Fennáll a lehetőség, hogy be. A valószínűség statisztikai meghatározása

Amikor egy érmét feldobnak, akkor azt mondhatod, hogy fejjel felfelé fog landolni, ill valószínűség ez 1/2. Ez persze nem azt jelenti, hogy ha egy érmét 10-szer feldobnak, akkor az 5-ször feltétlenül fejre fog kerülni. Ha az érme "tisztességes", és sokszor feldobják, akkor a fejek az idő felében nagyon közel fognak landolni. Tehát kétféle valószínűség létezik: kísérleti És elméleti .

Kísérleti és elméleti valószínűség

Ha feldob egy érmét nagyszámú szor - mondjuk 1000 -, és ha megszámoljuk, hányszor száll le fejjel, meg tudjuk határozni annak valószínűségét, hogy fejet száll le. Ha 503-szor dobják a fejeket, akkor kiszámíthatjuk a leszállás valószínűségét:
503/1000 vagy 0,503.

Ez kísérleti valószínűség meghatározása. Ez a valószínűség meghatározása az adatok megfigyeléséből és tanulmányozásából származik, és meglehetősen gyakori és nagyon hasznos. Itt van például néhány kísérletileg meghatározott valószínűség:

1. Annak a valószínűsége, hogy egy nőben mellrák alakul ki, 1/11.

2. Ha megcsókolsz valakit, aki megfázott, akkor annak a valószínűsége, hogy te is megfázol, 0,07.

3. A börtönből most szabadult személynek 80% esélye van a börtönbe való visszatérésre.

Ha fontolóra vesszük egy érme feldobását, és figyelembe vesszük, hogy ugyanolyan valószínű, hogy fej vagy farok fog feljönni, akkor kiszámíthatjuk a fejek megszerzésének valószínűségét: 1/2 elméleti meghatározás valószínűségek. Íme néhány további valószínűség, amelyet elméletileg matematikailag határoztak meg:

1. Ha egy szobában 30 ember tartózkodik, annak a valószínűsége, hogy kettőnek azonos a születésnapja (évet nem számítva), 0,706.

2. Egy utazás során találkozol valakivel, és a beszélgetés során rájössz, hogy van egy közös barátod. Tipikus reakció: "Ez nem lehet!" Valójában ez a kifejezés nem megfelelő, mert egy ilyen esemény valószínűsége meglehetősen magas - alig több mint 22%.

Így a kísérleti valószínűségeket megfigyeléssel és adatgyűjtéssel határozzák meg. Az elméleti valószínűségeket matematikai érveléssel határozzuk meg. A kísérleti és elméleti valószínűségekre vonatkozó példák, mint amilyeneket fentebb tárgyaltunk, és különösen azok, amelyekre nem számítunk, elvezetnek bennünket a valószínűségek tanulmányozásának fontosságához. Felteheti a kérdést: "Mi az igazi valószínűség?" Valójában ilyen nincs. Bizonyos határokon belüli valószínűségek kísérletileg meghatározhatók. Lehet, hogy egybeesnek azokkal a valószínűségekkel, amelyeket elméletileg kapunk, vagy nem. Vannak helyzetek, amikor sokkal könnyebb meghatározni az egyik típusú valószínűséget, mint a másikat. Például elegendő lenne az elméleti valószínűség segítségével meghatározni a megfázás valószínűségét.

Kísérleti valószínűségek számítása

Először mérlegeljük kísérleti meghatározás valószínűségek. Az ilyen valószínűségek kiszámításához használt alapelv a következő.

P elv (kísérleti)

Ha egy olyan kísérletben, amelyben n megfigyelést végzünk, egy E helyzet vagy esemény m-szer fordul elő n megfigyelésben, akkor az esemény kísérleti valószínűségét P (E) = m/n-nek mondjuk.

1. példa Szociológiai felmérés. Tartottak kísérleti tanulmány a balkezesek, a jobbkezesek és az egyformán fejlett emberek számának meghatározásához Az eredményeket a grafikon mutatja.

a) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető jobbkezes!

b) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető balkezes!

c) Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy személy mindkét kezében egyformán folyékonyan beszél!

d) A legtöbb Professzionális Bowling Szövetség versenye 120 játékosra korlátozódik. A kísérlet adatai alapján hány játékos lehet balkezes?

Megoldás

a) A jobbkezesek száma 82, a balkezesek száma 17, a kétkezesek száma 1. A megfigyelések száma összesen 100. Így ennek a valószínűsége hogy egy személy jobbkezes, az P
P = 82/100, vagy 0,82 vagy 82%.

b) Annak a valószínűsége, hogy valaki balkezes, P, ahol
P = 17/100, vagy 0,17 vagy 17%.

c) Annak a valószínűsége, hogy egy személy mindkét kezében egyformán folyékonyan beszél, P, ahol
P = 1/100 vagy 0,01 vagy 1%.

d) 120 teketős, a b) pontból pedig 17%-ra számíthatunk balkezesre. Innen
120 17%-a = 0,17,120 = 20,4,
vagyis kb 20 játékos balkezesre számíthatunk.

2. példa Minőség ellenőrzés . Nagyon fontos, hogy a gyártó megőrizze termékeinek minőségét magas szint. Valójában a vállalatok minőség-ellenőrző ellenőröket alkalmaznak ennek a folyamatnak a biztosítására. A cél a lehető legkisebb számú hibás termék előállítása. De mivel a cég naponta több ezer terméket gyárt, nem engedheti meg magának, hogy minden terméket teszteljen, hogy megállapítsa, hibás-e vagy sem. Ahhoz, hogy megtudja, a termékek hány százaléka hibás, a cég sokkal kevesebb terméket tesztel.
Minisztérium Mezőgazdaság Az Egyesült Államok előírja, hogy a termelők által értékesített vetőmagok 80%-ának csíráznia kell. Egy mezőgazdasági vállalat által termelt vetőmag minőségének megállapításához a megtermelt vetőmagból 500 darabot elültetnek. Ezt követően 417 magot számoltak ki.

a) Mennyi a valószínűsége, hogy a mag kicsírázik?

b) Megfelelnek-e a vetőmagok a kormányzati előírásoknak?

Megoldás a) Tudjuk, hogy az elültetett 500 magból 417 kelt ki. A mag csírázásának valószínűsége P, és
P = 417/500 = 0,834, vagyis 83,4%.

b) Mivel a kicsírázott magvak aránya meghaladta a 80%-ot, a magok megfelelnek a kormányzati előírásoknak.

3. példa Televíziós értékelések. A statisztikák szerint az Egyesült Államokban 105 500 000 háztartásban van televízió. Minden héten összegyűjtjük és feldolgozzuk a műsorok megtekintésével kapcsolatos információkat. Egy hét alatt 7 815 000 háztartás hallgatta a CBS „Everybody Loves Raymond” című vígjátéksorozatát, és 8 302 000 háztartás a „Law & Order” című slágersorozatot az NBC-n (forrás: Nielsen Media Research). Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy háztartás tévéje „Everybody Loves Raymond”-ra van beállítva egy adott héten „Law & Order”-re?

Megoldás Annak a valószínűsége, hogy egy háztartásban a televízió „Everybody Loves Raymond”-ra van beállítva, P, és
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Annak az esélye, hogy a háztartás TV-jét Law & Orderre hangolták, P, és
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ezeket a százalékokat minősítésnek nevezzük.

Elméleti valószínűség

Tételezzük fel, hogy kísérletet végzünk, például pénzérmét vagy dartsot dobunk, kártyát húzunk a pakliból, vagy termékek minőségét teszteljük egy futószalagon. Minden lehetséges eredmény egy ilyen kísérletet neveznek Kivonulás . Sok mindenkit lehetséges eredményeket hívott eredménytér . Esemény az eredmények halmaza, vagyis az eredmények terének egy részhalmaza.

4. példa Darts dobása. Tegyük fel, hogy egy nyíldobási kísérletben egy nyíl célba talál. Keresse meg a következőket:

b) Eredménytér

Megoldás
a) A végeredmény: fekete (B), piros (R) és fehér (B) ütése.

b) Az eredmények tere (fekete ütés, piros ütés, fehér ütés), amely egyszerűen (H, K, B) írható.

5. példa Dobás dobókocka. A kocka olyan kocka, amelynek hat oldala van, mindegyikre 1-6 pont van rajzolva.


Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. megtalálja
a) Eredmények
b) Eredménytér

Megoldás
a) Eredmények: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Eredménytér (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Egy E esemény bekövetkezésének valószínűségét P(E) jelöljük. Például az „az érme a fejeken fog landolni” H-val jelölhető. Ekkor P(H) azt a valószínűséget jelenti, hogy az érme fejen fog landolni. Ha egy kísérlet minden kimenetelének előfordulási valószínűsége azonos, akkor azt egyformán valószínűnek mondjuk. Az egyformán valószínű és nem valószínű események közötti különbségek megtekintéséhez vegye figyelembe az alábbi célt.

Az A célpont esetében a fekete, piros és fehér eltalálás eseményei egyformán valószínűek, mivel a fekete, piros és fehér szektorok megegyeznek. A B célpontnál azonban az ilyen színű zónák nem egyformák, vagyis az eltalálásuk nem egyformán valószínű.

P elv (elméleti)

Ha egy E esemény m módon megtörténhet az S kimeneti térből származó n lehetséges egyformán valószínű kimenetel közül, akkor elméleti valószínűség események, P(E) az
P(E) = m/n.

6. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy kockával dobunk 3-at?

Megoldás Tovább dobókocka Hat egyformán valószínű kimenetel van, és csak egy lehetőség van a 3-as szám kidobására. Ekkor a P valószínűség P(3) = 1/6.

7. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számot dobunk a kockán?

Megoldás Az esemény egy páros szám dobása. Ez 3 módon történhet (ha 2-t, 4-et vagy 6-ot dobsz). Az egyformán valószínű kimenetelek száma 6. Ekkor a valószínűség P(páros) = 3/6, vagyis 1/2.

Számos példát fogunk használni, amelyek egy szabványos 52 lapos paklira vonatkoznak. Ez a pakli az alábbi ábrán látható kártyákból áll.

8. példa Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy jól megkevert kártyapakliból ászt húzzunk?

Megoldás 52 kimenetel van (a kártyák száma a pakliban), ezek egyforma valószínűségűek (ha a pakli jól van megkeverve), és 4 módon lehet ászt húzni, tehát a P elv szerint a valószínűség
P(ász húz) = 4/52 vagy 1/13.

9. példa Tegyük fel, hogy anélkül, hogy megnéznénk, kiválasztunk egy labdát egy zacskóból, amelyben 3 piros és 4 zöld golyó található. Mennyi a valószínűsége, hogy piros golyót választunk?

Megoldás Bármely golyó húzásának 7 egyformán valószínű kimenetele van, és mivel a piros golyó húzásának 3 módja van, azt kapjuk,
P (piros labda kiválasztása) = 3/7.

A következő állítások a P elv eredményei.

A valószínűség tulajdonságai

a) Ha az E esemény nem következhet be, akkor P(E) = 0.
b) Ha az E esemény biztosan bekövetkezik, akkor P(E) = 1.
c) Az E esemény bekövetkezésének valószínűsége egy 0 és 1 közötti szám: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Például egy érmefeldobásnál nulla a valószínűsége annak, hogy az érme a szélére kerül. Annak a valószínűsége, hogy egy érme fej vagy farok, 1.

10. példa Tegyük fel, hogy egy 52 lapos pakliból 2 lapot húznak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindkettő csúcs?

Megoldás Egy jól megkevert 52 lapból álló pakliból 2 kártya húzásának n számú módja 52 C 2 . Mivel az 52 lapból 13 ásó, 2 ásó m húzási módja 13 C 2 . Akkor,
P (2 csúcs húzása) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11. példa Tegyük fel, hogy 6 férfiból és 4 nőből álló csoportból véletlenszerűen választanak ki 3 embert. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1 férfit és 2 nőt választanak ki?

Megoldás Egy 10 fős csoportból három embert 10 C 3 lehet kiválasztani. Egy férfi 6 C 1 módon, 2 nő pedig 4 C 2 módon választható. Alapján alapvető elv számolás, 1 férfi és 2 nő kiválasztásának módjai 6 C 1. 4 C 2 . Ekkor annak a valószínűsége, hogy 1 férfit és 2 nőt választanak ki
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12. példa Kockadobás. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két kockával összesen 8-at dobunk?

Megoldás Minden kockának 6 lehetséges kimenetele van. Az eredmények megduplázódnak, ami azt jelenti, hogy 6,6 vagy 36 lehetséges módja van a két kockán lévő számok megjelenésének. (Jobb, ha a kockák különbözőek, mondjuk az egyik piros, a másik kék - ez segít az eredmény vizualizálásában.)

A 8-at adó számpárok az alábbi ábrán láthatók. 5 van lehetséges módjai 8-cal egyenlő összeget kapunk, ezért a valószínűség 5/36.

A közgazdaságtanban és más területeken is emberi tevékenység vagy a természetben folyamatosan olyan eseményekkel kell szembenéznünk, amelyeket nem lehet pontosan megjósolni. Így egy termék értékesítési volumene függ a kereslettől, amely jelentősen változhat, és számos egyéb tényezőtől, amelyeket szinte lehetetlen figyelembe venni. Ezért a termelés megszervezése és az értékesítés során az ilyen tevékenységek kimenetelét vagy saját korábbi tapasztalatai, vagy mások hasonló tapasztalatai, vagy intuíciója alapján kell megjósolnia, amely nagymértékben szintén kísérleti adatokra támaszkodik.

A szóban forgó esemény valamilyen értékeléséhez figyelembe kell venni vagy speciálisan meg kell szervezni azokat a feltételeket, amelyek között ezt az eseményt rögzítik.

Végrehajtás bizonyos feltételek vagy a kérdéses esemény azonosítására szolgáló műveleteket hívjuk meg tapasztalat vagy kísérlet.

Az esemény ún véletlen, ha a tapasztalatok következtében előfordulhat vagy nem.

Az esemény ún megbízható, ha az adott élmény hatására szükségszerűen megjelenik, és lehetetlen, ha ez nem jelenhet meg ebben az élményben.

Például a november 30-i moszkvai hóesés véletlenszerű esemény. A napi napkelte megbízható eseménynek tekinthető. Az egyenlítői hóesés lehetetlen eseménynek tekinthető.

A valószínűségszámítás egyik fő feladata egy esemény bekövetkezésének lehetőségének kvantitatív mértékének meghatározása.

Események algebra

Az eseményeket összeegyeztethetetlennek nevezzük, ha nem figyelhetők meg együtt ugyanabban az élményben. Így két és három autó egyidejű jelenléte egy eladó üzletben két összeférhetetlen esemény.

Összeg események olyan esemény, amely ezen események legalább egyikének bekövetkezéséből áll

Példa az események összegére, ha két termék közül legalább egy van az üzletben.

A munka Az események egy olyan esemény, amely mindezen események egyidejű bekövetkezéséből áll

Egy üzletben egyszerre két áru megjelenéséből álló esemény az események terméke: - egy termék megjelenése, - egy másik termék megjelenése.

Az események akkor alkotnak egy teljes eseménycsoportot, ha legalább az egyik biztosan bekövetkezik a tapasztalatban.

Példa. A kikötőben két kikötőhely található a hajók fogadására. Három eseményt lehet figyelembe venni: - hajók hiánya a kikötőhelyeken, - egy hajó jelenléte az egyik kikötőhelyen, - két hajó jelenléte két kikötőhelyen. Ez a három esemény egy teljes eseménycsoportot alkot.

Szemben két egyedi lehetséges eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak.

Ha az egyik ellentétes eseményt jelöli, akkor ellentétes eseményáltalában jelöli.

Az esemény valószínűségének klasszikus és statisztikai meghatározásai

A tesztek (kísérletek) egyformán lehetséges eredményét elemi eredménynek nevezzük. Általában betűkkel jelölik őket. Például dobnak egy kockát. Összesen hat elemi eredmény lehet az oldalakon elért pontok száma alapján.

Tól től elemi eredmények lehet többet alkotni összetett esemény. Így a páros számú pont eseményét három eredmény határozza meg: 2, 4, 6.

A szóban forgó esemény bekövetkezésének lehetőségének mennyiségi mérőszáma a valószínűség.

A legtöbb széleskörű felhasználás két definíciót kapott egy esemény valószínűségére: klasszikusÉs statisztikai.

A valószínűség klasszikus definíciója a kedvező kimenetel fogalmához kapcsolódik.

Az eredményt ún kedvező adott eseményhez, ha annak bekövetkezése ennek az eseménynek a bekövetkezését vonja maga után.

A megadott példában a kérdéses esemény az páros szám pontoknak a kiesett oldalon három kedvező kimenetele van. BAN BEN ebben az esetben ismert és általános
lehetséges kimenetelek száma. Tehát itt tudod használni klasszikus meghatározás egy esemény valószínűsége.

Klasszikus meghatározás egyenlő a kedvező kimenetelek számának arányával teljes szám lehetséges eredményeket

ahol az esemény valószínűsége, az esemény számára kedvező kimenetelek száma, a lehetséges kimenetelek száma.

A vizsgált példában

Statisztikai definíció A valószínűség a kísérletekben egy esemény relatív előfordulási gyakoriságának fogalmához kapcsolódik.

Egy esemény előfordulásának relatív gyakoriságát a képlet segítségével számítjuk ki

ahol egy esemény előfordulásának száma egy kísérletsorozatban (tesztben).

Statisztikai definíció. Egy esemény valószínűsége az a szám, amelyhez viszonyítva stabilizálódik (halmaz) relatív gyakoriság a kísérletek számának korlátlan növelésével.

BAN BEN gyakorlati problémák egy esemény valószínűségét az elégséges relatív gyakoriságnak vesszük nagyszámú tesztek.

Az esemény valószínűségének ezen definícióiból világos, hogy az egyenlőtlenség mindig teljesül

Egy esemény valószínűségének (1.1) képlet alapján történő meghatározásához gyakran alkalmaznak kombinatorikai képleteket, amelyek segítségével meg lehet találni a kedvező kimenetelek számát és a lehetséges kimenetelek számát.

Kezdetben a kockajátékkal kapcsolatos információk és empirikus megfigyelések gyűjteménye lévén a valószínűségelmélet alapos tudomány lett. Az elsők, akik matematikai keretet adtak neki, Fermat és Pascal.

Az örökkévalóról való gondolkodástól a valószínűségelméletig

Azt a két személyt, akiknek a valószínűségszámítás számos alapvető képletét köszönheti, Blaise Pascalt és Thomas Bayest, mélyen vallásos emberként ismerik, utóbbi presbiteri lelkész. Nyilvánvalóan e két tudós azon vágya, hogy bebizonyítsák egy bizonyos Fortuneról alkotott vélemény tévességét, aki szerencsét ajándékoz kedvenceinek, lendületet adott az e terület kutatásának. Hiszen valójában bármelyik szerencsejáték győzelmeivel és veszteségeivel csak a matematikai elvek szimfóniája.

De Mere úriember szenvedélyének köszönhetően, aki egyaránt Szerencsejátékos és a tudomány iránt nem közömbös személy lévén Pascal kénytelen volt megtalálni a valószínűségek kiszámításának módját. De Mere-t a következő kérdés érdekelte: „Hányszor kell két kockával párban dobni ahhoz, hogy a 12 pont megszerzésének valószínűsége meghaladja az 50%-ot?” A második kérdés, amely nagyon érdekelte az úriembert: „Hogyan osszuk el a fogadást a befejezetlen játék résztvevői között?” Pascal természetesen sikeresen válaszolt de Mere mindkét kérdésére, aki akaratlanul is kezdeményezője lett a valószínűségszámítás kidolgozásának. Érdekes, hogy de Mere személye ezen a területen maradt ismert, és nem az irodalomban.

Korábban egyetlen matematikus sem kísérelte meg kiszámítani az események valószínűségét, mivel azt hitték, hogy ez csak találgatás. Blaise Pascal megadta egy esemény valószínűségének első definícióját, és megmutatta, hogy ez egy konkrét szám, amely matematikailag igazolható. A valószínűségszámítás a statisztikák alapjává vált, és széles körben alkalmazzák modern tudomány.

Mi a véletlenszerűség

Tekintettel egy megismételhető tesztre végtelen szám alkalommal, akkor definiálhatunk egy véletlenszerű eseményt. Ez a kísérlet egyik valószínű eredménye.

A tapasztalat a megvalósítás konkrét cselekvésekállandó körülmények között.

Ahhoz, hogy a kísérlet eredményeivel dolgozhassunk, az eseményeket általában A, B, C, D, E betűkkel jelöljük...

Egy véletlen esemény valószínűsége

A valószínűség matematikai részének megkezdéséhez meg kell határozni minden összetevőjét.

Az esemény valószínűsége annak a lehetőségének numerikus mérőszáma, hogy valamilyen esemény (A vagy B) bekövetkezik egy élmény eredményeként. A valószínűséget P(A) vagy P(B) jelöléssel jelöljük.

A valószínűségelméletben megkülönböztetik:

• megbízható az esemény garantáltan bekövetkezik a P(Ω) = 1 tapasztalat eredményeként;
• lehetetlen az esemény soha nem történhet meg P(Ø) = 0;
• véletlen egy esemény a megbízható és a lehetetlen között van, azaz bekövetkezésének valószínűsége lehetséges, de nem garantált (egy véletlen esemény valószínűsége mindig a 0≤Р(А)≤ 1 tartományon belül van).

Az események közötti kapcsolatok

Mind az egyik, mind az A+B események összege figyelembe vehető, amikor az eseményt akkor számoljuk, ha legalább az egyik komponens, A vagy B, vagy mindkettő, A és B, teljesül.

Az események egymáshoz viszonyítva lehetnek:

• Ugyanúgy lehetséges.
• Összeegyeztethető.
• Összeegyeztethetetlen.
• Ellentétes (egymást kizáró).
• Függő.

Ha két esemény történhet vele egyenlő valószínűséggel, aztán ők ugyanúgy lehetséges.

Ha az A esemény bekövetkezése nem csökkenti nullára a B esemény bekövetkezésének valószínűségét, akkor összeegyeztethető.

Ha az A és B események soha nem fordulnak elő egyszerre ugyanabban az élményben, akkor ezeket nevezzük összeegyeztethetetlen. Pénzfeldobás - jó példa: a fejek megjelenése automatikusan a fejek nem megjelenését jelenti.

Az ilyen összeférhetetlen események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összegéből áll:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ha egy esemény bekövetkezése lehetetlenné teszi egy másik esemény bekövetkezését, akkor ezeket ellentétesnek nevezzük. Ezután az egyiket A-val jelöljük, a másikat - Ā (értsd: „nem A”). Az A esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy  nem történt meg. Ez a két esemény egy teljes csoportot alkot, amelynek valószínűségeinek összege 1.

A függő események kölcsönösen befolyásolják egymást, csökkentik vagy növelik egymás valószínűségét.

Az események közötti kapcsolatok. Példák

Példák segítségével sokkal könnyebb megérteni a valószínűségszámítás alapelveit és az események kombinációit.

A végrehajtandó kísérlet abból áll, hogy golyókat veszünk ki egy dobozból, és minden kísérlet eredménye egy elemi eredmény.

Az esemény egy kísérlet egyik lehetséges kimenetele – piros labda, kék labda, hatos labda stb.

1. számú teszt. 6 golyó van benne, amelyek közül három kék, páratlan számokkal, a másik három pedig piros, páros számokkal.

2. számú teszt. 6 golyó érintett kék színű egytől hatig terjedő számokkal.

A példa alapján kombinációkat nevezhetünk el:

• Megbízható rendezvény. Spanyolul A 2. számú „szerezd meg a kék labdát” esemény megbízható, mivel előfordulásának valószínűsége 1, mivel minden golyó kék, és nem lehet kihagyás. Míg a „szerezd meg a labdát az 1-es számmal” esemény véletlenszerű.
• Lehetetlen esemény. Spanyolul Az 1-es számú kék és piros golyóval a „lila golyó megszerzése” esemény lehetetlen, mivel előfordulásának valószínűsége 0.
• Ugyanolyan lehetséges események. Spanyolul Az 1. számú, a „kapd meg a labdát a 2-es számmal” és a „kapd meg a 3-as számú labdát” események egyaránt lehetségesek, valamint a „kapd meg a labdát páros számmal” és „kapd meg a 2-es számú labdát” események egyaránt lehetségesek. ” különböző valószínűséggel.
• Kompatibilis események. Ha egymás után kétszer kapunk hatost kockadobás közben, az kompatibilis esemény.
• Összeférhetetlen események. Ugyanabban a spanyolban 1. számú, a „kap egy piros labdát” és a „kap egy páratlan számú labdát” események nem kombinálhatók ugyanabban az élményben.
• Ellentétes események. A legtöbb ragyogó példa Ez az érmefeldobás, ahol a fejek rajzolása egyenértékű a farok nem rajzolásával, és valószínűségeik összege mindig 1 (teljes csoport).
• Függő események. Szóval spanyolul 1. számú, célul tűzheti ki, hogy egymás után kétszer húzza ki a piros labdát. Függetlenül attól, hogy első alkalommal kerül-e lekérésre vagy sem, befolyásolja a második alkalommal történő visszakeresés valószínűségét.

Látható, hogy az első esemény jelentősen befolyásolja a második valószínűségét (40% és 60%).

Eseményvalószínűségi képlet

A jóslásról a pontos adatokra való átmenet a téma matematikai síkra való lefordításán keresztül történik. Vagyis egy véletlen eseményre vonatkozó ítéletek, például a „nagy valószínűséggel” vagy a „minimális valószínűséggel” konkrét számadatokká alakíthatók. Az ilyen anyagok értékelése, összehasonlítása és összetettebb számításokba való beírása már megengedett.

Számítási szempontból egy esemény valószínűségének meghatározása az elemi pozitív kimenetelek számának és az adott eseményre vonatkozó tapasztalat összes lehetséges kimenetelének aránya. A valószínűséget P(A) jelöli, ahol P a „valószínűség” szót jelöli, amelyet franciából „valószínűségnek” fordítanak.

Tehát egy esemény valószínűségének képlete a következő:

Ahol m a mennyiség kedvező eredményeket Az A esemény esetében n az összes lehetséges kimenetel összege ehhez a tapasztalathoz. Ebben az esetben egy esemény valószínűsége mindig 0 és 1 között van:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Egy esemény valószínűségének kiszámítása. Példa

Vegyük a spanyolt. 1. számú golyókkal, amit korábban leírtunk: 3 kék golyó 1/3/5 számmal és 3 piros golyó 2/4/6 számmal.

A teszt alapján több különböző probléma is mérlegelhető:

• A - piros labda kiesik. 3 piros golyó van, és összesen 6 lehetőség van legegyszerűbb példa, amelyben az esemény valószínűsége egyenlő P(A)=3/6=0,5.
• B - páros szám gördítése. 3 páros szám van (2,4,6), és a lehetséges numerikus opciók száma összesen 6. Ennek az eseménynek a valószínűsége P(B)=3/6=0,5.
• C – 2-nél nagyobb szám kiadása. 4 ilyen lehetőség van (3,4,5,6) teljes szám lehetséges kimenetelek 6. A C esemény valószínűsége P(C)=4/6=0,67.

Amint a számításokból látható, a C eseménynek megvan nagy valószínűséggel, mivel a valószínű pozitív kimenetelek száma magasabb, mint A-ban és B-ben.

Összeférhetetlen események

Az ilyen események nem jelenhetnek meg egyszerre ugyanabban az élményben. Mint spanyolul No. 1 lehetetlen egyszerre kék és piros golyót szerezni. Vagyis kaphat kék vagy piros golyót. Ugyanígy a páros és a páratlan szám nem jelenhet meg egy időben a kockában.

Két esemény valószínűségét az összegük vagy szorzatuk valószínűségének tekintjük. Az ilyen események A+B összegét olyan eseménynek tekintjük, amely az A vagy B esemény bekövetkezéséből áll, és ezek AB szorzata mindkettő bekövetkezése. Például egyszerre két hatos megjelenése két dobókocka arcán.

Több esemény összege olyan esemény, amely legalább egy esemény bekövetkezését feltételezi. Több esemény létrejötte ezek együttes előfordulása.

A valószínűségszámításban általában az „és” kötőszó használata összeget jelöl, a „vagy” kötőszó pedig a szorzást. A példákkal ellátott képletek segítenek megérteni az összeadás és szorzás logikáját a valószínűségszámításban.

Az összeférhetetlen események összegének valószínűsége

Ha a valószínűséget vesszük figyelembe összeférhetetlen események, akkor az események összegének valószínűsége egyenlő a valószínűségeik összeadásával:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Például: számoljuk ki annak valószínűségét, hogy spanyolul. Az 1. számú kék és piros golyóval egy 1 és 4 közötti szám jelenik meg. Tehát egy ilyen kísérletben csak 6 golyó vagy 6 lehetséges az összes lehetséges kimenetel közül. A feltételt kielégítő számok 2 és 3. A 2-es szám megszerzésének valószínűsége 1/6, a 3-as szám megszerzésének valószínűsége szintén 1/6. Annak a valószínűsége, hogy 1 és 4 közötti számot kapunk:

Egy teljes csoport összeférhetetlen eseményeinek összegének valószínűsége 1.

Tehát, ha egy kockával végzett kísérletben összeadjuk az összes szám megjelenési valószínűségét, az eredmény egy lesz.

Ez igaz az ellentétes eseményekre is, például az érmével végzett kísérletben, ahol az egyik oldal az A esemény, a másik pedig az ellentétes Ā esemény, mint ismeretes.

P(A) + P(Ā) = 1

Összeférhetetlen események bekövetkezésének valószínűsége

A valószínűségi szorzást akkor használjuk, ha egy megfigyelésben két vagy több összeférhetetlen esemény előfordulását vizsgáljuk. Annak a valószínűsége, hogy az A és B események egyszerre jelennek meg benne, egyenlő valószínűségeik szorzatával, vagy:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Például annak a valószínűsége, hogy spanyolul 1. számú, két próbálkozás eredményeként kétszer jelenik meg kék labda, egyenlő

Vagyis 25% annak a valószínűsége, hogy egy olyan esemény bekövetkezik, amikor két labdakihúzási kísérlet eredményeként csak kék golyókat húznak ki. Nagyon könnyű gyakorlati kísérleteket végezni ezzel a problémával, és megnézni, hogy ez valóban így van-e.

Közös rendezvények

Az események akkor tekinthetők együttesnek, ha az egyik esemény bekövetkezése egybeeshet egy másik eseményével. Annak ellenére, hogy közösek, a valószínűséget figyelembe veszik Nem függő események. Például két kocka dobása adhat eredményt, ha mindkettőn megjelenik a 6-os szám. Bár az események egybeestek és egyszerre jelentek meg, ezek egymástól függetlenek – csak egy hatos eshet ki, a második kockán nincs. hatással rá.

Az együttes események valószínűségét az összegük valószínűségének tekintjük.

A közös események összegének valószínűsége. Példa

Az egymáshoz képest együttes A és B események összegének valószínűsége egyenlő az esemény valószínűségeinek összegével mínusz bekövetkezésük (vagyis együttes előfordulásuk) valószínűsége:

R ízület (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célpontot, 0,4. Ekkor az A esemény az első kísérletben találja el a célt, a B pedig a második kísérletben. Ezek az események közösek, hiszen előfordulhat, hogy az első és a második lövéssel is célba ér. De az események nem függnek egymástól. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két lövéssel (legalább eggyel) eltalálja a célt? A képlet szerint:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

A kérdésre a válasz: "64% annak valószínűsége, hogy két lövéssel célt találunk."

Ez az esemény valószínűségének képlete alkalmazható inkompatibilis eseményekre is, ahol az esemény együttes előfordulásának valószínűsége P(AB) = 0. Ez azt jelenti, hogy az inkompatibilis események összegének valószínűsége speciális esetnek tekinthető a javasolt képletből.

A valószínűség geometriája az áttekinthetőség érdekében

Érdekes módon az együttes események összegének valószínűsége két egymást metsző A és B területként ábrázolható. Amint a képen látható, a szakszervezetük területe egyenlő teljes terület mínusz a metszéspontjuk területe. Ez a geometriai magyarázat érthetőbbé teszi a logikátlannak tűnő képletet. Vegye figyelembe, hogy geometriai megoldások- nem ritka a valószínűségszámításban.

Sok (kettőnél több) közös esemény összegének valószínűségének meghatározása meglehetősen körülményes. Kiszámításához az ezekre az esetekre megadott képleteket kell használni.

Függő események

Az eseményeket függőnek nevezzük, ha az egyik (A) bekövetkezése befolyásolja egy másik (B) bekövetkezésének valószínűségét. Sőt, mind az A esemény bekövetkezésének, mind pedig annak be nem következésének befolyását figyelembe veszik. Bár az eseményeket definíció szerint függőnek nevezzük, csak az egyikük függő (B). A közönséges valószínűséget P(B)-ként vagy független események valószínűségeként jelöltük. A függő események esetében egy új fogalom kerül bevezetésre - a feltételes valószínűség P A (B), amely egy B függő esemény valószínűsége, az A esemény bekövetkezésének függvényében (hipotézis), amelytől függ.

De az A esemény is véletlenszerű, így annak is van egy valószínűsége, amelyre szükség van és figyelembe lehet venni az elvégzett számításoknál. A következő példa bemutatja, hogyan kell dolgozni a függő eseményekkel és egy hipotézissel.

Példa a függő események valószínűségének kiszámítására

A függő események kiszámítására jó példa egy szabványos kártyapakli.

Példaként egy 36 lapból álló pakli segítségével nézzük meg a függő eseményeket. Meg kell határoznunk annak valószínűségét, hogy a pakliból kihúzott második kártya gyémánt lesz, ha az első húzott kártya:

1. Bubnovaya.
2. Más színű.

Nyilvánvaló, hogy a második B esemény valószínűsége az első A-tól függ. Tehát, ha az első opció igaz, hogy 1 lappal (35) és 1 gyémánttal (8) kevesebb van a pakliban, a B esemény valószínűsége:

RA(B)=8/35=0,23

Ha a második lehetőség igaz, akkor a pakliban most 35 lap van, és a teljes szám tambura (9), akkor a következő B esemény valószínűsége:

RA(B)=9/35=0,26.

Látható, hogy ha az A esemény feltétele, hogy az első lap egy gyémánt, akkor a B esemény valószínűsége csökken, és fordítva.

A függő események megsokszorozása

Az előző fejezettől vezérelve elfogadjuk az első eseményt (A), mint tényt, de lényegében véletlenszerű. Ennek az eseménynek a valószínűsége, nevezetesen egy gyémánt húzása a kártyapakliból, egyenlő:

P(A) = 9/36=1/4

Mivel az elmélet önmagában nem létezik, hanem arra szolgál, hogy szolgáljon gyakorlati célokra, akkor jogos megjegyezni, hogy a leggyakrabban a függő események előidézésének valószínűségére van szükség.

A függő események valószínűségeinek szorzatára vonatkozó tétel szerint az A és B együttesen függő események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő egy A esemény valószínűségével, megszorozva a B esemény (A-tól függő) feltételes valószínűségével:

P(AB) = P(A) *P A(B)

Ekkor a pakli példájában annak a valószínűsége, hogy két gyémántszínű kártyát húzunk:

9/36*8/35=0,0571 vagy 5,7%

És annak a valószínűsége, hogy először nem gyémántot, majd gyémántot nyerünk ki, egyenlő:

27/36*9/35=0,19 vagy 19%

Látható, hogy a B esemény bekövetkezésének valószínűsége nagyobb, feltéve, hogy az elsőként húzott lap nem gyémánt színű. Ez az eredmény logikus és érthető.

Egy esemény teljes valószínűsége

Amikor a feltételes valószínűségekkel kapcsolatos probléma sokrétűvé válik, akkor hagyományos módszerek nem lehet kiszámolni. Ha kettőnél több hipotézis létezik, nevezetesen A1, A2,…, A n, ..az események teljes csoportját alkotja, feltéve:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Tehát a képlet teljes valószínűséggel a B eseményhez véletlenszerű események teljes csoportjával A1, A2,..., és n egyenlő:

Kitekintés a jövőbe

A véletlenszerű esemény valószínűsége rendkívül szükséges a tudomány számos területén: ökonometriában, statisztikában, fizikában stb. Mivel egyes folyamatok nem írhatók le determinisztikusan, mivel maguk is valószínűségi jellegűek, szükséges speciális módszerek munka. Az eseményvalószínűség elmélete bármely technológiai területen felhasználható a hiba vagy meghibásodás lehetőségének meghatározására.

Elmondhatjuk, hogy a valószínűség felismerésével valamilyen módon elméleti lépést teszünk a jövőbe, a képletek prizmáján keresztül szemlélve azt.

• Valószínűség – fok (relatív mérték, számszerűsítése) valamilyen esemény bekövetkezésének lehetőségét. Ha egy lehetséges esemény tényleges bekövetkezésének okai meghaladják az ellenkező okokat, akkor ezt az eseményt valószínűnek nevezzük másképp- valószínűtlen vagy hihetetlen. Előfordulhat, hogy a pozitív okok túlsúlyban vannak a negatívakkal szemben, és fordítva változó mértékben, aminek következtében a valószínűség (és valószínűtlenség) kisebb vagy nagyobb. Ezért a valószínűséget gyakran értékre becsülik minőségi szint, különösen olyan esetekben, amikor a többé-kevésbé pontos mennyiségi értékelés lehetetlen vagy rendkívül nehéz. A valószínűségi „szintek” különböző fokozatai lehetségesek.

  Valószínűségszámítás -val matematikai pont A látás egy speciális tudományágat alkot – a valószínűségelméletet. A valószínűségszámításban és matematikai statisztika a valószínűség fogalmát úgy formalizáljuk numerikus jellemző események - valószínűségi mérőszám (vagy annak értéke) - egy eseményhalmazra (elemi események halmazának részhalmazaira) vonatkozó mérőszám, amely értékeket vesz fel

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Jelentése

  (\displaystyle 1)

  Megbízható eseménynek felel meg. Egy lehetetlen esemény valószínűsége 0 (a fordítottja általában nem mindig igaz). Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége az

  (\displaystyle p)

  Ekkor a bekövetkezésének valószínűsége egyenlő

  (\displaystyle 1-p)

  Különösen a valószínűség

  (\displaystyle 1/2)

  Egy esemény bekövetkezésének és be nem következésének egyenlő valószínűségét jelenti.

  A valószínűség klasszikus meghatározása az eredmények egyenlő valószínűségének koncepcióján alapul. A valószínűség az adott eseményre kedvező kimenetelek számának az azonosan lehetséges kimenetelek számához viszonyított aránya. Például annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű érmefeldobás során fejeket vagy farkat kapnak, 1/2, ha feltételezzük, hogy csak ez a két lehetőség fordul elő, és egyformán lehetségesek. A valószínűségnek ez a klasszikus „definíciója” általánosítható az esetre végtelen szám lehetséges értékek - például ha valamilyen esemény azonos valószínűséggel bekövetkezhet a tér valamely korlátozott területének (sík) bármely pontjában (a pontok száma végtelen), akkor annak a valószínűsége, hogy az a tér valamely részén bekövetkezik. ez a megengedett terület egyenlő ennek a résznek a térfogatának (területének) és az összes lehetséges pont tartományának térfogatának (területének) arányával.

  A valószínűség empirikus „definíciója” egy esemény gyakoriságához kapcsolódik, azon alapul, hogy kellően nagy számú kísérlet esetén a gyakoriságnak ennek az eseménynek az objektív valószínűségi fokára kell irányulnia. BAN BEN modern bemutató valószínűségelmélet, a valószínűséget axiomatikusan úgy határozzuk meg különleges eset a halmazmérték elvont elmélete. Mindazonáltal, link az absztrakt mérték és az esemény bekövetkezésének lehetőségét kifejező valószínűség között éppen a megfigyelésének gyakorisága van.

  Egyes jelenségek valószínűségi leírása elterjedt a modern tudományban, különösen az ökonometriában, a makroszkopikus (termodinamikai) rendszerek statisztikai fizikájában, ahol a részecskék mozgásának klasszikus determinisztikus leírása esetén is a teljes rendszer determinisztikus leírása. részecskékből való kivonása gyakorlatilag nem tűnik lehetségesnek vagy megfelelőnek. BAN BEN kvantumfizika maguk a leírt folyamatok valószínűségi jellegűek.

A valószínűségszámítás fő fogalma a véletlen esemény fogalma. Véletlen esemény egy olyan esemény, amely bizonyos feltételek teljesülése esetén bekövetkezhet, vagy nem. Például egy adott tárgy eltalálása vagy hiánya, amikor egy adott fegyverből erre a tárgyra lő, véletlenszerű esemény.

Az esemény ún megbízható, ha a teszt eredményeként szükségszerűen előfordul. Lehetetlen Olyan eseményt hívunk, amely a teszt eredményeként nem következhet be.

A véletlenszerű eseményeket nevezzük összeegyeztethetetlen adott tárgyaláson, ha nem jelenhetnek meg ketten együtt.

Véletlenszerű események alakulnak ki teljes csoport, ha az egyes próbálkozások során bármelyik megjelenhet, és semmilyen más, velük össze nem egyeztethető esemény nem jelenhet meg.

Tekintsük az egyformán lehetséges inkompatibilis véletlenszerű események teljes csoportját. Az ilyen eseményeket nevezzük eredmények vagy elemi események. Az eredményt ún kedvező$A$ esemény bekövetkezése, ha ennek az eredménynek a bekövetkezése $A$ esemény bekövetkezésével jár.

Példa. Az urnában 8 számozott golyó található (minden golyón egy szám van 1-től 8-ig). Az 1-es, 2-es, 3-as golyók pirosak, a többi fekete színű. Az 1-es (vagy 2-es vagy 3-as) labda megjelenése a piros labda megjelenésének kedvező esemény. A 4-es (vagy az 5-ös, 6-os, 7-es, 8-as) labda megjelenése a fekete labda megjelenésének kedvezõ esemény.

Az esemény valószínűsége$A$ az ehhez az eseményhez kedvező kimenetelek $m$ számának és a teljes $$P(A)=\frac(m)( n). \quad(1)$$

1. tulajdonság. A megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő
2. tulajdonság. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla.
3. tulajdonság. Van egy véletlenszerű esemény valószínűsége pozitív szám, nulla és egy közé zárva.

Tehát bármely esemény valószínűsége kielégítő kettős egyenlőtlenség$0 \le P(A) \le 1$ .

Hasznos anyagok

Online számológépek

Az (1) képlet segítségével megoldott feladatok nagy része a hipergeometriai valószínűség témaköréhez kapcsolódik. Az alábbiakban megtalálja a népszerű problémák leírását és a megoldásukra szolgáló online számológépeket a hivatkozások segítségével:

• Probléma a golyókkal kapcsolatban (egy urnában $k$ fehér és $n$ fekete golyó van, $m$ golyó van kihúzva...)
• Probléma az alkatrészekkel (egy dobozban $k$ szabvány és $n$ hibás alkatrész van, $m$ alkatrész ki van szedve...)
• Probléma a sorsjegyekkel ($k$ nyerő és $n$ nem nyerő szelvény van a lottón, $m$-os jegyeket vásárolnak...)

Oktatási cikkek példákkal

• Hogyan lehet megtalálni a valószínűséget az érmefeldobási problémákban?

Példák a klasszikus valószínűség megoldására

Példa. Az urnában 10 számozott golyó található 1-től 10-ig. Egy golyót ki kell venni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott labda száma nem haladja meg a 10-et?

Megoldás. Legyen az esemény A= (A kihúzott labda száma nem haladja meg a 10-et). Az esemény bekövetkezésének kedvező esetek száma A egyenlő az összes lehetséges eset számával m=n=10. Ennélfogva, R(A)=1. Esemény És megbízható.

Példa. Egy urnában 10 golyó van: 6 fehér és 4 fekete. Két golyót vettek ki. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét golyó fehér?

Megoldás. Tízből két golyót a következő módon távolíthat el: .
Ahányszor lesz két fehér golyó a két golyó között .
Szükséges valószínűség
.

Példa. Egy urnában 15 golyó van: 5 fehér és 10 fekete. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kék golyót húzunk az urnából?

Megoldás. Mivel az urnában nincsenek kék golyók, akkor m=0, n=15. Ezért a szükséges valószínűség R=0. A kék labda kihúzásának eseménye lehetetlen.

Példa. A 36 lapból álló pakliból egy lapot húznak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kártya megjelenik a szív öltönyben?

Megoldás. Az elemi eredmények száma (kártyák száma) n=36. Esemény A= (A szív öltöny kártyájának megjelenése). Az esemény bekövetkeztének kedvezõ esetek száma A, m=9. Ennélfogva,
.