A valószínűségi képlet és önmaguk magyarázata. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

12. rész Valószínűségszámítás.

1. Bevezetés

2. A valószínűségszámítás legegyszerűbb fogalmai

3. Eseményalgebra

4. Egy véletlenszerű esemény valószínűsége

5. Geometriai valószínűségek

6. Klasszikus valószínűségek. Kombinatorikai képletek.

7. Feltételes valószínűség. Az események függetlensége.

8. Képlet teljes valószínűséggelés Bayes képletek

9. Ismételt vizsgálati séma. Bernoulli formula és aszimptotikája

10. Véletlenszerű változók (RV)

11. DSV terjesztési sorozat

12. Kumulatív eloszlásfüggvény

13. NSV eloszlási függvény

14. NSV valószínűségi sűrűsége

15. Numerikus jellemzők valószínűségi változók

16. Példák fontos elosztások NE

16.1. Binomiális eloszlás DSV.

16.2. Poisson-eloszlás

16.3. Az NSV egyenletes eloszlása.

16.4. Normál eloszlás.

17. Határtételek valószínűségelmélet.

Bevezetés

A valószínűségszámítás, mint sok más matematikai tudományág, a gyakorlat szükségleteiből fejlődött ki. Ugyanakkor egy valós folyamat tanulmányozása során szükség volt a valós folyamat absztrakt matematikai modelljének megalkotására. Általában a fő, legjelentősebb mozgatórugói valós folyamat, figyelmen kívül hagyva a másodlagosakat, amelyeket véletlennek neveznek. Az persze külön feladat, hogy mi számít főnek és mi másodlagosnak. A kérdés megoldása határozza meg az absztrakció, az egyszerűség vagy a bonyolultság szintjét matematikai modellés a modell megfelelőségi szintje valódi folyamat. Lényegében minden absztrakt modell két ellentétes törekvés eredménye: az egyszerűség és a valóságnak való megfelelés.

Például a lövéselméletben meglehetősen egyszerű és kényelmes képleteket dolgoztak ki a lövedék repülési útvonalának meghatározására egy ponton elhelyezett fegyverből (1. ábra).

IN bizonyos feltételeket az említett elmélet elegendő például a tömeges tüzérségi bombázások során.

Nyilvánvaló azonban, hogy ha egy fegyverből a ugyanazok a feltételek adj le több lövést, a pályák közel lesznek, de mégis mások. Ha pedig a célméret kicsi a szóródási területhez képest, akkor konkrét kérdések merülnek fel kifejezetten a javasolt modellben nem vett tényezők hatásával kapcsolatban. Ugyanakkor további tényezők figyelembevétele túlságosan összetett modellhez vezet, amelyet szinte lehetetlen használni. Ezen kívül sok ilyen véletlenszerű tényező létezik, természetük legtöbbször ismeretlen.

A fenti példában olyan konkrét kérdések, amelyek túlmutatnak determinisztikus modell, például a következők: hány lövést kell leadni ahhoz, hogy bizonyos magabiztosság(például be) garantálja a célpont vereségét? hogyan kell lövöldözni annak érdekében, hogy a cél eltalálására költsenek legkisebb mennyiségben kagylók? stb.

Ahogy később látni fogjuk, a „véletlenszerű” és a „valószínűség” szavak szigorúbbakká válnak matematikai kifejezések. A mindennapi életben azonban nagyon gyakoriak köznyelvi beszéd. Úgy gondolják, hogy a „véletlen” melléknév a „természetes” ellentéte. Ez azonban nem így van, mert a természet úgy van kialakítva, hogy a véletlenszerű folyamatok mintákat tárnak fel, de bizonyos feltételek mellett.

A fő feltétel az ún tömegjelleg.

Például, ha feldob egy érmét, nem tudja megjósolni, hogy mi fog megjelenni, címert vagy számot, csak találgathat. Ha azonban feldobja ezt az érmét nagy számban szorzata annak, hogy a címer kiesésének aránya nem sokban tér el egy bizonyos 0,5-hez közeli számtól (a továbbiakban ezt a számot valószínűségnek nevezzük). Ráadásul a dobások számának növekedésével az ettől a számtól való eltérés is csökkenni fog. Ezt a tulajdonságot ún stabilitásátlagos mutatók (in ebben az esetben- címerrészvények). El kell mondanunk, hogy a valószínűségszámítás első lépéseiben, amikor a gyakorlatban is ellenőrizni kellett a stabilitás tulajdonságának meglétét, még a nagy tudósok sem tartották nehéznek saját ellenőrzésüket. Így Buffon jól ismert kísérlete, aki 4040-szer dobott fel egy érmét, és 2048-szor került elő a címer, ezért a tört (ill. relatív gyakoriság) a címer 0,508, ami intuitívan közel áll a várt 0,5 számhoz.

Ezért a meghatározást általában megadják a valószínűségszámítás tárgya, mint a matematikának a tömeg törvényeit vizsgáló ága véletlenszerű folyamatok.

El kell mondanunk, hogy annak ellenére, hogy a valószínűségszámítás legnagyobb vívmányai a múlt század elejére nyúlnak vissza, különösen annak köszönhetően, axiomatikus konstrukció elméletek A.N. munkáiban. Kolmogorov (1903-1987) érdeklődése a balesetek tanulmányozása iránt már régen megjelent.

A kezdeti érdeklődés a szerencsejátékok számszerű megközelítésére irányult. A valószínűségszámítás első egészen érdekes eredményeit általában L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) és N. Tartaglia (1556) munkáihoz kötik.

Később B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) rakták le az alapokat klasszikus elmélet valószínűségek. A 18. század elején J. Bernoulli (1654-1705) kialakította a véletlen esemény valószínűségének fogalmát, mint a kedvező esélyek számának és az összes lehetséges esély számának arányát. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) a halmaz mértéke fogalmának használatára építette elméletét.

A halmazelméleti nézőpontot a legteljesebb formában 1933-ban mutatták be. A.N. Kolmogorov „A valószínűségszámítás alapfogalmai” című monográfiájában. Ettől a pillanattól kezdve a valószínűségszámítás szigorú matematikai tudománnyá válik.

Nagyszerű hozzájárulás Az orosz matematikusok, P.L., hozzájárultak a valószínűségszámítás kidolgozásához. Csebisev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) és mások.

A valószínűségszámítás napjainkban rohamosan fejlődik.

A valószínűségszámítás legegyszerűbb fogalmai

Mint minden matematikai tudományág, a valószínűségszámítás is a legegyszerűbb fogalmak bevezetésével kezdődik, amelyeket nem definiálnak, hanem csak megmagyaráznak.

Az egyik fő elsődleges fogalom az tapasztalat. A tapasztalat alatt olyan feltételeket értünk, amelyek korlátlan számú alkalommal reprodukálhatók. A komplexum minden egyes megvalósítását tapasztalatnak vagy tesztnek fogjuk nevezni. A kísérlet eredményei eltérőek lehetnek, és itt nyilvánul meg a véletlenszerűség eleme. Egy élmény különféle eredményeit vagy kimeneteit nevezzük eseményeket(vagy inkább véletlenszerű események). Így a kísérlet végrehajtása során előfordulhat ilyen vagy olyan esemény. Más szavakkal, egy véletlen esemény egy kísérlet eredménye, amely előfordulhat (megjelenhet), vagy nem következik be a kísérlet végrehajtása során.

A tapasztalatokat betűvel jelöljük, a véletlenszerű eseményeket pedig általában nagybetűkkel

Egy kísérlet során gyakran előre azonosítható a legegyszerűbbnek nevezhető, egyszerűbbre nem bontható kimenetel. Az ilyen eseményeket ún elemi események(vagy esetek).

1. példa Hagyja feldobni az érmét. A kísérlet eredménye: a címer elvesztése (ezt az eseményt betűvel jelöljük); egy szám elvesztése (jellel ). Ekkor írhatjuk: tapasztalat = (érmefeldobás), eredmények: Világos, hogy ebben a kísérletben az elemi események. Más szóval, a tapasztalat összes elemi eseményének felsorolása teljesen leírja azt. Ezzel kapcsolatban azt fogjuk mondani, hogy a tapasztalat az elemi események tere, esetünkben a tapasztalat röviden a következő formában írható fel: = (érmefeldobás) = (G; C).

2. példa. =(az érmét kétszer dobják fel)= Íme az élmény szóbeli leírása és az összes elemi esemény felsorolása: ez azt jelenti, hogy először az érme első feldobásakor címer hullott, a másodikra ​​pedig a címer is; azt jelenti, hogy az érme első dobásánál a címer, a másodikon a szám, stb.

3. példa A koordinátarendszerben a pontok egy négyzetbe kerülnek. Ebben a példában az elemi események olyan pontok, amelyek koordinátái kielégítik az adott egyenlőtlenségeket. Ez röviden le van írva alábbiak szerint:

A göndör zárójelben lévő kettőspont azt jelenti, hogy pontokból áll, de nem bármelyikből, hanem csak azokból, amelyek megfelelnek a kettőspont után megadott feltételnek (vagy feltételeknek) (példánkban ezek egyenlőtlenségek).

4. példa Az érmét addig dobják, amíg meg nem jelenik az első címer. Más szóval, az érmefeldobás addig folytatódik, amíg a fejet le nem érik. Ebben a példában elemi események is felsorolhatók, bár azok végtelen szám:

Vegyük észre, hogy a 3. és 4. példában az elemi események terének végtelen számú végeredménye van. A 4. példában felsorolhatók, pl. újraszámolni. Az ilyen halmazt megszámlálhatónak nevezzük. A 3. példában a tér megszámlálhatatlan.

Vessünk még két olyan eseményt, amelyek minden tapasztalatban jelen vannak, és amelyek nagy elméleti jelentőséggel bírnak.

Nevezzük az eseményt lehetetlen, kivéve, ha a tapasztalat eredményeként szükségszerűen nem következik be. Jellel fogjuk jelölni üres készlet. Ellenkezőleg, egy olyan eseményt, amely a tapasztalat eredményeként biztosan bekövetkezik, ún megbízható. A megbízható eseményt ugyanúgy jelöljük, mint magát az elemi események terét – betűvel.

Például dobáskor dobókocka egy esemény (9 pontnál kevesebbet dob) megbízható, egy esemény (pontosan 9 pont dobása) pedig lehetetlen.

Tehát az elemi események tere megadható szóbeli leírás, amely felsorolja az összes elemi eseményét, megadva azokat a szabályokat vagy feltételeket, amelyek alapján az összes elemi eseményét megkapjuk.

Események algebra

Eddig csak az elemi eseményekről beszéltünk, mint a tapasztalat közvetlen eredményeiről. A tapasztalat keretein belül azonban az elemieken kívül egyéb véletlenszerű eseményekről is beszélhetünk.

5. példa Kockadobásnál az egy, kettő,..., hatos elemi eseményeken kívül más eseményekről is beszélhetünk: (páros szám), (páratlan szám), (három többszöröse), (4-nél kisebb szám) stb. IN ebben a példában Ezek az események a szóbeli feladaton kívül az elemi események felsorolásával adhatók meg:

Az új események létrehozása elemi, valamint más eseményekből az eseményeken végzett műveletek (vagy műveletek) segítségével történik.

Meghatározás. Két esemény szorzata egy olyan esemény, amely abban áll, hogy egy kísérlet eredményeként megtörténik És esemény, És esemény, azaz mindkét esemény együtt (egyidejűleg) fog bekövetkezni.

A termékjelet (pontot) gyakran kihagyják:

Meghatározás. Két esemény összege egy olyan esemény, amely abban áll, hogy a kísérlet eredményeként meg fog történni vagy esemény, vagy esemény, vagy mindkettő együtt (egy időben).

Mindkét definícióban szándékosan hangsúlyoztuk a kötőszavakat ÉsÉs vagy- annak érdekében, hogy felhívja az olvasó figyelmét a beszédére a problémák megoldása során. Ha az „és” kötőszót kiejtjük, akkor arról beszélünk események bekövetkezéséről; Ha a „vagy” kötőszót ejtik, akkor az eseményeket hozzá kell adni. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy a „vagy” kötőszó in mindennapi beszéd gyakran abban az értelemben használják, hogy a kettő közül az egyiket kizárják: „csak vagy csak”. A valószínűségszámításban ilyen kivételt nem feltételezünk: és , és , és egy esemény bekövetkezését jelenti

Ha az elemi események felsorolása adja meg, akkor összetett események a fenti műveletek segítségével könnyen beszerezhető. A megszerzéséhez meg kell találni az összes elemi eseményt, amely mindkét eseményhez tartozik, ha nincs, akkor az Események összegét is könnyű összeállítani: vegyük a két esemény bármelyikét, és adjuk hozzá azokat az elemi eseményeket. a többi esemény, amely nem szerepel az elsőben.

Az 5. példában különösen azt kapjuk

A bevezetett műveleteket binárisnak nevezzük, mert két eseményre van meghatározva. A következő (egyetlen eseményre definiált) unáris műveletnek nagy jelentősége van: az eseményt ún szemben esemény, ha abból áll, hogy ebben az élményben az esemény nem következett be. A definícióból világos, hogy minden eseménynek és ellentétének van a következő tulajdonságokat: A beírt művelet meghívásra kerül kiegészítés események A.

Ebből következik, hogy ha elemi események felsorolásával adjuk meg, akkor az esemény specifikációjának ismeretében könnyen beszerezhető, hogy az a tér összes elemi eseményéből áll, amelyek nem tartoznak például az eseményhez

Ha nincsenek zárójelek, akkor a következő prioritás van beállítva a műveletek végrehajtása során: összeadás, szorzás, összeadás.

Tehát a bevezetett műveletek segítségével az elemi események tere feltöltődik más véletlenszerű eseményekkel, amelyek az ún. események algebra.

6. példa. A lövő három lövést adott le a célpontra. Tekintsük az eseményeket = (a lövő akkor találta el a célt i-edik lövés), i = 1,2,3.

Ezekből az eseményekből állítsunk össze néhány eseményt (ne feledkezzünk meg az ellenkezőekről sem). Nem adunk hosszas megjegyzéseket; Úgy gondoljuk, hogy az olvasó önállóan fogja levezetni őket.

B esemény = (mindhárom lövés célt talált). További részletek: B = ( És első, És második, És a harmadik lövés célt talált). Használt unió És, ezért az események megsokszorozódnak:

Hasonlóképpen:

C = (egyik lövés sem találta el a célt)

E = (egy lövés elérte a célt)

D = (céltalálat a második lövésnél) = ;

F = (két lövés eltalálta a célt)

N = (legalább egy találat eltalálja a célt)

Mint ismeretes, a matematikában nagy érték elemző objektumok, fogalmak és képletek geometriai értelmezésével rendelkezik.

Valószínűségelméletben kényelmes vizuális ábrázolás(geometriai értelmezése) tapasztalatok, véletlenszerű események és az azokon végzett műveletek formájában ún Euler-Venn diagramok. A lényeg az, hogy minden tapasztalatot egy bizonyos négyzetbe dobott pontokkal azonosítunk (értelmezzünk). A pontok véletlenszerűen kerülnek kidobásra, így minden pontnak egyenlő esélye van arra, hogy bárhol leszálljon a négyzetben. A négyzet meghatározza a kérdéses élmény kereteit. Az élményen belül minden esemény a tér egy bizonyos területével azonosítható. Más szavakkal, egy esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy egy véletlen pont a betűvel jelölt területre esik. Ekkor az eseményekkel végzett műveletek geometriailag könnyen értelmezhetők (2. ábra).

V:

A + B: bármilyen

kikelés

A 2. a) ábrán az érthetőség kedvéért az A eseményt függőleges, a B eseményt vízszintes árnyékolással emeljük ki. Ekkor a szorzási művelet egy kettős sraffozásnak felel meg - az esemény a négyzet azon részének felel meg, amelyet kettős sraffozás borít. Sőt, ha hívják összeférhetetlen események. Ennek megfelelően az összeadás művelete bármilyen sraffozásnak megfelel - az esemény a négyzet bármely sraffozással árnyékolt részét jelenti - függőleges, vízszintes és dupla. A 2. b) ábrán az eseménynek a négyzet árnyékolt része felel meg - minden, ami nem szerepel a területen A beírt műveletek a következők: főbb tulajdonságait, amelyek közül néhány érvényes az azonos nevű számokkal végzett műveletekre, de vannak speciálisak is.

1 0 . a szorzás kommutativitása;

2 0 . az összeadás kommutativitása;

3 0 . a szorzás asszociativitása;

4 0 . összeadás asszociativitás,

5 0 . a szorzás eloszlása ​​az összeadáshoz viszonyítva,

6 0 . az összeadás eloszlása ​​a szorzáshoz viszonyítva;

9 0 . de Morgan kettősségi törvényei,

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

7. példa. Iván és Péter megegyezett, hogy például T órás időintervallumban találkoznak, (0,T). Egyúttal megállapodtak abban is, hogy a találkozóra érkezéskor mindegyikük legfeljebb egy órát várja a másikat.

Adjunk ennek a példának egy geometriai értelmezést. Jelöljük: Iván találkozóra érkezésének idejét; Péter érkezési ideje a találkozóra. Megállapodás szerint: 0 . Ekkor a koordinátarendszerben ezt kapjuk: = Könnyen észrevehető, hogy példánkban az elemi események tere négyzet. 1

0 x a négyzet azon részének felel meg, amely ezen egyenes felett helyezkedik el. Hasonlóképpen, a második egyenlőtlenség y≤x+ és; és nem működik, ha nem működik minden elem, pl. .Így a kettősség de Morgan második törvénye: akkor valósul meg, ha az elemek párhuzamosan kapcsolódnak.

A fenti példa bemutatja, hogy a valószínűségszámítást miért használják széles körben a fizikában, különösen a valós műszaki eszközök megbízhatóságának kiszámításakor.

Sokan, amikor szembesülnek a „valószínűségelmélet” fogalmával, megijednek, és azt gondolják, hogy ez valami elsöprő, nagyon összetett dolog. De valójában nem minden olyan tragikus. Ma megvizsgáljuk a valószínűségszámítás alapfogalmát, és megtanuljuk, hogyan kell konkrét példákon keresztül megoldani a problémákat.

Tudomány

Mit tanulmányoz a matematikának egy olyan ága, mint a „valószínűségszámítás”? Megjegyzi a mintákat és a mennyiségeket. A tudósokat először a tizennyolcadik században kezdte érdekelni ez a kérdés, amikor tanulmányozták szerencsejáték. A valószínűségszámítás alapfogalma egy esemény. Bármilyen tény, amelyet tapasztalat vagy megfigyelés állapít meg. De mi a tapasztalat? A valószínűségszámítás másik alapfogalma. Ez azt jelenti, hogy ez a körülmény nem véletlenül jött létre, hanem azzal konkrét cél. Ami a megfigyelést illeti, itt maga a kutató nem vesz részt a kísérletben, hanem egyszerűen tanúja ezeknek az eseményeknek, semmilyen módon nem befolyásolja a történéseket.

Események

Megtudtuk, hogy a valószínűségszámítás alapfogalma egy esemény, de nem vettük figyelembe az osztályozást. Mindegyik a következő kategóriákba sorolható:

• Megbízható.
• Lehetetlen.
• Véletlen.

Függetlenül attól, hogy milyen eseményekről van szó, amelyeket megfigyeltek vagy hoztak létre az élmény során, mindegyikre vonatkozik ez a besorolás. Meghívjuk Önt, hogy ismerkedjen meg minden típussal külön-külön.

Megbízható rendezvény

Ez egy olyan körülmény, amelyre a szükséges intézkedéscsomagot megtették. A lényeg jobb megértése érdekében jobb néhány példát hozni. Fizika, kémia, közgazdaságtan és felsőbb matematika. A valószínűségszámítás ezt tartalmazza fontos fogalom megbízható eseményként. Íme néhány példa:

• Dolgozunk és bér formájában kapunk ellenszolgáltatást.
• Jól vizsgáztunk, sikeresen teljesítettük a versenyt, ezért jutalmat kapunk felvételi formájában oktatási intézmény.
• Pénzt fektettünk a bankba, és ha kell, visszakapjuk.

Az ilyen események megbízhatóak. Ha mindent befejeztünk szükséges feltételeket, akkor biztosan megkapjuk a várt eredményt.

Lehetetlen események

Most a valószínűségszámítás elemeit vizsgáljuk. Javasoljuk, hogy térjünk át a következő eseménytípus, nevezetesen a lehetetlen magyarázatára. Kezdésként határozzuk meg a legtöbbet fontos szabály- a lehetetlen esemény valószínűsége nulla.

Ettől a megfogalmazástól nem lehet eltérni a problémák megoldása során. Az egyértelműség kedvéért íme példák az ilyen eseményekre:

• A víz plusz tíz hőmérsékleten megfagyott (ez lehetetlen).
• A villamos energia hiánya semmilyen módon nem befolyásolja a termelést (ugyanúgy lehetetlen, mint az előző példában).

Nem érdemes több példát hozni, hiszen a fent leírtak nagyon világosan tükrözik ennek a kategóriának a lényegét. Lehetetlen esemény soha semmilyen körülmények között nem fog bekövetkezni a kísérlet során.

Véletlenszerű események

A valószínűségszámítás elemeinek tanulmányozása, különös figyelmetérdemes odafigyelni ezt a fajt eseményeket. Ezeket tanulmányozza ezt a tudományt. Az élmény hatására történhet valami, vagy nem. Ezenkívül a teszt elvégezhető korlátlan mennyiségben egyszer. Élénk példák szolgálhat:

• Az érme feldobása élmény vagy próbatétel, a fejek leszállása esemény.
• A zsákból vakon kihúzni egy próbatétel, és így tovább.

Korlátlan számú ilyen példa lehet, de általában a lényegnek világosnak kell lennie. Az eseményekről szerzett ismeretek összegzésére és rendszerezésére táblázatot adunk. A valószínűségszámítás csak az utolsó típust vizsgálja az összes bemutatott közül.

Név	meghatározás
Megbízható	Olyan események, amelyek bizonyos feltételek teljesülése esetén 100%-os garanciával fordulnak elő.	Jó felvételi vizsga esetén felvétel oktatási intézménybe.
Lehetetlen	Események, amelyek soha, semmilyen körülmények között nem fognak megtörténni.	Plusz harminc Celsius-fokos léghőmérséklet mellett havazik.
Véletlen	Esemény, amely egy kísérlet/teszt során előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem.	Találat vagy kihagyás, amikor egy kosárlabdát karikába dobnak.

Törvények

A valószínűségszámítás egy olyan tudomány, amely egy esemény bekövetkezésének lehetőségét vizsgálja. A többihez hasonlóan ennek is vannak szabályai. A következő valószínűségszámítási törvények léteznek:

• Valószínűségi változók sorozatainak konvergenciája.
• A nagy számok törvénye.

Valami összetett lehetőség kiszámításakor egyszerű események komplexét használhatja, hogy könnyebben és könnyebben elérje az eredményt. gyors út. Megjegyzendő, hogy a törvények bizonyos tételekkel könnyen bebizonyíthatók. Javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg az első törvénnyel.

Valószínűségi változók sorozatainak konvergenciája

Vegye figyelembe, hogy a konvergenciának többféle típusa van:

• A valószínűségi változók sorozata valószínűség szerint konvergál.
• Szinte lehetetlen.
• Átlagos négyzetkonvergencia.
• Eloszlási konvergencia.

Tehát rögtön nagyon nehéz megérteni a lényeget. Íme a definíciók, amelyek segítenek megérteni ezt a témát. Kezdjük az első nézettel. A sorozat az ún valószínűség szerint konvergens, ha találkozunk következő feltétel: n a végtelenbe hajlik, az a szám, amelyre a sorozat hajlik, nagyobb nullánálés közel áll az egységhez.

Menjünk tovább következő nézet,szinte biztosan. A sorozat állítólag konvergál szinte biztosan egy valószínűségi változóhoz, ahol n a végtelenbe, P pedig egységhez közeli értékre hajlik.

A következő típus az átlagos négyzetes konvergencia. Az SC konvergencia alkalmazásakor a vektoros véletlenszerű folyamatok vizsgálata a koordináta véletlenszerű folyamataik vizsgálatára redukálódik.

Még egy utolsó típus maradt, nézzük meg röviden, hogy közvetlenül a problémák megoldására térjünk át. Az elosztási konvergenciának van egy másik neve - „gyenge”, majd tovább magyarázzuk, miért. Gyenge konvergencia az eloszlásfüggvények konvergenciája a korlátozó eloszlásfüggvény folytonosságának minden pontján.

Mindenképpen betartjuk ígéretünket: a gyenge konvergencia abban különbözik a fentiektől valószínűségi változó számára nincs meghatározva valószínűségi tér. Ez azért lehetséges, mert a feltételt kizárólag eloszlási függvények segítségével alakítjuk ki.

A nagy számok törvénye

A valószínűségszámítás tételei, mint pl.

• Csebisev egyenlőtlensége.
• Csebisev tétele.
• Általánosított Csebisev-tétel.
• Markov tétele.

Ha mindezeket a tételeket figyelembe vesszük, akkor ezt a kérdést több tucat lapig is eltarthat. Fő feladatunk a valószínűségszámítás gyakorlati alkalmazása. Javasoljuk, hogy ezt azonnal tegye meg. De előtte nézzük meg a valószínűségszámítás axiómáit, ők lesznek a fő asszisztensek a problémák megoldásában.

Axiómák

Az elsővel már akkor találkoztunk, amikor lehetetlen eseményről beszéltünk. Ne feledjük: a lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Nagyon szemléletes és emlékezetes példát adtunk: harminc Celsius-fokos léghőmérsékletnél esett a hó.

A második a következő: egy megbízható esemény bekövetkezik valószínűséggel egyenlő eggyel. Most megmutatjuk, hogyan kell ezt matematikai nyelven írni: P(B)=1.

Harmadszor: Egy véletlenszerű esemény megtörténhet, de előfordulhat, hogy nem, de a lehetőség mindig nullától egyig terjed. Minél közelebb van az érték egyhez, annál nagyobb az esély; ha az érték megközelíti a nullát, annak a valószínűsége nagyon kicsi. Ezt írjuk le matematikai nyelv: 0<Р(С)<1.

Tekintsük az utolsó, negyedik axiómát, amely így hangzik: két esemény összegének valószínűsége megegyezik azok valószínűségeinek összegével. Matematikai nyelven írjuk: P(A+B)=P(A)+P(B).

A valószínűségszámítás axiómái a legegyszerűbb szabályok, amelyeket nem nehéz megjegyezni. Próbáljunk meg néhány problémát megoldani a már megszerzett ismereteink alapján.

Sorsjegy

Először is nézzük a legegyszerűbb példát - egy lottót. Képzeld el, hogy vettél egy lottószelvényt a szerencse kedvéért. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább húsz rubelt nyer? Összesen ezer jegyet vonnak be a forgalomba, ezek közül egynek ötszáz rubel a nyeremény, tíznek száz rubel, ötvennek húsz rubel, száznak pedig öt. A valószínűségi problémák a szerencse lehetőségének megtalálásán alapulnak. Most együtt elemezzük a fenti feladat megoldását.

Ha az A betűt használjuk az ötszáz rubel nyeremény jelölésére, akkor az A megszerzésének valószínűsége 0,001 lesz. Hogyan kaptuk ezt? Csak el kell osztani a „szerencsés” jegyek számát a teljes számukkal (jelen esetben: 1/1000).

B egy száz rubel nyeremény, a valószínűség 0,01 lesz. Most ugyanazon az elven jártunk el, mint az előző akcióban (10/1000)

C - a nyeremény húsz rubel. Megtaláljuk a valószínűséget, egyenlő 0,05-tel.

A fennmaradó jegyekre nem vagyunk kíváncsiak, mivel nyereményalapjuk kevesebb, mint a feltételben meghatározott. Alkalmazzuk a negyedik axiómát: A legalább húsz rubel nyerési valószínűsége P(A)+P(B)+P(C). A P betű egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöli, amelyet már korábban is találtunk. Nincs más hátra, mint összeadni a szükséges adatokat, és a válasz 0,061. Ez a szám lesz a válasz a feladat kérdésére.

Kártya pakli

A valószínűségszámítás problémái bonyolultabbak lehetnek, vegyük például a következő feladatot. Előtted van egy harminchat lapból álló pakli. Az Ön feladata, hogy két lapot húzzon egymás után a pakli megkeverése nélkül, az első és a második lapnak ásznak kell lennie, a szín nem számít.

Először is keressük meg annak valószínűségét, hogy az első lap ász lesz, ehhez osztunk négyet harminchattal. Félretették. Kivesszük a második lapot, három harmincötöd valószínűségű ász lesz. A második esemény valószínűsége attól függ, hogy melyik lapot húztuk először, kíváncsiak vagyunk, hogy ász volt-e vagy sem. Ebből az következik, hogy B esemény az A eseménytől függ.

A következő lépés az egyidejű bekövetkezés valószínűségének meghatározása, azaz megszorozzuk A-t és B-t. A szorzatukat a következőképpen kapjuk meg: az egyik esemény valószínűségét megszorozzuk egy másik esemény feltételes valószínűségével, amit kiszámítunk, feltételezve, hogy az első esemény történt, vagyis az első lappal ászt húztunk.

Hogy minden világos legyen, adjunk egy ilyen elemet eseményeknek. Kiszámítása feltételezve, hogy A esemény bekövetkezett. Kiszámítása a következőképpen történik: P(B/A).

Folytassuk a feladat megoldását: P(A * B) = P(A) * P(B/A) vagy P(A * B) = P(B) * P(A/B). A valószínűség egyenlő: (4/36) * ((3/35)/(4/36). A legközelebbi századra kerekítéssel számolunk. A következőt kaptuk: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Annak a valószínűsége, hogy egymás után két ászt húzunk, nagyon kicsi az érték, ami azt jelenti, hogy az esemény bekövetkezésének valószínűsége rendkívül kicsi.

Elfelejtett szám

Javasoljuk további, a valószínűségszámítás által vizsgált feladatváltozatok elemzését. Ebben a cikkben már láthatott néhány példát ezek megoldására. Próbáljuk meg megoldani a következő problémát: a fiú elfelejtette barátja telefonszámának utolsó számjegyét, de mivel a hívás nagyon fontos volt, elkezdett egyenként tárcsázni. . Ki kell számolnunk annak a valószínűségét, hogy legfeljebb háromszor fog hívni. A probléma megoldása akkor a legegyszerűbb, ha ismerjük a valószínűségszámítás szabályait, törvényeit és axiómáit.

Mielőtt megnézné a megoldást, próbálja meg saját maga megoldani. Tudjuk, hogy az utolsó számjegy lehet nullától kilencig, azaz összesen tíz érték. Annak a valószínűsége, hogy megkapja a megfelelőt, 1/10.

Ezután mérlegelnünk kell az esemény eredetének lehetőségeit, tegyük fel, hogy a fiú jól tippelt, és azonnal beírta a megfelelőt, egy ilyen esemény valószínűsége 1/10. Második lehetőség: az első hívás kimarad, a második pedig célba ért. Számítsuk ki egy ilyen esemény valószínűségét: szorozzuk meg a 9/10-et 1/9-cel, és ennek eredményeként szintén 1/10-et kapunk. A harmadik lehetőség: az első és a második hívásról kiderült, hogy rossz címre érkezett, csak a harmadikkal jutott oda a fiú, ahová akart. Kiszámoljuk egy ilyen esemény valószínűségét: 9/10 szorozva 8/9-el és 1/8-cal, így 1/10-et kapunk. A probléma körülményei szerint más lehetőségek nem érdekelnek, így csak össze kell adnunk a kapott eredményeket, a végén 3/10-et kapunk. Válasz: annak a valószínűsége, hogy a fiú legfeljebb háromszor fog hívni, 0,3.

Kártyák számokkal

Kilenc kártya van előtted, mindegyikre egytől kilencig egy szám van írva, a számok nem ismétlődnek. Dobozba rakták és alaposan összekeverték. Ki kell számolni annak a valószínűségét

• páros szám jelenik meg;
• két számjegyű.

Mielőtt rátérnénk a megoldásra, határozzuk meg, hogy m a sikeres esetek száma, n pedig az összes opció száma. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a szám páros lesz. Nem lesz nehéz kiszámolni, hogy négy páros szám van, ez lesz a mi m-ünk, összesen kilenc lehetőség van, azaz m=9. Ekkor a valószínűség 0,44 vagy 4/9.

Tekintsük a második esetet: az opciók száma kilenc, és egyáltalán nem lehet sikeres kimenet, azaz m egyenlő nullával. Annak a valószínűsége, hogy a kihúzott kártya kétjegyű számot tartalmaz, szintén nulla.

A valóságban vagy a képzeletünkben megtörtént események 3 csoportra oszthatók. Ezek bizonyos események, amelyek biztosan meg fognak történni, lehetetlen események és véletlenszerű események. A valószínűségszámítás véletlenszerű eseményeket vizsgál, pl. események, amelyek megtörténhetnek, vagy meg sem. Ez a cikk röviden bemutatja a valószínűségi képletek elméletét és a valószínűségszámítási feladatok megoldási példáit, amelyek az Egységes Államvizsga matematika (profilszint) 4. feladatában szerepelnek.

Miért van szükség a valószínűségszámításra?

Történelmileg ezeknek a problémáknak az igénye a 17. században merült fel a szerencsejáték fejlődésével és professzionalizálódásával, valamint a kaszinók megjelenésével kapcsolatban. Ez egy valódi jelenség volt, amely saját tanulmányt és kutatást igényelt.

A kártyázás, a kocka és a rulett olyan helyzeteket teremtett, ahol a véges számú, egyformán lehetséges esemény bármelyike ​​bekövetkezhet. Számszerű becsléseket kellett adni egy adott esemény bekövetkezésének lehetőségéről.

A 20. században világossá vált, hogy ez a látszólag komolytalan tudomány fontos szerepet játszik a mikrokozmoszban végbemenő alapvető folyamatok megértésében. Megalkották a modern valószínűségelméletet.

A valószínűségszámítás alapfogalmai

A valószínűségszámítás vizsgálatának tárgya az események és azok valószínűségei. Ha egy esemény összetett, akkor egyszerű komponensekre bontható, amelyek valószínűségét könnyű megtalálni.

Az A és B események összegét C eseménynek nevezzük, ami abból áll, hogy vagy A vagy B esemény, vagy A és B esemény egyidejűleg történt.

Az A és B események szorzata egy C esemény, ami azt jelenti, hogy A és B esemény egyaránt bekövetkezett.

Az A és B eseményeket inkompatibilisnek nevezzük, ha nem következhetnek be egyszerre.

Egy A eseményt lehetetlennek nevezünk, ha nem következhet be. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.

Egy A eseményt akkor nevezünk bizonyosnak, ha biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.

Legyen minden A esemény társítva egy P(A) számmal. Ezt a P(A) számot az A esemény valószínűségének nevezzük, ha a következő feltételek teljesülnek ezzel a megfeleléssel.

Fontos speciális eset az a helyzet, amikor egyformán valószínű elemi kimenetelek vannak, és ezek közül tetszőleges kimenetelű események alkotják az A eseményeket. Ebben az esetben a valószínűséget a képlettel lehet megadni. Az így bevezetett valószínűséget klasszikus valószínűségnek nevezzük. Bizonyítható, hogy ebben az esetben az 1-4 tulajdonságok teljesülnek.

A matematikai egységes államvizsgán megjelenő valószínűségszámítási problémák főként a klasszikus valószínűségszámításhoz kapcsolódnak. Az ilyen feladatok nagyon egyszerűek lehetnek. A valószínűségszámítási problémák a demonstrációs változatokban különösen egyszerűek. Könnyű kiszámítani a kedvező kimenetelek számát a feltételben.

A választ a képlet segítségével kapjuk.

Példa a matematika egységes államvizsga feladatára a valószínűség meghatározására vonatkozóan

20 pite van az asztalon – 5 káposztával, 7 almával és 8 rizzsel. Marina el akarja vinni a pitét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy elviszi a rizstortát?

Megoldás.

20 egyformán valószínű elemi kimenetel van, vagyis Marina a 20 pite bármelyikét el tudja venni. De meg kell becsülnünk annak valószínűségét, hogy Marina elviszi a rizspitét, vagyis ahol A a rizspitét választotta. Ez azt jelenti, hogy a kedvező kimenetelek száma (rizses pite választása) mindössze 8. Ekkor a valószínűséget a következő képlet határozza meg:

Független, ellentétes és önkényes események

A nyitott feladatbankban azonban elkezdtek összetettebb feladatokat találni. Ezért hívjuk fel az olvasó figyelmét a valószínűségszámításban vizsgált egyéb kérdésekre.

Az A és B eseményeket függetlennek mondjuk, ha mindegyik valószínűsége nem függ attól, hogy a másik esemény bekövetkezik-e.

B esemény az, hogy az A esemény nem történt meg, azaz. B esemény ellentétes az A eseménnyel. Az ellenkező esemény valószínűsége egyenlő eggyel mínusz a közvetlen esemény valószínűsége, azaz. .

Valószínűségi összeadási és szorzási tételek, képletek

Tetszőleges A és B események esetén ezen események összegének valószínűsége megegyezik a közös eseményük valószínűsége nélküli valószínűségeik összegével, azaz. .

Az A és B független események esetében ezen események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával, azaz. ebben az esetben .

Az utolsó 2 állítást a valószínűségek összeadási és szorzási tételeinek nevezzük.

Az eredmények számának számolása nem mindig ilyen egyszerű. Bizonyos esetekben szükség van kombinatorikai képletekre. A legfontosabb az, hogy megszámoljuk azokat az eseményeket, amelyek megfelelnek bizonyos feltételeknek. Néha az ilyen típusú számítások önálló feladatokká válhatnak.

Hányféleképpen lehet 6 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. A harmadik tanulónak 4 szabad hely maradt, a negyediknek 3, az ötödiknek 2, a hatodik pedig az egyetlen megmaradt helyet. Az összes opció számának megtalálásához meg kell találnia a terméket, amelyet a 6-os szimbólum jelöl! és "hat faktoriális" olvasható.

Általános esetben erre a kérdésre az n elem permutációinak képlete adja meg a választ.

Nézzünk most egy másik esetet diákjainkkal. Hányféleképpen lehet 2 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. Az összes lehetőség kiválasztásához meg kell találnia a terméket.

Általában erre a kérdésre a választ az n elem k elem feletti elhelyezéseinek képlete adja meg

A mi esetünkben.

És az utolsó eset ebben a sorozatban. Hányféleképpen lehet kiválasztani 3 tanulót a 6 közül? Az első tanulót 6, a másodikat - 5, a harmadikat - négyféleképpen lehet kiválasztani. De ezek között a lehetőségek között ugyanaz a három diák hatszor jelenik meg. Az összes lehetőség számának meghatározásához ki kell számítania az értéket: . Általában erre a kérdésre a választ az elemek kombinációinak számának képlete adja meg:

A mi esetünkben.

Példák a matematika egységes államvizsga feladatmegoldására a valószínűség meghatározásához

Feladat 1. A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.

30 pite van a tányéron: 3 húsos, 18 káposzta és 9 cseresznye. Sasha véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy cseresznyével végez.

.

Válasz: 0.3.

2. feladat A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.

1000 izzóból álló tételenként átlagosan 20 hibás. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy kötegből véletlenszerűen vett izzó működni fog.

Megoldás: A működő izzók száma 1000-20=980. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy kötegből véletlenszerűen vett izzó működni fog:

Válasz: 0,98.

0,67 annak a valószínűsége, hogy U tanuló 9-nél több feladatot old meg helyesen egy matematikai teszt során. 0,73 annak a valószínűsége, hogy U. 8-nál több feladatot fog helyesen megoldani. Határozza meg annak valószínűségét, hogy U pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani.

Ha elképzelünk egy számegyenest, és megjelöljük rajta a 8-as és 9-es pontot, akkor látni fogjuk, hogy az „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani” szerepel az „U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani”, de nem vonatkozik az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani.”

Azonban az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” az „U. több mint 8 problémát fog helyesen megoldani.” Így, ha eseményeket jelölünk ki: „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani" - A-n keresztül, "U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani" - B-n keresztül, "U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” – C. A megoldás így fog kinézni:

Válasz: 0,06.

A geometria vizsgán egy diák válaszol egy kérdésre a vizsgakérdések listájából. Annak a valószínűsége, hogy ez egy trigonometriai kérdés, 0,2. Annak a valószínűsége, hogy ez a kérdés a külső szögekre vonatkozik, 0,15. Nincsenek olyan kérdések, amelyek egyszerre vonatkoznának erre a két témára. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy diák a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.

Gondoljuk végig, milyen rendezvényeink vannak. Két összeférhetetlen eseményt kapunk. Vagyis a kérdés vagy a „Trigonometria” vagy a „Külső szögek” témakörhöz kapcsolódik. A valószínűségi tétel szerint az összeférhetetlen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével, meg kell találnunk ezen események valószínűségeinek összegét, azaz:

Válasz: 0,35.

A helyiséget három lámpás lámpás világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy éven belül kiég, 0,29. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki az év során.

Nézzük a lehetséges eseményeket. Három izzónk van, amelyek mindegyike más izzóktól függetlenül kiéghet, vagy nem. Ezek független események.

Ezután jelezzük az ilyen rendezvények lehetőségeit. Használjuk a következő jelöléseket: - a villanykörte ég, - a villanykörte kiégett. És közvetlenül mellette kiszámoljuk az esemény valószínűségét. Például egy olyan esemény valószínűsége, amelyben három független esemény „kiégett a villanykörte”, „az izzó ég”, „az izzó be van kapcsolva” bekövetkezett: , ahol a „villanykörte” esemény valószínűsége be van kapcsolva” az „az izzó nem világít” eseménnyel ellentétes esemény valószínűségeként kerül kiszámításra, nevezetesen: .

Vegyük észre, hogy csak 7 összeegyeztethetetlen esemény létezik számunkra. Az ilyen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével: .

Válasz: 0,975608.

Az ábrán egy másik probléma is látható:

Így megértettük, mi a valószínűségelmélet, képletek és példák a problémák megoldására, amelyekkel az egységes államvizsga verzióban találkozhat.

A matematika tanfolyam sok meglepetéssel készül az iskolásoknak, ezek közül az egyik egy valószínűségszámítási probléma. A tanulóknak az esetek csaknem száz százalékában gondot okoznak az ilyen jellegű feladatok megoldása. A probléma megértéséhez és megértéséhez ismernie kell az alapvető szabályokat, axiómákat és definíciókat. A könyv szövegének megértéséhez ismernie kell az összes rövidítést. Kínálunk mindezt megtanulni.

Tudomány és alkalmazása

Mivel gyorstanfolyamot kínálunk a „valószínűségelmélet bábukhoz”, először be kell mutatnunk az alapfogalmakat és a betűrövidítéseket. Kezdésként határozzuk meg a „valószínűségelmélet” fogalmát. Milyen tudomány ez és miért van rá szükség? A valószínűségszámítás a matematikának azon ága, amely véletlenszerű jelenségeket és mennyiségeket vizsgál. Figyelembe veszi az ezekkel a valószínűségi változókkal végrehajtott mintákat, tulajdonságokat és műveleteket is. Mire való? A tudomány széles körben elterjedt a természeti jelenségek vizsgálatában. Semmilyen természetes és fizikai folyamat nem nélkülözheti a véletlen jelenlétét. Még ha a kísérlet során a lehető legpontosabban rögzítették is az eredményeket, ha ugyanazt a tesztet megismétlik, az eredmény nagy valószínűséggel nem lesz ugyanaz.

Mindenképpen megnézünk példákat a feladatokra, ezt meglátod. Az eredmény sok különböző tényezőtől függ, amelyeket szinte lehetetlen figyelembe venni vagy regisztrálni, de ennek ellenére óriási hatással vannak a kísérlet kimenetelére. Élénk példák közé tartozik a bolygók röppályájának vagy az időjárás-előrejelzés meghatározása, annak valószínűsége, hogy egy ismerős személlyel találkozunk munkahelyi utazás közben, valamint a sportoló ugrásának magasságának meghatározása. A valószínűségelmélet a tőzsdei brókereknek is nagy segítséget nyújt. Egy valószínűségszámítási probléma, amelynek megoldása korábban sok problémát okozott, három-négy alábbi példa után puszta apróság lesz számodra.

Események

Mint korábban említettük, a tudomány az eseményeket tanulmányozza. Valószínűségelmélet, a problémamegoldás példáit egy kicsit később nézzük meg, csak egy típust tanulmányoz - véletlenszerű. Ennek ellenére tudnod kell, hogy az eseményeknek három típusa lehet:

• Lehetetlen.
• Megbízható.
• Véletlen.

Javasoljuk, hogy mindegyiket kicsit megvitassuk. Lehetetlen esemény soha, semmilyen körülmények között nem fog megtörténni. Példák: víz fagyasztása nulla feletti hőmérsékleten, kocka kihúzása egy zacskó golyóból.

A megbízható esemény mindig 100%-os garanciával történik, ha minden feltétel teljesül. Például: bért kapott az elvégzett munkáért, felsőfokú szakmai végzettséget szerzett, ha lelkiismeretesen tanult, sikeres vizsgát tett és megvédte a diplomáját stb.

Minden egy kicsit bonyolultabb: a kísérlet során megtörténhet vagy sem, például ászt húzni egy kártyapakliból, miután legfeljebb három kísérletet tett. Az eredményt vagy az első próbálkozásra megkaphatja, vagy egyáltalán nem. Ez egy esemény bekövetkezésének valószínűsége, amelyet a tudomány vizsgál.

Valószínűség

Ez általános értelemben egy olyan élmény sikeres kimenetelének lehetőségének értékelése, amelyben egy esemény bekövetkezik. A valószínűséget minőségi szinten értékelik, különösen akkor, ha a mennyiségi értékelés lehetetlen vagy nehéz. A valószínűség-elméletben a megoldással, pontosabban a becsléssel kapcsolatos probléma magában foglalja a sikeres eredmény nagyon lehetséges részének megtalálását. A valószínűség a matematikában egy esemény numerikus jellemzői. Az értékeket nullától egyig P betűvel jelöljük. Ha P egyenlő nullával, akkor az esemény nem történhet meg, ha az egy, akkor az esemény száz százalékos valószínűséggel fog bekövetkezni. Minél több P közelít egyhez, annál nagyobb a valószínűsége a sikeres kimenetelnek, és fordítva, ha közel nulla, akkor az esemény kis valószínűséggel fog bekövetkezni.

Rövidítések

A valószínűségi probléma, amellyel hamarosan szembe kell néznie, a következő rövidítéseket tartalmazhatja:

• P és P(X);
• A, B, C stb.;

Mások is lehetségesek: szükség esetén további magyarázatokat adunk. Először is javasoljuk a fentebb bemutatott rövidítések pontosítását. A listánk első része faktoriális. Az érthetőség kedvéért adunk példákat: 5!=1*2*3*4*5 vagy 3!=1*2*3. Ezután az adott halmazokat zárójelbe kell írni, például: (1;2;3;4;..;n) vagy (10;140;400;562). A következő jelölés a természetes számok halmaza, amely gyakran megtalálható a valószínűségszámítási feladatokban. Ahogy korábban említettük, P egy valószínűség, P(X) pedig egy X esemény bekövetkezésének valószínűsége. A latin ábécé nagy betűi eseményeket jelölnek, például: A - elkapták a fehér golyót, B - kék, C - piros, ill. A kis n betű az összes lehetséges eredmény száma, m pedig a sikeresek száma. Innen kapjuk a szabályt a klasszikus valószínűség megtalálására elemi feladatokban: P = m/n. A „bábuknak” való valószínűség elmélete valószínűleg erre az ismeretre korlátozódik. Most a konszolidáció érdekében térjünk át a megoldásra.

1. feladat. Kombinatorika

A diákkör harminc főből áll, akik közül kell választani egy vezetőt, annak helyettesét és egy szakszervezeti vezetőt. Meg kell találni a műveletek számos módját. Hasonló feladat jelenhet meg az Egységes Államvizsgán is. A valószínűségelmélet, amelynek a problémák megoldását most vizsgáljuk, a kombinatorika, a klasszikus valószínűség, a geometriai valószínűség és az alapképletek problémáinak feltárásából származó feladatokat tartalmazhat. Ebben a példában egy kombinatorika tantárgyból oldunk meg egy feladatot. Térjünk át a megoldásra. Ez a feladat a legegyszerűbb:

1. n1=30 - a diákcsoport lehetséges prefektusai;
2. n2=29 - a képviselői posztot elvállalók;
3. n3=28 fő jelentkezik a szakszervezeti tisztségre.

Nincs más dolgunk, mint megkeresni a lehetséges opciók számát, vagyis az összes mutatót beszorozni. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: 30*29*28=24360.

Ez lesz a válasz a feltett kérdésre.

Probléma 2. Átrendezés

A konferencián 6 fő szólal fel, a sorrend sorshúzással kerül megállapításra. Meg kell találnunk a lehetséges sorsolási lehetőségek számát. Ebben a példában hat elem permutációját vizsgáljuk, azaz 6-ot kell találnunk!

A rövidítések bekezdésében már említettük, hogy mi ez és hogyan számítják ki. Összességében kiderül, hogy 720 rajzolási lehetőség van. Első pillantásra egy nehéz feladatnak nagyon rövid és egyszerű megoldása van. Ezeket a feladatokat veszi figyelembe a valószínűségszámítás. A következő példákban megvizsgáljuk, hogyan lehet magasabb szintű problémákat megoldani.

3. probléma

Egy huszonöt fős tanulócsoportot három hat-, kilenc- és tízfős alcsoportra kell osztani. Van: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Marad az értékek behelyettesítése a szükséges képletbe, így kapjuk: N25(6,9,10). Egyszerű számítások után megkapjuk a választ - 16 360 143 800 Ha a feladatban nem szerepel, hogy numerikus megoldást kell kapni, akkor megadható faktorálok formájában.

4. probléma

Három ember talált ki egytől tízig számokat. Határozza meg annak valószínűségét, hogy valakinek a száma megegyezik. Először meg kell találnunk az összes kimenet számát - esetünkben ez ezer, azaz tíz a harmadik hatványhoz. Most keressük meg a lehetőségek számát, amikor mindenki más-más számot tippelt, ehhez szorozzuk meg tízet, kilencet és nyolcat. Honnan jöttek ezek a számok? Az első kitalál egy számot, tíz opciója van, a másodiknak már kilenc, a harmadiknak pedig a maradék nyolc közül kell választania, így 720 lehetséges opciót kapunk. Ahogy már korábban kiszámoltuk, összesen 1000 opció van, ismétlések nélkül pedig 720, ezért a maradék 280 érdekel bennünket. Most egy képletre van szükségünk a klasszikus valószínűség meghatározásához: P = . Megkaptuk a választ: 0,28.

BEVEZETÉS

Sok dolog érthetetlen számunkra, nem azért, mert fogalmaink gyengék;
hanem mert ezek a dolgok nem tartoznak fogalmaink körébe.
Kozma Prutkov

A középfokú szakosított oktatási intézményekben a matematika tanulásának fő célja, hogy a hallgatók olyan matematikai ismereteket és készségeket biztosítsanak a hallgatóknak, amelyek a matematikát bizonyos fokig használó egyéb programtudományok tanulmányozásához, a gyakorlati számítások elvégzéséhez, a képzéshez és fejlesztéshez szükségesek. a logikus gondolkodásé.

Ebben a munkában a „Valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapjai” matematikai szakasz összes alapfogalma, amelyet a program és a középfokú szakképzés állami oktatási szabványai (Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma, M., 2002) biztosítanak. ), következetesen bevezetik, megfogalmazzák a fő tételeket, amelyek többsége nem bizonyított . Áttekintjük a főbb problémákat és megoldási módszereket, valamint ezeknek a módszereknek a gyakorlati problémák megoldásában való alkalmazásának technológiáit. Az előadást részletes megjegyzések és számos példa kíséri.

A módszertani utasítások felhasználhatók a tanult anyag kezdeti megismertetésére, az előadásokról szóló jegyzetek készítésére, a gyakorlati órákra való felkészülésre, a megszerzett ismeretek, készségek, képességek megszilárdítására. Ezenkívül a kézikönyv referenciaeszközként is hasznos lesz az egyetemisták számára, lehetővé téve számukra, hogy gyorsan felidézzék a korábban tanultakat.

A munka végén olyan példák és feladatok találhatók, amelyeket a tanulók önellenőrzési módban végezhetnek el.

Az irányelvek rész- és nappali tagozatos hallgatóknak szólnak.

ALAPFOGALMAK

A valószínűségszámítás a tömeges véletlenszerű események objektív mintázatait vizsgálja. Ez a matematikai statisztika elméleti alapja, amely a megfigyelési eredmények gyűjtésére, leírására és feldolgozására szolgáló módszerek fejlesztésével foglalkozik. Megfigyelések (tesztek, kísérletek) révén, pl. a szó tág értelmében vett tapasztalat, a való világ jelenségeinek ismerete történik.

Gyakorlati tevékenységünk során gyakran találkozunk olyan jelenségekkel, amelyek kimenetele előre nem jelezhető, amelyek kimenetele a véletlenen múlik.

Egy véletlenszerű jelenség az előfordulásai számának és azon kísérletek számának arányával jellemezhető, amelyek mindegyikében az összes kísérlet azonos feltételei mellett előfordulhat, vagy nem.

A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ága, amelyben véletlenszerű jelenségeket (eseményeket) tanulmányoznak, és tömegesen ismétlődő mintákat azonosítanak.

A matematikai statisztika a matematika egyik ága, amelynek tárgya a statisztikai adatok gyűjtésére, rendszerezésére, feldolgozására és felhasználására szolgáló módszerek tanulmányozása tudományosan megalapozott következtetések levonása és döntéshozatal céljából.

Ebben az esetben statisztikai adatok alatt olyan számok halmazát értjük, amelyek a vizsgált objektumok minket érdeklő jellemzőinek mennyiségi jellemzőit reprezentálják. A statisztikai adatokat speciálisan kialakított kísérletek és megfigyelések eredményeként nyerjük.

A statisztikai adatok lényegüknél fogva számos véletlenszerű tényezőtől függenek, ezért a matematikai statisztika szorosan kapcsolódik a valószínűségszámításhoz, amely annak elméleti alapja.

I. VALÓSZÍNŰSÉG. A VALÓSZÍNŰSÉGEK ÖSSZEADÁSÁNAK ÉS SZORZÁSÁNAK TÉTELEI

1.1. A kombinatorika alapfogalmai

A matematika kombinatorikának nevezett ágában a halmazok figyelembevételével és e halmazok elemeinek különféle kombinációinak összetételével kapcsolatos problémákat oldanak meg. Például, ha veszünk 10 különböző számot 0, 1, 2, 3,: , 9, és ezekből kombinációkat készítünk, akkor különböző számokat kapunk, például 143, 431, 5671, 1207, 43 stb.

Látjuk, hogy egyes kombinációk csak a számjegyek sorrendjében (például 143 és 431), mások - a bennük lévő számjegyekben (például 5671 és 1207), mások a számjegyek számában is különböznek. (például 143 és 43).

Így az így létrejövő kombinációk különféle feltételeket teljesítenek.

Az összeállítás szabályaitól függően háromféle kombináció különböztethető meg: permutációk, elhelyezések, kombinációk.

Először ismerkedjünk meg a fogalommal faktoriális.

Az összes természetes szám 1-től n-ig szorzatát nevezzük n-faktoriális és írj.

Számítsd ki: a) ; b) ; V) .

Megoldás. A) .

b) Azóta , akkor zárójelbe tehetjük

Akkor kapunk

V) .

Átrendezések.

Permutációnak nevezzük az n elem kombinációját, amely csak az elemek sorrendjében tér el egymástól.

A permutációkat a szimbólum jelzi P n , ahol n az egyes permutációkban szereplő elemek száma. ( R- egy francia szó első betűje permutáció- átrendezés).

A permutációk száma a képlet segítségével számítható ki

vagy faktoriális használatával:

Emlékezzünk arra 0!=1 és 1!=1.

Példa 2. Hányféleképpen lehet hat különböző könyvet elhelyezni egy polcon?

Megoldás. A szükséges utak száma megegyezik 6 elem permutációinak számával, azaz.

Elhelyezések.

Bejegyzések innen m elemek benne n mindegyikben olyan vegyületeket neveznek, amelyek vagy maguk az elemek (legalább egy), vagy elrendezésük sorrendjében különböznek egymástól.

Az elhelyezéseket a szimbólum jelzi, ahol m- az összes elérhető elem száma, n- az egyes kombinációk elemeinek száma. ( A- egy francia szó első betűje elrendezés, ami „elhelyezést, rendbetételt” jelent).

Ugyanakkor úgy vélik nm.

Az elhelyezések száma a képlet segítségével számítható ki

,

azok. az összes lehetséges elhelyezés száma innen m elemek által n megegyezik a termékkel n egymást követő egész számok, amelyek közül a legnagyobb m.

Írjuk fel ezt a képletet faktoriális formában:

3. példa Hány lehetőség áll rendelkezésre öt jelentkező esetén három utalvány kiosztására különböző profilú szanatóriumok számára?

Megoldás. A szükséges opciók száma megegyezik 3 elem 5 elemének elhelyezéseinek számával, azaz.

.

Kombinációk.

A kombinációk minden lehetséges kombinációja m elemek által n, amelyek legalább egy elemben különböznek egymástól (itt mÉs n- természetes számok, és n m).

A kombinációk száma m elemek által n jelölése ( VEL- egy francia szó első betűje kombináció- kombináció).

Általában a száma m elemek által n egyenlő a től származó elhelyezések számával m elemek által n, osztva az innen származó permutációk számával n elemek:

Az elhelyezések és permutációk számának faktorális képleteivel a következőket kapjuk:

4. példa Egy 25 fős csapatban négyet kell kiosztania egy adott területen való munkára. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Megoldás. Mivel a kiválasztott négy személy sorrendje nem számít, erre van mód.

Az első képlet segítségével találjuk meg

.

Ezenkívül a problémák megoldása során a következő képleteket használják, amelyek kifejezik a kombinációk alapvető tulajdonságait:

(definíció szerint feltételezik és);

.

1.2. Kombinatorikus feladatok megoldása

1. feladat A karon 16 tárgyat tanulnak. Hétfőre 3 tárgyat kell beírnod ​​az órarendbe. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Megoldás. Annyiféleképpen ütemezhet be három elemet a 16-ból, mint ahány 16 elem elhelyezését 3-mal rendezheti.

2. feladat. 15 objektumból 10 objektumot kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

3. feladat Négy csapat vett részt a versenyen. Hány lehetőség van köztük a helyek elosztására?

.

4. feladat Hányféleképpen alakítható ki három katonából és egy tisztből álló járőr, ha 80 katonából és 3 tisztből áll?

Megoldás. Választhat egy katonát járőrözés közben

módokon, a tisztek pedig módokon. Mivel minden tiszt minden katonacsapattal mehet, csak annyiféleképpen lehet.

5. feladat. Keresse meg, ha ismert, hogy .

Mióta kapunk

,

,

A kombináció definíciójából az következik, hogy . Hogy. .

1.3. A véletlenszerű esemény fogalma. Az események típusai. Az esemény valószínűsége

Minden olyan cselekvés, jelenség, megfigyelés, amely több különböző kimenetelű, adott feltételrendszer mellett valósul meg, meghívásra kerül teszt.

Ennek a cselekvésnek vagy megfigyelésnek az eredményét ún esemény .

Ha egy esemény adott körülmények között előfordulhat, vagy nem, akkor az ún véletlen . Ha egy esemény biztosan megtörténik, akkor ún megbízható , és abban az esetben, ha ez nyilvánvalóan nem történhet meg, - lehetetlen.

Az eseményeket ún összeegyeztethetetlen , ha ezek közül minden alkalommal csak egy jelenhet meg.

Az eseményeket ún közös , ha adott körülmények között ezen események egyikének bekövetkezése nem zárja ki egy másik előfordulását ugyanazon vizsgálat során.

Az eseményeket ún szemben , ha a tesztkörülmények között ezek az egyedüli eredmények nem kompatibilisek.

Az eseményeket általában a latin ábécé nagybetűivel jelölik: A, B, C, D, : .

Az A 1 , A 2 , A 3 , : , A n komplett eseményrendszer olyan inkompatibilis események halmaza, amelyek közül legalább egynek a bekövetkezése kötelező egy adott vizsgálat során.

Ha egy teljes rendszer két összeegyeztethetetlen eseményből áll, akkor az ilyen eseményeket ellentétesnek nevezzük, és A és .

Példa. A doboz 30 db számozott golyót tartalmaz. Határozza meg, hogy az alábbi események közül melyik lehetetlen, megbízható vagy ellentétes:

kivett egy számozott labdát (A);

páros számú labdát kapott (IN);

páratlan számú labdát kapott (VEL);

kapott egy labdát szám nélkül (D).

Melyikük alkot teljes csoportot?

Megoldás . A- megbízható rendezvény; D- lehetetlen esemény;

In és VEL- ellentétes események.

A rendezvények teljes csoportja a következőkből áll AÉs D, VÉs VEL.

Az esemény valószínűségét egy véletlen esemény bekövetkezésének objektív lehetőségének mérőszámának tekintjük.

1.4. A valószínűség klasszikus meghatározása

Olyan számot nevezünk, amely egy esemény bekövetkezésének objektív lehetőségének mértékét fejezi ki valószínűség ezt az eseményt, és a szimbólum jelzi R(A).

Meghatározás. Az esemény valószínűsége A az adott esemény bekövetkeztének kedvezõ m kimenetelek számának aránya A, a számra n minden eredmény (konzisztens, csak lehetséges és egyformán lehetséges), pl. .

Ezért egy esemény valószínűségének meghatározásához a teszt különböző kimeneteleinek figyelembevételével ki kell számítani az összes lehetséges inkonzisztens eredményt n, válasszuk ki a minket érdeklő kimenetek számát, és számítsuk ki az arányt m To n.

A következő tulajdonságok következnek ebből a definícióból:

Bármely teszt valószínűsége egy nem-negatív szám, amely nem haladja meg az egyet.

Valójában a szükséges események m száma belül van. Mindkét részt felosztva n, megkapjuk

2. Egy megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő, mert .

3. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla, hiszen .

1. feladat. Egy 1000 szelvényből álló lottónál 200 nyerő van. Egy jegyet véletlenszerűen vesznek ki. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a jegy nyer?

Megoldás. A különböző eredmények teljes száma n=1000. A nyerésre kedvező kimenetelek száma m=200. A képlet szerint azt kapjuk

.

2. probléma. Egy 18 alkatrészből álló tételben 4 hibás van. 5 rész véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ebből az 5 részből kettő hibás lesz.

Megoldás. Az egyformán lehetséges független kimenetek száma n egyenlő a 18-5-ös kombinációk számával, azaz.

Számoljuk meg azt az m számot, amelyik kedvez az A eseménynek. 5 véletlenszerűen kiválasztott rész között legyen 3 jó és 2 hibás. A 4 meglévő hibás alkatrész közül a két hibás alkatrész kiválasztásának módjai megegyeznek a 4 x 2 kombinációk számával:

A három minőségi alkatrész kiválasztásának módjainak száma 14 elérhető minőségi alkatrész közül egyenlő

.

A jó alkatrészek bármely csoportja kombinálható a hibás alkatrészek bármely csoportjával, így a kombinációk teljes száma mösszege

Az A esemény megkövetelt valószínűsége egyenlő az esemény szempontjából kedvező m kimenetelek számának az összes egyformán lehetséges független kimenetel n számához viszonyított arányával:

.

Véges számú esemény összege olyan esemény, amely legalább egy esemény bekövetkezéséből áll.

Két esemény összegét az A+B szimbólum és az összeg jelöli n események A 1 +A 2 + : +A n.

Valószínűségi összeadás tétel.

Két összeférhetetlen esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével.

Következmény 1. Ha az A 1, A 2, :,A n esemény teljes rendszert alkot, akkor ezen események valószínűségeinek összege eggyel egyenlő.

Következmény 2. Ellentétes események valószínűségeinek összege és egyenlő eggyel.

.

1. probléma. 100 sorsjegy van. Ismeretes, hogy 5 jegy 20 000 rubelt nyer, 10 jegy 15 000 rubelt, 15 jegy 10 000 rubelt, 25 jegy 2 000 rubelt nyer. a többiért pedig semmi. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megvásárolt jegy legalább 10 000 rubelt nyer.

Megoldás. Legyen A, B és C olyan események, amelyek abból állnak, hogy a megvásárolt jegy 20 000, 15 000, illetve 10 000 rubelnek megfelelő nyereményt kap. mivel A, B és C események nem kompatibilisek, akkor

2. feladat Egy technikum levelező tagozata a városokból kap matematikából teszteket A, BÉs VEL. Annak valószínűsége, hogy tesztpapírt kapnak a várostól A egyenlő 0,6, a várostól IN- 0,1. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő teszt a városból érkezik VEL.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete