Fraktál elemek. Fraktálok

Magyarország a világ egyik legmisztikusabb országa. Itt is, akárcsak a szomszédos Romániában, nagyon erős a vámpírokba vetett hit. Sőt, Magyarországon számos legenda kötődik az egyik leggonoszabb vámpírtípus - a nosferatu - képviselőihez. A legenda szerint a nosferatu törvénytelen szülők törvénytelen gyermekeivé válnak.

De úgy tűnik, a magyarok a boszorkányokat még a vámpíroknál is jobban tisztelik.

Budapest egyik fő látványossága a Gellért-hegy, amelyet a szent vértanúról neveztek el. A legenda szerint Christian Gellért pogány magyarok szögekkel tűzdelt hordóba helyezték, és éppen erről a hegyről dobták le. De a Gellért-hegyet jobban ismerik „Boszorkány-hegyként”. Úgy tartják, hogy Walpurgis éjszakáján (május 1.) a boszorkányok ide özönlenek szombatjukra.

A Szent Gellért emlékmű mellett pedig az Erzsbet-híd áll, amelyet a magyarok a testben élő boszorkányról - Báthory Erszbet grófnőről neveztek el. Úgy gondolják, hogy azok az okok, amelyek miatt véres dühvé vált, gyermekkorában rejlenek. A magyarországi Báthory család nemességével, gazdagságával, harctéri bátorságával és arroganciájával tűnt ki. A 16. században a család két ágra szakadt. Az egyik Eched vezetéknevet viselő ág képviselői a hegyvidéki Szlovákiában, a másik Somljo vezetéknevű ág képviselői Erdélyben telepedtek le. Saját kizárólagosságuk túlzott érzése miatt mindkét ág Báthory méltóságán alulinak tartotta, hogy más nemesekkel, és ennek eredményeként házas rokonaival társuljon. Az ilyen beltenyésztés olyan betegségeket váltott ki fajtájuk képviselőinél, mint az epilepszia és az őrület. Báthory Györd az Eched családból és Báthory Anna a Chomillo családból, akik férjhez mentek, lánynak született Erzbet (Erzsébet), akit gyermekkorától fogva betegség és kiegyensúlyozatlan psziché jellemez, ami fékezhetetlen dühkitörésekben nyilvánult meg. rész.

Bár a Báthoriak gazdagok és hatalmasok voltak, benn éltek kegyetlen időés ők maguk is kitűntek a kegyetlenséggel. Például, amikor Erzbet még kicsi volt, a nagynénje megölte két férjét, majd maga is áldozat lett. Egy egész török ​​különítmény megerőszakolta, majd meghalt.

Erzbet már gyerekkorában eljegyezte Nadadsy Ferenccel, egy jómódú gróf fiával. És amikor felnőtt, összeházasodtak vele. De családi életük főleg távolról zajlott. Ferenc folyamatosan különféle hadjáratokon volt, majd lázba halt. A magára hagyott Erzbet unalmából szeretőt vett, de idővel kiábrándult a férfiakból, és inkább nőkkel elégítette ki szexuális vágyait. Az egyik szexuális partnere még a saját nagynénje is volt. De a grófnő fő elfoglaltsága a szépségének gondozása volt. Gyerekkora óta mindenki azt mondta neki, hogy rendkívül szép, és magasztalta fehér bőrét, nagy fekete szemét és hosszú haját. Az első ránc igazi tragédia volt Erzbet számára.

Az egyik változat szerint Báthory véletlenül találta ki a vérrel való fiatalítás receptjét. Turoczy magyar történész így beszélt erről:

„Egy nap az egyik szobalány úrnője fejének fésülködése közben bűnös volt valamiben, és tévedéséért olyan erős pofont kapott, hogy vér fröccsent az úrnő arcába. Amikor a grófnő letörölte a vért az arcáról, úgy tűnt neki, hogy ezen a helyen a bőr sokkal szebb, fehérebb és vékonyabb lett. Azonnal úgy döntött, hogy arcát és egész testét emberi vérrel mossa meg, hogy szépsége és vonzereje nőjön.”

Egy másik verzió azonban megbízhatóbbnak tűnik: az örök fiatalság titkát keresve úgy döntött, hogy segítséget kér Darvula varázslónőtől, akit az ő parancsára a kastélyába vittek. Báthory gyermekkora óta a boszorkányságról, a fekete mágiáról és a hatalomról beszélő légkörben nőtt fel gonosz szellemek. A fekete mágiáról szóló könyveket olvasott, és hitt az ott leírt rituálék erejében. Férjének még életében írt leveleiben is azt ajánlotta Nadadsy Ferencnek, hogy ne fegyverrel, hanem mágikus erővel bánjon az ellenségekkel:

„Fogj egy fekete csirkét, és verd agyon egy fehér náddal. Vegyünk egy kis vért, és kenjük be az ellenségünket. Ha nem tudod bekenni vele a testét, vedd elő az egyik ruháját, és kend be."

De mivel maga Báthory nem használt mágikus technikákat, hogy örökké fiatal legyen, idővel úgy döntött, hogy szüksége van egy boszorkányságban tapasztalt személyre, aki segít neki kitalálni, hogyan alkalmazza a mágikus elméletet a gyakorlatban. És Dervula ilyen emberré vált számára. Igaz, a varázslónő nem talált ki semmi különösebben kifinomultat. A receptje egyszerű volt, de kegyetlen. Azt mondta a grófnőnek, hogy fiatalságának megőrzéséhez szüzek vérében kell fürödnie. Erzbet számára a szépség volt mindenek felett, és ehhez a recepthez folyamodott. Az ő parancsára a környező falvakból szegény szüzeket kezdtek hozni a kastélyba, akiket megöltek, és vérükkel fürdőt töltöttek a grófnőnek.

Erzbet fő asszisztense a két szobalánya, Ilona Yo és Dorka, valamint a púpos Fitzko volt, aki az egész világot utálta, amiért gúnyolódott. Fokozatosan a grófnő egyre vérszomjasabb lett, nemcsak maga kezdte gyilkolni a lányokat, hanem különösen kifinomult kegyetlenséggel tette, hosszan kínozta, kínozta őket a halál előtt. A lányokat például egyenként kényszerítették egy keskeny, fémrudakkal felszerelt ketrecbe, hogy átszúrják az áldozatot. A ketrec fel volt függesztve a mennyezetre, és a lent ülő Báthory élvezte a felülről ömlő vér látványát. Előfordult, hogy őrületbe esett, saját kezűleg kínozni kezdte az áldozatot, ollóval megvágta a testét, ostorral csapkodta, sebeit pedig forró vasrudakkal cauterizálta.

A vérfürdő azonban nem lett csodaszer az öregség ellen, Erzbet egyre több jelét fedezte fel a halványuló szépségnek. Egyre haragudott Darvulyára, és félelemből kifogást talált magának, mondván, a recept helyes, csak nem szűz közemberek, hanem nemesasszonyok vére kell hozzá. Dorka és Ilona elszegényedett nemesi családokból húsz leánygyermeket találtak, és sikerült rávenniük szüleiket, hogy küldjék a lányokat Báthory grófné kastélyába, ahol jólétben élhetnek, és talán jó párra találhatnak. Néhány napon belül a húsz lány közül senki sem élt. De a vérük sem vált varázslatossá. Mivel nem találta a megfiatalodás jeleit, Báthory rettenetesen dühös lett. Darvulya varázslónő, aki csak azt képzelte, milyen kínoknak árulhatja el őt a dühös grófnő, meghalt a félelemtől.

Egy pap, akinek sokáig kellett végeznie az áldozatok temetését véres grófnő, végül legyőzte tőle való félelmét, és levelet írt atrocitásairól rokonának, Thurzó Györgynek. Thurzónak és Erzbetnek nézeteltérései voltak a családi örökség körül, és a grófnő meg is kísérelte megmérgezni. Ezért Thurzo vizsgálatot kezdeményezett egy rokona bűnei miatt. De Erzbet még a nyomozás során sem hagyta abba a gyilkosságokat.

Amikor Thurzo és a katonák arra kényszerítették a grófnőt, hogy engedje be a kastélyba, számos kínzóeszközt, véres kádat találtak az alagsorban, és megtalálták a grófnő naplóját is, amely leírja, hogyan ölt meg 610 lányt.

Erzbet és csatlósai pere 1611. január 2-án kezdődött. A bíróság ítélete szerint máglyán égették meg Ilonát és Dorkát a grófnő tanítványának, a púpos Fitskónak, levágták a fejét, majd ugyanabba a tűzbe dobták. Tekintettel Báthory Erzbet előkelőségére, az udvar megkímélte az életét, de fájdalmas büntetésnek vetette ki. A „Cheit fenevadat” élve befalazták egy kőkriptába Cheit kastélyában. Báthory grófnő még körülbelül 3 évig élt egy kőbörtönben, napfény és emberekkel való kommunikáció nélkül. Minden nap ételt kapott egy kis lyukon keresztül, ami volt az egyetlen kapcsolata a világgal. Úgy tűnik, fogságban szépsége jelentősen megfakult, bőre pedig elvesztette selymességét a szennyeződésektől.

A tudomány legzseniálisabb felfedezései gyökeresen megváltozhatnak emberi élet. A feltalált vakcina emberek millióit mentheti meg, éppen ellenkezőleg, elveszi ezeket az életeket. A közelmúltban (az emberi evolúció léptékében) megtanultuk „megszelídíteni” az elektromosságot - és most már nem tudjuk elképzelni az életet mindezen kényelmes, elektromos áramot használó eszközök nélkül. De vannak olyan felfedezések is, amelyeknek kevesen tulajdonítanak jelentőséget, pedig ezek is nagyban befolyásolják életünket.

Az egyik ilyen „nem feltűnő” felfedezés a fraktálok. Biztosan hallottad már ezt a fülbemászó szót, de tudod, mit jelent, és mennyi érdekes információt rejt ez a kifejezés?

Minden emberben megvan a természetes kíváncsiság, a vágy, hogy megértse az őt körülvevő világot. És ebben a törekvésében az ember megpróbál ragaszkodni a logikához az ítéletekben. A körülötte zajló folyamatokat elemezve igyekszik megtalálni a történések logikáját, és valamilyen mintát levezetni. A bolygó legnagyobb elméi ezzel a feladattal vannak elfoglalva. Nagyjából elmondható, hogy a tudósok olyan mintát keresnek, ahol nem kellene. Ennek ellenére még a káoszban is lehet összefüggéseket találni az események között. És ez a kapcsolat egy fraktál.

Négy és fél éves kislányunk most abban a csodálatos korban van, amikor a „Miért?” kérdések megszólalnak. sokszorosa meghaladja a felnőttek által adott válaszok számát. Nemrég egy földből kiemelt ág vizsgálata közben a lányom hirtelen észrevette, hogy ez az ág gallyaival és ágaival maga is úgy néz ki, mint egy fa. És persze ezután következett a szokásos „Miért?” kérdés, amelyre a szülőknek egyszerű, a gyerek számára érthető magyarázatot kellett keresniük.

Egyetlen ág hasonlósága egy egész fával, amelyet egy gyermek fedezett fel, nagyon pontos megfigyelés, ami ismét a természetben rekurzív önhasonlóság elvéről tanúskodik. A természetben sok szerves és szervetlen forma hasonló módon jön létre. Felhők, tengeri kagylók, csigaház, fa kérge és korona, keringési rendszerés így tovább – mindezen objektumok véletlenszerű alakzatai leírhatók fraktálalgoritmussal.

⇡ Benoit Mandelbrot: a fraktálgeometria atyja

Maga a „fraktál” szó a zseniális tudósnak, Benoit B. Mandelbrotnak köszönhetően jelent meg.

Ő maga alkotta meg a kifejezést az 1970-es években, a fractus szót a latinból kölcsönözve, ahol szó szerint azt jelenti, hogy „törött” vagy „összetört”. Mi ez? Ma a „fraktál” szó leggyakrabban azt jelenti grafikus képönmagukhoz hasonló szerkezetek nagyobb léptékben.

A fraktálelmélet kialakulásának matematikai alapja sok évvel Benoit Mandelbrot születése előtt feküdt, de csak a számítástechnikai eszközök megjelenésével fejlődhetett ki. Tudományos pályafutása elején Benoit az IBM kutatóközpontjában dolgozott. Abban az időben a központ munkatársai az adatok távolról történő továbbításán dolgoztak. A kutatás során a tudósok azzal a problémával szembesültek, hogy a zajinterferenciából eredő nagy veszteségeket okozzák. Benoit nehéz és nagyon nehéz helyzetbe került fontos feladat— megérteni, hogyan lehet megjósolni az elektronikus áramkörökben fellépő zajos interferenciát, ha a statisztikai módszer hatástalannak bizonyul.

A zajmérések eredményeinek áttekintése közben Mandelbrot egy furcsa mintát vett észre - a különböző léptékű zajgrafikonok ugyanúgy néztek ki. Azonos mintát figyeltek meg, függetlenül attól, hogy egy napra, egy hétre vagy egy órára vonatkozó zajgrafikonról volt szó. Meg kellett változtatni a grafikon léptékét, és a kép minden alkalommal megismétlődött.

Benoit Mandelbrot élete során többször is elmondta, hogy nem képleteket tanult, hanem egyszerűen képekkel játszott. Ez az ember nagyon képletesen gondolkodott, és bármilyen algebrai probléma lefordítva a geometria területére, ahol szerinte mindig kézenfekvő a helyes válasz.

Nem meglepő, hogy egy ilyen gazdag térbeli képzelőerővel rendelkező ember lett a fraktálgeometria atyja. Végül is a fraktálok lényegének tudatosítása pontosan akkor jön el, amikor elkezdi tanulmányozni a rajzokat, és elgondolkodni a furcsa örvényminták jelentésén.

A fraktálminta nem tartalmaz azonos elemeket, de bármilyen léptékben hasonló. Korábban egyszerűen lehetetlen volt manuálisan megszerkeszteni egy ilyen képet nagyfokú részletességgel. Például Pierre Joseph Louis Fatou francia matematikus több mint hetven évvel Benoit Mandelbrot felfedezése előtt írta le ezt a halmazt. Ha már az önhasonlóság elveiről beszélünk, Leibniz és Georg Cantor műveiben említették őket.

Az egyik első fraktálrajz a Mandelbrot-készlet grafikus értelmezése volt, amely Gaston Maurice Julia kutatásának köszönhetően született.

Gaston Julia (mindig maszkot visel – sérülés az első világháborúból)

Ez a francia matematikus azon töprengett, hogyan nézne ki egy halmaz, ha egy cikluson keresztül iterált egyszerű képletből épülne fel visszacsatolás. Ha „ujjunkra” magyarázzuk, akkor ez azt jelenti, hogy egy adott számhoz a képlet segítségével új értéket találunk, ami után újra behelyettesítjük a képletbe, és egy másik értéket kapunk. Az eredmény egy nagy számsorozat.

Ahhoz, hogy teljes képet kapjon egy ilyen készletről, hatalmas számú számítást kell elvégeznie - több száz, ezer, millió. Ezt egyszerűen lehetetlen volt manuálisan megtenni. Amikor azonban nagy teljesítményű számítástechnikai eszközök váltak elérhetővé a matematikusok számára, új pillantást vethettek a képletekre és kifejezésekre, amelyek már régóta érdekeltek. Mandelbrot volt az első, aki számítógépet használt a klasszikus fraktál kiszámításához. Egy nagyszámú értékből álló sorozat feldolgozása után Benoit grafikonon ábrázolta az eredményeket. Ezt kapta.

Ezt követően ezt a képet kiszínezték (például a színezés egyik módja az iterációk száma), és az egyik legnépszerűbb ember által valaha készített kép lett.

Ahogy az efezusi Hérakleitosznak tulajdonított ősi mondás mondja: „Nem léphetsz kétszer ugyanabba a folyóba.” Kiválóan alkalmas a fraktálok geometriájának értelmezésére. Bármilyen részletesen is nézünk egy fraktálképet, mindig hasonló mintát fogunk látni.

Azok, akik szeretnék látni, hogy mikor fog kinézni a Mandelbrot-űr képe többszörös nagyítás, ezt megteheti egy animált GIF feltöltésével.

⇡ Lauren Carpenter: a természet által létrehozott művészet

A fraktálok elmélete hamarosan gyakorlati alkalmazásra talált. Mivel szorosan összefügg az önhasonló képek megjelenítésével, nem meglepő, hogy az algoritmusokat és szerkesztési elveket először alkalmazta szokatlan formák, voltak művészek.

A legendás Pixar stúdió leendő társalapítója, Loren C. Carpenter 1967-ben kezdett dolgozni a Boeing Computer Services-nél, amely a híres, új repülőgépeket fejlesztő cég egyik részlege volt.

1977-ben prezentációkat készített repülőmodellek prototípusaival. Loren feladatai közé tartozott a tervezett repülőgép képeinek elkészítése. Új modellekről kellett képeket készítenie, amelyekkel a jövő repülőgépeit mutatta be különböző oldalak. A Pixar Animation Studios leendő alapítója valamikor azzal a kreatív ötlettel állt elő, hogy hegyek képét használja háttérként. Ma már minden iskolás meg tud oldani egy ilyen problémát, de a múlt század hetvenes éveinek végén a számítógépek nem tudtak megbirkózni ilyen bonyolult számításokkal - nem voltak grafikus szerkesztők, nem is beszélve a 3D-s grafikák alkalmazásáról. 1978-ban Lauren véletlenül meglátta Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Chance and Dimension című könyvét egy boltban. Ebben a könyvben az keltette fel a figyelmét, hogy Benoit sok példát hozott a valós életből származó fraktál alakzatokra, és azzal érvelt, hogy ezek matematikai kifejezéssel leírhatók.

Ezt a hasonlatot a matematikus nem véletlenül választotta. Az tény, hogy amint publikálta kutatásait, a kritikák egész záporával kellett szembenéznie. A kollégái elsősorban a kidolgozott elmélet haszontalanságát rótták fel neki. „Igen – mondták –, ezek gyönyörű képek, de semmi több. A fraktálok elméletének nincs gyakorlati értéke.” Voltak olyanok is, akik általában úgy vélték, hogy a fraktálmintázatok egyszerűen az „ördögi gépek” munkájának melléktermékei, amelyek a hetvenes évek végén sokak számára túl bonyolultnak és feltáratlannak tűntek ahhoz, hogy teljesen megbízhassanak benne. Mandelbrot megpróbált kézenfekvő alkalmazásokat találni a fraktálelmélet számára, de a dolgok nagy rendszerében nem volt rá szüksége. A következő 25 év során Benoit Mandelbrot követői bebizonyították egy ilyen „matematikai érdekesség” óriási előnyeit, és Lauren Carpenter volt az egyik első, aki a gyakorlatban is kipróbálta a fraktál módszert.

A könyv tanulmányozása után a leendő animátor komolyan tanulmányozta a fraktálgeometria alapelveit, és elkezdte keresni a módját annak megvalósításának a számítógépes grafikában. Mindössze három munkanap alatt Lauren képes volt elképzelni valósághű kép hegyi rendszer a számítógépén. Vagyis képletekkel festett egy teljesen felismerhető hegyi tájat.

Az elv, amelyet Lauren a cél eléréséhez használt, nagyon egyszerű volt. Ez abból állt, hogy egy nagyobb geometriai alakzatot apró elemekre osztottunk, és ezeket pedig hasonló, kisebb méretű figurákra osztották.

Carpenter nagyobb háromszögeket használva négy kisebbre osztotta őket, majd újra és újra megismételte ezt a folyamatot, amíg valósághű hegyi tájat nem kapott. Így sikerült ő az első művész, aki fraktál algoritmust használt a számítógépes grafikában képalkotásra. Amint híre vált a műről, a rajongók szerte a világon átvették az ötletet, és elkezdték a fraktál algoritmust használni a valósághű természeti formák utánzására.

Az egyik első fraktál algoritmust használó 3D vizualizáció

Alig néhány évvel később Lauren Carpenter sokkal többre tudta alkalmazni fejlesztéseit nagyszabású projekt. Az animátor elkészítette belőlük a Vol Libre kétperces demóját, amit 1980-ban mutattak be a Siggraphon. Ez a videó mindenkit sokkolt, aki látta, és Lauren meghívást kapott a Lucasfilmtől.

Az animáció a Digital Equipment Corporation VAX-11/780 számítógépén készült, öt megahertzes órajellel, és minden képkocka körülbelül fél órát vett igénybe.

A Lucasfilm Limitednél dolgozó animátor a Star Trek saga második teljes hosszúságú filmjéhez ugyanezt a sémát alkalmazva 3D tájképeket készített. A Khan haragjában Carpenter egy egész bolygót tudott létrehozni ugyanazzal a fraktálfelület-modellezési elvvel.

Jelenleg a 3D tájképek létrehozására szolgáló összes népszerű alkalmazás hasonló elvet alkalmaz a természeti objektumok létrehozására. A Terragen, a Bryce, a Vue és más 3D szerkesztők fraktálalgoritmusra támaszkodnak a felületek és textúrák modellezéséhez.

⇡ Fraktál antennák: a kevesebb több

Az elmúlt fél évszázadban az élet gyorsan megváltozott. A legtöbben természetesnek tekintjük a modern technológia vívmányait. Nagyon gyorsan megszoksz mindent, ami kényelmesebbé teszi az életet. Ritkán teszi fel valaki a kérdést: „Honnan jött ez?” és "Hogyan működik?" A mikrohullámú sütő felmelegíti a reggelit – nagyszerű, egy okostelefon lehetőséget ad arra, hogy beszélgessen egy másik személlyel – nagyszerű. Ez nyilvánvaló lehetőségnek tűnik számunkra.

De az élet egészen másképp alakulhatott volna, ha az ember nem keresett volna magyarázatot a zajló eseményekre. Vegyük például mobiltelefonok. Emlékszel az első modellek visszahúzható antennáira? Beavatkoztak, megnövelték a készülék méretét, és a végén gyakran elromlott. Úgy gondoljuk, hogy örökre a feledés homályába merültek, és ennek részben a... fraktálok az okai.

A fraktálminták lenyűgöznek mintáikkal. Határozottan hasonlítanak a kozmikus objektumok képeire – ködök, galaxishalmazok stb. Ezért teljesen természetes, hogy amikor Mandelbrot hangot adott a fraktálok elméletének, kutatása okozta fokozott érdeklődés akik csillagászatot tanultak. Az egyik ilyen amatőr, Nathan Cohen, miután részt vett Benoit Mandelbrot budapesti előadásán, megihlette a megszerzett tudás gyakorlati alkalmazásának gondolatát. Igaz, ezt ösztönösen tette, és a véletlennek fontos szerepe volt felfedezésében. Rádióamatőrként Nathan a lehető legnagyobb érzékenységű antenna létrehozására törekedett.

Az antenna akkoriban ismert paramétereinek javításának egyetlen módja a geometriai méretek növelése volt. A Boston belvárosában található ingatlan tulajdonosa azonban, amelyet Nathan bérelt, határozottan ellenezte a nagyméretű eszközök tetőre szerelését. Aztán Nathan kísérletezni kezdett különféle formák antennákat, próbálva a maximális eredményt elérni a minimális mérettel. A fraktálformák ötlete által ihletett Cohen, mint mondják, véletlenszerűen készítette el drótból az egyik leghíresebb fraktált - a „Koch hópehelyet”. Helge von Koch svéd matematikus 1904-ben találta ki ezt a görbét. Ezt úgy kapjuk meg, hogy egy szakaszt három részre osztunk, és a középső szakaszt egy egyenlő oldalú háromszöggel helyettesítjük, amelynek oldala nem esik egybe ezzel a szegmenssel. A meghatározást kissé nehéz megérteni, de az ábrán minden világos és egyszerű.

A Koch-görbének más változatai is léteznek, de hozzávetőleges forma a görbe hasonló marad

Amikor Nathan csatlakoztatta az antennát a rádióvevőhöz, nagyon meglepődött - az érzékenység drámaian megnőtt. Kísérletsorozat után leendő professzor A Bostoni Egyetem rájött, hogy a fraktálmintázattal készült antenna nagy hatásfokú és sokkal szélesebb frekvenciatartományt fed le a klasszikus megoldásokhoz képest. Ezenkívül az antenna alakja fraktálgörbe formájában lehetővé teszi a geometriai méretek jelentős csökkentését. Nathan Cohen még egy tétellel is előállt, amely bizonyítja, hogy egy szélessávú antenna létrehozásához elegendő egy önhasonló fraktálgörbe alakját adni neki.

A szerző szabadalmaztatta felfedezését, és céget alapított a Fractal Antenna Systems fraktálantennák fejlesztésére és tervezésére, joggal gondolva, hogy a jövőben felfedezésének köszönhetően a mobiltelefonok képesek lesznek megszabadulni a terjedelmes antennáktól, és kompaktabbá válnak.

Elvileg ez történt. Igaz, Nathan a mai napig jogi csatát vív nagyvállalatokkal, amelyek illegálisan használják fel felfedezését kompakt kommunikációs eszközök gyártására. Néhány híres gyártó mobil eszközök, mint például a Motorola, már békés megállapodást kötöttek a fraktálantenna feltalálójával.

⇡ Fraktál dimenziók: az eszeddel nem tudod megérteni

Benoit ezt a kérdést a híres amerikai tudóstól, Edward Kasnertől kölcsönözte.

Ez utóbbi, mint sok más híres matematikus, szeretett kommunikálni a gyerekekkel, kérdéseket tettek fel nekik, és váratlan válaszokat kaptak. Ez néha meglepő következményekkel járt. Például Edward Kasner kilencéves unokaöccse találta ki a ma már jól ismert „googol” szót, ami azt jelenti, hogy egy, majd száz nulla. De térjünk vissza a fraktálokhoz. Az amerikai matematikus előszeretettel tette fel a kérdést, milyen hosszú az Egyesült Államok partvonala. Miután meghallgatta beszélgetőpartnere véleményét, maga Edward mondta ki a helyes választ. Ha a térképen tört szakaszokkal méri a hosszt, az eredmény pontatlan lesz, mivel a partvonal rendelkezik nagy számban egyenetlenség. Mi történik, ha a lehető legpontosabban mérünk? Figyelembe kell vennie az egyes egyenetlenségek hosszát - meg kell mérnie minden köpenyt, minden öblöt, sziklát, egy sziklás párkány hosszát, egy követ, egy homokszemet, egy atomot stb. Mivel az egyenetlenségek száma a végtelenbe hajlik, a partvonal mért hossza a végtelenségig növekszik minden új szabálytalanság mérésekor.

Minél kisebb a méret méréskor, annál hosszabb a mért hossz

Érdekes módon Edward felszólítására a gyerekek sokkal gyorsabban beszéltek, mint a felnőttek. a helyes döntés, míg az utóbbinak gondot okozott egy ilyen hihetetlen válasz elfogadása.

Ezt a problémát példaként felhasználva Mandelbrot a mérések új megközelítését javasolta. Mivel a partvonal közel van egy fraktálgörbéhez, ez azt jelenti, hogy egy jellemző paraméter alkalmazható rá - az úgynevezett fraktáldimenzió.

Hogy mi a szabályos dimenzió, az mindenki számára világos. Ha a méret egyenlő eggyel, akkor egy egyenest kapunk, ha kettő - lapos alak, három - kötet. A dimenziónak ez a matematikai megértése azonban nem működik fraktálgörbék esetén, ahol ennek a paraméternek törtértéke van. A matematikai fraktáldimenziót hagyományosan „durvaságnak” tekinthetjük. Minél nagyobb a görbe érdessége, annál nagyobb a fraktáldimenziója. Egy görbe, amelynek Mandelbrot szerint a fraktáldimenziója nagyobb, mint az övé topológiai dimenzió, hozzávetőleges kiterjedése nem függ a dimenziók számától.

Jelenleg a tudósok egyre többet találnak több területet a fraktálok elméletének alkalmazására. A fraktálok segítségével elemezheti a tőzsdei árfolyamok ingadozásait, tanulmányozhatja mindenféle természetes folyamatot, például a fajok számának ingadozását, vagy szimulálhatja az áramlások dinamikáját. Fraktál algoritmusok használhatók adattömörítésre, például képtömörítésre. És mellesleg ahhoz, hogy egy gyönyörű fraktál megjelenjen a számítógép képernyőjén, nem kell doktori fokozatot szereznie.

⇡ Fractal a böngészőben

Talán az egyik legtöbb egyszerű módokon szerezzen fraktálmintát – használja a fiatal tehetséges programozó, Toby Schachman online vektorszerkesztőjét. Ennek az egyszerű grafikus szerkesztőnek az eszközei ugyanazon az önhasonlóság elvén alapulnak.

Csak két legegyszerűbb forma áll az Ön rendelkezésére - egy négyszög és egy kör. Hozzáadhatja őket a vászonhoz, méretezheti (az egyik tengely mentén történő méretezéshez tartsa lenyomva a Shift billentyűt), és elforgathatja őket. A logikai összeadási műveletek elve szerint átfedve ezek a legegyszerűbb elemek új, kevésbé triviális formákat alkotnak. Ezek az új formák ezután hozzáadhatók a projekthez, és a program a végtelenségig megismétli a képek generálását. A fraktálon végzett munka bármely szakaszában visszatérhet egy összetett alakzat bármely összetevőjéhez, és szerkesztheti annak helyzetét és geometriáját. Szórakoztató tevékenység, különösen, ha figyelembe vesszük, hogy az egyetlen eszköz, amire szüksége van a létrehozáshoz, egy böngésző. Ha nem érti a rekurzív vektorszerkesztővel való munka elvét, javasoljuk, hogy nézze meg a projekt hivatalos webhelyén található videót, amely részletesen bemutatja a fraktál létrehozásának teljes folyamatát.

⇡ XaoS: fraktálok minden ízléshez

Számos grafikus szerkesztő rendelkezik beépített eszközökkel a fraktálminták létrehozásához. Ezek az eszközök azonban általában másodlagosak, és nem teszik lehetővé a generált fraktálmintázat finomhangolását. Azokban az esetekben, amikor szükség van egy matematikailag pontos fraktál létrehozására, a XaoS keresztplatformos szerkesztő segít. Ez a program nemcsak önhasonló kép készítését teszi lehetővé, hanem különféle manipulációk elvégzését is lehetővé teszi vele. Például valós időben „sétálhat” egy fraktál mentén a léptékének megváltoztatásával. A fraktál mentén animált mozgás XAF fájlként menthető, majd magában a programban reprodukálható.

A XaoS véletlenszerű paraméterkészletet tud betölteni, és különféle kép-utófeldolgozási szűrőket is használhat – elmosódott mozgási effektust adhat hozzá, éles átmeneteket simíthat ki a fraktálpontok között, szimulálhat egy 3D-s képet, és így tovább.

⇡ Fractal Zoomer: kompakt fraktálgenerátor

A többi fraktál képgenerátorhoz képest számos előnnyel rendelkezik. Először is, nagyon kis méretű, és nem igényel telepítést. Másodszor, megvalósítja a kép színpalettájának meghatározását. RGB, CMYK, HVS és HSL színmodellek közül választhat árnyalatokat.

Nagyon kényelmes a színárnyalatok véletlenszerű kiválasztásának és a kép összes színének megfordításának funkciója is. A szín beállításához az árnyalatok ciklikus kiválasztásának funkciója van - amikor bekapcsolja a megfelelő módot, a program animálja a képet, ciklikusan változtatva rajta a színeket.

A Fractal Zoomer 85 különböző fraktálfüggvényt képes megjeleníteni, a képletek pedig jól láthatóak a programmenüben. A programban ugyan vannak szűrők a képek utófeldolgozására kis mennyiségben. Minden hozzárendelt szűrő bármikor törölhető.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktálszerkesztő

Amikor a „fraktál” kifejezést használjuk, az leggyakrabban lapos, kétdimenziós képre utal. A fraktálgeometria azonban túlmutat a 2D dimenzión. A természetben találhatunk példákat lapos fraktálformákra, mondjuk a villám geometriájára, és háromdimenziós térfogati számok. A fraktálfelületek lehetnek háromdimenziósak, és a 3D-s fraktálok egyik nagyon jól látható példája a mindennapi életben egy káposztafej. Talán a legjobb módja a fraktálok megtekintésének a Romanesco fajta, a karfiol és a brokkoli hibridje.

Ezt a fraktált is megeheted

A Mandelbulb3D program hasonló alakú háromdimenziós objektumokat tud létrehozni. A 3D-s felület fraktálalgoritmus segítségével történő előállításához az alkalmazás szerzői, Daniel White és Paul Nylander a Mandelbrot halmazt gömbkoordinátákká alakították át. Az általuk készített Mandelbulb3D program egy igazi háromdimenziós szerkesztő, amely fraktálfelületeket modellez különböző formák. Mivel gyakran megfigyelünk fraktálmintákat a természetben, egy mesterségesen létrehozott háromdimenziós fraktál objektum hihetetlenül valósághűnek, sőt „élőnek” tűnik.

Hasonlíthat egy növényre, hasonlíthat egy furcsa állatra, egy bolygóra vagy valami másra. Ezt a hatást fokozza egy fejlett renderelő algoritmus, amely lehetővé teszi a valósághű tükröződések elérését, az átlátszóság és az árnyékok kiszámítását, a mélységélesség hatásának szimulálását stb. A Mandelbulb3D rengeteg beállítást és megjelenítési lehetőséget kínál. Szabályozhatja a fényforrások árnyalatait, kiválaszthatja a szimulált objektum hátterét és részletességi szintjét.

Az Incendia fraktálszerkesztő támogatja a dupla képsimítást, ötven különböző háromdimenziós fraktálból álló könyvtárat tartalmaz, és külön modullal rendelkezik az alapformák szerkesztésére.

Az alkalmazás fraktál szkriptet használ, amellyel önállóan írhat le új típusú fraktálterveket. Az Incendia rendelkezik textúra- és anyagszerkesztőkkel, a renderelő motor pedig lehetővé teszi volumetrikus ködeffektusok és különféle shaderek használatát. A program megvalósítja a puffer mentésének lehetőségét a hosszú távú renderelés során, és támogatja az animáció készítését.

Az Incendia lehetővé teszi a fraktál modellek exportálását népszerű 3D grafikai formátumokba - OBJ és STL. Az Incendia tartalmaz egy kis segédprogramot, a Geometrica - speciális szerszám egy fraktálfelület exportálásának konfigurálásához 3D modell. Ezzel a segédprogrammal meghatározhatja egy 3D felület felbontását és megadhatja a fraktál iterációk számát. Az exportált modellek 3D-s projektekben használhatók, amikor 3D-szerkesztőkkel, például Blenderrel, 3ds max-mal és másokkal dolgozik.

A közelmúltban az Incendia projekt munkája némileg lelassult. On pillanatnyilag a szerző szponzorokat keres a program kidolgozásában.

Ha nincs elég fantáziája egy gyönyörű háromdimenziós fraktál rajzolásához ebben a programban, ez nem számít. Használja a paraméterkönyvtárat, amely az INCENDIA_EX\parameters mappában található. A PAR fájlok segítségével gyorsan megtalálhatja a legszokatlanabb fraktál alakzatokat, beleértve az animált alakzatokat is.

⇡ Aural: hogyan énekelnek a fraktálok

Általában nem az éppen folyamatban lévő projektekről beszélünk, hanem a folyamatban lévő projektekről ebben az esetben kivételt kell tennünk, ez egy nagyon szokatlan alkalmazás. Az Aural nevű projektet ugyanaz a személy találta ki, aki létrehozta az Incendiát. A program azonban ezúttal nem vizualizálja a fraktálkészletet, hanem megszólaltatja, elektronikus zenévé alakítva. Az ötlet nagyon érdekes, különösen a fraktálok szokatlan tulajdonságait figyelembe véve. Az Aural egy hangszerkesztő, amely fraktál algoritmusok segítségével generál dallamokat, vagyis lényegében egy hangszintetizátor-szekvenátor.

A program által előállított hangsor szokatlan és... gyönyörű. Nagyon hasznos lehet az íráshoz modern ritmusokés úgy tűnik számunkra, hogy különösen alkalmas televíziós és rádiós műsorok filmzenéinek, valamint háttérzene „huroknak” létrehozására. számítógépes játékok. Ramiro még nem nyújtotta be a programjának demóját, de megígéri, hogy ha megteszi, ahhoz, hogy az Aurallal dolgozhasson, nem kell fraktálelméletet tanulnia, hanem csak a sorozat generálására szolgáló algoritmus paramétereivel kell játszania. jegyzetek. Hallgassa meg a fraktálok hangját, és.

Fraktálok: zenei szünet

Valójában a fraktálok szoftver nélkül is segíthetnek zenét írni. De ezt csak az tudja megtenni, akit valóban áthat a természetes harmónia gondolata, és aki nem vált szerencsétlen „majová”. Érdemes követni egy Jonathan Coulton nevű zenész példáját, aki többek között kompozíciókat ír a Popular Science magazinnak. Más előadókkal ellentétben Colton minden művét Creative Commons Nevezd meg, nem kereskedelmi licenc alatt teszi közzé, amely (nem kereskedelmi célú felhasználás esetén) biztosítja a mű ingyenes másolását, terjesztését, másoknak történő továbbítását, valamint annak módosítását ( származékos művek létrehozása), hogy az Ön feladataihoz igazítsa.

Jonathan Coltonnak természetesen van egy dala a fraktálokról.

⇡ Következtetés

Mindenben, ami körülvesz bennünket, gyakran látunk káoszt, de valójában ez nem véletlen, hanem egy ideális forma, amelyet a fraktálok segítenek felismerni. A természet a legjobb építész, ideális építő és mérnök. Nagyon logikusan van felépítve, és ha valahol nem látunk mintát, az azt jelenti, hogy más léptékben kell keresnünk. Az emberek ezt egyre jobban megértik, sokféleképpen próbálják utánozni természetes formák. A mérnökök kagyló alakú hangszórórendszereket terveznek, hópehely alakú antennákat készítenek stb. Biztosak vagyunk abban, hogy a fraktálok még mindig sok titkot rejtenek, és ezek közül sokat az embereknek még fel kell fedezniük.

Mi a közös egy fában, egy tengerparton, egy felhőben vagy a kezünkben lévő erekben? Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ezekben a tárgyakban semmi közös. Valójában azonban van a szerkezetnek egy tulajdonsága, amely az összes felsorolt ​​objektumban rejlik: önhasonlóak. Egy ágból, mint a fatörzsből, kisebb hajtások nyúlnak ki, belőlük még kisebbek stb., vagyis egy ág az egész fához hasonló. Hasonlóan épül fel a keringési rendszer is: az artériákból az arteriolák távoznak, és azokból a legkisebb kapillárisok, amelyeken keresztül az oxigén a szervekbe, szövetekbe jut. Nézzünk műholdfelvételeket a tenger partjáról: öblöket és félszigeteket fogunk látni; Nézzük meg, de madártávlatból: öblöket, fokokat fogunk látni; Most képzeljük el, hogy a parton állunk, és a lábunkat nézzük: mindig lesznek olyan kavicsok, amelyek messzebbre nyúlnak a vízbe, mint a többi. Vagyis a partvonal nagyítva hasonló marad önmagához. Az amerikai (bár Franciaországban nőtt fel) matematikus, Benoit Mandelbrot a tárgyaknak ezt a tulajdonságát fraktálitásnak nevezte, magukat az ilyen tárgyakat pedig fraktáloknak (a latin fractus szóból - törött).

Ennek a fogalomnak nincs szigorú meghatározása. Ezért a „fraktál” szó nem matematikai kifejezés. A fraktál általában egy geometriai alakzat, amely egy vagy több követelményt kielégít következő tulajdonságokat: Bármilyen léptéknövelésnél összetett szerkezetű (ellentétben például az egyenes vonallal, amelynek bármely része a legegyszerűbb geometriai alakzat - szegmens). (Hozzávetőlegesen) önmagához hasonló. Tört Hausdorff (fraktál) dimenziója van, ami nagyobb, mint a topológiai. Rekurzív eljárásokkal szerkeszthető.

Geometria és algebra

Fraktálok tanulmányozása század fordulójaés a XX. század inkább epizodikus volt, mint szisztematikus, mert korábban a matematikusok főként a „jó” tárgyakat tanulmányozták, amelyek segítségével tanulmányozható volt. gyakori módszerekés elméletek. 1872-ben a német matematikus, Karl Weierstrass megkonstruált egy példát egy sehol sem differenciálható folytonos függvényre. Felépítése azonban teljesen elvont és nehezen érthető volt. Ezért 1904-ben a svéd Helge von Koch egy folytonos görbével állt elő, amelynek sehol nincs érintője, és meglehetősen könnyen megrajzolható. Kiderült, hogy a fraktál tulajdonságaival rendelkezik. Ennek a görbének az egyik változata a „Koch hópehely”.

A figurák önhasonlóságának gondolatát a francia Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrot leendő mentora vette fel. 1938-ban jelent meg „Az egészhez hasonló részekből álló sík- és térbeli görbék és felületek” című cikke, amely egy másik fraktálról, a Levy C-görbéről írt. A fent felsorolt ​​fraktálok mindegyike feltételesen besorolható a konstruktív (geometriai) fraktálok egyik osztályába.

Egy másik osztály a dinamikus (algebrai) fraktálok, amelyek magukban foglalják a Mandelbrot halmazt. Az első ilyen irányú kutatás a 20. század elején kezdődött, és Gaston Julia és Pierre Fatou francia matematikusok nevéhez fűződik. 1918-ban Julia kiadott egy majdnem kétszáz oldalas memoárt az összetett racionális függvények iterációiról, amelyben a Julia halmazokat, a Mandelbrot-halmazhoz szorosan kapcsolódó fraktálok egész családját írta le. Ezt a művet a Francia Akadémia díjjal jutalmazta, de egyetlen illusztrációt sem tartalmazott, így nem lehetett értékelni a nyitott tárgyak szépségét. Annak ellenére, hogy ez a munka híressé tette Juliát az akkori matematikusok körében, gyorsan feledésbe merült. A figyelem csak fél évszázaddal később, a számítógépek megjelenésével fordult újra felé: ők tették láthatóvá a fraktálok világának gazdagságát és szépségét.

Fraktál méretek

Mint tudják, egy geometriai alakzat mérete (méreteinek száma) azon koordináták száma, amelyek szükségesek egy ezen az ábrán fekvő pont helyzetének meghatározásához.
Például egy pont helyzetét a görbén egy koordináta, egy felületen (nem feltétlenül síkon) két koordináta, a háromdimenziós térben pedig három koordináta határozza meg.
Általánosabb matematikai szempontból a dimenziót így lehet definiálni: a lineáris dimenziók növekedése, mondjuk kétszeresére, egydimenziós (topológiai szempontból) objektumok (szegmens) esetén a méret (hossz) kétszeres növekedése, a kétdimenziós méreteknél (egy négyzet) a lineáris méretek azonos növekedése a méret (terület) négyszeres növekedéséhez vezet, a háromdimenziós (kocka) -nál 8 alkalommal. Vagyis a „valódi” (úgynevezett Hausdorff) dimenzió egy tárgy „méretének” növekedése logaritmusának és a lineáris méretnövekedés logaritmusának az arányaként számítható ki. Azaz egy szegmensre D=log (2)/log (2)=1, síkra D=log (4)/log (2)=2, térfogatra D=log (8)/log (2) )=3.
Számítsuk ki a Koch-görbe dimenzióját, hogy megszerkeszthessük, melyik egységszakasz három egyenlő részre van osztva és helyettesítve átlagos intervallum egyenlő oldalú háromszög e szakasz nélkül. Ha a minimális szakasz lineáris méretei háromszorosára nőnek, a Koch-görbe hossza log (4)/log (3) ~ 1,26-kal nő. Vagyis a Koch-görbe dimenziója tört!

Tudomány és művészet

1982-ben jelent meg Mandelbrot „Fractal Geometry of Nature” című könyve, amelyben a szerző összegyűjtötte és rendszerezte az akkori fraktálokkal kapcsolatos szinte minden információt, és könnyen és hozzáférhető módon bemutatta. Mandelbrot előadásában nem a nehéz képletekre és a matematikai konstrukciókra, hanem az olvasók geometriai intuíciójára helyezte a fő hangsúlyt. A számítógéppel készített illusztrációknak és a történelmi történeteknek köszönhetően, amelyekkel a szerző ügyesen felhígította a monográfia tudományos elemét, a könyv bestseller lett, a fraktálok pedig a nagyközönség számára ismertté váltak. A nem matematikusok körében elért sikerük nagyrészt annak köszönhető, hogy nagyon egyszerű, még egy középiskolás számára is érthető konstrukciók és képletek segítségével elképesztő összetettségű és szépségű képek születnek. Amikor a személyi számítógépek elég erősek lettek, a művészet egész iránya megjelent - a fraktálfestészet, és szinte minden számítógép-tulajdonos meg tudta csinálni. Most az interneten könnyen találhat számos webhelyet, amelyek ezzel a témával foglalkoznak.

A Koch-görbe meghatározásának sémája

Háború és béke

Ahogy fentebb megjegyeztük, az egyik fraktál tulajdonságokkal rendelkező természeti objektum a tengerpart. Egy érdekes történet kapcsolódik hozzá, pontosabban a hosszának mérésére tett kísérlethez, amely Mandelbrot tudományos cikkének alapját képezte, és a „Fractal Geometry of Nature” című könyvében is le van írva. Lewis Richardson, egy nagyon tehetséges és különc matematikus, fizikus és meteorológus kísérletéről beszélünk. Kutatásának egyik iránya a keresési kísérlet volt matematikai leírás a két ország közötti fegyveres konfliktus okai és valószínűsége. Az általa figyelembe vett paraméterek között szerepelt a két hadviselő ország közös határának hossza. Amikor adatokat gyűjtött numerikus kísérletekhez, felfedezte ezeket az adatokat közös határ Spanyolország és Portugália nagyon különbözik egymástól. Ez a következő felfedezéshez vezette: egy ország határainak hossza attól függ, hogy milyen vonalzóval mérjük őket. Minél kisebb a lépték, annál hosszabb a keret. Ez annak köszönhető, hogy nagyobb nagyítással egyre több olyan új partszakasz is figyelembe vehető, amelyeket korábban a mérések durvasága miatt figyelmen kívül hagytak. És ha minden léptéknövekedéssel korábban fel nem számolt vonalhajlítások derülnek ki, akkor kiderül, hogy a határok hossza végtelen! Igaz, ez valójában nem történik meg – méréseink pontosságának véges határa van. Ezt a paradoxont ​​Richardson-effektusnak nevezik.

Konstruktív (geometriai) fraktálok

Algoritmus konstruktív fraktál létrehozására általános eset ez így van. Először is két alkalmasra van szükségünk geometriai formák, nevezzük őket alapnak és töredéknek. Az első szakaszban a jövőbeli fraktál alapját ábrázolják. Ezután egyes részeit megfelelő méretarányú töredékre cserélik - ez az építkezés első iterációja. Ekkor a kapott alakzat egyes részeit ismét a töredékhez hasonló figurákká változtatja, stb. Ha ezt a folyamatot a végtelenségig folytatjuk, akkor a határban fraktált kapunk.

Nézzük meg ezt a folyamatot a Koch-görbe példájával (lásd az oldalsávot az előző oldalon). A Koch-görbe alapjául bármely görbe vehető (a „Koch hópehely” esetében ez egy háromszög). De korlátozzuk magunkat a legegyszerűbb esetre - egy szegmensre. A töredék szaggatott vonal, az ábrán felül látható. Az algoritmus első iterációja után ebben az esetben az eredeti szegmens egybeesik a töredékkel, majd minden egyes alkotó szegmensét felváltja a töredékhez hasonló szaggatott vonal stb. Az ábrán ennek első négy lépése látható. folyamat.

A matematika nyelvén: dinamikus (algebrai) fraktálok

Az ilyen típusú fraktálok a nemlineáris vizsgálat során keletkeznek dinamikus rendszerek(innen a név). Egy ilyen rendszer viselkedése egy f (z) komplex nemlineáris függvénnyel (polinom) írható le. Vegyünk egy z0 kezdőpontot a komplex síkon (lásd oldalsáv). Tekintsünk most egy ilyen végtelen számsort a komplex síkon, amelyek mindegyikét az előzőből kapjuk: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn) ). Attól függően kiindulópont z0 egy ilyen sorozat másként is viselkedhet: a végtelenbe hajlik, mint n -> ∞; egyesekhez konvergálnak végpont; ciklikusan vegyen fel egy sorozat rögzített értéket; Bonyolultabb lehetőségek is lehetségesek.

Komplex számok

A komplex szám két részből álló szám - valós és imaginárius, vagyis az x + iy formális összegből (x és y itt valós számok). én vagyok az ún képzeletbeli egység, vagyis olyan szám, amely kielégíti az egyenletet i^ 2 = -1. A komplex számokkal kapcsolatos alapvető matematikai műveletek meg vannak határozva: összeadás, szorzás, osztás, kivonás (csak az összehasonlító művelet nincs definiálva). A komplex számok megjelenítéséhez gyakran használnak geometriai ábrázolást - a síkon (ezt komplexnek nevezik), a valós részt az abszcissza tengely mentén, a képzeletbeli részt pedig az ordináta tengelye mentén ábrázolják, és a pont a fog megfelelni a komplex szám Derékszögű koordináták x és y.

Így a komplex sík bármely z pontja saját viselkedést mutat az f (z) függvény iterációi során, és a teljes sík részekre oszlik. Ezenkívül az ezen részek határán fekvő pontok a következő tulajdonsággal rendelkeznek: tetszőlegesen kis elmozdulás esetén viselkedésük jellege élesen megváltozik (az ilyen pontokat bifurkációs pontoknak nevezzük). Kiderült tehát, hogy az olyan ponthalmazok, amelyeknek egy meghatározott típusú viselkedésük van, valamint a bifurkációs pontok halmazai gyakran rendelkeznek fraktál tulajdonságokkal. Ezek az f (z) függvény Julia-halmazai.

Sárkány család

Az alapot és a töredéket változtatva lenyűgözően sokféle konstruktív fraktálhoz juthat.
Sőt, hasonló műveletek végezhetők háromdimenziós térben is. A térfogati fraktálok példái közé tartozik a „Menger szivacs”, „Sierpinski piramis” és mások.
A sárkánycsaládot szintén konstruktív fraktálnak tekintik. Néha felfedezőik nevén „Heavey-Harter sárkányoknak” nevezik őket (alakjukban a kínai sárkányokra hasonlítanak). Ennek a görbének több módja is van. A legegyszerűbb és legszembetűnőbb közülük a következő: kell venni egy meglehetősen hosszú papírcsíkot (minél vékonyabb a papír, annál jobb), és félbe kell hajlítani. Ezután ismét hajlítsa félbe ugyanabba az irányba, mint az első alkalommal. Többszöri ismétlés után (általában öt-hat hajtás után a csík túl vastag lesz ahhoz, hogy finoman tovább hajlítsa), vissza kell hajlítania a csíkot, és meg kell próbálnia 90˚-os szöget kialakítani a hajtásoknál. Ezután a profilban egy sárkány ívét kapod. Természetesen ez csak közelítés lesz, mint minden fraktáltárgyak ábrázolására tett kísérletünk. A számítógép lehetővé teszi ennek a folyamatnak sokkal több lépésének ábrázolását, és az eredmény egy nagyon szép figura.

A Mandelbrot-készlet némileg másképp épül fel. Tekintsük az fc (z) = z 2 +с függvényt, ahol c értéke komplex szám. Szerkesszük meg ennek a függvénynek a sorozatát z0=0-val, a c paramétertől függően divergálhat a végtelenségig, vagy korlátozott maradhat. Ezenkívül c minden olyan értéke, amelyre ez a sorozat korlátozott, a Mandelbrot halmazból áll. Maga Mandelbrot és más matematikusok tanulmányozták részletesen, akik sokat felfedeztek érdekes tulajdonságok ebből a sokaságból.

Látható, hogy a Julia és a Mandelbrot halmaz definíciói hasonlóak egymáshoz. Valójában ez a két halmaz szorosan összefügg. Ugyanis a Mandelbrot halmaz a c komplex paraméter összes értéke, amelyhez az fc (z) Julia halmaz kapcsolódik (egy halmazt akkor nevezünk kapcsoltnak, ha nem osztható két diszjunkt részre, néhány további feltétellel).

Fraktálok és az élet

Napjainkban a fraktálok elmélete talál széles körű alkalmazás V különböző területeken emberi tevékenység. A tisztán tudományos kutatási tárgy és a már említett fraktálfestés mellett a fraktálokat az információelméletben grafikus adatok tömörítésére is használják (itt főként a fraktálok önhasonlósági tulajdonságát használják – elvégre azért, hogy emlékezzünk egy kis töredékre egy kép és az átalakítások, amelyekkel a megmaradt részeket megszerezheti, sok kell kevesebb memória mint a teljes fájl tárolása). Ha a fraktálokat definiáló képletekhez véletlenszerű zavarokat adunk, olyan sztochasztikus fraktálokat kaphatunk, amelyek nagyon hihetően közvetítenek néhány valós objektumot - domborzati elemeket, tározók felszínét, néhány növényt, amelyet sikeresen alkalmaznak a fizikában, a földrajzban és a számítógépes grafikában, hogy nagyobb eredményeket érjenek el. a szimulált objektumok hasonlósága a valóshoz. A rádióelektronikában az elmúlt évtizedben elkezdték gyártani a fraktál alakú antennákat. Kis helyet foglalva kiváló minőségű jelvételt biztosítanak. A közgazdászok fraktálokat használnak az árfolyam-ingadozási görbék leírására (ezt a tulajdonságot Mandelbrot fedezte fel több mint 30 évvel ezelőtt). Itt véget is vetünk ennek rövid kirándulás a fraktálok elképesztően szép és sokszínű világába.

Az NNN szerkesztői véletlenül egy nagyon érdekes anyagra bukkantak, amelyet xtsarx felhasználó blogján mutattak be, az elmélet elemeinek szentelve. fraktálokés gyakorlati alkalmazása. Mint ismeretes, a fraktál-theria fontos szerepet játszik a nanorendszerek fizikájában és kémiájában. Hozzájárulva ehhez a jó anyaghoz, amely a számára hozzáférhető nyelven került bemutatásra széles körű olvasóinkat, és rengeteg grafikai, sőt videóanyaggal megtámogatva ajánljuk figyelmébe. Reméljük, hogy az NNN olvasói érdekesnek találják ezt az anyagot.

A természet annyira titokzatos, hogy minél többet tanulmányozod, annál több kérdés merül fel... Éjszakai villámlás - elágazó kisülések kék „sugarai”, fagyos minták az ablakon, hópelyhek, hegyek, felhők, fakéreg - mindez túlmutat a megszokotton Euklideszi geometria. Nem írhatunk le egy sziklát vagy egy sziget határait egyenes vonalak, körök és háromszögek segítségével. És itt jönnek a segítségünkre fraktálok. Mik ezek az ismerős idegenek?

„Mikroszkóp alatt ezt fedezte fel a bolhán
Egy bolha, amely életeket harap;
Ezen a bolhán van egy apró bolha,
Egy fog dühösen átszúr egy bolhát
Kis bolha, és így a végtelenségig.” D. Swift.

Egy kis történelem

Első ötletek fraktál geometria században keletkezett. A Cantor egy egyszerű rekurzív (ismétlődő) eljárással a vonalat nem összefüggő pontok gyűjteményévé alakította (az úgynevezett Cantor Dust). Fog egy sort, és eltávolítja a középső harmadot, majd megismételte ugyanezt a fennmaradó részekkel.

Rizs. 1. Peano görbe 1,2-5 iteráció.

Peano egy különleges vonalat húzott. Peano a következőket tette:: Első lépésben vett egy egyenest, és 9 szegmensre cserélte, amely 3-szor rövidebb, mint az eredeti vonal hossza. Ezután ugyanezt tette a kapott vonal minden szakaszával. És így tovább a végtelenségig. Különlegessége, hogy kitölti az egész síkot. Bebizonyosodott, hogy a síkon minden ponthoz találhatunk egy pontot, amely a Peano egyeneshez tartozik. Peano görbéje és a Cantor-por túlmutat a hétköznapi geometriai tárgyakon. Nem volt egyértelmű dimenziójuk. A kántorpor látszólag egydimenziós egyenes alapján épült fel, de pontokból állt (0. dimenzió). A Peano-görbe pedig egy egydimenziós egyenes alapján készült, és az eredmény egy sík lett. A tudomány számos más területén olyan problémák jelentek meg, amelyek megoldása a fent leírtakhoz hasonló furcsa eredményekhez vezetett ( Brown-mozgás, részvényárak). Ezt az eljárást mindannyian elvégezhetjük...

A fraktálok atyja

századig adatok az ilyen furcsa tárgyak, rendszerezési kísérlet nélkül. Ez addig volt, amíg fel nem vettem őket Benoit Mandelbrot – a modern fraktálgeometria és a fraktál szó atyja.

Rizs. 2. Benoit Mandelbrot.

Miközben matematikai elemzőként dolgozott az IBM-nél, olyan elektronikus áramkörökben zajló zajokat tanulmányozott, amelyeket statisztikai adatokkal nem lehetett leírni. Fokozatosan összehasonlítva a tényeket, egy új irány felfedezéséhez jutott a matematikában - fraktál geometria.

A „fraktál” kifejezést B. Mandelbrot vezette be 1975-ben. Mandelbrot szerint fraktál(a latin „fractus” szóból - tört, törött, törött) nevezik az egészhez hasonló részekből álló szerkezet. Az önhasonlóság tulajdonsága élesen megkülönbözteti a fraktálokat a klasszikus geometria tárgyaitól. Term önhasonlóság eszközök finom, ismétlődő szerkezet jelenléte, mind az objektum legkisebb léptékén, mind a makroskálán.

Rizs. 3. A „fraktál” fogalmának meghatározása felé.

Az önhasonlóság példái: Koch, Levy, Minkowski görbék, Sierpinski háromszög, Menger szivacs, Pitagorasz fa stb.

Matematikai szempontból fraktál- Ez mindenekelőtt halmaz tört (köztes, „nem egész”) dimenzióval. Míg egy sima euklideszi vonal pontosan egydimenziós teret tölt ki, addig a fraktálgörbe túlnyúlik az egydimenziós tér határain, és a határokon túl lép be a kétdimenziós térbe, így a Koch-görbe fraktáldimenziója 1 és 2 között lesz Ez mindenekelőtt azt jelenti, hogy egy fraktál objektum hosszát nem lehet pontosan megmérni! A geometriai fraktálok közül az első nagyon érdekes és meglehetősen híres - Koch hópehelye.

Rizs. 4. A „fraktál” fogalmának meghatározása felé.

Az alapra épül egyenlő oldalú háromszög . Ennek minden sorát 4 sor helyettesíti, mindegyik az eredeti hossz 1/3-ával. Így minden iterációval a görbe hossza harmadával növekszik. És ha végtelen számú iterációt hajtunk végre, akkor egy fraktált kapunk - egy végtelen hosszúságú Koch-hópelyhet. Kiderült, hogy a végtelen görbénk fedi korlátozott terület. Próbálja meg ugyanezt megtenni az euklideszi geometriából származó módszerek és ábrák segítségével.
Koch hópehely dimenzió(ha egy hópehely 3-szorosára nő, a hossza négyszeresére nő) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Magáról a fraktálról

A fraktálok egyre többet találnak nagyobb alkalmazás a tudományban és a technológiában. Ennek fő oka az, hogy leírják való világ néha még a hagyományos fizikánál vagy matematikánál is jobb. Végtelenül adhat példákat a természetben lévő fraktáltárgyakra - ezek felhők, hópelyhek, hegyek, villámcsapás és végül karfiol. Fraktálszerű természeti tárgy– ez egy örök folyamatos mozgás, új formáció és fejlődés.

Rizs. 5. Fraktálok a közgazdaságtanban.

Kívül, A fraktálok decentralizált számítógépes hálózatokban találnak alkalmazást És "fraktál antennák" . Az úgynevezett „Browni-fraktálok” nagyon érdekesek és ígéretesek különféle sztochasztikus (nem determinisztikus) „véletlenszerű” folyamatok modellezésére. A nanotechnológia esetében a fraktálok is szerepet játszanak fontos szerepet , mert hierarchikus önszerveződésük miatt sok a nanorendszerek nem egész számokkal rendelkeznek, vagyis geometriai, fizikai-kémiai vagy funkcionális természetüket tekintve fraktálok. Például, A kémiai fraktálrendszerek szembetűnő példái a „dendrimerek” molekulái. . Ezenkívül a fraktalitás elve (önhasonló, skálázó szerkezet) a rendszer hierarchikus felépítését tükrözi, ezért általánosabb és univerzálisabb, mint a nanorendszerek szerkezetének és tulajdonságainak leírásának szokásos megközelítései.

Rizs. 6. „Dendrimer” molekulák.

Rizs. 7. Kommunikáció grafikus modellje az építészeti és építési folyamatban. Az interakció első szintje a mikrofolyamatok szemszögéből.

Rizs. 8. Kommunikáció grafikus modellje az építészeti és építési folyamatban. Az interakció második szintje a makrofolyamatok szemszögéből (a modell töredéke).

Rizs. 9. Kommunikáció grafikus modellje az építészeti és építési folyamatban. Az interakció második szintje a makrofolyamatok szemszögéből (teljes modell)

Rizs. 10. A grafikus modell síkbeli fejlesztése. Az első homeosztatikus állapot.

Fraktálok és az aranymetszés "Fraktálok" 1. rész "Fraktálok" 2. rész "Fraktálok" 3. rész "Fraktálok" 4. rész "Fraktálok" 5. rész

Fotógaléria gyönyörű és szokatlan fraktálokról

Rizs. 11.

Rizs. 12.

Rizs. 13.

Rizs. 14.

Rizs. 15.

Rizs. 16.

Rizs. 17.

Rizs. 18.

Rizs. 19.

Rizs. 20.

Rizs. 21.

Rizs. 22.

Rizs. 23.

Rizs. 24.

Rizs. 25.

Rizs. 26.

Rizs. 27.

Rizs. 28.

Rizs. 29.

Rizs. 30.

Rizs. 31.

Rizs. 32.

Rizs. 33.

Rizs. 34.

Rizs. 35.

A javítás és a szerkesztés befejeződött Filippov Yu.P.

A tudományban tett ragyogó felfedezések gyakran gyökeresen megváltoztathatják életünket. Például egy vakcina feltalálása sok embert megmenthet, de új fegyverek létrehozása gyilkossághoz vezet. Szó szerint tegnap (a történelem léptékével) az ember „szelídítette” az elektromosságot, ma pedig már nem tudja elképzelni nélküle az életét. Vannak azonban olyan felfedezések is, amelyek – ahogy mondani szokták – az árnyékban maradnak, annak ellenére, hogy ezeknek is van ilyen vagy olyan hatása az életünkre. Az egyik ilyen felfedezés a fraktál volt. A legtöbb ember még csak nem is hallott erről a fogalomról, és nem is fogja tudni megmagyarázni a jelentését. Ebben a cikkben megpróbáljuk megérteni azt a kérdést, hogy mi a fraktál, és megvizsgáljuk ennek a kifejezésnek a jelentését a tudomány és a természet szemszögéből.

Rend a káoszban

Ahhoz, hogy megértsük, mi is az a fraktál, a levezetést a matematika pozíciójából kell kezdenünk, de mielőtt belemerülnénk, filozofálunk egy kicsit. Minden emberben megvan a természetes kíváncsiság, aminek köszönhetően megismeri az őt körülvevő világot. A tudásra való törekvésében gyakran megpróbálja a logikát használni az ítéleteiben. Így a körülötte lezajló folyamatokat elemezve megpróbál összefüggéseket kiszámítani, bizonyos mintákat levezetni. A bolygó legnagyobb elméi ezeknek a problémáknak a megoldásával vannak elfoglalva. Nagyjából elmondható, hogy tudósaink olyan mintákat keresnek, ahol nincsenek, és nem is kellene, hogy legyenek. És mégis, még a káoszban is van összefüggés bizonyos események között. Ez a kapcsolat a fraktál. Példaként vegyünk egy letört ágat, amely az úton hever. Ha alaposan megnézzük, látni fogjuk, hogy minden ágával és gallyával együtt úgy néz ki, mint egy fa. A különálló rész és az egyetlen egés hasonlósága az úgynevezett rekurzív önhasonlóság elvét jelzi. A természetben mindenhol megtalálhatók a fraktálok, mert sok szervetlen és szerves forma hasonló módon képződik. Ezek a felhők, a tengeri kagylók, a csigaházak, a fák koronája, és még a keringési rendszer is. Ez a lista a végtelenségig folytathatjuk. Mindezek a véletlenszerű alakzatok könnyen leírhatók fraktálalgoritmussal. Most eljutottunk ahhoz, hogy megvizsgáljuk, mi is az a fraktál az egzakt tudományok szemszögéből.

Néhány száraz tény

Magát a „fraktál” szót latinból „részleges”, „megosztott”, „töredezett” szóval fordítják, és ami ennek a kifejezésnek a tartalmát illeti, nincs ilyen megfogalmazás. Általában önhasonló halmazként, az egész részeként értelmezik, amely mikroszinten megismétli szerkezetét. Ezt a kifejezést a huszadik század hetvenes éveiben az apaként elismert Benoit Mandelbrot alkotta meg. Ma a fraktál fogalma egy bizonyos szerkezet grafikus képét jelenti, amely kinagyítva önmagához fog hasonlítani. Ennek az elméletnek a matematikai alapjait azonban már maga Mandelbrot születése előtt lefektették, de az elektronikus számítógépek megjelenéséig nem fejlődhetett ki.

Történelmi háttér, avagy Hogyan kezdődött az egész

A 19. és 20. század fordulóján a fraktálok természetének vizsgálata szórványos volt. Ez azzal magyarázható, hogy a matematikusok szívesebben tanulmányozták azokat a tárgyakat, amelyek alapján tanulmányozható általános elméletekés módszerek. 1872-ben a német matematikus, K. Weierstrass megkonstruált egy példát egy sehol nem differenciálható folytonos függvényre. Ez a konstrukció azonban teljesen elvontnak és nehezen érzékelhetőnek bizonyult. Következett a svéd Helge von Koch, aki 1904-ben olyan folytonos görbét szerkesztett, amelynek sehol nem volt érintője. Meglehetősen könnyű rajzolni, és kiderül, hogy fraktál tulajdonságokkal rendelkezik. Ennek a görbének az egyik változatát a szerzőről nevezték el - „Koch hópehely”. Továbbá a figurák önhasonlóságának gondolatát B. Mandelbrot leendő mentora, a francia Paul Levy dolgozta ki. 1938-ban publikálta "Az egészhez hasonló részekből álló sík- és térbeli görbék és felületek" című cikkét. Ebben egy új típust írt le - a Lewy C-görbét. A fenti ábrák mindegyike hagyományosan ehhez a típushoz tartozik geometriai fraktálok.

Dinamikus vagy algebrai fraktálok

A Mandelbrot készlet ebbe az osztályba tartozik. Az első kutatók ebben az irányban Pierre Fatou és Gaston Julia francia matematikusok voltak. 1918-ban Julia publikált egy tanulmányt, amely a racionális iterációk tanulmányozásán alapult összetett funkciók. Itt leírt egy fraktálcsaládot, amely szorosan kapcsolódik a Mandelbrot halmazhoz. Annak ellenére, hogy ez a mű dicsőítette a szerzőt a matematikusok körében, gyorsan feledésbe merült. És csak fél évszázaddal később, a számítógépeknek köszönhetően Julia munkája második életet kapott. A számítógépek lehetővé tették, hogy mindenki számára láthatóvá tegyék a fraktálok világának szépségét és gazdagságát, amelyet a matematikusok függvényeken keresztül „láthattak” meg. Mandelbrot volt az első, aki számítógépet használt olyan számítások elvégzésére (ilyen mennyiséget nem lehet manuálisan elvégezni), amely lehetővé tette az ábrák képének megalkotását.

Térbeli képzelőerővel rendelkező személy

Mandelbrot tudományos pályafutását az IBM Research Centerben kezdte. felé történő adatátvitel lehetőségeinek feltárása nagy távolságok, a tudósok azzal a ténnyel szembesültek, hogy nagy veszteségek keletkeztek a zajinterferenciák miatt. Benoit a probléma megoldásának módját kereste. A mérési eredményeket végignézve furcsa mintázatot vett észre, nevezetesen: a zajgrafikonok különböző időskálákon ugyanúgy néztek ki.

Hasonló képet figyeltek meg egy napig és hét napig vagy egy óráig. Benoit Mandelbrot maga is gyakran ismételgette, hogy nem képletekkel dolgozik, hanem képekkel játszik. Ezt a tudóst képzeletbeli gondolkodása jellemezte, bármilyen algebrai problémát lefordított a geometriai területre, ahol a helyes válasz nyilvánvaló. Így nem meglepő, hogy gazdagsága miatt kitűnik, és a fraktálgeometria atyja lett. Hiszen ennek a figurának a tudatosítása csak akkor jöhet létre, ha a rajzokat tanulmányozva átgondolja a mintát alkotó furcsa örvények jelentését. A fraktálminták nem tartalmaznak azonos elemeket, de bármilyen léptékben hasonlóak.

Julia - Mandelbrot

Ennek a figurának az egyik első rajza a díszlet grafikus értelmezése volt, amely Gaston Julia munkája nyomán született, és Mandelbrot fejlesztette tovább. Gaston megpróbálta elképzelni, hogyan nézne ki egy halmaz egy egyszerű képlet alapján, amelyet egy visszacsatolási hurkon keresztül iteráltak. Próbáljuk megmagyarázni az elhangzottakat emberi nyelv, hogy úgy mondjam, az ujjakon. Egy adott számértékhez egy képlet segítségével új értéket találunk. Behelyettesítjük a képletbe, és a következőt kapjuk. Az eredmény nagy Egy ilyen halmaz ábrázolásához ezt a műveletet nagyon sokszor kell végrehajtani: százakat, ezreket, milliókat. Ezt tette Benoit. Feldolgozta a sorozatot, és az eredményeket grafikus formába vitte át. Ezt követően kiszínezte a kapott ábrát (mindegyik szín megfelel egy bizonyos szám iterációk). Ezt a grafikus képet „Mandelbrot-fraktálnak” nevezték el.

L. Carpenter: a természet által teremtett művészet

A fraktálok elmélete gyorsan gyakorlati alkalmazásra talált. Mivel nagyon szorosan kapcsolódik az önhasonló képek vizualizálásához, a művészek voltak az elsők, akik átvették e szokatlan formák megalkotásának elveit és algoritmusait. Az első közülük a Pixar leendő alapítója, Lauren Carpenter volt. Miközben repülőgép-prototípusok bemutatásán dolgozott, felmerült az ötlet, hogy hegyek képét használja háttérként. Ma már szinte minden számítógép-felhasználó megbirkózik egy ilyen feladattal, de a múlt század hetvenes éveiben a számítógépek nem tudtak ilyen folyamatokat végrehajtani, mert akkor még nem voltak grafikus szerkesztők, alkalmazások a háromdimenziós grafikára. És akkor Loren találkozott Mandelbrot „Fraktálok: Forma, véletlenszerűség és dimenzió” című könyvével. Ebben Benoit számos példát hozott, bemutatva, hogy a fraktálok a természetben léteznek (fyva), leírta őket különféle formákés azzal érvelt, hogy könnyen leírhatók matematikai kifejezések. A matematikus ezt az analógiát az elmélet hasznossága mellett említette, amelyet a kollégáitól érkező kritikák özönére válaszul dolgozott ki. Azzal érveltek, hogy a fraktál csak szép kép, nincs értéke, és az elektronikus gépek munkájának mellékterméke. Carpenter úgy döntött, hogy a gyakorlatban is kipróbálja ezt a módszert. A könyv alapos tanulmányozása után a leendő animátor elkezdte keresni a fraktálgeometria számítógépes grafikában való megvalósításának módját. Mindössze három napba telt, mire számítógépén teljesen valósághű képet készített a hegyi tájról. És ma ezt az elvet széles körben használják. Mint kiderült, a fraktálok létrehozása nem sok időt és erőfeszítést igényel.

Carpenter megoldása

Lauren által alkalmazott elv egyszerű volt. Ez abból áll, hogy a nagyobbakat apró elemekre osztjuk, a hasonlókat pedig kisebbekre, és így tovább. Carpenter nagy háromszögekkel osztotta fel őket 4 kicsire, és így tovább, amíg valósághű hegyi tájat nem kapott. Így ő lett az első művész, aki fraktál algoritmust használt a számítógépes grafikában a kívánt kép elkészítéséhez. Ma ezt az elvet különféle valósághű természeti formák utánzására használják.

Az első 3D-s megjelenítés fraktál algoritmussal

Néhány évvel később Lauren egy nagyszabású projektben alkalmazta fejlesztéseit - a Vol Libre animációs videót, amelyet 1980-ban mutattak be a Siggraphon. Ez a videó sokakat sokkolt, készítőjét pedig meghívták a Lucasfilmhez. Itt az animátor ki tudta használni a benne rejlő lehetőségeket, háromdimenziós tájakat (egy egész bolygót) készített a "Star Trek" című játékfilmhez. Bármilyen modern program(„Fraktálok”) vagy egy 3D-s grafikus alkalmazás (Terragen, Vue, Bryce) ugyanazt az algoritmust használja a textúrák és felületek modellezésére.

Tom Beddard

A korábban lézerfizikus, most pedig digitális művész és művész Beddard számos nagyon érdekes geometriai formát alkotott, amelyeket Fabergé-fraktáloknak nevezett el. Külsőleg egy orosz ékszerész dekoratív tojásaira emlékeztetnek, ugyanolyan ragyogó, bonyolult mintával rendelkeznek. Beddard sablon módszerrel készítette el a modellek digitális megjelenítését. Az így kapott termékek lenyűgöző szépségükkel. Bár sokan megtagadják a termék összehasonlítását saját készítésű Vel számítógépes program, azonban el kell ismerni, hogy az így kapott formák rendkívül szépek. A legfontosabb dolog az, hogy a WebGL szoftverkönyvtár segítségével bárki létrehozhat ilyen fraktálokat. Lehetővé teszi a különböző fraktálstruktúrák valós időben történő felfedezését.

Fraktálok a természetben

Kevesen figyelnek oda, de ezek a csodálatos alakok mindenhol jelen vannak. A természet önhasonló figurákból jön létre, csak nem vesszük észre. Elég, ha nagyítón keresztül a bőrünkre vagy egy fa levelére nézünk, és fraktálokat fogunk látni. Vagy vegyünk például egy ananászt vagy akár egy páva farkát – ezek hasonló figurákból állnak. A Romanescu brokkoli fajta pedig általánosságban feltűnő megjelenésében, mert valóban a természet csodájának nevezhető.

Zenei szünet

Kiderült, hogy a fraktálok nemcsak geometriai formák, hanem hangok is lehetnek. Így Jonathan Colton zenész fraktálalgoritmusok segítségével ír zenét. Azt állítja, hogy megfelel a természetes harmóniának. A zeneszerző minden művét CreativeCommons Nevezd meg, nem kereskedelmi licenc alatt teszi közzé, amely biztosítja a művek ingyenes terjesztését, másolását és mások számára történő továbbítását.

Fraktál indikátor

Ez a technika nagyon váratlan alkalmazásra talált. Ennek alapján egy eszközt hoztak létre a tőzsdei piac elemzésére, és ennek eredményeként elkezdték használni a Forex piacon. Manapság a fraktál indikátor minden kereskedési platformon megtalálható, és az árkitörésnek nevezett kereskedési technikában használják. Ezt a technikát Bill Williams fejlesztette ki. Ahogy a szerző megjegyzi találmányát, ez az algoritmus több „gyertya” kombinációja, amelyben a középső a maximumot, vagy fordítva, a minimális szélső pontot tükrözi.

Befejezésül

Tehát megnéztük, mi az a fraktál. Kiderült, hogy a minket körülvevő káoszban valójában léteznek tökéletes formák. A természet az a legjobb építész, az ideális építő és mérnök. Nagyon logikusan van elrendezve, és ha nem találunk mintát, az nem jelenti azt, hogy nem létezik. Talán más léptékben kell néznünk. Bátran kijelenthetjük, hogy a fraktálok még mindig sok titkot rejtenek, amelyeket még fel kell fedeznünk.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete