Mielőtt rátérnénk erre a részre, idézzük fel a szinusz és koszinusz definícióit, amelyeket a geometria tankönyv 7-9.

Sinus hegyesszög t derékszögű háromszögből egyenlő az aránnyal a hypotenusával ellentétes oldal (1. ábra):

Egy derékszögű háromszög t hegyesszögének koszinusza egyenlő az aránnyal szomszédos láb a hypotenushoz (1. ábra):

Ezek a meghatározások derékszögű háromszögre vonatkoznak, és az ebben a részben bemutatott definíciók speciális esetei.

Helyezzük el ugyanazt a derékszögű háromszöget a számkörre (2. ábra).

Látjuk, hogy a láb b egy bizonyos értékkel egyenlő y az Y tengelyen (ordináta tengely), láb A egy bizonyos értékkel egyenlő x az X-tengelyen (x-tengelyen). És a hipotenusz Val vel egyenlő a kör sugarával (R).

Így képleteink más formát öltenek.

Mivel b = y, a = x, c = R, akkor:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Egyébként természetesen az érintő és a kotangens képletek más formát öltenek.

Mivel tg t = b/a, ctg t = a/b, akkor más egyenletek is igazak:

tg t = y/x,

ctg = x/y.

De térjünk vissza a szinuszhoz és a koszinuszhoz. Olyan számkörrel van dolgunk, amelynek sugara 1. Ez azt jelenti:

y
sin t = -- = y,
1

x
cos t = -- = x.
1

Tehát elérkeztünk a harmadikhoz, több egyszerű nézet trigonometrikus képletek.

Ezek a képletek nemcsak hegyes, hanem bármely más szögre is érvényesek (tompa vagy fejlett).

Definíciók és képletekkötözősalátat,bűnt,tgt,ctgt.

Az érintő és kotangens képletekből egy másik képlet következik:

Egyenletek számkör.

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelei negyedkörben:

	1. negyed	2. negyed	3. negyed	4. negyed

A számkör főpontjainak koszinusza és szinusza:

Hogyan emlékezzünk a számkör fő pontjainak koszinuszainak és szinuszainak értékeire.

Először is tudnod kell, hogy minden számpárban a koszinusz értékek az elsők, a szinuszértékek a másodikak.

1) Figyelem: a számkör sok pontjával csak öt számmal van dolgunk (modulonként):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Tedd ezt a „felfedezést” magadnak – és eltávolítod pszichológiai félelem számok bősége előtt: valójában csak öten vannak.

2) Kezdjük a 0 és 1 egész számokkal. Ezek csak a koordinátatengelyeken vannak.

Nem kell fejből megtanulni, hogy például a modulusban a koszinusznak hol van egy és hol 0.

A tengely végein koszinuszokat(tengelyek x), természetesen, koszinuszokat egyenlő modul 1 , és a szinuszok egyenlők 0-val.

A tengely végein melléküregek(tengelyek nál nél) a szinuszok egyenlőek az 1-es modulussal, és a koszinuszok egyenlők 0-val.

Most a jelekről. A nullának nincs jele. Ami az 1-et illeti - itt csak a legtöbbre kell emlékeznie egyszerű dolog: a 7. osztályos tanfolyamtól tudod mi van a tengelyen x a középponttól jobbra Koordináta sík – pozitív számok, balra – negatív; a tengelyen nál nél a pozitív számok a középpontból felfelé, a negatívak lefelé mennek. És akkor nem fog tévedni az 1-es jellel.

3) Most térjünk át a tört értékekre.

A törtek minden nevezője ugyanazt a 2-es számot tartalmazza. Többé nem fogunk tévedni abban, hogy mit írjunk a nevezőbe.

A negyedek közepén a koszinusz és a szinusz abszolút értéke abszolút azonos: √2/2. Ebben az esetben plusz vagy mínusz előjellel vannak – lásd a fenti táblázatot. De aligha kell ilyen asztal: ezt ugyanarról a 7. osztályos tanfolyamról tudod.

Minden a tengelyhez legközelebb van x a pontok koszinusz- és szinuszértékei teljesen azonosak: (√3/2; 1/2).

A tengelyhez legközelebb eső összes érték nál nél A pontok modulusban is teljesen azonosak - és ugyanazok a számok, csak „helyet cseréltek”: (1/2; √3/2).

Most a jelekről - van itt egy érdekes váltakozás (bár úgy gondoljuk, hogy így is könnyen kitalálhatod a jeleket).

Ha az első negyedévben mind a koszinusz, mind a szinusz értékei plusz előjellel rendelkeznek, akkor az átmérővel ellentétes (harmadik) mínuszjellel rendelkeznek.

Ha a mínusz előjelű második negyedben csak koszinuszok vannak, akkor az átmérővel ellentétes (negyedik) csak szinuszok vannak.

Csak emlékeztetni kell arra, hogy a koszinusz és a szinusz értékek minden kombinációjában az első szám a koszinusz érték, a második szám a szinusz érték.

Ügyeljen még egy szabályszerűségre: a kör minden átlósan ellentétes pontjának szinusza és koszinusza abszolút egyenlő nagyságú. Vegyük például az ellentétes π/3 és 4π/3 pontokat:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Két ellentétes pont koszinuszának és szinuszának értéke csak előjelben tér el. De itt is van egy minta: a homlokegyenest ellenkező pontok szinuszainak és koszinuszainak mindig ellentétes előjele van.

Fontos tudni:

A számkör pontjainak koszinuszainak és szinuszainak értékei egymás után szigorúan nőnek vagy csökkennek egy bizonyos sorrendben: a legkisebb értéktől a legnagyobbig és fordítva (lásd a „Növelés és csökkentés” részt trigonometrikus függvények" - azonban ez könnyen ellenőrizhető, ha egyszerűen megnézi a fenti számkört).

Csökkenő sorrendben az értékek következő váltakozását kapjuk:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Szigorúan fordított sorrendben nőnek.

Miután megértette ezt az egyszerű mintát, megtanulja, hogyan határozhatja meg a szinusz és a koszinusz értékeit meglehetősen egyszerűen.

A számkör főpontjainak érintője és kotangense.

A számkör pontjainak koszinuszának és szinuszának ismeretében könnyen kiszámíthatja azok érintőjét és kotangensét. Osszuk el a szinust a koszinuszral, és kapjuk meg az érintőt. Ossza el a koszinuszát a szinuszával, és kapja meg a kotangenst. Ennek a felosztásnak az eredményei az ábrán láthatók.

MEGJEGYZÉS: Egyes táblázatokban az érintő és a kotangens értékei, egyenlő a modulussal√3/3, jelölése 1/√3. Itt nincs hiba, mivel ezek egyenértékű számok. Ha az 1/√3 szám számlálóját és nevezőjét megszorozzuk √3-mal, √3/3-at kapunk.

Hogyan emlékezzünk a számkör fő pontjainak érintőinek és kotangenseinek jelentésére.

A szabályok itt ugyanazok, mint a szinuszoknál és koszinuszoknál. És itt csak négy szám van (modulonként): 0, √3/3, 1, √3.

A koordinátatengelyek végén kötőjelek és nullák találhatók. A kötőjelek azt jelentik, hogy az érintőnek vagy kotangensnek nincs értelme ezeken a pontokon.

Hogyan emlékezzünk arra, hogy hol vannak a kötőjelek és hol vannak a nullák? Egy szabály segít.

Az érintő egy arány szinusz koszinuszba. A tengely végein melléküregek(tengely nál nél) érintő nem létezik.

A kotangens egy reláció koszinusz a szinuszhoz. A tengely végein koszinuszokat(tengely x) kotangens nem létezik.

A többiben pont megy csak három szám váltakozik: 1, √3 és √3/3 plusz vagy mínusz előjelekkel. Hogyan bánjunk velük? Emlékezz (vagy ami még jobb, képzelj el) három körülményt:

1) a negyedek összes felezőpontjának érintői és kotangensei az 1. modulban találhatók.

2) a tengelyhez legközelebb eső érintők és kotangensek x pontok modulusa √3/3; √3.

3) az y tengelyhez legközelebbi pontok érintőinek és kotangenseinek modulusa √3; √3/3.

Ne tévedjen a jelekkel, és nagyszerű szakértő lesz.

Hasznos lenne megjegyezni, hogy a tangens és a kotangens hogyan növekszik és csökken a számkörön (lásd a fenti számkört, vagy a „Növekvő és csökkentő trigonometrikus függvények” részt). Ekkor még jobban érthető lesz az érintő és a kotangens értékeinek váltakozásának sorrendje.

A számok trigonometrikus tulajdonságai a számkörön.

Képzeljük el, hogy egy bizonyos M pont t értéke.

1. tulajdonság:

bűn(-t) = –sint

kötözősaláta(-t) = cos t

tg(-t) = –tg t

ctg(-t) = –ctg t

Magyarázat. Legyen t = –60º és t = –210º.

cos –60º egyenlő 1/2. De mivel a 60º egyenlő 1/2-tel is. Vagyis a –60º és a 60º koszinusz egyenlő nagyságban és előjelben is: cos –60º = cos 60º.

cos –210º egyenlő –√3/2. De cos 210º is egyenlő –√3/2. Azaz: cos –210º = cos 210º.

kötözősaláta(-t) =kötözősalátat.

sin –60º egyenlő –√3/2. A sin 60° pedig egyenlő √3/2-vel. Vagyis a sin –60º és a sin 60º nagyságrendileg egyenlő, de az előjelben ellentétes.

sin –210º egyenlő 1/2. És a sin 210° egyenlő –1/2. Vagyis a sin –210º és a sin 210º nagyságrendileg egyenlő, de az előjelben ellentétes.

Így ezt bebizonyítottuk bűn(-t) = –bűnt.

Nézze meg, mi történik e szögek érintőivel és kotangenseivel – és maga is könnyedén bebizonyíthatja magának a táblázatban megadott másik két azonosság helyességét.

Következtetés: koszinusz – páros funkció, a szinusz, az érintő és a kotangens páratlan függvények.

2. tulajdonság: Mivel t = t + 2π k, Ez:

sin(t+2πk ) = sin t

cos(t+2πk ) = költség t

Magyarázat: t és t + 2π k ugyanaz a pont a számkörön. Csak 2π esetén k csinálunk egy bizonyos összeget teljes forradalmak megkerülni a kört, mielőtt megérkeznénk a t ponthoz. Ez azt jelenti, hogy a táblázatban bemutatott egyenlőségek nyilvánvalóak.

3. tulajdonság: Ha egy kör két pontja egymással szemben van az O középponthoz képest, akkor szinuszuk és koszinuszaik nagyságukban egyenlőek, de előjelükben ellentétesek, érintőik és kotangenseik nagyságukban és előjelükben is azonosak.

sin(t+π) = – sint

cos(t+π) = – cos t

tg(t+π) = tg t

cotg(t+π) = cotg t

Magyarázat: Legyen M pont az első negyedben. Neki van pozitív érték szinusz és koszinusz. Ebből a pontból rajzoljunk átmérőt - vagyis egy szakaszt, amely áthalad a koordináta tengelyének középpontján és a kör ellenkező pontjában végződik. Jelöljük ezt a pontot N betűvel. Mint látható, az MN ív egyenlő egy fél körrel. Azt már tudod, hogy a fél kör π-vel egyenlő érték. Ez azt jelenti, hogy az N pont π távolságra van az M ponttól. Más szóval, ha hozzáadjuk a π távolságot az M ponthoz, akkor megkapjuk az N pontot, amely szemben található. A harmadik negyedben jár. Ellenőrizze és nézze meg: N pont koszinusza és szinusza - mínusz előjellel ( xÉs y negatív értékei vannak).

Az M pont érintőjének és kotangensének pozitív értéke van. Mi a helyzet az N pont érintőjével és kotangensével? A válasz egyszerű: végül is az érintő és a kotangens a szinusz és a koszinusz aránya. Példánkban az N pont szinusza és koszinusza mínusz előjelű. Eszközök:

–sin t
tg (t + π) = ---- = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = ---- = ctg t
–sin t

Bebizonyítottuk, hogy a kör átlósan ellentétes pontjainak tangensének és kotangensének nemcsak azonos értéke, hanem előjele is megegyezik.

4. tulajdonság: Ha egy kör két pontja szomszédos negyedekben van, és a pontok közötti távolság egyenlő a kör egynegyedével, akkor az egyik pont szinusza egyenlő egy másik azonos előjelű pont koszinuszával, és az egyik pont koszinuszával egyenlő a szinusz a második ellentétes előjellel.

π bűn (t + -) = költség t 2

π kötözősaláta(t + -) =–sin t 2

Trigonometria - szakasz matematikai tudomány, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriában való felhasználását tárja fel. A trigonometria fejlődése a napokban kezdődött ókori Görögország. A középkor folyamán fontos hozzájárulás A Közel-Kelet és India tudósai hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk annak szentelt alapfogalmakés a trigonometria definíciói. Az alapvető trigonometrikus függvények definícióit tárgyalja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányával fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és a hipotenusz aránya.

A szög koszinusza (cos α) a szomszédos láb és az alsó rész aránya.

Szög érintő (t g α) - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Ezek a meghatározások a derékszögű háromszög hegyesszögére vonatkoznak!

Adjunk egy illusztrációt.

BAN BEN ABC háromszög C derékszög esetén az A szög szinusza egyenlő a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékének kiszámítását úgy, hogy ismert hosszúságok a háromszög oldalai.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya -1 és 1 között van. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között van. Az érintő és a kotangens értéktartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek a függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, amelynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között. .

Ebben az összefüggésben definiálhatunk tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origójában van.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont az egységkör középpontja körül egy bizonyos α szögben elfordul, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáiban adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

Az elforgatási szög koszinusza (cos).

Az α elforgatási szög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α forgásszög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α elforgatási szög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszán az ordinátához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely elforgatási szöghez definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája elforgatás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő definiálatlan, ha egy pont az elforgatás után egy nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) pontba kerül. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor egy pont ordinátája nullára megy.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz minden α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Amikor döntenek gyakorlati példák ne mondd, hogy "az α forgásszög szinusza". A „forgásszög” szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szám szinusza egyenlő a 10 π rad elforgatási szög szinuszával.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Nézzük meg közelebbről.

Bárki valós szám t az egységkör egy pontja a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjához kapcsolódik. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül vannak meghatározva.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kezdőpont fog menni, ha a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat egy szám és egy kör pontja között, továbblépünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójára.

Sine (sin) a t

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- a számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának és abszcisszájának aránya t. t g t = y x = sin t cos t

A legújabb meghatározások összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Mutasson a számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont egy szögnyi elfordulás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Csakúgy, mint minden α szög, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) egy bizonyos érintőértéknek felel meg. A kotangens a fentiek szerint minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám érintőértéknek felel meg. A kotangens ehhez hasonlóan minden számra definiálva van, kivéve π · k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

A szövegkörnyezetből általában világos, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentuma ( szögérv vagy numerikus argumentum) foglalkozunk.

Térjünk vissza a legelején megadott definíciókhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok között van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus definíciói teljes mértékben összhangban vannak geometriai meghatározások, amelyet egy derékszögű háromszög oldalarányaival adunk meg. Mutassuk meg.

Vegyünk egy egységkört, amelynek középpontja téglalap alakú Descartes-rendszer koordináták Fordítsuk meg kiindulópont Az A (1, 0) szöget legfeljebb 90 fokos szögben állítsa be, és az eredményül kapott A 1 (x, y) pontból rajzoljon merőlegest az abszcisszára. A kapott derékszögű háromszög szög A 1 O H szöggel egyenlőα fordulat, az O H láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont abszcisszájával. Láb hossz, szemközti sarok, egyenlő az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenúzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a képarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelése a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknős” apóriája. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ...a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről... részt vettek a kérdés vizsgálatában; matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó alkalmazás helyett alkalmazást jelent. Amennyire én értem, matematikai berendezés A változó mértékegységek használatát vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. VAL VEL fizikai pont Perspektívából úgy tűnik, hogy az idő lelassul, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz fut vele állandó sebesség. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradj bent állandó egységek időméréseket, és ne menjen reciprok mennyiségekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról szól:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában logikai paradoxon nagyon egyszerűen leküzdhető - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugszik a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szüksége különböző pontokat tér egy adott időpontban, de ezekből lehetetlen meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Amire szeretnék rámutatni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más lehetőséget biztosítanak a kutatáshoz.

2018. július 4., szerda

A készlet és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.

Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazható matematikai elmélet maguknak a matematikusoknak állítja be.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetési készletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: különböző érméken van különböző mennyiségben sár, kristályos szerkezetés az atomok elrendezése minden érmében egyedi...

És most nekem van a legtöbb érdeklődés Kérdezzen: hol van az a vonal, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.

Nézz ide. kiválasztunk futballstadionok azonos táblaterülettel. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Végül is a számok azok grafikus szimbólumok, melynek segítségével számokat írunk és a matematika nyelvén így hangzik a feladat: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk, hogy megtaláljuk a számok összegét adott szám. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.

Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Szóval, be különböző rendszerek A számításban ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. VAL VEL egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, nézzük a 26-os számot a cikkből. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan lehet a matematikában kijelölni valamit, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ekkor az eredmény matematikai művelet nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki hajtja végre a műveletet.

Jel az ajtón Kinyitja az ajtót és azt mondja:

Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.

Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakáló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem hülye, nem fizikában jártas. Csak van egy ősi sztereotípiája az észlelésről grafikus képek. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.

6.12. probléma. Ugyanaz a kérdés, mint az előző feladatnál, de azért szabályos ötszög(tipp: lásd a 3.5. feladatot).

6.13. probléma. A 4.8. feladatban azt mondtuk, hogy egy kis α szög koszinuszának közelítő értékeként vehetjük az 1-es számot, vagyis a koszinuszfüggvény nullán lévő értékét. Mi van akkor, ha minden további nélkül a 0 = sin 0-t vesszük közelítő értékként egy kis α szög szinuszára? Miért rossz ez?

Rizs. 6.4. Az M pont cikloid mentén mozog.

6.14. probléma. Tekintsünk egy 1 sugarú kereket, amely az origónál érinti az x tengelyt (6.4. ábra). Tételezzük fel, hogy a kerék az x tengely mentén gördült a pontban pozitív irány 1-es sebességgel (azaz t idő alatt középpontja t jobbra tolódik).

a) Rajzoljon (közelítőleg) egy görbét, amelyet az M pont fog leírni, az abszcissza tengelyt az első pillanatban érintve.

b) Mekkora lesz az M pont abszcisszája és ordinátája a mozgás megkezdése utáni t idő után!

6.1. Érintőtengely

Ebben a szakaszban a szinust és a koszinust geometriailag, egy pont ordinátájaként és abszcisszájaként definiáltuk, és érintőt - algebrailag - sin t/ cos t-ként. Lehetséges azonban az érintőnek geometriai jelentést adni.

Ehhez áthúzzuk az (1; 0) koordinátákkal rendelkező pontot (az origó pontban van trigonometrikus kör) trigonometrikus kör érintője - a tengellyel párhuzamos egyenes

Rizs. 6.5. Érintőtengely.

ordináta Nevezzük ezt az egyenest érintőtengelynek (6.5. ábra). Ezt az elnevezést így indokoljuk: legyen M a t számnak megfelelő trigonometrikus kör pontja. Folytassuk az SM sugarat, amíg az érintőtengellyel nem metszi. Ekkor kiderül, hogy a metszéspont ordinátája egyenlő tg t-vel.

Valójában a NOS és MP S háromszögek az ábrán. 6,5 nyilván

	de hasonló. Innen
	ami elhangzott.									vagy (0; -1), majd közvetlenül
	Ha az M pont koordinátái (0; 1)

Május SM párhuzamos az érintőtengellyel, és az érintő nem határozható meg módszerünkkel. Ez nem meglepő: ezeknek a pontoknak az abszcisszája 0, tehát cos t = 0 a t megfelelő értékeire, és tg t = sin t/cos t nincs definiálva.

6.2. A trigonometrikus függvények jelei

Nézzük meg, hogy a szinusz, a koszinusz és az érintő mely t értékeinél pozitívak, és milyen értékeknél negatívak. A definíció szerint sin t a t számnak megfelelő trigonometrikus kör pontjának ordinátája. Ezért sin t > 0, ha a t pont be van kapcsolva

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete