Si të gjeni koordinatat e një pike duke përdorur ekuacionin e një drejtëze. Ekuacioni i përgjithshëm i vijës së drejtë: përshkrim, shembuj, zgjidhja e problemit

Mësimi nga seria "Algoritmet gjeometrike"

Përshëndetje i dashur lexues!

Sot do të fillojmë të mësojmë algoritme që lidhen me gjeometrinë. Fakti është se problemet e olimpiadave në shkencat kompjuterike, ka mjaft tema që lidhen me gjeometrinë llogaritëse, dhe zgjidhja e problemeve të tilla shpesh shkakton vështirësi.

Gjatë disa mësimeve, ne do të shqyrtojmë një numër nëndetyrash elementare mbi të cilat bazohet zgjidhja e shumicës së problemeve në gjeometrinë llogaritëse.

Në këtë mësim do të krijojmë një program për gjetja e ekuacionit të një drejtëze, duke kaluar neper te dhene dy pika. Për zgjidhje problemet gjeometrike do të na duhen disa njohuri për gjeometrinë llogaritëse. Një pjesë të mësimit do t'i kushtojmë njohjes së tyre.

Vështrime nga Gjeometria Llogaritëse

Gjeometria llogaritëse është një degë e shkencës kompjuterike që studion algoritmet për zgjidhjen e problemeve gjeometrike.

Të dhënat fillestare për probleme të tilla mund të jenë një grup pikash në një plan, një grup segmentesh, një shumëkëndësh (të specifikuar, për shembull, nga një listë e kulmeve të tij në rend të akrepave të orës), etj.

Rezultati mund të jetë ose një përgjigje për disa pyetje (si p.sh. a i përket një pikë një segmenti, a kryqëzohen dy segmente, ...), ose ndonjë objekt gjeometrik (për shembull, poligonin më të vogël konveks që lidh pikët e dhëna, zona e një shumëkëndëshi, etj.).

Ne do të shqyrtojmë problemet e gjeometrisë llogaritëse vetëm në plan dhe vetëm në Sistemi kartezian koordinatat

Vektorët dhe koordinatat

Për të aplikuar metodat e gjeometrisë llogaritëse, është e nevojshme të përkthehen imazhet gjeometrike në gjuhën e numrave. Do të supozojmë se aeroplanit i është dhënë një sistem koordinativ kartezian, në të cilin drejtimi i rrotullimit në drejtim të kundërt të akrepave të orës quhet pozitiv.

Tani objektet gjeometrike marrin shprehje analitike. Pra, për të specifikuar një pikë, mjafton të tregohen koordinatat e saj: një çift numrash (x; y). Një segment mund të specifikohet duke treguar koordinatat e skajeve të tij, një vijë e drejtë mund të specifikohet duke treguar koordinatat e një çifti pikash;

Por mjeti ynë kryesor për zgjidhjen e problemeve do të jenë vektorët. Prandaj, më lejoni të kujtoj disa informacione rreth tyre.

Segmenti i linjës AB, e cila ka një pikë A konsiderohet fillimi (pika e aplikimit), dhe pika NË– fundi, i quajtur vektor AB dhe tregojnë ose , ose të trasha shkronje e vogel, Për shembull A .

Për të treguar gjatësinë e një vektori (d.m.th., gjatësinë e segmentit përkatës), do të përdorim simbolin e modulit (për shembull, ).

Një vektor arbitrar do të ketë koordinata të barabarta me ndryshimin midis koordinatave përkatëse të fundit dhe fillimit të tij:

,

këtu janë pikat A Dhe B kanë koordinata përkatësisht.

Për llogaritjet do të përdorim konceptin kënd i orientuar, pra këndi duke marrë parasysh marrëveshje reciproke vektorët.

Këndi i orientuar ndërmjet vektorëve a Dhe b pozitive nëse rrotullimi është nga vektori a te vektori b zhvillohet në drejtim pozitiv(në drejtim të kundërt) dhe negativ në rastin tjetër. Shih Fig.1a, Fig.1b. Thuhet gjithashtu se një çift vektorësh a Dhe b i orientuar pozitivisht (negativisht).

Kështu, vlera e këndit të orientuar varet nga radha në të cilën renditen vektorët dhe mund të marrin vlera në interval.

Shumë probleme në gjeometrinë llogaritëse përdorin konceptin e produkteve vektoriale (të anore ose pseudoskalare) të vektorëve.

Prodhimi vektorial i vektorëve a dhe b është prodhimi i gjatësisë së këtyre vektorëve dhe i sinusit të këndit ndërmjet tyre:

.

Prodhimi kryq i vektorëve në koordinata:

Shprehja në të djathtë është një përcaktues i rendit të dytë:

Ndryshe nga përkufizimi i dhënë në gjeometria analitike, është një skalar.

Shenjë produkt vektorial përcakton pozicionin e vektorëve në raport me njëri-tjetrin:

a Dhe b të orientuar pozitivisht.

Nëse vlera është , atëherë një palë vektorësh a Dhe b të orientuar negativisht.

Produkti kryq i vektorëve jozero është zero nëse dhe vetëm nëse janë kolinear ( ). Kjo do të thotë se ata shtrihen në të njëjtën linjë ose në vija paralele.

Le të shohim disa probleme të thjeshta që janë të nevojshme kur zgjidhni ato më komplekse.

Le të përcaktojmë ekuacionin e një drejtëze nga koordinatat e dy pikave.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nga dy pika të ndryshme, të specifikuara nga koordinatat e tyre.

Le të jepen dy pika që nuk përputhen në një vijë të drejtë: me koordinata (x1; y1) dhe me koordinata (x2; y2). Prandaj, një vektor me një fillim në një pikë dhe një fund në një pikë ka koordinata (x2-x1, y2-y1). Nëse P(x, y) është një pikë arbitrare në drejtëzën tonë, atëherë koordinatat e vektorit janë të barabarta me (x-x1, y – y1).

Duke përdorur produktin vektorial, kushti për kolinearitetin e vektorëve dhe mund të shkruhet si më poshtë:

Ato. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ekuacionin e fundit e rishkruajmë si më poshtë:

sëpatë + nga + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Pra, vija e drejtë mund të specifikohet me një ekuacion të formës (1).

Detyra 1. Janë dhënë koordinatat e dy pikave. Gjeni paraqitjen e tij në formën ax + nga + c = 0.

Në këtë mësim mësuam disa informacione rreth gjeometrisë llogaritëse. Zgjidhëm problemin e gjetjes së ekuacionit të drejtëzës nga koordinatat e dy pikave.

Në mësimin tjetër, ne do të krijojmë një program për të gjetur pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave të dhëna nga ekuacionet tona.

Lëreni drejtëzën të kalojë nëpër pikat M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2). Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën M 1 ka formën y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Ku k - koeficient ende i panjohur.

Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikën M 2 (x 2 y 2), koordinatat e kësaj pike duhet të plotësojnë ekuacionin (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Nga këtu gjejmë Zëvendësimin e vlerës së gjetur k në ekuacionin (10.6), marrim ekuacionin e një vije të drejtë që kalon nëpër pikat M 1 dhe M 2:

Supozohet se në këtë ekuacion x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nëse x 1 = x 2, atëherë drejtëza që kalon nëpër pikat M 1 (x 1,y I) dhe M 2 (x 2,y 2) është paralele me boshtin e ordinatave. Ekuacioni i tij është x = x 1 .

Nëse y 2 = y I, atëherë ekuacioni i drejtëzës mund të shkruhet si y = y 1, drejtëza M 1 M 2 është paralele me boshtin e abshisave.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente

Lëreni drejtëzën të presë boshtin Ox në pikën M 1 (a;0), dhe boshtin Oy në pikën M 2 (0;b). Ekuacioni do të marrë formën:
ato.
. Ky ekuacion quhet ekuacioni i një drejtëze në segmente, sepse numrat a dhe b tregojnë se cilat segmente i pret vija në boshtet e koordinatave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar

Le të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon këtë pikë Mo (x O; y o) është pingul me vektorin e dhënë jozero n = (A; B).

Le të marrim një pikë arbitrare M(x; y) në vijë dhe të konsiderojmë vektorin M 0 M (x - x 0; y - y o) (shih Fig. 1). Meqenëse vektorët n dhe M o M janë pingul, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: d.m.th.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Quhet ekuacioni (10.8). ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar .

Vektori n= (A; B), pingul me drejtëzën, quhet normal vektori normal i kësaj linje .

Ekuacioni (10.8) mund të rishkruhet si Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ku A dhe B janë koordinatat e vektorit normal, C = -Ax o - Vu o - anëtar i lirë. Ekuacioni (10.9) është ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës(shih Fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Ekuacionet kanonike të drejtëzës

,

Ku
- koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon drejtëza, dhe
- vektori i drejtimit.

Kurbat e rendit të dytë Rrethi

Rrethi është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e cila quhet qendër.

Ekuacioni kanonik i një rrethi me rreze R të përqendruar në një pikë
:

Në veçanti, nëse qendra e kunjit përkon me origjinën e koordinatave, atëherë ekuacioni do të duket si:

Elipsa

Një elipsë është një grup pikash në një plan, shuma e distancave nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna Dhe , të cilat quhen vatra, është një sasi konstante
, më e madhe se distanca ndërmjet vatrave
.

Ekuacioni kanonik i një elipse, vatrat e së cilës shtrihen në boshtin Ox, dhe origjina e koordinatave në mes midis vatrave ka formën
G de a gjatësia e boshtit gjysmë të madh; b – gjatësia e boshtit gjysmë të vogël (Fig. 2).

Le të jepen dy pikë M(X 1 ,U 1) dhe N(X 2,y 2). Le të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër këto pika.

Meqenëse kjo linjë kalon nëpër pikë M, atëherë sipas formulës (1.13) ekuacioni i tij ka formën

U – Y 1 = K(X–x 1),

Ku K– koeficienti këndor i panjohur.

Vlera e këtij koeficienti përcaktohet nga kushti që drejtëza e dëshiruar të kalojë nëpër pikë N, që do të thotë se koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Nga këtu mund të gjeni pjerrësinë e kësaj linje:

,

Ose pas konvertimit

(1.14)

Formula (1.14) përcakton Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika M(X 1, Y 1) dhe N(X 2, Y 2).

Në rastin e veçantë kur pikat M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, shtrihuni në boshtet e koordinatave, ekuacioni (1.14) do të marrë një formë më të thjeshtë

Ekuacioni (1.15) thirrur Ekuacioni i një drejtëze në segmente, Këtu A Dhe B shënoni segmentet e prera nga një vijë e drejtë në akset (Figura 1.6).

Figura 1.6

Shembulli 1.10. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër pika M(1, 2) dhe B(3, –1).

. Sipas (1.14), ekuacioni i vijës së dëshiruar ka formën

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferimi i të gjithë anëtarëve në ana e majte, në fund marrim ekuacionin e kërkuar

3X + 2Y – 7 = 0.

Shembulli 1.11. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë M(2, 1) dhe pika e prerjes së vijave X+ Y - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Do të gjejmë koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave duke i zgjidhur së bashku këto ekuacione

Nëse i mbledhim këto ekuacione term pas termi, marrim 2 X+ 1 = 0, prej nga . Duke zëvendësuar vlerën e gjetur në çdo ekuacion, gjejmë vlerën e ordinatës U:

Tani le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat (2, 1) dhe:

ose .

Prandaj ose -5 ( Y – 1) = X – 2.

Në fund marrim ekuacionin e drejtëzës së dëshiruar në formë X + 5Y – 7 = 0.

Shembulli 1.12. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika M(2.1) dhe N(2,3).

Duke përdorur formulën (1.14), marrim ekuacionin

Nuk ka kuptim, që nga emëruesi i dytë e barabartë me zero. Nga kushtet e problemit del qartë se abshisat e të dy pikave kanë të njëjtën vlerë. Kjo do të thotë që vija e drejtë e dëshiruar është paralele me boshtin OY dhe ekuacioni i tij është: x = 2.

Komentoni . Nëse, kur shkruani ekuacionin e një rreshti duke përdorur formulën (1.14), një nga emëruesit rezulton të jetë i barabartë me zero, atëherë ekuacioni i dëshiruar mund të merret duke barazuar numëruesin përkatës me zero.

Le të shqyrtojmë mënyra të tjera për të përcaktuar një vijë në një aeroplan.

1. Le të jetë pingul me drejtëzën e dhënë një vektor jozero L, dhe pikë M 0(X 0, Y 0) shtrihet në këtë linjë (Figura 1.7).

Figura 1.7

Le të shënojmë M(X, Y) çdo pikë në një vijë L. Vektorët dhe Ortogonale. Duke përdorur kushtet e ortogonalitetit të këtyre vektorëve, marrim ose A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Ne kemi marrë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 0 është pingul me vektorin. Ky vektor quhet Vektor normal në një vijë të drejtë L. Ekuacioni që rezulton mund të rishkruhet si

Oh + Wu + ME= 0, ku ME = –(AX 0 + Nga 0), (1.16),

Ku A Dhe NË– koordinatat e vektorit normal.

Ne marrim ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës në formë parametrike.

2. Një drejtëz në një rrafsh mund të përcaktohet si më poshtë: le të jetë një vektor jozero paralel me drejtëzën e dhënë. L dhe periudha M 0(X 0, Y 0) shtrihet në këtë linjë. Le të marrim përsëri një pikë arbitrare M(X, y) në një vijë të drejtë (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vektorët dhe kolineare.

Le të shkruajmë kushtin për kolinearitetin e këtyre vektorëve: , ku T – numër arbitrar, i quajtur një parametër. Le ta shkruajmë këtë barazi në koordinata:

Këto ekuacione quhen Ekuacionet parametrike Drejt. Le të përjashtojmë parametrin nga këto ekuacione T:

Këto ekuacione përndryshe mund të shkruhen në formë

. (1.18)

Ekuacioni që rezulton quhet Ekuacioni kanonik i drejtëzës. Vektori quhet Vektori i drejtimit është i drejtë .

Komentoni . Është e lehtë të shihet se nëse është vektori normal në vijë L, atëherë vektori i drejtimit të tij mund të jetë vektor pasi , d.m.th.

Shembulli 1.13. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë M 0 (1, 1) paralel me rreshtin 3 X + 2U– 8 = 0.

Zgjidhje . Vektori është vektori normal për linjat e dhëna dhe të dëshiruara. Le të përdorim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 0 me një vektor normal të dhënë 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ose 3 X + 2u– 5 = 0. Kemi marrë ekuacionin e vijës së dëshiruar.

Ky artikull zbulon se si të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna sistem drejtkëndor koordinatat e vendosura në aeroplan. Le të nxjerrim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor. Do të tregojmë dhe zgjidhim qartë disa shembuj që lidhen me materialin e trajtuar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Para se të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje disa fakteve. Ekziston një aksiomë që thotë se përmes dy pikave divergjente në një plan është e mundur të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një. Me fjalë të tjera, dy pika të dhëna në një plan përcaktohen nga një vijë e drejtë që kalon nëpër këto pika.

Nëse rrafshi përcaktohet nga sistemi koordinativ drejtkëndor Oxy, atëherë çdo vijë e drejtë e përshkruar në të do të korrespondojë me ekuacionin e një vije të drejtë në aeroplan. Ekziston edhe një lidhje me vektorin drejtues të drejtëzës Kjo e dhënë është e mjaftueshme për të përpiluar ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika.

Le të shohim një shembull të zgjidhjes së një problemi të ngjashëm. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një drejtëz a që kalon nëpër dy pika divergjente M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2), të vendosura në sistemin koordinativ Kartezian.

Në ekuacionin kanonik të një drejtëze në një rrafsh, që ka formën x - x 1 a x = y - y 1 a y, një sistem koordinativ drejtkëndor O x y specifikohet me një vijë që kryqëzohet me të në një pikë me koordinatat M 1 (x 1, y 1) me një vektor udhëzues a → = (a x , a y) .

Është e nevojshme të hartohet ekuacioni kanonik drejtëza a, e cila do të kalojë nëpër dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2).

Drejt a ka një vektor të drejtimit M 1 M 2 → me koordinata (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pasi pret pikat M 1 dhe M 2. Ne kemi marrë të dhënat e nevojshme për të transformuar ekuacionin kanonik me koordinatat e vektorit të drejtimit M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dhe koordinatat e pikave M 1 që shtrihen mbi to. (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2 , y 2) . Ne marrim një ekuacion të formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Konsideroni figurën më poshtë.

Pas llogaritjeve, ne shkruajmë ekuacionet parametrike drejtëz në rrafshin që kalon në dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2). Marrim një ekuacion të formës x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Le të hedhim një vështrim më të afërt në zgjidhjen e disa shembujve.

Shembulli 1

Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër 2 pika të dhëna me koordinata M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Zgjidhje

Ekuacioni kanonik për një drejtëz që kryqëzohet në dy pika me koordinatat x 1, y 1 dhe x 2, y 2 merr formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Sipas kushteve të problemës kemi që x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Është e nevojshme të zëvendësohet vlerat numerike në ekuacionin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Nga këtu marrim se ekuacioni kanonik merr formën x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Përgjigje: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem me një lloj tjetër ekuacioni, atëherë së pari mund të shkoni në atë kanonik, pasi është më e lehtë të vini prej tij në ndonjë tjetër.

Shembulli 2

Hartoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër pika me koordinata M 1 (1, 1) dhe M 2 (4, 2) në sistemin e koordinatave O x y.

Zgjidhje

Së pari, duhet të shkruani ekuacionin kanonik të një linje të caktuar që kalon nëpër dy pika të dhëna. Marrim një ekuacion të formës x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Le ta sjellim ekuacionin kanonik në formën e dëshiruar, atëherë marrim:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Përgjigje: x - 3 y + 2 = 0 .

Shembuj të detyrave të tilla u diskutuan në tekstet shkollore në mësimet e algjebrës. Detyrat e shkollës ndryshonte në atë ekuacionin e drejtëzës me shpat, që ka formën y = k x + b. Nëse ju duhet të gjeni vlerën e pjerrësisë k dhe numrin b për të cilin ekuacioni y = k x + b përcakton një vijë në sistemin O x y që kalon nëpër pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 ( x 2, y 2), ku x 1 ≠ x 2. Kur x 1 = x 2 , atëherë koeficienti këndor merr vlerën e pafundësisë dhe drejtëza M 1 M 2 përcaktohet nga e përgjithshme ekuacion i paplotë të formës x - x 1 = 0 .

Sepse pikat M 1 Dhe M 2 janë në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre plotësojnë ekuacionin y 1 = k x 1 + b dhe y 2 = k x 2 + b. Është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b për k dhe b.

Për ta bërë këtë, gjejmë k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Me këto vlera të k dhe b, merr ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pikat e dhëna pamje tjetër y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Mos harroni këtë menjëherë sasi e madhe formulat nuk do të funksionojnë. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të rritet numri i përsëritjeve në zgjidhjen e problemeve.

Shembulli 3

Shkruani ekuacionin e drejtëzës me koeficient këndor që kalon nëpër pika me koordinata M 2 (2, 1) dhe y = k x + b.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim një formulë me një koeficient këndor të formës y = k x + b. Koeficientët k dhe b duhet të marrin një vlerë të tillë që ekuacioni i dhënë korrespondonte me një vijë të drejtë që kalon nëpër dy pika me koordinata M 1 (- 7, - 5) dhe M 2 (2, 1).

Pikat M 1 Dhe M 2 janë të vendosura në një vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre duhet të ndryshojnë ekuacionin y = k x + b barazi e vërtetë. Nga kjo marrim se - 5 = k · (- 7) + b dhe 1 = k · 2 + b. Le ta bashkojmë ekuacionin në sistemin - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dhe ta zgjidhim.

Pas zëvendësimit e marrim atë

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Tani vlerat k = 2 3 dhe b = - 1 3 zëvendësohen në ekuacionin y = k x + b. Ne gjejmë se ekuacioni i kërkuar që kalon nëpër pikat e dhëna do të jetë një ekuacion i formës y = 2 3 x - 1 3 .

Kjo metodë e zgjidhjes paracakton shpenzimet sasi të mëdha koha. Ekziston një mënyrë në të cilën detyra zgjidhet fjalë për fjalë në dy hapa.

Le të shkruajmë ekuacionin kanonik të drejtëzës që kalon nëpër M 2 (2, 1) dhe M 1 (- 7, - 5), duke pasur formën x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Tani le të kalojmë te ekuacioni i pjerrësisë. Ne marrim se: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Përgjigje: y = 2 3 x - 1 3 .

Nëse në hapësirë ​​tredimensionale ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me dy pika të dhëna që nuk përputhen me koordinatat M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), një vijë e drejtë M 1 M 2 duke kaluar nëpër to, është e nevojshme të merret ekuacioni i kësaj linje.

Kemi se ekuacionet kanonike të formës x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dhe ekuacionet parametrike të formës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ janë në gjendje të përcaktojnë një vijë në sistemin koordinativ O x y z, që kalon nëpër pika që kanë koordinata (x 1, y 1, z 1) me një vektor drejtimi a → = (a x, a y, a z).

Drejt M 1 M 2 ka një vektor drejtimi të formës M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), ku drejtëza kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2 , y 2 , z 2), prandaj ekuacioni kanonik mund të jetë i formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, nga ana tjetër parametrike x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Konsideroni një vizatim që tregon 2 pika të dhëna në hapësirë ​​dhe ekuacionin e një drejtëze.

Shembulli 4

Shkruani ekuacionin e një drejtëze të përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z të hapësirës tredimensionale, që kalon në dy pika të dhëna me koordinata M 1 (2, - 3, 0) dhe M 2 (1, - 3, - 5).

Zgjidhje

Është e nevojshme të gjendet ekuacioni kanonik. Sepse po flasim për rreth hapësirës tredimensionale, që do të thotë se kur një vijë e drejtë kalon nëpër pika të dhëna, ekuacioni kanonik i dëshiruar do të marrë formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Me kusht kemi që x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Nga kjo rrjedh se ekuacionet e nevojshme do të shkruhen si më poshtë:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Përgjigje: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter