Kezdőlap > Dokumentum

MÁTRIZOK, DETERMINÁNSOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

A MÁTRIX DEFINÍCIÓJA. A MÁTRIZOK TÍPUSAIM méretű mátrix× n készletnek nevezik m·nűrlapba rendezett számok téglalap alakú asztal-tól m vonalak és n oszlopok. Ez a táblázat általában zárójelben van. Például a mátrix így nézhet ki:

A rövidség kedvéért a mátrixot eggyel jelölhetjük nagybetű, Például A vagy IN.IN általános nézet mátrix mérete m× nírd meg így

.

A mátrixot alkotó számokat nevezzük mátrix elemek. A mátrixelemeket célszerű két indexszel ellátni a ij: Az első a sor számát, a második az oszlop számát jelöli. Például, a 23 – az elem a 2. sorban, a 3. oszlopban van, ha egy mátrixban a sorok száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrix ún. négyzet, és a sorok vagy oszlopok számát hívjuk meg sorrendben mátrixok. A fenti példákban a második mátrix négyzet alakú - sorrendje 3, a negyedik mátrix pedig 1. Egy olyan mátrixot, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, nevezzük. négyszögletes. A példákban ez az első és a harmadik mátrix. Vannak olyan mátrixok is, amelyeknek csak egy sora vagy egy oszlopa van mátrix - sor(vagy karakterlánc), és egy mátrix csak egy oszlopot mátrix - oszlop.Olyan mátrixot nevezünk, amelynek minden eleme nulla nullés (0) vagy egyszerűen 0 jelöli. Például,

.

Főátló négyzetmátrixnak a bal felső felől jobbra haladó átlót nevezzük alsó sarok.

Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelyben a főátló alatti összes elem nullával egyenlő háromszögű mátrix.

.

Egy négyzetmátrixot, amelyben minden elem, kivéve talán a főátlón lévőket, egyenlő nullával, az ún. átlós mátrix. Például, ill. Átlós mátrix, amelyre minden átlós elem egyenlő eggyel, nevezzük egyetlen mátrixot és E betűvel jelöljük. Például a 3. rendű azonosságmátrix alakja .CSELEKVÉSEK A MÁTRIKUKONMátrix egyenlőség. Két mátrix AÉs B egyenlőnek mondjuk, ha azonos számú soruk és oszlopuk van, és a megfelelő elemeik egyenlőek a ij = b ij. Tehát ha És , Azt A=B, Ha a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 És a 22 = b 22 .Átültetni. Mérlegeljük tetszőleges mátrix A-tól m vonalak és n oszlopok. A következő mátrixhoz társítható B-tól n vonalak és m oszlopok, amelyekben minden sor egy mátrixoszlop A ugyanazzal a számmal (tehát minden oszlop a mátrix egy sora A ugyanazzal a számmal). Tehát ha , Azt .Ez a mátrix B hívott átültetve mátrix A, és az átmenetet A To B átültetésÍgy az átültetés a mátrix sorai és oszlopai szerepének felcserélése. Mátrix transzponált mátrixba A, általában jelölve A T.Matrix közötti kapcsolat A transzponálása pedig a formába írható. Például. Keresse meg az adott mátrixát transzponáltan! Mátrix összeadás. Hagyjuk a mátrixokat AÉs Báll ugyanaz a szám sorok és ugyanannyi oszlop, azaz. van azonos méretek. Majd mátrixok hozzáadásához AÉs B mátrixelemekhez szükséges A mátrixelemek hozzáadása B ugyanazokon a helyeken állva. Így két mátrix összege AÉs B mátrixnak nevezzük C, amelyet a szabály határoz meg, pl.

Példák. Keresse meg a mátrixok összegét: Könnyen ellenőrizhető, hogy a mátrixösszeadás megfelel-e a következő törvényeknek: kommutatív A+B=B+Aés asszociatív ( A+B)+C=A+(B+C).Egy mátrix szorzása egy számmal. Egy mátrix szorzásához A számonként k a mátrix minden elemére szükség van A szorozzuk meg ezzel a számmal. Így a mátrixszorzat A számonként k Van új mátrix, amelyet a szabály határoz meg vagy .Bármilyen számra aÉs bés mátrixok AÉs B a következő egyenlőségek érvényesek: Példák. . Mátrix C nem található, mert mátrixok AÉs B különböző méretűek. Mátrixszorzás. Ezt a műveletet egy sajátos törvény szerint hajtják végre. Először is megjegyezzük, hogy a faktormátrixok méretének konzisztensnek kell lennie. Csak azokat a mátrixokat szorozhatja meg, amelyekben az első mátrix oszlopainak száma egybeesik a második mátrix sorainak számával (azaz az első sor hossza megegyezik a második oszlop magasságával). A munka mátrixok A nem mátrix Búj mátrixnak nevezik C=AB, melynek elemei összeállnak alábbiak szerint:

Így például a termék megszerzéséhez (azaz a mátrixban C) elem, amely az 1. sorban és a 3. oszlopban található c 13 , akkor az 1. mátrixban az 1. sort, a 2. oszlopban a 3. oszlopot kell venni, majd a sorelemeket meg kell szorozni a megfelelő oszlopelemekkel, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A szorzatmátrix többi elemét pedig az első mátrix sorainak és a második mátrix oszlopainak hasonló szorzatával kapjuk meg. általános eset, ha a mátrixot megszorozzuk A = (a ij ) méret m× n a mátrixhoz B = (b ij ) méret n× p, akkor megkapjuk a mátrixot C méret m× p, melynek elemeit a következőképpen számítjuk ki: elem c ij elemek szorzata eredményeként kapjuk meg én mátrix sora A a megfelelő elemekhez j mátrixoszlop Bés összeadásaik Ebből a szabályból az következik, hogy mindig meg lehet szorozni két azonos sorrendű négyzetmátrixot, így egy azonos sorrendű négyzetmátrixot kapunk. Különösen egy négyzetes mátrix mindig szorozható önmagával, azaz. négyzet Egy másik fontos eset egy sormátrix szorzása egy oszlopmátrixszal, és az első szélességének meg kell egyeznie a második magasságával, ami elsőrendű mátrixot (azaz egy elemet) eredményez. Igazán,

.

Példák. Keressen elemeket c 12 , c 23 És c 21 mátrixok C.

Keresse meg a mátrixok szorzatát.

.
Lelet ABÉs VA. Lelet ABÉs VA. , B·A- nincs értelme tehát ezeknek egyszerű példák mutassák meg, hogy a mátrixok általánosságban véve nem ingáznak egymással, pl. A∙B ≠ B∙A . Ezért a mátrixok szorzásakor gondosan figyelni kell a tényezők sorrendjét. Ellenőrizheti, hogy a mátrixok szorzása megfelel-e az asszociatív és eloszlási törvényeknek, pl. (AB)C=A(BC)És (A+B)C=AC+BC.Négyzetes mátrix szorzásakor is könnyen ellenőrizhető A-on identitásmátrix E ugyanilyen sorrendben ismét egy mátrixot kapunk A, és AE=EA=A A következő érdekes tényt lehet megjegyezni. Mint tudod, 2 nem nulla szám szorzata nem egyenlő 0-val. Mátrixoknál ez nem biztos, hogy így van, azaz. 2 nem szorzata nulla mátrixok egyenlőnek bizonyulhat a nulla mátrixszal. Például, Ha , Azt

.

A DETERMINÁNSOK FOGALMA Legyen adott egy másodrendű mátrix - egy négyzetes mátrix, amely két sorból és két oszlopból áll. Másodrendű determináns egy adott mátrixnak megfelelő szám a következőképpen kapott szám: a 11 a 22 -a 12 a 21 .A determinánst a szimbólum jelzi Tehát a másodrendű determináns megtalálásához ki kell vonni a második átló mentén lévő elemek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából. Példák. Számítsa ki a másodrendű determinánsokat!

Hasonlóképpen tekinthetünk egy harmadrendű mátrixot és a hozzá tartozó determinánst. Harmadik rendű determináns, amely egy adott harmadrendű négyzetmátrixnak felel meg, egy szám, amelyet a következőképpen jelölünk és kapunk:

.

Így ez a képlet megadja a harmadrendű determináns kiterjesztését az első sor elemeire nézve a 11 , a 12 , a 13 és a harmadrendű determináns számítását a másodrendű determinánsok kiszámítására redukálja. Példák. Számítsa ki a harmadrendű determinánst!
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Hasonlóképpen bevezetheti a determinánsok fogalmát a negyedik, ötödik stb. sorrendben, az 1. sor elemeire bővítve a sorrendjüket, miközben a kifejezések „+” és „–” jelei váltakoznak bizonyos módon megfeleltetésbe kerül a mátrixszal.

A MEGHATÁROZÓ SZEREK TULAJDONSÁGAI

Bizonyíték igazolással történik, azaz. az írott egyenlőség mindkét oldalának összehasonlításával. Számítsuk ki a determinánsokat a bal és a jobb oldalon:

2 sor vagy oszlop átrendezésekor a determináns előjelet vált az ellenkezőjére, fenntartva abszolút érték, azaz pl.

Bizonyíték az 1. tulajdonság bizonyításához hasonlóan mindkét rész összehasonlításával történik. Végezzük el a másodrendű determinánsra.

A harmadrendű determináns esetében ellenőrizze saját maga. Valóban, ha itt átrendezzük a 2. és 3. sort, akkor a 2. tulajdonság alapján ennek a determinánsnak előjelet kell váltania, de maga a determináns ebben az esetben nem változik, i.e. kapunk | A| = –|A| vagy | A| = 0. Bizonyíték igazolással történik, mint az 1. tulajdonság. (Önállóan)

Ha egy determináns bármely sorának vagy oszlopának minden eleme nulla, akkor maga a determináns egyenlő nullával. (Bizonyítás – igazolással). Ha egy determináns bármely sorának vagy oszlopának minden eleme 2 tag összegeként jelenik meg, akkor a determináns 2 determináns összegeként ábrázolható a képlet segítségével, például:

.

Bizonyíték- ellenőrzés, hasonlóan az 1. tulajdonsághoz.

Ha a determináns bármely sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal, akkor a determináns nem változtatja meg az értékét. Például,

. Bizonyítsuk be ezt az egyenlőséget a determináns előző tulajdonságaival.
A determinánsok ezen tulajdonságait meglehetősen gyakran használják a determinánsok kiszámításakor és különféle problémák esetén. ALGEBRAI KIEGÉSZÍTŐK ÉS MINOROK Legyen egy harmadrendű determinánsunk: .Kisebb, megfelelő ezt az elemet a ij harmadrendű determinánsnak nevezzük azt a másodrendű determinánst, amelyet egy adottból úgy kapunk, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az adott elem áll, azaz. én-edik sor és j oszlop. Adott elemnek megfelelő minorok a ij jelölni fogjuk M ij .Például, kisebb M 12 , az elemnek megfelelő a 12 , lesz meghatározó , amelyet az 1. sor és a 2. oszlop törlésével kapunk egy adott determinánsból. Így a harmadrendű determinánst definiáló képlet azt mutatja, hogy ez a determináns egyenlő az összeggel az 1. sor elemeinek szorzatai a megfelelő kiskorúak szerint; ebben az esetben az elemnek megfelelő moll a 12 , „–” jellel veszik, azaz. ezt írhatjuk Hasonlóképpen bevezethetjük a kiskorúak definícióit a másodrendű és magasabb rendű determinánsokra. Vezessünk be még egy fogalmat. Algebrai komplementer elem a ij a determinánst minornak nevezzük M ij, szorozva (–1) i+j .Elem algebrai komplementere a ijáltal jelölve A ij.A definícióból azt találjuk, hogy egy elem algebrai komplementere és mollja közötti kapcsolatot az egyenlőség fejezi ki A ij= (–1) i+j M ij . Például, Példa. Egy determináns adott. Lelet A 13 , A 21 , A 32 .

Könnyen belátható, hogy az (1) képletet a következő alakban írhatjuk fel: Ehhez a képlethez hasonlóan megkaphatjuk a determináns kiterjesztését bármely sor vagy oszlop elemeire a determináns kiterjesztése a 2. sor elemeire a következőképpen érhető el. A determináns 2. tulajdonsága szerint a következőkkel rendelkezünk: A kapott determinánst bontsuk ki az 1. sor elemeire.

.

Innen mert A (2) képlet másodrendű determinánsai az elemek minorjai a 21 , a 22 , a 23 . Így, i.e. megkaptuk a determináns kiterjesztését a 2. sor elemeire Hasonlóan megkaphatjuk a determináns kiterjesztését a harmadik sor elemeire. A determinánsok 1. tulajdonságát felhasználva (a transzpozícióról) megmutathatjuk, hogy a hasonló kiterjesztések az oszlopok elemeivel történő bővítéskor is érvényesek. Így a következő tétel érvényes. Tétel (egy determináns adott sorra vagy oszlopra való kiterjesztéséről). A determináns egyenlő bármely sora (vagy oszlopa) elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával. A fentiek mindegyike igaz bármely magasabb rendű determinánsra is. Példák.

Számítsa ki a determinánst a tulajdonságainak felhasználásával! Mielőtt kiterjesztenénk a determinánst bármely sor elemeire, és harmadrendű determinánsokra redukálnánk, a 7-es tulajdonság segítségével átalakítjuk, és az egy kivételével bármely sorban vagy oszlopban minden elemet nullával egyenlővé tesszük. Ebben az esetben célszerű figyelembe venni a 4. oszlopot vagy a 4. sort:

INVERZ MÁTRIX

Az inverz mátrix fogalmát csak azért vezették be négyzetes mátrixok .Ha A akkor négyzetmátrix fordított számára a mátrix egy mátrix, jelölve A -1 és kielégíti a feltételt. (Ezt a meghatározást a számok szorzásával analóg módon vezetjük be) A következő tétel érvényes: Tétel. Négyzetmátrix érdekében A inverze volt, szükséges és elégséges, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Bizonyíték:

Szükség. Engedjük meg a mátrixot A van egy inverz mátrix A -1 . Mutassuk meg, hogy | A| ≠ 0.

Először is megjegyezzük, hogy bizonyítani lehet következő ingatlan meghatározó tényezők Tegyük fel, hogy | A| = 0. Akkor . De másrészt . Az ebből eredő ellentmondás bizonyítja, hogy | A| ≠ 0. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben az inverz mátrix lesz a mátrix , Hol A ij algebrai komplementer elem a ij. Találjuk ki AB=C. Vegye figyelembe, hogy a mátrix összes átlós eleme C egyenlő lesz 1-gyel. Valóban, pl.

Hasonlóképpen, a determináns karakterlánc elemeire való kiterjesztésének tételével bebizonyíthatjuk, hogy c 22 =c 33 = 1. Ezenkívül a mátrix összes nem átlós eleme C egyenlők nullával. Például,
Ezért, AB=E. Hasonlóképpen kimutatható, hogy BA=E. azért B=A -1 .A tétel tehát tartalmaz egy módszert az inverz mátrix megtalálására

,

Ahol A ij- elemek algebrai összeadása a ij adott mátrix A Tehát a szükséges inverz mátrix megtalálásához: Hasonlóan másodrendű mátrixokhoz, az inverz a következő mátrix lesz .Példák. |A| = 2. Keresse meg a mátrixelemek algebrai komplementereit! A. Vizsgálat: . Hasonlóképpen A∙A -1 = E. . Számoljunk | A| = 4. Akkor . .

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Rendszer m lineáris egyenletek n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

Ahol a ijÉs b én (én=1,…,m; b=1,…,n) - néhány ismert számok, A x 1 ,…,x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij első index én jelöli az egyenlet számát, és a második j– az ismeretlenek száma, amelynél ez az együttható áll. Az ismeretlenek együtthatóit felírjuk egy mátrixba, amelyet meg fogunk hívni a rendszer mátrixa.Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívják ingyenes tagok. Totalitás n számok c 1 ,…,c n hívott döntés egy adott rendszerre, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1 ,…,x n.A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet adódhat: Olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek legalább egy megoldása van, ún. közös. IN egyébként, azaz ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún nem ízületi Nézzük meg, hogyan lehet megoldást találni a rendszerre. MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszermátrixot valamint ismeretlen és szabad kifejezések mátrixoszlopait Keressük a munkát

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ezt a rendszert formába írható vagy rövidebb A∙X=B.Itt vannak a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix X ismeretlen. Meg kell találni, mert... elemei jelentik a megoldást erre a rendszerre. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.A mátrix determinánsa nullától eltérő | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A -1 , a mátrix inverze A: . Mert A -1 A=EÉs E∙X = X, akkor megkapjuk a megoldást mátrix egyenlet formában X = A -1 B Figyeljük meg, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixoknál található, akkor mátrix módszer csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos rögzítése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem lesz négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.Példák. Egyenletrendszerek megoldása. Keressük meg a mátrix inverzét A. , Így, x = 3, y = – 1.
Így, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Adjuk meg a szükséges mátrixot X-tól adott egyenlet. Keressük a mátrixot A -1 . Vizsgálat: A kapott egyenletből . Ezért, CRAMER SZABÁLYA Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszermátrixnak megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott a rendszer meghatározója.Készítsünk még három determinánst a következőképpen: cseréljük ki egymás után a D determináns 1, 2 és 3 oszlopát egy szabad tagok oszlopára.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani. Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem a 11 , 2. egyenlet – be A 21 és 3. – on A 31 :

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Nézzük meg az egyes zárójeleket és jobb oldalon ezt az egyenletet. Az 1. oszlop elemeiben a determináns kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és Végül könnyen észrevehető Így megkapjuk az egyenlőséget: .Így, .Hasonlóan származnak a és egyenlőségek, amiből a tétel állítása következik. Így megjegyezzük, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszer rendelkezik az egyetlen megoldásés vissza. Ha a rendszer determinánsa nulla, akkor a rendszernek vagy van végtelen halmaz megoldások, vagy nincsenek megoldásai, pl. összeegyeztethetetlen. Példák. Egyenletrendszer megoldása
Így, X=1, at=2, z=3. A rendszernek egyedi megoldása van, ha Δ ≠ 0. . ezért . GAUSS MÓDSZER A korábban tárgyalt módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Benne fekszik következetes kirekesztés ismeretlenek a rendszer egyenleteiből Tekintsük újra a rendszert három egyenlet három ismeretlennel:

.

Válasz: Cramer módszere a determinánsok felhasználásán alapul lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Ez jelentősen felgyorsítja a megoldás folyamatát.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és delta-nak nevezzük.

Meghatározók

úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretlenek együtthatóit szabad kifejezésekkel helyettesítjük:

;

.

Cramer képletek az ismeretlenek megtalálásához:

.

A és értékeinek megtalálása csak akkor lehetséges, ha

Ez a következtetés a következő tételből következik.

Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező a rendszer determinánsát tartalmazza, a számláló pedig azt a determinánst, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy ennek az ismeretlennek az együtthatóit szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.

1. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:

Cramer tétele szerint:

Tehát a (2) rendszer megoldása:
9.műveletek halmazokon. Vien diagramok.

Az Euler-Venn diagramok halmazok geometriai ábrázolásai. A diagram felépítése abból áll, hogy rajzolunk egy nagy téglalapot, amely az U univerzális halmazt ábrázolja, és azon belül a halmazokat ábrázoló köröket (vagy más zárt ábrákat). Az alakzatoknak a feladat által megkívánt legáltalánosabb módon kell metszniük egymást, és ennek megfelelően kell őket címkézni. Pontok hevernek benne különböző területeken diagramok a megfelelő halmazok elemeinek tekinthetők. Az elkészített diagrammal bizonyos területeket árnyékolhat az újonnan kialakított halmazok jelzésére.

A halmazműveletek a meglévőkből új halmazokat gyűjtenek.

Meghatározás. Az A és B halmazok uniója egy halmaz, amely mindazon elemekből áll, amelyek az A, B halmazok legalább egyikéhez tartoznak (1. ábra):

Meghatározás. Az A és B halmazok metszéspontja egy halmaz, amely mindazokból és csak azokból az elemekből áll, amelyek egyszerre tartoznak az A és B halmazhoz (2. ábra):

Meghatározás. Az A és B halmazok közötti különbség az A összes elemének halmaza, és csak azon elemeinek halmaza, amelyek nem szerepelnek B-ben (3. ábra):

Meghatározás. Az A és B halmazok szimmetrikus különbsége ezen halmazok azon elemeinek halmaza, amelyek vagy csak az A halmazhoz, vagy csak a B halmazhoz tartoznak (4. ábra):

11. leképezés (függvény), definíciós tartomány, halmazok képei leképezés közben, függvény értékkészlete és grafikonja.

Válasz: Egy E halmazból egy F halmazba történő leképezés, vagy egy E-n definiált függvény F-beli értékekkel, egy f szabály vagy törvény, amely minden elemhez egy adott elemet rendel.

Egy elemet független elemnek, vagy egy f függvény argumentumának, egy elemet egy f függvény értékének vagy képnek nevezünk; ebben az esetben az elemet az elem előképének nevezzük.

A leképezést (függvényt) általában f betűvel vagy szimbólummal jelöljük, jelezve, hogy f leképezi az E halmazt F-re. A jelölést is használják, jelezve, hogy egy x elem egy f(x) elemnek felel meg. Néha célszerű egy függvényt egy megfelelési törvényt tartalmazó egyenlőségen keresztül meghatározni. Például azt mondhatjuk, hogy "az f függvényt az egyenlőség határozza meg". Ha „y” az F halmaz elemeinek általános neve, azaz F = (y), akkor a leképezést y = f(x) egyenlőség formájában írjuk le, és azt mondjuk, hogy ez a leképezés kifejezetten meg van adva.

2. Egy halmaz képe és inverz képe adott leképezés mellett

Legyen adott egy leképezés és egy halmaz.

Az F-ből származó elemek halmazát, amelyek mindegyike legalább egy D-beli elem képe az f leképezés alatt, a D halmaz képének nevezzük, és f(D)-vel jelöljük.

Nyilvánvalóan,.

Legyen most megadva a készlet.

Az olyan elemek halmazát, hogy , az Y halmaz inverz képének nevezzük az f leképezés alatt, és f -1 (Y) jelöléssel jelöljük.

Ha, akkor. Ha mindegyikre az f -1 (y) halmaz legfeljebb egy elemből áll, akkor f-et egy-egy leképezésnek nevezzük E-ről F-re. Azonban lehetséges egy-egy f leképezést definiálni állítsa E-t F-re.

A kijelző neve:

Injektív (vagy injektálás, vagy az E halmaz egy az egyhez leképezése F-be), ha , vagy ha az f(x) = y egyenletnek legfeljebb egy megoldása van;

Szürjektív (vagy szurjektív, vagy egy E halmaz F-re leképezése), ha f(E) = F és ha az f(x) = y egyenletnek van legalább egy megoldása;

Bijektív (vagy bijekció, vagy egy-egy E halmaz F-re leképezése), ha injektív és szürjektív, vagy ha az f(x) = y egyenletnek csak egy megoldása van.

3. Leképezések szuperpozíciója. Inverz, parametrikus és implicit leképezések

1) Legyen és . Mivel a g leképezés minden elemhez egy adott elemet rendel.

Így minden elem egy szabály segítségével van hozzárendelve

Ez definiál egy új leképezést (vagy egy új függvényt), amit leképezések összetételének, vagy leképezések szuperpozíciójának, vagy összetett leképezésnek nevezünk.

2) Legyen bijektív leképezés és F = (y). Az f bijektivitása miatt mindegyik egy x egységképnek felel meg, amelyet f -1 (y) -vel jelölünk, és olyan, hogy f(x) = y. Így definiálunk egy leképezést, amelyet az f leképezés inverzének, vagy az f függvény inverz függvényének nevezünk.

Nyilvánvaló, hogy az f leképezés az f -1 leképezés inverze. Ezért az f és f -1 leképezéseket kölcsönösen inverzeknek nevezzük. A kapcsolatok rájuk érvényesek

és ezeknek a leképezéseknek legalább az egyike például bijektív. Ezután van egy inverz leképezés, ami azt jelenti.

Az így definiált leképezést parametrikusan definiáltnak nevezzük leképezések segítségével; a from változót pedig paraméternek nevezzük.

4) Legyen egy leképezés egy halmazon, ahol a halmaz tartalmazza a nulla elemet. Tegyük fel, hogy vannak olyan halmazok, amelyeknek minden rögzített egyenletre egyedi megoldása van. Ekkor az E halmazon definiálható egy olyan leképezés, amely mindegyikhez hozzárendeli azt az értéket, amely adott x esetén az egyenlet megoldása.

Az így meghatározott leképezésre vonatkozóan

azt mondják, hogy az egyenlet implicit módon adja meg.

5) A leképezést a leképezés folytatásának nevezzük, g pedig az f leképezés megszorítását, ha és .

A leképezés halmazra való korlátozását néha a szimbólum jelöli.

6) A megjelenítési grafikon egy halmaz

Egyértelmű, hogy .

12. monoton függvények. Inverz függvény, létezési tétel. Függvények y=arcsinx y=arcos x x tulajdonságok és grafikonok.

Válasz: A monoton függvény olyan függvény, amelynek növekménye nem változtat előjelet, vagyis vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív. Ha ráadásul a növekmény nem nulla, akkor a függvényt szigorúan monotonnak nevezzük.

Legyen az intervallumon definiálva egy f(x) függvény , amelynek értékei egy bizonyos szegmenshez tartoznak . Ha

akkor azt mondják a szegmensen definiálunk egy függvényt, amely inverz az f(x) függvénnyel, és a következőképpen jelöljük: x=f (-1) (y).

Vegye figyelembe a különbséget e definíció és annak meghatározása között, hogy egy szegmens megtelt-e teljesen. Az f (-1) (...) definíciója kvantort tartalmaz, azaz. az y=f(x) egyenlőséget biztosító x értéknek egyedinek kell lennie, míg a szegmens foglaltságának meghatározásakor végig van egy kvantor, ami azt jelenti, hogy az x-nek több olyan értéke is lehet, amely kielégíti az y=f(x) egyenlőséget.

Általában, amikor az inverz függvényről beszélünk, x-et y-ra, y-t x(x "y)-ra cserélik, és y=f (-1) (x)-t írnak le. Ez nyilvánvaló eredeti funkció f(x) és inverz függvény f (-1) (x) kielégíti az összefüggést

f(-1) (f(x))=f(f(-1) (x))=x.

Az eredeti és az inverz függvények grafikonjait az első kvadráns felezőszögéhez viszonyított tükörkép alapján kapjuk meg egymástól.

Tétel. Legyen az f(x) függvény definiálva, folytonos és szigorúan monoton növekvő (csökkenő) az intervallumon. Ekkor a szakaszon definiáljuk az f (-1) (x) inverz függvényt, amely szintén folytonos és szigorúan monoton növekszik (csökken).

Bizonyíték.

Bizonyítsuk be a tételt arra az esetre, amikor f(x) szigorúan monoton növekszik.

1. Inverz függvény léte.

Mivel a tétel feltételei szerint f(x) folytonos, akkor az előző tétel szerint a szakasz teljesen kitöltött. Ez azt jelenti.

Bizonyítsuk be, hogy x egyedi. Valóban, ha x’>x-et vesszük, akkor f(x’)>f(x)=y és ezért f(x’)>y. Ha x-et vesszük''

2. Az inverz függvény monotonitása.

Végezzük el a szokásos x «y helyettesítést, és írjuk fel y= f (-1) (x). Ez azt jelenti, hogy x=f(y).

Legyen x 1 >x 2 . Majd:

y 1 = f(-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y2=f(-1)(x2); x 2 =f(y 2)

Mi a kapcsolat y 1 és y 2 között? Nézzük meg a lehetséges opciókat.

a) y 1 x 2.

b) y 1 = y 2? De akkor f(y 1)=f(y 2) és x 1 =x 2, és akkor x 1 >x 2.

c) Az egyetlen lehetőség maradt: y 1 >y 2, azaz. De ekkor f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), és ez azt jelenti, hogy f (-1) (...) szigorúan monoton növekszik.

3. Az inverz függvény folytonossága.

Mert az inverz függvény értékei kitöltik a teljes szakaszt, akkor az előző tétel szerint f (-1) (...) folytonos.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
az y = sin x, - / 2 x / 2 függvény inverz függvénye	az y = cos x, 0 x függvény inverz függvénye

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctan x	y = arcctg x
az y = tan x, - / 2 függvény inverz függvénye< x < / 2	az y = cot x, 0 függvény inverz függvénye< x <

13.függvények összetétele. Elemi funkciók. Az y=arctg x, y = arcctg x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik.

Válasz: A matematikában a függvények összetétele (a függvények szuperpozíciója) az egyik függvénynek a másik eredményére való alkalmazása.

A G és F függvények összetételét általában G∘F-nek jelöljük, ami egy G függvény F függvény eredményére való alkalmazását jelöli.

Legyen F:X→Y és G:F(X)⊂Y→Z két függvény. Ekkor összetételük a G∘F:X→Z függvény, amelyet az egyenlőség határoz meg:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Az elemi függvények olyan függvények, amelyek véges számú aritmetikai művelettel és kompozíciókkal nyerhetők a következő alapvető elemi függvényekből:

• algebrai:
• nyugodt;
• racionális.
• transzcendentális:
• exponenciális és logaritmikus;
• trigonometrikus és inverz trigonometrikus.

Minden elemi függvény megadható egy képlettel, vagyis a felhasznált műveleteknek megfelelő véges számú szimbólum halmazával. Minden elemi függvény folytonos a definíciós tartományában.

Néha az alapelemi függvények közé tartoznak a hiperbolikus és inverz hiperbolikus függvények is, bár ezek kifejezhetők a fent felsorolt ​​alapvető elemi függvényeken keresztül.

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 x R-nél EXTREMA: Nem Nem A MONOTÓNA PERSPEKTIVÁI: x R-el növekszik x R-ként csökken

Másodrendű determináns

és a szabály szerint számítják ki

Számok hívják a determináns elemei (az első index a sorszámot jelöli, a második pedig
annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában ez az elem áll); elemek alkotta átló
,
, hívott fő- , elemek
,

oldal .

Hasonlóan vezetjük be a harmadrendű determináns fogalmát is.

Harmadik rendű determináns az a szám, amelyet a szimbólum képvisel

és a szabály szerint számítják ki

Elemek által alkotott átló
,
,
, hívott fő- , elemek
,
,

oldal .

Emlékeztetni kell arra, hogy az egyenlőség (1) jobb oldalán lévő termékek közül melyik szerepel a " jellel
"és néhányan a "
", hasznos a következő "háromszögek szabálya":

Bevezetheti a 4., 5. stb. rendek determináns fogalmát.

Kisebb
egy determináns egy bizonyos elemének olyan determináns, amelyet egy adott elemből úgy alakítunk ki, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

Algebrai komplementer a determináns valamely elemének ennek az elemnek a mollja szorozva ezzel
, Hol
sorszám,
annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában ez az elem található:

.

A determinánsok tulajdonságai.

A determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait felcserélik.

A szóban forgó műveletet transzponálásnak nevezzük. 1. tulajdonság

megállapítja a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét.

1. feladat. Determinánsok kiszámítása:

1) 2)3)4).

2. feladat. Számítsa ki a determinánsokat az első oszlop elemeire bontva:

1)
2)

3. feladat. Lelet az egyenletekből:

1)
2)

1.2. Lineáris egyenletrendszerek megoldása determinánsok segítségével. Cramer képletei

ÉN) Két lineáris inhomogén egyenletrendszer két ismeretlennel

Jelöljük

a rendszer fő meghatározója;

,
kisegítő minősítők.

a) Ha a rendszer meghatározója

,
. (1)

b) Ha a rendszer meghatározója
, akkor a következő esetek lehetségesek:

1)
(az egyenletek arányosak), akkor a rendszer csak egy egyenletet tartalmaz, pl.
és végtelen sok megoldása van (bizonytalan rendszer). Megoldásához az egyik változót a másikon keresztül kell kifejezni, amelynek értékét tetszőlegesen választjuk meg;

2) ha legalább az egyik meghatározó
nullától eltérő, akkor a rendszernek nincsenek megoldásai (inkonzisztens rendszer).

II) Két lineáris homogén egyenletrendszer három változóval

(2)

A lineáris egyenletet ún homogén , ha ennek az egyenletnek a szabad tagja nulla.

a) Ha
, akkor a (2) rendszer egy egyenletre redukálódik (például az elsőre), amelyből egy ismeretlen két másikon keresztül fejeződik ki, amelyek értékeit tetszőlegesen választják meg.

b) Ha az a feltétel
nem teljesül, akkor a (2) rendszer megoldásához mozgassunk egy változót jobbra, és oldjuk meg a két lineáris inhomogén egyenletrendszert a Cramer-képletekkel (1).

III) Három lineáris inhomogén egyenletrendszer három ismeretlennel:

Állítsuk össze és számítsuk ki a fő meghatározót és segédminősítők ,.

a) Ha
, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-képletekkel találunk meg:

,
,
(3)

b) Ha
, akkor a következő esetek lehetségesek:

1)
, akkor a rendszernek végtelen sok megoldása lesz, vagy egy vagy két egyenletből álló rendszerre redukálódik (egy ismeretlent jobbra mozgatunk, és két egyenletből álló rendszert két ismeretlennel oldunk meg);

2) legalább az egyik meghatározó
nullától eltérő, a rendszernek nincs megoldása.

IV) Három lineáris homogén egyenletrendszer három ismeretlennel:

Ez a rendszer mindig konzisztens, mert nulla megoldása van.

a) Ha a rendszer meghatározója
, akkor egyedi nulla megoldása van.

b) Ha
, akkor a rendszer vagy két egyenletre redukál (a harmadik a következményük), vagy egy egyenletre (a másik kettő a következménye), és végtelen sok megoldása van (lásd II. fejezet).

4. feladat. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Számítsuk ki a rendszer determinánsát

Mert
, akkor a rendszer egyedi megoldást kínál. Használjuk a Cramer-képleteket (3). Ehhez kiszámítjuk a segéddeterminánsokat:

,
,

,
,

5. feladat. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Számítsuk ki a rendszer determinánsát:

Következésképpen egy homogén egyenletrendszernek végtelenül sok nullától eltérő megoldása van. Megoldjuk az első két egyenlet rendszerét (a harmadik egyenlet ezek következménye):

Mozgassuk a változót az egyenlőség jobb oldalára:

Innen az (1) képletekkel kapjuk meg

,
.

Önállóan megoldandó problémák

6. feladat. Oldja meg az egyenletrendszer determinánsaival:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)

A mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely számokból áll.

Legyen egy 2-es rendű négyzetmátrix:

Az adott mátrixnak megfelelő 2. rendű determináns (vagy determináns) a szám

A mátrixnak megfelelő 3. rendű determináns (vagy determináns) egy szám

1. példa: Keresse meg a mátrixok determinánsait és

Lineáris algebrai egyenletrendszer

Adjunk meg egy 3 lineáris egyenletrendszert 3 ismeretlennel

Az (1) rendszer felírható mátrix-vektor formában

ahol A az együttható mátrix

B - kiterjesztett mátrix

X a szükséges komponensvektor;

Egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel:

Nézzük meg a két és három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszerek megoldását Cramer-képletekkel. 1. Tétel. Ha a rendszer fő meghatározója nullától eltérő, akkor a rendszernek van megoldása, és egy egyedi. A rendszer megoldását a következő képletek határozzák meg:

ahol x1, x2 az egyenletrendszer gyökerei,

A rendszer fő meghatározója, x1, x2 segéddeterminánsok.

Kiegészítő minősítők:

Lineáris egyenletrendszerek megoldása három ismeretlennel Cramer módszerével.

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

2. Tétel. Ha a rendszer fő meghatározója nullától eltérő, akkor a rendszernek van megoldása, és egy egyedi. A rendszer megoldását a következő képletek határozzák meg:

ahol x1, x2, x3 az egyenletrendszer gyökerei,

A rendszer fő meghatározója,

x1, x2, x3 segéddeterminánsok.

A rendszer fő meghatározóját a következők határozzák meg:

Kiegészítő minősítők:

• 1. Készítsen táblázatot (mátrixot) az ismeretlenek együtthatóiról, és számítsa ki a fődeterminánst!
• 2. Find - egy további determináns az x kapott helyett az első oszlop egy oszlop szabad feltételeket.
• 3. Find - y további meghatározója, amelyet úgy kapunk, hogy a második oszlopot szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük.
• 4. Keresse meg - z további determinánsát, amelyet úgy kapunk, hogy a harmadik oszlopot szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük. Ha a rendszer fő meghatározója nem egyenlő nullával, akkor az 5. lépést hajtjuk végre.
• 5. Keresse meg az x változó értékét az x / képlet segítségével.
• 6. Keresse meg az y változó értékét az y / képlet segítségével!
• 7. Keresse meg a z változó értékét a z / képlet segítségével.
• 8. Írja le a választ: x=...; y=…, z=… .

Lineáris egyenletrendszerek

Az egyenletrendszer a következő:

ahol a ij, b i numerikus együtthatók, x i változók, ún lineáris egyenletrendszer.

A lineáris egyenletrendszer megoldása a rendszer összes megoldásának jelzését jelenti, vagyis olyan változók értékkészletét, amelyek a rendszer egyenleteit azonosságokká alakítják.

A lineáris egyenletrendszert:

kötés, ha van legalább egy megoldása;

inkonzisztens, ha nincsenek megoldásai;

határozott, ha egyedi megoldása van;

homogén, ha minden b i = 0;

heterogén, ha mind b i ≠ 0.

Cramer szabálya

(Gabriel Cramer (1704-1752) svájci matematikus)

Ez a módszer csak olyan lineáris egyenletrendszerek esetén alkalmazható, ahol a változók száma egybeesik az egyenletek számával. Ezenkívül korlátozásokat kell bevezetni a rendszertényezőkre vonatkozóan. Szükséges, hogy minden egyenlet lineárisan független legyen, azaz. egyetlen egyenlet sem lenne a többi lineáris kombinációja.

Ehhez szükséges, hogy a rendszermátrix determinánsa ne legyen egyenlő 0-val.

 = det A  0;

Tétel. (Cramer szabálya):

N egyenletrendszer n ismeretlennel

Ha a rendszermátrix determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és ezt a megoldást a képletekkel találjuk meg:

x i = ;

Ahol  - fő meghatározó, amely az ismeretlenek numerikus együtthatóiból áll, és  i – kisegítő minősítő, amelyet a főből úgy kaptunk, hogy az i-edik oszlopot egy szabad kifejezések oszlopával b i helyettesítjük.

 i =

Példa. Oldja meg a rendszert a Cramer-szabály segítségével.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Példa. Keresse meg az egyenletrendszer megoldását:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Ha a rendszer homogén, pl. b i = 0, akkor 0-nál a rendszernek van egy egyedi nulla megoldása x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Mátrix módszer

A mátrix módszer olyan egyenletrendszerek megoldására alkalmazható, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával.

Ez a módszer alkalmas alacsony rendű rendszerek megoldására. A mátrixszorzás tulajdonságainak alkalmazásán alapul.

Legyen adott az egyenletrendszer:

Vezessük be a következő jelölést:

A=
- rendszeregyüttható mátrix;

B = mátrix – szabad kifejezések oszlopa;

X = - mátrix – ismeretlenek oszlopa.

Az egyenletrendszer felírható mátrix formában:

Végezzük el a következő transzformációt: A -1 AX = A -1 B,

mert A -1 A = E, akkor EX = A -1 B, kapjuk

X = A -1  B - a mátrixegyenlet megoldása

Példa . Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás:

,
,
.

Megkapjuk a mátrix egyenletet
.

Az ő döntése
, azaz

(Az inverz mátrix megtalálásáról korábban volt szó).

Gauss módszer

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus)

A mátrixmódszerrel és a Cramer-módszerrel ellentétben a Gauss-módszer alkalmazható tetszőleges számú egyenletet és ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszerekre. A módszer lényege az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölése.

Tekintsünk egy lineáris egyenletrendszert:

Meghatározás: A rendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrixot rendszermátrixnak nevezzük.

Meghatározás: A mátrixot egy rendszer kiterjesztett mátrixának nevezzük, ha az A mátrixhoz hozzáadjuk a rendszer szabad tagok oszlopát.

A kiterjesztett mátrix a rendszer kódolt rekordja. A mátrix sorai megfelelnek a rendszer egyenleteinek. Ha megszorozunk egy egyenletet egy számmal, és hozzáadjuk ezt a szorzatot egy másik egyenlettel, akkor az egyenlő azzal, hogy egy mátrixsort megszorozunk ezzel a számmal, és a szorzatot tagonként hozzáadjuk egy másik mátrixsorhoz. Így az egyenletekkel való munka helyettesíthető mátrixsorokkal.

Meghatározás: Az A mátrixot lépésenként hívjuk, ha:

A) bármelyik sorában van legalább egy nullától eltérő elem,

B) minden sor első nem nulla eleme a másodiktól kezdve az előző sor nullától eltérő elemétől jobbra helyezkedik el.

A Gauss-módszer hatékony módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására és tanulmányozására. Abból áll, hogy ezt a lineáris egyenletrendszert egy lépés típusú ekvivalens rendszerré alakítják, amely könnyen megoldható és tanulmányozható. A Gauss-módszer alkalmazása nem függ sem az egyenletek számától, sem az ismeretlenek számától a rendszerben.

Nézzük meg a Gauss-módszer ötletét konkrét példák segítségével.

Példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Hozzuk létre a rendszer kibővített mátrixát, és elemi transzformációk segítségével hozzuk formába:

, honnan kapjuk: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel!

Hozzuk létre a rendszer kiterjesztett mátrixát.

Így az eredeti rendszer a következőképpen ábrázolható:

Tanfolyami projekt magyarázó jegyzet

Tanfolyami projekt

És megtaláljuk a mátrix harmadik oszlopát kiegészítő minősítők: Keresse meg a polinom együtthatóit: Így... szorzat: Keresse meg a szorzatot: Keresse meg a fő döntő: Találunk kiegészítő minősítőkés a mátrixot egyesével helyettesítve...

Módszertani ajánlások egy tanuló tanórán kívüli önálló munkájának elvégzéséhez a „matematika” szakterületen

Módszertani ajánlások

Példa: kiszámítani döntő másodrendű 1) 2) 2. Számítsa ki döntő harmadik rend Döntő harmadik rendet hívjuk... az ismeretlenek együtthatóiból Komponáljuk kiegészítő minősítők rendszer a következő: ... Akkor...

Az Orosz Föderáció mint tankönyv felsőoktatási intézmények nyelvi szakokat tanuló hallgatói számára Moszkva "Felsőiskola" 2002

Tankönyv

Utántöltők, kiegészítő igék, aspektus- és fázisigék, erősítő határozók, demonstratívok minősítők; heterogén... egy "anyag" szó kombinálásával "" kiegészítő-nyelvtani" szó. Ennek megfelelően ez a...

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete