A paralelepipedon egyenlő a magasság szorzatával. Képletek a paralelepipedon térfogatának meghatározásához

HARMADIK FEJEZET

POLYhedra

II PRIZMA ÉS PIRAMIS KÖTETE

82. Alapfeltevés kötetekben. Az elfoglalt hely mennyisége geometrikus test, e test térfogatának nevezzük.

Azt a feladatot tűztük ki, hogy találjunk kifejezést erre a mennyiségre egy bizonyos szám formájában, amely ezt a mennyiséget méri. Ennek során a következő kiindulási pontok vezérelnek bennünket:

1) Egyenlő testek azonos térfogatúak.

2) Egy test térfogata(például a 87. ábrán látható mindegyik paralelepipedon), részekből áll(P és Q), egyenlő az összeggel kötetei ezen részek.

Két azonos térfogatú testet egyenlő méretűnek nevezünk.

83. Térfogat mértékegysége. A térfogatok mérésekor egy olyan kocka térfogatát vesszük térfogategységnek, amelynek minden éle egyenlő egy lineáris egységgel. Tehát köbmétert (m 3), köbcentimétert (cm 3) stb.

Egy paralelepipedon térfogata

84. Tétel.Téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő a termékkel annak három dimenziója.

Ilyenben rövid kifejezések Ezt a tételt a következőképpen kell érteni: a térfogatot kifejező szám téglalap alakú paralelepipedon egy köbegységben egyenlő a három dimenzióját kifejező számok szorzatával a megfelelő lineáris egységben, vagyis egy olyan egységben, amely egy kocka éle, amelynek térfogatát köbegységnek vesszük. Tehát, ha x egy téglalap alakú paralelepipedon térfogatát köbcentiméterben kifejező szám, és a, bÉs Val vel-a három dimenzióját lineáris centiméterben kifejező számok, akkor a tétel azt mondja ki x = abc.

A bizonyítás során különösen a következő három esetet fogjuk figyelembe venni:

1) A mérések kifejezve egész számok.

Legyenek például a mérések (88. ábra): AB = A, nap = bés BD = c,
Ahol a, bÉs Val vel- néhány egész szám (például a rajzunk szerint: A = 4, b= 2 és Val vel= 5). Ekkor a paralelepipedon alapja tartalmazza ab ilyen négyzetek, amelyek mindegyike egy megfelelőt jelent négyzetegység. Ezen négyzetek mindegyike nyilvánvalóan egy köbegységet tud elhelyezni. Ezután kap egy réteget (a rajzon látható), amely a következőkből áll ab köbegység. Mivel ennek a rétegnek a magassága egyenlő egy lineáris egységgel, és a teljes paralelepipedon magassága tartalmazza Val vel ilyen egységeket, akkor a paralelepipedon belsejében elhelyezhetjük Val vel olyan rétegek. Ezért ennek a paralelepipedonnak a térfogata egyenlő ABC köbegység.

2) A mérések kifejezve törtszámok . Legyenek a paralelepipedon méretei:

m / n , p / q , r / s

. (ezek a törtek némelyike ​​egész számmal egyenlő). A törtek csökkentése erre ugyanaz a nevező, lesz:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Vegyünk 1/ nqs egy lineáris egység részesedése egy új (segéd) hosszúságegységhez. Akkor ebben új egység ennek a paralelepipedonnak a méreteit egész számokban fejezzük ki, nevezetesen: mqs, pnsÉs rnq, és ezért a bebizonyítottak szerint (1. esetben) a paralelepipedon térfogata megegyezik a ( mqs) (pns) (rnq), ha ezt a térfogatot egy új köbegységgel mérjük, ami egy új lineáris mértékegységnek felel meg. Az előző lineáris egységnek megfelelő köbegység tartalmaz ( nqs) 3 ; ez azt jelenti, hogy az új köbegység 1/( nqs) 3 volt. Ezért a paralelepipedon térfogata az előző egységekben kifejezve egyenlő:

3) A mérések kifejezve irracionális számok. Legyen ennek a paralelepipedonnak (89. ábra), amelyet a rövidség kedvéért egy Q betűvel jelölünk, a méretei:

AB = α; AC = β; AD = γ,

ahol az összes α, β és γ szám, vagy csak néhányuk irracionális.

Az α, β és γ számok mindegyike végtelen tizedes törtként ábrázolható. Vegyük ezeknek a törteknek közelítő értékeit P tizedesjegyekkel, először hiánnyal, majd többlettel. A hátrányos értékeket α-val jelöljük n , β n , γ n, értékek többlet α" n , β" n , γ" n. Tegyünk az AB élre az A pontból kiindulva két AB 1 = α szakaszt nés AB 2 = α" n.
Az AC élen ugyanabból az A pontból ábrázoljuk az AC 1 = β szakaszokat nés AC 2 = β" n az AD élen pedig ugyanabból a pontszakaszból AD 1 = γ nés AD 2 = γ" n.

Ebben az esetben a következőkkel rendelkezünk:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Készítsünk most két segédparallepipedont; az egyik (nevezzük Q 1-nek) AB 1, AC 1 és AD 1 mérésekkel, a másik (nevezzük Q 2-nek) AB 2, AC 2 és AD 2 mérésekkel. A Q 1 paralelepipedon teljes egészében a Q paralelepipedon belsejébe fog illeszkedni, a Q 2 paralelepipedon pedig a Q paralelepipedont tartalmazza majd.

A bizonyítottak alapján (a 2. esetben) a következőket kapjuk:

térfogat Q 1 = α n β n γ n (1)

térfogat Q 2 = α" n β" n γ" n (2)

Határozzuk meg a Q 1 térfogatot< объёма Q 2 .

Most kezdjük el a szám növelését P. Ez azt jelenti, hogy az α, β, γ számok közelítő értékeit egyre nagyobbra vesszük és nagyobb mértékben pontosság.

Nézzük meg, hogyan változik a Q 1 és Q 2 paralelepipedonok térfogata.

Korlátlan emeléssel P a Q 1 térfogat nyilvánvalóan az (1) egyenlőség miatt végtelen növekedéssel növekszik n határa a szorzat határa (α n β n γ n). A Q 2 térfogat nyilvánvalóan csökken, és a (2) egyenlőség miatt megvan a szorzat határa (α" n β" n γ" n). De az algebrából ismert, hogy mindkét termék
α n β n γ nés α" n β" n γ" n korlátlan nagyítással P van egy közös határértékük, ami a termék irracionális számok αβγ.

Ezt a határértéket vesszük a Q paralelepipedon térfogatának mértékeként: térfogat Q = αβγ.

Bizonyítható, hogy az így meghatározott mennyiség megfelel a mennyiségre megállapított feltételeknek (82. §). Valójában ezzel a hangerő-definícióval egyenlő paralelepipedonok, nyilvánvalóan azonos térfogatúak. Ezért az első feltétel (82. §) teljesül. Most ezt a Q paralelepipedont osszuk ketté az alapjával párhuzamos síkkal: Q 1 és Q 2 (90. ábra).

Akkor nálunk lesz:

Q térfogat = AB AC AD,
kötet Q 1 = AB AA 1 AD,
kötet Q 2 = A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

Ha tagonként összeadjuk az utolsó két egyenlőséget, és megjegyezzük, hogy A 1 B 1 = AB és A 1 D 1 = AD, kapjuk:

kötet Q 1 + kötet Q 2 = AB AA 1 AD + AB A 1 C AD = AB AD (AA 1 + A 1 C) = AB AD AC, innen kapjuk:

kötet Q 1 + kötet Q 2 = Q kötet.

Következésképpen a 82. § második feltétele is teljesül, ha a paralelepipedont két részből hajtják össze, amelyet úgy kapnak, hogy az egyik lappal párhuzamos síkkal vágják.

85. Következmény. Legyen számokkal kifejezve egy négyszögletes paralelepipedon méretei, amelyek az alapja oldalaiként szolgálnak AÉs b, a harmadik dimenzió (magasság) pedig egy szám Val vel. Ezután a térfogatát a megfelelő köbegységben V betűvel jelölve írhatjuk:

V= ABC.

A munka óta ab az alap területét fejezi ki, akkor ezt mondhatjuk A téglalap alakú paralelepipedon térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával .

Megjegyzés. Két köbegység aránya különböző nevek egyenlő azok arányának harmadik hatványával lineáris egységek, amelyek élként szolgálnak ezekhez a köbös egységekhez. Tehát egy köbméter és egy köbdeciméter aránya 10 3, azaz 1000. Ezért például, ha van egy hosszú élű kockánk A lineáris egységek és egy másik 3-as él hosszúságú kocka A lineáris egységek, akkor térfogatuk aránya 3 3, azaz 27 lesz, ami jól látszik a 91. rajzon.

86. Lemma. A ferde prizma mérete egyenlő az egyenes prizmával, amelynek alapja egyenlő a ferde prizma merőleges metszetével, magassága pedig az oldalélével.

Legyen adott az ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ferde prizma (92. ábra).

Folytassuk az egészet oldalbordákés oldalsó élei ugyanabba az irányba.

Vegyünk egy tetszőleges pontot az egyik él folytatásán Aés rajzoljunk rajta egy merőleges metszetet abcde. Aztán félretéve ahh 1 = AA 1, húzzuk át A 1 merőleges metszet a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 . Mivel mindkét szakasz síkja párhuzamos, akkor bb 1 = ss 1 =dd 1 = őt 1 = aa 1 = AA 1 (17. §). Ennek eredményeként a poliéder a 1 d, amelyhez az általunk megrajzolt szakaszokat vesszük alapul, egy egyenes prizma, amelyet a tétel tárgyal.

Bizonyítsuk be, hogy ez a ferde prizma mérete egyenlő ezzel az egyenessel. Ehhez először győződjön meg arról, hogy a poliéder a D és a 1 D 1 egyenlő. Az okaik abcdeÉs a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 egyenlőek egy prizma alapjaival a 1 d; másrészt az egyenlőség mindkét oldalához hozzáadva A 1 A = A 1 A ugyanazon az A1 szakaszon A, kapunk: A A = A 1 A 1; mint ez b B = b 1 az 1-ben, Val vel C = Val vel 1 C 1 stb. Képzeljük el, hogy a poliéder a D poliéderbe van ágyazva a 1 D 1 úgy, hogy bázisuk egybeessen; akkor az oldalbordák, amelyek merőlegesek az alapokra és ennek megfelelően egyenlőek, szintén egybeesnek; ezért poliéder a D kompatibilis lesz a poliéderrel a 1 D 1; Ez azt jelenti, hogy ezek a testek egyenlőek. Most vegye figyelembe, hogy ha egyenes prizmához a 1 d adjunk hozzá egy poliédert a D, és to ferde prizma A 1 D adjunk hozzá egy poliédert a 1 D 1 egyenlő a D, akkor ugyanazt a poliédert kapjuk a 1 D. Ebből az következik, hogy két prizma A 1 D és a 1 d egyenlő méretű.

87. Tétel. A paralelepipedon térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

Korábban ezt a tételt téglalap alakú paralelepipedonra igazoltuk, most egyenes, majd ferde paralelepipedonra.

1). Legyen (93. ábra) AC 1 egy derékszögű paralelepipedon, azaz olyan, amelynek ABCD alapja valamilyen paralelogramma, és minden oldallapja téglalap.

Vegyük alapul oldalsó él AA 1 B 1 B; akkor a paralelepipedon lesz
dőlt. Úgy nézve, mint különleges eset ferde prizma, az előző bekezdés lemmája alapján kijelenthetjük, hogy ez a paralelepipedon mérete egyenlő egy olyan jobb oldali paralelepipedonnal, amelynek alapja egy merőleges metszet MNPQ, magassága pedig BC. Az MNPQ négyszög téglalap, mert szögei szolgálnak lineáris szögek derékszögű diéderszögek; ezért egy MNPQ téglalap alappal rendelkező derékszögű paralelepipedonnak téglalap alakúnak kell lennie, és ezért a térfogata egyenlő három szorzata mérései, amelyekhez az MN, MQ és BC szakaszok vehetők fel. És így,

kötet AC 1 = MN MQ BC = MN (MQ BC).

De az MQ BC szorzat az ABCD paralelogramma területét fejezi ki

térfogat ACX = (ABCD terület) MN = (ABCD terület) BB 1.

2) Legyen (94. ábra) AC 1 egy ferde paralelepipedon.

Mérete egyenlő egy egyenessel, amelynek alapja az MNPQ merőleges szakasz (azaz merőleges az AD, BC, ... élekre), magassága pedig a BC él. De bizonyított bizonyítékok szerint a kötet jobb oldali paralelepipedon egyenlő az alapterület és a magasság szorzatával; Eszközök,

térfogat AC 1 = (terület MNPQ) BC.

Ha RS az MNPQ szakasz magassága, akkor az MNPQ = MQ RS terület tehát

kötet AC 1 = MQ RS BC = (BC MQ) RS.

A BC MQ szorzat kifejezi az ABCD paralelogramma területét; ezért AC 1 térfogat = (ABCOD terület) RS.

Most már be kell bizonyítani, hogy az RS szakasz a paralelepipedon magasságát jelenti. Valóban, az MNPQ szakasz merőleges a BC, B 1 C 1, .. élekre. , merőlegesnek kell lennie az ezeken az éleken átmenő ABCD, BB 1 C 1 C, .... lapokra (43. §). Ezért ha az ABCD síkra merőlegest készítünk az S pontból, akkor annak teljes egészében az MNPQ síkban kell feküdnie (44. §), és ezért össze kell olvadnia az RS egyenessel, amely ebben a síkban fekszik és merőleges az MQ-ra. . Ez azt jelenti, hogy az SR szakasz a paralelepipedon magassága. Így a ferde paralelepipedon térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

Következmény. Ha V, B és H olyan számok, amelyek a megfelelő egységekben fejezik ki a paralelepipedon térfogatát, alapterületét és magasságát, akkor írhatunk.

AZ ÓRA SZÖVEG LEÍRÁSA:

Ötödik osztálytól ismerjük a négyszögletes paralelepipedon térfogatának meghatározására szolgáló képletet. Ma emlékezni fogunk erre a képletre, és bebizonyítjuk a „téglalap alakú paralelepipedon térfogata” tételt.

Bizonyítsuk be a tételt: Egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő három dimenziójának szorzatával.

Adott: paralelepipedon

a, b, c a méretei.

V a paralelepipedon térfogata.

Bizonyítsuk be: V = abc.

Bizonyíték:

1. Legyen a, b, c véges tizedesjegyek, ahol a tizedesjegyek száma nem több, mint n (n > 1).

Ezután a számok a. 10n, b. 10n, c. 10n - egész számok.

Osszuk fel a paralelepipedon minden élét egyenlő szegmensek hossza és a felosztási pontokon keresztül az élekre merőleges síkokat rajzolunk.

A paralelepipedon abc.103n egyenlő élű kockákra lesz felosztva. Nézzük meg, hogy minden kis kocka térfogata egyenlő lesz egy osztva tízzel a kockára emelt n-edik hatványig. A számlálót és a nevezőt a kockára emelve megkapjuk (egy kocka egyenlő eggyel, és 10 az n-edik hatványhoz a 3n hatványhoz 10) az egy és a 10 a 3n hatvány hányadosát kapjuk.

Mert minden ilyen kocka térfogata egyenlő, és ezeknek a kockáknak a számát megszorozzuk abc-vel, majd a téglalap alakú paralelepipedon térfogatát úgy kapjuk meg, hogy a kockák számát megszorozzuk egy kis kocka térfogatával. Ekkor megkapjuk a kifejezést: a egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő az abc szorzattal, megszorozva 10-zel az egységek 3n hányadosának hatványával és 10-zel 3n hatványával.

Csökkentsük 10-zel 3n hatványára, megkapjuk, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő az abc-vel vagy három dimenziójának szorzata.

Tehát V = abc.

2. Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c méretek közül legalább az egyik végtelen tizedes tört, akkor a paralelepipedon térfogata is megegyezik három dimenziójának szorzatával.

Legyenek аn, bn, cn az a, b számokból kapott véges tizedes törtek, mindegyikben a tizedespont utáni összes számjegyet elvetve (n + 1-ből). Ekkor a nagyobb vagy egyenlő, mint a indexel, és kisebb vagy egyenlő a-val n indexű prímszámmal

an< a < an",

ahol a az n-edik prím, amely egyenlő a összegével, az n-edik és egy osztva tízzel az n-edik hatványhoz =

b-re és c-re hasonló egyenlőtlenségeket írunk fel, és írjuk őket egymás alá

an< a < an"

bn< b < bn"

cn< c < cn",

Ezt a három egyenlőtlenséget megszorozva azt kapjuk, hogy az abc szorzat nagyobb vagy egyenlő, mint a n-edik b n-edik és c n-edik prím szorzata, és kisebb vagy egyenlő, mint a n-edik prím b n-edik prímmel és c n-edik prímmel:

anbncn abc< an"bn"cn". (1)

Az (1) bekezdésben bizonyítottak szerint bal oldal- az anbncn oldalú paralelepipedon térfogata, azaz Vn, a jobb oldali pedig egy "bn"cn, azaz Vn oldalú paralelepipedon térfogata.

Mert P, azaz az a, b, c méretű paralelepipedon egy Pn paralelepipedont tartalmaz, azaz egy an, bn, cn oldalú paralelepipedont, és önmagát egy Pn" paralelepipedon tartalmazza, azaz egy oldalsó paralelepip an", bn", cn" akkor a P paralelepipedon V térfogata Vn = anbncn és Vn "= an"bn"cn" közé esik,

azok. anbncn< V < an"bn"cn". (2)

Az n korlátlan növelésével egy és 10 hányadosa 3n hatványához tetszőlegesen kicsi lesz, ezért az anbncn és az an"bn"cn számok a lehető legkisebb mértékben fognak eltérni egymástól. Következésképpen a V szám a kívánt mértékben különbözik az abc számtól, tehát egyenlők:

V = abc. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény 1. A téglalap alakú paralelepipedon térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

A téglatest alapja egy téglalap. Legyen a téglalap hossza a, szélessége b, magasságát jelölje h=c. Ezután a képlet segítségével megkeressük a téglalap területét. Helyettesítsük be a képletet, és keressük meg a V = abc térfogatot az általunk írt szorzat helyett. Megkapjuk a képletet

Következmény 2. Annak a derékszögű prizmának a térfogata, amelynek alapja derékszögű háromszög, egyenlő az alapterület és a magasság szorzatával.

Adott egy téglalap alakú prizma, az A szög az alapnál megfelelő. Építsünk téglalap alakú prizmát téglalap alakú paralelepipedonra (lásd a rajzot). A téglalap alakú paralelepipedon két téglalap alakú prizmából áll, amelyek egyenlőek, mert rendelkeznek egyenlő alaponés magasságok. Ennek megfelelően egy téglalap területe megegyezik a téglalap két területével háromszögek ABC Ezért a kötet derékszögű hasáb felével egyenlő téglalap alakú paralelepipedon térfogata (szorozva) vagy az alap szorzata derékszögű háromszög magasságra.

1. feladat Keresse meg az ábrán látható poliéder térfogatát (mind kétszögek egyenes).

A téglalap alakú paralelepipedon térfogatát a következő képlettel találjuk meg:

Ez az ábra két téglalap alakú paralelepipedonból áll.

Legyen egy 4, 3, 3 méretű teljes paralelepipedon térfogata. Ekkor ez egy 3, 1, 1 méretű kisméretű, „kivágott” paralelepipedon térfogata.

Egy poliéder térfogatának meghatározásához meg kell találni a V1 és V2 térfogatok közötti különbséget

Megtaláljuk a V1 térfogatot a méréseinek szorzataként, jelöljük azokat a1, b1, c1, térfogatát kapjuk

Egy kis „kivágott” paralelepipedon esetén a V2 térfogat egyenlő a méréseinek szorzatával, ezeket a2, b2, c2-ként jelöljük, majd kapjuk

Most keressük meg a V poliéder térfogatát V1 és V2 különbségeként, V=-t kapunk

Válasz: A poliéder V értéke 33

A 175. ábra a és b ábrái a következőkből állnak egyenlő mennyiségben egyforma kockák. Az ilyen figurákról azt mondhatjuk, hogy azok kötetek egyenlőek. A 175. ábrán látható téglalap alakú paralelepipedonok, c és d, 18, illetve 9 egyforma kockából állnak. Ezért elmondhatjuk, hogy az első hangereje kétszerese a másodikénak.

Olyan mennyiséggel, mint a mennyiség, gyakran találkozik Mindennapi élet: üzemanyagtartály térfogata, medence térfogata, térfogata tanterem, gáz- vagy vízfogyasztás jelzők a mérőkön stb.

A tapasztalat azt mutatja, hogy az egyenlő tartályok térfogata azonos. Például az azonos hordóknak egyenlő térfogata van.

Ha egy tartályt több részre osztanak, akkor a teljes tartály térfogata megegyezik a részei térfogatának összegével. Például egy kétkamrás hűtőszekrény térfogata megegyezik a kamrák térfogatának összegével.

Ezek a példák a következőket illusztrálják egy ábra térfogatának tulajdonságai.

1 ) Egyenlő számok azonos térfogatúak.

2) Egy ábra térfogata megegyezik azon ábrák térfogatának összegével, amelyekből áll.

Más mennyiségekhez (hossz, terület) hasonlóan térfogategységet kell megadni.

A térfogatmérés mértékegységéhez olyan kockát választok, amelynek éle egy egységszegmenssel egyenlő. Ezt a kockát az ún egyetlen.

köbmilliméter. 1 mm 3-t írnak.

1 cm élű kocka térfogatának nevezem köbcentiméter . 1 cm 3-t írnak.

1 mm élű kocka térfogatának nevezem köbdeciméter. 1 dm 3-t írnak.

Folyadékok és gázok térfogatának mérésénél 1 dm 3 -t nevezünk liter. Azt írják: 1 l. Tehát 1 l = 1 dm 3.

Ha a piros kocka térfogatát (lásd 175. ábra, e) egynek vesszük, akkor a 175. ábra a, b, c és d ábráinak térfogata rendre 5, 5, 18 és 9 köbegység.

Ha egy téglalap alakú paralelepipedon hossza, szélessége és magassága rendre 5 cm, 6 cm, 4 cm, akkor ez a paralelepipedon 5 * 6 * 4 egységkockára osztható (176. ábra). Ezért a térfogata 5 * 6 * 4 = 120 cm 3.

Egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata megegyezik három dimenziójának szorzatával.

V=abc

ahol V a térfogat, a, b és c a téglatest méretei, azonos mértékegységekben kifejezve.

Mivel a kocka minden éle egyenlő, térfogatát a következő képlettel számítjuk ki:

V = a 3

ahol a a kocka élének hossza. Ezért a szám harmadik hatványát számkockának nevezzük.

Egy téglalap alakú paralelepipedon a hosszának és b szélességének szorzata egyenlő az alapja S területével: S = ab(177. ábra). Jelöljük h betűvel a téglalap alakú paralelepipedon magasságát. Ekkor a téglalap alakú paralelepipedon V térfogata egyenlő V = abh.

V = abh = (ab)h = Sh.

Tehát kaptunk egy másik képletet a téglalap alakú paralelepipedon térfogatának kiszámítására:

V = Sh

A téglalap alakú paralelepipedon térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

Példa. Mekkora legyen a téglalap alakú paralelepipedon alakú tartály magassága úgy, hogy a térfogata 324 dm 3, a fenékfelülete pedig 54 dm 2 legyen?

Megoldás. A V = Sh képletből az következik, hogy h = V: S. Ekkor a tartály szükséges h magassága a következőképpen számítható ki:

h=324:54=6 (dm).

Válasz: 6 dm.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Mekkora a fénysebesség