Egy komplex változó függvényei. Problémák és példák részletes megoldásokkal. Krasznov M.I., Kiselev A.I., Makarenko G.I.

3. kiadás, rev. - M.: 2003. - 208 p.

Ebben a tankönyvben a szerzők problémákat javasolnak egy komplex változó függvényelméletének főbb részein. Minden bekezdés elején a szükséges elméleti információk(definíciók, tételek, képletek), és részletesen is megvizsgál mintegy 150-et tipikus feladatokés példák.

A könyv több mint 500 problémát és példát tartalmaz önálló döntés. Szinte minden problémára választ adnak, és néhány esetben megoldási utasításokat is adnak.

A könyv elsősorban a műszaki egyetemek hallgatóinak szól matematikai képzés, de hasznos lehet annak a mérnöknek is, aki egy komplex változó függvényelméletével kapcsolatos matematikai szakaszokat szeretne felidézni.

Formátum: pdf

Méret: 15,2 MB

Letöltés: drive.google

TARTALOMJEGYZÉK
1. fejezet Egy komplex változó függvényei 3
1. § Komplex számok és a rajtuk végzett műveletek 3
2. § Komplex változó függvényei 14
3. § Sorozathatár komplex számok. Egy komplex változó függvényének határértéke és folytonossága 22
4. § Komplex változó függvényeinek differenciálása. Cauchy-Riemann feltételek 29
2. fejezet Integráció. Sorok. Végtelen munkák. 40
5. § Komplex változó függvényeinek integrálása.... 40
6. § Cauchy integrál formula 48
7. § Sorozatok a komplex területen 53
8. § Végtelen szorzatok és alkalmazásuk analitikai függvényekre 70
1°. Végtelen művek 70
2°. Egyes függvények kiterjesztése végtelen szorzatokra 75
3. fejezet Függvénymaradékok. . 78
9. § Függvény nullái. Elszigetelt szinguláris pontok 78
1°. A 78-as függvény nullái
2°. Izolált szinguláris pontok 80
10. § Funkciók maradványai 85
§ 11. Cauchy-tétel a maradékokról. A maradékok alkalmazása határozott integrálok számítására. Néhány rad összegzése maradékok felhasználásával.... 92
1°. Cauchy-tétel a 92. maradékokról
2°. Levonások alkalmazása a számításban határozott integrálok 98
3°. Néhány sorozat összegzése maradékok felhasználásával. . 109
12. § Logaritmikus maradék. Az érvelés elve. Rouchet 113. tétele
4. fejezet, Konformális leképezések. 123
13. § Konformális leképezések 123
1°. A konformális leképezés fogalma 123
1 2°. Általános tételek konform leképezések elmélete...125
3°. Konform leképezések készültek lineáris függvény w - az + b, w - \ függvény és tört lineáris függvény w = ffjj . . 127
4°. A basic által végzett konform leképezéseket elemi függvények 138
14. §. Sokszögek konvertálása. Christoffel-Schwarz integrál. 150
1. függelék. . . . 159
15. §. Komplex potenciál. Hidrodinamikai jelentése. . 159
2. függelék 164
A válaszok......... 186

Egy rövid részlet a könyv elejéből(gépi felismerés)

M.L.KRASNOV
A.I. KISZELEV
G.I.MAKARENKO
FUNKCIÓK
ÁTFOGÓ
VÁLTOZÓ
ÜZEMELTETÉSI
SZÁMÍTÁS
ELMÉLET
FENNTARTHATÓSÁG
KIVÁLASZTOTT FEJEZETEK
FELSŐ MATEMATIKA
MÉRNÖKNEK
ÉS MŰSZAKI EGYETEMI DIÁKOK
FELADATOK ÉS GYAKORLATOK
M. L. KRASZNOV
A.I. KISZELEV
G.I.MAKARENKO
FUNKCIÓK
ÁTFOGÓ
VÁLTOZÓ
ÜZEMELTETÉSI
SZÁMÍTÁS
ELMÉLET
FENNTARTHATÓSÁG
MÁSODIK KIADÁS, FELÜLVIZSGÁLT ÉS HOZZÁADVA
A Felső- és Középiskolai Minisztérium jóváhagyta
speciális oktatás Szovjetunió
oktatási segédanyagként
felsőfokú műszaki oktatási intézmények hallgatói számára
MOSZKVA "TUDOMÁNY"
FŐ SZERKEZET
FIZIKAI ÉS MATEMATIKAI L
1981
22.161.5
K 78
UDC 517.531
Krasn körülbelül in M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I.
Egy komplex változó függvényei. Műveleti kalkulus. Theo-
Stabilitáselmélet: Tankönyv, 2. kiadás, átdolgozott. és további -M.:
Tudomány. Fizikai és matematikai irodalom főszerkesztősége, 1981.
A „Selected Chapters of High-
felsőfokú matematika mérnökök és főiskolai hallgatók számára" című könyv
főként a műszaki egyetemek hallgatóinak szól, de
a restaurálni vágyó mérnöknek is hasznára lehet
emlékezetben a könyv címében megjelölt matematikai részek.
Ebben a kiadásban az előzőhöz képest, ben megjelent
1971-ben kibővültek a harmonikus függvényekkel kapcsolatos bekezdések
függvények, maradékok és alkalmazásaik bizonyos inte-
integrálok, konform leképezések. Szintén hozzáadott gyakorlatok
elméleti jellegű.
Minden bekezdés elején a szükséges elméleti
elméleti információk (definíciók, tételek, képletek), valamint alátámasztás
A jellemző feladatokat és példákat részletesen tárgyaljuk.
A könyv több mint 1000 példát és feladatot tartalmaz önismeretekhez.
önálló döntés. Szinte minden problémára van válasz, és néhány esetben
esetekben megoldási útmutatást adunk.
Rizs. 71. Biblia 19 cím
„ 20203-107 ^ o _llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loch Ql 23-81. 1702050000 fizikai és matematikai
053 @2)-81 irodalom, 1981
TARTALOMJEGYZÉK
Előszó 5
I. fejezet Komplex változó függvényei 7
§ K Komplex számok és műveletek rajtuk 7
2. § Komplex változó függvényei. ... # ...", 18
§ 3. Komplex számsorozat határértéke. Határ
és egy komplex változó függvényének folytonossága. . 25
4. § Komplex változó függvényeinek differenciálása
változó. Cauchy-Riemann feltételek #. t. , 32
5. § Komplex változó függvényeinek integrálása. , 42
6. § Cauchy integrál formula 50
7. § Sorozat a komplex területen, 56
8. § Függvény nullái. Elszigetelt szinguláris pontok 72
| 9. 79. függvények maradványai
§ 10. Cauchy-tétel a maradékokról. Levonások alkalmazása az Ön számára
határozott integrálok számítása. Az összegzés nem
néhány levonást használó sorozat 85
§ 11. Logaritmikus maradék. Az érvelés elve. Tétel
Rushe #. , # . 106
12. § Konformális leképezések 115
§ 13. Komplex potenciál. Hidrodinamikus
jelentése 142
fejezet II. Operatív számítás 147
14. § Képek és eredetik keresése 147
15. § A Cauchy-feladat megoldása közönséges lineárisra
állandó együtthatójú differenciálegyenletek
esély 173
16. § Duhamel integrál 185
17. § Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldása
egyenletek működési módszer 188
18. § Határozat integrál egyenletek Volterra magokkal
speciális típus 192
19. §. Differenciálegyenletek késleltetett érvekkel-
érv. . . . a #198
20. § Néhány probléma megoldása matematikai fizika. . , 201
21. §. Diszkrét konverzió Laplace 204
fejezet III. A stabilitás elmélete. , . 218
22. § Differenciálrendszer megoldásának stabilitásának fogalma
differenciálegyenletek. A pihenőhelyek legegyszerűbb típusai 218
4 TARTALOM
23. § Második Ljapunov-módszer 225
24. § Stabilitás vizsgálata az első közelítés szerint
közeledik a 229
25. § Aszimptotikus stabilitás általában. Fenntarthatóság
Lagrange 234 szerint
26. § Routh-Hurwitz kritérium. 237
27. § Geometriai stabilitási kritérium (Mie-kritérium)
Mihajlov), . . , 240
28. § D-válaszfalak 243. §
29. § Differenciálegyenletek megoldásainak stabilitása 250
Válaszok 259
Jelentkezés 300
Irodalom 303
ELŐSZÓ
Ebben a kiadásban a teljes szöveget újra átdolgoztuk.
és néhány kiegészítésre került sor. A szekció annak szentelt
elkötelezett a maradékanyagok elméletével és alkalmazásaival (különösen
viszonylag végtelenül távol vezette be a dedukció fogalmát
távoli pont, levonásokat alkalmazva egyesek összegzésére
néhány sor). Az op- használatához szükséges feladatok száma
operatív kalkulus néhány speciális tanulmányozására
speciális funkciók (gamma-függvények, Bessel-függvények stb.),
valamint a függvények ábrázolására adott feladatok száma
grafikusan. A bekezdés szentelt
konformális leképezéseknek szentelték. Megnövelt mennyiség
a szövegben tárgyalt példák. Az észrevetteket megszüntették
pontatlanságok és elírások; néhány feladat, aminek hatalmas
a nehézkes megoldásokat egyszerűbbek váltották fel.
A könyv második kiadásának előkészítése során elengedhetetlen
tanácsaikkal, észrevételeikkel segítettek bennünket.
A Moszkvai Intézet Matematikai Tanszékének vezetője
acél és ötvözetek professzora V. A. Trenogiy és docense ennek
Osztály M. I. Orlov. Kellemes kötelességünknek tekintjük
kifejezzük nekik mélységes hálánkat.
Az Alkalmazott Tudományok Osztályának észrevételeit, kívánságait figyelembe vettük
a Kijevi Építőmérnöki Intézet matematikusai
(a tanszékvezető egyetemi docens A. E. Zhuravel), valamint
megjegyzései B. Tkacsev elvtársaktól (Krasznodar) és
B. L. Tsavo (Szuhumi). Mindannyiuknak kifejezzük
Hála.
0 ELŐSZÓ
Hálásak vagyunk M.I. Vishik professzornak.
F. I. Karpelevich, A. F. Leontiev and S. I. Pokhozhaev
folyamatos figyelméért és munkánk támogatásáért.
Minden megjegyzés és javaslat a problémakönyv javítására
hálával fogadják.
Szerzői
I. FEJEZET
AZ ÁTFOGÓ FUNKCIÓI
VÁLTOZÓ
§ 1. Összetett számok és a rajtuk végzett műveletek
Az r komplex szám az alak kifejezése
(komplex szám algebrai alakja), ahol x és y tetszőleges valós
valós számok, a i egy képzeletbeli egység, amely kielégíti a feltételt
12 = -1, Az x és y számokat valós és -nek nevezzük
komplex szám képzeletbeli részei
g és számok vannak kijelölve
Komplex szám z=zx - iy
konjugált komplexnek nevezik,
komplex szám r=l: + n/.
Komplex számok hl =Xj + iy%
és r2*= #2 + 4/2 egyenlőnek tekintendő
akkor és csak akkor, ha xr = x21
2. összetett szám =
XOY-síkon ábrázolva
M pont koordinátákkal (dg, y)
vagy egy vektor, amelynek kezdete az ábra* *
az O pontban van @, 0), és a vége
az M (x, y) pontban (1. ábra). Az OM vektor p hosszát modulnak nevezzük
komplex számot és |r|-vel jelöljük, tehát p = | g\=Vx"2+y2>
Az OM vektor által az OX tengellyel alkotott φ szöget argumentumnak nevezzük
r komplex szám argumentuma és jelöljük

nem egyedileg, hanem egy olyan kifejezésig, amely 2 többszöröse:
Arg2 = arg2 + 2bt (£ = 0, ±1, ±2, ...),
ahol arg2 az Arg2 fő értéke, amelyet a feltételek határoznak meg
és
A)
arctg - ha x *> 0,
jt -f *rctg - ha x - i Jr arctg ■ ha x i/2, ha x - 0, y > 0,
- i/2, ha x r» 0, y 8 EGY KOMPLEX VÁLTOZÓ FUNKCIÓI [FEJEZET. én
A következő kapcsolatok érvényesek:
ig (Arg z) - ^~, sin (Arg z)
cos (Arg g) a
Két komplex szám r és r2 akkor és csak akkor egyenlő
amikor a moduljaik egyenlőek és az argumentumaik egyenlőek vagy eltérőek
különbözik 2l többszörösével:
(l «0, ±lt ±2t .«.)
Legyen megadva két zlwcl + ylt 22+y2 komplex szám
I. A z és z% komplex számok zt+z2 összegét komplexnek nevezzük
komplex szám
2. A zx és z2 komplex számok z^-z% különbségét kom-
komplex szám
3. A z1 és r2 komplex számok ztz2 szorzatát nevezzük
komplex szám
A komplex számok szorzatának meghatározásából különösen
ebből következik
2
4. A ~ hányadosa a 2i komplex számnak a komplexszel való osztásával
összetett
Az r komplex számot r komplex számnak nevezzük úgy, hogy
kielégíti az r^r egyenletet^ A hányadosra a képlet teljesül
Ebben az esetben az r^1 képletet használtuk
A B) képlet így írható fel
V
Valós rész Reg és képzeletbeli rész 1tr komplex
a z számokat konjugált komplex számokkal fejezzük ki:
alábbiak szerint:
1. példa Mutassuk meg, hogy zx -\~z2 == -i + 2.2.
Bizonyíték. Értelemszerűen megvan
ij komplex számok és a rajtuk végzett műveletek
1. Igazolja a következő összefüggéseket!
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2« V;
2. példa Keressen valós megoldásokat az egyenletre
Megoldás. Válasszuk ki a valódit az egyenlet bal oldalán
és képzeletbeli részek: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. Ezért szerint
definiálva két komplex szám egyenlőségét kapjuk
Ezt a rendszert megoldva azt találjuk
Keressen valódi megoldásokat az egyenletekre:
2. (Zlg-1)B + 0 + (*-*Zh1+20 = 5 + 6*).
3. (x - iy)(a - ib) = Ca, ahol i, b a megadott műveletek
valós számok, \a\Ф\b\.
5. Képviseljen egy komplex számot (aribp + (a _ .^t
algebrai formában.
6. Bizonyítsuk be, hogy -- - ~*~iX = i (x valós).
x-iY 1 -\-x~
7. Fejezzük ki x-et és y-t az „ui, ha + q fa =” segítségével
= 1(l:, y, u, v valós számok).
8. Keresse meg az összes komplex számot kielégítőnek
2. feltétel = z2.
3. példa Keresse meg egy komplex szám modulusát és argumentumát
g*=- sin - -icos-g-.
Megoldás. megvan
= -sin-l o o
Az A) szerinti érvelés fő jelentése az lesz
argz-- i + arctg/ctg-^j =. - I+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
= - i + arctg i tg d = - i + - i = - l.
\ OOO
EGY KOMPLEX VÁLTOZÓ 10 FUNKCIÓJA [FEJEZET. én
Ezért,
Argz « -~ i + 2&1 (£ = 0, ±1, ±2, ...),
9. A következő problémáknál keresse meg a modult és a fő jelet
a komplex számok argumentum értéke:
a) g-4 + 3/; b) z^~2 + 2V3i",
c) g = - 7 - i\ d) g = - cos | + vétkezem?-;
e) g = 4-3/; e) g = cos a - t sin a
Bármely z - x + iy (r^FO) komplex szám felírható három-
trigonometrikus forma
4. példa Írjon komplexet trigonometrikus formában!
szám
Megoldás. megvan
Ezért,
5. példa Find igazi gyökerek egyenletek
cos;t~f / sin x g» - + x *
Megoldás. Ez az egyenlet nincsenek gyökerei. Valójában,
ez az egyenlet a következővel ekvivalens: cos*= 1/2, sin* = 3/4. Által-
Az utolsó egyenletek inkonzisztensek, mivel cos2 x + sin2 x» 13/16, amely
lehetetlen x bármely értékére.
Bármely r Ф 0 komplex szám felírható exponenciálisan
forma
*Ф ahol р = |г|, cp=*Argz.
6. példa Keresse meg az összes z^O komplex számot kielégítőnek
kielégítő feltétel 2"» 1,
Megoldás. Legyen r =* re*F. Ekkor z «= re~(h>.
Az állapot szerint
vagy
KOMPLEX SZÁMOK ÉS AZOKRA VONATKOZÓ MŰVELETEK II
2£ l
ahonnan rl-2=1, azaz p=1, és tf=2&gi, azaz 2, ..., l-1). Ezért,
.2nk
n
(jfe «0, I, 2, ..., /r-!).
10. A következő komplex számok r három-
trigonometrikus forma:
a) -2; b) 21; V) -
d) 1-sina + icosa
Д> l+cosa-i mivel \és f) -2; g) i; h) -f; i) -1 -/
j) sin a - tcosa E Legyen az rx és r2 komplex számok megadva trigonometrikusan
forma r = px (cos ph! + e sin ph), r2 = p2 (cos ph2 + * sin ph2).
Terméküket a képlet alapján találják meg
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (Ф! + Ф2)],
vagyis ha komplex számokat szorozunk, akkor azok moduljait szorozzuk,
és az érvek összeadódnak:
Arg (Z&) az Arg 2j + Arg r2-ben.
Két komplex szám rx u2^0 hányadosa található, de
képlet
m-^tm lcos (v" *~ ^*)+f*sin (ф1"~ ф2I"
g3 ra
azaz
Komplex szám felépítése
g = p (cos ph + i sin ph)
V természetes fok n-t a képlet állítja elő
Zn - р« (cos ь Jf. i sjn /хф)^
azaz
Ez megadja nekünk Moivre képletét
(cos f + i sin f)l == cos Lf + i sin /gf.
12 EGY KOMPLEX VÁLTOZÓ FUNKCIÓI [FEJEZET. 1
A komplex számok moduljának tulajdonságai
1. |*|H*|; 2- „-|z|”;
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \g*\^\g\"\
5.
H
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
7. példa Számítsa ki (-■ 1 +1 Kz)§v.
Megoldás. Ábrázoljuk az r = -1 -f-* yb számot trigonometrikusan
trigonometrikus forma
-I _)-/Кз = 2 (coe -§- p + | sin ~~ «V

Egy komplex változó függvényei. Összetett számok és műveletek Szakasz: Problémakönyvek és megoldók TViMS-hez. Tutorial for. A komplex változófüggvények elméletének szakasza. az O M vektort egy komplex szám modulusának nevezzük és jelöljük. w és y változók. Könyvtár > Matematikai könyvek > Egy összetett változó függvényei M.: IL, 1963 (djvu); Krasznov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Funkciók. Cím: Összetett változó függvényei: Problémák és példák részletes megoldásokkal.

Krasznov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Egy komplex változó függvényei. Egy komplex változó függvényének határértéke és folytonossága. Válaszok. A fájl letöltéséhez regisztráljon és/vagy. Krasznov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Egy komplex változó függvényei. Műveleti kalkulus. A stabilitás elmélete.

Egy komplex változó függvényei. Egy komplex változó függvényeinek differenciálása. Cauchy-Riemann feltételek. Ez a cikk egy leckesorozatot nyit meg, amelyben egy komplex változó függvényelméletével kapcsolatos tipikus problémákat fogok megvizsgálni. A példák sikeres elsajátításához rendelkeznie kell alapismeretek a komplex számokról. Az anyag megszilárdítása és megismétlése érdekében csak keresse fel a Komplex számok bábokhoz oldalt.

Egy összetett változó reshebnik függvényei Krasznov Kiszelev Makarenko

Szüksége lesz a másodrendű részleges származékok megtalálásához is. Itt vannak ezek a részleges származékok... most is kicsit meglepődtem, hogy milyen gyakran fordulnak elő.... Az általunk vizsgált téma nem jelent különösebb nehézséget, és egy összetett változó függvényében elvileg minden világos és hozzáférhető. A lényeg az, hogy betartsam az alapszabályt, amelyet kísérleti úton vezettem le. Olvass tovább.

Egy komplex változó reshebnik függvényei Krasznov Kiszelev Makarenko 1981

Egy komplex változó függvényének fogalma. Először frissítsük fel ismereteinket egy változó iskolafüggvényéről:. Egy változó függvénye egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke (a definíciós tartományból) a függvény egy és csak egy értékének felel meg. Természetesen az „x” és az „y” valós számok. Összetett esetben a funkcionális függést hasonlóan adjuk meg:. Egy komplex változó egyértékű függvénye egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden komplex értéke (a definíciós tartományból) a függvény egy és csak egy komplex értékének felel meg.

Az elmélet figyelembe veszi a többértékű és néhány más típusú függvényt is, de az egyszerűség kedvéért egy definícióra összpontosítok. Mi a különbség a komplex változós függvény között?

A fő különbség: komplex számok. Nem ironizálok. Az ilyen kérdések gyakran kábultan hagyják az embereket a cikk végén, elmesélek egy vicces történetet. A Komplex számok bábuknak leckében egy komplex számot néztünk meg a formában. Mert most a „z” betű változóvá vált. akkor a következőképpen fogjuk jelölni: , míg az „x” és az „y” eltérő valós jelentést vehet fel.

Nagyjából egy komplex változó funkciója függ a változóktól, amelyek „közönséges” értéket vesznek fel. Tól ezt a tényt Logikusan a következő pont következik: Egy komplex változó függvényének valós és képzetes része. Egy komplex változó függvénye a következőképpen írható fel:.

Ahol és két valós változó két függvénye. A függvényt a függvény valós részének nevezzük. A függvényt a függvény képzeletbeli részének nevezzük. Vagyis egy komplex változó függvénye két valós függvénytől és.

Hogy végül mindent tisztázhassunk, nézzünk gyakorlati példákat: Keresse meg a függvény valós és képzeletbeli részét! Megoldás: A „zet” független változó, mint emlékszel, a következő formában van írva:. (1) V eredeti funkciója keretezett. (2) Az első tagnál a rövidített szorzási képletet használtuk.

A kifejezésben a zárójelek ki lettek nyitva. (3) Óvatosan négyzetre vágva, ezt nem felejtve el. (4) A kifejezések átcsoportosítása: először azokat a kifejezéseket írjuk át, amelyekben nincs képzeletbeli egység (első csoport), majd azokat, ahol van (második csoport). Meg kell jegyezni, hogy nem szükséges megkeverni a feltételeket, és ezt a szakasztátugorható (valójában szóban csinálva). (5) A második csoportnál kivesszük a zárójelből.

Ennek eredményeként a funkciónkat a formában mutattuk be. a függvény valódi része. – a függvény képzeletbeli része.

Milyen funkciók lettek ezekből? A legjobb hétköznapi funkciók két változó, amelyekből ilyen népszerű parciális származékok találhatók. Kegyelem nélkül meg fogjuk találni. De egy kicsit később.

A megoldott feladat algoritmusa röviden a következőképpen írható fel: behelyettesítjük az eredeti függvényt, egyszerűsítéseket hajtunk végre és az összes tagot két csoportra osztjuk - képzeletbeli egység nélkül (valós rész) és képzeletbeli egységgel (képzetes rész). Keresse meg a függvény valós és képzeletbeli részét! Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Mielőtt kivont karddal csatába rohanna, összetett sík, hadd adjam a legtöbbet fontos tanács témában:. VIGYÁZAT! Óvatosnak kell lenni persze mindenhol, de az összetett számoknál óvatosabbnak kell lenni, mint valaha! Ne feledje, hogy ha óvatosan kinyitja a zárójeleket, nem veszít semmit. Megfigyeléseim szerint a leggyakoribb hiba a jel elvesztése. Ne rohanj.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Hogy megkönnyítsük az életet a jövőben, figyeljünk néhány hasznos képletre. Az 1. példában azt találtuk. Most a kocka. A rövidített szorzási képlet segítségével levezetjük:.

Cauchy-Riemann feltételek. Két hírem van: jó és rossz. Kezdem a jóval. Egy komplex változó függvényére érvényesek a differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjainak táblázata.

Így a derivált pontosan ugyanúgy vesszük fel, mint egy valós változó függvénye esetén. A rossz hír az, hogy egy összetett változó sok függvényéhez egyáltalán nincs derivált, és ki kell deríteni, hogy egy adott függvény differenciálható-e.

És a szíved „kitalálása” további problémákkal jár. Tekintsük egy komplex változó függvényét. Annak érdekében, hogy ezt a funkciót differenciálható volt szükséges és elégséges:. 1) Tehát léteznek elsőrendű parciális származékok.

Azonnal felejtsd el ezeket a jelöléseket, mivel az összetett változó függvényelméletében hagyományosan más jelölést használnak: 2) Úgy, hogy az úgynevezett Cauchy-Riemann feltételek teljesüljenek:. Csak ebben az esetben létezik a származék. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a függvény deriváltját. A megoldás három egymást követő szakaszra oszlik:. 1) Keressük meg a függvény valós és képzetes részét! Erről a feladatról a korábbi példákban volt szó, ezért megjegyzés nélkül leírom:.

Így:. – a funkció valós része;. – a függvény képzeletbeli része. Hadd időzzek még egy technikai szemponton: milyen sorrendben írjuk a kifejezéseket a valós és a képzeletbeli részbe? Igen, elvileg nem számít. Például a valós rész így írható: , a képzeletbeli rész pedig így:. 3) Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ketten vannak.

Kezdjük az állapot ellenőrzésével. Részleges származékok keresése: Így a feltétel teljesül. Természetesen a jó hír az, hogy a részleges származékok szinte mindig nagyon egyszerűek. Ellenőrizzük a második feltétel teljesülését:. Ugyanaz derült ki, de azzal ellentétes jelek, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható. 3) Keressük meg a függvény deriváltját. A származék is nagyon egyszerű, és a szokásos szabályok szerint található: A képzeletbeli egységet a differenciálás során állandónak tekintjük. Válasz: – valós rész, – képzeletbeli rész. A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. Két további módja van a derivált megtalálásának, ezeket természetesen ritkábban használják, de az információ hasznos lesz a második lecke megértéséhez - Hogyan keressünk egy komplex változó függvényét.

A derivált a következő képlettel kereshető meg:. Ebben az esetben:. El kell dönteni inverz probléma– a kapott kifejezésben el kell különíteni.

Ennek érdekében a következőket kell a feltételekben és zárójelben feltüntetni:. A fordított műveletet, amint azt sokan észrevették, valamivel nehezebb ellenőrizni, mindig jobb, ha a kifejezést egy piszkozatra vesszük, vagy szóban visszanyitjuk a zárójeleket, ügyelve arra, hogy pontosan kiderüljön. Tükörképlet a derivált megtalálásához:. Ebben az esetben: , ezért:. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét!

Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a függvény deriváltját. Gyors megoldásés egy hozzávetőleges minta a végső tervből a lecke végén. Mindig teljesülnek a Cauchy-Riemann feltételek? Elméletileg nem teljesülnek be gyakrabban, mint teljesülnek. De be gyakorlati példák Nem emlékszem olyan esetre, amikor ne teljesültek volna =) Tehát ha a parciális deriváltjai „nem konvergálnak”, akkor nagyon nagy valószínűséggel mondhatjuk, hogy valahol hibát követett el. Bonyolítsuk a funkcióinkat:. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét!

Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Számítsa ki. Megoldás: A megoldási algoritmus teljesen ugyanaz, de a végére egy új pont kerül hozzáadásra: a derivált megtalálása egy pontban. Kocka számára szükséges képlet már visszavonva:. Határozzuk meg ennek a függvénynek a valós és képzetes részét:. Figyelem és még egyszer figyelem. Így:.

– a funkció valós része;. – a függvény képzeletbeli része. Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A második feltétel ellenőrzése:. Az eredmény ugyanaz, de ellentétes előjelekkel, vagyis a feltétel is teljesül. A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható:.

Számítsuk ki a derivált értékét a kívánt pontban:. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. A kockákkal rendelkező függvényekkel gyakran találkozhatunk, ezért itt van egy példa a megerősítésre:. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét!

Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Számítsa ki.

Megoldás és példa a lecke végén történő befejezésre. A komplex analízis elmélete egy komplex argumentum egyéb függvényeit is meghatározza: kitevő, szinusz, koszinusz stb. Ezek a függvények szokatlan, sőt bizarr tulajdonságokkal rendelkeznek – és ez igazán érdekes! Nagyon szeretném elmondani, de itt, ahogy megtörténik, nem kézikönyv vagy tankönyv van, hanem megoldási könyv, ezért ugyanezt a problémát néhány gyakori funkcióval fogom megvizsgálni. Először is, az úgynevezett Euler-képletekről:

Euler-képletek. Bármely valós számra a következő képletek érvényesek:. Referenciaanyagként a notebookjába is másolhatja.

Szigorúan véve csak egy képlet van, de a kényelem kedvéért általában írnak speciális eset mínusz a mutatóban. A paraméternek nem kell egyetlen betűnek lennie, lehet összetett kifejezés vagy függvény, csak az a fontos, hogy csak valós értékeket vegyenek fel. Tulajdonképpen most ezt fogjuk látni:. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Keresse meg a származékot.

Döntés: A párt általános vonala megingathatatlan marad - meg kell különböztetni a funkció valós és képzeletbeli részét. hozom neked részletes megoldás, alább pedig minden egyes lépéshez hozzászólok:. Azóta:. (1) Helyettesítsd a „z”-t. (2) A behelyettesítés után először el kell különíteni a valós és a képzeletbeli részt a kitevőben. Ehhez nyissa ki a zárójeleket. (3) Az indikátor képzeletbeli részét csoportosítjuk, a képzeletbeli egységet zárójelbe helyezve.

(4) Használat iskolai akció fokozatokkal. (5) A szorzóhoz ebben az esetben az Euler-képletet használjuk. (6) Kinyitjuk a zárójeleket, ennek eredményeként:. – a funkció valós része;. – a függvény képzeletbeli része. A további műveletek szabványosak, ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A részleges származékok ismét nem túl bonyolultak, de minden esetre a tűzoltó a lehető legrészletesebben leírta őket.

Nézzük a második feltételt: A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a derivált:. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. A második Euler-képlethez önálló megoldási feladat:. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését és keresse meg a származékot.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén. ! Figyelem! Az Euler-képlet mínuszjele a képzeletbeli részre vonatkozik, azaz. Egy mínuszt nem veszíthetsz. Közvetlenül az Euler-képletekből származtatható a képlet a szinusz és koszinusz valós és képzetes részekre bontására. Maga a konklúzió egyébként elég unalmas, itt van a szemem előtt a tankönyvben (Bokhan, Matematikai elemzés, 2. kötet). Ezért azonnal bemutatom a kész eredményt, amelyet ismét hasznos bemásolni a referenciakönyvébe:.

Az „alpha” és „beta” paraméterek csak valós értékeket fogadnak el, így lehetnek komplex kifejezések, valós változó függvényei. Ráadásul a képlet azt mutatja hiperbolikus függvények, differenciálva egymásba fordulnak, nem véletlenül vettem fel a származékok táblázatába. Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Így legyen, nem találjuk meg a származékot.

Megoldás: A megoldási algoritmus nagyon hasonlít az előző két példához, de nagyon vannak fontos pontokat, Ezért kezdeti szakaszban Lépésről lépésre ismét hozzászólok:. Azóta:. 1) Helyettesítse a „z”-t. (2) Először kiválasztjuk a szinuszon belüli valós és képzeletbeli részeket. Ebből a célból kinyitjuk a zárójeleket. (3) Ebben az esetben a képletet használjuk.

(4) Használjon paritást hiperbolikus koszinusz. és a hiperbolikus szinusz páratlansága.

A hiperbolika, bár nem e világból származik, sok tekintetben hasonló trigonometrikus függvényekre emlékeztet. – a funkció valós része;. – a függvény képzeletbeli része.

Figyelem! A mínusz jel a képzeletbeli részre utal, és semmi esetre sem szabad elveszíteni! A világos szemléltetés érdekében a fent kapott eredményt a következőképpen írhatjuk át: Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

Hölgyeim és uraim, döntsük el magunktól: Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Szándékosan választottam nehezebb példákat, mert úgy tűnik, mindenki megbirkózik valamivel, például a héjas mogyoróval. Ugyanakkor edzi a figyelmét! Diótörő az óra végén.

Nos, befejezésül megfontolok még egyet érdekes példa, Mikor összetett érvelés a nevezőben van. A gyakorlatban többször előfordult, nézzünk valami egyszerűt. Jaj, öregszem... Határozza meg a függvény valós és képzetes részét!

Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Megoldás: Ismét el kell választani a függvény valós és képzetes részét. Felmerül a kérdés, hogy mit tegyünk, ha „Z” van a nevezőben. Minden egyszerű - a számláló és a nevező konjugált kifejezéssel való szorzásának szokásos technikája segít. már használták a Complex Numbers for Dummies lecke példáiban. Emlékezzünk iskolai képlet. A nevezőben már szerepel, ami azt jelenti, hogy a konjugált kifejezés a következő lesz.

Így a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni a következővel:. Ez minden, és féltél: – a funkció valós része;. – a függvény képzeletbeli része. Harmadszor is megismétlem - ne veszítse el a képzeletbeli rész mínuszát. Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Azt kell mondanunk, hogy a parciális származékok itt nem éppen wow, de már nem a legegyszerűbbek: A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. Utószóként egy rövid történet a kábultságról, vagy arról, hogy a tanárok mely kérdések a legnehezebbek. A legnehezebb kérdések furcsa módon azok, amelyekre egyértelmű válaszok vannak.

A történet pedig a következő: az ember algebrából vizsgázik, a jegy témája: „Az algebra alaptételének következménye.” A vizsgáztató hallgat és hallgat, majd hirtelen megkérdezi: „Ez honnan jön?” Ez kábulat volt, olyan kábulat. Az egész hallgatóság már nevetett, de a diák még mindig nem mondta ki a helyes választ: „az algebra alaptételéből”.

Emlékszem a történetre innen személyes tapasztalat, fizikát veszek, van valami a folyadéknyomással kapcsolatban, amire már nem emlékszem, de a rajz örökre az emlékezetemben maradt - egy íves cső, amelyen keresztül folyadék áramlott. „Kiváló” jeggyel válaszoltam, és még én magam is értettem, amit válaszoltam. És végül a tanár megkérdezi: "Hol van a jelenlegi cső?"

Körülbelül öt percig csavartam-forgattam ezt a rajzot egy íves csővel, kifejeztem a legvadabb változatokat, fűrészeltem a csövet, rajzoltam néhány vetületet. A válasz pedig egyszerű volt, a jelenlegi cső az egész cső. Jól sikerült, találkozunk az órán Hogyan találhatunk függvényt egy komplex változóhoz? Itt az inverz problémát elemzik.

Néha a nyilvánvaló a legnehezebb, azt kívánom mindenkinek, hogy ne lassítson. Megoldások és válaszok:.

2. példa: Megoldás: mivel, akkor:. Válasz: – valós rész, – képzeletbeli rész. 4. példa: Megoldás: Mivel, akkor:. Így:. – a funkció valós része;.

– a függvény képzeletbeli része. Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A feltétel teljesül. A feltétel is teljesül. A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a derivált:. Válasz: – valós rész, – képzeletbeli rész. A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

6. példa: Megoldás: határozzuk meg ennek a függvénynek a valós és képzetes részét. Így:. – a funkció valós része;. – a függvény képzeletbeli része. Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

8. példa: Megoldás: Mivel, akkor:. Így:. – a funkció valós része;.

– a függvény képzeletbeli része. Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a derivált:. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. 10. példa: Megoldás: Mivel, akkor:. Így:. – a funkció valós része;.

– a függvény képzeletbeli része. Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését: A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek. Válasz: , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

Ebben a tankönyvben a szerzők problémákat javasolnak egy komplex változó függvényelméletének főbb részein. Minden bekezdés elején megadjuk a szükséges elméleti információkat (definíciók, tételek, képletek), és mintegy 150 tipikus problémát és példát elemzünk részletesen.
A könyv több mint 500 feladatot és példát tartalmaz önálló megoldásra. Szinte minden problémára választ adnak, és néhány esetben megoldási utasításokat is adnak.
A könyvet elsősorban a műszaki egyetemek matematikai képzettségű hallgatóinak szánjuk, de hasznos lehet azoknak a mérnököknek is, akik egy komplex változó függvényelméletéhez kapcsolódó matematikai szakaszokat kívánnak felidézni.

Egy w = f(z) függvényt egy D tartományban definiáltnak nevezünk, ha minden z D pont w egy (egyértékű függvény) vagy több (többértékű függvény) értékéhez van társítva.
Így a w = f(z) függvény a z komplex sík pontjait a w komplex sík megfelelő pontjaira képezi le.
Legyen z = x + iy és w = u + iv. Ekkor a w komplex függvény és a z komplex változó közötti w = f(z) függés leírható két u és v valós függvénnyel, x és y valós változókkal u = u(x, y), v = v(x, y) .

TARTALOMJEGYZÉK
1. fejezet Egy komplex változó függvényei 3
1. § Komplex számok és a rajtuk végzett műveletek 3
2. § Komplex változó függvényei 14
§ 3. Komplex számsorozat határértéke. Egy komplex változó függvényének határértéke és folytonossága 22
4. § Komplex változó függvényeinek differenciálása. Cauchy-Riemann feltételek 29
2. fejezet Integráció. Sorok. Végtelen művek 40
5. § Komplex változó függvényeinek integrálása 40
6. § Cauchy integrál formula 48
7. § Sorozatok a komplex területen 53
8. § Végtelen szorzatok és alkalmazásuk analitikai függvényekre 70
1°. Végtelen művek 70
2°. Egyes függvények kiterjesztése végtelen szorzatokra 75
3. fejezet Függvénymaradékok 78
9. § Függvény nullái. Elszigetelt szinguláris pontok 78
1°. A 78-as függvény nullái
2°. Izolált szinguláris pontok 80
10. § Funkciók maradványai 85
§ 11. Cauchy-tétel a maradékokról. A maradékok alkalmazása határozott integrálok számítására. Néhány rad összegzése maradékok felhasználásával 92
1°. Cauchy-tétel a 92. maradékokról
2°. A maradékok alkalmazása a határozott integrálok számításához 98
3°. Néhány sorozat összegzése a 109. maradékok felhasználásával
12. § Logaritmikus maradék. Az érvelés elve. Rouchet 113. tétele
4. fejezet Konformális leképezések 123
13. § Konformális leképezések 123
1°. A konformális leképezés fogalma 123
1 2°. A konformális leképezések elméletének általános tételei 125
3°. A w=az+b lineáris, a w=1\z függvény és a w = az+b\cz+b tört lineáris függvény által végrehajtott konform leképezések 127
4°. Alapvető elemi függvényekkel végzett konformális leképezések 138
14. §. Sokszögek konvertálása. Christoffel-Schwarz integrál 150
1. függelék 159
15. §. Komplex potenciál. Hidrodinamikai jelentése 159
2. függelék 164.

Ingyenes letöltés e-könyv kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
- fileskachat.com, gyors és ingyenes letöltés.

Letöltés pdf
Ezt a könyvet az alábbiakban vásárolhatja meg legjobb ár kedvezményes szállítással Oroszország egész területén. Vásárolja meg ezt a könyvet


- Yandex People Disk.