Az ismert variancia konfidencia intervalluma. Konfidenciaintervallum az MS EXCEL varianciabecsléséhez
Természetesen a kumulatív eloszlásfüggvény számításánál az említett összefüggést kell használni a binomiális és a béta eloszlás között. Ez a módszer nyilvánvalóan jobb, mint a közvetlen összegzés, ha n > 10.
A klasszikus statisztika tankönyvekben a binomiális eloszlás értékeinek megszerzéséhez gyakran ajánlott határtételeken alapuló képleteket használni (például a Moivre-Laplace képletet). Megjegyzendő pusztán számítástechnikai szempontból ezeknek a tételeknek az értéke közel van a nullához, különösen most, amikor szinte minden asztalon van egy erős számítógép. A fenti közelítések fő hátránya az, hogy a legtöbb alkalmazásra jellemző n értékekhez való pontosságuk teljesen elégtelen. Nem kisebb hátrány, hogy nincs egyértelmű ajánlás egy vagy másik közelítés alkalmazhatóságára vonatkozóan (a szabványos szövegek csak aszimptotikus megfogalmazásokat tartalmaznak, nem kísérik őket pontossági becslések, ezért kevéssé hasznosak). Azt mondanám, hogy mindkét képlet csak n-re alkalmas< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
Itt nem a kvantilisek megtalálásának problémájára gondolok: a diszkrét eloszlások esetében ez triviális, és azokban a problémákban, ahol ilyen eloszlások merülnek fel, általában nem releváns. Ha továbbra is szükség van kvantilisokra, javaslom a probléma újrafogalmazását úgy, hogy a p-értékekkel (megfigyelt szignifikancia) működjön. Íme egy példa: néhány brute-force algoritmus implementálásakor minden lépésnél ellenőriznie kell statisztikai hipotézis binomiális valószínűségi változóról. Alapján klasszikus megközelítés Minden lépésnél ki kell számítani a kritérium statisztikát, és össze kell hasonlítani az értékét a kritikus halmaz határával. Mivel azonban az algoritmus kimerítő, ezért minden alkalommal újra meg kell határozni a kritikus halmaz határát (elvégre a minta mérete lépésről lépésre változik), ami nem produktív módon növeli az időköltségeket. Modern megközelítés A megfigyelt szignifikancia kiszámítását és a megbízhatósági valószínűséggel való összehasonlítását javasolja, így spórolva a kvantilisek keresésén.
Ezért az alábbi kódokban nem számítják ki az inverz függvényt, ehelyett a rev_binomialDF függvényt adják meg, amely kiszámítja, hogy az adott n számú próba mellett mekkora p valószínűsége lesz a sikerességnek az adott n számú kísérletben, valamint a bennük lévő m sikerek száma; ezen m siker megszerzésének valószínűségének y értéke. Ez a fent említett kapcsolatot használja a binomiális és a béta eloszlás között.
Valójában ez a függvény lehetővé teszi a konfidenciaintervallumok határainak meghatározását. Valóban, tegyük fel, hogy n binomiális próbában m sikerünk van. Mint ismeretes, a konfidenciaszintű p paraméter kétoldali konfidenciaintervallumának bal határa 0, ha m = 0, és for az egyenlet megoldása 
. Hasonlóképpen, a jobb oldali korlát 1, ha m = n, és for az egyenlet megoldása 
. Ebből következik, hogy a bal oldali határ megtalálásához meg kell oldanunk a relatív egyenletet 
, és megtalálni a megfelelőt – az egyenletet 
. Megoldásuk a binom_leftCI és a binom_rightCI függvényekben történik, amelyek visszaadják a top ill alsó határ kétoldali konfidencia intervallumok, ill.
Szeretném megjegyezni, hogy ha nincs szüksége teljesen hihetetlen pontosságra, akkor kellően nagy n esetén használhatja a következő közelítést [B.L. van der Waerden, Matek statisztika. M: IL, 1960, ch. 2, szakasz 7]: 
, ahol g – kvantilis normális eloszlás. Ennek a közelítésnek az az értéke, hogy vannak nagyon egyszerű közelítések, amelyek lehetővé teszik a normál eloszlás kvantiliseinek kiszámítását (lásd a normál eloszlás kiszámításáról szóló szöveget és a kézikönyv megfelelő részét). Az én gyakorlatomban (főleg n > 100 esetén) ez a közelítés körülbelül 3-4 számjegyet adott, ami általában elég.
A következő kódok használatával történő kiszámításhoz szüksége lesz a betaDF.h, betaDF.cpp fájlokra (lásd a béta terjesztésről szóló részt), valamint a logGamma.h, logGamma.cpp fájlokat (lásd az A függeléket). A funkciók használatára is láthat egy példát.
Fájl binomialDF.h
| #ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(dupla próba, kettős siker, dupla p); /* * Legyenek "próbák" független megfigyelések* a siker "p" valószínűségével mindegyikben. * Számítsa ki annak B(sikerek|próbák,p) valószínűségét, hogy a * sikerek száma 0 és a "sikerek" között van (beleértve). */ double rev_binomialDF(dupla próba, dupla siker, double y); /* * Legyen ismert legalább m siker y valószínűsége * a Bernoulli-sémát tesztelő kísérletekben. A függvény megkeresi a p* valószínűséget, hogy egy egyéni próba sikeres legyen. * * A következő összefüggést használjuk a számításokhoz * * 1 - p = rev_Beta(próbák-sikerek| sikerek+1, y). */ double binom_leftCI(dupla próba, kettős siker, kettős szint); /* Legyenek független megfigyelések "próbái" * a siker "p" valószínűségével mindegyik * esetében, és a sikerek száma egyenlő a "sikerekkel". * A kétoldali konfidenciaintervallum bal határát * a szignifikanciaszinttel számítjuk ki. */ double binom_rightCI(double n, dupla sikerek, dupla szint); /* Legyenek független megfigyelések "próbái" * a siker "p" valószínűségével mindegyik * esetében, és a sikerek száma egyenlő a "sikerekkel". * A kétoldali konfidencia intervallum jobb korlátját * a szignifikancia szinttel számítjuk ki. */ #endif /* Vége #ifndef __BINOMIAL_H__ */ |
BinomialDF.cpp fájl
| ***************************************************** *********/ /* Binomiális eloszlás */ /******************************** * **************************/ #beleértve |
Üdvözlök minden olvasót!
A statisztikai elemzés, mint tudjuk, valós adatok gyűjtésével és feldolgozásával foglalkozik. Az üzlet hasznos, és gyakran nyereséges, mert... helyes következtetéseket lehetővé teszi, hogy elkerülje a hibákat és a veszteségeket a jövőben, és néha pontosan kitalálja ezt a jövőt. Az összegyűjtött adatok valamely megfigyelt jelenség állapotát tükrözik. Az adatok gyakran (de nem mindig) numerikusak, és matematikailag manipulálhatók további információk kinyerése érdekében.
Azonban nem minden jelenséget mérnek mennyiségi skálán, például 1, 2, 3 ... 100500 ... Egy jelenség nem mindig vehet fel végtelen vagy nagy számú különböző állapotot. Például egy személy neme lehet M vagy F. A lövő vagy eltalálja a célt, vagy elhibázza. Szavazni lehet „mellett”, „nem” stb. stb. Más szóval, az ilyen adatok az állapotot tükrözik alternatív jel– „igen” (az esemény megtörtént) vagy „nem” (az esemény nem történt meg). A bekövetkező eseményt (pozitív eredményt) „sikernek” is nevezik. Az ilyen jelenségek széles körben elterjedtek és véletlenszerűek is lehetnek. Ezért ezek mérhetők, és statisztikailag érvényes következtetések vonhatók le.
Az ilyen adatokkal végzett kísérleteket ún Bernoulli-séma, a híres svájci matematikus tiszteletére, aki megállapította, hogy mikor Nagy mennyiségű tesztek, a pozitív kimenetelek aránya és a tesztek teljes száma az esemény bekövetkezésének valószínűségére irányul.
Alternatív jellemző változó
Az elemzésben való felhasználás érdekében matematikai berendezés, az ilyen megfigyelések eredményeit rögzíteni kell numerikus forma. Ehhez a pozitív eredményhez 1-et rendelünk, a negatív kimenetelhez pedig 0-t. Más szóval, olyan változóval van dolgunk, amely csak két értéket vehet fel: 0 vagy 1.
Milyen előnyök származhatnak ebből? Valójában nem kevesebb, mint a közönséges adatokból. Így könnyen kiszámítható a pozitív kimenetelek száma – csak összegezze az összes értéket, pl. mind 1 (siker). Tovább lehet menni, de ehhez néhány jelölés bevezetése szükséges.
Az első dolog, amit meg kell jegyezni, hogy a pozitív eredmények (amelyek egyenlőek 1-gyel) bizonyos valószínűséggel előfordulnak. Például egy érme feldobásakor fejet kapni ½ vagy 0,5. Ezt a valószínűséget hagyományosan jelölik latin betű p. Ezért egy alternatív esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő 1 - p, amelyet szintén jelöl q, vagyis q = 1 – p. Ezek a jelölések egyértelműen rendszerezhetők változó eloszlási táblázat formájában x.
Most van egy listánk a lehetséges értékekről és azok valószínűségeiről. Elkezdhetjük kiszámítani egy valószínűségi változó olyan figyelemre méltó jellemzőit, mint várható érték És diszperzió. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a matematikai elvárást az összes lehetséges érték és a megfelelő valószínűségek szorzatának összegeként számítják ki:
Számítsuk ki a várakozást a fenti táblázatok jelölésével.
Kiderül, hogy egy alternatív előjel matematikai elvárása egyenlő ennek az eseménynek a valószínűségével - p.
Most határozzuk meg, hogy mekkora egy alternatív attribútum varianciája. Hadd emlékeztesselek arra is, hogy a diszperzió a matematikai elvárásoktól való eltérések átlagos négyzete. Általános képlet(diszkrét adatok esetén) a következő formában van:
Ezért az alternatív attribútum varianciája:
Könnyen belátható, hogy ez a diszperzió maximum 0,25 (val p=0,5).
Átlagos szórás– az eltérés gyökere:
A maximális érték nem haladja meg a 0,5-öt.
Amint látható, mind a matematikai elvárás, mind az alternatív attribútum szórása nagyon kompakt formával rendelkezik.
Valószínűségi változó binomiális eloszlása
Most nézzük meg a helyzetet más szemszögből. Valóban, kit érdekel, hogy az átlagos fejveszteség feldobásonként 0,5? Még elképzelni sem lehet. Érdekesebb feltenni a kérdést a mikor előforduló fejek számáról adott mennyiség feldob.
Más szóval, a kutatót gyakran érdekli bizonyos számú sikeres esemény bekövetkezésének valószínűsége. Ez lehet a hibás termékek száma a vizsgált tételben (1 - hibás, 0 - jó), vagy a helyreállítások száma (1 - egészséges, 0 - beteg) stb. Az ilyen „sikerek” száma megegyezik a változó összes értékének összegével x, azaz egyedi eredmények száma.
Véletlenszerű érték B binomiálisnak nevezzük, és 0-tól veszi az értékeket n(nál nél B= 0 - minden alkatrész megfelelő, azzal B = n– minden alkatrész hibás). Feltételezhető, hogy minden érték x egymástól függetlenek. Tekintsük egy binomiális változó főbb jellemzőit, azaz meghatározzuk a matematikai elvárását, szórását és eloszlását.
A binomiális változó elvárása nagyon könnyen beszerezhető. Emlékezzünk arra, hogy minden hozzáadott értékre van egy matematikai elvárás összege, és ez mindenki számára ugyanaz, ezért:
Például a 100 dobás során leejtett fejek számának matematikai elvárása 100 × 0,5 = 50.
Most levezetjük egy binomiális változó diszperziójának képletét. az eltérések összege. Innen
Szórás, ill
100 érmefeldobás esetén a szórás az
Végül vegye figyelembe az elosztást binomiális érték, azaz annak a valószínűsége véletlenszerű érték B elfogadja különböző jelentések k, Ahol 0≤k≤n. Egy érme esetében ez a probléma így nézhet ki: Mennyi a valószínűsége annak, hogy 100 feldobásra 40 fej lesz?
A számítási módszer megértéséhez képzelje el, hogy az érmét csak négyszer dobják fel. Bármelyik oldal kieshet minden alkalommal. Feltesszük magunknak a kérdést, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy 4 dobásból 2 fejet kapunk. Minden dobás független egymástól. Ez azt jelenti, hogy bármely kombináció megszerzésének valószínűsége egyenlő lesz az egyes dobások adott kimenetelének valószínűségének szorzatával. Legyen O fej, P pedig farok. Ekkor például az egyik számunkra megfelelő kombináció úgy nézhet ki, mint az OOPP, azaz:
Egy ilyen kombináció valószínűsége egyenlő annak a két valószínűségnek a szorzatával, hogy fejeket kap, és még két valószínűséget, hogy nem kap fejet (a fordított esemény, kiszámítva 1 - p), azaz 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Ez a valószínűsége a számunkra megfelelő kombinációk egyikének. De a kérdés a sasok összlétszámára vonatkozott, és nem néhányra egy bizonyos sorrendben. Ezután össze kell adni az összes olyan kombináció valószínűségét, amelyben pontosan 2 fej van. Nyilvánvaló, hogy mindegyik ugyanaz (a termék nem változik a tényezők megváltoztatásakor). Ezért ki kell számítania a számukat, majd meg kell szoroznia az ilyen kombinációk valószínűségével. Számoljuk meg a 4 2 fejes dobás összes kombinációját: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Összesen 6 lehetőség van.
Ezért 4 dobás után 2 fej megszerzésének kívánt valószínűsége 6×0,0625=0,375.
Azonban számolva Hasonló módon unalmas. Már 10 érméért nyers erő módszerrel teljes a lehetőségek nagyon nehézek lesznek. Ezért okos emberek régen feltalált egy képletet, amellyel ki lehet számítani a különböző kombinációk számát n elemek által k, Ahol n– az elemek teljes száma, k– azon elemek száma, amelyek elrendezési lehetőségeit számoljuk. Képlet kombinációja n elemek által k ez:
Hasonló dolgok történnek a kombinatorika részben. Oda küldök mindenkit, aki fejleszteni szeretné tudását. Innen egyébként a binomiális eloszlás neve (a fenti képlet a Newton-binomiális kiterjesztésének együtthatója).
A valószínűség meghatározására szolgáló képlet könnyen általánosítható bármilyen mennyiségre nÉs k. Ennek eredményeként a binomiális eloszlás képlete a következő alakú.
Szavakkal: a feltételeknek megfelelő kombinációk száma szorozva valamelyikük valószínűségével.
Mert gyakorlati használat Elég, ha ismerjük a binomiális eloszlás képletét. Vagy lehet, hogy nem is tudja – az alábbiakban bemutatjuk, hogyan határozható meg a valószínűség Excel segítségével. De jobb tudni.
Ezzel a képlettel kiszámítjuk annak valószínűségét, hogy 100 dobás alatt 40 fejet kapunk:
Vagy csak 1,08%. Összehasonlításképpen, ennek a kísérletnek a matematikai elvárásának, azaz 50 fejnek a valószínűsége 7,96%. A binomiális érték maximális valószínűsége a matematikai elvárásnak megfelelő értékhez tartozik.
Binomiális eloszlás valószínűségének kiszámítása Excelben
Ha csak papírt és számológépet használ, akkor a binomiális eloszlási képlettel történő számítások az integrálok hiánya ellenére meglehetősen nehézkesek. Például az érték 100! – több mint 150 karakterből áll. Ezt manuálisan nem lehet kiszámítani. Korábban és most is közelítő képleteket használtak az ilyen mennyiségek kiszámításához. Jelenleg célszerű speciális szoftvereket, például MS Excelt használni. Így bármely felhasználó (még képzett humanista is) könnyen kiszámíthatja egy binomiális eloszlású valószínűségi változó értékének valószínűségét.
Az anyag összevonásához egyelőre az Excelt használjuk mint egy szokásos számológép, azaz Végezzünk lépésről lépésre számítást a binomiális eloszlási képlet segítségével. Számítsuk ki például annak a valószínűségét, hogy 50 fejet kapunk. Az alábbi képen a számítás lépései és a végeredmény látható.
Amint látható, a köztes eredmények olyan léptékűek, hogy nem férnek be a cellába, bár mindenhol használják egyszerű funkciók típusai: TÉNYEZŐ (faktoriális számítás), HATALMAS (szám hatványra emelése), valamint szorzási és osztási operátorok. Ráadásul ez a számítás mindenesetre elég körülményes, nem kompakt, mert sok sejt vesz részt. Igen, és egy kicsit nehéz azonnal kitalálni.
Általában az Excel kész függvényt biztosít egy binomiális eloszlás valószínűségének kiszámításához. A függvény neve BINOM.DIST.
A sikerek száma– a sikeres tesztek száma. 50 db van nálunk.
A tesztek száma– dobások száma: 100 alkalommal.
A siker valószínűsége– annak a valószínűsége, hogy egy dobás során fejeket kapnak, 0,5.
Integrál– 1 vagy 0 Ha 0, akkor a valószínűség kiszámításra kerül P(B=k); ha 1, akkor a binomiális eloszlásfüggvény kerül kiszámításra, azaz. az összes valószínűség összege B=0 előtt B=k inkluzív.
Kattintson az OK gombra, és ugyanazt az eredményt kapja, mint fent, csak egy függvény számított mindent.
Nagyon kényelmesen. A kísérletezés kedvéért az utolsó 0 paraméter helyett 1-et teszünk. 0,5398-at kapunk. Ez azt jelenti, hogy 100 érmefeldobás esetén közel 54% a valószínűsége annak, hogy 0 és 50 közötti fejeket kapunk. De először úgy tűnt, hogy 50%-nak kell lennie. Általában a számítások gyorsan és egyszerűen készülnek.
Egy igazi elemzőnek meg kell értenie, hogyan viselkedik a függvény (mi az eloszlása), ezért 0-tól 100-ig minden értékre kiszámítjuk a valószínűségeket. Vagyis feltesszük a kérdést: mekkora a valószínűsége annak, hogy egyetlen sas sem jelenik meg, hogy 1 sas jelenik meg, 2, 3, 50, 90 vagy 100. A számítást a következő önmozgó kép mutatja. A kék vonal maga a binomiális eloszlás, a piros pont pedig egy adott számú siker valószínűsége k.
Felmerülhet a kérdés, hogy a binomiális eloszlás hasonló-e... Igen, nagyon hasonló. Még Moivre is (1733-ban) azt mondta, hogy a nagy mintákkal való binomiális eloszlás közeledik (nem tudom, hogy hívták akkor), de senki nem hallgatott rá. Csak Gauss, majd 60-70 évvel később Laplace fedezte fel újra és alaposan tanulmányozta a normál eloszlás törvényét. A fenti grafikonon jól látható, hogy a maximális valószínűség a matematikai elvárásra esik, és ahogy attól eltér, erősen csökken. Csakúgy, mint a normál törvény.
A binomiális eloszlás nagy gyakorlati jelentősége, elég gyakran előfordul. Használva Excel számítások könnyen és gyorsan elvégezhető. Tehát biztonságosan használhatja.
Ezzel búcsút javaslok a következő ülésig. Minden jót, maradj egészséges!
Ellentétben a normál és egyenletes eloszlással, amely egy változó viselkedését írja le a vizsgált alanyok mintájában, a binomiális eloszlást más célokra használják. Két egymást kizáró esemény valószínűségének előrejelzésére szolgál bizonyos számú független kísérletben. Klasszikus példa binomiális eloszlás – rákerülő érme feldobása kemény felület. Két kimenetel (esemény) egyformán valószínű: 1) az érme fejjel esik (a valószínűsége R) vagy 2) az érme „farokba” kerül (a valószínűsége az q). Ha nincs harmadik eredmény, akkor p = q= 0,5 és p + q= 1. A binomiális eloszlási képlet segítségével meghatározható például, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy 50 próbában (egy érme feldobásainak száma) az utóbbi mondjuk 25-ször fejre kerül.
A további megbeszélésekhez bevezetjük az általánosan elfogadott jelölést:
n– a megfigyelések teljes száma;
én– a számunkra érdekes események (eredmények) száma;
n – én– alternatív események száma;
p– a számunkra érdekes esemény empirikusan meghatározott (néha becsült) valószínűsége;
q– alternatív esemény valószínűsége;
P n ( én) – a számunkra érdekes esemény előre jelzett valószínűsége énÁltal egy bizonyos szám megfigyelések n.
Binomiális eloszlási képlet:
Az események egyformán valószínű kimenetele esetén ( p = q) egyszerűsített képletet használhat:
(6.8)
Nézzünk három példát a binomiális eloszlási képletek pszichológiai kutatásokban való alkalmazására.
1. példa
Tegyük fel, hogy 3 tanuló oldja meg a feladatot fokozott komplexitás. Mindegyik esetében 2 kimenetel egyformán valószínű: (+) – megoldás és (-) – a probléma megoldásának kudarca. Összesen 8 különböző kimenetel lehetséges (2 3 = 8).
1/8 annak a valószínűsége, hogy egyetlen tanuló sem fog megbirkózni a feladattal (8. lehetőség); 1 tanuló megbirkózik a következő feladattal: P= 3/8 (4., 6., 7. lehetőség); 2 diák – P= 3/8 (2., 3., 5. lehetőség) és 3 diák – P=1/8 (1. lehetőség).
Meg kell határozni annak valószínűségét, hogy 5 tanulóból három sikeresen megbirkózik ezzel a feladattal.
Megoldás
Teljes lehetséges eredményeket: 2 5 = 32.
A 3(+) és 2(-) opciók száma összesen
Ezért a várható eredmény valószínűsége 10/32 » 0,31.
3. példa
Gyakorlat
Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy 10 véletlenszerű alanyból álló csoportban 5 extrovertált lesz!
Megoldás
1. Írja be a jelölést: p = q = 0,5; n= 10; i = 5; P 10 (5) = ?
2. Egyszerűsített képletet használunk (lásd fent):
Következtetés
Annak a valószínűsége, hogy 10 véletlenszerű alany között 5 extrovertált lesz, 0,246.
Megjegyzések
1. Számítás az elégséges képlet segítségével nagyszámú a tesztelés meglehetősen munkaigényes, ezért ezekben az esetekben javasolt a binomiális eloszlási táblák használata.
2. Egyes esetekben az értékek pÉs q kezdetben beállítható, de nem mindig. Általában az előzetes tesztek (kísérleti tanulmányok) eredményei alapján számítják ki.
3. B grafikus ábrázolás(koordinátákban P n(én) = f(én)) binomiális eloszlásnak lehet másfajta: amikor p = q az eloszlás szimmetrikus és egy normál Gauss-eloszlásra hasonlít; az eloszlás aszimmetriája annál nagyobb több különbség valószínűségek között pÉs q.
Poisson-eloszlás
A Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás speciális esete, amelyet akkor használunk, ha a számunkra érdekes események valószínűsége nagyon alacsony. Más szóval, ez az eloszlás leírja a valószínűséget ritka események. A Poisson-képlet akkor használható, ha p < 0,01 и q ≥ 0,99.
A Poisson-egyenlet közelítő, és a következő képlettel írható le:
(6.9)
ahol μ a szorzat átlagos valószínűség események és megfigyelések száma.
Példaként vegyünk egy algoritmust a következő probléma megoldására.
A feladat
Több éven át 21 nagy oroszországi klinikán végezték el az újszülöttek tömeges Down-szindróma-vizsgálatát (a minta átlagosan 1000 újszülött volt minden klinikán). A következő adatokat kaptuk:
Gyakorlat
1. Határozza meg a betegség átlagos valószínűségét (az újszülöttek számát tekintve).
2. Határozza meg az egy betegségben szenvedő újszülöttek átlagos számát!
3. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 100 véletlenszerűen kiválasztott újszülött között 2 Down-szindrómás csecsemő lesz!
Megoldás
1. Határozza meg a betegség átlagos valószínűségét! Ennek során a következő megfontolások alapján kell vezérelnünk. Down-kórt mindössze 10 klinikán regisztráltak a 21-ből. 11 klinikán nem észleltek betegséget, 6 klinikán 1 esetet, 2 klinikán 2, 1 klinikán 3, 1 klinikán 4 betegséget regisztráltak. . 5 esetben egyetlen klinikán sem észlelték a betegséget. A betegség átlagos valószínűségének meghatározásához el kell osztani az összes esetszámot (6 1 + 2 2 + 1 3 + 1 4 = 17) az összes újszülött számmal (21000):
2. Az újszülöttek száma betegségenként a fordított átlagos valószínűség, azaz egyenlő az újszülöttek teljes számának osztva a regisztrált esetek számával:
3. Cserélje be az értékeket p = 0,00081, n= 100 és én= 2 a Poisson-képletbe:
Válasz
Annak a valószínűsége, hogy 100 véletlenszerűen kiválasztott újszülött között 2 Down-szindrómás csecsemő lesz, 0,003 (0,3%).
Feladatok a témában
Probléma 6.1
Gyakorlat
Az 5.1. feladatból a szenzomotoros reakció idejére vonatkozó adatok felhasználásával számítsa ki a VR-eloszlás aszimmetriáját és görtózisát!
Probléma 6.2
200 diák végzős osztályok tesztelték az intelligencia szintjét ( IQ). A kapott eloszlás normalizálása után IQ A szórás alapján a következő eredményeket kaptuk:
Gyakorlat
A Kolmogorov és a khi-négyzet próbák segítségével határozza meg, hogy a mutatók eredő eloszlása megfelel-e IQ Normál.
Probléma 6.3
Egy felnőtt alanyban (25 éves férfi) egy egyszerű szenzomotoros reakció (SR) idejét tanulmányozták egy állandó, 1 kHz frekvenciájú és 40 dB intenzitású hangingerre adott válaszként. Az ingert százszor mutatták be 3-5 másodperces időközönként. Egyéni értékek A VR-t 100 ismétlésben terjesztették a következő módon:
Gyakorlat
1. Készítse el a VR eloszlás gyakorisági hisztogramját; határozza meg az átlagos vérnyomásértéket és a szórást.
2. Számítsa ki a BP-eloszlás aszimmetria-együtthatóját és görtózismutatóját; a kapott értékek alapján MintÉs Volt következtetést levonni a megfelelőségről vagy a meg nem felelésről adott elosztás Normál.
Probléma 6.4
1998-ban 14 fő (5 fiú és 9 lány) érettségizett a nyizsnyijtagili iskolákban aranyéremmel, 26 fő (8 fiú és 18 lány) ezüstéremmel.
Kérdés
Lehetséges azt mondani, hogy a lányok gyakrabban kapnak érmet, mint a fiúk?
jegyzet
A fiúk és lányok aránya népesség egyenlőnek tekinteni.
6.5. probléma
Úgy gondolják, hogy az extrovertáltak és az introvertáltak száma egy homogén alanycsoportban megközelítőleg azonos.
Gyakorlat
Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy 10 véletlenszerűen kiválasztott alanyból álló csoportban 0, 1, 2, ..., 10 extrovertált lesz! Készítsünk grafikus kifejezést 0, 1, 2, ..., 10 extrovertált detektálás valószínűségi eloszlására egy adott csoportban!
6. 6. probléma
Gyakorlat
Számítsa ki a valószínűséget P n(i) binomiális eloszlásfüggvények at p= 0,3 és q= 0,7 értékekre n= 5 és én= 0, 1, 2, ..., 5. Szerkessze meg a függőség grafikus kifejezését! P n(én) =f(én) .
6. 7. probléma
BAN BEN utóbbi évek A lakosság egy bizonyos része körében az a hit asztrológiai előrejelzések. Az előzetes felmérések eredményei szerint kiderült, hogy a lakosság mintegy 15%-a hisz az asztrológiában.
Gyakorlat
Határozza meg annak valószínűségét, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott válaszadó között lesz 1, 2 vagy 3 ember, aki hisz az asztrológiai előrejelzésekben!
6.8. probléma
A feladat
42 évesen középiskolák Jekatyerinburg és Szverdlovszk régió(összes hallgatói létszám 12 260 fő) több év alatt a következő esetszámot azonosították mentális betegség iskolások között:
Gyakorlat
1000 iskolásból vegyenek mintát. Számolja ki, mekkora a valószínűsége annak, hogy ebből az ezer iskolásból 1, 2 vagy 3 elmebeteg gyereket azonosítanak?
7. SZAKASZ. A KÜLÖNBSÉGEK MÉRTÉKEI
A probléma megfogalmazása
Tegyük fel, hogy két független alanymintánk van xÉs nál nél. Független mintákat akkor veszik figyelembe, ha ugyanaz az alany (alany) csak egy mintában szerepel. A feladat az, hogy ezeket a mintákat (két változósorozat) összehasonlítsuk egymással a különbségek szempontjából. Természetesen függetlenül attól, hogy az első és a második minta változóinak értékei mennyire közel állnak egymáshoz, néhány, akár kisebb eltérés is észlelhető közöttük. A matematikai statisztika szempontjából az a kérdés érdekel, hogy a minták közötti különbségek statisztikailag megbízhatóak (statisztikailag szignifikáns) vagy megbízhatatlanok (véletlenszerűek).
A minták közötti különbségek megbízhatóságának leggyakoribb kritériumai a különbségek parametrikus mértékei - Diák t tesztÉs Fisher teszt. Egyes esetekben nem paraméteres kritériumokat használnak - Rosenbaum Q-tesztje, Mann-Whitney U-tesztje stb. Különleges helyet foglalnak el Fisher szögtranszformáció φ*, amely lehetővé teszi a százalékban (százalékban) kifejezett értékek összehasonlítását egymással. És végül hogyan különleges eset, a minták összehasonlításához használhatók a mintaeloszlások alakját jellemző kritériumok – Pearson-féle χ2 tesztÉs Kolmogorov–Smirnov λ-kritérium.
A téma jobb megértése érdekében a következőket tesszük. Ugyanazt a problémát négy módszerrel fogjuk megoldani négy különböző kritérium alapján – Rosenbaum, Mann-Whitney, Student és Fisher.
A feladat
A vizsgaidőszak során 30 tanulónál (14 fiú és 16 lány) vizsgálták meg a Spielberger tesztet a reaktív szorongás szintjére. A következő eredményeket kaptuk (7.1. táblázat):
7.1. táblázat
| Tantárgyak | A reaktív szorongás szintje | |||||||||||||||
| Fiúk | ||||||||||||||||
| Lányok |
Gyakorlat
Annak meghatározása, hogy a fiúk és lányok reaktív szorongásszintje közötti különbségek statisztikailag szignifikánsak-e.
A feladat meglehetősen jellemzőnek tűnik egy erre szakosodott pszichológus számára oktatáspszichológia: Ki éli át élesebben a vizsgafeszültséget – fiúk vagy lányok? Ha a minták közötti különbségek statisztikailag szignifikánsak, akkor ebből a szempontból szignifikáns nemi különbségek vannak; ha a különbségek véletlenszerűek (statisztikailag megbízhatatlanok), akkor ezt a feltevést el kell hagyni.
7. 2. Nem paraméteres teszt K Rosenbaum
K-Rosenbaum kritériuma két, egymásra „fölérendelt” független változó rangsorolt értéksorainak összehasonlításán alapul. Ugyanakkor az egyes sorozatokon belüli jellemző eloszlásának jellegét nem elemzik - in ebben az esetben Csak a két rangsorolt sorozat nem átfedő szakaszainak szélessége számít. Két rangsorolt változósorozat összehasonlításakor 3 lehetőség lehetséges:
1. Rangsorolt sorok xÉs y nem rendelkeznek átfedési területtel, azaz az első rangsorolt sor összes értékével ( x) nagyobb, mint a második rangsorolt sorozat összes értéke ( y):
Ebben az esetben a statisztikai kritériumok alapján meghatározott minták közötti különbségek minden bizonnyal megbízhatóak, és a Rosenbaum-teszt alkalmazása nem szükséges. A gyakorlatban azonban ez a lehetőség rendkívül ritka.
2. A rangsorolt sorok teljesen átfedik egymást (általában az egyik sor a másikon belül van), nincsenek átfedő zónák. Ebben az esetben a Rosenbaum-kritérium nem alkalmazható.
3. Van egy terület átfedő sorokból, valamint két nem átfedő terület ( N 1És N 2), kapcsolatos különböző rangsorolt sorok (jelölje x- a sor nagyobbak felé tolva, y- oldalra alacsonyabb értékeket):
Ez az eset jellemző a Rosenbaum-kritérium használatára, amelynek alkalmazásakor a következő feltételeknek kell teljesülniük:
1. Minden minta méretének legalább 11-nek kell lennie.
2. A mintaméretek nem térhetnek el jelentősen egymástól.
Kritérium K A Rosenbaum a nem átfedő értékek számának felel meg: K = N 1 +N 2 . A minták közötti különbségek megbízhatóságára következtetést vonunk le, ha Q>Q cr . Ebben az esetben az értékek K kr speciális táblázatokban találhatók (lásd Függelék VIII. táblázat).
Térjünk vissza a feladatunkhoz. Vezessük be a következő jelölést: x- minta lányokból, y– minta fiatal férfiakból. Minden mintához rangsorolt sorozatot készítünk:
x: 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46
y: 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44
Megszámoljuk az értékek számát a rangsorolt sorozat nem átfedő területein. Sorban x a nem átfedő értékek 45 és 46, azaz. N 1 = 2;egy sorban y csak 1 nem átfedő érték 26, azaz. N 2 = 1. Ezért K = N 1 +N 2 = 1 + 2 = 3.
táblázatban VIII Függelék azt találjuk K cr . = 7 (0,95 szignifikanciaszint esetén) és K cr = 9 (0,99-es szignifikanciaszint esetén).
Következtetés
Mert a K<K kr, akkor a Rosenbaum-kritérium szerint a minták közötti különbségek statisztikailag nem szignifikánsak.
jegyzet
A Rosenbaum-kritérium a változók eloszlásának jellegétől függetlenül használható, azaz ebben az esetben nincs szükség a Pearson-féle χ 2 és Kolmogorov-féle λ próbák alkalmazására az eloszlások típusának meghatározásához mindkét mintában.
7. 3. U-Mann–Whitney teszt
Ellentétben Rosenbaum kritériumával, U-A Mann–Whitney teszt két rangsorolt sorozat közötti átfedési zóna meghatározásán alapul, azaz minél kisebb az átfedési zóna, annál megbízhatóbbak a különbségek a minták között. Erre a célra egy speciális eljárást alkalmaznak az intervallumskálák rangskálákká való átalakítására.
Tekintsük a szerinti számítási algoritmust U-kritérium az előző probléma példája alapján.
7.2. táblázat
| x, y | R xy | R xy * | R x | R y |
| 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44 | 2,5 2,5 5,5 5,5 11,5 11,5 16,5 16,5 18,5 18,5 20,5 20,5 25,5 25,5 27,5 27,5 | 2,5 11,5 16,5 18,5 20,5 25,5 27,5 | 1 2,5 5,5 5,5 7 9 11,5 15 16,5 18,5 20,5 23 25,5 27,5 | |
| Σ | 276,5 | 188,5 |
1. Két független mintából egyetlen rangsorolt sorozatot készítünk. Ebben az esetben mindkét minta értéke keveredik, 1. oszlop ( x, y). A további munka egyszerűsítése érdekében (beleértve a számítógépes verziót is) a különböző minták értékeit más betűtípussal (vagy eltérő színnel) kell megjelölni, figyelembe véve azt a tényt, hogy a jövőben különböző oszlopokban terjesztjük őket.
2. Alakítsa át az értékek intervallumskáláját sorszámúvá (ehhez az összes értéket 1-től 30-ig terjedő rangszámokká jelöljük át, 2. oszlop ( R xy)).
3. Korrekciókat vezetünk be a kapcsolódó rangoknál (a változó azonos értékeit ugyanazzal a ranggal jelöljük, feltéve, hogy a rangok összege nem változik, 3. oszlop ( R xy *). Ebben a szakaszban ajánlatos a 2. és 3. oszlopban lévő rangok összegét kiszámítani (ha minden módosítást helyesen írt be, akkor ezeknek az összegeknek egyenlőnek kell lenniük).
4. A rangsorszámokat aszerint osztjuk el, hogy egy adott mintához tartoznak (4. és 5. oszlop ( R x és R y)).
5. A számításokat a következő képlet alapján végezzük:
(7.1)
Ahol T x – a rangösszegek közül a legnagyobb ; n x és n y , illetve mintaméretek. Ebben az esetben szem előtt kell tartani, hogy ha T x< T y , majd a jelölések xÉs y meg kell fordítani.
6. Összehasonlítjuk a kapott értéket az első táblázattal (lásd Mellékletek IX. táblázat) A két minta közötti különbségek megbízhatóságára vonatkozó következtetést akkor vonjuk le, ha U exp.< U cr. .
Példánkban 
U exp. = 83,5 > U kr. = 71.
Következtetés
A két minta közötti különbség a Mann–Whitney teszt szerint statisztikailag nem szignifikáns.
Megjegyzések
1. A Mann-Whitney-kritériumnak gyakorlatilag nincsenek korlátozásai; Az összehasonlítandó minták minimális mérete 2 és 5 fő (lásd a melléklet IX. táblázatát).
2. A Rosenbaum teszthez hasonlóan a Mann-Whitney teszt is használható bármilyen mintára, függetlenül az eloszlás jellegétől.
Diák t teszt
A Rosenbaum és Mann-Whitney kritériumokkal ellentétben a kritérium t A Student-féle t-próba paraméteres, azaz a fő statisztikai mutatók - az egyes minták átlagértékei ( és ) és azok szórásai (s 2 x és s 2 y) meghatározásán alapul szabványos képletek(lásd az 5. részt).
A Student-teszt használata a megfelelést feltételezi következő feltételekkel:
1. Mindkét minta értékeloszlásának meg kell felelnie a normál eloszlás törvényének (lásd 6. fejezet).
2. A teljes mintanagyság legalább 30 (β 1 = 0,95 esetén) és legalább 100 (β 2 = 0,99 esetén).
3. Két minta térfogata nem térhet el jelentősen egymástól (legfeljebb 1,5 ÷ 2-szer).
A Student's t teszt ötlete meglehetősen egyszerű. Tegyük fel, hogy a változók értékei az egyes mintákban aszerint vannak elosztva normális törvény, azaz két normális eloszlással van dolgunk, amelyek átlagértékekben és szóródásban különböznek egymástól (és , illetve , lásd 7.1. ábra).
s x s y
Rizs. 7.1. Két független minta közötti különbségek becslése: és - mintaátlagok xÉs y; s x és s y - szórások
Könnyen érthető, hogy a két minta közötti különbség annál nagyobb, minél nagyobb a különbség az átlagok között, és minél kisebb a szórása (vagy szórása).
Független minták esetén a Student együtthatót a következő képlet határozza meg:
(7.2)
Ahol n x és n y – a minták száma xÉs y.
A standard (kritikus) értékek táblázatában szereplő Student-együttható kiszámítása után t(lásd a Függelék X. táblázatát) keresse meg az értéket számnak megfelelő szabadsági fokokat n = n x+ n y – 2, és hasonlítsa össze a képlettel számított értékkel. Ha t exp. £ t cr. , akkor a minták közötti különbségek megbízhatóságára vonatkozó hipotézist elvetjük, ha t exp. > t cr. , akkor elfogadják. Más szóval, a minták szignifikánsan különböznek egymástól, ha a képlettel számított Student-együttható nagyobb, mint a megfelelő szignifikanciaszint táblázati értéke.
A korábban vizsgált feladatban az átlagértékek és eltérések kiszámítása a következő értékeket adja: x Házasodik = 38,5; σ x 2 = 28,40; nál nél Házasodik = 36,2; σ y 2 = 31,72.
Látható, hogy a lányok csoportjában az átlagos szorongásérték magasabb, mint a fiúk csoportjában. Ezek a különbségek azonban olyan kicsik, hogy nem valószínű, hogy statisztikailag szignifikánsak. A fiúknál az értékek szórása ezzel szemben valamivel magasabb, mint a lányoké, de a szórások közötti különbségek is kicsik.
Következtetés
t exp. = 1,14< t cr. = 2,05 (β 1 = 0,95). A két összehasonlított minta közötti különbségek statisztikailag nem szignifikánsak. Ez a következtetés teljesen összhangban van a Rosenbaum és Mann-Whitney kritériumok alapján kapott következtetéssel.
A két minta közötti különbségek Student-féle t-próbával történő meghatározásának másik módja a szórások konfidenciaintervallumának kiszámítása. A konfidenciaintervallum a négyzetgyök (standard) eltérés osztva a minta méretének négyzetgyökével és megszorozva standard érték Hallgatói együttható n– 1 szabadságfok (illetve, és ).
jegyzet
Érték = m x négyzetes középhibának nevezzük (lásd 5. fejezet). Ezért a konfidenciaintervallum egy adott mintaméretnél a négyzetes hiba szorozva a Student-együtthatóval, ahol a szabadságfokok száma ν = n– 1, és azért ezt a szintet jelentőség.
Két független mintát szignifikánsan eltérőnek tekintünk, ha ezeknek a mintáknak a konfidencia intervallumai nem fedik át egymást. Esetünkben az első mintánál 38,5 ± 2,84, a másodiknál 36,2 ± 3,38.
Ezért véletlenszerű variációk x i a 35,66 ¸ 41,34 tartományba esnek, és változatai y i– 32,82 ¸ 39,58 tartományban. Ez alapján megállapítható, hogy a minták közötti különbségek xÉs y statisztikailag megbízhatatlan (a variációs tartományok átfedik egymást). Szem előtt kell tartani, hogy az átfedési zóna szélessége ebben az esetben nem számít (csak a konfidenciaintervallumok átfedésének ténye fontos).
A Student-módszert az egymástól függő mintákra (például ugyanazon alanyok ismételt tesztelésével kapott eredmények összehasonlítására) ritkán alkalmazzák, mivel erre a célra más, informatívabb statisztikai technikák is léteznek (lásd 10. fejezet). Erre a célra azonban első közelítésként használhatja a Student-képletet a következő típus:
(7.3)
A kapott eredményt összehasonlítjuk a táblázat értéke Mert n– 1 szabadságfok, hol n– az értékpárok száma xÉs y. Az összehasonlítási eredményeket ugyanúgy értelmezzük, mint két független minta közötti különbségek kiszámításakor.
Fisher-kritérium
Fisher-kritérium ( F) ugyanazon az elven alapul, mint a Student-féle teszt, azaz az összehasonlított minták átlagértékeinek és szórásainak kiszámítását foglalja magában. Leggyakrabban nem egyenlő méretű (számukban eltérő) minták összehasonlításakor használják. A Fisher-teszt valamivel szigorúbb, mint a Student-teszt, ezért előnyösebb olyan esetekben, amikor kétségek merülnek fel a különbségek jelentőségével kapcsolatban (például ha a Student-teszt szerint a különbségek szignifikánsak nullán, és megbízhatatlanok a jelentőség első szintje).
Fisher képlete így néz ki:
(7.4)
hol és 
(7.5, 7.6)
Az általunk vizsgált problémában d 2= 5,29; σ z 2 = 29,94.
Helyettesítsd be az értékeket a képletbe: 
táblázatban XI. függelékben azt találjuk, hogy a szignifikanciaszintre β 1 = 0,95 és ν = n x+ n y – 2 = 28 kritikus érték az 4.20.
Következtetés
F = 1,32 < F kr.= 4,20. A minták közötti különbségek statisztikailag nem szignifikánsak.
jegyzet
A Fisher teszt használatakor ugyanazoknak a feltételeknek kell teljesülniük, mint a Student t tesztnél (lásd a 7.4 alfejezetet). A minta méretében azonban több mint kétszeres eltérés megengedett.
Így, amikor ugyanazt a problémát négy különféle módszerek Két nem-paraméteres és két parametrikus kritériumot használva arra az egyértelmű következtetésre jutottunk, hogy a lányok és a fiúk csoportja közötti különbségek a reaktív szorongás szintjében nem szignifikánsak (vagyis a véletlenszerű eltérések tartományán belül voltak). . Előfordulhatnak azonban olyan esetek is, amikor nem lehet egyértelmű következtetést levonni: egyes kritériumok megbízható, mások megbízhatatlan eltéréseket adnak. Ezekben az esetekben elsőbbséget élveznek a parametrikus kritériumok (a megfelelő mintanagyságtól és a vizsgált értékek normális eloszlásának függvényében).
7. 6. j* kritérium - Fisher szögtranszformáció
A j*Fisher-kritérium két minta összehasonlítására szolgál a kutatót érdeklő hatás előfordulási gyakorisága szerint. Felméri a különbségek szignifikanciáját azon két minta százalékos aránya között, amelyekben az érdeklődés hatását rögzítették. Az összehasonlítás is megengedett százalékbanés egy mintán belül.
A szögletes Fisher-transzformáció lényege a százalékok mennyiségekké alakítása központi szög, amelyet radiánban mérnek. A nagyobb százalék nagyobb szögnek felel meg j, és kisebb részarány – kisebb szög, de a kapcsolat itt nemlineáris:
Ahol R– százalék, egy egység törtrészében kifejezve.
A j 1 és j 2 szögek közötti eltérés növekedésével és a minták számának növekedésével a kritérium értéke nő.
A Fisher-kritérium kiszámítása a következő képlettel történik:
 |
ahol j 1 a nagyobb százaléknak megfelelő szög; j 2 – a kisebb százaléknak megfelelő szög; n 1 és n 2 – az első és a második minta térfogata.
A képlettel számított értéket összehasonlítjuk a standarddal (j* st = 1,64, ha b 1 = 0,95 és j* st = 2,31, ha b 2 = 0,99. A két minta közötti különbségek statisztikailag szignifikánsnak tekinthetők, ha j*> j* st egy adott szignifikanciaszint.
Példa
Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a két tanulócsoport különbözik-e egymástól a kellő teljesítési siker tekintetében összetett feladat. Az első 20 fős csoportban 12 diák birkózott meg vele, a másodikban - 25 főből 10.
Megoldás
1. Írja be a jelölést: n 1 = 20, n 2 = 25.
2. Számítsa ki a százalékokat R 1 és R 2: R 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), R 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).
3. táblázatban. XII Alkalmazások megtaláljuk a megfelelő százalékos részesedésekφ értékek: j 1 = 1,772, j 2 = 1,369.
 |
Innen:
Következtetés
A csoportok közötti különbségek statisztikailag nem szignifikánsak, mivel j*< j* ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.
7.7. Pearson χ2 teszt és Kolmogorov λ teszt segítségével
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete