Teoria e sinuseve dhe kosinuseve. Teorema e kosinusit

Maturantët që përgatiten për të marrë Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë dhe duan të mjaftohen rezultate të larta, duhet patjetër të zotërojë parimin e zgjidhjes së problemeve duke përdorur teoremën e sinuseve dhe kosinuseve. Praktika shumëvjeçare tregon se detyra të ngjashme nga seksioni "Gjeometria e planit" janë pjesë e detyrueshme e programit. testi i certifikimit. Prandaj, nëse një nga ju pika të dobëta janë probleme në teoremën e kosinuseve dhe sinuseve, ju rekomandojmë që patjetër të përsërisni teorinë bazë për këtë temë.

Përgatituni për provimin me portalin arsimor Shkolkovo

Ushtrimi më parë dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, shumë maturantë përballen me problemin e gjetjes së teorisë bazë që nevojitet për të zgjidhur probleme praktike mbi zbatimin e teoremës së sinuseve dhe kosinuseve.

Teksti shkollor nuk është gjithmonë pranë momentin e duhur. Dhe gjetja e formulave të nevojshme ndonjëherë mund të jetë mjaft problematike edhe në internet.

Përgatitja për testin e certifikimit me portal arsimor“Shkolkova” do të jetë e cilësisë dhe efikasitetit më të lartë. Për t'i bërë më të lehta problemet në teoremën e sinuseve dhe kosinuseve, ne rekomandojmë të shqyrtojmë të gjithë teorinë për këtë temë. Ekspertët tanë e kanë përgatitur këtë material bazuar në përvojën e gjerë dhe e kanë paraqitur në një formë të kuptueshme. Mund ta gjeni në seksionin "Informacioni Teorik".

Njohja e teoremave dhe përkufizimeve bazë është gjysma e suksesit kur kaloni testin e certifikimit. Ushtrimet e duhura ju lejojnë të përmirësoni aftësitë tuaja në zgjidhjen e shembujve. Për t'i gjetur ato, thjesht shkoni te seksioni "Katalog" në faqen e internetit arsimore Shkolkovo. Prezantuar atje listë e madhe detyrat nivele të ndryshme kompleksiteti, i cili plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Nxënësit mund të plotësojnë problema mbi teoremat e sinuseve dhe kosinuseve, të ngjashme me ato që gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, në internet, ndërsa janë në Moskë ose në ndonjë qytet tjetër rus.

Nëse është e nevojshme, çdo ushtrim, për shembull, mund të ruhet në seksionin "Të preferuarat". Kjo do t'ju lejojë t'i ktheheni asaj në të ardhmen për të analizuar edhe një herë algoritmin për gjetjen e përgjigjes së saktë dhe për ta diskutuar atë me një mësues në shkollë ose një mësues.

Jo të gjithë nxënësit e shkollës, dhe veçanërisht të rriturit, e dinë se teorema e kosinusit lidhet drejtpërdrejt me teoremën e Pitagorës. Më saktësisht, kjo e fundit është një rast i veçantë i të parës. Kjo pikë, si dhe dy mënyra për të vërtetuar teoremën e kosinusit, do t'ju ndihmojnë të bëheni më shumë person i ditur. Përveç kësaj, praktika në shprehjen e sasive nga shprehjet fillestare zhvillohet mirë të menduarit logjik. Formula e gjatë e teoremës që studiohet patjetër do t'ju detyrojë të punoni shumë dhe të përmirësoheni.

Fillimi i një bisede: prezantimi i shënimit

Kjo teoremë është formuluar dhe vërtetuar për trekëndësh arbitrar. Prandaj, mund të përdoret gjithmonë, në çdo situatë, nëse jepen dy anë, dhe në disa raste tre, dhe një kënd, dhe jo domosdoshmërisht midis tyre. Cilido qoftë lloji i trekëndëshit, teorema do të funksionojë gjithmonë.

Dhe tani në lidhje me përcaktimin e sasive në të gjitha shprehjet. Është më mirë të bini dakord menjëherë, në mënyrë që të mos keni nevojë të shpjegoni disa herë më vonë. Për këtë qëllim është përpiluar tabela e mëposhtme.

Formulimi dhe shënimi matematik

Pra, formulohet teorema e kosinusit në mënyrën e mëposhtme:

Ana katrore e çdo trekëndëshi e barabartë me shumën katrorët e dy brinjëve të tjera të tij minus dyfishin e produktit të po këtyre brinjëve dhe kosinusit të këndit që shtrihet ndërmjet tyre.

Sigurisht, është e gjatë, por nëse e kuptoni thelbin e saj, do të jetë e lehtë të mbahet mend. Ju madje mund të imagjinoni të vizatoni një trekëndësh. Është gjithmonë më e lehtë të kujtosh vizualisht.

Formula e kësaj teoreme do të duket si kjo:

Pak e gjatë, por gjithçka është logjike. Nëse shikoni pak më nga afër, mund të shihni se letrat përsëriten, që do të thotë se nuk është e vështirë të mbani mend.

Prova e zakonshme e teoremës

Meqenëse është e vërtetë për të gjithë trekëndëshat, ju mund të zgjidhni cilindo nga llojet për arsyetim. Le të jetë një figurë me të gjitha këndet e mprehta. Konsideroni një arbitrar trekëndëshi akut, këndi i të cilit C është më i madh se këndi B. Nga kulmi me këtë kënd të madh duhet të ulni një pingul me anën e kundërt. Lartësia e vizatuar do ta ndajë trekëndëshin në dy drejtkëndëshe. Kjo do të kërkohet për provë.

Ana do të ndahet në dy segmente: x, y. Ato duhet të shprehen në terma të sasive të njohura. Pjesa që do të jetë në një trekëndësh me një hipotenuzë të barabartë me b do të shprehet me shënimin:

x = b * cos A.

Tjetri do të jetë i barabartë me këtë ndryshim:

y = c - në * cos A.

Tani ju duhet të shkruani teoremën e Pitagorës për dy trekëndëshat kënddrejtë që rezultojnë, duke marrë lartësinë si vlerë të panjohur. Këto formula do të duken kështu:

n 2 = në 2 - (në * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Në këto barazi ka shprehje identike majtas. Kjo do të thotë se edhe anët e tyre të djathta do të jenë të barabarta. Është e lehtë për ta shkruar atë. Tani ju duhet të hapni kllapat:

në 2 - në 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * në * cos A - në 2 * (cos A) 2.

Nëse kryen një transferim dhe hedh këtu terma të ngjashëm, atëherë ju merrni formulën fillestare, e cila shkruhet pas formulimit, pra teorema e kosinusit. Prova është e plotë.

Vërtetimi i teoremës duke përdorur vektorë

Është shumë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Dhe nëse i dini vetitë e vektorëve, atëherë teorema e kosinusit për një trekëndësh do të vërtetohet thjesht.

Nëse anët a, b, c përcaktohen nga vektorët BC, AC dhe AB, përkatësisht, atëherë barazia vlen:

BC = AC - AB.

Tani ju duhet të bëni disa hapa. E para prej tyre është katrori i të dy anëve të barazisë:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Atëherë barazia duhet të rishkruhet në formë skalare, duke marrë parasysh që prodhimi i vektorëve është i barabartë me kosinusin e këndit ndërmjet tyre dhe vlerat e tyre skalare:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Gjithçka që mbetet është të kthehemi në shënimin e vjetër dhe përsëri marrim teoremën e kosinusit:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Formulat për anët e tjera dhe të gjitha këndet

Për të gjetur anën, duhet të merrni rrënjën katrore të teoremës së kosinusit. Formula për katrorët e njërës prej anëve të tjera do të duket si kjo:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Të shkruajë shprehjen për katrorin e një brinje V, ju duhet të zëvendësoni në barazinë e mëparshme Me në V, dhe anasjelltas, dhe vendosni këndin B nën kosinus.

Nga formula bazë teorema, mund të shprehim vlerën e kosinusit të këndit A:

cos A = (në 2 + c 2 - a 2) / (2 në * c).

Formulat për kënde të tjera rrjedhin në mënyrë të ngjashme. Kjo praktikë e mirë, kështu që mund të përpiqeni t'i shkruani vetë.

Natyrisht, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Mjafton të kuptohet teorema dhe aftësia për të nxjerrë këto shprehje nga shënimi i saj kryesor.

Formula origjinale e teoremës bën të mundur gjetjen e anës nëse këndi nuk shtrihet midis dy të njohurve. Për shembull, ju duhet të gjeni V, kur jepen vlerat: a, c, A. Ose e panjohur Me, por ka kuptime a, b, A.

Në këtë situatë, ju duhet të transferoni të gjitha kushtet e formulës në ana e majte. Ju merrni barazinë e mëposhtme:

c 2 - 2 * c * c * cos A + b 2 - a 2 = 0.

Le ta rishkruajmë atë në një formë paksa të ndryshme:

c 2 - (2 * në * cos A) * c + (në 2 - a 2) = 0.

Mund të shihet lehtësisht ekuacioni kuadratik. Ka një sasi të panjohur në të - Me, dhe të gjitha të tjerat janë dhënë. Prandaj, është e mjaftueshme për ta zgjidhur atë duke përdorur një diskriminues. Në këtë mënyrë do të gjendet ana e panjohur.

Formula për anën e dytë është marrë në mënyrë të ngjashme:

në 2 - (2 * c * cos A) * në + (c 2 - a 2) = 0.

Nga shprehjet e tjera, formula të tilla janë gjithashtu të lehta për t'u marrë në mënyrë të pavarur.

Si mund të zbuloni llojin e këndit pa llogaritur kosinusin?

Nëse shikoni nga afër formulën e kosinusit të këndit të nxjerrë më herët, do të vini re sa vijon:

• emëruesi i thyesës është gjithmonë numër pozitiv, sepse përmban produktin e anëve që nuk mund të jenë negative;
• vlera e këndit do të varet nga shenja e numëruesit.

Këndi A do të jetë:

• akute në një situatë ku numëruesi Mbi zero;
• budallaqe nëse kjo shprehje është negative;
• e drejtpërdrejtë kur është e barabartë me zero.

Meqë ra fjala, situata e fundit e kthen teoremën e kosinusit në teoremën e Pitagorës. Sepse për një kënd prej 90º kosinusi i tij është e barabartë me zero, dhe termi i fundit zhduket.

Detyra e parë

gjendja

Këndi i mpirë i një trekëndëshi arbitrar është 120º. Për brinjët me të cilat është i kufizuar, dihet se njëra prej tyre është 8 cm më e madhe se tjetra.

Zgjidhje

Së pari ju duhet të shënoni njërën nga anët me shkronjën "x". Në këtë rast, tjetri do të jetë i barabartë me (x + 8). Meqenëse ka shprehje për të tre anët, mund të përdorim formulën e dhënë nga teorema e kosinusit:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

Në tabelat për kosinus ju duhet të gjeni vlerën që korrespondon me 120 gradë. Ky do të jetë numri 0.5 me një shenjë minus. Tani duhet të hapni kllapat, duke ndjekur të gjitha rregullat dhe të sillni terma të ngjashëm:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Ky ekuacion kuadratik zgjidhet duke gjetur diskriminuesin, i cili do të jetë i barabartë me:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Meqenëse vlera e tij është më e madhe se zero, ekuacioni ka dy përgjigje rrënjësore.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Rrënja e fundit nuk mund të jetë përgjigja e problemit, sepse pala duhet të jetë pozitive.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni tuajin informata personale sa herë që na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë rreth tij oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe Ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Me rastin e zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë nga Provimi i Bashkuar i Shtetit dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë, mjaft shpesh lind nevoja, duke njohur dy brinjët e një trekëndëshi dhe këndin ndërmjet tyre, për të gjetur brinjën e tretë. Ose, duke ditur të gjitha anët e një trekëndëshi, gjeni këndet e tij. Për të zgjidhur këto probleme do t'ju duhet vlera e teoremës së kosinusit për një trekëndësh. Në këtë artikull, një mësues i matematikës dhe fizikës flet se si kjo teoremë formulohet, vërtetohet dhe zbatohet në praktikë gjatë zgjidhjes së problemeve.

Formulimi i teoremës së kosinusit për një trekëndësh

Teorema e kosinusit për një trekëndësh lidh dy brinjët e një trekëndëshi dhe këndin ndërmjet tyre me brinjën përballë atij këndi. Për shembull, le të shënojmë me shkronjat , dhe gjatësinë e brinjëve të trekëndëshit ABC, i shtrirë përkatësisht përballë këndeve A, B Dhe C.

Atëherë teorema e kosinusit për këtë trekëndësh mund të shkruhet si:

Në figurë, për lehtësinë e diskutimit të mëtejshëm, këndi ME treguar me kënd. Me fjalë, kjo mund të formulohet si më poshtë: “Katrori i çdo brinjë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera minus. dyfishi i produktit këto brinjë nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre."

Është e qartë se nëse do të shprehnit anën tjetër të trekëndëshit, për shembull, anën, atëherë në formulë do t'ju duhej të merrnit kosinusin e këndit A, domethënë, shtrirë përballë anës së dëshiruar në trekëndësh, dhe në të djathtë në ekuacion, brinjët dhe do të ishin në vendet e tyre. Shprehja për katrorin e anës është marrë në mënyrë të ngjashme:

Vërtetimi i teoremës së kosinusit për një trekëndësh

Vërtetimi i teoremës së kosinusit për një trekëndësh zakonisht kryhet si më poshtë. Ndani trekëndëshin origjinal në dysh trekëndësh kënddrejtë lartësinë dhe më pas luani me brinjët e trekëndëshave që rezultojnë dhe me teoremën e Pitagorës. Si rezultat, pas transformimeve të gjata të lodhshme marr rezultatin e dëshiruar. Unë personalisht nuk më pëlqen kjo qasje. Dhe jo vetëm për shkak të llogaritjeve të rënda, por edhe sepse në këtë rast duhet të shqyrtojmë veçmas rastin kur trekëndëshi është i mpirë. Ka shumë vështirësi.

Unë propozoj të vërtetoj këtë teoremë duke përdorur konceptin " produkt me pika vektorë." Unë e marr me vetëdije këtë rrezik për veten time, duke e ditur që shumë nxënës preferojnë ta shmangin këtë temë, duke besuar se është disi e turbullt dhe është më mirë të mos merremi me të. Por ngurrimi për të ngacmuar veçmas trekëndësh i mpirë Ende më pushton. Për më tepër, prova që rezulton është çuditërisht e thjeshtë dhe e paharrueshme. Tani do ta shihni këtë.

Le të zëvendësojmë brinjët e trekëndëshit tonë me vektorët e mëposhtëm:

Përdorimi i teoremës së kosinusit për një trekëndësh ABC. Katrori i një brinjë është i barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve minus dyfishin e produktit të këtyre brinjëve nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre:

Meqenëse, rezultati është:

Do të thotë, . Është e qartë se vendim negativ nuk e marrim sepse gjatësia e segmentit është një numër pozitiv.

Këndi i kërkuar tregohet në figurë. Le të rishkruajmë teoremën e kosinusit për një trekëndësh ABC. Meqenëse kemi ruajtur të gjithë shënimin, formula që shpreh teoremën e kosinusit për këtë trekëndësh do të mbetet e njëjtë:

Le të zëvendësojmë tani në këtë formulë të gjitha sasitë që janë dhënë. Si rezultat, marrim shprehjen e mëposhtme:

Pas të gjitha llogaritjeve dhe transformimeve marrim shprehjen e thjeshtë të mëposhtme:

Cila duhet të jetë vlera kënd akut, në mënyrë që kosinusi i tij të jetë i barabartë me Shikojmë tabelën, e cila gjendet në dhe marrim përgjigjen: .

Kështu zgjidhen problemet e gjeometrisë duke përdorur teoremën e kosinusit për një trekëndësh. Nëse do të jepni OGE ose Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, atëherë patjetër që duhet ta zotëroni këtë material. Problemet përkatëse pothuajse me siguri do të jenë në provim. Praktikoni zgjidhjen e tyre vetë. Plotësoni detyrat e mëposhtme:

1. Në një trekëndësh ABC anësor AB e barabartë me 4 cm, anësore B.C. e barabartë me 6 cm, kënd B e barabartë me 30°. Gjeni anën A.C..
2. Në një trekëndësh ABC anësor AB e barabartë me 10, anë B.C. e barabartë me 8, anë A.C.është e barabartë me 9. Gjeni kosinusin e këndit A.

Shkruani përgjigjet dhe zgjidhjet tuaja në komente. Paç fat!

Materiali i përgatitur nga Sergey Valerievich