Név: Népszerű kombinatorika. 1975.

Kombinatorika- a matematika fontos ága, melynek ismerete a legkülönbözőbb szakterületek képviselői számára szükséges. A fizikusoknak, a kémikusoknak, a biológusoknak, a nyelvészeknek, a kódszakértőknek stb. kell foglalkozniuk a kombinatorikus problémákkal. A könyv népszerű formában mesél érdekes kombinatorikai problémákról és azok megoldási módszereiről.

Tartalomjegyzék
Előszó 3
I. fejezet. A kombinatorika és alkalmazásai történetéből 5
A dolgok már régóta zajlanak napok teltek el 5
Titokzatos teknős 6
Kombinatorika be Ókori Görögország 8
Misztikusok, asztrológusok, kabbalisták 11
Kombinatorika és skolasztika 12
Kombinatorika a keleti országokban 13
Liber Abaci 14
Kocka 15
Játékos és tudósok 17
A matematika új ága 18
Rejtjelek és apagramok 20
Hieroglifák és ékírások 22
Kombinatorika a biológiában 25
DNS-modell 26
Genetikai kód 27
Chemical Solitaire 32
A számítógép-korszak kombinatorikája 33
fejezet II. Lehetséges és lehetetlen a kombinatorikában 35
Kombinatorikai feladatok 35
Mágikus négyzetek 38
Nyolc királynő 40
A király összes lovassága 42
A meccs 15:43-kor
Tiszti tér 45
Búzavetés 47
Ismerősök száma 49
Tudományos levelezés 50
A képviselők megválasztása 52
Grafikus megoldás 55
Általános képviselők 58
Szigetek és hidak 59
A világ körül 60
Négy szín 61
Problémák a II. fejezethez 62
fejezet III. Sorok és halmazok kombinatorikája 73
Babonás elnök 73
Tuples 74
76. termékszabály
Hozzászólás az ismétlésekről 77
Kódok. 77
Titkos zárak 78
Labdarúgó-bajnokság 79
Rook probléma 80
Permutációk ismétlésekkel 81
Sütemények vásárlása 83
"Sportloto" kártyák 85
Nyeremény "Sportloto" 86
Genovai lottó 87
A kombinációk néhány tulajdonsága 89
Aritmetikai háromszög 90
Egy férfi bolyong a városban 91
Brown-mozgás 93
Séta végtelen síkon 94
Tehén vagy varjú? 96
A 99. jelentés elemzése
Rossz idő 100
Bezárások és kizárások 102. képlete
A 103. felvételi és kizárási képlet speciális esete
Eratoszthenész szita 103
Problémák a III. fejezethez 105
Elrendezések és partíciók kombinatorika 118
Labdák és zsebek 118
Preferencia játék 120
A gomba szárítása 121
Vegyes statisztikák 122
Zászlók az árbocokon 123
A jelek teljes száma 124
Terheléselosztás 124
Stirling számok 126
Osztályozási kombinatorika 127
Zsetonok egy zacskóban 129
Általánosított aritmetikai háromszög.... 130
A kérelmező 131. problémája
Csomagküldés 132
Az információelmélet kombinatorikus problémái. . 134
Fibonacci nyulak 134
Partíciós számok 136
Pénzfizetés 136
Hogyan változtassunk egy fillért? 138
Diagram technika 139
Alakhasadások
Kombinatorika algebra
Törtelemek
Newton sorozat
Funkciók generálása
Boldog trolibusz jegyek
Súlykészletek
A IV. fejezet problémái
V. fejezet Kombinatorikus problémák korlátokkal 161
Permutációk korlátozásokkal 161
Lépcső építés 162
163-as könyvespolc
Arthur király lovagjai 163
A lány siet randevúzni 164
Tiltott területek 165
166. általános képlet
Mert étkezőasztal 169
Dühöngő elefántok 171
Szimmetrikus elrendezések 173
Karaván a sivatagban 175
Majordomo nehézsége 177
Sor a pénztárnál 178
U Shamakhan királynő 182
Elnyelő és visszaverő falak 184
Két rangú probléma 184
Problémák az V. fejezethez 186
fejezet VI. A pályák kombinatorikája 191
Transzformációk és pályák 191
Kerek tánc 192
Kocka színezése 103
Fekete-fehér négyzet 194
Pályák és transzformációs csoportok 195
Rögzített elemek 197
Fekete-fehér kocka 199
Párosítás és hurkok
Problémák a VI 204. fejezethez

Ingyenes letöltés e-könyv kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
Töltse le a Népszerű kombinatorika - Vilenkin N.Ya. - fileskachat.com, gyors és ingyenes letöltés.

Djvu letöltése
Ezt a könyvet az alábbiakban vásárolhatja meg legjobb ár kedvezményes szállítással Oroszország egész területén.

Népszerű a kombinatorika . Vilenkin N.Ya.

M.: Nauka, 1975.- 208 p.

A kombinatorika a matematika fontos ága, melynek ismerete a legkülönfélébb szakterületek képviselői számára szükséges. A fizikusoknak, a kémikusoknak, a biológusoknak, a nyelvészeknek, a kódszakértőknek stb. kell foglalkozniuk a kombinatorikus problémákkal. A könyv népszerű formában mesél érdekes kombinatorikai problémákról és azok megoldási módszereiről.

Formátum: djvu/zip

Méret: 3,3 MB

/Fájl letöltése

Az előszóból:

A kombinatorika, a matematikának a tárgyak kombinációit és permutációit vizsgáló ága a 17. században keletkezett. Hosszú ideigúgy tűnt, hogy a kombinatorika kívül esik a matematika és alkalmazásai fejlődésének főáramán. A dolgok állása drámaian megváltozott a nagysebességű számítógépek megjelenése és a véges matematika ezzel kapcsolatos virágzása után. Ma már a kombinatorikus módszereket alkalmazzák elméletben véletlenszerű folyamatok, statisztika, matematikai programozás, számítási matematika, kísérletek tervezése stb.. A matematikában a kombinatorika a véges geometriák, a kombinatorikus geometria, a csoportreprezentációs elmélet, a nem asszociatív algebrák stb.

Számos orosz nyelvű könyv létezik a kombinatorikáról: M. Hall „Kombinatorika” (M., 1970), „Bevezetés a kombinatorikus elemzésbe” J. Riordai (M., 19G3), „Alkalmazott kombinatorikus matematika” (M., 1968) ) . Konkrét kérdések A. A. Zykov „A véges gráfok elmélete” (Novoszibirszk, 1969), F. Harari „A gráfok elmélete” (Moszkva, 1973), T. Saaty „Az egész szám optimalizálási módszerek és a kapcsolódó szélsőséges problémák” (Moszkva) könyveit szentelték. a kombinatorika , 1973) stb. Ezek a könyvek azonban magas követelményeket támasztanak az olvasó matematikai felkészültségével szemben. A népszerű könyvek általában csak néhány alapvető információt tartalmaznak.

1969-ben a szerző kísérletet tett a kombinatorika egyes kérdéseinek népszerűsítésére (“Kombinatorika”. M., 1969). A könyv főként az átviteli kérdéseknek szólt. Olyan fontos szakaszok, mint tételek a különféle ill általános képviselők, Ramsey tétele, Polya pályák számbavételi módszere stb., kívül maradt a könyv keretein. Ezért felmerült az igény egy új könyv megírására, amelyben az enumeratív kombinatorika kérdései mellett e tudomány egyéb vonatkozásai is kitérnek. Ez az a könyv, amelyre felhívják az olvasó figyelmét.

Tartalomjegyzék
Előszó 3
I. fejezet A kombinatorika és alkalmazásai történetéből 5
Dolgok az elmúlt napokból 5
Titokzatos teknős 6
Kombinatorika az ókori Görögországban 8
Misztikusok, asztrológusok, kabbalisták 11
Kombinatorika és skolasztika 12
Kombinatorika a keleti országokban 13
Liber Abaci 14
Kocka 15
Játékos és tudósok 17
A matematika új ága 18
Rejtjelek és apagramok 20
Hieroglifák és ékírások 22
Kombinatorika a biológiában 25
DNS-modell 26
Genetikai kód 27
Vegyi pasziánsz. . . 32
A számítógép-korszak kombinatorikája 33
fejezet II. Lehetséges és lehetetlen a kombinatorikában 35
Kombinatorikai feladatok 35
Mágikus négyzetek 38
Nyolc királynő 40
A király összes lovassága 42
A meccs 15:43-kor
Tiszti tér 45
Búzavetés 47
Ismerősök száma 49
Tudományos levelezés 50
A képviselők megválasztása 52
Grafikus megoldás 55
Általános képviselők 58
Szigetek és hidak 59
A világ körül 60
Négy szín 61
Problémák a II. fejezethez 62
fejezet III. Sorok és halmazok kombinatorikája 73
Babonás elnök 73
Tuples 74
76. termékszabály
Hozzászólás az ismétlésekről.. 77
Kódok. 77
Titkos zárak 78
Labdarúgó-bajnokság 79
Rook probléma 80
Permutációk ismétlésekkel 81
Sütemények vásárlása 83
"Sportloto" kártyák 85
"Sportloto" nyeremény 86
Genovai lottó 87
A kombinációk néhány tulajdonsága 89
Aritmetikai háromszög 90
Egy férfi bolyong a városban 91
Brown-mozgás 93
Séta végtelen síkon 94
Tehén vagy varjú? 96
A 99. jelentés elemzése
Rossz idő 100
Bezárások és kizárások 102. képlete
A 103. felvételi és kizárási képlet speciális esete
Eratoszthenész szita 103
A III. fejezet problémái. 105
Elrendezések és partíciók kombinatorika 118
Labdák és zsebek. 118
Preferencia játék 120
A gomba szárítása 121
Vegyes statisztikák 122
Zászlók az árbocokon 123
A jelek teljes száma 124
Terheléselosztás 124
Stirling számok 126
Osztályozási kombinatorika 127
Zsetonok egy zacskóban 129
Általánosított aritmetikai háromszög.... 130
A kérelmező problémája. , 131
Csomagküldés 132
Az információelmélet kombinatorikus problémái. . 134
Fibonacci nyulak 134
Partíciós számok 136
Pénzfizetés 136
Hogyan változtassunk egy fillért? 138
Diagram technika 139
Alakhasadások
Kombinatorika algebra
Törtelemek
Newton sorozat
Funkciók generálása
Boldog trolibusz jegyek
Súlykészletek

A IV. fejezet problémái
V. fejezet Kombinatorikus problémák korlátozásokkal 161
Permutációk korlátozásokkal 161
Lépcső építés 162
163-as könyvespolc
Arthur király lovagjai 163
A lány siet randevúzni 164
Tiltott területek 165
166. általános képlet
A vacsoraasztalnál 169
Dühöngő elefántok 171
Szimmetrikus elrendezések 173
Karaván a sivatagban 175
Majordomo nehézsége 177
Sor a pénztárnál 178
A Shamakhan királynőnek 182-e van
Elnyelő és visszaverő falak 184
Két rangú probléma 184
Problémák az V. fejezethez 186
fejezet VI. A pályák kombinatorikája 191
Transzformációk és pályák 191
Kerek tánc 192
Kocka színezése 103
Fekete-fehér négyzet 194
Pályák és transzformációs csoportok 195
Rögzített elemek 197
Fekete-fehér kocka 199
Párosítás és hurkok
Problémák a VI 204. fejezethez

Ez a könyv az Ön megrendelésének megfelelően, igény szerinti nyomtatás technológiával készül.

Kiadó: "YoYo Media"

ISBN: 978-5-458-27755-6

A Saját boltban

További hasonló témájú könyvek:

- (Kombinatorikus analízis) a matematikának olyan ága, amely diszkrét objektumokat, halmazokat (kombinációk, permutációk, elemek elhelyezése és felsorolása) és a rajtuk lévő kapcsolatokat (például részleges sorrendet) vizsgálja. A kombinatorika sok máshoz kapcsolódik... ... a Wikipédiához

A Wikipédián vannak cikkek más ilyen vezetéknevű emberekről, lásd Vilenkin. Naum Yakovlevich Vilenkin (1920. október 30., Moszkva, 1991. október 19.) híres matematikus és a matematika népszerűsítője. Életrajz A Moszkvai Állami Egyetemen szerzett diplomát (1942), a fizika és a matematika doktora... ... Wikipédia

Lefedi a kombinatorika fejlődését, a véges matematikának egy olyan ágát, amely elsősorban egy adott m számú elem kiválasztásának különböző módjait kutatja. véges halmaz: elhelyezések, kombinációk, permutációk, valamint felsorolás és kapcsolódó... ... Wikipédia

A kombinatorikában a permutáció számok rendezett halmaza, amelyet általában bijekcióként kezelnek egy halmazon, amely az i számot rendeli a halmaz i-edik eleméhez. Az n számot permutációs sorrendnek nevezzük. A szó szinonimájaként... ... Wikipédia

A kombinatorikában az elhelyezés a „tárgyak” (objektumok) elrendezése bizonyos „helyeken”, feltéve, hogy minden helyet pontosan egy objektum foglal el, és minden objektum különböző. Formálisabban az elhelyezést (n-től k-ig)... ... Wikipédiának hívják

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921, 1991) híres matematikus és a matematika népszerűsítője. Ő a szerzője a széles körben ismert monográfia " Különleges jellemzőkés a csoportreprezentációk elmélete" (1965, 1991), amely akkor (A. U. Klimykkel együtt) ... ... Wikipédia

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921, 1991) híres matematikus és a matematika népszerűsítője. A „Speciális funkciók és a csoportok reprezentációinak elmélete” (1965, 1991) című jól ismert monográfia szerzője, amely akkor (A. U. Klimykkel együtt) ... ... Wikipédia

Tartalomjegyzék

Bevezetés

2. oldal

A kombinatorika fogalma.

4. oldal

A kombinatorika fejlődéstörténete.

5. oldal

2.1

Fa lehetséges opciók

6. oldal

2.2

Átrendezések.

9. oldal

2.3

Szállás.

10. oldal

Kombinatorika be különböző területeken emberi élettevékenység.

13. oldal

3.1

Kombinatorika az irodalomban

13. oldal

3.2

Kombinatorika a sakktáblán és a játékokban

15. oldal

3.3

Kombinatorika és Rubik-kocka

16. oldal

3.4

Vintage problémák

17. oldal

Következtetés

18. oldal

Irodalom

19. oldal

Alkalmazás

21. oldal

IN gyakorlati tevékenységek az embernek gyakran meg kell küzdenie olyan problémákkal, amelyekben meg kell számolnia az összes számát lehetséges módjai egyes objektumok elhelyezkedése vagy valamilyen művelet végrehajtásának összes lehetséges módja.
Sok szakterület képviselőinek kombinatorikus számításokkal kell megküzdeniük: művezető a munkások közötti elosztásnál különféle típusok működik, a diszpécsernek a forgalmi menetrend összeállítása során. Az iskola igazgatója ütemtervet készít edzések, különböző kombinációkat használ, egy sakkozó a különféle kombinációk közül kiválasztja a legjobbat stb.

Modern élet kombinatorikus számítási feladatokat végez lényeges, mivel a számítógépek megjelenése drámaian megnövelte a kombinatorika képességeit és kiterjesztette alkalmazási körét.

Alkalmazás értéke ez a téma nagyon kiterjedt, és életünk pénzügyi, demográfiai, környezeti, szociológiai és egyéb vonatkozásait érinti. A téma iránti érdeklődésem egy matematikai olimpián való részvételem során merült fel, és a következő problémák merültek fel:

1. probléma. 100 külföldre utazó turista közül német nyelv 30-an beszélnek angolul, 28-an beszélnek franciául, 8-an beszélnek angolul és németül, 10-en beszélnek angolul és franciául, 3-an beszélnek mindhárom nyelven ?

2. feladat. Akadályverseny

A stadion pályáin sorompók vannak elhelyezve (az egyes pályákon található sorompók száma az ábrán látható). A kenguru az elejétől a végéig futni akar, átugorva a legkisebbet lehetséges szám akadályokat. Hányszor kell a Kengurunak átugrani a korlátokat?

(A)11; (B) 8; (C) 10; (D) 18; (E) 6;

Az olimpia után feltettem a kérdést a matektanárnak: „Hogyan lehet kényelmes módon megoldani az ilyen típusú problémákat? És ezek után rájöttem, hogy van egy matematika rész - "Kombinatorika".

A kombinatorika ismeretében sok kérdésre találhatunk választ érdekes kérdéseket: hány háromjegyű szám van? Nagyon érdekes! Ezt tényleg én is értem?

Így jött létre ez a projekt. A kérdések megválaszolásának vágya határozta meg projektem célját.

Projekt célja: tanulj meg feladatokat megoldani a „kombinatorika” részből.

A cél elérése érdekében a következőket tűzték ki feladatok:

Tanulmányozza a történelmi és elméleti anyag a kombinatorikáról.

A kombinatorikai feladatok rendszerezése megoldástípus szerint.

Tudja meg, milyen problémákat kell megoldaniuk az embereknek az életben.

A projekten való munka során a következő elméleti elméleteket alkalmaztuk mód:

A kombinatorika és az információforrások tanulmányozása, elemzése szórakoztató matematika;

Modellezési technikák a kombinatorika felhasználására feladatokban.

A kombinatorika fogalma.

IN mindennapi élet Gyakran találkozunk olyan feladatokkal, amelyeknek több is van különféle lehetőségeket megoldásokat. tenni helyes választás, fontos, hogy ne hagyd ki egyiket sem. Ehhez fel kell tudnia sorolni az összes lehetséges opciót, vagy meg kell számolnia azok számát. Az ilyen megoldást igénylő problémákat kombinatorikusnak nevezzük. A matematikának azt az ágát, amelyben a kombinatorikus problémákat tanulmányozzák, kombinatorikának nevezik.

IN Enciklopédiai szótár Egy fiatal matematikus definíciót adott: „A kombinatorika a matematikának egy olyan ága, amelyben azt vizsgálják, hogy adott objektumokból bizonyos feltételek mellett hány kombináció készíthető.” Kombinatorika szükséges a matematika „valószínűségszámítás” szakaszának tanulmányozásához, amely kötelező lesz a tanulás során iskolai tanfolyam matematika.

A probléma megoldására használt érvelési módszert ún lehetséges opciók felsorolása.

2. szakasz.

2.1. A kombinatorika fejlődéstörténete

Kiderült, hogy az emberek kombinatorikusnak nevezett problémákkal találkoztak ősi idők. Már több ezer évvel ezelőtt az ókori Kínában érdeklődtek a mágikus négyzetek rajzolása iránt, amelyekben adott számokatúgy vannak elrendezve, hogy összegük minden vízszintes, függőleges és főátló mentén azonos legyen.

Az ókori Görögországban megszámolták a hosszú és a különböző kombinációk számát rövid szavakat V költői méretek, a figurás számok elméletét tanulmányozta, egy speciálisan kivágott négyzet részeiből készíthető figurákat tanult stb. Kombinatorikus problémák merültek fel olyan játékokkal kapcsolatban is, mint a dáma, sakk, dominó, kártya, kocka stb.

A világhírű német tudós, Gottfried Wilhelm Leibniz volt az első, aki a kombinatorikát önálló tudományágnak tekintette.

1666-ban Leibniz kiadta Discourses on the Combinatorial Art (Beszédek a kombinatorikus művészetről) c. Munkájában Leibniz, bemutatva speciális karakterek, feltételek, mindent megtalál k- kombinációi n elemeket, levezeti a kombinációk tulajdonságait, összeállítja a kombinációs táblázatokat, majd tárgyalja a kombinatorika logikára, aritmetikára való alkalmazásait, versifikációs problémákat stb.. Leibniz beteljesületlen álma egy általános kombinatorikus elmélet konstrukciója maradt.

A 18. században az emberek a kombinatorikus problémák megoldása felé fordultak kiváló matematikusok. Figyelemre méltó eredményeket ért el a kombinatorika területén Leonhard Euler. A számok particionálásával, ciklikus elrendezésével, valamint varázslatos és latin négyzetek megalkotásával kapcsolatos problémákat fontolgatta. 1713-ban jelent meg J. Bernoulli munkája, amelyben kellő teljességgel mutatták be az addig ismert kombinatorikus tényeket. A rejtjelezéssel és -fejtéssel, valamint az ókori írások tanulmányozásával foglalkozó matematikusok is érdeklődtek a kombinatorikus problémák iránt. Most a kombinatorika számos tudományterületen talál alkalmazást: a biológiában, ahol a fehérjék és a DNS összetételének tanulmányozására használják, a kémiában, az összetett szerkezetek mechanikájában stb. A fizika, a kémia, a biológia, a közgazdaságtan és más tudományok kombinatorikus problémáit, amelyeket korábban a számítások bonyolultsága miatt nem lehetett megoldani, számítógépen kezdték sikeresen megoldani. Ennek eredményeként a kombinatorikus kutatási módszerek egyre mélyebben hatolnak be a tudomány és a technológia számos területére. Konkrétan egy számítógép segítségével sikerült megoldani a négy szín problémáját: bebizonyosodott, hogy bármely térképet négy színre lehet színezni úgy, hogy nincs két ország közös határ, nem voltak festve ugyanolyan színűre.

J. Sylvester még 1844-ben ezt mondta: „A szám, a pozíció és a kombináció három egymást metsző, de különböző területeken gondolatok, amelyek magukban foglalnak minden matematikai ötletet."

2.2. A lehetséges lehetőségek fája.

Különféle kombinatorikus problémákat speciális áramkörök kialakításával oldanak meg. Külsőleg ez a séma egy fára hasonlít, innen származik a módszer neve - lehetséges opciók fája. A fa ágai a különféle eseményeket jelképezik, amelyek megtörténhetnek. A fa gyökere olyan állapot, amelyben felmerül a választás igénye.

1. feladat. Melyik háromjegyű számok elkészíthető a 0, 2, 4 számokból?

Megoldás.Építsük fel a lehetséges opciók fát, figyelembe véve, hogy a 0 nem lehet a szám első számjegye.

Válasz: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

2. feladat. Az iskolai turisták úgy döntöttek, hogy kirándulnak egy hegyi tóhoz. Az utazás első szakaszát vonattal vagy busszal lehet megtenni. A második szakasz kajakkal, kerékpárral vagy gyalog. Az utazás harmadik szakasza pedig gyalog vagy felvonóval történik. Milyen utazási lehetőségeik vannak az iskolai turistáknak?

Megoldás.Építsünk egy fát a lehetséges opciókból, jelezve a vonatutazást P, busszal - A, kajakozás - B, kerékpárok - IN, gyalog - X,-on sikló -TO.

Válasz: Az ábra felsorolja mind a 12 lehetséges utazási lehetőséget az iskolai turisták számára.

3. feladat.Írja le az összes lehetséges lehetőséget a napi öt óra ütemezésére a tantárgyakból: matematika, orosz, történelem, angol nyelv, a testnevelés és a matematika legyen a második óra.

Megoldás.Építsünk egy fát a lehetséges opciókból, jelölve M- matematika, R- orosz nyelv, ÉS- történet, A- angol nyelv, F- fizikai edzés.

Válasz:Összesen 24 lehetőség van.

4. feladat.

Sasha nadrágban vagy farmerben jár az iskolába szürke, kék, zöld vagy kockás inget visel, és mint a cserecipő cipőt vagy tornacipőt vesz.

a) Hány napig fog Sasha újnak kinézni?

b) Hány napig hord tornacipőt?

c) Hány napig hord kockás inget és farmert?

Megoldás.Építsünk egy fát a lehetséges opciókból, jelölve: B - nadrág, D - farmer, C - szürke ing, G - kék ing, Z - zöld ing, P - kockás ing, póló, K - tornacipő.

Válasz: a) 16 nap; b) 8 nap; c) 2 nap.

2.3. Átrendezések.

A véges halmaz elemeiből készíthető legegyszerűbb kombinációk a következők permutációk.

Két a és b elem csak kétféleképpen írható ki egy karakterláncba: ab és ba. Három elemre 6 lehetőség van. Számoljuk meg 4 elem permutációinak számát is:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,

3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,

4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Összesen 24 permutáció van, 4 oszlopban, egyenként 6 permutációval.

Az n elem permutációinak számára van egy jelölés: n!(olvassuk: „en faktoriális”).

Faktoriális egyenlő a termékkel mindenki természetes számok n-től 1-ig.

Például 4! = 1 · 2 · 3 · 4= 24. Remek! Egy sor, és végignézve az összes lehetséges esetet fent, hány rekord az összes permutációról. Mi lenne, ha nem 4 elem lenne, hanem 8? Ez azt jelenti, hogy nem kellett minden lehetséges permutációt leírni. Tényleg ilyen egyszerű? Itt vannak azok a problémák, amelyeket meg tudtam oldani.

1. feladat. A családban 6 fő, a konyhában 6 szék van az asztalnál. A család úgy döntött, hogy minden este, amikor vacsoráznak, más módon ülnek ezekre a székekre. Hány napig tudják a családtagok megvalósítani a terveiket?

Megoldás. A válasz váratlanul hosszúnak bizonyul: majdnem két év! elmagyarázom.

Az érvelés megkönnyítése érdekében feltételezzük, hogy a család (nagymama, nagyapa, anya, apa, lánya, fia) egyenként ül a székeken. Érdekel mennyi dolog van különféle módokon székeken való elhelyezésüket. Tegyük fel, hogy a nagymama ül le először. 6 lehetőség közül választhat széket. Nagyapa másodikként ül, és önállóan választ egy széket az 5 megmaradt szék közül. Anya harmadikként választja, és 4 szék közül választhat. Az apának három választása lesz, a lányának 2, a fia pedig az egyetlen szabad székre ül. A szorzási szabály alapján azt kapjuk 720 különböző elhelyezési mód létezik. Így egy család 720 napig játszhatja az „ülőjátékot”, azaz. majdnem két év. Most világossá vált, hogy mindkét feladatban öt permutációról beszélünk.

2. feladat. A teniszezők egy csoportjából, amelyből négy ember van - Antonov, Grigorjev, Szergejev és Fedorov, az edző kiválaszt egy párat, akik részt vesznek a versenyen. Hány lehetőség van egy ilyen pár kiválasztására?

Megoldás: Először állítsuk össze az összes olyan párt, amelyekben Antonov szerepel (a rövidség kedvéért a vezetéknevek kezdőbetűit írjuk).

Három párt kapunk: AG, AC, AF.

Most írjuk ki azokat a párokat, amelyekben szerepel Grigorjev, de nincs benne Antonov. Két ilyen pár van: GS, GF.

Nincs más lehetőség a párok létrehozására, mivel minden olyan pár, amelyben Fedorov szerepel, már elkészült.

Tehát 6 párunk van:

AG, AS, AF

GS, GF

SF,

azok. 3 2 1=6. Eszközök,

Az edzőnek mindössze hat lehetősége van kiválasztani egy pár teniszezőt a csoportból.

2.4. Szállás

Következő fontos fogalom kombinatorika – elhelyezés.

Szállás„tárgyak” (objektumok) elrendezése bizonyos „helyeken”, feltéve, hogy minden helyet pontosan egy objektum foglal el, és minden objektum különböző.

1. probléma. A kávézó két első fogást kínál: borscsot, rassolnik - és négy második fogást: gulyást, szeleteket, kolbászt, galuskát. Sorolja fel az összes kétfogásos ételt, amelyet egy étkező rendelhet.

Megoldás:

Borscs

Rassolnik

gulyás

szeleteket

kolbászok

gombócokat

gulyás

szeleteket

kolbászok

gombócokat

Válasz: 8 ebéd.

Feladat 2 . Egy 25 fős osztályban parancsnokot, helyettesét és segédhelyettesét kell választani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Megoldás:

25 módon lehet bármely diákot parancsnoknak kiválasztani.

Aztán a fennmaradó 24-ből az igazgatóhelyettes.

Ezt követően a megmaradt 23 közül bárki segédhelyettessé válhat.

Összesen: 25 db · 24· 23 = 13800

Válasz: 13800 módon.

3. probléma. Egy futballcsapatban (11 fő) ki kell választani a kapitányt és a kapust. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Megoldás:

1. A 11 játékos közül bármelyik lehet kapitány.

2. Kapitányválasztás után a fennmaradó 10 fő pályázhat kapus szerepkörre.

Tehát 11 10 = 110 van különböző lehetőségeket választás.

Válasz: 110 módon.

4. probléma. Hány hétjegyű szám nem tartalmazza a 2-es számjegyet?

Megoldás :

Összesen 10 számjegyből áll. Az első számjegy nem lehet nulla vagy kettő, ami azt jelenti, hogy 8 módon lehet kiválasztani. Minden következő számjegy 9 módon választható ki.

8 9 9 9 9 9 9 = 4 251 528.

Válasz. 4 251 528 hétjegyű szám.

Ez a mennyiség. És ha nem ismerné ezt a megoldási módot, lehetetlennek tűnik az összes lehetséges esetet végigjárni. Hosszú és veszélyes hiba.

5. probléma. Hányféleképpen hozhat létre ütemtervet az 5-ből egy napra? különféle leckéket, ha 14 tárgyat tanulnak.

Megoldás:

IN ebben a példában 14 tantárgyból 5-öt kell választani. Az ütemterv létrehozásának módjai a következő képlettel számíthatók ki:

14 13 12 11 10 = 240240

Válasz: 240240 módon.

6. feladat. Mennyi ideig tart kinyitni az ajtót kombinációs zárral, ha egy háromjegyű számkészlet 3 másodpercet vesz igénybe. (Sőt, a számgombok lenyomásának sorrendje nem fontos).

Megoldás: A kód első számjegye összesen 10-10 lehetőség közül választható. A második számjegy a fennmaradó 9 számjegy közül bármelyik kiválasztható. Ez összesen 10*9*8 = 720 kombinációt jelent. A megoldás akkor lenne helyes, ha nem lenne a feladatban szereplő megjegyzés: Ráadásul a számokkal ellátott gombok lenyomásának sorrendje sem lényeges. Ez azt jelenti, hogy az összetétel 123, 321, 213 stb. (összesen 6 db van belőle) ugyanazok.

Ezért nem az elhelyezést, hanem a kombinációkat kell figyelembe venni. A kombinációknál az eredményt el kell osztani 6-tal, azaz. három elem 3-mal egyenlő permutációinak számával!.

720: 6=120 kombináció, 120 · 3 = 360 másodperc = 6 perc és a kód meg lesz oldva.

Válasz: 6 perc.

3. Kombinatorika az emberi tevékenység különböző területein.

A kombinatorika alkalmazási területei:

oktatási intézményekben(ütemezés)

gömb vendéglátás(menü tervezés)

nyelvészet (a betűkombinációk lehetőségeit figyelembe véve)

földrajz (színező térképek)

sportversenyek (a résztvevők közötti mérkőzések számának kiszámítása)

termelés (több típusú munka elosztása a munkavállalók között)

mezőgazdasági technológia (növények kihelyezése több táblára)

szerencsejáték (a nyeremények gyakoriságának kiszámítása)

kémia (kémiai elemek közötti lehetséges kapcsolatok elemzése)

közgazdaságtan (részvényvételi és -eladási opciók elemzése)

kriptográfia (titkosítási módszerek fejlesztése)

levélkézbesítés (a továbbítási lehetőségek mérlegelése)

biológia (a DNS kód dekódolása)

katonai ügyek (az egységek elhelyezkedése)

asztrológia (bolygók és csillagképek elhelyezkedésének elemzése)

3.1 Kombinatorika az irodalomban.

Ivan Andrejevics Krylov meséjében "Kvartett":„a szemtelen majom, a szamár, a kecske és a bottalpú medve” érdekes kísérletet rendezett, a hatást vizsgálták relatív helyzete zenészeket az előadás minőségéről.

A pajkos majom, a szamár, a kecske és a bottalpú medve

Úgy döntöttünk, hogy egy Quartettel játszunk.

Kaptunk kottát, bőgőt, brácsát, két hegedűt

És leültek egy rétre a ragacsos fák alá - hogy művészetükkel elragadják a fényt.

Ütik az íjakat, harcolnak, de semmi értelme.

„Álljatok meg, testvérek, álljatok meg! - kiáltja majom. - Várj!

Hogyan menjen a zene? Nem így ülsz.

Te és a basszusgitár, Misenka, a brácsával szemben ülsz,

Én, a prima, szemben fogok ülni a másodikkal;

Akkor a zene nem lesz ugyanaz: az erdőnk és a hegyeink táncolni fognak!”

Letelepedtünk és elkezdtük a Quartetet;

Még mindig nem jön össze.

"Várj, találtam egy titkot"

A Szamár kiabál: Valószínűleg kijövünk, ha egymás mellett ülünk.

Engedelmeskedtek a Szamárnak: tisztességesen leültek egy sorba;

Pedig a Quartet nem megy jól.

Most még intenzívebbek, mint valaha

És viták arról, hogy ki és hogyan üljön.

A Nightingale történetesen a zajra repült.

Itt mindenki azt kéri tőle, hogy oldja meg kétségeit:

„Talán – mondják – legyen türelmed egy óráig,

Kvartettünk rendbetételéhez:

És vannak jegyzeteink, és vannak hangszereink;

Csak mondd meg, hogyan üljünk le!” -

„Ahhoz, hogy zenész legyél, készségekre van szükséged

És a füled gyengédebben, -

A Nightingale válaszol nekik: -

És ti, barátok, nem számít, hogyan ülök le,

Még mindig nem vagy alkalmas zenésznek.”

Majom, Szamár, Kecske és Medve helyet cseréltek, mert azt hitték, hogy a zene hangja ettől függ. És ha Nightingale nem lép közbe, a kvartett tagjai valószínűleg minden lehetséges lehetőséget kipróbáltak volna.

Tehát hányféleképpen lehet négy zenészt leültetni, például egy sorban?

Válasz: 24 módon.

3.2 Kombinatorika a sakktáblán és a játékokban.

A sakk nemcsak népszerű játék, hanem számos érdekes kombinatorikus probléma forrása is. Nem véletlen, hogy a kombinatorika szakirodalmában sakkkifejezések találhatók. Nézzünk példákat a sakktábla problémáira.

1. probléma: Járd körbe a tábla összes négyzetét a lovagoddal, egyszer meglátogatva mindegyiket.

A 18. és 19. század számos matematikusa dolgozott ezen a problémán, köztük L. Euler. Bár a probléma már Euler előtt ismert volt, először csak ő hívta fel rá a figyelmet. matematikai entitás. Bebizonyosodott, hogy nem több, mint 30 millió ilyen útvonal.

2. probléma: Hányféleképpen helyezhető el a táblára nyolc dáma úgy, hogy ne fenyegesse egymást, vagyis ne álljon kettő egy vonalon (függőleges, vízszintes, átlós).

Bebizonyosodott, hogy 92 szükséges megállapodás van. Minden sakkfiguránál hasonló feladatok vannak kitűzve. A játékban meghatározott pozíciók vagy osztályaik tanulmányozása bizonyos eredmények elérésére szolgál, például egy párosítási pozíció eléréséhez bizonyos szám mozog. Mivel alapvető tényező az a küzdelem, hogy a teljes program egy lépésről való „gondolkodási idejét” csökkentsék, ezért a matematikusok sok erőfeszítést fordítanak a benne található alkalmazások létrehozására (a kívánt lépés keresése során megoldódó problémák), amelyek a legjobban működnek. gyorsan és minimális RAM-ot igényel. Ez az irány számos elegáns logikai-számítási problémát szült. Néhányat a mai napig kínálnak különféle matematikai és programozói versenyeken, valamint szabadidős szórakozásként.

A kiváló sakkozók, Claude Shannon és Mikhail Botvinnik közreműködtek hatalmas hozzájárulás a teremtésben matematikai modell sakkjátszmaés hozzájárult a számára készült programok intellektualizálásának előrehaladásához.

A számítógépes sakk talán a legmeggyőzőbb példa a fél évszázados fejlődés során információs technológia, amikor az intellektuális tevékenységben egy automata sikeresen versenyez egy emberrel.

3.3 Kombinatorika és Rubik-kocka.

Rendkívül népszerű rejtvény volt a Rubik-kocka, amelyet 1975-ben egy budapesti építésztanár, Rubik Erne talált ki a térbeli képzelet hallgatók között.

Rubik-kocka- ez egy kocka, mintha 27 egyforma kockára vágták volna. A kiindulási helyzetben a kocka minden oldala 6 szín egyikével van festve. Egy ötletes mechanizmus lehetővé teszi, hogy a kocka egyik oldalával szomszédos 9 kockából álló tetszőleges réteget a középpontja körül elforgathassa. Ebben az esetben a szélek színei keverednek. A feladat a kocka többszínű lapjainak visszaállítása az eredeti helyükre. Elméletileg a kocka bármely állapotából legfeljebb 23 mozdulattal térhet vissza eredeti állapotába. Legjobb idő, az 1982-es világbajnokságon bemutatott gyorsasági Rubik-kocka megoldásban mindössze 22,95 másodperc volt.

A Rubik-kocka nemcsak szórakoztató, hanem csodálatos is. vizuális segédeszköz a kombinatorikában.

3.4 Ókori problémák

Feladat: "A farkas, a kecske és a káposzta"

A parasztnak farkast, kecskét és káposztát kell átszállítania a folyón. A csónak olyan kicsi, hogy a paraszton kívül csak egy farkas, vagy egy kecske, vagy egy káposzta fér el benne. De ha a farkast egy kecskével hagyod, megeszi, ha pedig egy kecskét hagysz káposztával, akkor a káposztát megeszik. Mit tegyen egy paraszt?

A megoldáshoz az elemek kölcsönös átrendezésével kell elrendezni őket a probléma feltételeinek megfelelően egy bizonyos sorrendben. Paraszt esetében az átkelést egy kecske szállításával kell kezdeni. Aztán a paraszt visszatér, és elviszi a farkast, akit a túlsó partra szállít és ott hagy, a kecskét pedig visszaviszi az előző partra. Onnan veszi a káposztát, és elszállítja a farkashoz. Aztán visszatér, és elveszi a kecskét.

Játékfeladat: "Tic Tac Toe"

A leghíresebb ősi játék. A kilenc cellára osztott négyzetben a játékosok felváltva helyezik el jelüket egy üres cellába: egy keresztet vagy egy nullát, és megpróbálnak egymás után három keresztet vagy három nullát felsorakoztatni. Az nyer, aki először csinálja ezt.

Ha nem hibázik, a játék döntetlennel végződik. Csak akkor nyerhet, ha az ellenfél hibázik. A leghelyesebb lépés az

foglalják el a sarokcellát. És ha a partner erre nem reagál középen a jelével, akkor veszített.

Játékfeladat: „Nim” Legyen egy vagy több objektumcsoport. A játékosok felváltva vesznek tárgyakat a csoportokból az előre meghatározott szabályok szerint: hány tárgyat szabad egyszerre elvinni és hány csoportból. A játéknak számos változata létezik, és a legtöbb ember tudja legjobb stratégia, ami a győzelemhez vezet.

Következtetés

A projekt során a kombinatorika, mint tudomány kialakulásának történetét tekintem, kezdve Ősi Kínaés az ókori Görögország és a vége modern korszak annak fejlődését. A munka olyan nagy matematikusokról ad tájékoztatást, akik a kombinatorikus problémák elméletének kiindulópontjánál álltak, mint például P. Fermat, Galileo Galilei, J. Bernoulli, Pascal, Leibniz, L. Euler és még sokan mások.

A bemutatott információk tehát azt igazolják, hogy a kombinatorikus problémák végigkísérik az emberiséget a történelem során, összefonódva a művészettel és a tudománnyal, hogy a matematikának van egy olyan játékeleme, amely edzi az értelmet és a legjobban fejleszti. különböző képességek, különösen a kreatívak.

A projekt részeként a kapott információkat tanulmányozták és alkalmazták a permutációkkal és elhelyezésekkel kapcsolatos feladatok megoldása során, és arra a következtetésre jutottak, hogy a kombinatorikus feladatok megoldási szabályainak ismerete kétségtelenül lehetőséget ad a sokkal gyorsabb eredmény elérésére. pozitív eredmény a logikus érvelésben.

A közeljövőben többet fogok megtanulni megoldani összetett feladatok a kombinatorika és az e témában szerzett ismeretek igényesek lesznek az olimpia jellegű feladatok megoldása során, és a jövőben segítségemre lesznek a felkészülésben. végső bizonyítvány a matematikában.

Következtetés: A kombinatorika mindenhol jelen van. A kombinatorika mindenhol jelen van. Körülöttünk a kombinatorika, úgy gondolom, hogy elértem a kitűzött célt, mert a munka megírása után ebből a részből bővítettem, elmélyítettem a kombinatorikai ismereteimet, és megtanultam megoldani a feladatokat.

Irodalom:

1.Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára - /összeállította: Savinov A.P.

2. Vilenkin N.Ya. Kombinatorika: Szerk. "Tudomány", 1969

3. Deplan I. Ya., Vilenkin N. Ya. Matematika tankönyv lapjai mögött - Kézikönyv 5-6 osztályos középiskolák tanulói számára. M.: Nevelés, 1989-287 pp. illusztrációkkal.

4.G. Y. Gik „Szórakoztató matematikai játékok" - M.: Tudás, 1982.

5. Matematikai enciklopédia / Vinogradov I.M.-M.: Szovjet enciklopédia. 3. évfolyam, 1984

6. Bogomolov N.V. Gyakorlati gyakorlatok matematikából: Tankönyv. Műszaki iskolák kézikönyve. - 2. kiadás, átdolgozott - M.: Felső. Iskola, 1983.-399 pp., ill.

7. Enciklopédia gyerekeknek. T.11. Matematika/Ch. Szerk. M.D. Aksenova.- M.: Avanta+, 2002.- 688 p.: ill.

5. szakasz.

Alkalmazás

Feladat. Van egy kedvenc öltönyöm, amit az iskolában hordok. Fehér, kék, rózsaszín vagy piros blúzt hordok hozzá. Ezen kívül

A nyári szünetben családunk nyaralót tervez Tyumenbe.

Hány útvonal lehet Belojarszkij és Tyumen között?

és melyik a jövedelmezőbb idő és költség szempontjából?

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete

Népszerű kombinatorika Vilenkin N I 1975. „Érdekes a kombinatorika!” – a matematika tudományos projektszekciója

Népszerű a kombinatorika . Vilenkin N.Ya.

A Saját boltban

További hasonló témájú könyvek: