Cilat janë numrat irracionalë? Çfarë janë numrat racionalë dhe irracionalë

Matematikanët e lashtë dinin tashmë për një segment të gjatësisë së njësisë: ata dinin, për shembull, pamatshmërinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është ekuivalente me irracionalitetin e numrit.

Irracionale janë:

Shembuj të vërtetimit të irracionalitetit

Rrënja e 2

Le të supozojmë të kundërtën: racionale, domethënë e përfaqësuar në formë fraksion i pareduktueshëm, ku dhe janë numra të plotë. Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Nga kjo rrjedh se edhe është çift dhe . Le të jetë aty ku është e tëra. Pastaj

Prandaj, edhe do të thotë edhe dhe . Ne gjetëm se dhe janë çift, gjë që bie ndesh me pakësueshmërinë e thyesës . Kjo do të thotë se supozimi fillestar ishte i pasaktë dhe është një numër irracional.

Logaritmi binar i numrit 3

Le të supozojmë të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë. Që , dhe mund të zgjidhet të jetë pozitiv. Pastaj

Por çift dhe tek. Kemi një kontradiktë.

e

Histori

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, kur Manava (rreth 750 para Krishtit - rreth 690 para Krishtit) kuptoi se rrënjë katrore Disa numra natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shprehen në mënyrë eksplicite.

Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë zakonisht i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (rreth 500 para Krishtit), një pitagorian që e gjeti këtë provë duke studiuar gjatësitë e anëve të pentagramit. Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekzistonte një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila hynte në çdo segment një numër të plotë herë. Sidoqoftë, Hippasus argumentoi se nuk ka asnjë njësi të vetme të gjatësisë, pasi supozimi i ekzistencës së tij çon në një kontradiktë. Ai tregoi se nëse hipotenuza e një izosceles trekëndësh kënddrejtë përmban një numër të plotë të segmenteve njësi, atëherë ky numër duhet të jetë çift dhe tek. Prova dukej kështu:

• Raporti i gjatësisë së hipotenuzës me gjatësinë e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të shprehet si a:b, Ku a Dhe b zgjidhet si më i vogli i mundshëm.
• Sipas teoremës së Pitagorës: a² = 2 b².
• Sepse a- madje, a duhet të jetë çift (pasi katrori i një numri tek do të ishte tek).
• Sepse a:b e pareduktueshme b duhet të jetë i çuditshëm.
• Sepse a madje, shënojmë a = 2y.
• Pastaj a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², pra b- edhe atëherë b madje.
• Megjithatë, është vërtetuar se b i çuditshëm. Kontradikta.

Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashprehur), por sipas legjendave ata nuk i kushtuan respektin e duhur Hipasusit. Ekziston një legjendë që Hipasus bëri një zbulim ndërsa ishte në udhëtim detar, dhe u hodh në det nga Pitagorianët e tjerë "për krijimin e një elementi të universit që mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe në raportet e tyre". Zbulimi i Hipasusit sfidoi matematikën e Pitagorës problem serioz, duke shkatërruar supozimin themelor të të gjithë teorisë se numrat dhe objektet gjeometrike janë një dhe të pandashëm.

Shiko gjithashtu

Shënime

Matematikanët e lashtë dinin tashmë për një segment të gjatësisë së njësisë: ata dinin, për shembull, pamatshmërinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është ekuivalente me irracionalitetin e numrit.

Irracionale janë:

Shembuj të vërtetimit të irracionalitetit

Rrënja e 2

Le të supozojmë të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet në formën e një thyese të pareduktueshme, ku dhe janë numra të plotë. Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Nga kjo rrjedh se edhe është çift dhe . Le të jetë aty ku është e tëra. Pastaj

Prandaj, edhe do të thotë edhe dhe . Ne gjetëm se dhe janë çift, gjë që bie ndesh me pakësueshmërinë e thyesës . Kjo do të thotë se supozimi fillestar ishte i pasaktë dhe është një numër irracional.

Logaritmi binar i numrit 3

Le të supozojmë të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë. Që , dhe mund të zgjidhet të jetë pozitiv. Pastaj

Por çift dhe tek. Kemi një kontradiktë.

e

Histori

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, kur Manava (rreth 750 p.e.s. - rreth 690 p.e.s.) kuptoi se rrënjët katrore të disa numrave natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shprehen në mënyrë eksplicite. .

Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë zakonisht i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (rreth 500 para Krishtit), një pitagorian që e gjeti këtë provë duke studiuar gjatësitë e anëve të pentagramit. Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekzistonte një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila hynte në çdo segment një numër të plotë herë. Sidoqoftë, Hippasus argumentoi se nuk ka asnjë njësi të vetme të gjatësisë, pasi supozimi i ekzistencës së tij çon në një kontradiktë. Ai tregoi se nëse hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë izoscelular përmban një numër të plotë segmentesh njësi, atëherë ky numër duhet të jetë edhe çift edhe tek. Prova dukej kështu:

• Raporti i gjatësisë së hipotenuzës me gjatësinë e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të shprehet si a:b, Ku a Dhe b zgjidhet si më i vogli i mundshëm.
• Sipas teoremës së Pitagorës: a² = 2 b².
• Sepse a- madje, a duhet të jetë çift (pasi katrori i një numri tek do të ishte tek).
• Sepse a:b e pareduktueshme b duhet të jetë i çuditshëm.
• Sepse a madje, shënojmë a = 2y.
• Pastaj a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², pra b- edhe atëherë b madje.
• Megjithatë, është vërtetuar se b i çuditshëm. Kontradikta.

Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashprehur), por sipas legjendave ata nuk i kushtuan respektin e duhur Hipasusit. Ekziston një legjendë që Hipasus e bëri zbulimin gjatë një udhëtimi në det dhe u hodh në det nga pitagorianë të tjerë "për shkak të krijimit të një elementi të universit që mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe raportet e tyre". Zbulimi i Hipasusit shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimin themelor se numrat dhe objektet gjeometrike ishin një dhe të pandashëm.

Shiko gjithashtu

Shënime

Numrat e plotë

Përkufizimi i numrave natyrorë janë numra të plotë pozitivë. Numrat natyrorë përdoren për të numëruar objekte dhe për shumë qëllime të tjera. Këto janë numrat:

Kjo është një seri natyrore numrash.
A është zero një numër natyror? Jo, zero nuk është një numër natyror.
Sa numra natyrorë ka? ekziston grup i pafund numrat natyrorë.
Cili është numri natyror më i vogël? Njëri është numri natyror më i vogël.
Cili është numri natyror më i madh? Është e pamundur të specifikohet, sepse ka një numër të pafund numrash natyrorë.

Shuma e numrave natyrorë është një numër natyror. Pra, duke mbledhur numrat natyrorë a dhe b:

Prodhimi i numrave natyrorë është një numër natyror. Pra, prodhimi i numrave natyrorë a dhe b:

c është gjithmonë një numër natyror.

Diferenca e numrave natyrorë Nuk ka gjithmonë një numër natyror. Nëse minuend është më i madh se nëntrupi, atëherë ndryshimi i numrave natyrorë është një numër natyror, përndryshe nuk është.

Herësi i numrave natyrorë nuk është gjithmonë numër natyror. Nëse për numrat natyrorë a dhe b

ku c është një numër natyror, kjo do të thotë se a është i pjesëtueshëm me b. Në këtë shembull, a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi.

Pjesëtuesi i një numri natyror është një numër natyror që pjesëtohet me numrin e parë.

Çdo numër natyror është i pjesëtueshëm me një dhe me vetveten.

E thjeshtë numra të plotë janë të pjestueshme vetëm me një dhe me veten e tyre. Këtu nënkuptojmë të ndarë tërësisht. Shembull, numrat 2; 3; 5; 7 është i pjesëtueshëm vetëm me një dhe me vetveten. Këta janë numra të thjeshtë natyrorë.

Njëri nuk konsiderohet numër i thjeshtë.

Numrat që me shume se nje dhe që nuk janë të thjeshta quhen të përbëra. Shembuj numrat e përbërë:

Njëri nuk konsiderohet numër i përbërë.

Bashkësia e numrave natyrorë është një, numrat e thjeshtë dhe numrat e përbërë.

Shënohet bashkësia e numrave natyrorë shkronja latine N.

Vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë:

vetia komutative e mbledhjes

veti asociative shtesë

(a + b) + c = a + (b + c);

veti komutative e shumëzimit

veti shoqëruese e shumëzimit

(ab)c = a(bc);

pronë distributive shumëzimi

A (b + c) = ab + ac;

Numrat e plotë

Numrat e plotë janë numrat natyrorë, zero dhe të kundërtat e numrave natyrorë.

Numrat përballë numrave natyrorë janë numra të plotë numra negativ, Për shembull:

1; -2; -3; -4;...

Bashkësia e numrave të plotë shënohet me shkronjën latine Z.

Numrat racionalë

Numrat racional janë numra të plotë dhe thyesa.

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë periodike. Shembuj:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Nga shembujt është e qartë se çdo numër i plotë është fraksion periodik me periudhën zero.

Çdo numër racional mund të paraqitet si thyesë m/n, ku m numër i plotë,n numri natyror. Le të imagjinojmë numrin 3, (6) nga shembulli i mëparshëm si një fraksion i tillë.

Përkufizimi i një numri irracional

Numrat irracionalë janë ata numra që shënim dhjetor përfaqësojnë thyesa dhjetore të pafundme jo periodike.

Kështu, për shembull, numrat e fituar duke marrë rrënjën katrore të numrave natyrorë janë irracionalë dhe nuk janë katrorë të numrave natyrorë. Por jo të gjithë numrat irracionalë fitohen duke marrë rrënjë katrore, sepse numri pi i marrë me pjesëtim është gjithashtu irracional dhe nuk ka gjasa që ta merrni duke u përpjekur të nxirrni rrënjën katrore të një numri natyror.

Vetitë e numrave irracionalë

Ndryshe nga numrat e shkruar si dhjetore të pafundme, vetëm numrat irracionalë shkruhen si dhjetore të pafundme jo periodike.
Shuma e dy numrave irracionalë jonegativë mund të jetë përfundimisht numër racional.
Numrat irracionalë përcaktojnë seksionet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë, në klasën e ulët të cilët nuk kanë numer i madh, dhe në pjesën e sipërme nuk ka më pak.
Çdo e vërtetë numër transcendentalështë irracionale.
Të gjithë numrat irracionalë janë ose algjebrikë ose transcendentalë.
Bashkësia e numrave irracionalë në një rresht është e vendosur në mënyrë të dendur, dhe midis çdo dy prej numrave të saj sigurisht që do të ketë një numër irracional.
Bashkësia e numrave irracionalë është e pafundme, e panumërueshme dhe është një bashkësi e kategorisë së dytë.
Kur kryeni ndonjë veprim aritmetik mbi numrat racionalë, përveç pjesëtimit me 0, rezultati do të jetë një numër racional.
Kur i shtojmë një numër racional një numri irracional, rezultati është gjithmonë një numër irracional.
Kur mbledhim numra irracionalë, mund të përfundojmë me një numër racional.
Bashkësia e numrave irracionalë nuk është çift.

Numrat nuk janë irracionalë

Ndonjëherë është mjaft e vështirë t'i përgjigjesh pyetjes nëse një numër është irracional, veçanërisht në rastet kur numri ka formën dhjetore ose në formë shprehje numerike, rrënja ose logaritmi.

Prandaj, nuk do të jetë e tepërt të dimë se cilët numra nuk janë iracionalë. Nëse ndjekim përkufizimin e numrave irracionalë, atëherë tashmë e dimë se numrat racionalë nuk mund të jenë iracionalë.

Numrat irracionalë nuk janë:

Së pari, të gjithë numrat natyrorë;
Së dyti, numrat e plotë;
Së treti, thyesat e zakonshme;
Së katërti, ndryshe numra të përzier;
Së pesti, këto janë thyesa dhjetore periodike të pafundme.

Përveç të gjitha sa më sipër, një numër irracional nuk mund të jetë çdo kombinim i numrave racionalë që kryhet nga shenjat e veprimeve aritmetike, si +, -, , :, pasi në këtë rast rezultati i dy numrave racional do të jetë gjithashtu. një numër racional.

Tani le të shohim se cilët numra janë irracionalë:

A dini për ekzistencën e një klubi tifozësh ku tifozët e këtij fenomeni misterioz matematikor kërkojnë gjithnjë e më shumë informacion për Pi, duke u përpjekur të zbulojnë misterin e tij? Anëtar i këtij klubi mund të bëhet çdo person që njeh përmendësh një numër të caktuar numrash Pi pas presjes dhjetore;

A e dini se në Gjermani, nën mbrojtjen e UNESCO-s, ndodhet pallati Castadel Monte, falë përmasave të të cilit mund të llogaritni Pi. Mbreti Frederiku II i kushtoi të gjithë pallatin këtij numri.

Rezulton se ata u përpoqën të përdorin numrin Pi gjatë ndërtimit Kulla e Babelit. Por për fat të keq, kjo çoi në kolapsin e projektit, pasi në atë kohë llogaritja e saktë e vlerës së Pi nuk ishte studiuar mjaftueshëm.

Këngëtarja Kate Bush në diskun e saj të ri regjistroi një këngë të quajtur "Pi", në të cilën njëqind e njëzet e katër numra nga të famshmit seri numrash 3, 141…..

Ne kemi treguar më parë se $1\frac25$ është afër $\sqrt2$. Nëse do të ishte saktësisht e barabartë me $\sqrt2$, . Atëherë raporti është $\frac(1\frac25)(1)$, i cili mund të shndërrohet në një raport të plotë $\frac75$ duke shumëzuar pjesën e sipërme dhe të poshtme të fraksionit me 5, dhe do të ishte vlera e dëshiruar.

Por, për fat të keq, $1\frac25$ nuk është vlera e saktë e $\sqrt2$. Një përgjigje më e saktë, $1\frac(41)(100)$, na jep relacionin $\frac(141)(100)$. Ne arrijmë saktësi edhe më të madhe kur barazojmë $\sqrt2$ me $1\frac(207)(500)$. Në këtë rast, raporti në numra të plotë do të jetë i barabartë me $\frac(707)(500)$. Por $1\frac(207)(500)$ nuk është vlera e saktë e rrënjës katrore të 2. Matematikanët grekë shpenzuan shumë kohë dhe përpjekje për të llogaritur vlerën e saktë$\sqrt2$, por nuk ia dolën kurrë. Ata nuk ishin në gjendje të përfaqësonin raportin $\frac(\sqrt2)(1)$ si një raport të numrave të plotë.

Më në fund, matematikani i madh grek Euklidi vërtetoi se sado të rritet saktësia e llogaritjeve, është e pamundur të merret vlera e saktë e $\sqrt2$. Nuk ka asnjë thyesë që kur të vendoset në katror do të rezultojë në 2. Ata thonë se Pitagora ishte i pari që doli në këtë përfundim, por kjo fakt i pashpjegueshëm Shkencëtari u mahnit aq shumë sa u betua dhe u betua nga studentët e tij për ta mbajtur sekret këtë zbulim. Megjithatë, ky informacion mund të mos jetë i vërtetë.

Por nëse numri $\frac(\sqrt2)(1)$ nuk mund të përfaqësohet si një raport i numrave të plotë, atëherë asnjë numër që përmban $\sqrt2$, për shembull $\frac(\sqrt2)(2)$ ose $\frac (4)(\sqrt2)$ gjithashtu nuk mund të përfaqësohet si një raport i numrave të plotë, pasi të gjitha fraksionet e tilla mund të konvertohen në $\frac(\sqrt2)(1)$ shumëzuar me një numër. Pra, $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Ose $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, e cila mund të konvertohet duke shumëzuar pjesën e sipërme dhe të poshtme me $\sqrt2$ për të marrë $\frac(4) (\sqrt2)$. (Duhet të kujtojmë se pavarësisht se cili është numri $\sqrt2$, nëse e shumëzojmë me $\sqrt2$, marrim 2.)

Meqenëse numri $\sqrt2$ nuk mund të përfaqësohet si një raport i numrave të plotë, ai quhet numër irracional. Nga ana tjetër, thirren të gjithë numrat që mund të paraqiten si një raport i numrave të plotë racionale.

Të gjithë numrat e plotë dhe numrat thyesorë, si pozitive ashtu edhe negative.

Siç rezulton, shumica e rrënjëve katrorë janë numra irracionalë. Vetëm numrat në një seri kanë rrënjë katrore racionale numra katrorë. Këta numra quhen edhe katrorë të përsosur. Numrat racional janë gjithashtu thyesa të bëra nga këta katrorë të përsosur. Për shembull, $\sqrt(1\frac79)$ është një numër racional pasi $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ ose $1\frac13$ (4 është rrënja rrënja katrore e 16, dhe 3 është rrënja katrore e 9).