet, dhe paraqitja e matricës përdor një paraqitje ku argumentet e funksionit psi janë sistemi i plotë diskrete të vëzhgueshmet e udhëtimit. Prandaj, formulimet funksionale (valë) dhe matricë janë padyshim ekuivalente matematikisht.

Kuptimi filozofik i funksionit valor

Funksioni i valës është një metodë për të përshkruar gjendjen e pastër të një sistemi mekanik kuantik. Gjendjet kuantike të përziera (në statistikat kuantike) duhet të përshkruhen nga një operator si një matricë densiteti. Kjo do të thotë, disa funksione të përgjithësuara të dy argumenteve duhet të përshkruajnë korrelacionin midis vendndodhjes së një grimce në dy pika.

Duhet kuptuar se problemi që zgjidh mekanika kuantike është problemi i vetë thelbit të metodës shkencore të njohjes së botës.

Shiko gjithashtu

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Funksioni i valës"

Letërsia

• Fjalor enciklopedik fizik / K. ed. A. M. Prokhorov. Ed. numëroj D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov dhe të tjerë - M.: Sov. Enciklopedi, 1984. - 944 f.

Lidhjet

• Mekanika kuantike- artikull nga Enciklopedia e Madhe Sovjetike.

3. ELEMENTET E MEKANIKËS KUANTUME

3.1.Funksioni i valës

Çdo mikrogrimcë është një lloj i veçantë formimi, duke kombinuar vetitë e grimcave dhe valëve. Dallimi midis një mikrogrimce dhe një valë është se ajo zbulohet si një tërësi e pandashme. Për shembull, askush nuk ka vëzhguar një gjysmë elektron. Në të njëjtën kohë, vala mund të ndahet në pjesë dhe më pas secila pjesë mund të perceptohet veçmas.

Dallimi midis një mikrogrimce në mekanikën kuantike dhe një mikrogrimcë të zakonshme është se ajo nuk ka njëkohësisht vlera të caktuara të koordinatave dhe momentit, kështu që koncepti i një trajektoreje për një mikrogrimcë humbet kuptimin e tij.

Shpërndarja e probabilitetit të gjetjes së një grimce në një kohë të caktuar në një rajon të caktuar të hapësirës do të përshkruhet nga funksioni i valës (x, y, z , t) (funksioni psi). Probabiliteti dP që grimca ndodhet në një element vëllimor dV, proporcionale
dhe elementi i vëllimit dV:

dP=
dV.

Nuk është vetë funksioni që ka kuptim fizik
, dhe katrori i modulit të tij është densiteti i probabilitetit. Ai përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë në një pikë të caktuar në hapësirë.

Funksioni i valës
është karakteristika kryesore e gjendjes së mikroobjekteve (mikrogrimcave). Me ndihmën e tij, në mekanikën kuantike, mund të llogariten vlerat mesatare të sasive fizike që karakterizojnë një objekt të caktuar në një gjendje të përshkruar nga funksioni i valës.
.

3.2. Parimi i pasigurisë

Në mekanikën klasike, gjendja e një grimce përcaktohet nga koordinatat, momenti, energjia, etj. Këto janë variabla dinamike. Një mikrogrimcë nuk mund të përshkruhet nga ndryshore të tilla dinamike. E veçanta e mikrogrimcave është se jo të gjitha variablat marrin vlera të caktuara gjatë matjeve. Për shembull, një grimcë nuk mund të ketë njëkohësisht vlera të sakta koordinative X dhe komponentët e impulsit R X. Pasiguria e vlerave X Dhe R X plotëson relacionin:

(3.1)

– sa më e vogël të jetë pasiguria e koordinatës Δ X, aq më e madhe është pasiguria e pulsit Δ R X, dhe anasjelltas.

Lidhja (3.1) quhet relacioni i pasigurisë së Heisenberg dhe është marrë në vitin 1927.

vlerat Δ X dhe Δ R X quhen kanonikisht të konjuguara. Të njëjtat konjugate kanonike janë Δ në dhe Δ R në, dhe kështu me radhë.

Parimi i pasigurisë së Heisenberg-ut thotë se produkti i pasigurive të dy ndryshoreve të konjuguara nuk mund të jetë më i vogël se konstantja e Planck-ut sipas rendit të madhësisë. ħ.

Prandaj, energjia dhe koha janë gjithashtu kanonikisht të lidhura
. Kjo do të thotë se përcaktimi i energjisë me një saktësi prej Δ E duhet të marrë një interval kohor:

Δ t ~ ħ/ Δ E.

Le të përcaktojmë vlerën e koordinatave X mikrogrimca fluturuese lirisht, duke vendosur në rrugën e saj një hendek me gjerësi Δ X, i vendosur pingul me drejtimin e lëvizjes së grimcave. Përpara se grimca të kalojë nëpër të çarë, komponenti i saj i momentit është R X ka kuptimin e saktë R X= 0 (hendeku është pingul me vektorin e momentit), kështu që pasiguria e momentit është zero, Δ R X= 0, por koordinata X grimcat janë plotësisht të pasigurta (Fig. 3.1).

NË në momentin që grimca kalon nëpër të çarë, pozicioni ndryshon. Në vend të pasigurisë së plotë të koordinatave X shfaqet pasiguria Δ X, dhe shfaqet pasiguria e momentit Δ R X .

Në të vërtetë, për shkak të difraksionit, ka njëfarë probabiliteti që grimca të lëvizë brenda një këndi prej 2 φ , Ku φ – këndi që i përgjigjet minimumit të parë të difraksionit (neglizhojmë maksimumin e rendit më të lartë, pasi intensiteti i tyre është i vogël në krahasim me intensitetin e maksimumit qendror).

Kështu, lind pasiguria:

Δ R X =R mëkat φ ,

Por mëkat φ = λ / Δ X– ky është kushti i minimumit të parë. Pastaj

Δ R X ~рλ/Δ X,

Δ XΔ R X ~рλ= 2πħ ≥ħ/ 2.

Marrëdhënia e pasigurisë tregon se deri në çfarë mase konceptet e mekanikës klasike mund të përdoren në lidhje me mikrogrimcat, në veçanti, me çfarë shkalle saktësie mund të flasim për trajektoren e mikrogrimcave.

Lëvizja përgjatë një trajektoreje karakterizohet nga vlera të caktuara të shpejtësisë së grimcave dhe koordinatave të saj në çdo moment të kohës. Në vend të kësaj, zëvendësimi në relacionin e pasigurisë R X shprehje për momentin
, ne kemi:

–

Sa më e madhe të jetë masa e grimcës, aq më pak pasiguri në koordinatat dhe shpejtësinë e saj, aq më saktë konceptet e trajektores janë të zbatueshme për të.

Për shembull, për një mikrogrimcë me madhësi 1·10 -6 m, pasiguritë Δх dhe Δ shkojnë përtej saktësisë së matjes së këtyre sasive dhe lëvizja e grimcave është e pandashme nga lëvizja përgjatë trajektores.

Marrëdhënia e pasigurisë është një propozim themelor i mekanikës kuantike. Për shembull, ndihmon në shpjegimin e faktit që një elektron nuk bie në bërthamën e një atomi. Nëse një elektron bie në një bërthamë pikë, koordinatat dhe momenti i tij do të merrnin vlera të caktuara (zero), gjë që është e papajtueshme me parimin e pasigurisë. Ky parim kërkon që pasiguria e koordinatës së elektronit Δ r dhe pasiguria e momentit Δ R e kënaqur relacionin

Δ rΔ fq ≥ ħ/ 2,

dhe kuptimi r= 0 është e pamundur.

Energjia e një elektroni në një atom do të jetë minimale në r= 0 dhe R= 0, kështu që për të vlerësuar energjinë më të ulët të mundshme vendosim Δ r ≈ r, Δ fq ≈ fq. Pastaj Δ rΔ fq ≥ ħ/ 2, dhe për vlerën më të vogël të pasigurisë kemi:

ne jemi të interesuar vetëm për renditjen e madhësive të përfshira në këtë relacion, kështu që faktori mund të hidhet poshtë. Në këtë rast kemi
, nga këtu р = ħ/r. Energjia e elektronit në një atom hidrogjeni

(3.2)

Ne do të gjejmë r, në të cilën energji E minimale. Le të diferencojmë (3.2) dhe të barazojmë derivatin me zero:

,

I hodhëm poshtë faktorët numerikë në këtë shprehje. Nga këtu
- rrezja e atomit (rrezja e orbitës së parë të Bohr-it). Për energjinë që kemi

Dikush mund të mendojë se me ndihmën e një mikroskopi do të ishte e mundur të përcaktohet pozicioni i një grimce dhe në këtë mënyrë të përmbyset parimi i pasigurisë. Megjithatë, një mikroskop do të lejojë që dikush të përcaktojë pozicionin e një grimce, në rastin më të mirë, me një saktësi deri në gjatësinë e valës së dritës së përdorur, d.m.th. Δ x ≈ λ, por sepse Δ R= 0, pastaj Δ RΔ X= 0 dhe parimi i pasigurisë nuk është i kënaqur?! A është kështu?

Ne përdorim dritën, dhe drita, sipas teorisë kuantike, përbëhet nga fotone me momentum p =k/λ . Për të zbuluar një grimcë, të paktën një nga fotonet e rrezes së dritës duhet të shpërndahet ose të absorbohet prej saj. Rrjedhimisht, momenti do të transferohet në grimcë, të paktën duke arritur h/λ . Kështu, në momentin e vëzhgimit të një grimce me pasiguri koordinative Δ x ≈ λ pasiguria e momentit duhet të jetë Δ p ≥h/λ .

Duke shumëzuar këto pasiguri, marrim:

–

parimi i pasigurisë është i kënaqur.

Procesi i ndërveprimit të pajisjes me objektin që studiohet quhet matje. Ky proces ndodh në hapësirë ​​dhe kohë. Ekziston një ndryshim i rëndësishëm midis ndërveprimit të një pajisjeje me makro dhe mikro-objekte. Ndërveprimi i një pajisjeje me një makro-objekt është bashkëveprimi i dy makro-objekteve, i cili përshkruhet mjaft saktë nga ligjet e fizikës klasike. Në këtë rast, mund të supozojmë se pajisja nuk ka ndikim në objektin e matur, ose se ndikimi është i vogël. Kur pajisja ndërvepron me mikroobjektet, lind një situatë tjetër. Procesi i fiksimit të një pozicioni të caktuar të një mikrogrimceje sjell një ndryshim në momentin e saj që nuk mund të bëhet i barabartë me zero:

Δ R X ≥ ħ/ Δ X.

Prandaj, ndikimi i pajisjes në mikrogrimcë nuk mund të konsiderohet i vogël dhe i parëndësishëm; pajisja ndryshon gjendjen e mikroobjektit - si rezultat i matjes, disa karakteristika klasike të grimcës (momenti, etj.) rezultojnë të specifikohen. vetëm brenda kornizës së kufizuar nga lidhja e pasigurisë.

3.3 Ekuacioni i Shrodingerit

Në vitin 1926, Schrödinger mori ekuacionin e tij të famshëm. Ky është ekuacioni themelor i mekanikës kuantike, supozimi bazë mbi të cilin bazohet e gjithë mekanika kuantike. Të gjitha pasojat që dalin nga ky ekuacion janë në përputhje me përvojën - ky është konfirmimi i tij.

Interpretimi probabilistik (statistikor) i valëve de Broglie dhe lidhja e pasigurisë tregojnë se ekuacioni i lëvizjes në mekanikën kuantike duhet të jetë i tillë që të na lejojë të shpjegojmë vetitë valore të vëzhguara eksperimentalisht të grimcave. Pozicioni i një grimce në hapësirë ​​në një moment të caktuar në kohë përcaktohet në mekanikën kuantike duke specifikuar funksionin e valës
(x, y, z, t), ose më mirë katrori i modulit të kësaj sasie.
është probabiliteti për të gjetur një grimcë në një pikë x, y, z në një moment në kohë t. Ekuacioni themelor i mekanikës kuantike duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin
(x, y, z, t). Më tej, ky ekuacion duhet të jetë një ekuacion valor; eksperimentet mbi difraksionin e mikrogrimcave, duke konfirmuar natyrën e tyre valore, duhet të nxjerrin shpjegimin e tyre prej tij.

Ekuacioni i Shrodingerit ka formën e mëposhtme:

. (3.3)

Ku m- masa e grimcave, i- njësi imagjinare,
– Operatori Laplace,
,U– operatori i energjisë potenciale të grimcave.

Forma e funksionit Ψ përcaktohet nga funksioni U, d.m.th. natyra e forcave që veprojnë në grimcë. Nëse fusha e forcës është e palëvizshme, atëherë zgjidhja e ekuacionit ka formën:

, (3.4)

Ku Eështë energjia totale e grimcës, ajo mbetet konstante në çdo gjendje, E=konst.

Ekuacioni (3.4) quhet ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare. Mund të shkruhet edhe në formën:

.

Ky ekuacion është i zbatueshëm për sistemet jorelativiste me kusht që shpërndarja e probabilitetit të mos ndryshojë me kalimin e kohës, d.m.th. kur funksionon ψ duken si valë në këmbë.

Ekuacioni i Shrodingerit mund të merret si më poshtë.

Le të shqyrtojmë rastin njëdimensional - një grimcë që lëviz lirshëm përgjatë boshtit X. Ajo korrespondon me një valë plani de Broglie:

,

Por
, Kjo është arsyeja pse
. Le ta dallojmë këtë shprehje nga t:

.

Le të gjejmë tani derivatin e dytë të funksionit psi në lidhje me koordinatën

,

Në mekanikën klasike jorelativiste, energjia dhe momenti lidhen me relacionin:
Ku E- energjia kinetike. Grimca lëviz lirshëm, energjia e saj potenciale U= 0, dhe e plotë E=E k. Kjo është arsyeja pse

,

është ekuacioni i Shrodingerit për një grimcë të lirë.

Nëse një grimcë lëviz në një fushë force, atëherë E- e gjithë energjia (si kinetike ashtu edhe potenciale), pra:

,

atëherë marrim
, ose
,

dhe në fund

Ky është ekuacioni i Shrodingerit.

Arsyetimi i mësipërm nuk është një derivim i ekuacionit të Shrodingerit, por një shembull se si mund të vendoset ky ekuacion. Vetë ekuacioni i Shrodingerit është postuluar.

Në shprehje

ana e majtë tregon operatorin Hamiltonian – Hamiltoniani është shuma e operatorëve
Dhe U. Hamiltonian është një operator energjie. Për operatorët e sasive fizike do të flasim në detaje më vonë. (Operatori shpreh disa veprime nën funksion ψ , e cila është nën shenjën e operatorit). Duke marrë parasysh sa më sipër kemi:

.

Nuk ka kuptim fizik ψ -funksioni, dhe katrori i modulit të tij, i cili përcakton densitetin e probabilitetit për të gjetur një grimcë në një vend të caktuar në hapësirë. Mekanika kuantike ka kuptim statistikor. Nuk lejon që dikush të përcaktojë vendndodhjen e një grimce në hapësirë ​​ose trajektoren përgjatë së cilës grimca lëviz. Funksioni psi jep vetëm probabilitetin me të cilin një grimcë mund të zbulohet në një pikë të caktuar në hapësirë. Në këtë drejtim, funksioni psi duhet të plotësojë kushtet e mëposhtme:

Ajo duhet të jetë e paqartë, e vazhdueshme dhe e fundme, sepse përcakton gjendjen e grimcës;

Duhet të ketë një derivat të vazhdueshëm dhe të fundëm;

Funksioni I ψ I 2 duhet të jetë i integrueshëm, d.m.th. integrale

duhet të jetë i kufizuar sepse përcakton probabilitetin e zbulimit të një grimce.

Integrale

,

Ky është kushti i normalizimit. Do të thotë që probabiliteti që një grimcë të gjendet në çdo pikë të hapësirës është i barabartë me një.