Thyesat racionale. Informacion i shkurtër nga teoria polinomiale

Shkruani temën e mësimit në fletoren tuaj

Cfare eshte?
Këto janë shprehje algjebrike që përmbajnë pjesëtimin me një shprehje me ndryshore.

Për shembull:
- shprehje thyesore.

Një numër i plotë, sepse është i barabartë me, d.m.th., një shprehje e tërë me koeficientë racionalë.

Shprehjet e plota dhe thyesore quhen shprehje racionale.

Këto janë ato me të cilat do të duhet të punojmë në të ardhmen!

E gjithë shprehja ka kuptim për çdo vlerë të variablave, por një shprehje thyesore... nuk mund të pjesëtohet me 0!

Për shembull:
të përcaktuara për të gjitha vlerat e ndryshores a dhe për të gjitha vlerat e b, përveç b=3.

Për cilat vlera të ndryshores bën shprehja
?

Mbani mend:
Për çdo vlerë të a, b dhe c, ku dhe , barazia është e vërtetë

Nëse shumëzojmë një thyesë me një numër (d.m.th., shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me të njëjtin numër), marrim fraksion i barabartë, por me një emërues tjetër.

Nëse pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër, atëherë e zvogëlojmë thyesën.
Për shembull:
1) Le ta zvogëlojmë thyesën në një thyesë me emërues 35у3.
Le të ndajmë së pari emërues i ri 35у3 tek 7у e vjetra dhe marrim shumëzues shtesë 5у2.
Dhe pastaj shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me këtë faktor shtesë:
.

2) Të zvogëlojmë thyesën.
Zgjidhja:

Mbani mend:
Për të reduktuar një thyesë, duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin dhe më pas t'i pjesëtoni me faktor i barabartë, d.m.th. reduktuar.

Ekzistojnë disa metoda për faktorizimin e një shprehjeje.
Deri tani jemi njohur me dy prej tyre:
1 metodë
Kllapa shumëzues i përbashkët.
Metoda 2
Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Mënyra e parë dhe më e thjeshtë për të faktorizuar është
duke vënë faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

Ac + bc = (a + b)c

Shembulli 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

Rregulli:

Nëse të gjithë anëtarët e një polinomi kanë një faktor të përbashkët (ose disa faktorë të përbashkët), atëherë ky faktor (këta faktorë) mund të hiqet nga kllapat,
në këtë rast, ne e ndajmë çdo term me një shprehje që e vendosim jashtë kllapave: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 dhe, në fund, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (shikoni shenjat!!!)

Dhe duhet të kujtojmë se shkalla me indeksin më të ulët është hequr nga kllapat.

Më vete:
Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat

Kontrollo:

Ndonjëherë të gjithë anëtarët shprehje algjebrike Unë nuk kam një faktor të përbashkët, por në grupe të veçanta termash ekziston një, për shembull,

ah + ay + bx + nga.

Ky polinom mund të faktorizohet duke kombinuar termat e tij në grupe të veçanta

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b).

Shembull:

Duke përdorur metodën e grupimit të termave, faktorizoni shprehjen
3x + xy2 - x2y - 3y

Zgjidhja:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

Le të praktikojmë më shumë:
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - sëpatë + xy + b2 - x.

Zgjidhja:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x) (a - y + 1).

Dhe tani për metodën e dytë.
Nëse termat e një shprehjeje algjebrike nuk kanë faktorë përsëritës, atëherë mund të provoni të aplikoni formula të shkurtuara të shumëzimit...

Shembuj
a) Dallimi i katrorëve:
0,49x4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),

B) Dallimi i kubeve:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),

B) Diferenca në katror:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 ose (2a - 3b)(2a - 3b),

D) Kubi i diferencës:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 ose (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. tre shumëzues të barabartë!

Algoritmi:
- së pari ne "rregullojmë" pamjen shprehjet" sipas një formule të mundshme...
- nëse funksionon, ne vazhdojmë më tej siç kërkon (formula)...
- nëse nuk funksionon, atëherë fillojmë të "provojmë" një formulë tjetër ...
- dhe kështu me radhë derisa të mund ta zbërtheni shprehjen në një produkt faktorësh!

Përkufizimi.Shuma e fuqive të plota jo negative të një X të panjohur, e marrë me koeficientë të caktuar numerikë, quhet polinom.

Këtu: - numra realë.

n- shkalla e polinomit.

Veprimet mbi polinomet.

1). Kur mblidhen (zbriten) dy polinome, koeficientët shtohen (zbriten) shkallë të barabarta e panjohur x.

2). Dy polinome janë të barabartë nëse kanë të njëjtën shkallë dhe koeficientë të barabartë me të njëjtat fuqi të X.

3). Shkalla e një polinomi që fitohet nga shumëzimi i dy polinomeve është e barabartë me shumën e shkallëve të polinomeve që shumëzohen.

4). Veprimet lineare në polinome kanë vetitë e asociativitetit, komutativitetit dhe shpërndarjes.

5) Ndarja e një polinomi me një polinom mund të bëhet duke përdorur rregullin "pjestimi me një kënd".

Përkufizimi. Numri x=a quhet rrënja e një polinomi nëse zëvendësimi i tij në polinom e kthen atë në zero, d.m.th.

Teorema e Bezout. Mbetja gjatë pjesëtimit të një polinomi
sipas binomit (x-a) e barabartë me vlerën polinom për x=a, d.m.th.

Dëshmi.

Lere ku

Duke supozuar x=a në barazi, marrim

1). Kur pjesëtohet një polinom me një binom (x-a), pjesa e mbetur do të jetë gjithmonë një numër.

2). Nëse a është rrënja e një polinomi, atëherë polinomi pjesëtohet me binomin (x-a) pa mbetje.

3) Kur pjesëtojmë një polinom të shkallës n me një binom (x-a), marrim një polinom të shkallës (n-1).

Teorema themelore e algjebrës.Çdo polinom i shkallësn (n>1) ka të paktën një rrënjë(e paraqitur pa prova).

Pasoja.Çdo polinom i shkallës n ka pikërisht n rrënjët dhe mbi fushën e numrave kompleks zbërthehet në prodhim n faktorët linearë, d.m.th. Ndër rrënjët e polinomit mund të ketë numra të përsëritur (rrënjë të shumëfishta). Për polinomet me koeficientë realë, rrënjët komplekse mund të shfaqen vetëm në çifte të konjuguara. Le të vërtetojmë deklaratën e fundit.

Le
- rrënjë komplekse polinom, pastaj Bazuar në pronë e përgjithshme Numrat kompleks mund të deklarohen prandaj
- gjithashtu një rrënjë.

Çdo çift rrënjësh komplekse të konjuguara të një polinomi korrespondon me një trinom katror me koeficientë realë.

Këtu fq, q- numra realë (trego shembull).

konkluzioni.Ne mund të paraqesim çdo polinom si produkt i faktorëve linearë dhe trinomeve katrore me koeficientë realë.

Thyesat racionale.

Një thyesë racionale është raporti i dy polinomeve.

Nëse
, atëherë thyesa racionale quhet e duhur. NË ndryshe thyesa është e pasaktë. Çdo thyesë e papërshtatshme mund të paraqitet si shumë e një polinomi (herësi) dhe një thyese racionale të duhur duke e ndarë polinomin në numërues me polinomin në emërues.

- thyesë e gabuar racionale.

Kjo thyesë e papërshtatshme racionale tani mund të paraqitet në formën e mëposhtme.

Duke marrë parasysh atë që është treguar, në të ardhmen do të shqyrtojmë vetëm thyesat e duhura racionale.

Ekzistojnë të ashtuquajturat thyesa të thjeshta racionale - këto janë thyesa që nuk mund të thjeshtohen në asnjë mënyrë. Këto thyesa më të thjeshta duken kështu:

Një pjesë e duhur racionale e një forme më komplekse mund të përfaqësohet gjithmonë si një shumë e thyesave më të thjeshta racionale. Bashkësia e thyesave përcaktohet nga bashkësia e rrënjëve të polinomit që shfaqet në emëruesin e një thyese racionale të duhur të pareduktueshme. Rregulli për zbërthimin e një fraksioni në më të thjeshtën e tij është si më poshtë.

Thyesa racionale le të paraqitet në formën e mëposhtme.

Këtu, numëruesi i thyesave më të thjeshta përmban koeficientë të panjohur, të cilët gjithmonë mund të përcaktohen me metodën e koeficientëve të pacaktuar. Thelbi i metodës është barazimi i koeficientëve në të njëjtat fuqi të X për polinomin në numëruesin e fraksionit origjinal dhe polinomin në numëruesin e fraksionit të marrë pas reduktimit të thyesave më të thjeshta në një emërues të përbashkët.

Le të barazojmë koeficientët për të njëjtat fuqi të X.

Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve për koeficientë të panjohur, marrim.

Pra, kjo thyesë mund të përfaqësohet nga një grup i thyesave të thjeshta të mëposhtme.

Duke çuar në emërues i përbashkët Ne sigurohemi që problemi të zgjidhet saktë.

Para së gjithash, për të mësuar se si të punoni me thyesa racionale pa gabime, duhet të mësoni formulat e shkurtuara të shumëzimit. Dhe nuk është e lehtë për t'u mësuar - ato duhet të njihen edhe kur rolet e termave janë sinus, logaritme dhe rrënjë.

Megjithatë, mjeti kryesor mbetet faktorizimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale. Kjo mund të arrihet në tre mënyra të ndryshme:

Në fakt, sipas formulës për shumëzimin e shkurtuar: ato ju lejojnë të kolapsoni një polinom në një ose më shumë faktorë;
Përdorimi i faktorizimit të një trinomi kuadratik përmes një diskriminuesi. E njëjta metodë bën të mundur verifikimin se çdo trinom nuk mund të faktorizohet fare;
Metoda e grupimit është mjeti më kompleks, por është e vetmja mënyrë, i cili funksionon nëse dy të mëparshmet nuk funksionuan.

Siç mund ta keni marrë me mend nga titulli i kësaj videoje, ne do të flasim përsëri për thyesat racionale. Vetëm pak minuta më parë mbarova një mësim me një nxënës të klasës së dhjetë dhe aty analizuam pikërisht këto shprehje. Kjo është arsyeja pse këtë mësim do të dedikohet posaçërisht për nxënësit e shkollave të mesme.

Me siguri shumë njerëz tani do të kenë një pyetje: "Pse nxënësit e klasave 10-11 duhet të studiojnë gjëra kaq të thjeshta si thyesat racionale, sepse kjo mësohet në klasën 8?" Por problemi është se shumica e njerëzve "e kalojnë" këtë temë. Në klasën 10-11, ata nuk mbajnë më mend se si të bëjnë shumëzim, pjesëtim, zbritje dhe mbledhje të thyesave racionale nga klasa e 8-të, por pikërisht në këtë njohuri të thjeshtë, më tej, më shumë dizajne komplekse, si zgjidhje për logaritmike, ekuacionet trigonometrike dhe shumë shprehje të tjera komplekse, kështu që praktikisht nuk ka asgjë për të bërë në shkollën e mesme pa thyesa racionale.

Formula për zgjidhjen e problemeve

Le të merremi me biznesin. Para së gjithash, na duhen dy fakte - dy grupe formulash. Para së gjithash, duhet të dini formulat e shkurtuara të shumëzimit:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\majtas(a-b \djathtas)\left(a+b \djathtas)$ — dallimi i katrorëve;
$((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\majtas(a\pm b \djathtas))^(2))$ — katrori i shumës ose diferencës;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\majtas(a+b \djathtas)\majtas(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \djathtas)$ është shuma e kubeve;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\majtas(a-b \djathtas)\majtas(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \djathtas)$ është diferenca e kubeve.

NË formë e pastër nuk gjenden në asnjë shembull apo në shprehje reale serioze. Prandaj, detyra jonë është të mësojmë të shohim struktura shumë më komplekse nën shkronjat $a$ dhe $b$, për shembull, logaritmet, rrënjët, sinuset, etj. Ju mund të mësoni ta shihni këtë vetëm përmes praktikës së vazhdueshme. Kjo është arsyeja pse zgjidhja e thyesave racionale është absolutisht e nevojshme.

Formula e dytë, plotësisht e dukshme është dekompozimi trinom kuadratik nga shumëzuesit:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ janë rrënjë.

Jemi marrë me pjesën teorike. Por si të zgjidhen thyesat reale racionale, të cilat mbulohen në klasën e 8-të? Tani do të praktikojmë.

Detyra nr. 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Le të përpiqemi të zbatojmë formulat e mësipërme për zgjidhjen e thyesave racionale. Para së gjithash, dua të shpjegoj pse faktorizimi është i nevojshëm fare. Fakti është se në shikim të parë në pjesën e parë të detyrës, ju dëshironi të zvogëloni kubin me katrorin, por kjo është rreptësisht e ndaluar, sepse ato janë terma në numërues dhe emërues, por në asnjë rast nuk janë faktorë.

Çfarë është shkurtesa gjithsesi? Reduktimi është përdorimi i një rregulli bazë për të punuar me shprehje të tilla. Vetia kryesore e një thyese është se ne mund të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër të ndryshëm nga "zero". NË në këtë rast, kur zvogëlojmë, përkundrazi, pjesëtojmë me të njëjtin numër, të ndryshëm nga "zero". Sidoqoftë, të gjithë termat në emërues duhet t'i ndajmë me të njëjtin numër. Ju nuk mund ta bëni këtë. Dhe ne kemi të drejtë të zvogëlojmë numëruesin me emërues vetëm kur të dy faktorizohen. Le ta bejme kete.

Tani ju duhet të shihni se sa terma janë në një element të veçantë dhe në përputhje me rrethanat të zbuloni se cilën formulë të përdorni.

Le të transformojmë çdo shprehje në një kub të saktë:

Le të rishkruajmë numëruesin:

\[((\majtas(3a \djathtas))^(3))-((\majtas(4b \djathtas))^(3))=\majtas(3a-4b \djathtas)\majtas(((\majtas (3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2)) \djathtas)\]

Le të shohim emëruesin. Le ta zgjerojmë duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\majtas(b-2 \djathtas)\majtas(b+2 \ drejtë)\]

Tani le të shohim pjesën e dytë të shprehjes:

Numëruesi:

Mbetet për të kuptuar emëruesin:

\[((b)^(2))+2\cpika 2b+((2)^(2))=((\majtas(b+2 \djathtas))^(2))\]

Le të rishkruajmë të gjithë strukturën duke marrë parasysh faktet e mësipërme:

\[\frac(\majtas(3a-4b \djathtas)\left(((\majtas(3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2 )) \djathtas))(\majtas(b-2 \djathtas)\majtas(b+2 \djathtas))\cdot \frac(((\majtas(b+2 \djathtas))^(2)))( ((\majtas(3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2)))=\]

\[=\frac(\majtas(3a-4b \djathtas)\majtas(b+2 \djathtas))(\majtas(b-2 \djathtas))\]

Nuancat e shumëzimit të thyesave racionale

Përfundimi kryesor nga këto ndërtime është si më poshtë:

Jo çdo polinom mund të faktorizohet.
Edhe nëse është dekompozuar, duhet të shikoni me kujdes se çfarë është saktësisht formula e shkurtuar e shumëzimit.

Për ta bërë këtë, së pari, ne duhet të vlerësojmë sa terma ka (nëse janë dy, atëherë gjithçka që mund të bëjmë është t'i zgjerojmë ato ose me shumën e diferencës së katrorëve, ose me shumën ose ndryshimin e kubeve; dhe nëse janë tre, atëherë kjo, në mënyrë unike, ose katrori i shumës ose katrori i diferencës). Ndodh shpesh që ose numëruesi ose emëruesi të mos kërkojnë faktorizim fare, ai mund të jetë linear, ose diskriminuesi i tij do të jetë negativ.

Problemi nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Në përgjithësi, skema për zgjidhjen e këtij problemi nuk është e ndryshme nga ajo e mëparshme - thjesht do të ketë më shumë veprime dhe ato do të bëhen më të larmishme.

Le të fillojmë me thyesën e parë: shikoni numëruesin e saj dhe bëni transformimet e mundshme:

Tani le të shohim emëruesin:

Me thyesën e dytë: asgjë nuk mund të bëhet fare në numërues, sepse ajo shprehje lineare, dhe është e pamundur të hiqet ndonjë faktor prej tij. Le të shohim emëruesin:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\majtas(x-2 \djathtas ))^(2))\]

Le të kalojmë në thyesën e tretë. Numëruesi:

Le të shohim emëruesin e thyesës së fundit:

Le ta rishkruajmë shprehjen duke marrë parasysh faktet e mësipërme:

\[\frac(3\majtas(1-2x \djathtas))(2\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))\cdot \frac(2x+1)((( \majtë(x-2 \djathtas))^(2))\cdot \frac(\majtas(2-x \djathtas)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \djathtas))(\majtas(2x-1 \djathtas)\majtas(2x+1 \djathtas))=\]

\[=\frac(-3)(2\majtas(2-x \djathtas))=-\frac(3)(2\majtas(2-x \djathtas))=\frac(3)(2\majtas (x-2 \djathtas))\]

Nuancat e zgjidhjes

Siç mund ta shihni, jo gjithçka dhe jo gjithmonë varet nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - ndonjëherë është e mjaftueshme vetëm të vendosni një konstante ose ndryshore jashtë kllapave. Megjithatë, ndodh edhe situata e kundërt, kur ka kaq shumë terma ose janë ndërtuar në atë mënyrë që formulat e shkurtuara të shumëzimit për ta janë përgjithësisht të pamundura. Në këtë rast na vjen në ndihmë mjet universal, domethënë, metoda e grupimit. Kjo është pikërisht ajo që ne tani do të zbatojmë në problemin tjetër.

Detyra nr. 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac((a )^(2)-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Le të shohim pjesën e parë:

\[((a)^(2))+ab=a\majtas(a+b \djathtas)\]

\[=5\majtas(a-b \djathtas)-\majtas(a-b \djathtas)\majtas(a+b \djathtas)=\majtas(a-b \djathtas)\majtas(5-1\majtas(a+b \djathtas )\djathtas)=\]

\[=\majtas(a-b \djathtas)\majtas(5-a-b \djathtas)\]

Le të rishkruajmë shprehjen origjinale:

\[\frac(a\majtas(a+b \djathtas))(\majtas(a-b \djathtas)\majtas(5-a-b \djathtas))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Tani le të shohim kllapin e dytë:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \djathtas)-((b)^(2))=\]

\[=((\majtas(a-5 \djathtas))^(2)-((b)^(2))=\majtas(a-5-b \djathtas)\majtas(a-5+b \djathtas)\]

Duke qenë se dy elementë nuk mund të grupoheshin, ne grupuam tre. Gjithçka që mbetet është të kuptojmë emëruesin e thyesës së fundit:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\majtas(a-b \djathtas)\majtas(a+b \djathtas)\]

Tani le të rishkruajmë të gjithë ndërtimin tonë:

\[\frac(a\majtas(a+b \djathtas))(\majtas(a-b \djathtas)\majtas(5-a-b \djathtas))\cdot \frac(\majtas(a-5-b \djathtas) \majtas(a-5+b \djathtas))(\majtas(a-b \djathtas)\majtas(a+b \djathtas))=\frac(a\majtas(b-a+5 \djathtas))((( \majtas(a-b \djathtas))^(2)))\]

Problemi është zgjidhur dhe asgjë më shumë nuk mund të thjeshtohet këtu.

Nuancat e zgjidhjes

Ne zgjidhëm grupimin dhe morëm një tjetër shumë mjet i fuqishëm, e cila zgjeron mundësitë për faktorizim. Por problemi është se në jeta reale Askush nuk do të na japë shembuj të tillë të rafinuar, ku ka disa thyesa në të cilat thjesht duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin, dhe më pas, nëse është e mundur, t'i zvogëloni ato. Shprehje reale do të jetë shumë më e vështirë.

Me shumë mundësi, përveç shumëzimit dhe pjesëtimit, do të ketë zbritje dhe shtesa, të gjitha llojet e kllapave - në përgjithësi, do të duhet të merrni parasysh rendin e veprimeve. Por gjëja më e keqe është se kur zbriten dhe shtohen thyesat me emërues të ndryshëm ato do të duhet të reduktohen në një gjë të përbashkët. Për ta bërë këtë, secila prej tyre do të duhet të faktorizohet dhe më pas t'i transformojë këto fraksione: jepni të ngjashme dhe shumë më tepër. Si ta bëni këtë saktë, shpejt dhe në të njëjtën kohë të merrni një përgjigje qartësisht të saktë? Kjo është pikërisht ajo për të cilën do të flasim tani duke përdorur ndërtimin e mëposhtëm si shembull.

Problemi nr. 4

\[\majtas(((x)^(2))+\frac(27)(x) \djathtas)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \djathtas)\]

Le të shkruajmë thyesën e parë dhe të përpiqemi ta kuptojmë veçmas:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\majtas(x+3 \djathtas)\majtas(((x)^(2))-3x+9 \djathtas))(x)\]

Le të kalojmë tek e dyta. Le të llogarisim menjëherë diskriminuesin e emëruesit:

Nuk mund të faktorizohet, kështu që ne shkruajmë sa vijon:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\majtas(x+3 \djathtas)\majtas(((x)^(2))-3x+9 \djathtas))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\majtas(x+3 \djathtas)\majtas(((x)^(2))-3x+9 \djathtas)) \]

Numëruesin do ta shkruajmë veçmas:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Për rrjedhojë, ky polinom nuk mund të faktorizohet.

Ne kemi bërë tashmë maksimumin që mund të bënim dhe të zbërtheheshim.

Pra, ne rishkruajmë ndërtimin tonë origjinal dhe marrim:

\[\frac(\majtas(x+3 \djathtas)\majtas(((x)^(2))-3x+9 \djathtas))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\majtas(x+3 \djathtas)\majtas(((x)^(2))-3x+9 \djathtas))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Kjo është ajo, problemi u zgjidh.

Për të qenë i sinqertë, nuk ishte aq i mirë detyrë e vështirë: gjithçka u faktorizua lehtësisht atje dhe u reduktua shpejt terma të ngjashëm, dhe gjithçka po zvogëlohej bukur. Pra, tani le të përpiqemi të zgjidhim një problem më serioz.

Problemi nr. 5

\[\majtas(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \djathtas)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \djathtas)\]

Së pari, le të merremi me kllapin e parë. Që në fillim, le të faktorizojmë emëruesin e thyesës së dytë veçmas:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x) ^(2))+2x+4 \djathtas)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\majtas(x-2 \djathtas)\ majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\majtas(x-2 \djathtas)+((x)^(2))+8-\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))( \majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas)) =\frac(((\majtas(x-2 \djathtas))^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\left(((x)^(2))+2x+4 \djathtas ))=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

Tani le të punojmë me thyesën e dytë:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ majtas(x-2 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))\]

Ne i kthehemi dizajnit tonë origjinal dhe shkruajmë:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(1)(x+2)\]

Pikat kryesore

Edhe një herë, faktet kryesore të mësimit të videos së sotme:

Ju duhet të dini përmendësh formulat për shumëzimin e shkurtuar - dhe jo vetëm të dini, por të jeni në gjendje të shihni në ato shprehje që do të hasni në probleme reale. Një rregull i mrekullueshëm mund të na ndihmojë për këtë: nëse ka dy terma, atëherë është ose ndryshimi i katrorëve, ose ndryshimi ose shuma e kubeve; nëse tre, mund të jetë vetëm katrori i shumës ose i ndryshimit.
Nëse ndonjë ndërtim nuk mund të zgjerohet duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, atëherë ose formula standarde faktorizimi i trinomeve, ose metoda e grupimit.
Nëse diçka nuk funksionon, shikoni me kujdes shprehjen burimore për të parë nëse kërkohet ndonjë transformim me të. Ndoshta do të mjaftojë thjesht të vendosni faktorin jashtë kllapave, dhe kjo shumë shpesh është vetëm një konstante.
NË shprehje komplekse, ku duhet të kryeni disa veprime me radhë, mos harroni të zvogëloni në një emërues të përbashkët, dhe vetëm pas kësaj, kur të gjitha fraksionet të zvogëlohen në të, sigurohuni që të sillni të njëjtën gjë në numëruesin e ri, dhe më pas faktorizoni përsëri numëruesi i ri - ndoshta diçka do të reduktohet.

Kjo është gjithçka që doja t'ju tregoja sot për thyesat racionale. Nëse diçka nuk është e qartë, ka ende shumë mësime video në faqe, si dhe shumë detyra për vendim i pavarur. Pra, qëndroni të sintonizuar!

Kapitulli 1. Thyesat racionale.

1. THYESAT RACIONALE DHE VETITË E TYRE.

Shprehje racionale.

1.Cilat shprehje quhen shprehje thyesore? (Përgjigje: Nëse në një shprehje me ndryshore, përveç veprimeve të mbledhjes, shumëzimit, zbritjes dhe ngritjes në shkallë natyrore, kryhet edhe veprimi i pjesëtimit me një ndryshore, atëherë shprehje të tilla quhen shprehje thyesore.)

2.Cilat shprehje quhen shprehje racionale (Përgjigje: Shprehje me numër të plotë dhe thyesore).

3.Cila është vlera e lejuar e variablave (Përgjigje: Vlera e variablave për të cilat shprehja ka kuptim).

4.Çfarë quhet thyesë racionale (Përgjigje: Thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës janë polinome).

Vetia kryesore e një thyese. Reduktimi i thyesave.

1. Çfarë do të thotë një polinom zero (Përgjigje: Një polinom që nuk është identikisht i barabartë me zero.)

2. Vetia kryesore e një thyese racionale (Përgjigje: Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese racionale pjesëtohen me të njëjtin polinom jozero, do të merrni një thyesë të barabartë me të.)

3. Çfarë quhet identitet (Përgjigje: Identiteti është një barazi që është e vërtetë për të gjithë vlerat e pranueshme, variablat e përfshira në të.)

4. Si të fitohet një shprehje identike me atë të dhënë (Përgjigje: Nëse ndryshoni shenjën e numëruesit ose shenjën e emëruesit të thyesës dhe shenjën përpara thyesës.)

2. SHUMA DHE DIFIERENCA E THYESËVE.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të njëjtë.

1.Si mblidhen thyesat me emërues të njëjtë? (Përgjigje: Për të shtuar thyesa racionale me emërues të ngjashëm, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.)

2.Si të zbriten thyesat racionale me emërues të ngjashëm? (Përgjigje: Për të zbritur thyesat racionale me emërues të ngjashëm, duhet të zbritni pastruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të vendosni emëruesin në të njëjtin.)

3.Si mblidhen ose zbriten thyesat me emërues të ndryshëm? (Përgjigje: Për ta bërë këtë, këto thyesa reduktohen në një emërues të përbashkët.)

3. PRODUKTI DHE CILËSIA E THYESAVE.

Shumëzimi i thyesave. Ngritja e një fraksioni në një fuqi.

1. Si të shumëzoni një thyesë me një thyesë (Përgjigje: Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesin e tyre dhe të shumëzoni emëruesit e tyre dhe të shkruani prodhimin e parë si numërues, dhe të dytin si emërues të thyesës? .)

2. Si të ngrini një thyesë në një fuqi (Përgjigje: Për të ngritur një thyesë në një fuqi, duhet të ngrini numëruesin dhe emëruesin në këtë fuqi dhe të shkruani rezultatin e parë në numërues, dhe të dytin në emëruesin e numrit? fraksion.)

NDARJA E THYESAVE.

1. Çfarë duhet bërë për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër (Përgjigje: Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, ju duhet të shumëzoni thyesën e parë me reciprocitetin e të dytës.)

TRANSFORMIMI I SHPREHJEVE RACIONALE.

1. Çfarë është një shprehje racionale (Përgjigje: është çdo shprehje e përbërë nga numra, ndryshore alfabetike, veprime aritmetike dhe fuqizim.)

2. Çfarë do të thotë të thjeshtosh shprehjet racionale (Përgjigje: ky është një aplikacion
shndërrime identike për të thjeshtuar shprehjen
(bëjeni atë më të shkurtër dhe më të përshtatshëm për punë të mëtejshme).

Funksioni dhe formula e tij.

1.Cilat quhen proporcione të anasjellta (Përgjigje:E kundërta proporcionaliteti – është një funksion që mund të specifikohet me një formulë të formës).

pershendetje

Mësuesi/ja shpall temën e mësimit.

Pyetje: Djema, çfarë mendoni se duhet të arrijmë në këtë mësim?

- Qëllimet e mia janë pothuajse të njëjta me tuajat(Mësuesi/ja komunikon objektivat e orës së mësimit) Prezantimi mësuesit.

Sot nuk do të jemi thjesht nxënës të klasës së 8-të, por anëtarë të një shoqërie të hapur aksionare. Sa prej jush e dinë se çfarë hapet Shoqëri aksionare?

Për të krijuar SHA-në tonë na duhet një kapital fillestar, të cilin mund ta fitoni duke iu përgjigjur pyetjeve të mëposhtme:pyetje:

1.Cila thyesë quhet racionale? 2. Formuloni

vetia kryesore e një thyese.

3. Formuloni një rregull për ndryshimin e shenjës para një thyese.

4. Formuloni rregullën për mbledhjen e thyesave me emërues të ngjashëm. 5. Formuloni rregullin për zbritjen e thyesave me emërues të ngjashëm.

6. Si mblidhen dhe zbriten thyesat me emërues të ndryshëm?

7. Formuloni rregullën e shumëzimit të thyesave.

8. Formuloni rregullën për ngritjen e një thyese në një fuqi.

9. Formuloni rregullën e pjesëtimit të thyesave.

10.Cili funksion quhet proporcionalitet i zhdrejtë?

11.Në të cilën tremujorët koordinativ ekziston një grafik i funksionit y = në k 0, në k

- Çdo shoqëri aksionare ka emrin e vet. Do të mësoni se si do të quhet shoqëria jonë aksionare nëse, bazuar në përgjigjet tuaja ndaj pyetjeve të mia, gjeni shkronjat përkatëse në tabelën e përgjigjeve (shih shtojcën) dhe bëni një fjalë prej tyre.

Cilat nga këto shprehje janë numra të plotë:

Cila nga këto shprehje është thyesë?

1) 3/2a+vs; 2) x/4; 3)
; 4) 1,05x ; 5)1/12.

3. Në cilat vlera të x është një thyesë
ka kuptimin?

4. Me çfarë vlerash bën thyesa
nuk ka kuptim?

5. Zvogëloni thyesën
.

6. Imagjinoni si

me emërues k - 16.

7. Zbrit

- .

8. Ngritja në një fuqi ( ).

9. Bëj ndarje
.

10. Zgjidhni modelin që ju përshtatet më shumë

saktësisht përputhen

grafiku i funksionit

- Le të zbulojmë më në fund kush është aksionari. Meqenëse klasa jonë sot është një shoqëri aksionare e hapur, kushdo që ka blerë një aksion të ndërmarrjes tonë mund të bashkohet me të. Unë do të pranoj formularët e plotësuar si pagesë.

Caktim për aksionerin e ardhshëm

Plotësoni formularin - numri i kryqëzuar (Rrëshqitja 7)

- Pra, ne mblodhëm aksionerë. Por, për të hapur kafenenë e vet, OJSC-ja jonë duhet së pari të blejë ambiente. Këtu janë dy shtëpi para jush. Njëri prej tyre është dukshëm i zënë, por i dyti... E dyta është në pyetje. Le të hedhim një vështrim më të afërt në shtëpinë e parë. Ndoshta kjo do të na tregojë se si ta zgjidhim çështjen e blerjes së një shtëpie të dytë.

- Krijoni një marrëdhënie

ndërmjet thyesave në secilën

dritarja e shtëpisë së parë dhe numrat e paraqitur në oxhak dhe në çati.

- Shohim që prodhimi i fraksioneve në çdo dritare të shtëpisë së parë është i barabartë me shumën e numrave të paraqitur në tub dhe në çati, d.m.th.

Por atëherë duhet të bëni të njëjtën gjë me shtëpinë e dytë për të "zgjidhur çështjen"

? +

Shtëpia e dytë zbuloi sekretin

pyetja jonë, e cila na jep mundësinë të hapim biznesin tonë në këtë shtëpi.

Çfarë duhet bërë për të

a është përmirësuar biznesi ynë?

A ) Rinovojmë ambientet

le të përpiqemi të bëjmë më vete. Këtu është një pyetje në lidhje me blerjen

mobiljet do të zgjidhen duke zgjidhur sa vijondetyrat: “Ata paguanin S rubla për çdo grup mobiljesh për x rubla. Specifikoni lidhjen midis x , y S . Shprehni y në terma S dhe x. Gjeni y nëse S = 3450 dhe x = 1725; 1150; 690. Si mund ta quajmë këtë varësi (zgjidhja e një problemi me të? ne shkrim

- Pra, problemi është me riparimin dhe

edhe me blerjen

mobiljet jane pjeserisht te zgjidhura.

b) – Kafeneja jonë do të jetë komode nëse në të luhet muzikë e lehtë. Por muzika duhet të sigurohet duke iu përgjigjur pyetjeve në tabelën "Thesat dhe notat"

Pyetje muzikore.

- Pra, çështja me aranzhimin muzikor është zgjidhur.

V) Tani duhet të mendoni se çfarë do të jetë në menu. Meqenëse kafeneja jonë është “Sweet Tooth”, ajo duhet të ketë simite, ëmbëlsira, akullore dhe produkte të tjera të ëmbla, prodhimi i tyre kërkon zgjuarsi të madhe, sepse akullorja jonë duhet të jetë e ndryshme nga konkurrentët tanë, në mënyrë që simitet tona të jenë të vetmet. fshati, byrekët dhe ëmbëlsirat tona do të shkaktonin një fluks njerëzish që donin t'i provonin. Le të praktikojmë krijimtarinë tonë në një detyrë matematikore.

Punë e pavarur.

(të diferencuara, 4 opsione) (Rrëshqitje 11)

Opsioni 1.

Ndiqni këto hapa:

A)
; b)
.

2. Grafikoni funksionin y = (së pari bëni një tabelë duke marrë 4 vlera x pozitive dhe 4 negative).

Opsioni 2.

Ndiqni këto hapa:

A)
; b)
.

2. Grafikoni funksionin y = (Së pari bëni një tabelë duke marrë disa vlera x pozitive dhe negative).

Opsioni 3.

Ndiqni këto hapa:

A)
; b)
.

2. Dihet se pika A (5;3) i përket grafikut të funksionit, formula e dhënë y = . Gjeni vlerën e k.

Opsioni 4.

Ndiqni këto hapa:

A)
; b)
.

2. Përcaktohet me formulë proporcionaliteti i anasjelltë, duke ditur që grafiku i tij kalon në pikën B (-0.7;1).

d) Mbetet për të përfunduar pikën e fundit të planit tonë: të ofrojmë reklama për kafenenë tonë. (Rrëshqitje 12)

Mësuesja: "Dhëmbi i ëmbël" është rrugës -

Mos kaloni!

Mos ngurroni të hapni dyert -

Është sikur të jesh në parajsë

Për t'u përgatitur për punë testuese, përsëritni Kapitullin 1 në Algjebër 8.

Mësuesi/ja u jep nota atyre nxënësve që i kanë kryer detyrat më shpejt se të tjerët (të tjerët do t'i zbulojnë notat e tyre pasi të kontrollojnë punën e tyre të pavarur).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike