Mintha tört elosztása lenne. Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása

Megjelenik a felosztás. Ebben a cikkben fogunk beszélni közönséges törtek felosztása. Először is adunk egy szabályt a közönséges törtek osztására, és példákat tekintünk a törtek osztására. Ezután egy közönséges tört elosztására összpontosítunk természetes számés a számokat törtekre. Végül nézzük meg, hogyan oszthatunk el egy közös törtet vegyes számmal.

Oldalnavigáció.

Közönséges tört osztása közönséges törttel

Ismeretes, hogy az osztás a szorzás fordított művelete (lásd az osztás és szorzás összefüggését). Vagyis a felosztás magában foglalja a megtalálást ismeretlen szorzó, ha a termék és egy másik tényező ismert. Az osztás ugyanazt a jelentését őrzi meg a közönséges törtek osztásakor.

Nézzünk példákat a közönséges törtek felosztására.

Ne feledkezzünk meg a törtek csökkentéséről és az egész rész elválasztásáról a nem megfelelő törttől.

Tört elosztása természetes számmal

Azonnal adjuk Tört természetes számmal való osztásának szabálya: az a/b tört n természetes számmal való osztásához a számlálót változatlannak kell hagyni, és a nevezőt meg kell szorozni n-nel, azaz .

Ez az osztási szabály közvetlenül következik a közönséges törtek osztására vonatkozó szabályból. Valójában egy természetes szám törtként való ábrázolása a következő egyenlőségekhez vezet .

Nézzük meg a tört számmal való elosztásának példáját.

Példa.

Osszuk el a 16/45-öt a 12-es természetes számmal.

Megoldás.

A tört számmal való osztására vonatkozó szabály szerint megvan . Tegyük a rövidítést: . Ez a felosztás teljes.

Válasz:

.

Természetes szám osztása közönséges törttel

A törtek osztásának szabálya hasonló a természetes szám törttel való osztásának szabálya: ha egy n természetes számot el szeretne osztani az a/b közönséges törttel, meg kell szoroznia az n számot az a/b tört reciprokával.

A kimondott szabály szerint, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabálya lehetővé teszi, hogy átírjuk az alakba.

Nézzünk egy példát.

Példa.

Osszuk el a 25 természetes számot a 15/28 törttel.

Megoldás.

Térjünk át az osztásról a szorzásra, megvan . A teljes alkatrész kicsinyítése és kiválasztása után azt kapjuk, hogy .

Válasz:

.

Tört elosztása vegyes számmal

Tört elosztása vegyes számmal könnyen redukálható közönséges törtek osztására. Ehhez elég végrehajtani

Törtek szorzása és osztása.

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Ez a művelet sokkal szebb, mint az összeadás-kivonás! Mert az könnyebb. Emlékeztetőül: a tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálókat (ez lesz az eredmény számlálója) és a nevezőket (ez lesz a nevező). Azaz:

Például:

Minden rendkívül egyszerű. És kérlek, ne keress közös nevezőt! Itt nincs rá szükség...

Egy tört törttel való osztásához meg kell fordítani második(ez fontos!) tört, és szorozza meg őket, azaz:

Például:

Ha találkozik az egész számokkal és törtekkel való szorzással vagy osztással, az rendben van. Akárcsak az összeadásnál, egész számból törtet készítünk, amelynek nevezője eggyel szerepel – és hajrá! Például:

A középiskolában gyakran kell megküzdenie a háromemeletes (vagy akár négyemeletes!) törtekkel. Például:

Hogyan tehetem ezt a tört tisztességes megjelenést? Igen, nagyon egyszerű! Kétpontos osztás használata:

De ne feledkezzünk meg a felosztás rendjéről sem! A szorzással ellentétben itt ez nagyon fontos! Természetesen nem fogjuk összekeverni a 4:2-t és a 2:4-et sem. De egy három emeletes töredékben könnyű hibázni. Kérjük, vegye figyelembe például:

Az első esetben (kifejezés a bal oldalon):

A másodikban (kifejezés a jobb oldalon):

Érzi a különbséget? 4 és 1/9!

Mi határozza meg a felosztás sorrendjét? Vagy zárójelekkel, vagy (mint itt) a vízszintes vonalak hosszával. Fejleszd a szemed. És ha nincsenek zárójelek vagy kötőjelek, például:

majd oszd és szorozd sorrendben, balról jobbra!

És nagyon egyszerű és fontos technika. Fokozattal végzett akciókban nagyon hasznos lesz az Ön számára! Ossza el az egyiket tetszőleges törttel, például 13/15-tel:

A lövés megfordult! És ez mindig megtörténik. Ha 1-et tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört, csak fejjel lefelé.

Ennyi a törtekkel végzett műveleteknél. A dolog meglehetősen egyszerű, de több mint elég hibát ad. Kérjük, vegye figyelembe gyakorlati tanácsokat, és kevesebb lesz belőlük (hiba)!

Gyakorlati tippek:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség! Ez nem az gyakori szavak, nem jókívánságokat! Ez égető szükség! Végezzen minden számítást az egységes államvizsgán teljes értékű feladatként, koncentráltan és világosan. Jobb, ha két plusz sort írunk egy piszkozatba, mint ha fejben számolunk.

2. Példákban -val különböző típusok törtek - lépjen a közönséges törtekre.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg meg nem állnak.

4. Többszintes törtkifejezések két ponton keresztüli osztás segítségével közönségesekre redukáljuk (figyeljük az osztás sorrendjét!).

5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.

Itt vannak azok a feladatok, amelyeket feltétlenül el kell végeznie. A válaszok minden feladat után megérkeznek. Használja a témával kapcsolatos anyagokat és gyakorlati tippeket. Becsülje meg, hány példát tudott helyesen megoldani. Már az első alkalommal! Számológép nélkül! És vonja le a megfelelő következtetéseket...

Ne feledje – a helyes válasz az a második (főleg a harmadik) alkalomtól kapott nem számít! Ilyen a kemény élet.

Így, vizsga módban oldja meg ! Ez egyébként már felkészülés az egységes államvizsgára. Megoldjuk a példát, ellenőrizzük, megoldjuk a következőt. Mindent eldöntöttünk – újra ellenőriztük az elsőtől az utolsóig. És csak Majd nézd meg a válaszokat.

Számítsa ki:

döntöttél már?

Olyan válaszokat keresünk, amelyek megfelelnek a tiédnek. Szándékosan irtam le őket összevissza, úgymond távol a kísértéstől... Itt vannak, pontosvesszővel írva a válaszok.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Most vonjuk le a következtetéseket. Ha minden sikerült, örülök neked! A törtekkel végzett alapvető számítások nem a te problémád! Komolyabb dolgokat is csinálhatsz. Ha nem...

Tehát két probléma közül az egyik van. Vagy egyszerre mindkettő.) Tudáshiány és (vagy) figyelmetlenség. De... ezt megoldható problémákat.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Az óra tartalma

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása

A törtek összeadásának két típusa van:

1. Törtek hozzáadása -val ugyanazok a nevezők
2. Törtek hozzáadása -val különböző nevezők

Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz helytelen törtnek bizonyult. Ha eljön a feladat vége, akkor tól helytelen törtek Szokás megválni tőle. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. A mi esetünkben egész rész könnyen kiemelkedik - kettő osztva kettővel egyenlő eggyel:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és több pizzát ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig ugyanazok.

Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az elsőt további szorzó. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.

A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjuk össze a törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, így 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.

A kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:

Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:

Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajz egy töredéket (hatból négy darabot), a második pedig egy törtet (hatból három darabot) ábrázol. Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Kérjük, vegye figyelembe, hogy leírtuk ezt a példát túl részletes. IN oktatási intézményekben Nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:

De az éremnek van egy másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

1. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
2. Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
3. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
4. Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
5. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, válassza ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki a teljes részét

A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:

Választ kaptunk

Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása

A törtek kivonásának két típusa van:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Tegyük ezt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
2. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják át. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Először megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most térjünk vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:

Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:

Választ kaptunk

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz

Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):

Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fér el egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.

A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:

Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel

Választ kaptunk

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.

1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz

És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Választ kaptunk. Célszerű csökkenteni adott tört. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor végső döntést a következő formában lesz:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a félből kétharmadot kivenni? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy darab és az általunk kivett két darab azonos méretű lesz:

Más szóval, arról beszélünk körülbelül akkora pizza. Ezért a kifejezés értéke

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a legnagyobbkal közös osztó(GCD) 105 és 450 számok.

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:

Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel

Egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:

Reciprok számok

Most megismerkedünk nagyon érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.

Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:

Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.

Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.

Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.

Tört elosztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?

Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.

A törtek felosztása reciprok segítségével történik. A reciprok számok lehetővé teszik, hogy az osztást szorzással helyettesítsük.

Egy tört számmal való osztásához meg kell szoroznia a törtet az osztó inverzével.

Ezt a szabályt alkalmazva felírjuk a pizzafelünk felosztását két részre.

Tehát el kell osztani a törtet 2-vel. Itt az osztalék a tört, az osztó pedig a 2.

Ha el szeretne osztani egy tört 2-vel, ezt a törtet meg kell szoroznia a 2 osztó reciprokával. A 2 osztó reciproka a tört. Tehát szorozni kell vele

Megoldani különféle feladatokat matematika-fizika tantárgyból törteket kell osztani. Nagyon könnyű megtenni, ha tudod bizonyos szabályokat ezt csinálva matematikai művelet.

Mielőtt rátérnénk a törtek felosztására vonatkozó szabály megfogalmazására, emlékezzünk néhány matematikai kifejezésre:

1. A tört felső részét számlálónak, az alsó részét nevezőnek nevezzük.
2. Osztáskor a számokat a következőképpen hívjuk: osztó: osztó = hányados

Törtosztás: egyszerű törtek

A kettes osztás végrehajtása egyszerű törtek szorozzuk meg az osztalékot az osztó reciprokával. Ezt a törtet fordítottnak is nevezik, mert a számláló és a nevező felcserélésével kapjuk. Például:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

A törtek felosztása: vegyes törtek

Ha vegyes törteket kell osztanunk, akkor itt is minden elég egyszerű és világos. Először a kevert törtet alakítjuk át szabályos nem megfelelő törtté. Ehhez szorozzuk meg egy ilyen tört nevezőjét egy egész számmal, és adjuk hozzá a számlálót a kapott szorzathoz. Ennek eredményeként új számlálót kaptunk vegyes frakció, és a nevezője változatlan marad. Továbbá a törtek felosztása pontosan ugyanúgy történik, mint az egyszerű törtek felosztása. Például:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Hogyan kell elosztani egy törtet egy számmal

Egy egyszerű tört számmal való osztásához az utóbbit törtként (szabálytalanul) kell írni. Ez nagyon egyszerű: a számláló helyére ez a szám van írva, és egy ilyen tört nevezője egyenlő eggyel. A további felosztás a szokásos módon történik. Nézzük ezt egy példával:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Hogyan kell osztani a tizedesjegyeket

Gyakran egy felnőttnek nehézséget okoz egy egész szám vagy egy tizedes tört elosztása tizedes törttel számológép segítsége nélkül.

Tehát az osztás elvégzéséhez tizedesjegyek, csak át kell húzni a vesszőt az osztóban, és nem kell figyelni rá. Az osztalékban a vesszőt pontosan annyi helyre kell jobbra mozgatni, amennyi az osztó törtrészében volt, szükség esetén nullákat hozzáadva. És folytatják a termelést szabályos felosztás egész számmal. Ennek egyértelműbbé tétele érdekében vegye figyelembe a következő példát.

A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket életükön keresztül, hiszen a mindennapi életben gyakran nem egészben, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet egy termék hosszát vagy árát egész számként kifejezni, figyelembe kell venni valamilyen mértékegységet. A „hasadás” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó a 8. században jelent meg az orosz nyelvben.

Törtkifejezések hosszú ideig a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.

Modern megjelenés az egyszerű töredékmaradványokat, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci – pisai Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan szorozzák a különböző nevezőkkel rendelkező vegyes törteket.

Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása

Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:

• helyes;
• helytelen;
• vegyes.

Ezután emlékeznie kell arra, hogy az azonos nevezővel rendelkező törtszámok hogyan szorozódnak. Ennek a folyamatnak a szabályát nem nehéz önállóan megfogalmazni: az azonos nevezővel rendelkező egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, amelynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Azaz lényegében új nevező van egy négyzet az eredetileg meglévők közül.

Szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Az egyetlen különbség az alakult szám alatt vágás különböző számok szorzata lesz, és természetesen az egy négyzete numerikus kifejezés lehetetlen megnevezni.

Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket alkalmaznak. A számláló számokat csak akkor lehet kicsinyíteni, ha a nevező számok egymás mellett vannak szorzót ér Nem lehet rövidíteni a törtvonal felett vagy alatt.

Az egyszerűvel együtt törtszámok, létezik a vegyes törtek fogalma. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hogyan működik a szorzás?

Több példa is megfontolandó.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, ennek a műveletnek a szabálya a következőképpen írható fel:

a* b/c = a*b /c.

Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Van egy másik megoldás egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:

d* e/f = e/f: d.

Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt elosztjuk egy maradék nélküli természetes számmal, vagy ahogy mondják, egész számmal.

Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ez a példa egy vegyes tört helytelen törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, de úgy is ábrázolható, mint általános képlet:

a bc = a*b+ c / c, ahol az új tört nevezőjét úgy alakítjuk ki, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel, és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.

Ez a folyamat is működik hátoldal. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.

Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.

Az interneten számos segítő található még bonyolult problémák megoldására is. matematikai feladatok különféle programváltozatokban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a törtek szorzásának megszámlálásához különböző számok nevezőkben - úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nemcsak szorozni, hanem minden más egyszerű aritmetikai műveletet is elvégezni vele közönséges törtekÉs vegyes számok. Könnyű vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a weboldalon, válassza ki a matematikai művelet jelét, és kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.

Téma aritmetikai műveletek a törtszámokkal a közép- és középiskolások oktatása során végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész számú tört kifejezések, de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. Jól tanult alapismeretek teljes bizalmat adni sikeres döntést legtöbb összetett feladatok.

Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete