Fontos esetek általános egyenlet másodrendű görbe

Másodrendű sorok.
Ellipszis és kanonikus egyenlete. Kör

Ellipszis egyenlet

Hiperbola egyenlet

Parabola egyenlet

Metsző egyenes pár egyenlete

Párhuzamos vagy egybeeső egyenesek egyenlete

Pontot meghatározó egyenlet

Ellipszis

1.7.1. tétel

Bizonyíték

Görbe alakzat tanulmány

Hiperbola

1.7.2. tétel

Bizonyíték

A görbe alakjának tanulmányozása.

Ellipszis és kanonikus egyenlete

Az ellipszis definíciója. Ellipszis gócok és ellipszis excentricitás

Ellipszis forgatása és párhuzamos fordítása

Nézze meg, mik a „másodrendű sorok” más szótárakban:

Könyvek

Az algebrai egyenes fogalma és sorrendje

Mi az egyenlet kanonikus formája?

Másodrendű sorok osztályozása

Hogyan építsünk ellipszist?

Hogyan lehet megtalálni az ellipszis gócát?

Ellipszis excentricitás és geometriai jelentése

A kör az ellipszis speciális esete

az (1) egyenlet egy képzeletbeli másodrendű görbét határoz meg. Az x 2 + y 2 = − 1 egyenlet megteheti

példaként szolgál egy képzeletbeli görbét meghatározó másodfokú egyenletre, in ebben az esetben képzeletbeli kör.

				1 (a ≥b > 0 )

a és b hosszúságú féltengellyel. Különösen a = b esetén a kör egyenlete

x 2+ y 2= a 2

középponttal az origóban és a sugárral a.

				1 (a ≥b > 0 )

a és b tengelytengelyekkel.

y2 = 2 px(p> 0 ) .

a2 x2 − b2 y2 = 0, (0< a, b) или y= ± b a x.

x 2 −a 2 =0 (a ≥0), vagy x = ±a. y 2 −b 2 = 0, (b ≥ 0) vagy y = ±b.

Az ellipszis pontok halmaza, azoknak a távolságoknak az összege, amelyektől kettő adott pontokat, úgynevezett gócok, állandó mennyiség.

Ha ismert: az F 1 gócok közötti távolság		és F 2 ellipszis, egyenlő 2 c-vel és a távolságok összegével
az ellipszis bármely pontjától a gócokig, egyenlő		2 a , majd téglalapban Descartes-rendszer
koordináták, ahol az Ox tengely áthalad a fókuszokon		F 1 és F 2 (F 1 -től F 2 -ig), valamint az origó
félúton közöttük az ellipszis egyenlete az
	1, ahol 2 = a 2 − c 2.




	−c


A bevezetett koordinátarendszerben a fókuszok a tengelyen helyezkednek el			Ökör és legyen koordinátájuk
F 1 (− c , 0 ) és F 2 (c , 0 ). Legyen az M (x, y) pont az ellipszishez tartozik (1.7.1. ábra). Akkor
MF = (x+ c) 2		Y2, MF= (x− c) 2

2 a =(x +c) 2 +y 2 +(x -c) 2 +y 2,

az első gyököt jobb oldalról balra áthelyezve írjuk

2 a −(x +c) 2 +y 2 =(x −c) 2 +y 2.

Tegyük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát

4 a 2 +(x +c) 2 +y 2 −4 a (x +c) 2 +y 2 =(x -c) 2 +y 2

és nyissa ki a négyzeteket a bal és a jobb oldalon

4 a 2 +x 2 +2 cx +y 2 +c 2 −4 a (x +c ) 2 +y 2 =x 2 −2 xc +c 2 +y 2.

Vezető hasonló tagjai, megkapjuk az egyenletet

4 a2 + 4 cx= 4 a (x+ c) 2 + y2,

Ennek mindkét oldalát elosztjuk 4-gyel, és ismét négyzetre tesszük. akkor az egyenlet alakot vesz fel

a 4+ 2 a 2cx + c 2x 2= a 2[ x 2+ 2 cx + c 2+ y 2] .

Az utolsó egyenlet egyszerűsíthető a zárójelek megnyitásával és hasonló kifejezések hozzáadásával,

a 4+ 2 a 2cx + c 2x 2= a 2x 2+ 2 a 2cx + a 2c 2+ a 2y 2, − (a 2− c 2) x 2= − a 2(a 2− c 2) + a 2 év 2.

Mivel az ellipszis definíciójából az következik, hogy 2 a > 2 c, akkor az a 2 − c 2 > 0 és b 2 = a 2 − c 2 számmal jelölhető. Ekkor az ellipszis egyenlete az alakba lesz írva

− b 2x 2= − a 2b 2+ a 2y 2, vagy a 2b 2= b 2x 2+ a 2y 2.

Az ilyen ellipszis egyenletet kanonikusnak nevezzük.

ezt a görbét. Ezért a görbe szimmetrikus az ordinátára. Az ellipszis szimmetrikus és

az x tengelyhez képest, mert az egyenlete nem változik, ha y helyére − y kerül. Figyelembe véve

ehhez elegendő a görbe első negyedbeli formáját tanulmányozni, azaz x, y ≥ 0 feltétel mellett.
x, y ≥ 0 esetén megadhatja a görbét explicit egyenlet formájában		a 2-x2,	(0 ≤x ≤a) . Tól től

ebből az egyenletből világos, hogy a görbe áthalad a B (0, b) pontokon.	és A(a, 0). Ezeket a pontokat ún
az ellipszis csúcsai.
Ellipszis - korlátos görbe, amely egy téglalapon belül van			0 ≤ x ≤a

Az ellipszis explicit egyenlete világos, hogy az y ordináta folyamatos növekedéssel			0 ≤ y ≤ b
				a szegmensen

[ 0 , a ] monoton csökken. Következésképpen az ellipszis egy folytonos zárt görbe, az elsőben

negyedben felfelé konvex; A fennmaradó negyedekben a görbe a szimmetria figyelembevételével készül koordináta tengelyek.

Az a és b számokat az ellipszis féltengelyének nevezzük. Mivel b 2 = a 2 − c 2, akkor a > b és az ellipszis megnyúlik az Ox tengely mentén. Ebben az esetben a-t hívják főtengely, ab - melléktengely ellipszis. A görbe típusát az 1.7.2. ábra mutatja.




− a	−c
− a	−c
		−b

Ha a = b, akkor az ellipszis egy sugarú kör. Ennek a körnek az egyenlete

a középponttal az origóban.

x 2+ y 2= a 2.

Különcség ellipszist ε = a c számnak nevezzük. Az ellipszis excentricitásáért

a 0 egyenlőtlenség igaz< ε <1 , поскольку из определения эллипса следует, чтоc >a > 0. A kör excentricitása ε = 0, mivel a körre a = b és c = 0.

Figyelembe véve, hogy a kör excentricitása ε = 0, arra a következtetésre juthatunk, hogy minél nagyobb az ellipszis excentricitása, annál megnyúltabb az egyik szimmetriatengelyhez képest.

A hiperbola olyan pontok halmaza, amelyek távolságának különbsége két adott ponttól, úgynevezett góctól, állandó érték.

Ha a következők ismertek: a hiperbola F 1 és F 2 gócainak távolsága, egyenlő 2 c, és a hiperbola bármely pontja és a góc közötti távolságok különbsége 2 a, akkor a derékszögű derékszögű rendszer

b 2= c 2− a 2.

b 2 = c 2 − a 2


−c
−c

A bevezetett xOy rendszerben a fókuszpontok koordinátái F 1 (− c, 0), F 2 (c, 0). Ha pont A (x, y)

hiperbolához tartozik, akkor AF 1 − AF 2 = 2 a, vagy AF 1 − AF 2 = ±2 a (1.7.3. ábra).

Az A, F 1, F 2 pontok koordinátáit behelyettesítve az utolsó egyenlőségbe, megkapjuk

(x +c) 2 +y 2 −(x −c) 2 +y 2 = ±2a,

vagy (x +c) 2 +y 2 =(x -c) 2 +y 2 ± 2a.

Nézzük négyzetre az utolsó egyenlet mindkét oldalát

(x +c ) 2 +y 2 =(x -c ) 2 +y 2 ±4 a (x -c ) 2 +y 2 +4 a 2

és egyszerűsítse az összes négyzet felfedésével

x 2 +2 cx +c 2 +y 2 =x 2 −2 cx +c 2 +y 2 ±4 a (x -c ) 2 +y 2 +4 a 2

és hasonló feltételeket hoz

4 cx− 4 a2 = ± 4 a (x− c) 2 + y2 .

Osszuk el az utolsó egyenletet 4 és újra négyszögletesre c 2x 2− 2 cxa 2+ a 4= a 2(x 2− 2 cx + c 2+ y 2) .

A zárójeleket kinyitva és egyszerűsítésekkel megkapjuk az egyenletet

(c 2− a 2) x 2− a 2y 2= a 2(c 2− a 2) ,

amelyben c 2 − a 2 > 0, hiszen 2 c > 2 a a hiperbola definíciójából. Ebből következik, hogy bevezethetjük a jelölést és felírhatjuk a hiperbola egyenletet b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 alakban.

A 2 b 2-vel osztva megkapjuk a hiperbola egyenletét

a x 22 − b y 2 2= 1 ,

amelyet kanonikusnak neveznek.

Az egyenlet alakjából egyértelmű		hogy a hiperbola szimmetrikus az Ox tengelyre és az Oy tengelyre. Nál nél
x = 0 kapjuk az egyenletet			amelynek nincsenek igazi gyökerei. Ennélfogva,


a görbe nem metszi a tengelyt	Oy. Nál nél		y = 0 kapjuk az egyenletet		1, melynek gyöke x = ± a.


Következésképpen a görbe az A 1 (a, 0) pontokban metszi az Ox tengelyt és				A 2 (− a , 0 ) . Ezeket a pontokat ún

a hiperbola csúcsai.

11.1. Alapfogalmak

Tekintsük az aktuális koordinátákhoz viszonyított másodfokú egyenletekkel meghatározott egyeneseket

Az egyenlet együtthatói valós számok, de az A, B vagy C számok közül legalább egy nem nulla. Az ilyen vonalakat másodrendű vonalaknak (görbéknek) nevezzük. Az alábbiakban megállapítjuk, hogy a (11.1) egyenlet egy kört, ellipszist, hiperbolát vagy parabolát határoz meg a síkon. Mielőtt rátérnénk erre az állításra, tanulmányozzuk a felsorolt görbék tulajdonságait.

11.2. Kör

A legegyszerűbb másodrendű görbe egy kör. Emlékezzünk vissza, hogy egy R sugarú kör, amelynek középpontja egy pontban van, a sík összes M pontjának halmaza, amely teljesíti a feltételt. Legyen egy pontnak egy téglalap alakú koordinátarendszerben x 0, y 0 koordinátája és - egy tetszőleges pontja a körön (lásd 48. ábra).

Ekkor a feltételből megkapjuk az egyenletet

(11.2)

A (11.2) egyenletet egy adott kör bármely pontjának koordinátái kielégítik, és nem teljesülnek a körön kívül eső pontok koordinátái.

A (11.2) egyenletet nevezzük kör kanonikus egyenlete

Konkrétan a és beállításával megkapjuk az origó középpontjával rendelkező kör egyenletét .

A (11.2) köregyenlet egyszerű transzformációk után a következő alakot veszi fel. Ha ezt az egyenletet összehasonlítjuk egy másodrendű görbe általános egyenletével (11.1), könnyen észrevehető, hogy a kör egyenletére két feltétel teljesül:

1) x 2 és y 2 együtthatói egyenlőek egymással;

2) nincs olyan tag, amely az aktuális koordináták xy szorzatát tartalmazza.

Mérlegeljük inverz probléma. Az értékeket és a (11.1) egyenletbe helyezve megkapjuk

Alakítsuk át ezt az egyenletet:

(11.4)

Ebből következik, hogy a (11.3) egyenlet egy kört határoz meg a feltétel alatt . A középpontja a ponton van , és a sugár

Ha , akkor a (11.3) egyenlet alakja

Ezt egyetlen pont koordinátái elégítik ki . Ebben az esetben azt mondják: „a kör ponttá fajult” (nulla sugara van).

Ha , akkor a (11.4) egyenlet, és ezért az ekvivalens (11.3) egyenlet nem fog semmilyen egyenest meghatározni, mivel jobb rész a (11.4) egyenlet negatív, a bal oldali pedig nem negatív (mondjuk: „a kör képzeletbeli”).

11.3. Ellipszis

Kanonikus ellipszis egyenlet

Ellipszis egy sík összes pontjának halmaza, amelyek távolságának összege a sík két adott pontjától, ún. trükkök , egy állandó érték, amely nagyobb, mint a gócok közötti távolság.

Jelöljük a fókuszokat F 1És F 2, a köztük lévő távolság 2 c, és az ellipszis tetszőleges pontja és a fókuszok közötti távolságok összege - 2-ben a(lásd 49. ábra). Definíció szerint 2 a > 2c, azaz a > c.

Az ellipszis egyenletének levezetéséhez olyan koordinátarendszert választunk, hogy a fókusz F 1És F 2 a tengelyen feküdt, és az origó egybeesett a szakasz közepével F 1 F 2. Ekkor a fókuszpontok a következő koordinátákkal rendelkeznek: és .

Legyen az ellipszis tetszőleges pontja. Majd aszerint az ellipszis meghatározása, , azaz

Ez lényegében egy ellipszis egyenlete.

Alakítsuk át a (11.5) egyenletet többre egyszerű nézet a következő módon:

Mert a>Val vel, Azt . Tegyük fel

(11.6)

Ekkor az utolsó egyenlet a vagy alakot veszi fel

(11.7)

Bizonyítható, hogy a (11.7) egyenlet ekvivalens eredeti egyenlet. Ezt hívják kanonikus ellipszis egyenlet .

Az ellipszis egy másodrendű görbe.

Ellipszis alakjának tanulmányozása egyenletével

Határozzuk meg az ellipszis alakját annak kanonikus egyenletével.

1. A (11.7) egyenletben x és y csak páros hatványban szerepel, tehát ha egy pont az ellipszishez tartozik, akkor a ,, pontok is hozzá tartoznak. Ebből következik, hogy az ellipszis szimmetrikus a és tengelyekhez képest, valamint a ponthoz képest, amelyet az ellipszis középpontjának nevezünk.

2. Keressük a pontokat az ellipszis és a koordinátatengelyek metszéspontja. Elhelyezve találunk két pontot és , ahol a tengely metszi az ellipszist (lásd 50. ábra). Feltéve a (11.7) egyenletet, megtaláljuk az ellipszis és a tengely metszéspontjait: és . Pontok A 1 , A 2 , B 1, B 2 hívják az ellipszis csúcsai. Szegmensek A 1 A 2És B 1 B 2, valamint hosszuk 2 aés 2 b ennek megfelelően hívják nagy- és melléktengelyek ellipszis. Számok aÉs b nagynak és kicsinek nevezik tengelytengelyek ellipszis.

3. A (11.7) egyenletből következik, hogy a bal oldalon lévő tagok nem haladják meg az egyet, azaz. az egyenlőtlenségek és vagy és bekövetkeznek. Következésképpen az ellipszis minden pontja az egyenesek által alkotott téglalap belsejében található.

4. A (11.7) egyenletben a és nem negatív tagok összege eggyel egyenlő. Következésképpen az egyik tag növekedésével a másik csökkenni fog, azaz ha nő, akkor csökken, és fordítva.

A fentiekből következik, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 50 (ovális zárt görbe).

További információ az ellipszisről

Az ellipszis alakja az aránytól függ. Amikor az ellipszis körré változik, az ellipszis (11.7) egyenlete a következőt veszi fel. Az arányt gyakran használják az ellipszis alakjának jellemzésére. A fókuszpontok és az ellipszis fél-főtengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, az o6o-t pedig ε („epszilon”) betűvel jelöljük:

0-val<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ez azt mutatja, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé lesz lapos az ellipszis; ha ε = 0-t állítunk be, akkor az ellipszis körré változik.

Legyen M(x;y) az ellipszis tetszőleges pontja F 1 és F 2 fókuszokkal (lásd 51. ábra). Az F 1 M = r 1 és F 2 M = r 2 szakaszok hosszát az M pont fókuszsugarának nevezzük. Magától értetődően,

A képletek érvényesek

Közvetlen vonalakat hívnak

11.1. Tétel. Ha az ellipszis egy tetszőleges pontja és egy fókusz távolsága, d pedig ugyanannak a pontnak a távolsága az ennek a fókusznak megfelelő irányítóponttól, akkor az arány állandó érték, amely megegyezik az ellipszis excentricitásával:

A (11.6) egyenlőségből az következik, hogy . Ha, akkor a (11.7) egyenlet definiál egy ellipszist, amelynek főtengelye az Oy tengelyen, a melléktengelye pedig az Ox tengelyen fekszik (lásd 52. ábra). Egy ilyen ellipszis fókuszai a és pontokban vannak, ahol .

11.4. Hiperbola

Kanonikus hiperbola egyenlet

Túlzás a sík összes pontjának halmaza, az egyes pontoktól a sík két adott pontja közötti távolságkülönbség modulusa, ún. trükkök , egy állandó érték, amely kisebb, mint a gócok közötti távolság.

Jelöljük a fókuszokat F 1És F 2 a távolság köztük 2s, valamint a hiperbola egyes pontjaitól az átmenő gócok közötti távolságok különbségének modulusa 2a. A-priory 2a < 2s, azaz a < c.

A hiperbola egyenlet levezetéséhez olyan koordináta-rendszert választunk, hogy a fókusz F 1És F 2 a tengelyen feküdt, és az origó egybeesett a szakasz közepével F 1 F 2(lásd 53. ábra). Ekkor a gócoknak lesznek koordinátái és

Legyen a hiperbola tetszőleges pontja. Majd a hiperbola definíciója szerint vagy , azaz egyszerűsítések után, ahogyan az ellipszis egyenlet levezetésekor tették, megkapjuk kanonikus hiperbola egyenlet

(11.9)

(11.10)

A hiperbola egy másodrendű vonal.

Hiperbola alakjának tanulmányozása egyenletével

Határozzuk meg a hiperbola alakját a kakonikus egyenlet segítségével.

1. A (11.9) egyenlet csak páros hatványokban tartalmazza az x-et és az y-t. Következésképpen a hiperbola szimmetrikus a tengelyekre és a pontra, amelyet ún. a hiperbola középpontja.

2. Keresse meg a hiperbola és a koordinátatengelyek metszéspontjait! A (11.9) egyenletet beépítve a hiperbolának két metszéspontját találjuk a tengellyel: és. Ha beírjuk (11.9), akkor , ami nem lehet. Következésképpen a hiperbola nem metszi az Oy tengelyt.

A pontokat ún csúcsok hiperbolák és a szegmens

valódi tengely , vonalszakasz - valódi féltengely túlzás.

A pontokat összekötő szakaszt ún képzeletbeli tengely , b szám - képzeletbeli féltengely . Téglalap oldalakkal 2aÉs 2b hívott hiperbola alaptéglalapja .

3. A (11.9) egyenletből következik, hogy a minuend nem kisebb egynél, azaz az vagy . Ez azt jelenti, hogy a hiperbola pontjai az egyenestől jobbra (a hiperbola jobb ága) és az egyenestől balra (a hiperbola bal ága) helyezkednek el.

4. A hiperbola (11.9) egyenletéből kitűnik, hogy ha növekszik, akkor növekszik. Ez abból következik, hogy a különbség eggyel egyenlő állandó értéket tart fenn.

A fentiekből következik, hogy a hiperbola alakja az 54. ábrán látható (két korlátlan ágból álló görbe).

A hiperbola aszimptotái

Az L egyenest aszimptotának nevezzük határtalan K görbe, ha a K görbe M pontja és az egyenes közötti d távolság nullára hajlik, ha a K görbe mentén lévő M pont távolsága az origótól korlátlan. Az 55. ábra szemlélteti az aszimptota fogalmát: L egyenes a K görbe aszimptotája.

Mutassuk meg, hogy a hiperbolának két aszimptotája van:

(11.11)

Mivel az egyenesek (11.11) és a hiperbola (11.9) szimmetrikusak a koordinátatengelyekre, elegendő a jelzett egyeneseknek csak azokat a pontjait figyelembe venni, amelyek az első negyedben helyezkednek el.

Vegyünk egy N pontot egy egyenesen, amelynek ugyanaz az x abszcissza, mint a hiperbola pontjának (lásd 56. ábra), és keresse meg a ΜΝ különbséget az egyenes ordinátái és a hiperbola ága között:

Amint látja, az x növekedésével a tört nevezője növekszik; a számláló állandó érték. Ezért a szegmens hossza A ΜΝ nullára hajlik. Mivel MΝ nagyobb, mint az M pont és az egyenes közötti d távolság, ezért d nullára hajlik. Tehát a vonalak a hiperbola (11.9) aszimptotái.

Hiperbola (11.9) készítésekor célszerű először megszerkeszteni a hiperbola fő téglalapját (lásd 57. ábra), e téglalap ellentétes csúcsain átmenő egyeneseket - a hiperbola aszimptotáit - megjelölni és a csúcsokat és , a hiperbola.

Egyenlő oldalú hiperbola egyenlete.

melynek aszimptotái a koordinátatengelyek

A hiperbolát (11.9) egyenlő oldalúnak nevezzük, ha féltengelyei egyenlőek ()-vel. A kanonikus egyenlete

(11.12)

Az egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak egyenletei vannak, és ezért a koordinátaszögek felezőszögei.

Tekintsük ennek a hiperbolának az egyenletét egy új koordinátarendszerben (lásd 58. ábra), amelyet a koordinátatengelyek szöggel történő elforgatásával kapunk a régiből. A koordinátatengelyek elforgatására a képleteket használjuk:

Az x és y értékeit behelyettesítjük a (11.12) egyenletbe:

Az egyenlő oldalú hiperbola egyenlete, amelyre az Ox és az Oy tengelyek aszimptoták, a következő alakú lesz.

További információ a hiperboláról

Különcség hiperbola (11.9) a fókuszpontok távolságának és a hiperbola valós tengelyének értékének aránya, amelyet ε-val jelölünk:

Mivel egy hiperbola esetében a hiperbola excentricitása nagyobb, mint egy: . Az excentricitás a hiperbola alakját jellemzi. Valóban, a (11.10) egyenlőségből az következik, hogy i.e. És .

Ebből látható, hogy minél kisebb a hiperbola excentricitása, annál kisebb a féltengelyeinek aránya, és ezért annál megnyúltabb a főtéglalapja.

Az egyenlő oldalú hiperbola excentricitása . Igazán,

Fókuszsugarak És a jobb oldali ág pontjainál a hiperbolák alakja és , a bal ágnál pedig - És .

Az egyenes vonalakat hiperbola direktrixeinek nevezzük. Mivel ε > 1 hiperbola esetén, akkor . Ez azt jelenti, hogy a jobb oldali direktrix a hiperbola középpontja és jobb oldali csúcsa között helyezkedik el, a bal - a középpont és a bal csúcs között.

A hiperbola irányító tengelyei ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az ellipszisek iránymutatói.

Az egyenlettel definiált görbe egyben hiperbola is, melynek 2b valós tengelye az Oy tengelyen, a képzeletbeli 2 tengelyen helyezkedik el. a- az Ox tengelyen. Az 59. ábrán szaggatott vonalként látható.

Nyilvánvaló, hogy a hiperboláknak közös aszimptotái vannak. Az ilyen hiperbolákat konjugáltnak nevezzük.

11.5. Parabola

Kanonikus parabola egyenlet

A parabola a sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van egy adott ponttól, amelyet fókusznak nevezünk, és egy adott egyenestől, amelyet irányítópontnak nevezünk. Az F fókusz és az irányító távolságát a parabola paraméterének nevezzük, és p-vel jelöljük (p > 0).

A parabola egyenletének levezetéséhez az Oxy koordinátarendszert úgy választjuk meg, hogy az Ox tengely az F fókuszon az irányítóra merőlegesen haladjon át a direktrixtől F felé eső irányban, és az O koordináták origója középen helyezkedik el fókusz és a direktrix (lásd: 60. ábra). A választott rendszerben az F fókusz koordinátái , az irányítóegyenlet pedig , vagy alakú.

1. A (11.13) egyenletben az y változó páros fokozatban jelenik meg, ami azt jelenti, hogy a parabola szimmetrikus az Ox tengelyre; Az Ox tengely a parabola szimmetriatengelye.

2. Mivel ρ > 0, a (11.13)-ból következik, hogy . Következésképpen a parabola az Oy tengelytől jobbra helyezkedik el.

3. Ha y = 0. Ezért a parabola átmegy az origón.

4. Ha x korlátlanul növekszik, az y modul is korlátlanul növekszik. A parabola alakja (alakja) a 61. ábrán látható. Az O(0; 0) pontot a parabola csúcsának, az FM = r szakaszt az M pont fókuszsugarának nevezzük.

egyenletek , , ( p>0) parabolákat is definiálnak, ezeket a 62. ábra mutatja

Könnyű megmutatni, hogy a grafikon másodfokú trinomikus, ahol , B és C bármely valós szám, parabola a fenti definíció értelmében.

11.6. Másodrendű sorok általános egyenlete

Másodrendű görbék egyenletei a koordinátatengelyekkel párhuzamos szimmetriatengelyekkel

Először keressük meg egy olyan ellipszis egyenletét, amelynek középpontja abban a pontban van, amelynek szimmetriatengelyei párhuzamosak az Ox és Oy koordinátatengelyekkel, a féltengelyek pedig egyenlőek aÉs b. Tegyük az O 1 ellipszis közepébe egy új koordinátarendszer kezdetét, melynek tengelyei és féltengelyei aÉs b(lásd: 64. ábra):

Végül a 65. ábrán látható parabolák megfelelő egyenletekkel rendelkeznek.

Az egyenlet

Az ellipszis, a hiperbola, a parabola és a kör egyenletei transzformációk után (zárójelek kinyitása, az egyenlet összes tagjának egy oldalra helyezése, hasonló tagok hozása, új együttható jelölések bevezetése) egyetlen egyenletével írhatók fel. forma

ahol az A és C együttható egyszerre nem egyenlő nullával.

Felmerül a kérdés: minden (11.14) alakú egyenlet meghatározza-e valamelyik másodrendű görbét (kör, ellipszis, hiperbola, parabola)? A választ a következő tétel adja meg.

Tétel 11.2. A (11.14) egyenlet mindig meghatározza: vagy kört (A = C esetén), ellipszist (A C > 0 esetén), vagy hiperbolát (A C esetén< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Általános másodrendű egyenlet

Tekintsünk most egy másodfokú általános egyenletet két ismeretlennel:

Ez abban különbözik a (11.14) egyenlettől, hogy van egy tag a koordináták szorzatával (B¹ 0). A koordinátatengelyek a szöggel történő elforgatásával ezt az egyenletet úgy alakíthatjuk át, hogy a koordináták szorzatával rendelkező tag hiányzik.

Tengelyforgatási képletek használata

A régi koordinátákat fejezzük ki az új koordinátákkal:

Válasszuk meg az a szöget úgy, hogy x" · y" együtthatója nulla legyen, azaz az egyenlőség

Így ha a tengelyeket a (11.17) feltételnek megfelelő szöggel elforgatjuk, a (11.15) egyenlet a (11.14) egyenletre redukálódik.

Következtetés: az általános másodrendű egyenlet (11.15) a következő görbéket határozza meg a síkon (kivéve a degenerációt és a bomlást): kör, ellipszis, hiperbola, parabola.

Megjegyzés: Ha A = C, akkor a (11.17) egyenlet értelmetlenné válik. Ebben az esetben cos2α = 0 (lásd (11.16)), majd 2α = 90°, azaz α = 45°. Tehát, ha A = C, akkor a koordinátarendszert 45°-kal el kell forgatni.

bomló vonalak:

x 2 - a 2 = 0 - párhuzamos egyenesek,

x 2 + a 2 = 0 - képzeletbeli párhuzamos egyenes pár,

x 2 = 0 - egybeeső párhuzamos egyenesek párjai.

Az L. típusának vizsgálata v. végrehajtható anélkül, hogy az általános egyenletet redukálnánk kanonikus forma. Ezt úgy érjük el, hogy közösen mérlegeljük az ún. lineáris v alapinvariánsai. n. - a (*) egyenlet együtthatóiból álló kifejezések, amelyek értékei nem változnak a koordinátarendszer párhuzamos fordítása és elforgatása során:

S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Így például az ellipszisekre, mint a nem széteső vonalakra, az a tény jellemző, hogy számukra Δ ≠ 0; pozitív érték Az invariáns δ megkülönbözteti az ellipszist más típusú nem széteső vonalaktól (a δ hiperbolákhoz

Három fő invariáns Δ, δ és S határozza meg a lineáris mozgást. p (kivéve a párhuzamos egyenesek esetét) az euklideszi sík mozgásáig (Lásd: Mozgás): ha két egyenes megfelelő Δ, δ és S invariánsai egyenlőek, akkor az ilyen egyenesek mozgással kombinálhatók. Más szóval, ezek a vonalak egyenértékűek a sík mozgáscsoportjával (metrikusan egyenértékűek).

Vannak osztályozási L. v. más transzformációs csoportok szempontjából. Így a mozgások csoportjánál – az affin transzformációk csoportjánál (lásd: Affin transzformációk) – relatíve általánosabb bármely két, azonos kanonikus formájú egyenletekkel meghatározott egyenes ekvivalens. Például két hasonló L. v. n (lásd hasonlóság) egyenértékűnek tekintendők. Kapcsolatok a lineáris v különböző affin osztályai között. o. lehetővé teszi számunkra, hogy a projektív geometria szempontjából osztályozást hozzunk létre (Lásd: Projektív geometria), amelyben a végtelenben lévő elemek nem játszanak különösebb szerepet. Igazi nem széteső gyógyszerek. o.: az ellipszisek, hiperbolák és parabolák egy projektív osztályt alkotnak - a valódi ovális vonalak (oválisok) osztályát. A valódi ovális egyenes egy ellipszis, egy hiperbola vagy egy parabola, attól függően, hogy a végtelenben lévő egyeneshez képest hogyan helyezkedik el: egy ellipszis két képzeletbeli pontban metszi a nem megfelelő egyenest, egy hiperbola két különböző valós pontban, egy parabola érint egy nem megfelelő vonal; létezik projektív transzformációk, átalakítva ezeket a sorokat egymásba. A lineáris vektoroknak csak 5 projektív ekvivalencia osztálya van. o. Pontosan,

nem degenerált vonalak

(x 1, x 2, x 3- homogén koordináták):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - valódi ovális,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - képzeletbeli ovális,

degeneráló vonalak:

x 1 2 - x 2 2= 0 - valós vonalpár,

x 1 2 + x 2 2= 0 - képzeletbeli vonalpár,

x 1 2= 0 - egy pár egybeeső valós egyenes.

A. B. Ivanov.

Nagy Szovjet enciklopédia. - M.: Szovjet enciklopédia. 1969-1978 .

Lapos vonalak, derékszögű koordináták pontokat, amelyek kielégítik algebrai egyenlet 2. fokozat. A másodrendű vonalak között vannak ellipszisek (különösen körök), hiperbolák, parabolák... Nagy enciklopédikus szótár

Síkvonalak, amelyek téglalap alakú pontkoordinátái kielégítik a 2. fokú algebrai egyenletet. A másodrendű vonalak között vannak ellipszisek (különösen körök), hiperbolák és parabolák. * * * A MÁSODIK REND SORAI A MÁSODIK RENDELÉS SORAI,... ... enciklopédikus szótár

Lapos vonalak, téglalap alakú. a pontok koordinátái kielégítik az algebrákat. 2. fokozatú. Között L. v. stb. ellipszisek (főleg körök), hiperbolák, parabolák... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Egy lapos vonal, derékszögű derékszögű koordináták kielégítik az algebrai. 2. fokú egyenlete Előfordulhat, hogy a (*) egyenlet nem határozza meg a tényleges geometriát. kép, de az általánosság megőrzésére ilyenkor azt mondják, hogy ez határozza meg... ... Matematikai Enciklopédia

A háromdimenziós valós (vagy összetett) tér azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátái a derékszögű rendszerben kielégítik az algebrait. 2. fokú egyenlet (*) Előfordulhat, hogy a (*) egyenlet nem határozza meg a tényleges geometriát. képek, ilyen ...... Matematikai Enciklopédia

Ennek a szónak, amelyet nagyon gyakran használnak az íves vonalak geometriájában, nem világos a jelentése. Ha ezt a szót záratlan és el nem ágazó görbe vonalakra alkalmazzuk, akkor a görbe ága alatt minden folytonos különálló... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron

Másodrendű, két átmérőjű vonalak, amelyek mindegyike felezi ennek a görbének a húrjait, párhuzamosan a másikkal. S.D fontos szerep V általános elmélet másodrendű sorok. Nál nél párhuzamos kialakítás ellipszis a kerületében S. d.... ...

Olyan egyenesek, amelyeket úgy kapunk meg, hogy egy jobb oldali kör alakú kúpot olyan síkokkal vágunk, amelyek nem mennek át a csúcsán. K. s. lehet három fajta: 1) a vágósík metszi a kúp összes generatricáját az egyik üregének pontjain; vonal... ... Nagy szovjet enciklopédia

Egyenes vonal vágásával kapott vonalak körkúp olyan síkok, amelyek nem mennek át a csúcsán. K. s. háromféle lehet: 1) egy vágósík a kúp összes generatricáját metszi az egyik üregének pontjain (ábra, a): metszésvonal... ... Matematikai Enciklopédia

Geometria szakasz. A geometriai geometria alapfogalmai a legegyszerűbb geometriai képek (pontok, egyenesek, síkok, görbék és másodrendű felületek). A kutatás fő eszközei A.G.-ben a koordináta-módszer (lásd alább) és a módszerek ... Nagy szovjet enciklopédia

Analitikus geometria rövid kurzusa. Tankönyv. Grif, az Orosz Föderáció Védelmi Minisztériuma, Efimov Nyikolaj Vladimirovics. Tanulmányi tárgy analitikus geometria azok a számok, amelyek Derékszögű koordináták első vagy másodfokú egyenletek adják meg. Egy síkon ezek egyenesek és másodrendű vonalak. BAN BEN…

Alapos tanulmányozás után egyenes vonalak a síkban Folytatjuk a kétdimenziós világ geometriájának tanulmányozását. A tét megduplázódik, és meghívlak, hogy látogassa meg az ellipszisek, hiperbolák, parabolák festői galériáját, amelyek tipikus képviselői másodrendű sorok. A kirándulás már elkezdődött, és először rövid tájékoztatás a teljes kiállításról a múzeum különböző szintjein:

Egy síkon lévő egyenest ún algebrai, ha bent affin koordinátarendszer egyenletének alakja , ahol egy polinom, amely alaktagokból áll ( – valós szám, – nem negatív egész számok).

Mint látható, az algebrai egyenes egyenlete nem tartalmaz szinuszokat, koszinuszokat, logaritmusokat és egyéb funkcionális beau monde-okat. Csak X és Y van benne nem negatív egész számok fokon.

Sorrend megegyezik a benne foglalt kifejezések maximális értékével.

A megfelelő tétel szerint az algebrai egyenes fogalma, valamint sorrendje nem függ a választástól affin koordinátarendszer, ezért a létezés megkönnyítése érdekében feltételezzük, hogy minden további számítás ben történik Derékszögű koordináták.

Általános egyenlet a második sorrendű sor alakja , ahol – tetszőleges valós számok (Kettős tényezővel szokás írni), és az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Ha , akkor az egyenlet leegyszerűsödik , és ha az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával, akkor ez pontosan így van „lapos” egyenes általános egyenlete, amely képviseli első rendű sor.

Sokan megértették az új kifejezések jelentését, de ennek ellenére az anyag 100%-os elsajátításához dugjuk az ujjunkat a foglalatba. A sorok sorrendjének meghatározásához ismételni kell minden kifejezést egyenleteit és mindegyikre keresse meg fokok összege bejövő változók.

Például:

a kifejezés „x”-et tartalmaz az 1. hatványig;
a kifejezés „Y”-t tartalmaz az 1. hatványig;
A kifejezésben nincsenek változók, így hatványaik összege nulla.

Most nézzük meg, miért határozza meg az egyenlet az egyenest második rendelés:

a kifejezés „x”-et tartalmaz a 2. hatványig;
az összegző a változók hatványainak összege: 1 + 1 = 2;
a kifejezés „Y”-t tartalmaz a 2. hatványig;
minden egyéb kifejezés - Kevésbé fokon.

Maximális érték: 2

Ha hozzáadjuk, mondjuk, az egyenletünket, akkor az már meghatározza harmadrendű sor. Nyilvánvaló, hogy a 3. rendű soregyenlet általános formája a tagok „teljes halmazát” tartalmazza, amelyben a változók hatványainak összege három:
, ahol az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Abban az esetben, ha egy vagy több megfelelő kifejezést ad hozzá, amelyek tartalmazzák , akkor már beszélünk róla 4. rendű sorok stb.

Nem egyszer kell találkoznunk 3., 4. és magasabb rendű algebrai sorokkal, különösen a poláris koordináta-rendszer.

Azonban térjünk vissza az általános egyenlethez, és emlékezzünk a legegyszerűbb iskolai változataira. Példaként egy parabola javasolja magát, amelynek egyenlete könnyen redukálható Általános megjelenésés egy hiperbola az ekvivalens egyenlettel. Azért nem minden olyan simán...

Az általános egyenlet jelentős hátránya, hogy szinte mindig nem egyértelmű, hogy melyik egyenest határozza meg. Még a legegyszerűbb esetben sem fogja azonnal észrevenni, hogy ez egy hiperbola. Az ilyen elrendezések csak maszkabálra jók, ezért az analitikus geometria során figyelembe vesszük tipikus feladat a 2. rendű egyenes egyenlet kanonikus formába hozása.

Ez általánosan elfogadott standard nézet egyenletet, amikor pillanatok alatt világossá válik, hogy milyen geometriai objektumot határoz meg. Ezenkívül a kanonikus forma sok megoldására nagyon kényelmes gyakorlati feladatokat. Tehát például a kanonikus egyenlet szerint "lapos" egyenes, egyrészt azonnal látható, hogy ez egy egyenes, másrészt a hozzá tartozó pont és az irányvektor jól látható.

Nyilvánvaló, hogy bármelyik 1. rendű sor egy egyenes vonal. A második emeleten már nem az őrs vár ránk, hanem egy sokkal változatosabb, kilenc szoborból álló társaság:

Egy speciális műveletsor segítségével a másodrendű sor bármely egyenlete a következők valamelyikére redukálódik a következő típusok:

(és pozitív valós számok)

1) – az ellipszis kanonikus egyenlete;

2) – hiperbola kanonikus egyenlete;

3) – parabola kanonikus egyenlete;

4) – képzeletbeli ellipszis;

5) – egy metsző egyenes pár;

6) – pár képzeletbeli metsző vonalak (egy igazi pont kereszteződések az origónál);

7) – egy pár párhuzamos egyenes;

8) – pár képzeletbeli párhuzamos vonalak;

9) – egybeeső vonalpár.

Néhány olvasónak az a benyomása lehet, hogy a lista nem teljes. Például a 7. pontban az egyenlet megadja a párt közvetlen, párhuzamos a tengellyel, és felmerül a kérdés: hol van az egyenlet, amely meghatározza az ordinátatengellyel párhuzamos egyeneseket? Válaszold meg nem tekinthető kanonikusnak. Az egyenes vonalak ugyanazt a standard esetet képviselik, 90 fokkal elforgatva, és az osztályozás további bejegyzése felesleges, mivel alapvetően nem hoz újat.

Így van kilenc és csak kilenc különféle típusok 2. rendű sorok, de a gyakorlatban leggyakrabban előfordulnak ellipszis, hiperbola és parabola.

Nézzük először az ellipszist. Szokás szerint azokra a pontokra koncentrálok, amelyek megvannak nagyon fontos problémák megoldásához, ha pedig képletek részletes levezetésére, tételbizonyításra van szüksége, kérjük, forduljon például Baziljev/Atanasyan vagy Aleksandrov tankönyvéhez.

Helyesírás... kérem, ne ismételje meg néhány Yandex-felhasználó hibáit, akiket érdekel az „ellipszis felépítése”, „az ellipszis és az ovális különbsége” és „az ellipszis excentricitása”.

Az ellipszis kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok, és . Az ellipszis definícióját később fogom megfogalmazni, de most itt az ideje, hogy szünetet tartsunk a beszédboltban, és megoldjunk egy gyakori problémát:

Igen, csak vedd és rajzold le. A feladat gyakran előfordul, és a tanulók jelentős része nem birkózik meg megfelelően a rajzzal:

1. példa

Építsünk ellipszist, egyenlet adja meg

Megoldás: Először is hozzuk kanonikus formába az egyenletet:

Miért hozza? A kanonikus egyenlet egyik előnye, hogy lehetővé teszi az azonnali meghatározást az ellipszis csúcsai, amelyek pontokon helyezkednek el. Könnyen belátható, hogy az egyes pontok koordinátái kielégítik az egyenletet.

Ebben az esetben :

Vonalszakasz hívott főtengely ellipszis;
vonalszakasz – melléktengely;
szám hívott félmajor tengely ellipszis;
szám – melléktengely.
példánkban: .

Ha gyorsan el szeretné képzelni, hogyan néz ki egy adott ellipszis, csak nézze meg a kanonikus egyenlet „a” és „be” értékét.

Minden rendben van, sima és szép, de van egy figyelmeztetés: a rajzot a programmal készítettem. És a rajzot bármilyen alkalmazással elkészítheti. A rideg valóságban azonban egy kockás papírlap hever az asztalon, kezünkön pedig az egerek táncolnak körbe. A művészi tehetséggel rendelkezők persze vitatkozhatnak, de neked is vannak egereid (bár kisebbek). Nem hiába találta fel az emberiség a vonalzót, az iránytűt, a szögmérőt és más egyszerű eszközöket a rajzoláshoz.

Emiatt nem valószínű, hogy csak a csúcsok ismeretében tudunk pontosan megrajzolni egy ellipszist. Nem baj, ha az ellipszis kicsi, például féltengelyekkel. Alternatív megoldásként csökkentheti a rajz léptékét és ennek megfelelően a méreteit. De általános eset Nagyon kívánatos további pontokat találni.

Kétféle megközelítés létezik az ellipszis felépítésére: geometriai és algebrai. Nem szeretek iránytűvel és vonalzóval építeni, mert az algoritmus nem a legrövidebb, és a rajz jelentősen zsúfolt. Sürgős esetben a tankönyvből tájékozódjunk, de a valóságban sokkal racionálisabb az algebra eszközeinek alkalmazása. Az ellipszis egyenletéből a vázlatban gyorsan kifejezzük:

Az egyenlet ezután két függvényre bomlik:
– meghatározza az ellipszis felső ívét;
– meghatározza az ellipszis alsó ívét.

A kanonikus egyenlet által definiált ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra. És ez nagyszerű – a szimmetria szinte mindig az ajándékok előhírnöke. Nyilván elég az 1. koordinátanegyeddel foglalkozni, így kell a függvény . További pontokért abszcisszákkal kell keresni . Koppintsunk három SMS-re a számológépen:

Persze az is szép, hogy ha komoly hiba történik a számításokban, az az építkezés során azonnal kiderül.

Jelölje be a pontokat a rajzon (piros szín), szimmetrikus pontok a fennmaradó íveken ( Kék szín), és óvatosan kösse össze az egész céget egy vonallal:

Jobb, ha nagyon vékonyan rajzolja meg a kezdeti vázlatot, és csak ezután gyakoroljon nyomást ceruzával. Az eredmény egy egészen tisztességes ellipszis legyen. Egyébként szeretnéd tudni, hogy mi ez a görbe?

Az ellipszis az különleges eset ovális Az „ovális” szót nem filiszteri értelemben kell érteni („a gyerek oválist rajzolt” stb.). Ez matematikai kifejezés, amelynek részletes megfogalmazása van. Célja ezt a leckét nem foglalkozik az oválisok elméletével és különféle típusaival, amelyekre az analitikus geometria standard kurzusában gyakorlatilag nem fordítanak figyelmet. És a sürgetőbb igényeknek megfelelően azonnal áttérünk az ellipszis szigorú meghatározására:

Ellipszis a sík összes pontjának halmaza, két adott ponttól való távolságok összege, ún trükkök ellipszis - számszerűen állandó mennyiség hosszával egyenlő ennek az ellipszisnek a főtengelye: .
Ugyanakkor a fókuszok közötti távolság kisebb adott értéket: .

Most minden világosabb lesz:

Képzelje el, hogy a kék pont egy ellipszis mentén „utazik”. Tehát függetlenül attól, hogy az ellipszis melyik pontját vesszük, a szakaszok hosszának összege mindig ugyanaz lesz:

Győződjön meg arról, hogy példánkban az összeg értéke valóban nyolc. Helyezze gondolatban az „um” pontot az ellipszis jobb csúcsára, majd: , amit ellenőrizni kellett.

Megrajzolásának másik módja az ellipszis definícióján alapul. Felső matematika, időnként a feszültség és a stressz okozója, ezért ideje egy újabb kirakodást lefolytatni. Kérjük, vegyen egy whatman papírt vagy egy nagy kartonlapot, és rögzítse két szöggel az asztalhoz. Ezek trükkök lesznek. Kössünk zöld szálat a kiálló szögfejekre, és húzzuk végig ceruzával. A ceruza vezeték egy bizonyos pontra kerül, amely az ellipszishez tartozik. Most kezdje el rajzolni a ceruzát a papírlap mentén, és tartsa feszesen a zöld szálat. Folytassa a folyamatot, amíg vissza nem tér a kiindulási ponthoz... remek... a rajzot az orvos és a tanár is ellenőrizheti =)

A fenti példában „kész” fókuszpontokat ábrázoltam, és most megtanuljuk, hogyan vonhatjuk ki őket a geometria mélységeiből.

Ha egy ellipszist egy kanonikus egyenlet ad meg, akkor a fókuszpontjainak koordinátái vannak , hol van távolság az egyes fókuszoktól az ellipszis szimmetriaközéppontjáig.

A számítások egyszerűbbek az egyszerűnél:

! A fókuszpontok konkrét koordinátái nem azonosíthatók a „tse” jelentéssel! Ismétlem, hogy ez az TÁVOLSÁG az egyes fókuszoktól a középpontig(amelynek általában nem kell pontosan az origóban elhelyezkednie).
Ezért a gócok közötti távolság sem köthető az ellipszis kanonikus helyzetéhez. Más szóval, az ellipszis áthelyezhető egy másik helyre, és az érték változatlan marad, míg a fókuszok természetesen megváltoztatják a koordinátáikat. Kérlek gondold meg Ebben a pillanatban a téma további tanulmányozása során.

Az ellipszis excentricitása egy olyan arány, amely a tartományon belüli értékeket vehet fel.

A mi esetünkben:

Nézzük meg, hogyan függ az ellipszis alakja az excentricitásától. Ezért rögzítse a bal és a jobb csúcsot a vizsgált ellipszis értéke, azaz a félnagy tengely értéke állandó marad. Ekkor az excentricitási képlet a következő alakot veszi fel: .

Kezdjük közelebb hozni az excentricitás értékét az egységhez. Ez csak akkor lehetséges, ha. Mit jelent? ...emlékezz a trükkökre . Ez azt jelenti, hogy az ellipszis gócai az abszcissza tengelye mentén az oldalcsúcsok felé „elmozdulnak egymástól”. És mivel „a zöld szegmensek nem gumik”, az ellipszis elkerülhetetlenül ellaposodni kezd, és egyre vékonyabb, tengelyre felfűzött kolbászsá válik.

És így, minél közelebb van az ellipszis excentricitás értéke az egységhez, annál megnyúltabb az ellipszis.

Most modellezzük az ellenkező folyamatot: az ellipszis fókuszait egymás felé sétáltak, közeledve a központhoz. Ez azt jelenti, hogy a „ce” értéke egyre kisebb lesz, és ennek megfelelően az excentricitás nullára irányul: .
Ebben az esetben a „zöld szegmensek” éppen ellenkezőleg, „zsúfolttá válnak”, és elkezdik „fel-le tolni” az ellipszis vonalát.

És így, Minél közelebb van az excentricitás értéke a nullához, annál jobban hasonlít az ellipszishez... néz korlátozó eset amikor a gócok sikeresen egyesülnek az origónál:

Valójában a féltengelyek egyenlősége esetén az ellipszis kanonikus egyenlete a formát ölti, amely reflexszerűen átalakul az iskolából jól ismert „a” sugár origójának középpontjával rendelkező kör egyenletévé.

A gyakorlatban gyakrabban használják a „beszélő” „er” betűt tartalmazó jelölést: . A sugár egy szakasz hossza, ahol a kör minden egyes pontját sugárnyi távolságra távolítják el a középponttól.

Vegyük észre, hogy az ellipszis definíciója teljesen helyes marad: a gócok egybeesnek, és a kör minden pontjában az egybeeső szakaszok hosszának összege állandó. Mivel a gócok közötti távolság , akkor bármely kör excentricitása nulla.

A kör felépítése egyszerű és gyors, csak használjon iránytűt. Néha azonban meg kell találni egyes pontjainak koordinátáit, ebben az esetben a megszokott úton járunk - az egyenletet a vidám Matanov alakba visszük:

– a felső félkör funkciója;
– az alsó félkör funkciója.

Ami után megtaláljuk szükséges értékeket, megkülönböztetni, egyesítés csinálj más jó dolgokat.

A cikk természetesen csak tájékoztató jellegű, de hogyan élhetsz szeretet nélkül a világban? Kreatív feladat Mert önálló döntés

2. példa

Állítsd össze egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha az egyik góca és a fél-minor tengely ismert (a középpont az origóban van). Keressen csúcsokat, további pontokat, és rajzoljon egy vonalat a rajzon. Számítsa ki az excentricitást.

Megoldás és rajz az óra végén

Adjunk hozzá egy műveletet:

Ha az ellipszis egyenletében

1 helyett x - x,

akkor a megjelenése nem változik. Ez

azt jelenti, hogy ha egy M (x, y) pont

a görbéhez tartozik, majd a ponthoz

M 1 (− x, y) is hozzátartozik

Térjünk vissza az ellipszis kanonikus egyenletéhez, mégpedig ahhoz a feltételhez, amelynek rejtélye e görbe első említése óta gyötri a kíváncsi elméket. Tehát megnéztük az ellipszist , de nem lehetséges-e a gyakorlatban teljesíteni az egyenletet ? Hiszen itt azonban úgy tűnik, ez is ellipszis!

Ez a fajta egyenlet ritka, de előfordul. És valójában egy ellipszist határoz meg. Tisztázzuk meg:

Az építés eredményeként 90 fokkal elforgatva natív ellipszisünket kaptuk. vagyis - Ezt nem kanonikus bejegyzés ellipszis . Rekord!- az egyenlet nem határoz meg más ellipszist, mivel a tengelyen nincsenek olyan pontok (gócok), amelyek kielégítenék az ellipszis definícióját.

Töltse le a Depositfiles oldalról

9. sz. előadás 3. téma: Másodrendű sorok

Legyen adott egy másodfokú egyenlettel meghatározott egyenes valamilyen DSC-ben

hol vannak az együtthatók
egyszerre nem egyenlők nullával. Ezt a vonalat hívják görbe ill második rendű sor.

Előfordulhat, hogy nincs pont
valós koordinátákkal, amelyek kielégítik az (1) egyenletet. Ebben az esetben úgy gondoljuk, hogy az (1) egyenlet egy másodrendű képzeletbeli egyenest határoz meg. Például,
 Ez egy képzeletbeli kör egyenlete.

Tekintsük az (1) egyenlet három fontos speciális esetét.

3.1. Ellipszis

Az ellipszist az egyenlet határozza meg

(2)

Esély AÉs b fél-nagy és fél-melléktengelynek nevezzük, és a (2) egyenlet kánoni ellipszis egyenlete.

Tegyük fel
és jelölje meg a tengelyen RÓL RŐL xpontokat

hívott trükkök ellipszis. Ekkor az ellipszist a következőképpen határozhatjuk meg

pontok helye, azoknak a távolságoknak az összege, amelyektől a fókuszpontokig egy állandó érték egyenlő 2A.

nál nél

M K

— AF 1 O F 2 a x

— b

Mutassuk meg. Legyen a lényeg
 az ellipszis aktuális pontja. Ebben az esetben azt kapjuk, hogy az egyenlőségnek teljesülnie kell

A (3) kifejezést ábrázoljuk az alakban

és négyzet alakú a kifejezés mindkét oldala

Innentől kapunk

Még egyszer négyszerezzük ezt a kifejezést, és használjuk a relációt
, Akkor

(4)

A (4) kifejezés mindkét oldalát osztva ezzel
, végül megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét

Vizsgáljuk meg a (2) egyenletet. Ha kicseréljük, akkor a (2) egyenlet nem változik. Ez azt jelenti, hogy az ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre. Ezért nézzük meg részletesen az ellipszis első negyedben található részét. Az egyenlet határozza meg
Nyilvánvaló, hogy az ellipszis áthalad a pontokon
. A vázlatos felépítést követően az első negyedévben szimmetrikusan jelenítjük meg a grafikonját minden negyedévben. Így az ellipszis egy folytonos zárt görbe. A pontokat ún az ellipszis csúcsai.

Hozzáállás
hívottkülöncségellipszis. Ellipszishez
.

Közvetlen
hívják az ellipszis irányvonalai.

Becsületes következő ingatlan igazgatónők:

Az ellipszis pontjainál a fókusztól és a direktrixtől való távolságok aránya az excentricitással egyenlő állandó érték, azaz.

Ugyanúgy bizonyított, mint az egyenlőség (3).

1. megjegyzés. Kör
az ellipszis speciális esete. Neki

3.2. Hiperbola

A hiperbola kanonikus egyenlete alakja

azok. az (1) egyenletben fel kell tennünk

Esély AÉs b valós, illetve képzeletbeli féltengelynek nevezzük.

Elhelyezés
, jelölje meg a tengelyen RÓL RŐL xpontokat
hívott trükkök túlzás. Ekkor egy hiperbola definiálható így

pontok helye, a távolságok különbsége a gócokig abszolút érték egyenlő 2-velA, azaz

nál nél

NAK NEK M

F 1 —A RÓL RŐL AF 2 x

A bizonyítás hasonló az ellipszishez. A hiperbola egyenlet alakja alapján arra a következtetésre jutunk, hogy grafikonja szimmetrikus a koordinátarendszer tengelyeihez képest. A hiperbola első negyedben lévő részének az egyenlete van
Ebből az egyenletből világos, hogy kellően nagyxhiperbola közel van egy egyeneshez
. Az első negyedév sematikus felépítése után szimmetrikusan jelenítjük meg a grafikont minden negyedben.