Hogyan oszthatunk el egy tört természetes számmal. Rendkívüli tört elosztása természetes számmal

A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket életükön keresztül, hiszen a mindennapi életben gyakran nem egészben, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet egy termék hosszát vagy árát egész számként kifejezni, figyelembe kell venni valamilyen mértéket. A „osztani” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó az orosz nyelvben a 8. században keletkezett.

Törtkifejezések hosszú ideig a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.

Modern megjelenés az egyszerű töredékmaradványokat, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci – pisai Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan szorozzák a különböző nevezőkkel rendelkező vegyes törteket.

Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása

Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:

• helyes;
• helytelen;
• vegyes.

Ezután emlékeznie kell arra, hogyan szorozzák meg az azonos nevezővel rendelkező törtszámokat. Ennek a folyamatnak a szabályát nem nehéz önállóan megfogalmazni: az azonos nevezővel rendelkező egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, amelynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Vagyis az új nevező az egyik meglévő négyzete.

A szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Az egyetlen különbség az alakult szám a törtvonal alatt különböző számok szorzata lesz, és természetesen az egy négyzete numerikus kifejezés lehetetlen megnevezni.

Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket használnak. A számláló számokat csak akkor lehet kicsinyíteni, ha a nevező számok egymás mellett vannak szorzókat ér Nem lehet rövidíteni a törtvonal felett vagy alatt.

Az egyszerűvel együtt törtszámok, létezik a vegyes törtek fogalma. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hogyan működik a szorzás?

Több példa is megfontolandó.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

A példa egy szám szorzását használja rendes törtrész , ennek a műveletnek a szabálya a következőképpen írható fel:

a* b/c = a*b /c.

Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a kifejezések száma ezt jelzi természetes szám. Különleges eset:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Van egy másik megoldás is egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:

d* e/f = e/f: d.

Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt elosztjuk egy maradék nélküli természetes számmal, vagy ahogy mondják, egész számmal.

Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ez a példa a bemutatási módszert tartalmazza vegyes frakció helytelenül alakban is ábrázolható általános képlet:

a bc = a*b+ c/c, ahol a nevező új frakcióúgy keletkezik, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.

Ez a folyamat az ellenkező irányba is működik. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.

Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.

Az interneten sok segítő található még bonyolult problémák megoldására is. matematikai feladatok különféle programváltozatokban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a törtek szorzásának megszámlálásához különböző számok nevezőkben - úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nemcsak szorozni, hanem minden más egyszerű aritmetikai műveletet is végrehajtani közönséges törtekkel és vegyes számokkal. Könnyű vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a webhely oldalán, és válassza ki a jelet matematikai műveletés kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.

A törtekkel végzett aritmetikai műveletek témája a közép- és középiskolások oktatásában végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész törtkifejezések , de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. Jól tanult alapismeretek teljes bizalmat adni sikeres döntést legtöbb összetett feladatok.

Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.

A tört egy egész egy vagy több része, általában egynek (1) vesszük. A természetes számokhoz hasonlóan a törtekkel is elvégezhet minden alapvető aritmetikai műveletet (összeadás, kivonás, osztás, szorzás), ehhez ismerni kell a törtekkel való munka jellemzőit, és meg kell különböztetni a típusukat. Többféle tört létezik: tizedes és közönséges, vagy egyszerű. Minden törttípusnak megvannak a maga sajátosságai, de ha alaposan megértette, hogyan kell kezelni őket, akkor bármilyen példát meg tud majd oldani törtekkel, mivel ismeri a végrehajtás alapelveit számtani számítások törtekkel. Nézzünk példákat arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal a segítségével különböző típusok törtek

Hogyan oszthatunk el egy egyszerű törtet természetes számmal?
A közönséges vagy egyszerű törtek olyan törtek, amelyeket számarány formájában írnak fel, amelyben az osztalék (számláló) a tört tetején, a tört osztója (nevezője) pedig alul van feltüntetve. Hogyan lehet egy ilyen törtet elosztani egész számmal? Nézzünk egy példát! Tegyük fel, hogy a 8/12-t el kell osztanunk 2-vel.

Ehhez számos műveletet kell végrehajtanunk:
Így, ha azzal a feladattal állunk szemben, hogy egy törtet el kell osztani egy egész számmal, a megoldási diagram valahogy így fog kinézni:

Hasonló módon bármely közönséges (egyszerű) törtet eloszthat egész számmal.

Hogyan kell elosztani egy tizedesjegyet egész számmal?
A tizedes tört egy olyan tört, amelyet úgy kapunk, hogy egy egységet tíz, ezer és így tovább osztunk. Aritmetikai műveletek a tizedes törtekkel meglehetősen egyszerű.

Nézzünk egy példát arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk a 0,925 tizedes törtet az 5-ös természetes számmal.

Összefoglalva, maradjunk két fő ponton, amelyek fontosak a tizedes törtek egész számmal való osztásakor:

• az elválasztáshoz decimális Az oszloposztást természetes szám esetén használjuk;
  
• A hányadosba vessző kerül, amikor az osztalék teljes részének felosztása befejeződött.
  

Ezek alkalmazása egyszerű szabályok, mindig könnyedén oszthat bármilyen tizedes vagy egyszerű tört egész számmal.

IN utoljára Megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a „Törtek összeadása és kivonása”). Ezeknek az akcióknak a legnehezebb része az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.

Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. Jó hír az, hogy ezek a műveletek még az összeadásnál és kivonásnál is egyszerűbbek. Először is nézzük meg legegyszerűbb eset, amikor két pozitív tört van elválasztott egész rész nélkül.

Két tört szorzásához külön kell szoroznia a számlálóikat és a nevezőit. Az első szám az új tört számlálója, a második pedig a nevező.

Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a „fordított” második törttel.

Kijelölés:

A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukál. Tört „átforgatásához” csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért a leckében elsősorban a szorzást fogjuk figyelembe venni.

A szorzás eredményeként redukálható tört keletkezhet (és gyakran előfordul is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört helytelennek bizonyul, a teljes részt ki kell emelni. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztmetszetek, a legnagyobb tényezők és a legkisebb közös többszörösek.

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

Törtek szorzása egész részekkel és negatív törtekkel

Ha töredékekben van jelen egész rész, azokat hibássá kell alakítani - és csak ezután szorozni a fent vázolt sémák szerint.

Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az a következő szabályok szerint kivehető a szorzásból vagy teljesen eltávolítható:

1. Plusz mínuszra mínuszt ad;
2. Két negatívum igenlővé tesz.

Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől meg kellett szabadulni. Egy mű esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több hátrányt is „égessenek”:

1. Páronként áthúzzuk a negatívokat, amíg teljesen el nem tűnnek. IN utolsó lehetőségként, egy mínusz maradhat fenn - az, amelyikhez nem volt párja;
2. Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mert nem volt hozzá pár, akkor kivesszük a szorzás határából. Az eredmény egy negatív tört.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Az összes törtet helytelenné alakítjuk, majd a mínuszokat a szorzáson kívülre vesszük. A maradékot a szokásos szabályok szerint megszorozzuk. Kapunk:

Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a kiemelt egész részt tartalmazó tört előtt megjelenő mínusz kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak a teljes részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).

Szintén vegye figyelembe negatív számok: Szorzáskor zárójelben vannak. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és a teljes jelölés pontosabb legyen.

Törtszámok csökkentése menet közben

A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt elég nagynak bizonyulnak, és a probléma egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja tovább csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a megmaradt számokat.

Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Helyükön olyan egységek maradnak, amelyeket általában véve nem kell írni. A második példában teljes csökkentés Ezt nem sikerült elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.

Ezt a technikát azonban soha ne használja törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:

Ezt nem teheted!

A hiba abból adódik, hogy a tört számlálójának összeadásakor az összeg jelenik meg, nem pedig a számok szorzata. Ezért lehetetlen egy tört alaptulajdonságát alkalmazni, mivel ebben a tulajdonságban arról beszélünk konkrétan a számok szorzásával kapcsolatban.

Egyszerűen nincs más oka a törtek csökkentésének, tehát a helyes döntés az előző feladat így néz ki:

Helyes megoldás:

Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.

Törtekkel mindent megtehet, az osztást is. Ez a cikk a felosztást mutatja be közönséges törtek. Meghatározásokat adunk, és példákat tárgyalunk. Foglalkozzunk részletesen a törtek természetes számokkal való osztásával és fordítva. Megfontoljuk, hogy egy közös törtet elosztunk vele vegyes szám.

Osztó törtek

Az osztás a szorzás inverze. Osztásakor ismeretlen szorzó címen található híres alkotásés egy másik tényező, ahol az adott jelentését közönséges törtekkel őrzik meg.

Ha el kell osztani egy a b közönséges törtet c d-vel, akkor egy ilyen szám meghatározásához meg kell szorozni a c d osztóval, ez végül a b osztót adja. Kapjunk egy számot, és írjuk fel a b · d c , ahol d c a c d szám inverze. Az egyenlőségek a szorzás tulajdonságaival írhatók fel, nevezetesen: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ahol az a b · d c kifejezés a b és c d hányadosa.

Innen megkapjuk és megfogalmazzuk a közönséges törtek osztásának szabályát:

1. definíció

Egy a b közönséges tört c d-vel való osztásához meg kell szorozni az osztó hányadát az osztó reciprokával.

Írjuk fel a szabályt kifejezés formájában: a b: c d = a b · d c

Az osztás szabályai a szorzásra vezetnek le. Ahhoz, hogy ragaszkodjon hozzá, jól kell értenie a törtek szorzását.

Térjünk át a közönséges törtek felosztására.

1. példa

Osszuk el 9 7-et 5 3-mal. Írja az eredményt törtként!

Megoldás

Az 5 3 szám a 3 5 reciprok törtje. A közönséges törtek osztására vonatkozó szabályt kell használni. Ezt a kifejezést a következőképpen írjuk: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Válasz: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, a törtek kicsinyítésekor válassza el a teljes részt.

2. példa

Oszd meg 8 15: 24 65. Írja a választ törtként!

Megoldás

A megoldáshoz osztásról szorzásra kell lépni. Írjuk fel a következő formában: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Csökkenteni kell, és ez meg is történik alábbiak szerint: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Válassza ki a teljes részt, és kapja meg a 13 9 = 1 4 9 értéket.

Válasz: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Rendkívüli tört elosztása természetes számmal

A tört természetes számmal való osztására azt a szabályt használjuk, hogy a b-t n természetes számmal osztjuk, csak a nevezőt kell megszorozni n-nel. Innen a következő kifejezést kapjuk: a b: n = a b · n.

Az osztási szabály a szorzási szabály következménye. Ezért, ha egy természetes számot törtként ábrázolunk, akkor egy ilyen típusú egyenlőséget adunk: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Tekintsük ezt a tört számmal való osztását.

3. példa

A 16 45 törtet osszuk el 12-vel.

Megoldás

Alkalmazzuk a tört számmal való osztásának szabályát. 16 45: 12 = 16 45 · 12 alakú kifejezést kapunk.

Csökkentsük a törtet. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 kapjuk.

Válasz: 16 45: 12 = 4 135 .

Természetes szám elosztása törttel

Az osztási szabály hasonló O a természetes szám közönséges törttel való osztásának szabálya: ahhoz, hogy egy n természetes számot oszthassunk egy a b közönséges törttel, meg kell szorozni az n számot az a b tört reciprojával.

A szabály alapján n-ünk van: a b = n · b a, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabályának köszönhetően a kifejezésünket n formában kapjuk: a b = n · b a. Ezt a felosztást egy példával kell megvizsgálni.

4. példa

Osszuk el a 25-öt 15-28-cal.

Megoldás

Át kell lépnünk az osztásról a szorzásra. Írjuk fel a 25 kifejezés formájában: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Csökkentsük a törtet, és kapjuk meg az eredményt a 46 2 3 tört alakjában.

Válasz: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Tört elosztása vegyes számmal

Ha egy közönséges törtet vegyes számmal oszt el, könnyen elkezdheti osztani a közönséges törteket. Egy vegyes számot hibás törtté kell konvertálnia.

5. példa

Osszuk el a 35 16 törtet 3 1 8-cal.

Megoldás

Mivel a 3 1 8 vegyes szám, ábrázoljuk helytelen törtként. Ekkor azt kapjuk, hogy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Most osszuk el a törteket. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Válasz: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Vegyes szám felosztása ugyanúgy történik, mint a közönséges számok.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az óra tartalma

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása

A törtek összeadásának két típusa van:

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása

Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz nem volt megfelelő tört. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig egyformák.

Például törteket lehet hozzáadni, mert van ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet azonnal hozzáadni, mivel ezek a törtek különböző nevezők. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az elsőt további szorzó. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.

A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjuk össze a törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztva 2-vel, 3-at kapunk.

Az így kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét húzunk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:

Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:

Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajz egy töredéket ábrázol (hatból négy darab), a második rajz pedig egy törtet (hatból három darab). Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Felhívjuk figyelmét, hogy leírtuk ezt a példát túl részletes. IN oktatási intézményekben Nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Az iskolában ezt a példát a következőképpen kell leírnunk:

De van olyan is hátoldalérmeket. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

1. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
2. Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
3. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
4. Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
5. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki annak teljes részét

A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:

Választ kaptunk

Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása

A törtek kivonásának két típusa van:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Tegyük ezt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
2. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például levonhat egy törtet egy törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.

A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Először megtaláljuk mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most térjünk vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:

Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:

Választ kaptunk

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz

Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):

Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztjuk 5-tel, megkapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fér el egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.

A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:

Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel

Választ kaptunk

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.

1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz

És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Választ kaptunk. Célszerű csökkenteni adott tört. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor végső döntést a következő formában lesz:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a félből kétharmadot kivenni? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:

Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a legnagyobbkal közös osztó(GCD) 105 és 450 számok.

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:

Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel

Egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:

Reciprok számok

Most megismerkedünk nagyon érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.

Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:

Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.

Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.

Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.

Tört elosztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?

Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.

A törtek felosztása reciprok segítségével történik. A reciprok számok lehetővé teszik, hogy az osztást szorzással helyettesítsük.

Egy tört számmal való osztásához meg kell szoroznia a törtet az osztó inverzével.

Ezt a szabályt alkalmazva felírjuk a pizzafelünk felosztását két részre.

Tehát el kell osztani a törtet a 2-vel. Itt az osztalék a tört, az osztó pedig a 2.

Ha el szeretne osztani egy tört 2-vel, ezt a törtet meg kell szoroznia a 2 osztó reciprokával. A 2 osztó reciproka a tört. Tehát szorozni kell vele

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete