A derivált alkalmazása függvénytanulmányozásra A vizsgát megoldom. Módszertani fejlesztés: Kutatómunka "Származékos felhasználási feladatok megoldása egységes államvizsga formátumban"

A derivált alkalmazása formátumban Egységes államvizsga .

Elkészült: Plachkovskaya Katerina, Leonova Julia 11B osztály Tudományos igazgató: Soluyan Nadezhda Nikolaeva, matematikatanár, „tiszteletbeli munkás” Általános oktatás Orosz Föderáció»

Bevezetés

A származék az egyik a legnehezebb témákat matematikából, segítségével fizika, kémia, biológia, sőt földrajz feladatokat is megoldanak. Sok diák nehezen, vagy egyáltalán nem tudja, hogyan oldja meg ezeket. A származékok tanulmányozását az is megszabja, hogy sok USE feladat tartalmazza a származékok használatát.

Ezért úgy döntöttünk, hogy részletesebben tanulmányozzuk ezt a témát.

A munka célja: a származékok alkalmazásával kapcsolatos problémák osztályozása ben Egységes államvizsga anyagokés fontolja meg ezek megoldásának módjait.

Feladatok:

• történelmi tényeket keresni
• információk gyűjtése a származékok felhasználásával kapcsolatos feladatokról az egységes államvizsga-anyagokban
• a problémák kapcsolatának elemzése és a megoldási módszerek
• tanulmányozza a derivatívák alkalmazásával járó főbb problématípusokat
• megoldani az Egységes Államvizsga anyagaiban szereplő feladatokat
• végezzen statisztikai vizsgálatot.

A származék története

Folyamatosan problémák merültek fel az extrémum megtalálásával, a görbék érintőinek megrajzolásával és a sebesség kiszámításával gyakorlati tevékenységek.

Az ókorban és a középkorban az ilyen problémákat geometriai ill mechanikus eszközökkel. Később kiderült, hogy mindezek a problémák egyetlen módszerrel is megoldhatók, végtelenül kicsi mennyiségek felhasználásával. Ennek a módszernek a fejlesztése Newton és Leibniz munkáiban a matematikai elemzés megalkotásához vezetett, amelynek megjelenése széles körben kitágította a matematika alkalmazásának határait.

Elméleti információk

Függvény származéka y=f(x) egy függvény növekményének és a megnövelt argumentum arányának határának nevezzük, az utóbbi nullára hajlik.

Fizikai jelentés derivált

Ha egy test a törvény szerint egyenes vonalúan mozog y=S’(t), majd a pillanatnyi sebesség ( U) az út deriváltja az idő függvényében.

U=S’(t)

A gyorsulás a sebesség deriváltja a=U’ (t)

Geometriai jelentés derivált

Az érintőszög érintője ( lejtőérintő) az y=f(x) függvény grafikonjára rajzolva az x 0 pontban egyenlő az y=f"(x) függvény deriváltjával ebben a pontban:

Derivált összetett funkció

A funkció megadva: y=f(g(x)),komplexnek nevezzük, amely g és f függvényekből áll. (azt a függvényt, amelynek argumentuma egy függvény, komplexnek nevezzük)

elemi függvény komplex függvény

érv

Algoritmus a legkisebb és legnagyobb értékek megtalálására folyamatos funkció y=f(x) a szakaszon

1. Keresse meg a függvény tartományát

2. Keresse meg az f’(x) deriváltot

3. Keresse meg az álló és kritikus pontok a szegmensen belüli függvények (y’=0)

4. Számítsa ki az y=f(x) függvény értékeit a második lépésben kiválasztott pontokban, valamint az a és b pontokban; válassza ki a legkisebbet ezek közül az értékek közül (ez lesz az y legkisebb)

Algoritmus az y=f(x) folytonos függvény vizsgálatára monotonitásra és szélsőségekre

1. Keresse meg a definíciós tartományt

2. Keresse meg az f’(x) deriváltot

3. Keresse meg az y=f(x) függvény stacionárius (f’(x)=0) és kritikus (f’(x) nem létezik) pontjait!

4. Jelölje meg a számegyenesen álló és kritikus pontokat, és határozza meg a derivált előjeleit a kapott intervallumokon

5. Vond le következtetéseket a függvény monotonitásáról és szélsőpontjairól!

Statisztikai kutatás.

A munka 1. szakasza:

A 11. osztályosok körében végzett felmérés eredményeit elemezve azonosítottam azokat a témákat, amelyek a legnagyobb nehézséget okozzák a tanulóknak:

Trigonometrikus egyenletek - differenciálási technika - Problémák a származék fizikai és geometriai jelentésével kapcsolatban -Függvények feltárása deriváltok segítségével - Szöveges problémák- Problémák megoldása területek meghatározásához - Irracionális egyenletekés kifejezések - Racionális egyenletekés kifejezések.

Következtetés: A „Származékok alkalmazása” témakört az első 3 témakör tartalmazza, ami azt jelenti, hogy ez okozza a legtöbb nehézséget.

A munka 2. szakasza :

a főbb problématípusok tanulmányozása a „Származékok alkalmazása az egyes feladatokban” témában államvizsga»

Származtatott formátum alkalmazása

Egységes államvizsga formátum

Geometriai jelentés

Elemző jelentés

Fizikai jelentés

Problémák a származék fizikai jelentésének alkalmazásával kapcsolatban

1. feladat.

x(t) = (½)×t² – t – 4 . Határozzuk meg, hogy a t időpont mely pontján -- V sebesség = 6 m/s.

Megoldás.

1) (x(t))" = ((½) × t² t - 4)"

2) V(t) = (s(t))'; (s(t))' = (x(t))';

V(t) = ((½)×t² – t – 4)”

V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’

3) V(t) = 6m/s (feltételtől függően)

Válasz: 7 s.

2. feladat.

Egy anyagi pont a törvény szerint mozog

x(t) = 15 + 16×t – 3×t². Mekkora lesz a gyorsulás 2 másodperccel a mozgás megkezdése után?

Megoldás .

V(t) = 15 + 16×t – 3×t²

(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)”

Mert (V(t))’ = a(t)

a(t) = 16 – 6×t

a(t) = 16-6×2

a(t) = 4

Válasz: 4 m/s².

Problémák a derivált geometriai jelentésének alkalmazásával kapcsolatban

1. probléma

Egyenes y = 5 x− 3 párhuzamos a függvény grafikonjának érintőjével y = x 2 + 2 x− 4. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját!

Megoldás

Az érintővel párhuzamos egyenesnek ugyanolyan dőlésszöge van az abszcissza tengelyhez képest. Vagyis az érintő szögegyütthatója (más néven a dőlésszög érintője) egyenlő 5-tel, akárcsak egy adott egyenesé. Másrészt tudjuk, hogy az érintő meredeksége egyenlő a függvény érintőponti deriváltjával. Keressük a származékot: y "(x) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x+ 2. Hozzunk létre egy egyenletet úgy, hogy az érintőpont ismeretlen abszcisszáját behelyettesítjük a derivált kifejezésébe x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.

Válasz: 1.5

2. feladat. Az 1. ábra a függvény grafikonját mutatja y = f (x), a (-10,5;19) intervallumon meghatározott. Határozza meg azon egész pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja pozitív!

Megoldás

A függvény deriváltja pozitív

azokon a területeken, ahol a funkció növekszik.

Az ábrán látható, hogy ezek hiányosságok

(−10,5;−7,6), (−1;8,2) és (15,7;19). Lista-

Lim egész pontokat ezeken az intervallumokon belül:

"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",

"7", "8", "16", "17", "18". Összesen 15 pont van.

Válasz: 15

3. feladat. Az ábra a függvény grafikonját mutatja y = f (x), a (-11;23) intervallumon meghatározott. Határozzuk meg a függvény szélsőpontjainak összegét a szakaszon! Megoldás A jelzett szakaszon 2 szélsőpontot látunk. A funkció maximumát a ponton érjük el x 1 = 4, minimum a pontban x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Válasz: 12

Analitikai módszer megoldásokat

1. feladat.

Keresse meg a függvény deriváltjának értékét az x0=2 pontban

Megoldás a) Keresse meg a függvény deriváltjának értékét:

b) Keresse meg a függvény deriváltjának értékét az x0 pontban:

Válasz: 31

2. feladat.

Keresse meg az F(x)=(3x+1)2 -3 függvény deriváltjának értékét az x=2/3 pontban!

Megoldás.

Keressük meg egy komplex függvény deriváltját: F’(x)=6(x+1)=6x+6;

Keressük meg a függvény deriváltjának értékét az x=2/3 pontban:

F’(2/3)=6(2/3)+6=10

Válasz: 10

A derivált előjele és a függvény monotonitásának természete közötti kapcsolat bemutatása.

Kérjük, legyen nagyon óvatos az alábbiakkal kapcsolatban. Nézze, az ütemterv, MI adatik neked! Függvény vagy származéka

Ha megadjuk a derivált grafikonját, akkor minket csak a függvényjelek és a nullák érdekelnek. Minket elvileg semmiféle „domb” vagy „üreg” nem érdekel!

1. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon egész pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja negatív!

Megoldás:

Az ábrán a csökkenő funkciójú területek színnel vannak kiemelve:

A függvénynek ezek a csökkenő régiói 4 egész értéket tartalmaznak.

2. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az egyenessel.

Megoldás:

Ha egy függvény grafikonjának érintője párhuzamos (vagy egybeesik) egy egyenessel (vagy ami ugyanaz), lejtő , egyenlő nullával, akkor az érintőnek is van szögegyütthatója.

Ez viszont azt jelenti, hogy az érintő párhuzamos a tengellyel, mivel a meredekség az érintő tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintője.

Ezért a grafikonon szélsőpontokat (maximum és minimum pontokat) találunk - ezekben a pontokban lesznek párhuzamosak a grafikont érintő függvények a tengellyel.

4 ilyen pont van.

3. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az egyenessel.

Megoldás:

Mivel egy függvény grafikonjának érintője párhuzamos (vagy egybeesik) egy olyan egyenessel, amelynek van meredeksége, akkor az érintőnek is van meredeksége.

Ez viszont azt jelenti, hogy az érintési pontokon.

Ezért nézzük meg, hogy a gráf hány pontjának ordinátája egyenlő -vel.

Amint látja, négy ilyen pont van.

4. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg azon pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja 0!

Megoldás:

A derivált a szélsőpontokban nullával egyenlő. Nálunk 4 db van:

5. feladat.

Az ábrán egy függvény és az x tengely tizenegy pontjának grafikonja látható:. Ezek közül hány pontban negatív a függvény deriváltja?

Megoldás:

A csökkenő függvény intervallumán a deriváltja negatív értékeket vesz fel. A függvény pedig pontokban csökken. 4 ilyen pont van.

6. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg a függvény szélsőpontjainak összegét!

Megoldás:

Extrém pontok– ezek a maximális pontok (-3, -1, 1) és a minimumpontok (-2, 0, 3).

Az extrémpontok összege: -3-1+1-2+0+3=-2.

7. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg a függvény növekedési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!

Megoldás:

Az ábra kiemeli azokat az intervallumokat, ahol a függvény deriváltja nem negatív.

A kis növekvő intervallumon nincs egész szám, a növekvő intervallumon négy egész szám található: , , és .

Az összegük:

8. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg a függvény növekedési intervallumait! Válaszában adja meg a legnagyobb hosszát!

Megoldás:

Az ábrán minden olyan intervallum, amelyen a derivált pozitív, színnel kiemelve van, ami azt jelenti, hogy a függvény maga növekszik ezeken az intervallumokon.

Közülük a legnagyobb hossza 6.

9. feladat.

Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. A szegmens melyik pontján veszi fel a legnagyobb értéket?

Megoldás:

Nézzük meg, hogyan viselkedik a grafikon a szegmensen, ami minket érdekel csak a származék jele .

A on derivált előjele mínusz, mivel ezen a szakaszon a grafikon a tengely alatt van.

Az X Y 0 derivált α k érintő geometriai jelentése az egyenes szögegyütthatója (érintő) A derivált geometriai jelentése: ha az y = f(x) függvény grafikonjára a pontban érintő húzható. az abszcisszával, az y tengellyel nem párhuzamos, akkor az érintő szögegyütthatóját fejezi ki, azaz pl. Mivel, akkor az egyenlőség igaz: Egy egyenes egyenlete

X y Ha α 0. Ha α > 90°, akkor k 90°, majd k 90°, majd k 90°, majd k 90°, akkor k title="х y Ha α 0. Ha α > 90°, majd k

X y Feladat 1. Az ábrán az y = f(x) függvény grafikonja és a gráf -1 abszcissza pontban megrajzolt érintője látható. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x = pontban

Y x x0x Az ábrán látható az y = f(x) függvény grafikonja és egy érintője az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban! Válasz: -0,25

Az ábra az f(x) függvény (-6;6) intervallumon definiált deriváltjának grafikonját mutatja. Határozzuk meg az f(x) függvény növekedési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét! B =...

„A származékos fogalmához vezető problémák” - A származék definíciója. Alapképletek. Érintő pozíció. A pillanatnyi áramerősség problémája. Azonnali sebesség. A funkció növekmény arányának korlátja. Sebesség probléma kémiai reakció. Egy ponton áthaladó egyenes. A visszaszámlálás kezdete. Funkciónövekedés. Az érv növekedése. Az idő pillanata.

„Származtatott matematika” - Matematikai elemzés a matematika egyik ága. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Származék és alkalmazása. Leibniz arról álmodott egyetemes nyelv. A derivált egy függvényre van definiálva. A matematikai elemzés második megalapítója I. Newton volt. Newton felfedezte a törvényt egyetemes gravitáció. A matematikai elemzés több mint 300 évvel ezelőtt jelent meg.

„Származtatott problémák megoldása” – Oldjunk meg számos problémát. Az extrém pontok száma. Keresse meg az abszciszák összegét. A grafikon érintői. Emlékezzünk elméleti anyag. Abszcisszák. A származék alkalmazása in Egységes államvizsga-feladatok. Végezzük el a tesztfeladatokat. Legmagasabb érték. Funkció. A derivált alkalmazása. A grafikon érintői 45 fokos szöget zárnak be.

„A derivált függvény fogalma” – Főbb következtetések. Derivált. Intervallum. A derivált függvény fogalma. Isaac Newton. A környék sugara. Új kalkulus. Term. Ismétlés. Egy függvény növekedése egy pontban. A másik oldalon. Parabola. Funkció értéke. Együttható A. Skála. Növekmények. Diagram konfiguráció. Az érv értéke. Funkciók.

„Származék az egységes államvizsgán” – A származék geometriai jelentése. Fűszeres ill tompaszögérintőjét képezi a függvény grafikonjának az x pontban. Értékelje magát önálló munkavégzés. Feladatok. Ismételje meg és foglalja össze elméleti tudás. Tulajdonságok. Tapintási pontok száma. Határozza meg fokmérőérintőszög. A derivált pozitív.

„Függvény tanulmányozása deriváltjával” - Függvények tanulmányozása. Keresse meg a függvény maximális pontját. Elegendő feltételek extrémum. Tétel. A megkülönböztetés szabályai. Feladatok a önálló döntés hogy megtaláljuk egy függvény szélsőértékét. Algoritmus szélsőséges pontok megtalálására. A minimum és maximum pont extrémum pont. Egyenlőtlenség. Problémák megtalálni a legnagyobb és legalacsonyabb érték funkciókat.