Példák törtekkel és tizedesjegyekkel. Tizedesjegyek

A tizedes törtek megegyeznek a közönséges törtekkel, de úgynevezett tizedes jelöléssel. A 10, 100, 1000 stb. nevezővel rendelkező törtekhez tizedes jelölést használunk. Törtek helyett 1/10; 1/100; 1/1000; ... írjon 0,1-et; 0,01; 0,001;... .

Például 0,7 ( nulla pont hetes) egy tört 7/10; 5,43 ( öt pont negyvenhárom) vegyes tört 5 43/100 (vagy ami megegyezik, nem megfelelő tört 543/100).

Előfordulhat, hogy közvetlenül a tizedesvessző után egy vagy több nulla van: 1,03 az 1 3/100 tört; 17,0087 a 17 87/10000 törtrésze. Az általános szabály a következő: a nevezőben közönséges tört annyi nullának kell lennie, ahány számjegy van a tizedesvessző után a bejegyzésben decimális .

A tizedes tört egy vagy több nullára is végződhet. Kiderült, hogy ezek a nullák „extrák” - egyszerűen eltávolíthatók: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Találja ki, miért van ez így?

A tizedesek természetesen akkor keletkeznek, ha „kerek” számokkal osztunk - 10, 100, 1000, ... Ügyeljen arra, hogy megértse a következő példákat:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Észrevesz itt egy mintát? Próbáld meg megfogalmazni. Mi történik, ha egy tizedes törtet megszoroz 10-zel, 100-zal, 1000-zel?

Egy közönséges tört tizedesjegyre konvertálásához le kell csökkentenie valamilyen „kerek” nevezőre:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 stb.

A tizedesjegyek hozzáadása sokkal egyszerűbb, mint a törtek hozzáadása. Az összeadás ugyanúgy történik, mint a közönséges számoknál - a megfelelő számjegyek szerint. Oszlopba történő hozzáadáskor a kifejezéseket úgy kell beírni, hogy a vesszőjük ugyanabban a függőlegesben legyen. Az összeg vesszője is ugyanazon a függőlegesen lesz. A tizedes törtek kivonása pontosan ugyanúgy történik.

Ha az egyik tört összeadásakor vagy kivonásakor a tizedesvessző utáni számjegyek száma kevesebb, mint a másikban, akkor ennek a törtnek a végéhez kell hozzáadni a szükséges számú nullát. Ezeket a nullákat nem adhatja hozzá, hanem egyszerűen elképzelheti őket a fejében.

A tizedes törtek szorzásakor ismét meg kell szorozni őket hétköznapi számok(ebben az esetben már nem szükséges vesszőt írni a vessző alá). A kapott eredményben vesszővel kell elválasztani mindkét tényezőben a tizedesjegyek teljes számával megegyező számú számjegyet.

A tizedes törtek osztásakor a tizedesvesszőt az osztóban és az osztóban egyidejűleg ugyanannyi hellyel jobbra mozgathatja: ez nem változtatja meg a hányadost:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Magyarázd meg, miért van ez így?

1. Rajzolj egy 10x10-es négyzetet. Fesd át annak egy részét, ami egyenlő: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) a teljes négyzet 0,135 területe.
2. Mennyi a 2,43 négyzet? Rajzold le képen.
3. Osszuk el a 37-et 10-zel; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 és az eredményt tizedes törtként írjuk fel. Osszuk el ugyanazokat a számokat 100-zal és 1000-rel.
4. Szorozzuk meg a 4,6-ot 10-zel; 6,52; 23,095; 0,01999. Szorozzuk meg ugyanazokat a számokat 100-zal és 1000-rel.
5. A tizedesjegyet törtként ábrázolja, és csökkenti:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Vegyes frakcióként van jelen: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23.005; 7,0125.
7. Adjon meg egy törtet tizedesjegyben:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Keresse meg az összeget: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
9. Képzelje el az egyet két tizedesjegy összegének. Találjon még húsz módot ennek bemutatására.
10. Keresse meg a különbséget: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35,24–34,9975.
11. Keresse meg a szorzatot: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

Ez a cikk arról szól tizedesjegyek. Itt megértjük a törtszámok tizedes jelölését, bemutatjuk a tizedestört fogalmát, és példákat adunk a tizedes törtekre. Ezután a tizedes törtek számjegyeiről fogunk beszélni, és megadjuk a számjegyek nevét. Ezek után a végtelen tizedes törtekre koncentrálunk, beszéljünk a periodikus és nem periódusos törtekről. Ezután felsoroljuk az alapvető műveleteket a tizedes törtekkel. Végezetül határozzuk meg a tizedes törtek helyzetét a koordinátanyalábon.

Oldalnavigáció.

Törtszám decimális jelölése

Tizedesjegyek olvasása

Ejtsünk néhány szót a tizedestörtek olvasásának szabályairól.

A megfelelő közönséges törteknek megfelelő tizedes törteket ugyanúgy olvassuk be, mint ezeket a közönséges törteket, először csak a „nulla egész szám” kerül hozzáadásra. Például a 0,12 tizedes tört a 12/100 közönséges törtnek felel meg (értsd: „tizenkét század”), ezért a 0,12 „nulla pont tizenkét századrésznek” minősül.

A vegyes számoknak megfelelő tizedes törteket a rendszer pontosan ugyanúgy olvassa be, mint ezeket a vegyes számokat. Például az 56.002 tizedes tört megfelel a vegyes szám, ezért az 56.002 tizedes tört "ötvenhat pont két ezrelék"ként értelmezhető.

Helyek tizedesjegyben

A tizedes törtek írásánál, valamint a természetes számok írásánál az egyes számjegyek jelentése a helyzetétől függ. Valójában a 3-as szám a 0,3 tizedes törtben három tizedet, a tizedes törtben 0,0003 - három tízezredet, a tizedes törtben pedig 30 000,152 - három tízezredet jelent. Szóval beszélhetünk róla tizedesjegyek, valamint a természetes számok számjegyeiről.

Tizedesjegyek nevei legfeljebb tizedespont teljesen egybeesik a természetes számok számjegyeinek nevével. A tizedesvessző utáni tizedeshelyek neve pedig a következő táblázatból látható.

Például a 37.051 tizedes törtben a 3-as számjegy a tízes, a 7-es az egységek helyén, a 0 a tizedes helyen, az 5-ös a századik helyen, az 1-es pedig az ezredhelyen van.

A tizedes törtek helyeinek elsőbbsége is különbözik. Ha egy tizedes tört írásakor balról jobbra haladunk számjegyről számjegyre, akkor innen lépünk idősek To junior rangok. Például a százas hely régebbi, mint a tizedik hely, és a milliomodik hely alacsonyabb, mint a századik hely. Adott utolsó tizedes törtben beszélhetünk a fő- és mellékjegyekről. Például tizedes törtben 604,9387 idősebb (legmagasabb) a hely a százas hely, és junior (legalacsonyabb)- tízezrelék számjegye.

A tizedes törteknél a számjegyekké történő bővítés megtörténik. Ez hasonló a természetes számok számjegyeivé történő kiterjesztéséhez. Például a 45,6072 tizedesjegyekre történő kiterjesztése a következő: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A tizedes tört számjegyekre bontásából származó összeadás tulajdonságai pedig lehetővé teszik, hogy továbblépjen ennek a tizedes törtnek a többi megjelenítésére, például 45,6072=45+0,6072 vagy 45,6072=40,6+5,007+0,0002 vagy 45,6072=724+5072 0.6.

Záró tizedesjegyek

Eddig csak a tizedes törtekről beszéltünk, amelyek jelölésében a tizedesvessző után szerepel végső szám számok Az ilyen törteket véges tizedesjegyeknek nevezzük.

Meghatározás.

Záró tizedesjegyek- Ezek tizedes törtek, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.

Íme néhány példa a végső tizedes törtekre: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Azonban nem minden tört ábrázolható utolsó tizedesjegyként. Például az 5/13 tört nem helyettesíthető egyenlő törttel a 10, 100, ... nevezők egyikével, ezért nem konvertálható végső tizedes törtté. Erről bővebben az elmélet részben fogunk beszélni, a közönséges törteket tizedesjegyekké alakítva.

Végtelen tizedesjegyek: periódusos törtek és nem periódusos törtek

A tizedesvessző után tizedes tört írásakor feltételezhetjük a birtoklás lehetőségét végtelen szám számok Ebben az esetben az úgynevezett végtelen tizedes törteket fogjuk figyelembe venni.

Meghatározás.

Végtelen tizedesjegyek- ezek tizedes törtek, amelyek rögzítése tartalmazza végtelen halmaz számok

Nyilvánvaló, hogy végtelen tizedes törteket nem írhatunk fel teljes formában, ezért írásukban a tizedesvessző után csak bizonyos véges számú számjegyre szorítkozunk, és egy végtelenül folytatódó számjegysorozatot jelző ellipszist teszünk. Íme néhány példa a végtelen tizedes törtekre: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Ha alaposan megnézzük az utolsó két végtelen tizedes törtet, akkor a 2,111111111... törtben jól látható a végtelenül ismétlődő 1-es szám, a 69.74152152152... törtben pedig a harmadik tizedesjegytől kezdve ismétlődő számcsoport Az 1, 5 és 2 jól látható. Az ilyen végtelen tizedes törteket periodikusnak nevezzük.

Meghatározás.

Periodikus tizedesjegyek(vagy csak periodikus törtek) végtelenített tizedes törtek, amelyek rögzítésében egy bizonyos tizedesjegytől kezdve valamilyen szám vagy számcsoport vég nélkül ismétlődik, amit ún. tört időszaka.

Például a 2,111111111... periodikus tört periódusa az 1-es számjegy, a 69,74152152152... tört periódusa pedig a 152 alakú számjegyek csoportja.

A végtelen periodikus tizedes törtek esetén elfogadott különleges forma rekordokat. A rövidség kedvéért megállapodtunk abban, hogy egyszer felírjuk az időszakot, zárójelben. Például a 2.111111111... periodikus tört 2,(1) , a 69.74152152152... periodikus tört pedig 69.74(152) .

Érdemes megjegyezni, hogy ugyanahhoz a periodikus tizedes törthez megadható különböző időszakok. Például a 0,73333... periodikus tizedes tört 0,7(3) törtnek tekinthető 3-as periódussal, és 0,7(33) törtnek is 33-as periódussal, és így tovább, 0,7(333), 0,7 (3333), ...Szintén tovább periodikus tört 0,73333... így nézheted: 0,733(3), vagy 0,73(333), stb. Itt a félreérthetőségek és eltérések elkerülése érdekében megállapodunk abban, hogy a tizedes tört periódusának tekintjük az ismétlődő számjegyek lehetséges sorozata közül a legrövidebbet, és a tizedesvesszőhöz legközelebbi pozíciótól kezdve. Vagyis a 0,73333... tizedes tört periódusát egy 3-as számjegyből álló sorozatnak tekintjük, és a periodicitás a tizedesvessző utáni második pozícióból indul, azaz 0,73333...=0,7(3). Egy másik példa: a 4,7412121212... periódusos tört 12-es periódusú, a periodicitás a tizedesvessző utáni harmadik számjegytől kezdődik, azaz 4,7412121212...=4,74(12).

A végtelen tizedes törteket úgy kapjuk meg, hogy azokat a közönséges törteket tizedes törtekké alakítjuk, amelyek nevezői tartalmazzák elsődleges tényezők, eltér a 2-től és az 5-től.

Itt érdemes megemlíteni a 9-es periódusú periodikus törteket. Mondjunk példákat ilyen törtekre: 6.43(9) , 27,(9) . Ezek a törtek a 0 periódusú periodikus törtek másik jelölése, és általában 0 periódusú periodikus törtekre cserélik őket. Ehhez a 9. periódus helyére 0. periódus lép, a következő legmagasabb számjegy értéke pedig eggyel nő. Például a 7.24(9) forma 9. periódusú törtje helyébe a 7.25(0) forma 0. periódusú időszakos törtje vagy egy ezzel megegyező utolsó tizedes tört 7.25 kerül. Egy másik példa: 4,(9)=5,(0)=5. A 9. periódusú tört és a megfelelő tört 0. periódusú tört egyenlősége könnyen megállapítható, miután ezeket a tizedes törteket egyenlő közönséges törtekre cseréljük.

Végül nézzük meg közelebbről a végtelen tizedes törteket, amelyek nem tartalmaznak végtelenül ismétlődő számjegysorozatot. Nem periodikusnak nevezik őket.

Meghatározás.

Nem ismétlődő tizedesjegyek(vagy csak nem periodikus törtek ) végtelen tizedes törtek, amelyeknek nincs pontjuk.

Néha a nem periódusos törtek alakja hasonló a periodikus törtek alakjához, például a 8.02002000200002... egy nem periódusos tört. Ezekben az esetekben különösen óvatosnak kell lennie, hogy észrevegye a különbséget.

Figyeljük meg, hogy a nem periódusos törtek nem alakulnak át közönséges törtekké, a végtelen nem periodikus tizedes törtek irracionális számokat jelentenek.

Műveletek tizedesjegyekkel

A tizedes törtekkel végzett műveletek egyike az összehasonlítás, és a négy alapvető aritmetikai függvény is meghatározásra kerül. műveletek tizedesjegyekkel: összeadás, kivonás, szorzás és osztás. Tekintsük külön a tizedes törtekkel végzett műveleteket.

A tizedesjegyek összehasonlítása alapvetően az összehasonlított tizedes törteknek megfelelő közönséges törtek összehasonlításán alapul. A tizedes törtek közönséges törtekké való átalakítása azonban meglehetősen munkaigényes folyamat, és a végtelen nem periódusos törteket nem lehet közönséges törtként ábrázolni, ezért célszerű a tizedes törtek helyenkénti összehasonlítását használni. A tizedes törtek hely szerinti összehasonlítása hasonló a természetes számok összehasonlításához. Részletesebb információkért javasoljuk a cikk anyagának tanulmányozását: tizedes törtek összehasonlítása, szabályok, példák, megoldások.

Térjünk át a következő lépésre - tizedesjegyek szorzata. A véges tizedes törtek szorzása a tizedes törtek kivonásához hasonlóan történik, szabályok, példák, megoldások a természetes számok oszlopával való szorzásra. Periodikus törtek esetén a szorzás a közönséges törtek szorzására redukálható. A végtelen nem periodikus tizedes törtek szorzata pedig kerekítés után a véges tizedes törtek szorzására redukálódik. Javasoljuk a cikk anyagának további tanulmányozását: tizedes törtek szorzása, szabályok, példák, megoldások.

Tizedesjegyek a koordináta-sugáron

A pontok és a tizedesjegyek között egy az egyhez egyezés van.

Nézzük meg, hogyan épülnek fel a koordinátasugár azon pontjai, amelyek megfelelnek egy adott tizedes törtnek.

A véges tizedes törteket és a végtelen periodikus tizedes törteket lecserélhetjük egyenlő közönséges törtekre, majd a megfelelő közönséges törteket a koordinátasugáron megszerkeszthetjük. Például az 1,4-es tizedes tört a 14/10-es közönséges törtnek felel meg, így az 1,4-es koordinátájú pontot eltávolítjuk az origóból pozitív irány egységszegmens tizedének megfelelő 14 szegmensre.

Egy adott tizedes tört számjegyekre bontásától kezdve a tizedes törtek jelölhetők egy koordinátasugáron. Például fel kell építenünk egy 16.3007 koordinátájú pontot, mivel 16.3007=16+0.3+0.0007, akkor ezt a pontotúgy érheti el, hogy az eredetből szekvenciálisan lerak 16 egységszegmenset, 3 olyan szegmenst, amelyek hossza megegyezik az egységszegmens tizedével, és 7 olyan szegmenssel, amelyek hossza megegyezik az egységszegmens tízezrelékével.

Ez az építési mód decimális számok a koordináta-sugáron lehetővé teszi, hogy tetszés szerint közel kerüljön a végtelen tizedes törtnek megfelelő ponthoz.

Néha lehetséges a végtelen tizedes törtnek megfelelő pont pontos ábrázolása. Például, , akkor ez a végtelen tizedes tört 1,41421... pontnak felel meg koordináta sugár, amelyet az 1 egységnyi szegmens oldalával rendelkező négyzet átlójának hosszával távolítunk el az origótól.

A koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes tört megszerzésének fordított folyamata az ún. egy szegmens decimális mérése. Kitaláljuk, hogyan történik.

Legyen a feladatunk, hogy az origóból eljussunk a koordinátaegyenes adott pontjába (vagy végtelenül megközelítsük, ha nem tudunk eljutni). Egy szegmens decimális mérésével szekvenciálisan leválaszthatunk az origóból tetszőleges számú egységszakaszt, majd olyan szegmenseket, amelyek hossza egyenlő az egység tizedével, majd olyan szegmenseket, amelyek hossza egyenlő az egység századával stb. Az egyes hosszúságú szakaszok számának rögzítésével megkapjuk a koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes törtet.

Például a fenti ábra M pontjához való eljutáshoz félre kell tenni 1 egységszegmenst és 4 szegmenst, amelyek hossza megegyezik az egység tizedével. Így az M pont az 1.4 tizedes törtnek felel meg.

Jól látható, hogy a koordináta-sugárnak a decimális mérés során nem elérhető pontjai végtelen tizedes törteknek felelnek meg.

Hivatkozások.

• Matematika: tankönyv 5. osztály számára. általános műveltség intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. általános műveltség intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

törtszám.

Törtszám decimális jelölése egy két vagy több számjegy halmaza $0$ és $9$ között, amelyek között van egy úgynevezett \textit (tizedesvessző).

1. példa

Például 35,02 USD; 100,7 USD; 123 USD\456,5 USD; 54,89 dollár.

Egy szám tizedesjegyének bal szélső számjegye nem lehet nulla, az egyetlen kivétel az, ha a tizedesvessző közvetlenül az első számjegy után van: $0$.

2. példa

Például 0,357 USD; 0,064 USD.

A tizedesvesszőt gyakran tizedesvesszővel helyettesítik. Például 35,02 USD; 100,7 USD; 123 USD\456,5 USD; 54,89 dollár.

Tizedes definíció

1. definíció

Tizedesjegyek-- ezek tört számok, amelyek tizedes jelöléssel vannak ábrázolva.

Például 121,05 USD; 67,9 USD; 345,6700 dollár.

A tizedesjegyeket a megfelelő törtek tömörebb írásához használjuk, amelyek nevezői a $10$, $100$, $1\000$ stb. és vegyes számok, amelyek tört részének nevezői a $10$, $100$, $1\000$ stb.

Például a $\frac(8)(10)$ tizedes tört $0.8$, a kevert $405\frac(8)(100)$ pedig $405.08$ tizedes törtként.

Tizedesjegyek olvasása

A szabályos törteknek megfelelő tizedes törteket a rendszer ugyanúgy olvassa, mint a közönséges törteket, csak a „nulla egész szám” kifejezés kerül elé. Például a $\frac(25)(100)$ közönséges tört (huszonöt századrész) megfelel a 0,25$ tizedes törtnek (értsd: „nulla pont huszonöt századrész”).

A vegyes számoknak megfelelő tizedes törteket ugyanúgy olvassuk be, mint a vegyes számokat. Például a $43\frac(15)(1000)$ vegyes szám megfelel a $43.015$ tizedes törtnek (lásd: „negyvenhárom pontos tizenöt ezrelék”).

Helyek tizedesjegyben

Tizedes tört írásakor az egyes számjegyek jelentése a helyétől függ. Azok. a tizedes törteknél is érvényes a fogalom kategória.

A tizedes törtben a tizedesvesszőig lévő helyeket ugyanúgy nevezzük, mint a természetes számok helyeit. A tizedesvessző utáni tizedesjegyeket a táblázat tartalmazza:

1. ábra.

3. példa

Például a tizedes törtben $56.328$, az $5$ számjegy a tízes helyen, a $6$ az egységek helyén, a $3$ a tizedes helyen, a 2$ a századik helyen, a 8$ az ezredben található. hely.

A tizedes törtek helyeit prioritás szerint különböztetjük meg. A tizedes tört olvasásakor balról jobbra mozogjon - innen idősebb rangot fiatalabb.

4. példa

Például a 56.328$ tizedes törtben a legjelentősebb (legmagasabb) hely a tízes hely, az alsó (legalacsonyabb) hely pedig az ezredhely.

A tizedes tört számjegyekre bővíthető, hasonlóan a természetes számok számjegyfelbontásához.

5. példa

Például bontsuk fel a $37.851$ tizedes törtet számjegyekre:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Záró tizedesjegyek

2. definíció

Záró tizedesjegyek tizedes törteknek nevezzük, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.

Például 0,138 USD; 5,34 USD; 56,123456 USD; 350 972,54 USD.

Bármely véges tizedes tört törtté vagy vegyes számmá alakítható.

6. példa

Például a végső tizedes tört ($7.39$) a $7\frac(39)(100)$ törtszámnak, a $0.5$ végső tizedes tört pedig a $\frac(5)(10)$ helyes közönséges törtnek felel meg (vagy bármely vele egyenlő tört, például $\frac(1)(2)$ vagy $\frac(10)(20)$.

Tört átalakítása tizedesjegyre

$10, 100, \dots$ nevezővel rendelkező törtek konvertálása tizedesjegyekre

Mielőtt néhány megfelelő törtet tizedesjegyre konvertálna, először „elő kell készítenie”. Az ilyen előkészítés eredménye ugyanannyi számjegy legyen a számlálóban és ugyanannyi nulla a nevezőben.

A lényege " előzetes felkészülés» szabályos törtek a tizedes törtekké való átalakításhoz - annyi nullát adunk a számláló bal oldalára, hogy teljes mennyiség számjegyek egyenlőek lettek a nevezőben lévő nullák számával.

7. példa

Például készítsük elő a $\frac(43)(1000)$ tört tizedesvesszőre való konvertálását, és kapjuk meg a $\frac(043)(1000)$ értéket. A $\frac(83)(100)$ közönséges tört pedig nem igényel semmilyen előkészítést.

Fogalmazzuk meg szabály a $10$, vagy $100$ vagy $1\000$, $\dots$ nevezőjű megfelelő közös tört tizedes törtté alakítására:

írd $0$;

miután tizedesvesszőt tesz;

írja le a számot a számlálóból (szükség esetén adjon hozzá nullákat az előkészítés után).

8. példa

Alakítsa át a megfelelő $\frac(23)(100)$ törtet tizedesvesszővé.

Megoldás.

A nevező a $100$ számot tartalmazza, amely $2$-t és két nullát tartalmaz. A számláló a $23$ számot tartalmazza, amely $2$.számjegyekkel van írva. Ez azt jelenti, hogy ezt a törtet nem kell előkészíteni a tizedesjegyre való átszámításhoz.

Írjunk be $0$-t, tegyünk egy tizedesvesszőt, és írjuk le a számlálóból a $23$ számot. A tizedes tört 0,23 dollárt kapjuk.

Válasz: $0,23$.

9. példa

Írja be a megfelelő $\frac(351)(100000)$ törtet tizedesjegyként.

Megoldás.

Ennek a törtnek a számlálója $3$ számjegyet tartalmaz, a nevezőben lévő nullák száma pedig $5$, ezért ezt a közönséges törtet fel kell készíteni a tizedesvesszőre való átszámításra. Ehhez a számlálóban balra $5-3=2$ nullákat kell hozzáadni: $\frac(00351)(100000)$.

Most alakíthatjuk ki a kívánt tizedes törtet. Ehhez írja le $0$, majd adjon hozzá egy vesszőt, és írja le a számlálóból a számot. 0,00351 $ tizedes törtet kapunk.

Válasz: $0,00351$.

Fogalmazzuk meg szabály a $10$, $100$, $\dots$ nevezővel rendelkező helytelen törtek tizedes törtté alakítására:

írja le a számot a számlálóból;

Tizedesvesszővel válassza el a jobb oldalon annyi számjegyet, ahány nulla van az eredeti tört nevezőjében.

10. példa

A helytelen $\frac(12756)(100)$ törtet konvertálja tizedesjegyre.

Megoldás.

Írjuk fel a számot a $12756$ számlálóból, majd válasszuk el a jobb oldali $2$ számjegyeket tizedesvesszővel, mert a $2$ eredeti tört nevezője nulla. 127,56 $ tizedes törtet kapunk.

FEJEZET III.

TIZESES.

31. § Feladatok és példák minden tizedes törtekkel végzett művelethez.

Kövesse az alábbi lépéseket:

767. Keresse meg az osztás hányadosát:

Kövesse az alábbi lépéseket:

772. Számítsa ki:

Lelet X , Ha:

776. Az ismeretlen számot megszoroztuk az 1 és 0,57 közötti különbséggel, és a szorzat 3,44 lett. Keresse meg az ismeretlen számot.

777. Összeg ismeretlen dátumés 0,9-et megszoroztunk 1 és 0,4 különbségével, és a szorzat 2,412 lett. Keresse meg az ismeretlen számot.

778. Az RSFSR-ben a vas olvasztására vonatkozó diagram adatainak felhasználásával (36. ábra) hozzon létre egy problémát, amelynek megoldásához az összeadás, kivonás és osztás műveleteit kell alkalmaznia.

779. 1) A Szuezi-csatorna hossza 165,8 km, a Panama-csatorna hossza 84,7 km-rel kevesebb, mint a Szuezi-csatorna, a Fehér-tenger-Balti-csatorna hossza pedig 145,9 km-rel több, mint a Panama-csatorna. Milyen hosszú a Fehér-tenger-Balti-csatorna?

2) Moszkva metró(1959-ig) 5 ütemben épült. A metró első szakaszának hossza 11,6 km, a másodiké 14,9 km, a harmadiké 1,1 km kisebb hosszúság a második szakasz, a negyedik szakasz hossza 9,6 km-rel hosszabb, mint a harmadik szakasz, az ötödik szakasz hossza 11,5 km-rel rövidebb, mint a negyedik. Mekkora volt a moszkvai metró hossza 1959 elején?

780. 1) Legnagyobb mélység Atlanti-óceán 8,5 km, legnagyobb mélység Csendes-óceán 2,3 km-re több mélységet Atlanti-óceán, és Észak legnagyobb mélysége Jeges-tenger 2-szer kisebb, mint a legnagyobb mélység Csendes-óceán. Mi a Jeges-tenger legnagyobb mélysége?

2) A Moskvich autó 9 liter benzint fogyaszt 100 km-en, a Pobeda 4,5 literrel többet fogyaszt, mint a Moskvich, a Volga pedig 1,1-szer többet, mint a Pobeda. Mennyi benzint fogyaszt egy Volga autó 1 km utazásonként? (A választ kerekítse 0,01 literre.)

781. 1) A diák elment a nagyapjához a szünidőben. Vasúton 8,5 órát, az állomásról lóval 1,5 órát utazott. Összesen 440 km-t tett meg. Mekkora sebességgel haladt a diák a vasúton, ha 10 km/órás sebességgel lovagolt?

2) A kolhoznak az otthonától 134,7 km-re lévő helyen kellett lennie. A buszon 2,4 órát utazott 55 km/órás átlagsebességgel, az út hátralévő részét pedig 4,5 km/órás sebességgel tette meg. Meddig sétált?

782. 1) A nyár folyamán egy gopher körülbelül 0,12 centner kenyeret semmisít meg. Tavasszal 37,5 hektáron 1250 ürgét irtottak ki az úttörők. Mennyi kenyeret takarítottak meg az iskolások a kolhoznak? Mennyi megtakarított kenyér jut 1 hektáron?

2) A kolhoz számításai szerint a 15 hektáros szántóterületen elpusztított gopherek az iskolások 3,6 tonna gabonát mentettek meg. Átlagosan 1 hektáron hány gopher pusztul el, ha egy gopher a nyár folyamán 0,012 tonna gabonát pusztít el?

783. 1) A búza lisztté őrlésekor tömegéből 0,1-et veszítünk, sütéskor a liszt tömegének 0,4-ének megfelelő sütést kapunk. Mennyi sült kenyér készül 2,5 tonna búzából?

2) A kolhoz 560 tonna napraforgómagot gyűjtött. Hány napraforgó olaj betakarított gabonából készült, ha a szem tömege a napraforgómag tömegének 0,7-e, a keletkező olaj tömege pedig a szem tömegének 0,25-e?

784. 1) A tejszínből származó tejszín hozama a tej tömegének 0,16, a tejszínből készült vaj hozama 0,25 a tejszín tömegének. Mennyi tej (súly szerint) szükséges 1 liter vaj előállításához?

2) Hány kilogramm vargányát kell összegyűjteni, hogy 1 kg szárított gombát kapjunk, ha a szárításra való előkészítés során a feldolgozott gomba tömegéből 0,5, a szárításnál pedig 0,1 tömeg marad vissza?

785. 1) A kolhozhoz juttatott földterület felhasználása a következőképpen történik: 55%-át szántó, 35%-át rét foglalja el, a fennmaradó 330,2 hektárnyi területet pedig a kolhozkert és a telephely céljára osztják ki. a kolhoztermelők birtokai. Mennyi föld van a kolhozban?

2) A kolhoz a teljes vetésterület 75%-át gabonanövényekkel, 20%-át zöldségfélékkel, a fennmaradó területet takarmányfűvel vetette be. Mekkora vetésterülete volt a kolhoznak, ha 60 hektárt vetett be takarmányfüvekkel?

786. 1) Hány mázsa vetőmag szükséges egy 875 m hosszú és 640 m széles téglalap alakú tábla elvetéséhez, ha 1,5 mázsa magot vetünk 1 hektáronként?

2) Hány mázsa magra van szükség egy téglalap alakú szántóföld elvetéséhez, ha kerülete 1,6 km? A tábla szélessége 300 m 1 hektár elvetéséhez 1,5 mázsa vetőmag szükséges.

787. Hány négyzet alakú 0,2 dm oldallap fér bele egy 0,4 dm x 10 dm méretű téglalapba?

788. Az olvasóterem méretei: 9,6 m x 5 m x 4,5 m. Hány ülőhelyre tervezték? olvasóterem, ha minden embernek 3 köbméterre van szüksége. m levegő?

789. 1) Mekkora rét területet nyír 8 óra alatt egy négy kaszából álló pótkocsival felszerelt traktor, ha minden kasza munkaszélessége 1,56 m és a traktor sebessége 4,5 km/óra? (A megállások idejét nem vesszük figyelembe.) (A választ kerekítse 0,1 hektárra.)

2) A traktoros zöldségvető munkaszélessége 2,8 m Mekkora területet lehet bevetni ezzel a vetőgéppel 8 óra alatt. 5 km/órás sebességgel dolgozni?

790. 1) Határozza meg egy három barázdás traktor eke teljesítményét 10 óra alatt. munkavégzés, ha a traktor sebessége 5 km/óra, akkor egy karosszéria tapadása 35 cm, az időveszteség pedig a teljes ráfordított idő 0,1-e volt. (A választ kerekítse 0,1 hektárra.)

2) Határozza meg egy öt barázdás traktor eke teljesítményét 6 óra alatt. munkavégzés, ha a traktor sebessége 4,5 km/óra, akkor egy karosszéria tapadása 30 cm, az időveszteség pedig a teljes ráfordított idő 0,1-e. (A választ kerekítse 0,1 hektárra.)

791. Egy személyvonat gőzmozdonyának 5 kilométerre eső vízfogyasztása 0,75 tonna A pályázat víztartálya 16,5 tonna vizet tud. Hány kilométerre lesz elegendő víz a vonat megtételéhez, ha a tartály 0,9-ig meg van töltve?

792. Az iparvágány mindössze 120, átlagosan 7,6 méteres kocsihosszú teherkocsit tud elhelyezni Hány négytengelyes, egyenként 19,2 m hosszú személykocsi fér el ezen a pályán, ha még 24 teherkocsit helyeznek el ezen a pályán?

793. A vasúti töltés szilárdságának biztosítása érdekében a rézsűk megerősítése szántóföldi fű vetésével javasolt. A töltés minden négyzetméteréhez 2,8 g vetőmag szükséges, amelynek költsége 0,25 rubel. 1 kg-ra. Mennyibe kerül 1,02 hektár lejtő elvetése, ha a munka költsége a vetőmag költségének 0,4-e? (A választ kerekítse a legközelebbi 1 rubelre.)

794. A téglagyárat az állomásra szállították vasúti téglák. A téglák szállításán 25 ló és 10 teherautó dolgozott. Minden ló 0,7 tonnát szállított utanként, és naponta 4 utat tett meg. Minden jármű 2,5 tonnát szállított utonként és 15 utat tett meg naponta. A szállítás 4 napig tartott. Hány téglát szállítottak az állomásra, ha egy tégla átlagos tömege 3,75 kg? (A választ kerekítse a legközelebbi 1 ezer egységre.)

795. A lisztalapanyagot három pékség között osztották szét: az első a teljes készletből 0,4, a második a maradékból 0,4, a harmadik pékség 1,6 tonnával kevesebb lisztet kapott, mint az első. Mennyi lisztet osztottak ki összesen?

796. Az intézet második évfolyamán 176 hallgató tanul, a harmadik évben ennek a számnak 0,875, az első évben pedig a másfélszerese. ráadásul, ami a harmadik évben volt. Az első, a második és a harmadik évfolyam hallgatóinak száma ezen intézet összes hallgatói létszámából 0,75 fő volt. Hány hallgató volt az intézetben?

797. Keresse meg a számtani átlagot:

1) két szám: 56,8 és 53,4; 705,3 és 707,5;

2) három szám: 46,5; 37,8 és 36; 0,84; 0,69 és 0,81;

3) négy szám: 5,48; 1,36; 3,24 és 2,04.

798. 1) Reggel 13,6°, délben 25,5°, este 15,2° volt a hőmérséklet. Számítsa ki ennek a napnak az átlaghőmérsékletét.

2) Mi az átlagos hőmérséklet egy hétig, ha a héten a hőmérő: 21°-ot mutatott; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?

799. 1) Az iskola csapata az első napon 4,2 hektáron, a második napon 3,9 hektáron, a harmadikon pedig 4,5 hektáron gyomlált. Határozza meg a csapat átlagos napi teljesítményét.

2) Az új alkatrész gyártásához szükséges szabványidő megállapításához 3 esztergát szállítottak. Az első 3,2, a második 3,8, a harmadik 4,1 perc alatt produkálta a részt. Számítsa ki az alkatrész gyártásához beállított időszabványt.

800. 1) Két szám számtani átlaga 36,4. Ezen számok egyike 36,8. Keress valami mást.

2) A levegő hőmérsékletét naponta háromszor mérték: reggel, délben és este. Határozza meg a levegő hőmérsékletét reggel, ha délben 28,4°, este 18,2° volt, és a napi átlaghőmérséklet 20,4°.

801. 1) Az autó az első két órában 98,5 km-t, a következő három órában 138 km-t tett meg. Hány kilométert tett meg egy átlagos autó óránként?

2) Egy éves ponty próbafogása és mérlegelése azt mutatta, hogy 10 pontyból 4 0,6 kg, 3 0,65 kg, 2 0,7 kg és 1 0,8 kg volt. Mennyi egy éves ponty átlagos súlya?

802. 1) 2 liter sziruphoz 1,05 rubel. 1 literhez 8 liter vizet adunk. Mennyibe kerül 1 liter az így kapott szirupos vízből?

2) A háziasszony 36 kopijkáért vett egy 0,5 literes dobozos borscsot. és 1,5 liter vízzel felforraljuk. Mennyibe kerül egy tányér borscs, ha a térfogata 0,5 liter?

803. Laboratóriumi munka"Két pont távolságának mérése"

1. találkozó. Mérés mérőszalaggal (mérőszalag). Az osztály három fős egységekre oszlik. Tartozékok: 5-6 rúd és 8-10 cédula.

A munka előrehaladása: 1) kijelöljük az A és B pontot, és egyenest húzunk közöttük (lásd 178. feladat); 2) fektesse le a mérőszalagot a felakasztott egyenes mentén, és minden alkalommal jelölje meg a mérőszalag végét egy címkével. 2. találkozó. Mérés, lépések. Az osztály három fős egységekre oszlik. Minden tanuló megteszi az A-tól B-ig tartó távolságot, megszámolja lépéseinek számát. Szorzás átlagos hossza lépésének lépésszáma alapján keresse meg az A és B közötti távolságot.

3. találkozó. Mérés szemmel. Minden tanuló rajzol bal kéz emeltekkel hüvelykujj(37. ábra) és irányítja hüvelykujj a póluson a B pontba (a képen egy fa), hogy a bal szem (A pont), hüvelykujj és B pont ugyanazon az egyenesen legyen. Helyzetváltoztatás nélkül csukja be a bal szemét, és a jobbjával nézzen a hüvelykujjára. Mérje meg szemmel a kapott elmozdulást, és növelje 10-szeresére. Ez a távolság A-tól B-ig.

804. 1) Az 1959-es népszámlálás szerint a Szovjetunió lakossága 208,8 millió fő volt, és vidéki lakosság 9,2 millióval többen éltek, mint a város lakossága. Hány városi és hány falusi lakos volt a Szovjetunióban 1959-ben?

2) Az 1913-as népszámlálás szerint Oroszország lakossága 159,2 millió fő volt, a városi lakosság pedig 103,0 millióval kevesebb, mint a vidéki lakosság. Mennyi volt a városi és vidéki lakosság száma Oroszországban 1913-ban?

805. 1) A huzal hossza 24,5 m Ezt a vezetéket két részre vágták úgy, hogy az első rész 6,8 m-rel hosszabb lett, mint a második. Hány méter hosszúak az egyes részek?

2) Két szám összege 100,05. Az egyik szám 97,06-tal több, mint a másik. Keresse meg ezeket a számokat.

806. 1) Három szénraktárban 8656,2 tonna szén van, a második raktárban 247,3 tonnával több, mint az elsőben, a harmadikban pedig 50,8 tonnával több, mint a másodikban. Hány tonna szén van egy-egy raktárban?

2) Három szám összege 446,73. Az első szám 73,17-tel kevesebb, mint a második, és 32,22-vel több, mint a harmadik. Keresse meg ezeket a számokat.

807. 1) A csónak a folyó mentén 14,5 km/óra sebességgel, az áramlattal szemben pedig 9,5 km/h sebességgel haladt. Mekkora a hajó sebessége álló vízés mekkora a folyó áramlási sebessége?

2) A gőzös 85,6 km-t tett meg a folyó mentén 4 óra alatt, és 46,2 km-t az árammal szemben 3 óra alatt. Mekkora a gőzhajó sebessége állóvízben és mekkora a folyó áramlási sebessége?

808. 1) Két gőzhajó 3500 tonna rakományt szállított, és az egyik gőzhajó másfélszer több rakományt szállított, mint a másik. Mennyi rakományt szállítottak az egyes hajók?

2) Két szoba területe 37,2 négyzetméter. m Az egyik szoba területe 2-szer nagyobb, mint a másik. Mekkora az egyes szobák területe?

809. 1) Két településről, amelyek távolsága 32,4 km, egy motoros és egy kerékpáros egyszerre haladt egymás felé. Hány kilométert tesz meg mindegyikük a találkozás előtt, ha a motoros sebessége 4-szeres nagyobb sebesség kerékpáros?

2) Keress két olyan számot, amelyek összege 26,35, és az egyik szám elosztásának hányadosa a másikkal 7,5.

810. 1) Az üzem háromféle rakományt küldött 19,2 tonna össztömeggel. Az első típusú rakomány tömege a második típusú rakomány tömegének háromszorosa, a harmadik típusú rakomány tömege feleannyi volt. mint az első és a második típusú rakomány súlya együttvéve. Mekkora az egyes rakományfajták tömege?

2) Három hónap alatt egy bányászcsapat 52,5 ezer tonna vasércet termelt ki. Márciusban 1,3-szor, februárban 1,2-szer többet gyártottak, mint januárban. Mennyi ércet bányászott ki a legénység havonta?

811. 1) A Szaratov-Moszkva gázvezeték 672 km-rel hosszabb, mint a Moszkva-csatorna. Határozza meg mindkét szerkezet hosszát, ha a gázvezeték hossza 6,25-ször nagyobb, mint a Moszkvai-csatorna hossza.

2) A Don folyó hossza 3,934-szer nagyobb, mint a Moszkva folyóé. Határozza meg az egyes folyók hosszát, ha a Don folyó hossza 1467 km-rel nagyobb, mint a Moszkva folyóé.

812. 1) Két szám különbsége 5,2, az egyik szám másikkal való osztásának hányadosa pedig 5. Keresse meg ezeket a számokat!

2) Két szám különbsége 0,96, hányadosuk 1,2. Keresse meg ezeket a számokat.

813. 1) Az egyik szám 0,3-mal kisebb, mint a másik, és ennek 0,75-e. Keresse meg ezeket a számokat.

2) Egy szám 3,9-el több, mint egy másik szám. Ha a kisebb számot megduplázzuk, akkor a nagyobb szám 0,5-e lesz. Keresse meg ezeket a számokat.

814. 1) A kolhoz 2600 hektár földet vetett be búzával és rozssal. Hány hektár földet vetettek be búzával és mennyit rozssal, ha a búzával bevetett terület 0,8-a a rozssal bevetett terület 0,5-ével egyenlő?

2) A két fiú gyűjteménye együtt 660 bélyeget tesz ki. Hány bélyegből áll minden fiú gyűjtemény, ha az első fiú bélyegeinek 0,5-e egyenlő a második fiú bélyegének 0,6-ával?

815. Két diák együtt 5,4 rubelt kapott. Miután az első 0,75-öt, a második 0,8-at költött el, ugyanannyi pénzük maradt. Mennyi pénze volt minden diáknak?

816. 1) Két gőzhajó indul egymás felé két kikötőből, melyek távolsága 501,9 km. Mennyi idő alatt találkoznak, ha az első hajó sebessége 25,5 km/óra, a másodiké pedig 22,3 km/óra?

2) Két vonat indul egymás felé két pontról, melyek távolsága 382,2 km. Mennyi idő alatt találkoznak, ha az első vonat átlagsebessége 52,8 km/óra, a másodiké pedig 56,4 km/óra?

817. 1) Két autó egyszerre hagyott el két várost 462 km távolságra, és 3,5 óra múlva találkozott. Határozza meg az egyes autók sebességét, ha az első sebessége 12 km-rel nagyobb volt, mint a második autóé.

2) Kettőből települések, a távolság köztük 63 km, egy motoros és egy kerékpáros egyszerre haladt egymás felé és 1,2 óra múlva találkozott. Határozza meg a motorkerékpáros sebességét, ha a kerékpáros 27,5 km/órával kisebb sebességgel haladt, mint a motoros sebessége.

818. A diák észrevette, hogy egy gőzmozdonyból és 40 kocsiból álló vonat 35 másodpercig halad el mellette. Határozza meg a vonat sebességét óránként, ha a mozdony hossza 18,5 m, a kocsi hossza 6,2 m (Adja meg a választ 1 km/óra pontossággal!)

819. 1) Egy kerékpáros 12,4 km/h átlagsebességgel A-ból B felé indult. 3 óra 15 perc után. egy másik kerékpáros B felől hajtott ki feléje 10,8 km/órás átlagsebességgel. Hány óra múlva és A-tól mekkora távolságra találkoznak, ha 0,32 A és B távolsága 76 km?

2) A és B városból, amelyek távolsága 164,7 km, egy A városból egy kamion és egy B városból egy személygépkocsi haladt egymás felé magasabb. A személyautó 1,2 órával később indult el, mint a kamion. Mennyi idő elteltével és B várostól milyen távolságra találkozik a személygépkocsi a kamionnal?

820. Két hajó ugyanabban az időben hagyta el ugyanazt a kikötőt, és ugyanabba az irányba tart. Az első gőzös 1,5 óránként 37,5 km-t, a második gőzös 2 óránként 45 km-t tesz meg. Mennyi ideig tart, amíg az első hajó 10 km-re lesz a másodiktól?

821. Először egy gyalogos hagyta el az egyik pontot, majd 1,5 órával a kilépése után egy kerékpáros ugyanabba az irányba. A ponttól milyen távolságra érte utol a kerékpáros a gyalogost, ha a gyalogos 4,25 km/órás, a kerékpáros pedig 17 km/órás sebességgel haladt?

822. A vonat 6 órakor indult Moszkvából Leningrádba. 10 perc reggel és 50 km/órás átlagsebességgel gyalogolt. Később egy utasszállító repülőgép Moszkvából Leningrádba szállt fel, és a vonat érkezésével egy időben érkezett meg Leningrádba. Átlagsebesség a gép sebessége 325 km/óra, Moszkva és Leningrád távolsága pedig 650 km volt. Mikor szállt fel a gép Moszkvából?

823. A gőzös a folyó mentén 5 órát, az áramlattal szemben pedig 3 órát utazott, és mindössze 165 km-t tett meg. Hány kilométert gyalogolt lefelé és hányat az áramlás ellen, ha a folyó áramlási sebessége 2,5 km/óra?

824. A vonat elhagyta A-t, és B-be kell érkeznie bizonyos időpontban; miután áthaladt az út felénél és 1 perc alatt 0,8 km-t tett meg, a vonatot 0,25 órára leállították; tovább növelve a sebességet 100 m-rel 1 millióan, a vonat időben megérkezett B-be. Keresse meg A és B közötti távolságot.

825. A kolhoztól a városig 23 km. Egy postás 12,5 km/órás sebességgel biciklizett a városból a kolhozba. Ezt követően 0,4 órával a kolhoz vezetősége a postás sebességének 0,6-ával megegyező sebességgel lovon belovagolt a városba. Távozása után mennyi idővel találkozik a kolhoz a postással?

826. Egy autó 32 km/órás sebességgel indult el A városból B városba, 234 km-re A-tól. 1,75 órával ezután egy második autó hagyta el B várost az első felé, amelynek sebessége 1,225-ször haladta meg az első sebességét. Hány órával indulás után találkozik a második autó az elsővel?

827. 1) Egy gépíró 1,6 óra alatt, egy másik 2,5 óra alatt tud újragépelni egy kéziratot. Mennyi ideig tart mindkét gépírónak legépelni ezt a kéziratot, együtt dolgozva? (A választ kerekítse 0,1 órára.)

2) A medence két különböző teljesítményű szivattyúval van feltöltve. Az első egyedül működő szivattyú 3,2 óra alatt, a második 4 óra alatt képes feltölteni a medencét. Mennyi ideig tart a medence feltöltése, ha ezek a szivattyúk egyidejűleg működnek? (Kerek válasz 0,1 pontossággal.)

828. 1) Egy csapat 8 napon belül teljesítheti a megrendelést. A másiknak 0,5 időre van szüksége a rendelés teljesítéséhez. A harmadik csapat 5 napon belül teljesítheti ezt a megrendelést. Hány nap alatt készül el a teljes rendelés? együtt dolgozni három brigád? (Kerek válasz 0,1 nap pontossággal.)

2) Az első dolgozó 4 óra alatt tudja teljesíteni a rendelést, a második 1,25-ször gyorsabban, a harmadik pedig 5 óra alatt. Hány órát vesz igénybe egy rendelés teljesítése egy kötéssel három munkája dolgozók? (A választ kerekítse 0,1 órára.)

829. Két autó az utca takarításán dolgozik. Az első 40 perc alatt képes kitakarítani az egész utcát, a második az első idejének 75%-át igényli. Mindkét gép egyszerre kezdett dolgozni. 0,25 órás közös munka után a második gép leállt. Mennyi idő múlva fejezte be az első gép az utcatisztítást?

830. 1) A háromszög egyik oldala 2,25 cm, a második 3,5 cm-rel nagyobb, mint az első, a harmadik pedig 1,25 cm-rel kisebb, mint a második. Keresse meg a háromszög kerületét.

2) A háromszög egyik oldala 4,5 cm, a második 1,4 cm-rel kisebb, mint az első, a harmadik oldala pedig egyenlő az első két oldal összegének felével. Miért kerületével egyenlő háromszög?

831 . 1) A háromszög alapja 4,5 cm, magassága 1,5 cm-rel kisebb. Keresse meg a háromszög területét.

2) A háromszög magassága 4,25 cm, az alapja 3-szor nagyobb. Keresse meg a háromszög területét. (Kerek válasz 0,1 pontossággal.)

832. Keresse meg az árnyékolt ábrák területét (38. ábra).

833. Melyik terület nagyobb: egy téglalap 5 cm-es és 4 cm-es oldalakkal, egy négyzet, amelynek oldalai 4,5 cm, vagy egy háromszög, amelynek alapja és magassága egyaránt 6 cm?

834. A szoba 8,5 m hosszú, 5,6 m széles és 2,75 m magas, az ablakok, ajtók, kályhák területe 0,1 teljes terület a szoba falai. Hány tapétadarabra lesz szükség ennek a helyiségnek a lefedéséhez, ha egy tapétadarab 7 m hosszú és 0,75 m széles? (A választ kerekítse 1 darabra.)

835. Egyszintes ház külső vakolása, meszelése szükséges, melynek méretei: hossza 12 m, szélessége 8 m, magassága 4,5 m. 0,75 m x 2,5 m Mennyibe kerül a teljes munka, ha a meszelés és vakolás 1 nm. m 24 kopejkába kerül? (A választ kerekítse a legközelebbi 1 rubelre.)

836. Számítsa ki a helyiség felületét és térfogatát. Méréssel találja meg a helyiség méreteit.

837. A kert téglalap alakú, melynek hossza 32 m, szélessége 10 m, a kert teljes területének 0,05 része sárgarépával, a többi rész burgonyával van beültetve. és hagymával, és 7-szer nagyobb területet ültetnek be burgonyával, mint a hagymával. Mekkora területet ültetnek be egyenként burgonyával, hagymával és sárgarépával?

838. A veteményes téglalap alakú, melynek hossza 30 m, szélessége 12 m, a veteményes teljes területéből 0,65 burgonyával, a többi sárgarépával és céklával van beültetve. és 84 négyzetméteren cékla van beültetve. m több, mint a sárgarépa. Mennyi földterület van külön-külön a burgonyának, a céklának és a sárgarépának?

839. 1) A kocka alakú dobozt minden oldalról rétegelt lemezzel bélelték ki. Mennyi rétegelt lemezt használunk, ha a kocka éle 8,2 dm? (A választ kerekítse 0,1 négyzetméterre.)

2) Mennyi festékre lesz szükség egy 28 cm élű kocka festéséhez, ha 1 négyzetméterenként. cm 0,4 g festéket használnak fel? (Válasz, kerekítve 0,1 kg-ra.)

840. Öntöttvas tuskó formájú hossza téglalap alakú paralelepipedon, egyenlő 24,5 cm, szélessége 4,2 cm és magassága 3,8 cm Mennyit nyom 200 öntöttvas nyersdarab, ha 1 köb. dm öntöttvas 7,8 kg? (Kerek válasz 1 kg pontossággal.)

841. 1) A négyszögletes paralelepipedon alakú doboz hossza (fedéllel) 62,4 cm, szélessége 40,5 cm, magassága 30 cm négyzetméter doboz készítéséhez használt deszkákból, ha a deszkahulladék 0,2-ét teszi ki annak a felületnek, amelyet deszkával kell lefedni? (A választ kerekítse 0,1 négyzetméterre.)

2) A téglalap alakú paralelepipedon alakú gödör fenekét és oldalfalait deszkákkal kell lefedni. A gödör hossza 72,5 m, szélessége 4,6 m, magassága 2,2 m Hány négyzetméternyi deszkát használtak a burkoláshoz, ha a deszkával burkolandó felület 0,2-ét a deszkahulladék teszi ki? (A választ kerekítse 1 négyzetméterre.)

842. 1) A téglalap alakú paralelepipedon alakú pince hossza 20,5 m, szélessége 0,6 m, magassága 3,2 m. Hány tonna burgonya fér el a pincében, ha 1 köbméter burgonya 1,5 tonna? (Kerek válasz 1 ezres pontossággal.)

2) A téglalap alakú paralelepipedon alakú tartály hossza 2,5 m, szélessége 0,4 m, magassága 1,4 m. Hány tonna kerozint öntünk a tartályba, ha a kerozin tömege egy térfogatban 1 köbméter? m egyenlő 0,9 t? (A választ kerekítse 0,1 tonnára.)

843. 1) Mennyi ideig tarthat a levegő megújítása egy 8,5 m hosszú, 6 m széles és 3,2 m magas helyiségben, ha ablakon keresztül 1 másodperc alatt? 0,1 köbmétert halad át. m levegő?

2) Számolja ki, mennyi idő szükséges a levegő felfrissítéséhez a szobában.

844. Az építőfalak betontömbjének méretei a következők: 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m Az üreg a blokk térfogatának 30%-át teszi ki. Hány köbméter betonra lesz szükség 100 ilyen blokk elkészítéséhez?

845. Gréder-lift (árokásó gép) 8 óra alatt. A munka 30 cm széles, 34 cm mély és 15 km hosszú árkot készít. Hány kotrót cserél ki egy ilyen gép, ha egy kotró 0,8 köbmétert tud eltávolítani? m óránként? (Az eredmény kerekítése.)

846. A négyszögletes paralelepipedon alakú szemetes 12 m hosszú és 8 m széles. Ebbe a tartályba 1,5 m magasra öntik a gabonát, hogy megtudják, mennyi a gabona súlya, vettek egy 0,5 m hosszú, 0,5 m széles és 0,4 m magas dobozt, megtöltötték gabonával és lemérték. Mennyit nyomott a szemetesben lévő gabona súlya, ha a dobozban lévő gabona súlya 80 kg?

848. 1) Az „Acélgyártás az RSFSR-ben” diagram segítségével (39. ábra). válaszolni rá a következő kérdéseket:

a) Hány millió tonnával nőtt az acéltermelés 1959-ben 1945-höz képest?

b) Hányszor volt nagyobb az acéltermelés 1959-ben, mint az 1913-as acéltermelés? (0,1-es pontossággal.)

2) A „Művelt területek az RSFSR-ben” (40. ábra) diagram segítségével válaszoljon a következő kérdésekre:

a) Hány millió hektárral nőtt a megművelt terület 1959-ben 1945-höz képest?

b) Hányszor volt nagyobb a vetésterület 1959-ben, mint az 1913-as vetésterület?

849. Készítsen lineáris diagramot a Szovjetunió városi lakosságának növekedéséről, ha 1913-ban a városi lakosság 28,1 millió fő volt, 1926-ban - 24,7 millió, 1939-ben - 56,1 millió és 1959-ben - 99, 8 millió fő.

850. 1) Készítsen becslést az osztályterme felújítására, ha a falakat és a mennyezetet meszelni, a padlót ki kell festeni. A becslés elkészítéséhez szükséges adatokat (osztálylétszám, meszelés költsége 1 nm, padlófestés költsége 1 nm) tájékozódjon az iskola gondnokától.

2) A kerti ültetéshez az iskola palántákat vásárolt: 30 db almafát 0,65 rubelért. darabonként 50 cseresznye 0,4 rubelért. darabonként 40 egres bokor 0,2 rubelért. és 100 málnabokor 0,03 rubelért. egy bokornak. Írjon számlát erről a vásárlásról a következő példa segítségével:

Már bent elemi iskola törtekkel találkoznak a tanulók. Aztán minden témában megjelennek. Ezekkel a számokkal nem lehet elfelejteni a műveleteket. Ezért minden információt tudnia kell a közönséges és tizedes törtekről. Ezek a fogalmak nem bonyolultak, a lényeg az, hogy mindent rendben megértsünk.

Miért van szükség törtekre?

A minket körülvevő világ egész tárgyakból áll. Ezért nincs szükség részvényekre. De mindennapi élet folyamatosan arra készteti az embereket, hogy tárgyak és dolgok részeivel dolgozzanak.

Például a csokoládé több darabból áll. Vegyünk egy olyan helyzetet, amikor a lapkáját tizenkét téglalap alkotja. Ha két részre osztod, akkor 6 részt kapsz. Könnyen három részre osztható. De nem lehet majd öt embernek egész számú csokiszeletet adni.

Egyébként ezek a szeletek már töredékek. További felosztásuk pedig összetettebb számok megjelenéséhez vezet.

Mi az a "töredék"?

Ez egy egység részeiből álló szám. Külsőleg úgy néz ki, mint két szám, amelyeket vízszintes vagy perjel választ el. Ezt a tulajdonságot törtnek nevezzük. A felül (balra) írt számot számlálónak nevezzük. Ami alul (jobbra) van, az a nevező.

Lényegében tizedespont osztódási jelnek bizonyul. Vagyis a számlálót osztaléknak, a nevezőt pedig osztónak nevezhetjük.

Milyen törtek vannak?

A matematikában csak két típus létezik: a közönséges és a tizedes törtek. Az iskolások először találkoznak általános iskola, egyszerűen "törteknek" nevezik őket. Ez utóbbit az 5. osztályban tanuljuk meg. Ekkor jelennek meg ezek a nevek.

Közös törtek mindazok, amelyek két számmal vannak felírva, amelyeket egy sor választ el. Például 4/7. A tizedes olyan szám, amelyben a törtrész helymegjelöléssel rendelkezik, és vesszővel van elválasztva az egész számtól. Például a 4.7. A tanulóknak világosan meg kell érteniük, hogy a két példa teljesen eltérő szám.

Minden egyszerű tört decimális formában írható. Ez az állítás szinte mindig igaz fordított irány. Vannak szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy egy tizedes törtet közönséges törtként írjon le.

Milyen altípusai vannak az ilyen típusú törteknek?

Jobb beindulni kronológiai sorrendben, mivel tanulmányozzák őket. A közönséges törtek az elsők. Közülük 5 alfajt lehet megkülönböztetni.

Helyes. A számlálója mindig kisebb, mint a nevezője.

Rossz. A számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezőjével.

Csökkenthető/nem csökkenthető. Kiderülhet, hogy helyes vagy helytelen. Egy másik fontos dolog, hogy a számlálónak és a nevezőnek van-e közös tényezője. Ha vannak, akkor a tört mindkét részét el kell osztani velük, azaz csökkenteni kell.

Vegyes. Egy egész szám hozzá van rendelve a szokásos szabályos (szabálytalan) törtrészéhez. Ráadásul mindig a bal oldalon van.

Összetett. Két, egymással elosztott frakcióból áll. Vagyis három törtsort tartalmaz egyszerre.

A tizedes törteknek csak két altípusa van:

véges, vagyis olyan, amelynek tört része korlátozott (vége van);

végtelen - olyan szám, amelynek a tizedesvessző utáni számjegyei nem érnek véget (végtelenül írhatók).

Hogyan lehet egy tizedes törtet közönséges törtté alakítani?

Ha ez véges szám, akkor a szabály alapján asszociációt alkalmazunk - ahogy hallom, így írom. Vagyis helyesen kell elolvasni és le kell írni, de vessző nélkül, de törtsávval.

A szükséges nevezőre vonatkozó tippként ne feledje, hogy az mindig egy és több nulla. Ez utóbbiból annyit kell beírni, ahány számjegy van a szóban forgó szám törtrészében.

Hogyan alakítsuk át a tizedes törteket közönséges törtekké, ha hiányzik az egész részük, azaz egyenlő nullával? Például 0,9 vagy 0,05. A megadott szabály alkalmazása után kiderül, hogy nulla egész számot kell írnia. De nincs feltüntetve. Már csak a törtrészeket kell leírni. Az első szám nevezője 10, a másodiké 100. Vagyis a megadott példákban a következő számok lesznek válaszként: 9/10, 5/100. Sőt, kiderül, hogy ez utóbbi 5-tel csökkenthető. Ezért az eredményt 1/20-ban kell írni.

Hogyan alakíthatunk át egy tizedes törtet közönséges törtté, ha annak egész része eltér nullától? Például 5,23 vagy 13,00108. Mindkét példában a teljes rész beolvasásra kerül, és az értékét felírjuk. Az első esetben 5, a másodikban 13. Ezután át kell lépni a tört részre. Ugyanezt a műveletet velük is el kell végezni. Az első szám 23/100, a második 108/100000. A második értéket ismét csökkenteni kell. A válasz így néz ki vegyes frakciók: 5 23/100 és 13 27/25000.

Hogyan alakíthatunk át egy végtelen tizedes törtet közönséges törtté?

Ha nem időszakos, akkor ilyen művelet nem lehetséges. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy minden tizedes tört mindig véges vagy periodikus törtté alakul.

Az egyetlen dolog, amit egy ilyen törttel megtehetsz, az a kerekítés. De akkor a tizedesjegy megközelítőleg egyenlő lesz ezzel a végtelennel. Már közönségessé is alakítható. De fordított folyamat: a decimálisra konvertálás soha nem adja meg a kezdeti értéket. Vagyis a végtelen nem periódusos törteket nem alakítjuk át közönséges törtekké. Ezt emlékezni kell.

Hogyan írjunk fel egy végtelen periodikus törtet közönséges törtként?

Ezekben a számokban mindig van egy vagy több számjegy a tizedesvessző után, amelyek ismétlődnek. Ezeket periódusnak nevezik. Például 0,3(3). Itt a "3" a periódusban van. Racionálisnak minősülnek, mert közönséges törtekké alakíthatók.

Azok, akik találkoztak periodikus törtekkel, tudják, hogy lehetnek tiszták vagy kevertek. Az első esetben a pont közvetlenül a vesszőtől kezdődik. A másodikban a tört rész néhány számmal kezdődik, majd kezdődik az ismétlés.

Az a szabály, amellyel végtelen tizedesjegyet kell közönséges törtként írni, eltérő lesz a két jelzett számtípus esetében. Meglehetősen könnyű a tiszta periodikus törteket közönséges törtként írni. A végesekhez hasonlóan ezeket is át kell alakítani: a számlálóba írjuk be a pontot, és a nevező a 9-es szám lesz, annyiszor ismételve, ahány számjegyet tartalmaz a periódus.

Például 0,(5). A számnak nincs egész része, ezért azonnal a tört résszel kell kezdeni. Írj 5-öt számlálónak és 9-et nevezőnek, vagyis a válasz az 5/9-es tört lesz.

Az a szabály, hogy hogyan kell felírni egy vegyes tizedes tört.

Nézd meg az időszak hosszát. Ennyi 9-es lesz a nevező.

Írd le a nevezőt: először kilenc, majd nulla.

A számláló meghatározásához fel kell írni két szám különbségét. A tizedesvessző utáni összes szám kicsinyítve lesz, a ponttal együtt. Önrész – időszak nélküli.

Például 0,5(8) - írja be a periodikus tizedes törtet közönséges törtként. A pont előtti tört rész egy számjegyet tartalmaz. Tehát egy nulla lesz. A periódusban is csak egy szám van - 8. Vagyis csak egy kilenc van. Vagyis a nevezőbe 90-et kell írni.

A számláló meghatározásához 58-ból ki kell vonni az 5-öt. Kiderül, hogy 53. Például a választ 53/90-ként kell beírni.

Hogyan konvertálják a törteket tizedesjegyekké?

A legegyszerűbb lehetőség egy olyan szám, amelynek nevezője a 10, 100 stb. Ezután a nevezőt egyszerűen el kell vetni, és a tört és a között egész részenként vesszőt adunk hozzá.

Vannak helyzetek, amikor a nevező könnyen 10-re, 100-ra stb. változik. Például az 5, 20, 25 számok. Elég megszorozni őket 2-vel, 5-tel és 4-gyel. Csak nem csak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szoroznia ugyanazzal a számmal.

Minden más esetben hasznos egy egyszerű szabály: osszuk el a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben két lehetséges választ kaphat: egy véges vagy egy periodikus tizedes tört.

Műveletek közönséges törtekkel

Összeadás és kivonás

A tanulók korábban ismerkednek meg velük, mint mások. És először a törtekre ugyanazok a nevezők, majd más. Általános szabályok olyan tervre redukálható.

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét!

Írd le további szorzók minden közönséges törtre.

Szorozzuk meg a számlálókat és a nevezőket a rájuk megadott tényezőkkel!

Adja össze (vonja ki) a törtek számlálóit, és hagyja változatlanul a közös nevezőt.

Ha a minuend számlálója kisebb, mint a részfej, akkor meg kell találnunk, hogy vegyes számunk van, vagy megfelelő tört.

Az első esetben kölcsön kell venni egyet az egész részből. Adja hozzá a nevezőt a tört számlálójához. És akkor végezze el a kivonást.

A másodikban azt a szabályt kell alkalmazni, hogy kisebb számból nagyobb számot vonjunk ki. Vagyis a részfej moduljából vonja ki a minuend modulját, és válaszul tegyen egy „-” jelet.

Figyelmesen nézze meg az összeadás (kivonás) eredményét. Ha nem megfelelő törtet kap, akkor ki kell választania az egész részt. Vagyis ossza el a számlálót a nevezővel.

Szorzás és osztás

Elvégzésükhöz nem kell a törteket redukálni közös nevező. Ez megkönnyíti a műveletek végrehajtását. De továbbra is megkövetelik a szabályok betartását.

A törtek szorzásakor meg kell nézni a számokat a számlálókban és a nevezőkben. Ha bármely számláló és nevező rendelkezik közös szorzó, akkor csökkenthetők.

Szorozzuk meg a számlálókat.

Szorozzuk meg a nevezőket.

Ha az eredmény egy redukálható tört, akkor újra egyszerűsíteni kell.

Osztáskor először az osztást szorzással kell helyettesíteni, az osztót (második tört) pedig a reciprok törttel (felcserélni a számlálót és a nevezőt).

Ezután járjon el ugyanúgy, mint a szorzásnál (az 1. ponttól kezdve).

Azokban a feladatokban, ahol egész számmal kell szorozni (osztani), az utóbbit helytelen törtként kell írni. Azaz 1-es nevezővel. Ezután járjon el a fent leírtak szerint.



Műveletek tizedesjegyekkel

Összeadás és kivonás

Természetesen a tizedesjegyeket mindig törtté alakíthatja. És a már leírt terv szerint járjon el. De néha kényelmesebb e fordítás nélkül cselekedni. Ekkor az összeadás és a kivonás szabályai pontosan ugyanazok lesznek.

Egyenlítse ki a számjegyek számát a szám törtrészében, azaz a tizedesvessző után. Adja hozzá a hiányzó nullák számát.

Írd le a törteket úgy, hogy a vessző a vessző alatt legyen!

Összeadás (kivonás), mint a természetes számok.

Távolítsa el a vesszőt.

Szorzás és osztás

Fontos, hogy itt ne kelljen nullákat hozzáadni. A törteket a példában megadott módon kell hagyni. És akkor menjen a terv szerint.

A szorzáshoz a törteket egymás alá kell írni, figyelmen kívül hagyva a vesszőket.

Szorozzuk meg, mint a természetes számokat.

Tegyen vesszőt a válaszba, és a válasz jobb végétől számoljon annyi számjegyet, amennyi mindkét tényező törtrészében van.

Az osztáshoz először át kell alakítani az osztót: készítsük el természetes szám. Vagyis szorozzuk meg 10-zel, 100-zal stb., attól függően, hogy hány számjegy van az osztó tört részében.

Szorozzuk meg az osztalékot ugyanennyivel.

Oszd el a tizedes törtet egy természetes számmal.

Tegyél vesszőt a válaszodba abban a pillanatban, amikor az egész rész felosztása véget ér.



Mi van, ha az egyik példa mindkét típusú törtet tartalmazza?

Igen, a matematikában gyakran vannak olyan példák, amelyekben közönséges és tizedes törtekkel kell műveleteket végrehajtani. Az ilyen feladatokban két megoldás lehetséges. Objektíven kell mérlegelnie a számokat, és ki kell választania az optimálisat.

Első mód: a közönséges tizedesjegyek ábrázolása

Alkalmas, ha felosztáskor vagy fordításkor kapsz végső frakciók. Ha legalább egy szám periodikus részt ad, akkor ez a technika tilos. Ezért, még ha nem is szeret közönséges törtekkel dolgozni, meg kell számolnia őket.

Második módszer: írja be a tizedes törteket közönségesnek

Ez a technika akkor bizonyul kényelmesnek, ha a tizedesvessző utáni rész 1-2 számjegyet tartalmaz. Ha több van belőlük, akkor igen nagy közönséges frakciót kaphat és decimális jelölések lehetővé teszi a feladat gyorsabb és egyszerűbb kiszámítását. Ezért mindig józanul kell értékelnie a feladatot, és a legegyszerűbb megoldási módot kell választania.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete