ekuacioni i Shrodingerit

Ekuacioni i lëvizjes në Mekanika kuantike, duke përshkruar lëvizjen e mikrogrimcave në fusha të ndryshme të forcës, duhet të ketë një ekuacion nga i cili do të ndiqte vetitë e valës grimcat. Duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksioni i valës Ψ( X,në,z,t), që nga vlera │ Ψ │ 2 përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë në vëllim në një çast.

Ekuacioni bazë është formuluar nga E. Schrödinger: ekuacioni nuk është nxjerrë, por i postuluar.

ekuacioni i Shrodingerit ka formën:

- ΔΨ +U(x,y,z,t)Ψ = iħ, (33.9)

Ku ħ=h/(2π ), T-masa e grimcave, operator Δ-Laplace ,i- njësi imagjinare, U(x,y,z,t) - funksioni i mundshëm grimca në fushën e forcës në të cilën lëviz, Ψ( x,y,z,t) është funksioni valor i dëshiruar i grimcës.

Ekuacioni (32.9) është ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit. Quhet gjithashtu ekuacioni i Schrödinger-it i varur nga koha. Për shumë dukuritë fizike, që ndodh në mikrobotën, ekuacioni (33.9) mund të thjeshtohet duke eliminuar varësinë e Ψ nga koha, me fjalë të tjera, gjeni ekuacionin e Shrodingerit për gjendjet stacionare- gjendjet me vlera fikse të energjisë. Kjo është e mundur nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, pra funksioni U(x,y,z,t) nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjisë potenciale.

∆ Ψ + ( E-U)Ψ = 0. (33.10)

Quhet ekuacioni (33.10). Ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare.

Ky ekuacion përfshin energjinë totale si parametër E grimcat. Zgjidhja e ekuacionit nuk bëhet për asnjë vlerë të parametrit E, por vetëm për një grup të caktuar karakteristikë të një problemi të caktuar. Këto vlera të energjisë quhen eigenvalues. Eigenvlerat E mund të formojë një seri të vazhdueshme dhe diskrete.

33.5. Grimca në një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensional me "mure" pafundësisht të larta

Një grimcë e lirë është një grimcë që lëviz në mungesë të fushave të jashtme. Meqenëse një grimcë e lirë (lëreni të lëvizë përgjatë boshtit X) forcat nuk veprojnë, atëherë energji potenciale grimcat U(X) = konst dhe mund të merret e barabartë me zero. Atëherë energjia totale e grimcës përkon me energjinë e saj kinetike. Energjia e një grimce të lirë mund të marrë çdo vlerë, pra spektri i saj i energjisë është i vazhdueshëm. Një grimcë kuantike e lirë përshkruhet nga një valë e rrafshët monokromatike e de Broglie, dhe të gjitha pozicionet e grimcës së lirë në hapësirë ​​janë po aq të mundshme.

Le të kryejmë analiza cilësore zgjidhjet e ekuacionit të Schrödinger-it të aplikuara për një grimcë të lirë në një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensional me "mure" pafundësisht të larta (Fig. 33.1). Një "vrimë" e tillë përshkruhet nga energjia potenciale e formës (për thjeshtësi supozojmë se grimca lëviz përgjatë boshtit X)

∞, x< 0

U(x) = {0, 0≤ x ≤ l}(33.11)

∞, x > 1

Ku l- gjerësia e "vrimës" dhe energjia llogaritet nga fundi i saj (Fig. 33.1).

Ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare në rastin e një problemi njëdimensional do të shkruhet në formën

+ (E-U)Ψ = 0. (33.12)

Sipas kushteve të problemit ("muret" pafundësisht të larta), grimca nuk depërton përtej "vrimës", prandaj probabiliteti i zbulimit të saj (dhe, rrjedhimisht, funksioni i valës) jashtë "vrimës" është zero. Në kufijtë e "gropës" (në X=0 dhe x=l) funksioni i valës së vazhdueshme duhet gjithashtu të zhduket. Prandaj, kushtet kufitare V në këtë rast duket si

Ψ(0)=Ψ( l)=0. (33.13)

Brenda "pusit" ekuacioni i Shrodingerit do të reduktohet në ekuacion

+ EΨ = 0. (33.14)

Ekuacioni i palëvizshëm i Shrodingerit, i cili përshkruan lëvizjen e një grimce në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta, është i kënaqur vetëm me vlerat vetjake. E f në varësi të një numri të plotë P.

E p =,(n= 1, 2, 3, …).(33.15)

EKUACIONI SCHRODINGER
DHE RASTET E SAJ TË VEÇANTA (vazhdim): kalimi i një grimce përmes një PENGESË POTENCIALE, oshilator harmonik

Kalimi i një grimce përmes një pengese potenciale për rastin klasik që kemi shqyrtuar tashmë në LEKTURA 7 TË PJESËS 1 (shih Fig. 7.2). Le të shqyrtojmë tani një mikrogrimcë, energjia totale e së cilës është më e vogël se niveli U pengesë potenciale (Fig. 19.1). Në versionin klasik, në këtë rast, kalimi i një grimce përmes barrierës është i pamundur. Megjithatë, në fizika kuantike ekziston mundësia që grimca të kalojë. Për më tepër, ai nuk do të "kapërcejë" mbi të, por, si të thuash, "do të rrjedhë", duke përdorur cilësitë e tij valore. Prandaj, efekti quhet gjithashtu "tunel". Për secilën nga zonat I, II, III le të shkruajmë ekuacioni i palëvizshëm Schrödinger (18.3).

Për I Dhe III: , (19.1, a)

Për II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, ku a = konst. Pastaj dhe y" = . Zëvendësimi i y" në (19.1a) jep: Zgjidhjen e përgjithshme të dëshiruar për rajonin I do të shkruhet si mbivendosje

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

Në këtë rast pikënisje përhapja e valës zhvendoset nga L, a NË 3 = 0 , pasi në zonë III ka vetëm një valë që kalon.

Në zonë II(barrierë) zëvendësimi i y" në (19.1b) jep

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Probabiliteti i kalimit karakterizohet norma e kalimit- raporti i intensitetit të valës së transmetuar me intensitetin e rënies:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

nga të cilat dy të parat nënkuptojnë "qepjen" e funksioneve në kufijtë e majtë dhe të djathtë të pengesës, dhe e treta dhe e katërta nënkuptojnë butësinë e një tranzicioni të tillë. Duke zëvendësuar funksionet y1, y2 dhe y3 në (19.5), marrim ekuacionet

Le t'i ndajmë ato në A 1 dhe shënoni a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë (19.6) me ik dhe e shtojmë me të dytën. Ne marrim 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)

Çiftin e dytë të ekuacioneve (19.6) do ta konsiderojmë si një sistem prej dy ekuacionesh me të panjohura a 2 dhe b 2.

Përcaktuesit e këtij sistemi:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

ku e- qL(q+ik) 2 » 0, sepse qL >> 1.

Prandaj, https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> dhe për të gjetur modulin e një vlere komplekse A 3, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin e thyesës që rezulton me ( q +ik)2. Pas transformimeve të thjeshta marrim

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Zakonisht E/U~ 90% dhe i gjithë koeficienti para “e” është i rendit të një. Prandaj, probabiliteti që një grimcë të kalojë përmes barrierës përcaktohet nga relacioni i mëposhtëm:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Kjo do të thotë se kur E< U grimca nuk do ta kapërcejë pengesën, d.m.th., efekti i tunelit mungon në fizikën klasike.

Ky efekt përdoret në praktikën inxhinierike për të krijuar dioda tuneli, të përdorura gjerësisht në pajisjet inxhinierike radio (shih PJESA 3, LEKTURA 3).

Për më tepër, doli të ishte e mundur të inicohej në kushte tokësore reaksioni termonuklear sintezë, e cila është Dielli po vjen në kushte normale për Diellin - në një temperaturë T ~ 109 K. Nuk ka një temperaturë të tillë në Tokë, megjithatë, falë efektit të tunelit, ekziston mundësia e fillimit të një reagimi në një temperaturë T ~ 107 K që ndodh gjatë një shpërthimi Bombë atomike, e cila ishte pajisja ndezëse për atë me hidrogjen. Më shumë për këtë në pjesën tjetër të kursit.

Oscilator harmonik.Klasike Tashmë kemi shqyrtuar edhe oshilatorin harmonik (LEKTURAT 1,2 PJESA 3). Për shembull, ata janë lavjerrës pranveror, energjia totale e të cilit E = mV 2/2 + kx 2/2. Teorikisht, kjo energji mund të marrë seri të vazhdueshme vlerat duke filluar nga zero.

Një oshilator kuantik harmonik është një mikrogrimcë që lëkundet sipas një ligji harmonik, e vendosur në një gjendje të lidhur brenda një atomi ose bërthame. Në këtë rast, energjia potenciale mbetet klasike, duke karakterizuar një forcë të ngjashme rivendosëse elastike kx. Duke marrë parasysh se frekuenca ciklike marrim për energji potenciale https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

NË matematikisht Kjo detyrë është edhe më e vështirë se ato të mëparshme. Prandaj, ne do të kufizohemi në deklarimin e asaj që do të ndodhë si rezultat. Ashtu si në rastin e një pusi njëdimensional, marrim diskrete spektri i eigenfunksioneve dhe energjitë e veta, dhe një vlerë vetjake të energjisë do t'i korrespondojë një funksioni valor: EnÛ y n(nuk ka degjenerim të gjendjeve, si në rastin e një pusi tredimensional). Dendësia e probabilitetit |yn|2 është gjithashtu një funksion oscilues, por lartësia e "gungave" është e ndryshme. Nuk është më e parëndësishme mëkat2 , dhe polinomet më ekzotike Hermite Hn(x). Funksioni i valës ka formën

, Ku MEn- varet nga n konstante. Spektri i vlerave vetjake të energjisë:

, (19.10)

ku është numri kuantik n = 0, 1, 2, 3 ... . Kështu, ekziston edhe "energji zero" , mbi të cilin spektri i energjisë formon një “raft”, ku raftet ndodhen në të njëjtën distancë nga njëri-tjetri (Fig. 19.2). E njëjta figurë tregon për çdo nivel energjie densitetin përkatës të probabilitetit |yn|2, si dhe energjinë potenciale fushë e jashtme(parabolë me pika).

Ekzistenca e një energjie jozero minimale të mundshme oshilator ka kuptim i thellë. Kjo do të thotë që dridhjet e mikrogrimcave nuk ndalen kurrë, që nga ana tjetër do të thotë paarritshmëri zero absolute temperatura.

1. , Fizika Bursian: Një kurs leksionesh me mbështetje kompjuterike: Tekst mësimor. ndihmë për nxënësit më të larta teksti shkollor institucionet: Në 2 vëllime - M.: Shtëpia botuese VLADOS-PRESS, 2001.

Në parim, asgjë e veçantë, ato mund të gjenden në tabela dhe madje edhe grafikë.

Për grimcat bota kuantike zbatohen ligje të tjera se sa për objektet e mekanikës klasike. Sipas supozimit të de Broglie, mikroobjektet kanë vetitë e grimcave dhe valëve - dhe, në të vërtetë, kur një rreze elektronike shpërndahet në një vrimë, vërehet difraksioni karakteristik i valëve.

Prandaj, nuk mund të flasim për lëvizjen e grimcave kuantike, por për probabilitetin që një grimcë të jetë në një pikë specifike në një moment të caktuar kohor.

Çfarë përshkruan ekuacioni i Shrodingerit?

Ekuacioni i Shrodingerit synon të përshkruajë tiparet e lëvizjes së objekteve kuantike në fusha forcat e jashtme. Shpesh një grimcë lëviz nëpër një fushë force që nuk varet nga koha. Për këtë rast, ekuacioni i palëvizshëm i Shrodingerit shkruhet:

Në ekuacionin e paraqitur, m dhe E janë dhe, në përputhje me rrethanat, energjia e një grimce të vendosur në një fushë force, dhe U është kjo fushë. - Operatori Laplace. - Konstantja e Plankut, e barabartë me 6,626 10 -34 J s.

(quhet edhe amplituda e probabilitetit, ose funksioni psi) - ky është një funksion që na lejon të zbulojmë se në cilin vend në hapësirë ​​do të vendoset me shumë mundësi mikroobjekti ynë. Nuk është vetë funksioni që ka kuptimin fizik, por katrori i tij. Probabiliteti që një grimcë të jetë në një vëllim elementar:

Prandaj, mund të gjendet një funksion në një vëllim të fundëm me probabilitetin:

Meqenëse funksioni psi është një probabilitet, ai nuk mund të jetë as më i vogël se zero dhe as nuk mund të kalojë një. Probabiliteti total Gjetja e një grimce në një vëllim të pafund është një kusht normalizimi:

Parimi i mbivendosjes funksionon për funksionin psi: nëse një grimcë ose sistem mund të jetë në një seri gjendjet kuantike, atëherë një gjendje e përcaktuar nga shuma e tyre është gjithashtu e mundur për të:

Ekuacioni i palëvizshëm i Schrödinger-it ka shumë zgjidhje, por kur zgjidhet, duhet të merren parasysh kushtet kufitare dhe të zgjidhni vetëm zgjidhjet e veta - ato që kanë një kuptim fizik. Zgjidhje të tilla ekzistojnë vetëm për vlerat individuale energjia e grimcës E, të cilat formojnë spektrin diskret energjetik të grimcës.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

SHEMBULL 1

Ushtrimi	Funksioni i valës përshkruan distancën e elektronit në bërthamën e hidrogjenit: r është distanca midis elektronit dhe bërthamës, a është rrezja e parë e Bohr-it. Në çfarë largësie nga bërthama ndodhet elektroni më shumë?
Zgjidhje	1) Duke shprehur vëllimin në terma të rrezes së bërthamës, gjejmë probabilitetin që elektroni të jetë brenda një distancë të caktuar nga bërthama: 2) Probabiliteti që elektroni të jetë brenda "unazës" elementare dr: 3) Për të gjetur distancën më të mundshme, gjejmë nga shprehja e fundit: Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim r = a - distanca më e mundshme midis elektronit dhe bërthamës.
Përgjigju	r = a – me probabilitetin më të madh bërthama ndodhet në një distancë të rrezes së parë Bohr nga bërthama.

SHEMBULL 2

Ushtrimi

Gjeni nivelet e energjisë së një grimce në një pus potencial pafundësisht të thellë.

Zgjidhje

Lëreni grimcën të lëvizë përgjatë boshtit x. Gjerësia e gropës – l. Ne numërojmë energjinë nga fundi i vrimës dhe e përshkruajmë atë me funksionin: Le të shkruajmë ekuacionin e palëvizshëm njëdimensional të Shrodingerit: Le të shqyrtojmë kushtet kufitare. Meqenëse ne besojmë se grimca nuk mund të depërtojë përtej mureve, atëherë jashtë vrimës = 0. Në kufirin e pusit, funksioni psi është gjithashtu i barabartë me zero: Në pus, energjia potenciale është U=0. Atëherë ekuacioni i Shrodingerit i shkruar për pusin do të thjeshtohet: Në formë është DU oshilator harmonik:

(Dokument)

Fadeeva A.A. Detyrat e trajnimit të fizikës (Dokument)

Zgjidhje të punimeve të provimit në fizikë (semestri i 3-të, optikë, fizikë bërthamore) (Dokument)

Biletat me përgjigjet e provimit të fizikës (seksioni i optikës) (Dokument)

Struzh N., Chizh O. DPA 2012. Fizikë klasa e 11-të: Zhvillimi i gjuhës së kërkuar nga certifikata shtetërore (Dokument)

(Dokument)

Provimi i Unifikuar i Shtetit 2011 - Puna diagnostike në fizikë (Dokument)

n1.doc

ekuacioni i Shrodingerit

Për të përshkruar sjelljen e mikrogrimcave është e nevojshme formë të veçantë mekanika, duke marrë parasysh vetitë e tyre valore. Mekanika e re quhet mekanikë valore ose kuantike. Autorët kryesorë janë Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli. Përveç kësaj, një grup nën udhëheqjen e përgjithshme të N. Bohr-it punonte aktivisht në Kopenhagë.

Ekuacioni themelor i mekanikës kuantike është ekuacioni i Shrodingerit. Ashtu si ekuacionet e Njutonit të dinamikës nuk mund të përftohen teorikisht, por janë një përgjithësim numer i madh fakte eksperimentale, ekuacioni i Shrodingerit gjithashtu nuk mund të nxirret nga ndonjë marrëdhënie e njohur më parë. Duhet të konsiderohet si supozimi bazë fillestar, vlefshmëria e të cilit dëshmohet nga fakti se të gjitha pasojat që rrjedhin prej tij përputhen plotësisht me fakte të përjetuara.

Sepse vlerën e saktë Meqenëse parametrat e gjendjes së një mikrogrimce janë të panjohura, detyra kryesore e mekanikës kuantike është të përcaktojë probabilitetin e realizimit të një vlere të caktuar, nëse ajo mund të matet. Për ta bërë këtë, në analogji me shqyrtimin e dualizmit të energjisë valë-kuantike, ne prezantojmë funksionin e valës që korrespondon me grimcën (funksioni valor), i cili zakonisht shënohet me shkronjën . Është funksion i koordinatave dhe kohës dhe mund të gjendet duke zgjidhur ekuacionin:

Ky ekuacion u prezantua nga Schrödinger në vitin 1926 dhe quhet ekuacioni i Schrödinger me kohën (ose ekuacioni i Schrödinger-it me kohën). Këtu: i – njësia imagjinare; ħ – konstanta e Planck-ut; m – masa e grimcave; U– energjia potenciale e grimcave; ? – Operatori Laplace

Nga ekuacioni i Shrodingerit rezulton se funksioni valor përcaktohet nga energjia potenciale U, d.m.th., në fund të fundit, ekziston një funksion i koordinatave dhe kohës. Për telefon fiks fushë force U nuk varet qartë nga koha. Në këtë rast, funksioni i valës përfaqësohet në formën e faktorëve, njëri prej të cilëve varet vetëm nga koha, i dyti - vetëm nga koordinatat:

Ku Eështë energjia totale e grimcës.

Në fakt, kur ky funksion zëvendësohet në ekuacionin e Shrodingerit me një fushë force të pavarur nga koha, eksponencialet që përmbajnë kohën anulohen. Pastaj ekuacioni për gjendjet e pavarura nga koha  (gjendjet e palëvizshme) merr formën:

(*)

Në vijim do ta quajmë këtë shprehje thjesht ekuacioni i Schrödinger-it.

Ekuacioni i Shrodingerit mund të arrihet me arsyetimin e mëposhtëm. Nga eksperimentet mbi difraksionin e mikrogrimcave del se tra paralel grimcat kanë vetitë e një vale të rrafshët që përhapet në drejtim të lëvizjes së grimcave. Ekuacioni i valës së rrafshët që përhapet në drejtim të boshtit X, ka formën:

Sipas hipotezës së de Broglie lëvizjen e lirë Grimcës i përgjigjet një valë e rrafshët me frekuencë  = E/t dhe gjatësi vale  = 2ħ/p. Duke zëvendësuar  dhe  në ekuacionin e valës së rrafshët, marrim funksionin e valës për një grimcë të lirë që lëviz në drejtim të boshtit X:

Duke diferencuar funksionin  një herë në lidhje me t, dhe një herë të dytë dy herë në lidhje me x, marrim:

Nga këto marrëdhënie, E dhe p 2 mund të shprehen përmes funksionit  dhe derivateve të tij:

Tani le të shkruajmë E = p 2 /2m për rastin jorelativist dhe të zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në të:

Shfaqja e laplasit në ekuacion është një përgjithësim i ekuacionit në rastin e përhapjes së valës në një drejtim arbitrar.

Ekuacioni që rezulton përkon me ekuacionin e Shrodingerit për lëvizjen e një grimce të lirë (U = 0). Sepse këtë shtet i palëvizshëm (U = 0 dhe, për rrjedhojë, nuk varet nga koha), ekuacioni merr formën:

Ky ekuacion përkon me ekuacionin (*) për rastin U = 0.

Energjia totale E është shuma e energjia kinetike T dhe energjia potenciale U. Në rastin e një grimce të lirë, energjia totale E përkon me T kinetike, kështu që vlera e E mund të interpretohet ose si totale ose si energji kinetike e grimcës. Nëse pranojmë që E është energjia totale e grimcës, marrim një situatë jofizike: ekuacioni i përgjithësuar nuk do të varet nga natyra e fushës së forcës (d.m.th., nga U). Prandaj, në prani të forcave që veprojnë në grimcë, në vend të E, ne duhet të fusim energjinë kinetike të grimcës T = E – U në ekuacion, pasi kemi bërë një zëvendësim të tillë, arrijmë në ekuacionin (*).

Le të theksojmë edhe një herë se manipulimet e mësipërme matematikore nuk mund të konsiderohen si një derivim i ekuacionit të Schrödinger-it. Qëllimi i tyre është të shpjegojnë se si ishte e mundur të arrihet në vendosjen e specieve ekuacioni i valës për një mikrogrimcë. Vërtetimi i korrektësisë së ekuacionit të Shrodingerit mund të jetë vetëm pajtueshmëria me përvojën e rezultateve të marra duke përdorur këtë ekuacion.

Kuantizimi i energjisë.

Ndryshe nga modeli atomik i Bohr-it, i cili bazohet në prezantimin e postulateve të caktuara, ekuacioni i Schrödinger-it lejon marrjen e vlerave fikse të energjisë duke zgjidhur drejtpërdrejt ekuacionin. Kërkesat për funksionet valore janë mjaft standarde për matematikën: fundshmëria, unike, vazhdimësia, butësia. Kërkesat duhet të plotësohen edhe në rastin e sjelljes jo-analitike të potencialit U: potenciali mund të jetë i ndërprerë, i pafund në disa rajone të hapësirës, ​​etj.

Zgjidhjet e marra në këtë rast korrespondojnë vetëm me disa vlera specifike të energjisë E. Ato quhen eigenvalues ​​të energjisë. Funksionet valore të marra në procesin e zgjidhjes së ekuacionit të Shrodingerit quhen eigenfunksione që u përkasin eigenvlerave.

Vlerat e E mund të jenë ose diskrete (të kuantizuara) ose të marrin një grup të vazhdueshëm vlerash. NË rastin e fundit flasin për një spektër të vazhdueshëm energjie.

Duke zgjidhur ekuacionin e Schrödinger-it, në përgjithësi, mund të merret një grup probabilitetesh për zbulimin e parametrave të tjerë të grimcës: momenti dhe momenti këndor.

Së fundi, duhet theksuar se zgjidhjet e marra janë disi të kufizuara. Ai qëndron në faktin se ekuacioni i palëvizshëm i Shrodingerit nuk synon të marrë në konsideratë proceset në kohë. Ndërkohë, përvoja tregon se energjitë e gjendjeve të palëvizshme (më saktë, pothuajse të palëvizshme) merren në marrëveshje të plotë me përvojë.

Grimca në një pus potencial.

Zgjidhja e problemeve në lidhje me sjelljen ose gjendjen e një grimce në një pus të mundshëm na lejon të demonstrojmë anën matematikore të qasjes kuantike. Për më tepër, një pus potencial është një model i shkëlqyer për të fituar njohuri mbi formimin e spektrit energjetik të grimcave të kufizuara në lëvizjen e tyre. Nga një atomike ose teoria bërthamore ka kuptim të merret parasysh grimca në puse tre lloje. Rasti më i thjeshtë– një grimcë në një pus potencial drejtkëndor me mure pafundësisht të larta është vetëm një shembull i zgjidhjes së një problemi në teoria kuantike dhe demonstrimi i faktit universal të shfaqjes së gjendjeve diskrete të një mikrogrimce të kufizuar në lëvizjen e saj. Shqyrtimi i gjendjes së një grimce në një pus me një potencial parabolik na lejon të kuptojmë karakteristikat e dridhjeve të mikrogrimcave të lidhura dhe zgjidhja e këtij problemi lidhet drejtpërdrejt me llogaritjen e kapacitetit të nxehtësisë. të ngurta. Së fundi, zgjidhja e problemit me një pus hiperbolik është e ngjashme me zgjidhjen e problemit të gjendjeve të elektroneve në një atom hidrogjeni, por pa përdorur hipotezën e ekzistencës së gjendjeve të palëvizshme. Në këtë rast, stacionariteti i gjendjeve është pasojë e zgjidhjes së problemit (ekuacioni Schrodinger).

Le të shqyrtojmë sjelljen e një grimce në pus potencial drejtkëndor pafundësisht i thellë.

Për thjeshtësi, supozojmë se grimca lëviz përgjatë boshtit X(shih foton). Brenda 0  x  l potencial U= 0. Jashtë këtyre kufijve potenciali është i pafund: U . Në fakt, kjo do të thotë që jashtë pusit funksioni është i barabartë me zero, pasi grimca nuk mund të ekzistojë jashtë pusit. Pastaj për 0  x  l mund të shkruajmë:

Vendim i përbashkët ky ekuacion duket si:

Siç u tha më lart,  (x = 0) =  (x = l) = 0. Barazia e parë na lejon të përcaktojmë  = 0. Nga e dyta rezulton se  l = n . Duke vendosur nga këtu  dhe duke e zëvendësuar këtë vlerë në shprehjen për  2, marrim eigenvlerat e problemit:

Vini re se n = 1,2,3..., por nuk është e barabartë me zero, pasi funksioni i valës zhduket në këtë rast: grimca mungon. Eigenfunksionet më pas përcaktohen si më poshtë:

Funksionet përcaktohen deri në një faktor konstant A. Në shumicën dërrmuese të rasteve, është e përshtatshme që funksioni të normalizohet. Kjo do të thotë se integrali i densitetit të probabilitetit
gjetja e një grimce në të gjitha gjendjet e mundshme e barabartë me një. (Ylli do të thotë konjugim kompleks). Kushti i normalizimit korrespondon me besueshmërinë e grimcës që është në një nga gjendjet e mundshme. Formalisht, kjo është ekuivalente me përcaktimin e koeficientit të funksionit të valës:

Funksioni i valës ka marrë formën e tij të plotë:

Tani mund të përcaktojmë shpërndarjen e densitetit të probabilitetit për të gjetur një elektron përgjatë koordinatës X:

Grafikët e shpërndarjes së funksionit të valës dhe densitetit të probabilitetit janë paraqitur në figurë. Është e qartë se grafiku i shpërndarjes së probabilitetit korrespondon me shpërndarjen e intensitetit valë në këmbë. Vlen të përmendet anomaliteti i shpërndarjes së probabilitetit për vlera të vogla të numrit n: grimca është kryesisht në mes të diapazonit të pozicioneve të mundshme. Megjithatë, për shumë të mëdha n probabiliteti që një grimcë të shfaqet pranë murit rritet, domethënë në masë n grimca bëhet e ngjashme me atë klasike.

Grimca në një pus parabolik.

Ky problem shpesh quhet problemi i oshilatorit kuantik, pasi merret me çështjen e lëkundjeve të mikrogrimcave. Në fizikën kuantike, koncepti i forcës humbet kuptimin e tij për shkak të manifestimit të marrëdhënies së pasigurisë koordinatë-moment. Në këtë rast, përdorimi i ekuacionit të Shrodingerit na lejon të zgjidhim problemin e lëkundjeve të një grimce që ka një energji potenciale të ngjashme me energjinë potenciale në teoria klasike:

Që në mekanika klasike veprimi i forcës elastike manifestohet në ekzistencën e një frekuence natyrore
, ka kuptim të shkojmë te shprehja:

Këtu ngurtësia përcaktohet nga shprehja për frekuencën natyrore të dridhjeve. Atëherë ekuacioni i Shrodingerit merr formën:

Zgjidhja matematikore e këtij ekuacioni është shumë e rëndë dhe kërkon përdorimin e të ashtuquajturave funksione të veçanta. Prandaj, theksojmë se kërkesat për eigenfunksionet e një problemi të caktuar (vazhdimësia, butësia, fundshmëria, unike) janë të kënaqura për vlerat vetjake të problemit:

E = ħ  ( + 1/2), ( = 0,1,2,…)

Këto energji janë për të ndryshme  (numrat në të djathtë) së bashku me varësinë e energjisë potenciale nga koordinata X(vijë e trashë e trashë) janë paraqitur në figurë.

Nga shprehja që rezulton rezulton se nivelet e oshilatorit janë të barabarta. Energjia korresponduese  = 0 quhet energji zero hezitim. Pamja e saj tashmë është shpjeguar më lart nga veprimi i parimit të pasigurisë: një grimcë nuk mund të jetë në qetësi dhe në të njëjtën kohë të ketë një koordinatë të caktuar në këtë rast. e barabartë me zero.

Ndryshimi i numrit kuantik të futur  ndoshta vetëm nga një?  =  1. Ky është i ashtuquajturi rregull i përzgjedhjes për një oshilator kuantik harmonik. Një ndryshim i ngjashëm shfaqet, për shembull, gjatë tranzicioneve optike midis gjendjeve të palëvizshme të shkaktuara nga bashkëveprimi i elektroneve të një atomi me bërthamën dhe me njëri-tjetrin. Fotografia e mësipërme karakterizon spektrin në secilën nga gjendjet stacionare të elektroneve të atomit. Gjatë kalimeve me ndryshim në numër  ndër të tjera, emetohet një kuant me energji ħ, ku frekuenca  fiton realen e saj. kuptimi fizik.

Është e gabuar të flitet për frekuencën e lëkundjeve të grimcave në çdo gjendje të palëvizshme. Një grimcë në një oshilator klasik mund të lëvizë vetëm brenda koordinatave të specifikuara nga kurba e potencialit. Kur bie në kufi, reflektohet. Në mekanikën kuantike, një mikrogrimcë mund të depërtojë në rajonin fqinj, domethënë përtej kufirit të kurbës së mundshme. Në këtë rast nuk mund të flitet për luhatje. Vetëm dendësia e probabilitetit për të gjetur një grimcë në një pikë të caktuar ka kuptim.

Figura tregon shpërndarjen e densitetit të probabilitetit të zbulimit të një grimce në një pus potencial parabolik përgjatë boshtit X. Linjat e trasha horizontale janë distanca midis "pikave të kthesës" klasike të grimcave të vendosura në kurbën e mundshme dhe asaj përkatëse. kuptime të ndryshme numrat  . Mund të shihet se depërtimi i një grimce në rajonin fqinj është më i vogël se më shumë vlerë numrat  , domethënë grimca bëhet më klasike ndërsa rritet energji totale.

Barrierat e mundshme.

Le të shqyrtojmë lëvizjen e një grimce në një zonë të hapësirës që përmban një pengesë potenciale. Shembull situatë fizike, në të cilën manifestohet efekti i një pengese në lëvizjen e një grimce, mund të jetë ikja e një elektroni jashtë trupit të ngurtë (emetimi i elektroneve në fushë). Varësia e formës së barrierës nga koordinatat mund të jetë shumë komplekse, por lartësia e pengesës është e fundme dhe, si rregull, gjatësia e ngritjes së pengesës është mjaft e kufizuar. Prandaj, si një problem i thjeshtë modeli, duhet të marrim një barrierë me lartësi U 0

me një mur vertikal. Prandaj, energjia potenciale do të paraqitet si:

Lëreni grimcën të godasë pengesën nga ana e majtë. Si zakonisht, ne e konsiderojmë grimcën si një valë de Broglie:

Detyra është të përcaktohet amplituda e valës, dhe më pas të përcaktohet koeficienti i reflektimit dhe transmetimit të saj. Ekzistenca e valëve të reflektuara dhe të transmetuara lind nga kërkesat e vendosura mbi formën e funksionit dhe derivatin e tij (butësia, unike, vazhdimësia, fundshmëria) në X = 0.

Frekuenca e incidentit, valëve të reflektuara dhe të transmetuara duhet të jetë e njëjtë. Kjo ju lejon të shkoni herë pas here funksioni i varur në një funksion që varet vetëm nga koordinatat. Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësohet funksioni (x,t) në ekuacioni i përgjithshëm Schrödinger, anuloni eksponencialin e varur nga koha dhe merrni ekuacionin e palëvizshëm të Shrodingerit:

Në këtë problem ekzistojnë dy opsione për të marrë në konsideratë E 1 >U 0 dhe E 2
1. E 1 >U 0 . Forma e përgjithshme zgjidhja ka formën

Amplituda e valës së incidentit është A 1, pasqyruar b 1 . Prandaj, në rajonin x>0 vala transmetohet vetëm (nga e majta në të djathtë). b 2 = 0. Nga kushti i vazhdimësisë dhe i lëmimit në X= 0 marrim:

Nga këtu marrim:

Për të përcaktuar koeficientët e transmetimit D dhe reflektimin R, është e nevojshme të prezantohet koncepti i rrjedhës së densitetit të probabilitetit F. Në këtë rast, është analoge me konceptin e zakonshëm të rrjedhës së aplikuar për përhapjen e valës: është energjia e rrjedhës për njësi të kohës, e barabartë me produktin dendësia e energjisë në shpejtësinë e përhapjes. Energjia e një vale është proporcionale me katrorin e amplitudës së saj. Në rastin në shqyrtim, shpejtësia e rrjedhjes është e barabartë me shpejtësinë e grimcës. Kjo e fundit është e barabartë  = R/m = ħ k/m. Pastaj:

Le të shënojmë: F – fluksi i valës rënëse, F’ fluksi i valës së reflektuar, F” – fluksi i valës së transmetuar. Ne marrim rezultatin e dëshiruar:

Karakteristikat e rezultatit:

1. Shuma e koeficientëve të transmetimit dhe reflektimit është e barabartë me njësinë, e cila është mjaft standarde.

2. Koeficientët nuk varen nga drejtimi i lëvizjes së grimcës – valës.

3. Edhe me energji grimcash lartësi më të madhe hapi i mundshëm, ka një reflektim të grimcës nga pengesa.

1. E 1 rezulton të jetë një sasi imagjinare k 2 = i k. Atëherë pasqyrimi i grimcës nga barriera është i plotë, d.m.th R = 1.

Në të njëjtën kohë, është e lehtë të shihet se funksioni i valës së transmetuar në rajonin e dytë nuk është i barabartë me zero. Sepse
funksioni i valës së transmetuar është i barabartë me

Kështu, dendësia e probabilitetit është proporcionale me eksponentin real negativ, domethënë, zbehet shpejt ndërsa vala përhapet më thellë në barrierë:

Thellësia e depërtimit l përkufizohet si distanca në të cilën vlera R zvogëlohet në e një herë. Pastaj 2 kl=1. Nga këtu

Nga kjo rrjedh, për shembull, se kur U 0 -E= 10 -3 eV elektroni depërton 10 -9 m thellë në barrierë.

Kështu, kur një grimcë i afrohet një muri potencial me trashësi mjaft të vogël, është e mundur që kjo grimcë të depërtojë përmes murit sikur përmes një tuneli, i cili përcaktoi emrin e këtij fenomeni: efekt tuneli. Sigurisht, një depërtim i tillë është i mundur vetëm me një probabilitet të caktuar, i cili, megjithatë, bën të mundur jo vetëm regjistrimin e efektit, por edhe përdorimin e tij në praktikë. Ekziston një e ashtuquajtur diodë tuneli, e cila ka një sërë karakteristikash shumë interesante.

Në fizikë, përveç emetimit të ftohtë të elektroneve nga një metal, veprimi efekt tuneli shpjegon  - zbërthimi, ndarja spontane e bërthamave, shkrirja termonukleare Dhe linjë e tërë fenomene të tjera.

Operatorët sasive fizike .

Duke ditur funksionin e valës, është e mundur të përcaktohet çdo karakteristikë e matshme e një mikrogrimce. Për ta bërë këtë, ata përdorin një lloj llogaritjeje të quajtur operacionale. Për të kuptuar thelbin e llogaritjes operative, le të përcaktojmë së pari konceptin e vlerës mesatare, i cili është shumë i rëndësishëm në mekanikën kuantike. Le të shqyrtojmë së pari koordinatën dhe të përcaktojmë probabilitetin dP për të gjetur një grimcë në rajonin dx në afërsi të pikës x. Në përputhje me sa më sipër, dP = *dx. Pastaj vlera mesatare e koordinatës X barazohet

Supozohet se funksioni  është normalizuar:

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni vlerën mesatare të çdo sasie që varet nga koordinata:

Për të marrë vlera të tjera, është e nevojshme të kryhen llogaritjet shtesë, ndonjëherë shumë të rënda, të cilat bënë të mundur marrjen, për shembull, vlerën mesatare të impulsit:

Nëse shprehjet e mësipërme i shkruajmë në formën:

rezulton se marrja e vlerave mesatare mund të shoqërohet me veprimin e një operatori të caktuar në funksionin e valës. Lloji i veprimit dhe lloji i operatorit i nënshtrohen rregulli tjetër: formulat fizikës klasike për lidhjen ndërmjet sasive në teorinë kuantike zëvendësohen me formula që lidhin operatorët e këtyre sasive.

Për shembull, koordinata ose operatori i sasisë f(x) në shprehjen e mësipërme janë vetë sasitë. Veprimi i tyre është të shumëzojnë këto sasi me funksionin . Operatori i momentit është diferencial dhe ka formën (shih shprehjen e fundit):

Operatorët përcaktohen nga simbolet e sasisë, por me një kapak në krye. Për shembull, operatori i momentit shkruhet si .

bazë vetitë matematikore të operatorëve:

1. Mund të shtohen operatorë (asociativiteti). Veprimi i shumës së operatorëve është i barabartë me shumën e veprimeve të tyre individuale: . Këtu është simboli  tregon argumentin e funksionit f.

2. Operatorët mund të shumëzohen. Efekti i një produkti të operatorëve është i barabartë me aplikimin sekuencial të operatorëve në një funksion:
. Duhet të theksohet këtu se komutativiteti i operatorëve nuk është i tyre pronë e përbashkët, kjo eshte
mund të mos jetë e barabartë
. Nëse barazia vazhdon ende, atëherë operatorët quhen Commuting. Mund të tregohet se operatorët e sasive të përfshira në marrëdhëniet e pasigurisë nuk lëvizin gjithmonë. Korrespondenca e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse operatorët nuk lëvizin, atëherë sasitë përkatëse nuk mund të përcaktohen njëkohësisht.

3. Operatorët quhen linearë nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:

Është lineariteti i operatorëve që përcakton mundësinë e përdorimit të parimit të mbivendosjes së valës de Broglie.

Shembujt e dhënë mund të përgjithësohen. Vlera mesatare P barazohet me:

Ku ka një operator të madhësisë P.

Le të shqyrtojmë operatorët e madhësive bazë fizike.

Në analogji me operatorin e projeksionit të momentit të prezantuar më sipër, mund të shkruajmë:

Prandaj operatori i momentit në katror ka formën:

Tani mund të shkruajmë operatorin e energjisë, një nga operatorët bazë të mekanikës kuantike. Energjia kinetike përcaktohet në përputhje me rregullin e dhënë:

Operatori i energjisë totale, i ashtuquajturi operator Hamilton ose Hamiltonian, merr formën e njohur tashmë, të përdorur më sipër:

Tani mund të përcaktojmë vlerën mesatare të energjisë totale duke vepruar në funksionin e valës me operatorin Hamilton:

Pavarësisht nga pamundësia e përcaktimit të njëkohshëm të energjisë potenciale dhe kinetike, është e mundur të përcaktohet dhe krahasohet shuma e vlerave mesatare të këtyre energjive me vlerën mesatare të energjisë totale.

Kështu, nëse dihet funksioni valor i një grimce, është gjithmonë e mundur të përcaktohet vlera mesatare e sasisë përkatëse.

Roli i operatorëve në mekanikën kuantike nuk do të përcaktohet plotësisht nëse nuk formulohet një marrëdhënie e përgjithshme që lejon që dikush të merret me llogaritje eigenvalueçdo madhësi P. Kjo marrëdhënie duket si kjo:

(*)

Vlefshmëria e tij mund të verifikohet duke llogaritur vlerën mesatare P:

Në këtë rast, funksioni i valës është funksionin e vet detyrë ose operator. Kuptimi P në rastin në shqyrtim, i vetmi (pra i duhuri). Nuk ka vlera të tjera që korrespondojnë me këtë funksion. Korrespondenca e ndërsjellë midis një funksioni dhe një vlere në formën (*) është përcaktimi i eigenfunksioneve dhe eigenvlerave të një operatori.

Një shembull i korrespondencës së shprehjes (*) me ekuacionet e mëparshme të lëvizjes së grimcave është koincidenca e saj me ekuacionin stacionar të Shrodingerit. Duke zëvendësuar operatorin Hamilton në ekuacionin (*), marrim ekuacionin e Schrödinger-it për gjendjet stacionare:

Kuantizimi i momentit këndor.

Në mekanikën kuantike, vetitë e momentit këndor ndryshojnë ndjeshëm nga vetitë e së njëjtës sasi në teorinë klasike. Për shembull, sasia thelbësore nuk është vetë vektori, por moduli i momentit M ose katrori i momentit këndor M 2. Një studim i vetive të komutimit të operatorëve tregon se vetëm katrori i momentit dhe një nga projeksionet e tij lëvizin. Zakonisht lidhet me boshtin Z dhe dy projeksione të tjera dhe katrorin e momentit M 2 mos udhëtoni me njëri-tjetrin. Siç u përmend më lart, kjo do të thotë se është e mundur të përcaktohen njëkohësisht vetëm dy nga këto sasi M 2 dhe M z. Prandaj, mund të imagjinojmë se momenti është formuar nga një lëvizje e pacaktuar e vektorit përgjatë konit. Atëherë vetëm projeksioni dhe gjatësia e vektorit janë të përcaktueshme.

Duke ndjekur rregullin e mësipërm, mund të kemi parasysh operatori i momentit këndor. Në mekanikën klasike, momenti këndor është i barabartë me

Atëherë operatori i projeksionit të momentit këndor në boshtin Z është i barabartë me

Ajo merr një formë më të thjeshtë në sistemin e koordinatave sferike (r, , ):

Sheshi i momentit këndor përcaktohet nga ekuacioni i përgjithshëm:

Për shkak të sasisë së madhe të arsyetimit dhe llogaritjeve, ne paraqesim rezultatin përfundimtar të zgjidhjes së këtij ekuacioni:

Numri l i quajtur orbital numër kuantik. Prandaj, moduli i momentit këndor është i barabartë me:

Ndryshe nga momenti klasik, analogu i tij kuantik nuk varet nga pozicioni i pikës në lidhje me të cilën përcaktohet. Është përcaktuar vetëm lëvizje këndore grimcat. Prandaj, në mekanikën kuantike, momenti këndor shpesh quhet momenti këndor ose thjesht momenti këndor. E njëjta gjë vlen edhe për vlerat vetjake të operatorit të projeksionit të momentit.
degjenerimi i gjendjes energjetike. Kjo është për shkak të arbitraritetit të zgjedhjes së boshtit Z në mungesë fushë magnetike. Hyrje në konsideratë fushe elektrike nuk ju lejon të zgjidhni drejtimin aks, prandaj fusha elektrike nuk mund ta largojë plotësisht degjenerimin përgjatë projeksionit të momentit. Mbetet të paktën një degjenerim i dyfishtë.

Në përgjithësi, shumësia e degjenerimit të projeksionit të momentit përcaktohet nga fakti se formalisht M z është një projeksion i momentit dhe, për rrjedhojë, nuk mund të kalojë në madhësi M. Nga kjo rrjedh se

Numri total vlerat mështë e barabartë, pra, 2 l+1, e cila përcakton shumësinë e degjenerimit të gjendjeve orbitale.

Rezultatet e marra mund të paraqiten në një mënyrë të njohur:

Ato përfaqësojnë thelbin e situatës së quajtur kuantizimi hapësinor.

Një grimcë me rrotullim ka gjithashtu një moment të caktuar magnetik "të brendshëm". Operatori mekanik kuantik përkatës është proporcional me operatorin spin s, pra mund të shkruhet në formën

ku s është vlera spin e grimcës dhe është një karakteristikë konstante e grimcës. Eigenvlerat e projeksionit moment magnetik janë të barabarta Nga kjo shihet se koeficienti (i cili zakonisht quhet thjesht vlera e momentit magnetik) paraqet vlerën më të madhe të mundshme të arritur gjatë projeksionit të rrotullimit.

Raporti jep raportin e momentit magnetik të grimcës me momentin e tij çift ​​rrotullues mekanik(kur të dyja drejtohen përgjatë boshtit). Siç dihet, për një moment të zakonshëm (orbital) ky raport është i barabartë (shih II, § 44). Koeficienti i proporcionalitetit midis momentit magnetik të brendshëm dhe rrotullimit të grimcës rezulton të jetë i ndryshëm. Për një elektron është i barabartë - domethënë dyfishi i vlerës së zakonshme (kjo vlerë është marrë teorikisht nga ekuacioni relativist i valës Dirac - shih IV, § 33). Momenti magnetik i vetë elektronit (spin 1/2) është pra i barabartë me ku

Kjo sasi quhet magnetoni Bohr.

Moment magnetik grimca të rëndaËshtë zakon të matet në magnetone bërthamore, të përcaktuara si ku është masa e protonit. Eksperimenti jep një vlerë për momentin magnetik të protonit prej 2,79 magnetone bërthamore, me momentin e drejtuar përgjatë rrotullimit. Momenti magnetik i neutronit është i drejtuar kundër rrotullimit dhe është i barabartë me 1,91 magnetone bërthamore.

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që sasitë dhe s në të dy anët e barazisë (111.1), siç duhet të jetë, janë identike në karakterin e tyre vektor: të dy janë vektorë boshtorë.

Një barazi e ngjashme për momentin elektrik të fushës së dyfishtë do të kundërshtonte simetrinë në lidhje me përmbysjen e koordinatave: gjatë përmbysjes, shenja relative e të dy anëve të barazisë do të ndryshonte.

Në mekanikën kuantike jorelativiste, fusha magnetike mund të konsiderohet vetëm si një fushë e jashtme. Ndërveprimi magnetik grimcat që ndërveprojnë me njëra-tjetrën është një efekt relativist dhe marrja parasysh e tij kërkon një teori të qëndrueshme relativiste.

Në teorinë klasike, funksioni Hamilton i një grimce të ngarkuar në një vullnet elektromagnetik ka formën

ku është skalari, A është potenciali vektorial i fushës dhe është momenti i përgjithësuar i grimcës (shih II, § 16). Nëse grimca nuk zotëron unitetin, atëherë kalimi në mekanikën kuantike bëhet në mënyrën e zakonshme: momenti i përgjithësuar duhet të zëvendësohet nga operatori dhe marrim Hamiltonian.

Nëse grimca ka rrotullim, atëherë një operacion i tillë është i pamjaftueshëm. Fakti është se momenti magnetik i vetë grimcës ndërvepron drejtpërdrejt me fushën magnetike. Në funksionin klasik të Hamiltonit, ky ndërveprim mungon plotësisht, pasi vetë rrotullimi, duke qenë thjesht efekt kuantik, zhduket kur kalon në kufirin klasik. Shprehja e saktë për Hamiltonian është marrë duke futur (në 111.3) një term shtesë - që korrespondon me energjinë e momentit magnetik në fushën H. Kështu, Hamiltoniani i një grimce me spin ka formën

Kur zgjerohet katrori, duhet mbajtur parasysh se operatori, në përgjithësi, nuk është komutativ me vektorin A, i cili është funksion i koordinatave. Prandaj duhet të shkruajmë

Sipas rregullit të komutimit (16.4) të operatorit të momentit me ndonjë funksion koordinativ, kemi

Kështu, dhe A janë komutative nëse, në veçanti, vlen fushë uniforme, nëse zgjedhim potencialin vektorial të tij në formë

(111,7)

Ekuacioni me Hamiltonian (111.4) është një përgjithësim i ekuacionit të Shrodingerit në rastin e pranisë së një fushe magnetike. Funksionet valore të prekura nga Hamiltoniani në këtë ekuacion janë spinorë simetrik të renditjes

Funksionet valore të një grimce në një fushë elektromagnetike kanë paqartësi të lidhur me paqartësinë e potencialeve të fushës. Siç dihet (shih II, § 18), këto të fundit përcaktohen vetëm deri në transformimin e matësit

ku - funksion arbitrar koordinatat dhe koha. Ky transformim nuk reflektohet në vlerat e fuqisë së fushës. Është e qartë, pra, se nuk duhet të ndryshojë ndjeshëm as zgjidhjet e ekuacionit të valës; Në veçanti, sheshi duhet të mbetet i pandryshuar. Është vërtet e lehtë të verifikohet që ne të kthehemi ekuacioni origjinal, nëse njëkohësisht me zëvendësimin (111.8) në Hamiltonian zëvendësojmë edhe funksionin valor sipas

(111,9)

Kjo paqartësi e funksionit valor nuk prek asnjë sasi që ka kuptim fizik (përkufizimi i së cilës nuk përfshin në mënyrë eksplicite potencialet).

Në mekanikën klasike, momenti i përgjithësuar i një grimce lidhet me shpejtësinë e saj nga relacioni Për të gjetur operatorin v në mekanikën kuantike, është e nevojshme që vektori të ndërrohet me Hamiltonian.

Një llogaritje e thjeshtë çon në rezultat

(111,10)

saktësisht e njëjtë me atë klasike. Për operatorët e komponentëve të shpejtësisë, zbatohen rregullat e ndërrimit

të cilat mund të verifikohen lehtësisht me llogaritje të drejtpërdrejtë. Shohim që në një fushë magnetike operatorët e tre komponentëve të shpejtësisë së një grimce (të ngarkuar) rezultojnë të jenë jokomutativ. Kjo do të thotë që një grimcë nuk mund të ketë njëkohësisht vlera të caktuara shpejtësie në të tre drejtimet.

Kur lëvizni në një fushë magnetike, simetria në lidhje me ndryshimin e kohës ndodh vetëm nëse shenja e fushës H (dhe potenciali vektorial A) ndryshon. Kjo do të thotë (shih § 18 dhe 60) që ekuacioni i Shrodingerit duhet të ruajë formën e tij kur kalon në sasi komplekse të konjuguara dhe ndryshon shenjën e H. Për të gjithë termat në Hamiltonian (111.4), me përjashtim të termit, kjo është menjëherë e dukshme. Anëtar

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike