A geometria az egyik iskolai tantárgyak, amely mindenki számára hasznos lesz a jövőben. Egy egyszerű okból - a geometria, majd a sztereometria fejlődik térbeli gondolkodás. És ha megérted azokat a törvényeket, amelyekre maga a Tér épül, akkor könnyebb lesz megérteni más, sokkal érdekesebb dolgokat, amelyek ebben a térben működnek.

Általános eset

De térjünk vissza a háromszögeinkhez. Először elvonatkoztassunk a részletektől, és nézzük meg, hogyan találjuk meg egy olyan háromszög alapját, amely nem egyenlő oldalú, nem egyenlő szárú és nem derékszögű. Mivel egy ilyen ábrán bármelyik oldal szolgálhat alapként, először kiválasztunk egy arcot, és „alapnak” nevezzük. Ennek megfelelően elforgatjuk a háromszöget úgy, hogy rajta álljon, és megkeressük a hosszát.

Ebben segítségünkre lesz a híres koszinusztétel, melynek speciális esete a Pitagorasz-tétel. A koszinusztétel kimondja, hogy a háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő az összeggel a háromszög másik két, előzőleg négyzetes oldala, mínusz ezen oldalak szorzata kettővel, és megszorozva a köztük lévő szög koszinuszával. Ha ismert két oldal hossza és a köztük lévő szög, akkor behelyettesítjük őket a képletbe, és a probléma megoldódik. Ha az adatok ettől eltérnek, akkor le kell csökkenteni a magasságot az alapig, így két derékszögű háromszöget kapunk. Nos, hogyan lehet megtalálni egy derékszögű háromszög alapját, az triviális feladat. A képarányok és szögek lehetővé teszik az alap hosszának minimális adatmennyiséggel történő kiszámítását. Mivel a tankönyvben szereplő problémáknak értelemszerűen megoldhatónak kell lenniük, minden megoldódik.

Egyenlőszárú háromszög

Egyszerűsítsük a feladatot. Egyes feladatokban a háromszög egyenlő szárúként van megadva. Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlő szárú háromszög az, amelyiknek kettő van egyenlő oldalak. A harmadik fél tekintendő alapnak. Hogyan találjuk meg ebben az esetben egy egyenlő szárú háromszög alapját? Ismernie kell az egyik oldalt és az alappal ellentétes szöget. Mivel a csípő egyenlő, a második oldal ismert és egyenlő az elsővel. És akkor a koszinusztétel segítségével mégis megtaláljuk az alapot.

Derékszögű háromszög

Tündérmese diáknak. A derékszögű háromszög, más néven háromszög kilencven fokos szöggel, a legkényelmesebb háromszög. Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög alapjának hosszát, ez egy olyan kérdés, amely segít megtalálni a képarányokat más, nem derékszögű háromszögekben. Más problémákat gyakran redukálnak erre, ha magasságokat rajzolnak a háromszögbe, ami az ábrát két derékszögű háromszögre osztja. Ez itt lép életbe speciális eset koszinusztételek - Pitagorasz-tétel. Mivel a derékszög koszinusza egyenlő nullával, az oldalak szorzata nullává válik, így a jobb oldalon csak a lábak négyzeteinek összege marad, míg az egyenlőség bal oldalán a hipotenusz négyzete - a szemközti oldal derékszög. Ennek megfelelően a derékszögű háromszög alapja bármely lábának tekinthető.

Egyenlő oldalú háromszög

Hogyan lehet megtalálni az alapot egyenlő oldalú háromszög- a kérdés általában véve szokatlan. Ennek a „bonyolult” problémának a megoldásához ismernie kell a háromszög legalább egyik oldalának hosszát. És mivel a háromszög minden oldala egyenlő (egyenlő oldalú), az alap egyenlő lesz az oldal hosszával. Ez a probléma inkább az intelligenciára vonatkozik, mint a geometriai ismeretekre.

Háromszög egy sokszög 3 oldallal (vagy 3 szöggel). A háromszög oldalait gyakran kis betűk jelzik, amelyek megfelelnek a nagybetűk, fordított csúcsokat jelöl.

Heves háromszög háromszögnek nevezzük, amelyben mindhárom szög hegyesszögű.

Tompa háromszög háromszögnek nevezzük, amelyben az egyik szög tompaszögű.

Derékszögű háromszög háromszögnek nevezzük, amelyben az egyik szög derékszög, más szóval egyenlő 90°; derékszöget bezáró a, b oldalakat nevezzük lábak; a derékszöggel ellentétes c oldalt ún átfogó.

Egyenlőszárú háromszög háromszögnek nevezzük, amelynek két oldala egyenlő (a = c); ezeket az egyenlő oldalakat nevezzük oldalsó, a 3. felet hívják a háromszög alapja.

Egyenlő oldalú háromszög háromszögnek nevezzük, amelynek minden oldala egyenlő (a = b = c). Ebben az esetben egy háromszög egyik oldala sem egyenlő (abc), akkor ez egyenlő oldalú háromszög.

A háromszögek főbb jellemzői

Bármely háromszögben:

A háromszögek egyenlőségének jelei

A háromszögek egybevágóak, ebben az esetben egyenlőek:

Az egyenlőség jelei derékszögű háromszögek

Két derékszögű háromszög egyenlő, ebben az esetben a következő kritériumok egyike teljesül:

Magasságháromszög egy tetszőleges csúcsból ide ejtett merőleges hátoldal(vagy annak folytatása). Ezt az oldalt hívják a háromszög alapja. A háromszög három magassága mindig egy pontban metszi egymást a háromszög ortocentruma.

Egy hegyesszögű háromszög ortocentruma a háromszög belsejében található, az ortocentruma pedig tompa háromszög- kívül; A derékszögű háromszög ortocentruma egybeesik a derékszög csúcsával.

Középső- ez egy szakasz, amely a háromszög minden csúcsát összeköti a hátoldal közepével. A háromszög három mediánja egy pontban metszi egymást, amely mindig a háromszög belsejében van, és a tömegközéppontja. Ez a pont minden mediánt 2:1 arányban oszt el, a csúcstól számítva.

Felezővonal- ez a csúcs és a hátoldal metszéspontja közötti szög felező szakasza. A háromszög három felezőpontja egy pontban metszi egymást, amely mindig a háromszög belsejében van, és a beírt kör középpontja. A felező a hátoldalt a szomszédos oldalakkal arányos részekre osztja.

Medián merőleges-ből húzott merőleges felezőpont szegmens (oldal). A háromszög három középső merőlegese egy pontban metszi egymást, amely a körülírt kör középpontja.

IN hegyesszögű háromszög ez a pont a háromszögön belül van, egy tompa háromszögben - kívül, egy téglalap alakú háromszögben - a befogó közepén. A körülírt kör ortocentruma, tömegközéppontja, középpontja és a beírt kör középpontja kizárólag egy egyenlő oldalú háromszögben esik egybe.

Pitagorasz axióma

Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.

A Pitagorasz-axióma megerősítése

Szerkesszünk meg egy AKMB négyzetet, oldalként az AB hipotenuszt használva. Ezután folytatjuk a téglalap oldalait ABC háromszögígy négyzetes CDEF-t kapunk, amelynek oldala egyenlő a + b-vel. Most már világos, hogy a CDEF négyzet területe egyenlő (a + b) 2. Másrészt ez a terület egyenlő az összeggel négy négyzet derékszögű háromszögek és négyzet AKMB, más szóval,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

és nekünk van:

c 2 = a 2 + b 2 .

Képarány véletlenszerű háromszög

IN általános eset(véletlenszerű háromszög esetén) a következőket kapjuk:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

ahol C az a és b oldal közötti szög.

Ezen kívül az oldalon:

Az első a derékszöggel szomszédos szegmensek, a hipotenusz pedig az ábra leghosszabb része, és a 90 fokos szöggel szemben helyezkedik el. Pitagorasz háromszög azt nevezzük, amelynek oldalai egyenlőek természetes számok; hosszukat ebben az esetben „pytagoraszi hármasnak” nevezik.

Egyiptomi háromszög

Annak érdekében, hogy a jelenlegi nemzedék felismerje a geometriát abban a formában, ahogy azt most az iskolában tanítják, az évszázadok során fejlődött ki. Az alappontnak a Pitagorasz-tételt tekintjük. A téglalap oldalai az egész világon ismertek) 3, 4, 5.

Kevés ember nem ismeri ezt a kifejezést Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő." A valóságban azonban a tétel így hangzik: c 2 (a hipotenusz négyzete) = a 2 + b 2 (a lábak négyzeteinek összege).

A matematikusok körében a 3, 4, 5 (cm, m stb.) oldalú háromszöget „egyiptominak” nevezik. Az az érdekes, hogy ami az ábrába van írva, egyenlő eggyel. A név a Kr.e. V. század környékén keletkezett, amikor a görög filozófusok Egyiptomba utaztak.

A piramisok építésekor az építészek és a földmérők a 3:4:5 arányt alkalmazták. Az ilyen szerkezetek arányosnak, kellemesnek és tágasnak bizonyultak, és ritkán omlottak össze.

A derékszög kialakításához az építők egy kötelet használtak, amelyre 12 csomót kötöttek. Ebben az esetben a derékszögű háromszög megalkotásának valószínűsége 95%-ra nőtt.

Az alakok egyenlőségének jelei

• Hegyesszög derékszögű háromszögben és nagy oldala, amelyek a második háromszögben azonos elemekkel egyenlők, az ábrák egyenlőségének vitathatatlan jele. A szögek összegét figyelembe véve könnyen bebizonyítható, hogy a második hegyesszögek is egyenlőek. Így a háromszögek a második kritérium szerint azonosak.
• Ha két figurát egymásra helyezünk, elforgatjuk őket úgy, hogy egyesítve egy egyenlő szárú háromszöggé váljanak. Tulajdonsága szerint az oldalak, pontosabban a hipotenusok egyenlőek, valamint az alapnál lévő szögek, ami azt jelenti, hogy ezek az ábrák azonosak.

Az első jel alapján nagyon könnyen bebizonyítható, hogy a háromszögek valóban egyenlőek, a lényeg, hogy a két kisebb oldal (azaz a lábak) egyenlő legyen egymással.

A háromszögek a második kritérium szerint azonosak lesznek, aminek a lényege a láb és a hegyesszög egyenlősége.

Derékszögű háromszög tulajdonságai

A derékszögből leengedett magasság két egyenlő részre osztja az ábrát.

A derékszögű háromszög oldalai és mediánja könnyen felismerhető a szabály alapján: a hipotenuzusra helyezett medián a felével egyenlő. Megtalálható mind Heron képletével, mind azzal az állítással, hogy egyenlő a lábak szorzatának felével.

Egy derékszögű háromszögben a 30°, 45° és 60° szögek tulajdonságai érvényesek.

• 30°-os szög esetén ne feledje, hogy a szemközti láb a legnagyobb oldal 1/2-ével egyenlő.
• Ha a szög 45°, akkor a második hegyesszög is 45°. Ez arra utal, hogy a háromszög egyenlő szárú, és a lábai azonosak.
• A 60°-os szög tulajdonsága az, hogy a harmadik szög rendelkezik fokmérő 30 órakor.

A terület könnyen meghatározható a három képlet egyikével:

1. a magasságon és azon az oldalon keresztül, amelyen leereszkedik;
2. a Heron-képlet szerint;
3. az oldalakon és a köztük lévő szögben.

Egy derékszögű háromszög oldalai, vagy inkább lábai két magassággal összefolynak. A harmadik megtalálásához figyelembe kell venni a kapott háromszöget, majd a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítani a szükséges hosszúságot. Ezen a képleten kívül a terület kétszerese és a hipotenusz hossza között is összefüggés van. A hallgatók körében a leggyakoribb kifejezés az első, mivel kevesebb számítást igényel.

Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek

A derékszögű háromszög geometria olyan tételek használatát foglalja magában, mint például:

Utasítás

A „háromszög alapja” fogalmának nincs szigorú meghatározása. Általában ez a kifejezés a háromszögnek azt az oldalát jelöli, amelyre az ellenkező oldalról merőleges van húzva (a magasságot kihagyjuk). Ezt a kifejezést általában egy egyenlő oldalú háromszög „egyenlőtlen” oldalára is használják. Ezért a „háromszögek” fogalma alatt ismert példák sokaságából kiválasztjuk azokat a lehetőségeket, amelyekben magasságok és egyenlő oldalú háromszögek találhatók.
Ha egy háromszög magassága és területe, akkor a háromszög alapjának (annak az oldalának a hosszának a meghatározásához, amelyre a magasság le van engedve) a háromszög területének meghatározására szolgáló képletet használjuk, amely kimondja, hogy bármely háromszög területe kiszámítható úgy, hogy az alap hosszának felét megszorozzuk a magasság hosszával:
S=1/2*c*h, ahol:
S a háromszög területe,

c az alapja hossza,

h a háromszög magasságának hossza.
Ebből a képletből a következőket kapjuk:
с=2*S/h.
Például, ha egy háromszög területe 20 cm2, a magassága pedig 10 cm, akkor a háromszög alapja:
c=2*20/10=4 (cm).

Ha ismert oldalés egy egyenlő oldalú háromszög kerülete, akkor az alap hossza a következőképpen számítható ki:
c=P-2*a, ahol:
P a háromszög kerülete,

a a háromszög oldalának hossza,

c az alapjának hossza.

Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és az alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
с=а*√(2*(1-cosC)), ahol:

c az alapjának hossza.
(A képlet a koszinuszok egyenes következménye)
Ennek a képletnek van egy kompaktabb ábrázolása is:
c=2*a*sin(B/2)

Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és a vele bezárt szög nagysága, akkor az alap hossza a következő könnyen megjegyezhető képlettel számítható ki:
c=2*a*cosA
A az alappal szomszédos egyenlő oldalú háromszög szögének nagysága,

a a háromszög oldalának hossza.

c az alapjának hossza.
Ez a vetületi tétel következménye.

Ha ismert a körülírt kör sugara és az egyenlő oldalú háromszög alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
с=2*R*sinC, ahol:
C az egyenlő oldalú háromszög alapjával bezárt szög nagysága,

c az alapjának hossza.
Ez a képlet egyenes következménye a tételnek.

Kérjük, vegye figyelembe

Először elvonatkoztassunk a részletektől, és nézzük meg, hogyan találjuk meg egy olyan háromszög alapját, amely nem egyenlő oldalú, nem egyenlő szárú és nem derékszögű. Mivel egy ilyen ábrán bármelyik oldal szolgálhat alapként, először kiválasztunk egy arcot, és „alapnak” nevezzük. Ennek megfelelően elforgatjuk a háromszöget úgy, hogy rajta álljon, és megkeressük a hosszát.

Hasznos tanácsok

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög alapját? Attól függ, hogy mi van ebben a háromszögben. Ha be egyenlő szárú háromszög Adott egy oldal és egy szög, amely ellentétes az alappal, ebből a szögből rajzolhatja meg a háromszög magasságát. Ennek eredményeként egy egyenlő oldalú háromszög tulajdonsága szerint két egyenlő téglalapot kapunk.

Források:

• Egy háromszög mediánja, felezőpontja és magassága

Az egyenlő oldalú háromszög olyan, amelynek három egyenlő oldala és három egyenlő szöge van. Ezt a háromszögtípust szabályosnak is nevezik. A csúcstól az alapig húzott magasság felező és medián is, ami azt jelenti, hogy ez a vonal két részre osztja a csúcs szögét egyenlő szögek, és az alap, amelyen kettővel ereszkedik egyenlő a szegmenssel. Ezeket a tulajdonságokat háromszög segít kiszámítani négyzet, felével egyenlő a magasság szorzata bármelyik oldalával.

Szükséged lesz

• - tudja, mi a magasság és annak tulajdonságai
• - tudja, mi az a derékszögű háromszög
• - tudja, mi a hypotenusa és a lábak
• - tudjon egy változós egyenleteket zárójelben megoldani

Utasítás

A derékszöggel ellentétes oldal a hipotenusz, a másik kettő pedig a lábak. Tehát a magasság háromszög egy kisebb téglalap alakú lesz háromszög. A második láb egyenlő lesz a nagy oldalának felével háromszög, mivel a szabályos téglalap magassága kettéosztja, ami a medián.

A Pitagorasz-tétel szerint a hipotenusz négyzete a lábak négyzeteinek összege. Ezért annak érdekében, hogy megtudja a magasságot, a

A planimetria és a trigonometria problémáiban gyakran meg kell találni a háromszög alapját. Ennek a műveletnek több módja is van.

Szükséged lesz

• Számológép

Utasítás

1. A geometriában nincs szigorú definíció a „háromszög alapjának” ábrázolására. Szokás szerint ez a kifejezés a háromszögnek azt az oldalát jelöli, amelyre a szemközti csúcsból merőleges van húzva (a magasságot kihagyjuk). Ezt a kifejezést általában egy egyenlő oldalú háromszög „egyenlőtlen” oldalára is használják. Következésképpen a matematikában a „háromszögek megoldása” fogalma alatt ismert példák közül azokat a lehetőségeket részesítjük előnyben, amelyekben magasságok és egyenlő oldalú háromszögek találhatók, ha ismert a háromszög magassága és területe, akkor a a háromszög alapját (az oldal hossza, amelyre a magasság le van csökkentve), akkor a képletet használjuk a háromszög területének meghatározásához, amely kimondja, hogy bármely háromszög területe kiszámítható úgy, hogy megszorozzuk a háromszög területét az alap hossza a magasság hosszával: S=1/2*c*h, ahol: S – háromszög területe, s– alapjának hossza, h – a háromszög magasságának hossza ebből a képletből kapjuk: c = 2*S/h Mondjuk, ha a háromszög területe 20 négyzetcm, és a a magasság hossza 10 cm, akkor a háromszög alapja: c = 2*20/10=4 (cm).

2. Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és kerülete, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki: c = P-2*a, ahol: P – háromszög kerülete, és– oldalhossz a háromszög oldalai, a– az alapja hossza.

3. Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és az alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki: c = a*?(2*(1-cosC)), ahol: C az alappal ellentétes szög értéke egyenlő oldalú háromszög, és– a háromszög oldaloldalának hossza c – alapjának hossza (A képlet a koszinusztétel egyenes következménye) Ennek a képletnek van egy szuperkompaktabb ábrázolása is: c = 2*a*. bűn (B/2)

4. Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és a vele bezárt szög értéke, akkor az alap hossza a következő könnyen megjegyezhető képlettel számítható ki: c = 2*a*cosA A - a az egyenlő oldalú háromszög alapjával szomszédos szög értéke, a - a háromszög oldaloldalának hossza c - hossza alapjai Ez a képlet a vetületi tétel következménye.

5. Ha ismert a körülírt kör sugara és az egyenlő oldalú háromszög alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki: с = 2*R*sinC, ahol: C az alappal ellentétes szög értéke egyenlő oldalú háromszög, R– körben leírt sugár háromszög kör, azzal– alapjának hossza Ez a képlet egyenes következménye a szinusztételnek.

2. tipp: Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög területét

Egyenlő oldalú háromszög az, amelynek három egyenlő oldala és három egyforma szöge van. Az ilyen háromszöget pozitívnak is nevezik. A csúcstól az alapig húzott magasság egyszerre felező és medián, amiből az következik, hogy ez az egyenes a csúcs szögét két egyenlő szögre osztja, az alapot pedig, amelyre leereszkedik, két egyenlő szakaszra. Ezeket a tulajdonságokat háromszög segít kiszámítani négyzet, egyenlő a magasság és az oldalak szorzatának felével.

Szükséged lesz

• – tudja, mi a magasság és annak tulajdonságai
• – tudja, mi az a derékszögű háromszög
• – tudja, mi a hypotenusa és a lábak
• – tudjon egy változós egyenleteket zárójelben megoldani

Utasítás

1. Ha egy valódi háromszögben ismert az egyik oldal és a magassága, akkor az ábra területének meghatározásához szorozzuk meg a magasságot az oldal hosszával, és osszuk el a kapott számot kettővel.

2. Terület kiszámításához háromszög ismeretlen magasságú és ismert oldallal, először fedezze fel a magasságot. Ehhez nézze meg a magasság által alkotott egyenlő derékszögű háromszögek egyikét.

3. A derékszöggel ellentétes oldal a hipotenusz, a másik kettő pedig a lábak. Ez azt jelenti, hogy egy egyenlő oldalú magasság háromszög a kisebb téglalap egyik lába lesz háromszög. A 2. láb egyenlő lesz a nagy oldalának felével háromszög, mert a pozitív téglalap magassága kettéosztja, ami a medián.

4. A Pitagorasz-tétel szerint a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Következésképpen a magasság megállapításához a befogó négyzetéből (vagyis egy egyenlő oldalú oldal egyik oldalának négyzetéből) háromszög) vonjuk ki a láb négyzetét, amelyet egy egyenlő oldalú oldal fele alkot háromszög, akkor ennek a számításnak az eredményéből szigorúan vonja ki a négyzetgyököt.

5. Most, hogy a magasság ismert, fedezze fel négyzet alakítsa úgy, hogy a magasságot megszorozza az oldal hosszával, és a kapott értéket elosztja kettővel.

6. Ha csak a magasságot ismeri, akkor ismét nézze meg az egyik derékszögű háromszöget, amely egy pozitív sokszög szögét és oldalát felező magasság megrajzolásával keletkezik. A Pitagorasz-tétel alapján alkossuk meg az a² = c²-(1/2*c)² egyenletet, ahol a² a magasság, c² az egyenlő oldalú oldala háromszög. Ebben az egyenletben keresse meg az a változó értékét.

7. Ha tudja a magasságot, számoljon négyzet pozitív háromszög. Ehhez szorozza meg a magasságot oldalával háromszögés a szorzás után kapott eredményt osszuk fel felére.

Videó a témáról

Figyel!
Először elvonatkoztassunk a részletektől, és nézzük meg, hogyan lehet kimutatni egy olyan háromszög alapját, amely nem egyenlő oldalú, nem egyenlő szárú és nem derékszögű. Mivel egy ilyen figuránál bármelyik oldal szolgálhat alapként, kezdjünk inkább valamilyen arccal, és „nevezzük” alapnak. Ennek megfelelően elforgatjuk a háromszöget úgy, hogy rajta álljon, és megkeressük a hosszát.

Hasznos tanácsok
Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög alapját? Attól függ, hogy mi van ebben a háromszögben. Ha egy egyenlő szárú háromszögnek van egy oldala és egy szöge, amelyik az alappal szemben van, akkor ebből a szögből rajzolhatja meg a háromszög magasságát. Ennek eredményeként egy egyenlő oldalú háromszög tulajdonsága szerint két egyenlő téglalapot kapunk.